Моделирование особенностей развития макроэкономических систем вблизи критических точек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Смыкова, Наталия Владимировна

• Смыкова, Наталия Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смыкова, Наталия Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Обзор математических моделей и динамических рядов развивающихся экономических систем

1.1. Динамические ряды экономических показателей развивающихся систем.

1.2. Аналитический обзор статистических методов исследования временных рядов.

1.3. Использование методов нелинейной динамики, теории бифурi> каций и теории катастроф при исследовании динамических рядов.

1.4. Применение современных компьютерных технологий при исследовании динамических рядов.

1.5. Постановка задачи исследования.

Выводы по первой главе.

ГЛАВА 2. Математические модели исследования равновесных систем

2.1. Методика анализа данных в равновесных экономических системах.

2.2. Моделирование неслучайной компоненты временного ряда

2.2.1. Моделирование тренда.

2.2.2. Выделение сезонной и циклической компонент.

2.2.3. Построение обобщенной модели временного ряда.

2.3. Исследование случайной составляющей временного ряда.

2.4. Многофакторный анализ динамических рядов.

Выводы по второй главе.

ГЛАВА 3. Математическое моделирование развивающихся экономических систем

3.1. Нелинейные дифференциальные уравнения как математические модели динамических систем.

3.2. Применение локальной программы Пуанкаре по исследованию дискретных отображений к развивающимся экономическим системам.

3.3. Построение кусочно-нелинейной аппроксимации модели динамических рядов и их интерпретация.

3.4. Режим эволюционного развития систем и прогнозирование.

3.5. Режим бифуркаций и особенности поведения систем вблизи

I» критических точек.

3.6. Режим динамического хаоса и возможности прогнозирования

3.6.1. Построение фазового портрета системы и восстановление аттрактора.

3.6.2. Стохастические характеристики аттракторов в режиме динамического хаоса.

3.6.3 Прогнозирование поведения системы.

Выводы по третьей главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование особенностей развития макроэкономических систем вблизи критических точек»

Традиционные аналитические методы анализа экономических систем все чаще и чаще наталкиваются на проблемы, не имеющие эффективного решения в рамках устоявшихся парадигм. Это и неудивительно, ведь традиционные, ставшие уже классическими, подходы были разработаны для описания относительно устойчивого, медленно эволюционирующего и не радикально изменяющегося мира, мира - который еще не сильно отклонился от состояния равновесия. Традиционные модели являются стохастическими. Те ограничения, которые используются при построении модели с целью сделать ее пригодной для практического использования, по сути дела, уничтожает ту уникальную внутреннюю "сложность", которая присуща динамическому процессу. По самой своей сути эти методы и подходы не были предназначены для описания и моделирования быстрых изменений, непредсказуемых скачков и сложных взаимодействий отдельных составляющих современного мирового рыночного процесса.

Последние годы ознаменовались повышенным интересом к поиску нелинейных моделей, которые могли бы адекватно воспроизводить сложное поведение динамических систем, поскольку уже стало ясно, что линейный подход к анализу развивающихся систем не позволяет смоделировать сильно нерегулярное поведение, характерное для большинства динамических систем. Постепенно стало ясно, что изменения в экономике происходят настолько интенсивно, а их качественные проявления бывают настолько неожиданными, что для анализа и прогнозирования поведения развивающихся экономических систем синтез новых аналитических и вычислительных подходов стал насущной практической необходимостью. Этот синтез был осуществлен в рамках бурно развивающейся в настоящее время науки - теории неравновесной динамики. Теория неравновесной динамики изучает динамические процессы в сложных развивающихся системах. Она рассматривает причины и механизмы возникновения новых режимов в поведении системы, предсказывает вероятные изменения системы и указывает на то, как можно было бы управлять неожиданными динамическими режимами, возникающими в сложных системах. Законы, управляющие сложными развивающимися системами, коренным образом отличаются от тех, по которым функционируют равновесные системы, и которые являются основой традиционных классических методов анализа поведения экономических систем. Поэтому теория неравновесной динамики может стать адекватным инструментом для анализа сложных динамических процессов, происходящих в современной экономике.

