Обратные задачи хаотической динамики и проблемы предсказуемости хаотических процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Бутковский, Олег Ярославович

• Бутковский, Олег Ярославович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бутковский, Олег Ярославович

Введение.

1. Концепция частичной предсказуемости физических процессов

1.1. Введение. Реальный, наблюдаемый и модельный процессы. 1.2. Степень предсказуемости и время предсказуемости. Концепция частичной предсказуемости.

1.3. Изменение степени предсказуемости по мере совершенствования прогностической модели. Горизонт предсказуемости хаоса.

1.4. Основные результаты главы 1.

2. Пределы предсказуемости линейных и нелинейных авторегрессионных моделей

2.1 .Введение.

2.2 Принципиальные ограничения времени предсказуемости линейных авторегрессионных методов.

2.2.1. Авторегрессия первого порядка.

2.2.2. Процессы случайной (не динамической) природы.

2.2.3. Дискретные хаотические последовательности.

2.2.4. Многомерные непрерывные динамические процессы.

2.3. Линейные и нелинейные авторегрессионные модели с точки зрения предсказуемости. Нелинейные авторегрессионные модели.

2.3.1. Процессы случайной (нединамической) природы.

2.3.2. Дискретные модели. Одномерные отображения.

2.3.3. Многомерные непрерывные динамические процессы.

2.4. Запаздывающие корреляции между шумом и ошибкой прогноза хаотических систем.

2.4.1. Влияние шумов на ошибку прогноза в дискретных системах.

2.4.2. Линейный этап: экспоненциальный рост.

2.4.3. Нелинейный этап: насыщение и спад корреляций.

2.5. Основные результаты главы 2.

3. Применение дискриминантного анализа для решения задач реконструкции нестационарных хаотических систем

3.1. Введение.

3.2. Дискриминация случайных событий.

3.3. Модификация алгоритма для решения задач реконструкции.

3.3.1. Скалярный вариант.

3.3.2. Векторный вариант.

3.4. Примеры реконструкция нестационарных временных рядов.

3.4.1. Одномерные отображения.

3.4.2. Многомерные процессы.

3.4.3. Детектирование особенностей фазовых траекторий.

3.5. Влияние шумов на качество реконструкции.

3.6. Основные результаты главы 3.

4. Оценка погрешности реконструкции хаотических временных рядов.

4.1. Введение.

4.2. Основные источники погрешностей.

4.3. Анализ алгоритма восстановления модельного отображения методом наименьших квадратов.

4.4. Анализ погрешностей.

4.5. Время предсказуемости и оптимальная длина выборки.

4.6. Иллюстрации. Поведение квадратичного функционала погрешности.

4.7. Результаты главы 4.

5. Проблемы предсказуемости при бифуркационных переходах в присутствии шумов

5.1. Введение.

5.2. Динамические бифуркации и явление спонтанного нарушения симметрии.

5.3. Стохастический и динамический сценарии бифуркационных переходов. Граница адиабатичности.

5.4. Зоны притяжения конечных состояний.

5.5. Динамика флюктуаций в точках бифуркаций.

5.6. Результаты главы 5.

6. Применение методов хаотической динамики в био- медицинских исследованиях.

6.1. Введение.

6.2. Возможность оценки состояния пациентов при стрессе по степени хаотичности.

6.2.1. Клинические исследования.

6.2.2. Изменение степени хаотичности при стрессе (метод П.С.Ланда и М.Розенблюма).

6.2.3. Динамика степени хаотичности при нагрузочном стрессе (двухпара-метрический метод оценки).

6.3. Применение дискриминантного анализа для оценки аэробно-анаэробного порога.

6.4. Основные результаты главы 6.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные задачи хаотической динамики и проблемы предсказуемости хаотических процессов»

Проблема восстановления динамических уравнений процессов из временных рядов возникла в теории динамических систем около 40-50 лет тому назад и связана с именами А.Н. Колмогорова, Н. Винера и Дж. Габора. Основной подход к решению этой проблемы, которая известна также как обратная задача нелинейной динамики, состоит в "подгонке" дифференциального уравнения или системы уравнений определенного класса к экспериментальным данным. Состояние вопроса о восстановлении дифференциальных уравнений в "дохаотическую" эпоху отражено в монографиях [1-5].

