Методы математической морфологии, топологической динамики и нейроматематики в физике Солнца тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.03, кандидат физико-математических наук Макаренко, Николай Григорьевич

• Макаренко, Николай Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Макаренко, Николай Григорьевич

Введение

Глава 1 Морфологические меры и анализ 11 распределенной хаотической динамики.

1.1 Математическая морфология: 12 функционалы Минковского

1.2 Гомотопические инварианты и 15 топологическая сложность карт.

Глава 2 Реконструкция динамики глобального 19 магнитного поля Солнца из топологии сечений синоптических карт.

2.1 Эйлерова характеристика и солнечный 19 цикл.

2.2 Спектральный и вейвлет-анализ 21 временного ряда х

Глава 3 Эмбедология

3.1 Оценки размерности для 26 реконструкции динамики глобального магнитного поля.

3.2 Оценка взаимной связи двух 29 аттракторов.

Глава 4 Нейронные сети и прогноз

4.1 Линейный прогноз

4.2 Локальный многомерный прогноз

4.3 Нейронные сети

4.4 Нейропрогноз

4.5 Нейропрогноз Солнечных циклов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы математической морфологии, топологической динамики и нейроматематики в физике Солнца»

Подходите к вашим задачам с правильного конца и начинайте с ответов. Тогда в один прекрасный день вы, возможно, найдете правильный вопрос.

Р. ван Гулик

Традиции линейного моделирования во многом обусловлены догмами классической аналитики, как единственного универсального способа описания наблюдаемых явлений. Основная из догм заключается в утверждении, что все, что может произойти, может быть и "сказано", т.е. выражено на языке математических символов, законная комбинация которых отображает действительное или возможное состояние процесса. Одним из существенных сторон такого универсального контекста является разделимость явления или переменных, в которых оно описывается и их независимость. Поэтому, основная стратегия в правильном аналитическом "изображении" процесса заключается в поиске такого способа описания (или такой системы отсчета) в которой допускается независимое изменение элементов символической схемы. Это путь на котором часто приходится принимать за истину то, что является только преимуществом, за которые надо платить, отбрасывая, например, "малые" члены в уравнениях или исключая "несущественные" связи. Итогом упомянутых процедур обычно является ответ в форме "приближения линейных мод". Он стал настолько привычным, что наша вера в представимость сложного, как суперпозиции простых линейных фактов, стала почти канонической. Исследования нелинейных случаев, при рассмотрении систем, имеющих много степеней свободы, сводились обычно либо к уравнениями гиперболического типа, или редуцировались к линейной схеме с малыми возмущениями, в рамках упомянутого приближения.

Основной недостаток аналитического контекста - его избыточность в смысле определений: он не содержит собственных средств, с помощью которых мы могли бы провести различие между действительным и возможным. Чтобы сделать этот подход в полной мере пригодным для практики, следует конечно обратиться к эксперименту. Однако, здесь возникают большие трудности при сравнении решений уравнений с наблюдениями, во первых, потому что переменные, которые входят в уравнения содержат обычно ненаблюдаемые величины, и во вторых, потому что аналитическое решение часто требует таких упрощений исходных уравнений, после которых они уже непригодны для реальных ситуаций.

Желание не только символически представить наши умозрительные "ожидания" но и объяснить, то что наблюдается, приводит к обратной задаче - восстановление модели непосредственно из наблюдений. Однако в рамках описанного контекста, для ее решения существовало совсем немного технических средств. В лучшем случае они сводились к полуэмпирическому формализму поординатных методов анализа временных рядов. Такие методы не отвечали на главный вопрос: какова природа источника сигнала, поскольку такая модель (периодическая или стохастическая) закладывалась в сам метод. Моделирование в этой ситуации сводится обычно к нахождению свободных параметров какой-либо регрессионной модели. При этом приходится предполагать выполнение некоторых условий (эргодичности, стационарности и конечномерности), которые в большинстве случаев нельзя ни гарантировать ни проверить, оставаясь в рамках самого линейного аппарата/16,17/.