В связи с этим, в последнее время интенсивно развивается раздел теории неравновесной динамики, базирующийся на теории динамического хаоса, которая предлагает исчерпывающее объяснение иррегулярному поведению и аномалиям в системах, которые, не являясь по своей природе стохастическими, ведут себя подобным образом. Теория хаоса предлагает совершенно новые концепции и алгоритмы для анализа временных рядов, которые могут привести к более глубокому и полному пониманию отражаемых ими экономических процессов. Эта теория предлагает широкий выбор методов, включая восстановление аттрактора в лаговом фазовом пространстве, вычисление показателей Ляпунова, обобщенных размерностей и энтропий, а также нелинейное предсказание.

Актуальность темы исследования. Возможность использования для анализа рядов динамики развивающихся экономических систем концепции равновесия ограничена исходной предпосылкой о статичности порождающей данный ряд системы, для которой в действительности характерна сложная динамика. Поскольку в рамках равновесного анализа развивающаяся система рассматривается как внутренне устойчивая система, то исследование ее динамики сводится к исследованию изменений устойчивого равновесия в результате экзогенных воздействий. Данный подход определяет характер взаимодействия между переменными как неизменный. Однако время играет определяющую роль в эволюции сложных систем, которая предстает как длительный переход от одного неустойчивого состояния к другому с возможным переходом к режиму динамического хаоса. Сложно организованные новые пространственно-временные структуры систем возникают как результат самоорганизации из хаотических состояний. В таких самоорганизующихся системах вместо устойчивости и гармонии обнаруживаются эволюционные процессы, приводящие к еще большему разнообразию и усложнению структур. Концепции нелинейности и бифуркаций, впервые сформулированные Пуанкаре А., Ляпуновым А., Андроновым А., Уитни X., Томом Р., а также последние работы Арнольда В. И., Ма-линецкого Г. Г., Лесина Я. Б., Такенса Ф., Фейгенбаума М., Занга В. Б., Гилмо-ра Р. дают возможность методологически корректно исследовать динамические ряды данных.

Таким сложным системам как экономика присуще как регулярное, так и нерегулярное хаотическое поведение вблизи критических точек, генерируемое их нелинейным характером. Регулярным поведением систем, под которым, как правило, понимают детерминированное поведение, считается поведение, описываемое дифференциальными и разностными уравнениями, позволяющими рассчитывать динамику систем на основе заданных начальных условий. Однако хаотическое поведение можно обнаружить в системах, описываемых дифференциальными уравнениями, из чего следует, что хаос имеет детерминированную природу. Детерминированные нелинейные разностные уравнения первого порядка иллюстрируют возникновение нерегулярных флуктуаций, тогда как в детерминированных линейных разностных уравнениях подобные явления не наблюдаются. Следовательно, хаос генерируется именно нелинейным характером системы. Известно также, каким образом нелинейные системы приходят к хаосу.

Открытие феномена детерминированного хаоса и самоорганизации в нем расширяет возможности как математического моделирования, так и экономического прогнозирования. Наличие детерминированной природы хаоса позволяет предположить, что некоторые, кажущиеся в большей степени случайными, экономические явления могут оказаться в большей степени предсказуемыми.

В зависимости от того, является система устойчивой или неустойчивой, она по-разному реагирует на внешние воздействия. Если система способна быстро возвращаться к равновесию, то результат внешнего воздействия будет незначителен. Однако, если система неустойчива, то влияние случайных воздействий очень сложно. Неустойчивая система может претерпевать структурную перестройку даже в том случае, когда изменения параметров будут небольшими. Чтобы прогнозировать поведение неустойчивой системы, необходимо построить теорию флуктуаций вблизи критических состояний. Поэтому одной из проблем реализации концепции хаоса в исследованиях экономической динамики является методика измерения нерегулярного поведения, которое в развивающихся системах может проявляться в различных формах: движение к устойчивому узлу, фокусу, предельных циклов, бифуркации. Для того чтобы отличать нерегулярное поведение систем от регулярного, необходимы критерии, на роль которых претендуют показатели Ляпунова.