Особенность хаотических систем, которые стали предметом всеобщего интереса в 80 - 90-х годах, состоит в их исключительно высокой чувствительности к малым возмущениям, в том числе к шумовым воздействиям, присутствующим в любых физических системах. Малые возмущения в хаотических системах нарастают по экспоненциальному закону и довольно быстро достигают размеров аттрактора. Эта особенность хаотических систем получила название локальной неустойчивости. Несмотря на свойство локальной неустойчивости, хаотические системы все же допускают восстановление динамических уравнений на основе стратегии реконструкции, разработанной ранее для нехаотических динамических систем. Разумеется, свойство локальной неустойчивости не может не отразиться на качестве восстановления дифференциального уравнения: время предсказуемости, то есть интервал времени, на котором восстановленное уравнение обеспечивает удовлетворительное предсказание поведения наблюдаемой системы, для хаотических систем оказывается заметно более коротким, чем для нехаотических систем.

Ранние попытки восстановить динамические уравнения системы из хаотических временных рядов в отсутствие шумов были предприняты Кремерсом и Хублером [6], Кратчфильдом и МакНамарой [7], Бриденом и Хуб-лером [8], Гусбэ [9], Брашем и Кадтке [10] и рядом других исследователей.

В последующих работах [11-13], в первую очередь в работах с участием автора данной диссертации, реконструкция модельных уравнений производилась уже с учетом шумов. Различные подходы к проблеме восстановления уравнений из зашумленных экспериментальных данных освещены в работах [16,17], опубликованных в книге "Predictability of Complex Dynamical Systems", J.B.Kadtke, Yu.A.Kravtsov, Eds., Springer, 1997. Общая характеристика методов восстановления дана также в представительном обзоре Павлова и Янсон, посвященном задачам восстановления динамики из электрокардиограмм [18], в нашем обзоре [92] и в недавно вышедших книгах: Анищен-ко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем., Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Neiman A.B., Vadi-vasova Т.Е., L. Schimansky-Geier, Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. Tutorial and Modern Development. Springer, Berlin, Heidelberg, 2002.

Рассмотрим более подробно основные процедуры восстановления динамических уравнений из временных рядов. Для этого определим вектор состояния следующим образом.

Пусть датчик регистрирует дискретные значения одномерного временного ряда y{t), который может характеризовать процессы произвольной физической природы (механические, электрические, химические, биологические и др.). Задача состоит в том, чтобы на основе одномерного ряда y{t) восстановить динамическое уравнение (или систему уравнений), которое предположительно описывает исследуемую систему.

При выявлении динамических закономерностей из экспериментальных временных рядов опираются либо на дискретные модели, описываемые разностными уравнениями (отображениями), либо на непрерывные модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. В первом случае экспериментальные данные изначально представлены дискретными отсчетами уу,/=1,2,.,п, тогда как во втором случае производится замена непрерывного процесса у{() дискретными отсчетами по правилу в.1) где у - номер отсчета, момент начала измерений, величина А - интервал между отсчетами (интервал дискретизации).

Предположим, что наблюдаемая величина у порождается некоторой динамической системой и является либо одной из её переменных, либо скалярной функцией от них. Набор параметров, характеризующих динамику поведения хаотической системы, принято называть вектором состояния системы.

Задача состоит в том, чтобы по одномерному временному ряду: a). Восстановить фазовый портрет (вид аттрактора) изучаемой системы; b). Восстановить динамические уравнения, в каком-либо приближении описывающие поведение исходной системы.

Для решения задачи (а) в работе [22] был предложен метод задержанных переменных, согласно которому вектор состояния восстанавливался по формуле где N - размерность вложения, А- задержка вложения. Для дискретного временного ряда задержка выражается через целое число к шагов дискретизации Д'= кА, а вектор состояния записывается следующим образом:

У = {у]>у У }+2к >■>•••■> У

Такенс [23] углубил этот результат, показав, что в отсутствие шумов и при размерности вложения N>2(3+1, где с! - фрактальная размерность исследуемой хаотической системы, множество (2) топологически эквивалентно аттрактору системы (см. также [24]). Теорема Такенса подготовила почву для построения алгоритмов предсказания хаотических процессов с использованием сведений о динамической природе наблюдаемого временного ряда [2528].