Ситуация коренным образом изменилась за последние двадцать лет, в связи с новыми представлениями о природе нелинейности. Оказалось, что даже в системах детерминированных уравнений с небольшим числом степеней свободы может возникать сложное стохастическое поведение /1,2/. Для этого существенна качественная природа уравнений, а не их размерность или аналитическая форма. Если уравнения таковы, что решения сильно зависят от начальных условий, малые погрешности начальных данных экспоненциально растут в фазовом потоке, и начиная с некоторого момента времени, будущее состояние системы становится ограниченно предсказуемым. Так возникла новая парадигма Динамического (синонимы: диссипативного, детерминированного) Хаоса. Траектории диссипативной системы заполняют низкоразмерное инвариантное притягивающее подмножество {аттрактор) в фазовом пространстве, который с точки зрения внешнего наблюдателя ведет себя как информационный процессор, обрабатывающий информацию о начальных данных. Траектории на аттракторе разбегаются в одних (неустойчивых) направлениях и сжимаются в других. Вследствие диссипации, сжатие преобладает и в устойчивых направлениях аттрактор копирует сам себя: сечение фазового потока приобретает самоподобную {странную) структуру канторова множества с дробной размерностью. Информация порождается не только каскадом бифуркаций, приводящих к нарушению симметрии, но и последовательными итерациями, приводящими к все более тонкому разрешению геометрической структуры. Такая "аппаратурная реализация" может исполнять очень сложный функциональный репертуар, меняя поведение от относительно простого, квазипериодического (ламинарного) до турбулентного (стохастического). Первой структурой описанного типа был аттрактор Лоренца предложенный в качестве наглядной модели турбулентности для системы, полученной из уравнений Навье-Стокса с помощью галеркинской процедуры. Строгое понятие аттрактора (только для диффеоморфизмов удовлетворяющих аксиоме А) было предложено Смейлом; моделью аттрактора, в общем случае, являются (дифференцируемые) многообразия и их расслоения /1-6/. Изучение таких экзотических структур требует современных методов геометрии и топологии /2,3/.

С физической точки зрения, все что наблюдаемо, т.е. проявляется с ненулевой вероятностью, тем или иным образом ассоциируется с чем-то типичным (или притягивающим). Новые идеи были безболезненно восприняты экспериментаторами, а понятие структурной устойчивости воспитало у теоретиков здоровое неуважение к формам аналитической модели - важны лишь непрерывность отображения и тип нелинейности, который определяет сценарий перехода к хаосу. Оказалось, что "toy models" более полезная вещь для практики, нежели педантичное стремление сохранить все малые члены в в аналитической схеме.

Огромный интерес к странным аттракторам вызван по меньшей мере двумя обстоятельствми. Во первых, большинство типичных природных систем являются диссипативными и описываются нелинейными уравнениями. Поскольку сценарий перехода к хаосу определяется, главным образом, типом нелинейности, а их не так много, асимптотические режимы нелинейных систем в определенном смысле можно классифицировать. Во вторых, и это очень важно для приложений самоподобная (фрактальная) структура аттрактора позволяет восстановить его образ (с точностью до диффеоморфизмов и предположений о типичности (или превалентности), по проекции на произвольное направление/4-11/. Формально, такая реконструкция представляет собой дифференцируемое вложение в обычное евклидово пространство соответствующей размерности /7-11/.

Метод реконструкции аттрактора из скалярных временных рядов был предложен практически одновременно группой Паккарда

7/ и Такенсом /4,10/. Физический подход Паккарда резюмирован в фразе "эвристическая идея скрытая в методе реконструкции состоит в том, что для спецификации состояния трехмерной системы в произвольный момент времени достаточно измерить три произвольных независимых величины, причем термин "независимых" имеет не формальное, а операционное определение"/?/. Такенс /4,10/ формализовал эвристику, основываясь на обобщении теоремы Уитни о вложении дифференцируемых многообразий в евклидово пространство /8,11/. В основе формализма лежат две догмы: догма об универсальности непрерывного отображения, простейшим примером которого является сдвиг и догма о трансверсальности, позволяющая, корректным образом, избежать самопересечения полученного образа в Я11. В результате оказалось, что гладкой моделью любой детерминированно порожденной наблюдаемой является простое отображение сдвига вдоль скалярного ряда, реализующего его вложение в евклидово пространство. Необходимая для этого процедура, которую теперь называют каноническим алгоритмом Такенса/5/, конструктивна в том смысле, что позволяет оценить размерность (или емкость) образа и некоторые другие важные динамические характеристики диффеоморфной копии аттрактора/1,6,12,13/. Экспериментатор получил наконец уникальную возможность начать с ответа'. реконструировать универсальную модель системы непосредственно из наблюдаемых проекций динамики (временных рядов) /1,5,7-15/.