Таким образом, для исследования поведения нелинейных неустойчивых динамических систем, к которым относится экономика, особенно важен анализ поведения системы вблизи критической точки, когда небольшие изменения параметров приводят к потере системой линейной устойчивости и хаотическому поведению.

Объектом исследования диссертационной работы является влияние стационарных и нестационарных факторов на особенности поведения макроэкономических показателей развивающихся экономических систем различной природы.

Предмет исследования: математические модели и оценка с помощью разработанных алгоритмов влияния социальных и экономических факторов на динамическое нелинейное поведение параметров развивающихся систем.

Целью диссертационных исследований является разработка эффективного алгоритма получения равновесных и неравновесных математических моделей с использованием динамических рядов экспериментальных данных с целью исследования сущности развивающихся экономических систем и повышения точности прогнозных моделей.

Научная задача исследований заключается в разработке алгоритма исследования динамических рядов, описывающих на различных этапах развития поведение динамических экономических систем, с целью моделирования экономических связей и построения прогнозов.

При решении поставленной общей научной задачи решен ряд частных задач:

1. Разработка и обоснование методики исследования дискретных экспериментальных данных, позволяющей определить равновесие и неравновесие экономических систем.

2. Разработка алгоритма исследования временных рядов на основе методов неравновесной нелинейной динамики.

3. Применение разработанных алгоритмов к исследованию динамики конкретных экономических систем, представленных экспериментальными данными, в области эволюционного развития и режиме бифуркаций.

4. Изучение процессов самоорганизации в области динамического хаоса на основе нелинейной динамики систем с целью построения прогноза их поведения.

Методы исследования. При построении математических моделей использовались методы математической статистики, а также гармонический анализ, корреляционный анализ, множественный регрессионный анализ, методы теории катастроф, методы теории нелинейных дифференциальных уравнений и методы исследования нелинейных динамических систем, включая методы исследования динамического хаоса, исследование дискретных отображений, исследование характеристик странных аттракторов.

При работе над диссертацией было применено следующее ПО: Statistica 99 Edition., Microsoft Excel 2000, С++ Bulder 5.0, MathCAD 7 Professional.

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обосновывается корректным использованием апробированных методов корреляционного, множественного регрессионного и гармонического анализов, построением математических моделей с помощью методов неравновесной нелинейной динамики на основе экспериментальных динамических рядов, использованием современных информационных технологий, а также сравнением результатов моделирования со статистическими данными.

Информационная база исследования включает данные Ставропольского краевого комитета госстатистики о динамике средней урожайности озимой пшеницы на территории Ставропольского края и курса акций компании "Лукойл" на ММВБ (Московской межбанковской валютной бирже).

Научная новнзна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Предложен алгоритм обработки динамических рядов, отражающих сущность равновесных и развивающихся экономических систем.

2. Разработан метод построения простейших нелинейных математических моделей развивающихся экономических систем на основе исследования экспериментальных динамических рядов как дискретных отображений.

3. Исследованы динамические системы на этапах эволюционного развития, в режимах бифуркаций и динамического хаоса на основе временных рядов урожайности зернового комплекса Ставропольского края и курса акций компании "Лукойл" с помощью дискретных отображений и методов нелинейной динамики.

4. Создан пакет программ для ЭВМ, позволяющий строить аппроксима-ционную модель развития динамической системы, определять значение управляющих параметров и вычислять характеристики самоорганизации системы в виде странного аттрактора в режиме динамического хаоса.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Алгоритм построения и исследования равновесных и неравновесных математических моделей экономических систем на основе динамических рядов.

2. Метод восстановления динамических нелинейных математических моделей развивающихся экономических систем в виде нелинейных дифференциальных уравнений с помощью динамических рядов как дискретных отображений и методов нелинейной динамики.