Вектор состояния (В.2), составленный из дискретных задержанных отсчетов (В.1), имеет преимущества при построении конечно-разностных уравнений, описывающих исследуемую систему. Для большинства физических систем, которые описываются не разностными, а дифференциальными уравнениями, в качестве вектора состояния вместо (В.2) удобнее брать совокупность производных исследуемого процесса где У"'' означает производную п-го порядка: у(п)(0 = с1пу(0/с1Г, а под производной нулевого порядка понимается сама наблюдаемая функция Х0- Метод последовательного дифференцирования с использованием вектора состояния (В.З), довольно часто используется в литературе (см., например [7,8,11-14,29]).

Фактически производные у^п) наблюдаемого процесса у{/) вычисляются через конечные разности, скажем

У"+1)(0 = У(' + Л)-/'(0М.

В.4)

Очевидно, точность вычисления производных тем хуже, чем больше уровень шумов и больше интервал дискретизации Д. Поэтому действие (В.4) является самым ненадежным элементом во всей процедуре восстановления динамических уравнений.

Кроме упомянутых алгоритмов имеются и другие возможности введения вектора состояния. Так, наряду с эквидистантными отсчётами (1) в принципе можно использовать не эквидистантные измерения [30]. В работе [31] (а также [20]) в число компонент вектора состояния предложено ввести ещё интеграл от наблюдаемой переменной у(/), что способствует стабилизации численных процедур.

Относительно оптимального выбора интервала дискретизации А единого мнения в литературе не существует. Так, при формировании вектора задержанных переменных рекомендуется выбирать интервал А из условия минимизации функции минимума взаимной информации [32, 33] или же логарифм корреляционного интеграла [34]. Самое важное, что в обоих случаях мы имеем дело с интервалами порядка времени корреляции т . В руководствах по методам идентификации динамических систем (например в [1]) интервал А рекомендуется выбирать равным (0,2 + 0,3)ткорр. Такой выбор согласуется с требованиями теоремы Котельникова, согласно которой интервал дискретизации А не должен превышать величину 1/(2/), где 2/ - эффективная ширина спектра сигнала: А <1/(2/). Более подробно этот вопрос будет обсуждаться в главе 2.

Независимо от метода восстановления модели - при помощи вектора состояния (В.2), составленного из задержанных переменных, или же при помощи вектора (В.З), составленного из производных исследуемого процесса, речь идет о восстановлении динамических уравнений (разностных или дифференциальных) во всем фазовом пространстве, т.е. о восстановлении глобальной модели.

Важным элементом процедуры восстановления динамических уравнений по экспериментальным данным является предварительная оценка размерности исследуемого хаотического процесса, то есть оценка эффективного числа степеней свободы, вовлеченных в динамический процесс.

Как известно, хаотические аттракторы характеризуются фрактальной размерностью с1 [35, 36]. Вычислению фрактальной размерности ¿/ непосредственно из экспериментальных данных посвящена обширная литература, представление о которой дают работы [37-43]. Располагая фрактальной размерностью с1, можно оценить размерность вложения N по формуле Такенса N>2(1+1, хотя эта оценка часто оказывается завышенной [43]. В этих условиях часто прибегают к упрощенным оценкам размерности вложения, используя, например, корреляционную размерность [18, 32, 34, 44-47].

Эффективный способ оценки размерности опирается на вычисление ковариационной матрицы, которая составляется из отсчетов ук. = у^к +(у-1)д], сделанных в моменты времени 1к. Ковариационная матимеет размерность пхп. Удобные алгоритмы оценки размерности по матрице Ск1 были предложены Грассбергером и Прокаччиа [48], Брумхэдом и Кингом

49], Ланда и Розенблюмом [46]. Простой и не требующий больших массивов алгоритм Ланда и Розенблюма [46] опирается на вычисление собственных значений д1 ковариационной матрицы (В.5).

Численным моделированием было установлено, что зависимость логарифма нормированных собственных чисел <5. = Я./^Я. от их номера / испытывает излом наклона при некотором значении N (рис. В.1.), которое и рерица

В.5) комендуется принять за верхнюю оценку размерности системы (размерность вложения). Считается, что при переходе от малых значений /, для которых характерен большой наклон кривой к большим значениям />Л^, где наклон кривой 1пд{}) меньше, происходит уменьшение удельного веса "новых" переменных с по сравнению с "базовыми" переменными , отвечающими 1<Ы.