Более сложной и менее изученной, до сих пор остается распределенная динамическая система. Хаотические сценарии ее динамики принято называть пространственно-временным хаосом /1/, который реализуется нелинейными процессами, протекающими в неоднородных и неизотропных средах. Взаимодействие распределенного процесса и среды, в которой он протекает, порождает, пространственно-временные поля или дискретные потоки событий (сцены). В большинстве интересных случаев такие сцены имеют афинно-подобную (мультифрактальную) структуру/22/ и нетривиальную топологию, которые продуцируют в эксперименте хаотические многомерные данные 151.

Возможности прямого применения алгоритма Такенса /8,9,10,/ к таким наблюдаемым существенно ограничены вычислительными трудностями, поскольку для построения вложений приходится работать в матричных пространствах. Кроме того, динамические режимы сцен часто представлены в наблюдениях, в топографической" форме, которая отображая динамические переменные, как "мгновенный снимок", сохраняет отношение близости лишь с точностью до гомеоморфизмов.

Классическим примером служат наблюдения распределенной магнитной динамики Солнца. Глобальный магнитный цикл активности Солнца/61,62/ отслеживается в форме разномасштабных структур, наиболее известными из которых являются солнечные пятна, полярные факелы/64/, эфемерных области и корональные дыры//63/. Некоторые из них, например пятна, являются замкнутыми компактами, другие - факелы и активные долготы/66,67,68/- не имеют выраженных границ. Нечеткость локализации этих структур в пространстве и "полифоническая" активность во времени позволяют использовать только уровень таксономических образов, не допускающий количественного сравнения с теорией. Наиболее удачным представлением, способным объединить эти многоликие феномены в форму единого Магнитного Паттерна, являются, по видимому, синоптические В -а карты. Они не только визуализируют сечение крупномасштабного поля Солнца на нулевом уровне (раздела знаков полярности) но и универсальны, в смысле структурной устойчивости, или топологической грубости. Кроме того, синоптические карты ранжированы естественным временным масштабом - оборотом Солнца, что позволяет изучить скейлинговые свойства магнитных структур, в диапазоне масштабов, превышающих 10 градусов в "естественной" временной шкале. До сих пор анализ И-а карт проводился лишь на качественном уровне, но даже в таком варианте, они позволили обнаружить наиболее важный феномен Глобального магнитного цикла - эффект переполюсовок / 60,61 /.

Формальная свертка распределенных данных к скалярному сигналу "точечного" источника приводит к потере информации о пространственной сложности системы и физически не оправдана. В большинстве интересных случаев, однако, можно построить гладкую аппроксимацию сцены в форме ЗО-графика и использовать в качестве скалярной наблюдаемой топологические меры сложности его сечений /61/; синоптические карты, например, сами представляют собой такие сечения. Подходящими мерами могут служить функционалы Минковского, которые известны в математической морфологии и интегральной геометрии/23-25,27-29/. Они позволяют представить информацию, содержащуюся в графике в компактном виде, как кривую зависимости меры сложности от уровня сечения. Такой подход позволяет не только описывать, и диагностировать динамические сценарии по временной последовательности сцен но и связать физические процессы, продуцирующие эту последовательность с глобальной топологией системы. Действительно, топология сечений отслеживает локальные экстремумы (критические точки) поля. Однако, для компактного дифференцируемого многобразия число критических точек глобального векторного поля не является произвольным: оно определяется Эйлеровой характеристикой многообразия, в силу теоремы Пуанкаре-Хопфа. Поэтому, получение динамической информации из наблюдаемой топологии магнитного поля открывает новые возможности в физике Солнца, а разработка и верификация методов извлечения такой информации представляет несомненный интерес в Солнечной физике.

Распределенные системы с хаотическим поведением существуют не только в природе. К ним принадлежат также искусственные системы, часто представленные в форме компьютерной программы. Это так называемые клеточные автоматы и нейронные сети!55/, предтечами которых были самовоспроизводящиеся машины фон Неймана и перцептрон конечный автомат, предложенным еще в 1943 г. для моделирования функций мозга. Минимальный вариант перцептрона содержит два слоя дискретных бистабильных элементов (нейронов Мак-Каллока-Питтса), которые формируют вход и выход автомата. Такая модель уже могла управлять потоком информации и обучаться.

Нейросеть позволяет моделировать диссипативный хаос с наперед заданным множеством аттракторов /53/. Такие структуры имеют аналоговую ассоциативную память с практически неограниченными возможностями. Аттракторами сети в ее конфигурационном пространстве могут быть произвольные картины (образы). Каждый из них обладает бассейном притяжения и всякое начальное условие (допустимая картина) обязано попасть в тот или иной бассейн. В ходе эволюции, начальная структура трансформируется в наиболее близкую из хранящихся в памяти архетипов (аттракторов). Способности нейронной сети не ограничиваются лишь распознаванием образов: это еще и процессор с уникальными возможностями, позволяющими решать целый ряд практически важных задач, формализация которых затруднена или невозможна для последовательных машин с фон-неймановской архитектурой/56/. Одной из таких задач для диагностики природных хаотических систем является проблема прогноза/9,14, 52,56/.