3. Методика исследования нелинейных динамических моделей, описывающих поведение развивающихся экономических систем на примере зернового комплекса Ставропольского края и компании "Лукойл" на этапах эволюционного развития, в режимах бифуркаций и динамического хаоса.

4. Апробация методики оценки характеристик странного аттрактора динамической системы компании "Лукойл" в режиме динамического хаоса с целью получения прогноза.

Практическая значимость исследования состоит в том, что полученные результаты могут быть применены в процессе прогнозирования поведения развивающихся систем. Разработана методика построения нелинейной аппроксимации экономических систем, позволяющая давать прогнозы поведения системы в области эволюционного развития, в режимах бифуркаций и динамического хаоса. Полученные характеристики аттрактора позволяют определять характерное время, на которое может быть предсказано поведение системы.

Реализация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы реализованы в учебном процессе Ставропольского государственного университета в рамках дисциплины специализации «Математические методы в экономике, экологии и биологии», а также при разработке тематики курсовых и дипломных работ; результаты диссертационной работы используются в учебном процессе Ставропольского института переподготовки кадров агробизнеса при чтении соответствующих спецкурсов; программный комплекс, созданный в работе, применяется в Ставропольском филиале ОАО «МДМ-Банк» для анализа экономических показателей.

Апробация результатов исследования. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях», г. Ставрополь, СГУ, 2000; I, II Региональных научных конференциях студентов и преподавателей «Проблемы компьютерных технологий и математического моделии рования в естественных, технических и гуманитарных науках», г. Ставрополь, СевКавГТУ, 2001,2002; VI международной конференции «Экология и здоровье человека. Экологическое образование. Математические модели и информационные технологии», г. Краснодар, 2001; X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование», Ростов на Дону, 2002; 46, 48 научно-методических конференциях преподавателей и студентов «Университетская наука - региону», г. Ставрополь, СГУ, 2002,2003.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 6 в соавторстве. В совместных работах соискателю принадлежит получение основных результатов и их обсуждение.

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемых источников (содержащего 122 наименования) и приложений. Основная часть работы изложена на 129 страницах машинописного текста. Работа содержит 4 таблицы, 43 рисунка, 3 приложения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Смыкова, Наталия Владимировна

Выводы по третьей главе:

1. Рассмотрен алгоритм исследования простейших нелинейных математических моделей развивающих систем, полученных на основе простейшей нелинейной модели типа «складка». В зависимости от значения управляющего параметра в развитии динамической системы выделяют эволюционный период, бифуркационный период и режим динамического хаоса. На каждом из режимов предложена методика построения прогноза.

2. Предложена методика построения динамических нелинейных математических моделей развивающихся экономических систем с помощью динамических рядов как дискретных отображений и методов нелинейной динамики.

3. Разработана методика исследования временных рядов, описывающих развитие экономических систем в режиме эволюционного развития и в режиме бифуркаций. Показано, что в периоды эволюционного развития система стремится к устойчивому состоянию. Если значение управляющего параметра попадает в диапазон бифуркаций "удвоения периода", то такой режим, характеризуется переходом системы в устойчивый двукратный цикл, т. е. значения временного ряда начинают чередоваться.

4. Анализ поведения управляющего параметра динамической системы показывает, что если r>rtJ2, то развитие экономической системы хаотично. Предложена методика получения и исследования нелинейной модели самоорганизации хаотической динамики временного ряда, отражающего поведение развивающейся системы в режиме динамического хаоса в виде странного аттрактора.

5. Исследованы характеристики странного аттрактора в поведении нелинейной динамической модели экономической системы компании "Лукойл", находящейся в хаотическом режиме, позволяющего прогнозировать поведение системы в режиме самоорганизации динамического хаоса. Рассчитанная корреляционная размерность аттрактора позволяет оценить количество переменных, которое необходимо для моделирования системы. Числовое значение корреля И^У ционной энтропии является количественной характеристикой степени хаотичности системы.