Имеются и другие способы оценить размерность, например, с использованием "старых" приемов, развитых в математической статистике [50]. Во всех случаях оценка размерности выступает как экспериментальная величина.

Модельное уравнение порядка N с полиномиальной нелинейностью. Оценив размерность системы, можно приступить к подгонке модельного уравнения к временным рядам. При такой подгонке нелинейные слагаемые в дифференциальных уравнениях чаще всего аппроксимируются полиномами, хотя возможны и иные аппроксимации нелинейных функций, например, кусочно-линейные или кусочно-непрерывные функции. Выбор аппроксимирующих функций диктуется, прежде всего, априорными сведениями о системе.

Если априорные данные о структуре системы отсутствуют, то полиномиальная аппроксимация выступает как разумное начальное приближение, которое может быть уточнено или даже заменено иным, лучшим приближе нием по мере накопления данных о системе в процессе реконструкции. Конечным результатом реконструкции является определение коэффициентов при нелинейных слагаемых в уравнениях определенного класса. Ы о-,-,-,-,

4-----------------1------------

-8-------'-------!-------!----- N \ | |

-10-1-1-1-1

0 2 4 6 8 10 г

Рис.В. 1. К оценке размерности системы N при помощи собственных чисел корреляционной матрицы. Кривая 1 -зависимость собственных чисел для случайного процесса. Кривая 2 - зависимость собственных чисел для Л"-компоненты системы Рёсслера в хаотическом режиме. Вертикальные линии показывают границы излома, по которому оценивается размерность системы

11 р

- У / ®

1 ЛГ 1

Таким образом, решение обратной задачи нелинейной динамики сводится, в сущности, к параметризации модельного уравнения заданного класса путем наилучшего (в том или ином смысле) согласования модели с экспериментальными данными.

Ниже пойдёт речь преимущественно о восстановлении дифференциальных уравнений системы. Отметим, однако, что приёмы восстановления разностных уравнений во многом подобны приемам реконструкции дифференциальных уравнений [18].

Весьма общее модельное уравнение системы может быть представлено в форме полинома от компонент модельного вектора состояния где под г^ понимается п-я производная модельного процесса гр), а под го - сама переменная Компактная запись модельного дифференциального уравнения имеет вид

Здесь (/,„ - мономы (одночлены), составленные из степеней а

А=(А/,.,Ам) - М-компонентный вектор коэффициентов, подлежащих определению.

В силу однородности уравнения (В.6) относительно Ат один из коэффициентов Ат может быть выбран произвольно. Чаще всего полагают равным

В.6) т единице коэффициент при старшей производной г^О- Тогда остальные коэффициенты находятся из уравнения (В.6), если в качестве модельных значений вектора подставить в (В.6) экспериментальные данные у{(), соответствующие моментам времени :

Е^-МЦ^-О. (В.7) т

Число М неизвестных коэффициентов Ат быстро растет с увеличением порядка дифференциального уравнения N и степени нелинейности 5. Например, полное (с учётом всех возможных комбинаций) уравнение третьего порядка (N=3) с кубичной нелинейностью С?=3) имеет вид о + ЛиЗД +.+ Лз*з2)+ (В.8). (Люо^о + ^оо\2о 2 \ +"- + ^ззз2з) = 0

Это уравнение содержит 35 коэффициентов, а если положить А3= 1, чтобы третья производная = с1гг!вошла в уравнение (В.8) с единичным коэффициентом, то число неопределенных коэффициентов составит 34. Таким образом, число отсчетов в данном случае не может быть менее М= 34.