Актуальность этой проблемы в физике Солнца подтверждается большим количеством работ прогностического направления. Полученные результаты весьма противоречи; они зависят от выбранного индекса активности, масштаба времени, и метода. В значительной мере это связано с отсутствием корректной самосогласованной схемы прогноза, которая может учесть и структуру данных и аппаратные возможности предиктора. Такая схема может быть получена в рамках теории нелинейного локального прогноза, основанного на технике вложения, реализованного с помощью многослойного перцептрона или мультинейрона.

В настоящей Диссертации, рассматривается комплексное применение методов математической морфологии, топологической динамики и нейросетевых технологий к диагностике чрезвычайно сложной распределенной нелинейной динамической системы, генерирующей глобальное магнитное поле Солнца. Известная здесь аналитика, в общем виде, содержит самосогласованную систему нескольких десятков нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, относительно которых неизвестны даже подходы к доказательству теорем существования и единственности решений. Численные эксперименты и полученные решения ограничиваются пока лишь теми единичными вариантами магнито-гидродинамического динамо, дня которых принятые упрощения еще находятся в области физического правдоподобия.

Магнитное поле Солнца складывается из двух компонент: слабого глобального (фонового) поля и поля пятен, с напряженностью на 2-3 порядка выше и локализацией в экваториальной (королевской) зоне/26/.

До сих пор существуют две конкурирующие точки зрения на взаимную связь 2-х магнитных компонент: первая сводится к тому, что фоновое поле- результат распада и диффузии пятен; вторая -предполагает разные механизмы происхождения фоновой и пятенной составляющей. Информация о фоновых полях доступна в форме упомянутых выше синоптических На-карт. Их анализ проводился до сих пор лишь на качественном уровне, при неявном предположении, о чрезвычайно низкой информативности таких данных, по сравнению с рядами Вольфа.

В диссертации предлагается новый метод реконструкции наблюдаемой индексов топологической сложности На карт.

Использование таких индексов (гомотопических инвариантов) -весьма перспективно. Действительно, во первых, эти инварианты

10 выражаются через функционалы Минковского и обладают "морсовским" свойством, а формулы типа Коши-Крофтона связывают эти морфологические меры на рекуррентных подпространствах интегралами по мере Хаара. Во вторых, наиболее доступный из них - Эйлерова характеристика - задает не только робастную статистику на выборке карт, но и определяет структуру глобальных векторных полей на сфере. Временная последовательность значений Эйлеровой характеристики позволяет получить независимую реконструкцию фазовой модели магнитной активности Солнца. Ее скейлинговые характеристики можно не только сравнить с размерностями, полученными для "аттракторов Вольфа", но и установить приоритеты в процессах взаимодействия магнитных полей пятен и вариаций фонового поля.

Современный прогностический аспект Солнечной активности на примере классического индекса - чисел Вольфа рассматривается в контексте комбинированной схемы, содержащей технику вложения и методы нейроматематики.

Диссертация имеет следующую структуру. После введения, излагается необходимый аппарат математической морфологии, который применяется к наблюдательным данным. Далее, следует краткое резюме методов эмбедологии. Они применяются к временному ряду гомотопического инварианта, вычисленному по Я - а картам. В последней главе рассматриваются вопросы применение нейросетей для получения прогноза Солнечной активности. Диссертация завершается небольшим математическим Приложением.

1. МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ МЕРЫ И АНАЛИЗ

РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ.

Сложные хаотические режимы природных процессов отслеживаются в наблюдениях в форме шумоподобных временных сигналов или реализаций - стохастических точечных процессов. Анализ обычно начинают с оценки временной и (или) пространственной сложности системы, продуцирующей данные. В случае временных рядов, такие оценки получают из геометрии аттракторов, которые можно построить с помощью канонической процедуры Такенса. Конечная размерность фазовой реконструкции эквивалентна существованию детерминированного сценария или некоторой универсальной модели. Однако, ситуация усложняется, если мы имеем дело с распределенными физическими процессами, которые демонстрируют нетривиальную простанственную структуру и сложное поведение во времени. В наблюдениях эти процессы отслеживаются как конечное множество (вектор) функций: и = \u(i),i = (г,,.id) е Zd},u е Zp, измеренных в некоторой конечной области DeR - как "мгновенный снимок", либо накопленных в некотором интервале времен. Такое множество называют пространственно-временной сценой. Сетка аргументов сцены формируется локализацией измерений и природой самого процесса; в общем случае она хаотична, а гладкость функций определяется априорными соображениями. В тех случаях, когда можно считать u(i) отсчетами регулярного физического поля - сцена допускает геометрическое представление в виде гиперповерхности f(x):D -» R,x g Rd ,f e Rp . Во многих интересных ситуациях d=2,p=l. Тогда , сцена описывается 3D графиком /:

Gr(f) = {(*, у, z) е R3 \{х, у) e U; z = /], где ¿/-открытая координатная окрестность D. Ортогональная проекция Grij) на плоскость (х,у) представляет собой обычную карту поля, на которой множества уровней fix,y)=Y. изображаются системой изолиний. Однако, такая форма представления сцены неудобна даже для таксономического анализа. С другой стороны, введение подходящих морфологических мер на картах не является простой задачеий, поскольку группы симметрий сцен a priori неизвестны.

В этом разделе обсуждается проблема выбора таких мер для описания пространственной сложности реализаций.

Заключение диссертации по теме «Физика Солнца», Макаренко, Николай Григорьевич

Основные результаты диссертации опубликованы в работах'.

1. Макаренко Н.Г. Многообразия, вложения, погружения и трансверсальность. // сб. Проблемы солнечной активности, Ленинград, ФТИ им.Иоффе, 1991, С Л 4-27.

2. Мосин А.П., Макаренко Н.Г. Топологическая размерность солнечного аттрактора по рядам Вольфа //сб. Проблемы солнечной активности, Ленинград, ФТИ им.Иоффе, 1991, С.89-94.

3. Айманова Г.К., Макаренко Н.Г., Макаров В.И., Тавастшерна К.С. и др. Об оценке параметров размерности фонового магнитного поля Солнца на основе Н-альфа карт // Солнечные данные, 1992, №3, С.97-103

4. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М. Функционалы Минковского и анализ астрофизических карт// в сб. Новый цикл активности Солнца: наблюдательный и теоретические аспекты. Труды конф. ГАО РАН, С-Петербург, 1998,, С.107-110

5. Makarenko N.G. Analysis of geophysical data: the nonlinear tool //in Problems of Geospace 2. Proc.of the 2nd Intern. Workshop held at St.Petersburg, June 29-July 3, 1998, eds V.S. Semenov, H.K.Biernat, et all. Wien,1999, ISBN 3-7001-2691-3, P. 11-21

6. Макаренко Н.Г., Беляшов Д.Н., Каримова Л.М.Дищенко A.B. Опыт применения нейросетового имитатора "Multineuron" в reo- и гелиофизике//в сб. Всероссийская научно-техническая конф. Нейроинформатика-99, ч.З, Москва, 1999, С.31-38.

7. Макаренко Н.Г., Тищенко A.B., Нагай Т.В. Прогноз солнечных циклов и нейронные сети// в сб. Новый цикл активности Солнца: наблюдательный и теоретические аспекты. Труды конф. ГАО РАН,С-Петербург, 1998, С.107-110

8. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Макаров В.И., Тавастшерна К.С. Контурная статистика крупномасштабных солнечных полей.//сб.Современные проблемы солнечной цикличности. Санкт-Петербург, 1997, С. 139-143

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В Диссертации исследуется применение численных методов дифференциальной топологии, топологической динамики и математической морфологии для извлечения физической информации, содержащейся в топологии сечений графиков векторных и скалярных полей. Методы применяются для реконструкции распределенной динамики Глобального магнитного цикла Солнца. В качестве исходных данных были выбраны синоптические магнитные карты Солнца охватывающие 8 циклов активности. Кроме того, рассмотрены методы использования нейронных сетей для предсказания Солнечной активности, в рамках схемы локального нелинейного многомерного прогноза. Эти методы рассмотриваются в комбинации с каноническим алгоритмом вложения временного ряда в евклидово пространство. Полученные результаты показали, что

• топологическая сложность синоптических карт фонового магнитного поля является информативной наблюдаемой. Она непосредственно отслеживает вариации глобального магнитного поля Солнца и связана с глобальной топологической структурой носителя поля.