В состоянии хаоса конкретное состояние системы непредсказуемо. Однако странный аттрактор, определяющий хаотическое поведение системы, часто занимает ограниченную область фазового пространства. Следовательно, определение границ области аттрактора может позволить получить оценки поведения системы. Характерное время, на которое может быть предсказано поведение системы, обратно пропорционально наибольшему показателю Ляпунова.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в диссертационной работе исследования направлены на разработку алгоритмов построения математических моделей, описывающих поведение равновесных и развивающихся экономических систем на основе динамических рядов. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Предложен алгоритм исследования на стационарность динамических рядов, описывающих поведение сложных нелинейных систем. Алгоритм включает следующие шаги: выделение неслучайной (закономерной) составляющей временного ряда; оценка параметров модели; оценка точности модели; исследование случайной компоненты ряда с целью проверки адекватности модели. Если полученная математическая модель динамического ряда адекватна, то ее можно использовать для построения прогнозов. В противном случае для построения модели динамического ряда следует использовать методы неравновесного анализа данных.

2. Апробация предложенного алгоритма проведена на примере динамического ряда, отражающего экономическую сущность развития зернового комплекса Ставропольского края. При этом выявлено, что данный временной ряд развивается во времени неоднородным образом с выраженными сменами режимов. Наличие смен режима эволюции ряда затрудняет построение единой модели ряда, вследствие чего строятся различные модели эволюции ряда на двух временных интервалах: с 1962 по 1989 год и с 1990 по 2002 год. Каждый из полученных временных рядов исследуется отдельно. Получены обобщенные аддитивные модели исследуемого временного ряда за периоды с 1962 по 1989 года и с 1990 года по 2002 год. Показано, что стационарная модель неадекватна. Так как большинство экономических систем современной России являются подобно зерновому комплексу Ставропольского края развивающимися системами то, скорее всего, эконометрические модели, описывающие поведение данных систем, не являются адекватными и не могут быть использованы для прогноза. Следует использовать методы обработки данных на основе теории неравновесной динамики.

3. Предложен алгоритм исследования поведения развивающихся нелинейных экономических систем на основе построения математических моделей с помощью динамических рядов, дискретных отображений и нелинейной динамики.

4. Разработана методика исследования временных рядов, описывающих развитие экономических систем в режиме эволюционного развития и в режиме бифуркаций. На примере показателей зернового комплекса Ставропольского края показано, что в периоды эволюционного развития система стремится к устойчивому состоянию. Если значение управляющего параметра попадает в диапазон бифуркаций "удвоения периода", то такой режим, характеризуется переходом системы в устойчивый двукратный цикл, т. е. значения временного ряда начинают чередоваться.

5. Анализ поведения управляющего параметра динамической системы показывает, что если г > r^, то развитие экономической системы хаотично. Предложена методика получения и исследования нелинейной модели самоорганизации хаотической динамики временного ряда, отражающего поведение развивающейся системы в режиме динамического хаоса в виде странного аттрактора.

6. Исследованы характеристики странного аттрактора в поведении нелинейной динамической модели экономической системы компании "Лукойл", находившейся в период дефолта 1998 года в хаотическом режиме, позволяющего прогнозировать поведение системы в режиме самоорганизации динамического хаоса. Рассчитаны корреляционная размерность и корреляционная энтропия аттрактора, показатели Ляпунова, определяющие характерное время, на которое может быть предсказано поведение системы.

7. Разработан комплекс программ, позволяющий строить кусочно-нелинейную аппроксимационную модель развития динамической системы, определять на основе данной модели значение управляющего параметра и вычислять количественные значения характеристик странного аттрактора, характеризующего процессы самоорганизации экономической системы в режиме динамического хаоса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смыкова, Наталия Владимировна, 2004 год

1. Агропромышленный комплекс Ставрополья: Статистический сборник. Ставропольский краевой комитет госстатистики. — Ставрополь, 2000. 156 с.