По мере увеличения N и 5 число коэффициентов М, подлежащих определению, катастрофически (факториально) возрастает: оно оценивается как М=(Ы+з+ 1)!/(5+1)!7У!. При переходе от N = ^ = Ък к N=5=4 оно увеличивается от 35 до 126, при N=3=5 достигает 462, а при N=8=6 переваливает за тысячу: М=1716! Столь стремительный рост числа неопределенных коэффициентов приводит не только к значительным техническим трудностям при их вычислении (фактически речь идет об обращении матриц высокой размерности), но и к принципиальным затруднениям познавательного характера. Если бы технические трудности удалось преодолеть, т.е. если бы имелась возможность быстро и надежно вычислить огромное число коэффициентов, то польза от такой громоздкой модели была бы сомнительной, поскольку сама модель становится чрезвычайно сложным объектом для изучения. Такая модель имела бы плохо обозримое пространство параметров, которым, к тому же, весьма трудно придать определенный физический смысл. Сказанное заставляет ограничиваться малоразмерными модельными уравнениями и максимально использовать всю доступную априорную информацию об исследуемой системе, чтобы предельно упростить модельное уравнение и уменьшить число коэффициентов, подлежащих определению.

По минимуму число временных отсчетов п должно соответствовать числу М неопределенных коэффициентов. Если учесть необходимость определения производных до А^-го порядка, то к М следовало бы добавить еще 2И отсчетов (по N дополнительных отсчетов в начале и конце выборки), так что минимальная длительность выборки должна составить птЫ = М+2М. (В.9)

В действительности из-за присутствия шумов длительность выборки приходится увеличивать по сравнению с (В.9), поскольку восстанавливаемые коэффициенты Ат могут испытывать существенные флуктуации. В этих условиях для оценки неизвестных коэффициентов Ат приходится либо усреднять значения Ат по нескольким соседним выборкам длиной М+2/У [11-13], либо брать избыточное (по сравнению с М) число отсчетов п и оценивать затем Ат по методу наименьших квадратов, как это было предложено еще в ранних работах [6] и [7], а также в работе [18].

Модельная система N уравнений первого порядка. Кроме описанного подхода, использующего одно модельное уравнение А^-го порядка (6), возможен и несколько иной подход к выбору модельных уравнений, опирающийся на теорему Такенса [23]. Согласно [23] решение у(^) динамической системы весьма общего вида допускающей существование аттрактора размерности может быть плавным образом отображено на решение лс(/) более простой системы х ^2. = х = /(*), (В. 10)

Л 2 Л Л размерности N>2(1+1. Поэтому система уравнений (В. 10) также может служить удовлетворительной моделью для многих динамических систем.

Указанный подход можно реализовать, например, следующим образом [11,12,16]. Пусть Б] - собственные векторы ковариационной матрицы (В.5). Тогда произвольный вектор состояния У можно разложить по собственным векторам корреляционной матрицы ("оптимальный" базис) и ограничиться в этом разложении членами, соответствующими размерности системы №

У = 17,$+17А+. + 17А. (В.11)

Коэффициенты этого разложения %, найденные из временного ряда у^, могут служить новыми переменными вместо Уу Поведение коэффициентов щ можно тогда моделировать при помощи переменных подчиняющихся системе уравнений первого порядка вида (В. 10):

Ь3 (В.12)

Нелинейность системы описывается здесь дробно-рациональной функцией где Ф и £ представляют собой полиномы от компонент вектора £=(£/,с неопределенными коэффициентами Вь и С*, объединенными в векторы В и С. Для полинома g(£,C ) можно ограничиться невысокой (скажем, второй) степенью нелинейности. Общее число коэффициентов Вк и Ск, подлежащих определению, может оказаться даже меньше, чем число коэффициентов Ат в уравнении (В.6).

При численном решении системы уравнений (В. 12) приходится преодолевать технические трудности, связанные с наличием полюсов у функции Специальные процедуры, необходимые для преодоления этих трудностей, описаны, например в работе [28]. На практике дробно-рациональные функции в уравнении (В. 12) целесообразно использовать только при наличии априорной информации, да и в этом случае дробно-рациональную функцию часто можно успешно аппроксимировать полиномом.

Другие подходы. Указанными двумя подходами (уравнение порядка N вида (В.6) и система N уравнений первого порядка вида (В. 12)), использующими полиномиальные аппроксимации нелинейных функций, не исчерпывается все разнообразие приемов, предложенных к настоящему времени.

Следует упомянуть также метод решения краевых задач, заключающийся в подгонке дифференциальных уравнений к экспериментальным данным [51], использование критерия минимальной длины описания для выбора оптимальной модели [15, 52-56], метод радиальных функций [15], использование ортогональных полиномов [6] для аппроксимации нелинейностей, критерий минимума энтропии модели [7], процедуру синхронизации модели экспериментальными данными [57].