• магнитный динамический хаос в Солнечной цикличности, полученный реконструкцией динамики из временного ряда топологического индекса (характеристики Эйлера) можно описать небольшим числом параметров порядка;

• в рамках гипотезы о существовании двух взаимосвязанных аттракторов, один из которых связан с генерацией фонового поля, а другой - с генерацией пятен, доказана доминирующая роль глобального магнитного поля Солнца относительно процессов образования пятен.

• показана принципиальная возможность получения прогноза солнечной активности методами эмбедологии и нейроматематики

Научная новизна работы состоит в том, что:

• Разработан новый метод реконструкции динамики Глобального магнитного поля Солнца на основе топологической информации синоптических карт, методами математической морфологии и топологической динамики/29,59/

• Предложен новый индекс Солнечной активности- эйлерова характеристика глобального магнитного поля Солнца/31,32/. Он позволяет отследить перестройку фоновых магнитных полей в распределенной динамике магнитного цикла и связывает локальные

РОССИЙСКАЯ гостдарс тъшщ и свойства этих полей с глобальной структурой носителя -сферических слоев Солнца.

• Впервые получены количественные оценки, свидетельствующие о приорететной роли фоновых полей в их взаимной связи с солнечными пятнами/31/.

• Предложена схема нейропрогноза Солнечной активности, согласованная с методами эмбедологии /52,53.57/

Практическая значимость работы заключается в том, что.

• Методы контурной статистики, которые предлагаются в диссертации для анализа фоновых полей Солнца, могут успешно применяться для диагностики полей другой природы, в астрофизике, геофизике и экологии/18,60/.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Макаренко, Николай Григорьевич, 1999 год

1. Ruelle D. Chaotic evolution and strange attractors. The statistical analysis of time series for deterministic nonlinear systems. 1989. Cambridge Univ. Press.

2. Hirsch M.W. The dynamical systems approach to differencial equations. // Bull.(New Series) Amer. Math. Soc. 1984. v. l 1. N1. 1-64.

3. Milnor J. On the concept of Attractor. // Commun. Math. Phys. 1985. v.99. 171-195.

4. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. // Lecture Notes in Math. 1981, v. 898. 366-381

5. Афраймович B.C., Рейман A.M. Размерность и энтропия в многомерных системах. // сб. Нелинейные волны. Динамика и эволюция. М.: Наука. 1989. 238-262.

6. Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors. // Pev. of Mod. Phys. 1985. v.37. N3. 617-656.

7. Packard N. H., Crutchfield J. P., Farmer J. D., Schaw R. S. Geometry from a time series //Phys.Rev.Lett., 1980, v.45, 712-716

8. Noakes L. The Takens embedding theorem // Intern. J. Bifurcation and Chaos 1991, v.l, 867-872

9. Ott E., Sauer Т., Yorke J. A. Coping with chaos. 1994. Wiley. N.Y.

10. Takens F. Distinguishing deterministic and random systems // in Nonlinear dynamics and turbulence. By Ed. G.I. Barenblatt, G. Iooss, D.D. Joseph. N.Y.: Pitman. 1983. 314-333.

11. Sauer Т., Yorke J.A., Casdagli M. Embedology.// J.Statist.Phys. 1991. v.65. N3/4 579-616.

12. Schreiber Т. Interdisciplinary application of nonlinear time series methode . // http: // xxx.lanl.gov./chao-dyn/9807001

13. Kurths J. Lineare und nichtlineare Methoden der Zeitreihenanalyse. 1998. Institut fiier Theoretische Physik. Universität Potsdam.

14. Abarbanel H.D.I., Brown R., Tsimring L. Sh. The analysis of observed chaotic data in physical systems. // Rev. Mod. Phys. 1993.v.65. N4. 1331-1392

15. Ding M., Grebogi C., Ott E., Sauer Т., Yorke J.A. Estimating correlation dimension from a chaotic time series: when does plateau onset occur? // Physica D v.69. 1993. 404-424

16. Виллемс Ян К. От временного ряда к линейной системе, //в сб. Теория систем. Математические методы и моделирование. М.Мир. 1989. 382с. 8-191.

17. Tong H, Lim К. S. Threshold autoregression, limit cycles and cyclical data. //J. R. Statist. Soc. B. 1980. v. 42. N3. p.245-292.

18. Макаренко Н.Г., Мажкенов C.A., Каримова Jl.M., Терехов А.Г. Контурная статистика геомагнитных полей. // ДАН РК. 1996. №1.51-56

19. Chennaonui A., Pavelzik К., Libert W., Schuster H.G., Pfister G. Attractor recostruction from filtered chaotic time series. // Phys.Rev.A1990. v.41. N8. 4151-4159

20. Stark J., Broomhead D.S., Davies M.E., Huke J. Takens embedding theorems for forced and stochastic systems. // submitt. // to the Proceed, of the 2nd World Congress of Nonlinear Analysis. Athens, Greece, July 1996.