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985. - 487 с.

3. Андерсен Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. — 756с.

4. Андронов А.А., Леонович Е.А. и др. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. - 488 с.

5. Анищенко B.C. Устойчивость, бифуркации, катастрофы. //Соросовский образовательный журнал. 2000, № 6. — С. 105 - 109.

6. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.-272 с.

7. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. - 80 с.

8. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. М: Наука, 1989. - 217 с.

9. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ. М.: Мир, 1982.-488 с.

10. Афраймович B.C. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. — М.: Наука, 1987.-213 с.

11. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. М.: Изд. МГУ, 1981.-158 с.

12. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, 1984. - 176 с.

13. Белых В.Н. Элементарное введение в качественную теоршо и теорию бифуркаций динамических систем. //Соросовский образовательный журнал. -1997, № 1. С. 115-121.

14. Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа. М.: Мир, 1979. - 311 с.

15. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминированном подходе к турбулентности: Пер. с франц. — М.: Мир, 1991. 368 с.

16. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов: прогнозирование и управление. Пер. с англ. А.ЛЛевшина. — М.: Мир, 1974. 195 с.

17. Болн Б., Хуань К. Дж. Многомерные статистические методы для экономики. М.: Наука, 1979. 348 с.

18. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1965. - 35 с.

19. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980. - 536 с.

20. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. — 384 с.

21. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966. - 576 с.

22. Вайну Я.Я. Корреляция рядов динамики. М.: Статистика, 1977. - 118 с.

23. Векслер Л.С. Статистический анализ на персональном компьютере. //МИР ПК. 1992, № 2. - С. 89 - 97.

24. Владимирова Л.П. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учебное пособие. М.: Издательский дом «Дашков и К», 2000. — 308 с.

25. Гейл Г. Прикладное экономическое прогнозирование. М.: Прогресс, 1970.-365 с.

26. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Кн. 2. М.: Мир, 1984. - 285 с.

27. Гренджер К., Хатанака М. Спектральный анализ временных рядов в экономике. Пер.с англ. М.: Статистика., 1972. - 312 с.

28. Григорьев С.Г., Перфилов A.M., Левандовский В.В., Юнкеров В.И. Пакет прикладных программ STATISTICA на персональном компьютере. С.Петербург, 1992. - 104 с.

29. Демиденко Е. 3. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981. - 278 с.

30. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его применение. Т.1 М.: Мир, 1971.-316 с.

31. Доклад о социально-экономическом развитии Ставропольского края за 1990 год и XII- ю пятилетку. Ставропольский краевой комитет государственной статистики. Ставрополь, 1991. - 126 с.

32. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: Статистика, 1980. - 289 с.

33. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Статистика, 1973.-388 с.

34. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. — М.: Мир, 1999. 335 с.

35. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.-272 с.

36. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З.и др. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Мир, 1999. - 239 с.

37. Иосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. -М.: Мир, 1983.-301 с.

38. Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Наука, 1997. - 236 с.

39. Касти Дж. Связность, сложность и катастрофы. Пер. с англ. — М.: Мир, 1982.-216 с.

40. Кендэл М. Временные ряды. Пер. с англ. Ю.П. Лукашина. М.:Финансы и статистика, 1979. - 198 с.

41. Кендэл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973. 899 с.

42. Кильдинов Г.С., Френкель А.А. Анализ временных рядов и прогнозирование. М.: Статистика, 1973. - 324 с.

43. Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. М.: Наука, 1994. - 262 с.

44. Костюков В.В., Костюкова Н.И. О коррекции физико-статистических моделей прогноза урожайности сельскохозяйственных культур. //Метеорология и гидрология. 1997, № 10. - С. 98 - 106.

45. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов. М.: ЮНИ-ТИ-ДАНА, 2002.-311 с.

46. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

47. Кузнецов А. П. Наглядные образы хаоса. //Соросовский образовательный журнал. 2000, № 11. - С. 104 - 110.

48. Кулаичев А.П. Пакеты для анализа данных. //МИР ПК. 1995, №1 .-С. 10 -17.

49. Кучин Б.Л., Якушева Е.В. Управление развитием экономических систем: технический прогресс, устойчивость. М.: Экономика, 1990. - 156 с.

50. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Мир, 1984. 528 с.

51. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику: Учеб. руководство. М.: Наука, 1990. - 272 с.

52. Магнус Я.Р., Катышев Л.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М.:Дело, 2000. - 311 с.

53. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 187 с.

54. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблема прогноза. //Вестник российской академии наук.- 2001, № 3. С. 210 - 232.

55. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.

56. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. - 368 с.

57. Математическое моделирование. Методы описания и исследования сложных систем. М.: Наука, 1989. - 293 с.

58. Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия. М.: Финансы и статистика, 1982.-317с.

59. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. - 312 с.

60. Неймарк Ю. И. Методы точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 471 с.

61. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987.-424 с.

62. Нижегородцев P.M. Модели логистической динамики как инструмент экономического анализа и прогнозирования. //Моделирование экономической динамики. М.: Диалог МГУ, 1997. - С. 34 - 51.

63. Николис Г. Динамика иерархических систем. М.: Мир, 1989. - 486 с.

64. Никульчев Е.В., Волович М.Е. Модели хаоса для процессов изменения курса акций. // Exponenta Pro. 2003, № 1. - С. 49 - 52.

65. Отнес Р., Эноксон JI. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. М.: Мир, 1982. - 430 с.

66. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодиче-ская теория. УМН, 1977.- Т. 32. - С.55-112.

67. Петере Э. Хаос и порядок на рынке капитала. М.: Мир, 2000. - 333 с.

68. Половников В.А., и др. Оценивание точности и адекватности моделей экономического прогнозирования. // Математическое моделирование экономических процессов: Сб. науч. трудов. — М.: МЭСИ, 1986. С. 37 - 47.

69. Пригожин И.Р. От существующего к возникающему. М.: Прогресс, 1985. -456 с.

70. Семенов Н.А. Программы регрессионного анализа и прогнозирования временных рядов. М.: Финансы и статистика, 1990. - 111 с.

71. Симо К., Смейл С. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. -Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 304 с.

72. Сиротенко О.Д., Абашина Е.В., Шаахмедов Ш.А. Программирование урожая с помощью динамических моделей. //Вестник с.-х. науки. 1987, № 8. -С. 55-59.

73. Смыкова Н.В. Исследование динамики урожайности зерновой культуры. // Материалы Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики». Ставрополь: Изд-во СГУ, 2002. - С. 461 -465.

74. Снедекор Дж. Статистические методы в применении к исследованиям в сельском хозяйстве. М.: Статистика, 1961. - 456 с.

75. Ставропольский край в цифрах в 1975-80 годах: Статистический сборник. Статистическое управление Ставропольского края. Ставрополь, 1980. - 274с.

76. Ставропольский край в цифрах: Краткий статистический сборник. Ставропольское краевое управление статистики. Ставрополь, 1988. - 185 с.

77. Ставропольский край в цифрах: Краткий статистический сборник. Ставропольское краевое управление статистики. Ставрополь, 1989. - 214 с.

78. Ставропольский край в цифрах: Краткий статистический сборник. Ставропольское краевое управление статистики. Ставрополь, 1993. - 210 с.

79. Ставропольский край в цифрах: Краткий статистический сборник. Ставропольское краевое управление статистики. Ставрополь, 1994. - 210 с.

80. Ставропольский край в цифрах: Статистический сборник. Ставропольский краевой комитет государственной статистики. Ставрополь, 1998. - 191 с.

81. Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. - 301 с.

82. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: Наука, 2001.-318 с.

83. Тихонов Э. Е. Методы и алгоритмы прогнозирования экономических показателей на базе нейронных сетей и модулярной арифметики. Автореферат дис. на соискание ученой степени канд. техн. наук. Ставрополь: СевКавГТУ, 2003. - 154 с.

84. Томсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985.-254 с.

85. Трубецков Д.И. Турбулентность и детерминированный хаос. //Соросовский образовательный журнал. 1998, № 1. - С. 77 - 83.

86. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. / Под ред. В.Э. Фигурнова. М.: ИНФА-М, 1998. - 528 с.

87. Фейгенбаум М. Универсальное поведение нелинейных систем. //УФН, т. 141, вып. 3, 1983. С. 343 - 374.

88. Фейгин М.И. Бифуркационный подход к исследованию динамической системы. //Соросовский образовательный журнал. 2001, № 2. - С. 121 - 127.

89. Ферстер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. М.: Финансы и статистика, 1983. - 302 с.

90. Франс Дж., Торнли Дж.Х.М. Математические модели в сельском хозяйстве. М.: Агропромиздат, 1987. - 564 с.

91. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985. - 423 с.

92. Хенан Э. Дж. Анализ временных рядов. М.: Статистика, 1964. - 215 с.

93. Хенан Э.Дж. Многомерные временные ряды. М.: Мир, 1986. - 575 с.

94. Холодниок М., Клич А., Кубическ М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей М.: Наука, 1994 - 287 с.

95. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.А., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наук, думка, 1986.-280 с.

96. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. - 240 с.

97. Эконометрика: Учебник. /Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2003. - 344 с.

98. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of strange attractors. //Phys. Rev. Lett.- 1983, V. 50 P. 346-349.

99. Kantz H., Schreiber T. Nonlinear time series analysis. Cambridge University Press, 1997. - 304 p.

100. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow. // Journ. of the Atmospheric Science. 1963, V. 20. - P. 130-141.

101. Mullin T. The nature of chaos. Oxford: Clarendon press, 1994. - 314 p.

102. Sornette D., Johansen A. Large financial crashes. // Physica A. 1997, V. 245. № 3-4.

103. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. //Dynamical Systems and Turbulence. Lecture Notes in Mathematics, edited by D.A.Rand L.S.Young. — Springer-Verlag, 1985. P. 366 - 381.

104. Takens F. Distinguishing deterministic and random systems // Nonlinear dynamics and turbulence. Ed. G. I. Barenblatt, G. Jooss, D. D. Joseph. N. Y.: Pitman, 1983.-P. 314-333.

105. Tukey J.W. The future of data analysis. //Annual Mathematical Statistics. -1967, vol. 33.

106. Waldrop MM. Complexity: The emerging science at the edge of order and chaos. New York: Touchstone, 1993. - 278 p.

107. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series.// Physica D. 16 -1985, №3. P. 285 - 317.

108. Волович М.Е. Программные средства и алгоритмы идентификации и исследования динамических систем по временным рядам. Режим доступа, http: //www.do.sssu.ru/phorum/read.phpf7.html. 14.02.2004.

109. Дмитриева JT.A., Куперин Ю.А., Сорока И.В. Методы теории сложных систем в экономике и финансах. Режим доступа, http://is2001.icape.ru/thesset. html. 14.02.2004.

110. Идентификация параметров хаотических процессов в экспериментальных исследованиях. Режим доступа, http://neumews.iu4.bmstu.ru/neumews.html. 08.10.2002.

111. Информация о компании ОАО "Лукойл". Режим доступа. http://www.lucoil.ru /vivovoco/W/JOURNAL//about.html. 26.06.2004.

112. Махортых С.А., Сычев В.В. Стохастические характеристики аттракторов. Режим доступа. http://www.impb.ru/idproj&idlfractan/fractl2.html. 22.05.2003.

113. Основные возможности пакета STATISTICA. Режим доступа, http: //www.statsofl.ru/STATISTICA.HTM. 08.10.2002.

114. Поршнев С.В. Моделирование хаотического поведения динамических систем. Режим доступа, http://www.exponenta.ru/educat/systemat/porshnev/chaos /chaos.asp 2.08.2004.