21. Sauer T. Reconstruction of dynamical systems from interspike intervals. // Phys. Rev. Lett. 1994. V.72. p.3811.

22. Falkoner K.J. The Multifractal Spectrum of Statistically Self-Similar Measures. // J. Theor. Probability. 1994. v.7. N3. 681-702

23. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. М.: Наука. 1966. 416 с.

24. Mecke K.R., Wagner Н. Euler characteristic and related measures for random geometric sets. // J.Statist. Phys. 1991. V.64. №3/4. 843-850.

25. Serra J. Image Analysis and Mathematical Morphology. 1982. Acad. Press. INC

26. Mouradian Z., Soru-Escaut I. On the dynamics of the large-scale magnetic fields of the Sun and the sunspot cycle// Astron. & Astroph.1991. V.251. 649-654.

27. Coles P. Statistical geometry and the microwave background // Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 1988. v.234. 509-531

28. Mellot A. L. The topology of large-scale structure in the Universe.// Physics Reports. 1990.193. N 1.

29. Makarenko N.G. Analysis of geophysical data: the nonlinear tool //in Book of Abstracts, International Conference on Problems Geocosmos, June 29-July 3. 1998. St.Peterburg. 5

30. Айманова Г.К., Макаренко Н.Г., Макаров В.И., Тавастшерна К.С. Оценка параметров порядка фоновых магнитных полей Солнца по Н-альфа картам. Период: 1914-1984 гг. // Солнечные данные. 1992. №3. 97-108.

31. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Макаров В.И., Тавастшерна К.С. Контурная статистика крупномасштабных солнечных полей.//сб.Современные проблемы солнечной цикличности. Санкт-Петербург. 1997. 139-143

32. Макаренко Н.Г., Каримова JT.M. Функционалы Минковского и анализ астрофизических карт// в сб. Новый цикл активности Солнца: наблюдательный и теоретические аспекты. Труды конф. ГАО РАН, С-Петербург, 1998,, С. 107-110

33. Chillingworth D.R.J. Differential topology with a view to applications. 1976. Pitman Publishing. London, San Francisco, Melbourne

34. Шапиро И.С., Олыианецкий M.A. Лекции по топологии для физиков. // Элементарные частицы. 6-я школа ИТЭФ. Вып.4.М.: Атомиздат. 1979.

35. Лонге-Хиггинс. Статистический анализ случайной движущейся поверхности. // В сб. Ветровые волны. М: ИЛ 1962. 125218

36. Adler R.J. A spectral moment estimation problem in two dimensions//Biometrica 1977. v.64. 367-373.

37. Lois A.K., Maass P., Rieder A. Wavelets. Theory and Applications/ 1997. John Wiley & Sons. 32lp.

38. Theiler J., Lookman T. Statistical error in chord estimator of correlation dimension: the "rule of five". // Int. J. Bif. Chaos. 1993. v.3. 765771.

39. Мосин А.П., Макаренко Н.Г. Топологическая размерность солнечного аттрактора по рядам Вольфа // сб. Проблемы солнечной активности. Ленинград. ФТИ им.Иоффе. 1991. 89-94.

40. Макаренко Н.Г., Айманова Г.К., К-энтопия и размерность Реньи Солнечного аттрактора.// Астрон.Циркуляр. 1988. №1533. 1920.

41. Макаренко Н.Г., Айманова Г.К. О типе солнечного аттрактора. //Астрон.Циркуляр 1988. №1535. 19-20.

42. Diks С. Estimating invariants of noisy attractors. //Phys.rev.E. 1996. v.53.N.5. R4263-R4266

43. Айманова Г.К., Демченко Б.И., Макаренко Н.Г. О типе скейлинга для Солнечного аттрактора.// Астрон.Циркуляр. 1989. №1541. 19-20.

44. Schneider P., Grassberger P. Studing attractor symmetries by means of cross correlation summs //http://xxx.lanl.gov. chao-dyn/9604020.

45. Cenis A., Lasiene G., Pyragas K. Estimation of interrelation between chaotic observables. // Physica D. 1991,52, 332-337.

46. Barnsley M.F. Fractal Functions and iterpolation. // Constructive approximation. 1986, 303-329

47. Кремлевский M.H. Обратная задача хаотической динамики и Солнечная активность. Автореферат канд. диссертации. Санкт-Петербург 1996.

48. Serio С. Discriminating Low-Dimensional Chaos from randomness a parametric time series modelling approach. // II Nuovo Cimento. 1992, v.107B. 681-701.

49. Jordan M.I., Bishop Ch.M. Neural Networks. CRC Handbook of Computer Science. 1996. CRC Press. Boca Raton.FL

50. Krose В., van der Smagt P. An Introduction to Neural Networks. 1996. //http://www.fwi.uva.nl/research/neuro/

51. Макаренко Н.Г., Каримова JI.M., Нагай T.B. Эмбедология, солнечные циклы и прогноз динамики Каспийского моря // в сб. Современные проблемы солнечной цикличности. Санкт-Петербург, 1997,144-148.

52. Макаренко Н.Г., Тищенко А.В., Нагай Т.В. Прогноз солнечных циклов и нейронные сети// в сб. Новый цикл активности Солнца: наблюдательный и теоретические аспекты. Труды конф. ГАО РАН,С-Петербург, 1998, С. 107-110

53. Горбань А.Н. Обобщенная аппроксимационная теорема и вычислитеные возможности нейронных сетей. // Сибирский журнал вычислительной математики. 1998. Том 1. №1. с. 11 -24.

54. Chen S., Billings S.A. Neural networks for nonlinear dynamic system modelling and identification. // Int. J. Control. 1992. v.56. N2. 319-346.

55. Макаренко Н.Г., Беляшов Д.Н., Каримова Л.M.,Тищенко А.В. Опыт применения нейросетового имитатора "Multineuron" в гео-и гелиофизике//в сб. Всероссийская научно-техническая конф. Нейроинформатика-99, ч.З, Москва, 1999, С.31-38.

56. Кукушкина В.П., Резникоп А.П., Дружинин И.П., Куклин Г.В. Опыт применения детерминированно-вероятностной обучающейся информационной системы (ДВОИС) для прогноза

57. Солнечной активности.// Исслед. по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1970. вып.7. 138-152.

58. Makarenko N.G. Analysis of geophysical data: the nonlinear tool //in Problems of Geospace 2. Proc.of the 2nd Intern. Workshop held at St.Petersburg, June 29-July 3, 1998, eds V.S. Semenov, H.K.Biernat, et all. Wien,1999, ISBN 3-7001-2691-3, P.ll-21

59. Makarenko N.G., Karimova L.M. Novak M.M. Fractal and Morphological Analysis of Radioactive Contamination.// in Proceed.of the conference Fractals in Engineering. Delft, June 1999, P. 167-174

60. Макаров В.И., Тавастшерна К.С. Глобальные особенности процесса Солнечной цикличности// в сб. Вариации глобальных характеристик Солнца. Наукова Думка, Киев, 1992, 270-301.

61. Makarov V.I. On the Inner Magnetic Field of the Sun in the Global Magnetic Cycle// in Synoptic Solar Physics, ASP Conf. Series, v.140. 18th NSD Summer Workshop, (eds.K.S.Balasubramanian, J.W.Harvey and D.M.Rabin, Р.83-90/

62. Bortzov V.V., Makarov V.I. and Mikhailutsa V.P. Global Cycle in the Distribution of the Green Coronal Emission. Period: 1940-1989// Solar Physics, V.137., 1992. P.395-400.

63. Makarov V.I., Makarova V.V., Callebaut. Polar activity of the Sun during from 1960 to 1996.// в сб. Современные проблемы солнечной цикличности. Санкт-Петербург, 1997,149-154.

64. Могилевский Э.И. Импульсы Солнечной активности М.Н. Гневышева в свете современных наблюдений.//в сб. Современные проблемы солнечной цикличности. Санкт-Петербург, 1997, 164-167.

65. Никольская К.И., Вальчук Т.Е., Иванов В.В. Активные долготы Солнца: выявление траектории миграций и спектральный анализ периодичности. // в сб. Современные проблемы солнечной цикличности. Санкт-Петербург, 1997,188-192.

66. Витинский Ю.И. Об устойчивости активных долгот групп солнечных пятен. // в сб. в сб. Новый цикл активности Солнца: наблюдательный и теоретические аспекты. Труды конф. ГАО РАН,С-Петербург, 1998, С. 43- 46

67. Ананьев И.В., Иванов Е.В., Обридко В.Н. Зонально-секторная структура крупномасштабных солнечных магнитных полей.//в сб. Солнечно-земная физика. Тр. VII Симпозиума по Солнечно-земной физике России и стран СНГ. Троицк, 1999,126-139