Кроме полиномиальных моделей иногда применяются также кусочно-линейные функции, но их использование, как правило, обусловлено наличием априорной информации [58, 59, 80].

В ряде случаев, когда измеряется не одна, а несколько компонент исследуемого процесса (скажем, скорость и температура или ток и напряжение), модельную систему уравнений следует видоизменить таким образом, чтобы появилась возможность согласовать систему уравнений с несколькими временными рядами [60]. Разумеется, наличие дополнительного информационного канала способствует улучшению качества восстановления.

В случае неавтономных систем задача восстановления уравнений существенно усложняется. В настоящее время нам известно только о двух удавшихся попытках восстановления неавтономной системы [61,62].

Дополнительные процедуры. Кроме упомянутых методов иногда применяют и другие. Прежде всего, следует упомянуть предварительную фильтрацию экспериментальных данных, применяемую иногда для снижения влияния высокочастотных шумов [49, 63, 64, 11-14]. Этот прием требует определенной осторожности, так как побочным результатом фильтрации может оказаться искажение самого динамического процесса. В целом его следует признать малоэффективным и в ряде случаев вредным [20].

При анализе зашумленных данных или же при использовании малоразмерных моделей в анализе заведомо высокоразмерных процессов восстановленные коэффициенты Ат часто испытывают сильные флуктуации. В этих условиях кроме усреднения коэффициентов Ат по нескольким выборкам, целесообразно применять также процедуру исключения "ненадежных" коэффициентов, флуктуации которых ААт заметно превышают среднее значение Ат [11-14]. Практический опыт показывает, что исключение (т.е., фактически, зануление) ненадежных коэффициентов часто уменьшает вариации других, более надежных коэффициентов.

Наконец, в ряде случаев целесообразно проверять восстановленные уравнения на глобальную устойчивость [11-14, 16].

Примеры. В качестве первого примера рассмотрим аттрактор Рессле-ра, находящийся под внешним шумовым воздействием [60, 65] где /1,2,3 - шумовые компоненты. Для получения исходной реализации система уравнений (В. 13) интегрировалась с добавлением на каждом шаге интегрирования шума с гауссовым распределением. Таким образом, для демонстрации возможностей процедуры восстановления в качестве наблюдаемого процесса использовались полученные реализации, например:х1 + =

Уравнение третьего порядка, эквивалентное системе трех уравнений (В. 13), описывающих аттрактор Ресслера, в отсутствие шумов имеет вид

На рис. В.2. приведены результаты реконструкции систем Рёсслера и Лоренца в хорошо приспособленном базисе [11, 13] Время предсказуемости аттракторов на основе восстановленных уравнений по наблюдаемой компоненте оказалось достаточно большим: оно в 3,5 раза превышало интервал корреляции г , который составлял ~12 единиц безразмерного времени. у = х + ау + /2,

В.13) г = Ь-сг + хг + /3

-'¿' + а'г - г)(г -с-а) + (с + а)(аг -г - г ~Ь)~ - Ь{г -с-а) +(г-с- а)(г - с)(аг -'¿ — 2 — Ь) = 0.

В. 14). а)

Л',

Л" м лИvv^ДллAГ

ЛАгулАЛЛГ м М щщш л* м л/\/ --\/\/г

Рис. В2. Пример реконструкции систем Лоренца (верхний рисунок) и Рёсслера (нижний рисунок) в хорошо приспособленном базисе по одной наблюдаемой компоненте х [13]. Справа на рисунке представлены графики реализаций компонент исходной системы: Хг,Уг,2г и ХМ,УМ,2М компоненты реконструированной системы. Слева показаны исходные (а) и реконструированные (Ь) фазовые портреты.

Однако при использовании метода хорошо приспособленного базиса не возможно восстановить истинные переменные и модель в истинном виде (для системы Ресслера это уравнения В.13 или В. 14).

Разнообразные иные примеры восстановления приведены в публикациях [6-17, 28, 57] и ниже в главе 4. Поучительные примеры и аспекты восстановления динамики имеются также в работах [67-71, 80 и многих других].

В большинстве публикаций описано восстановление процессов, которые генерировались компьютером в присутствии шумов. В этих условиях "наблюдаемый" процесс у(/) описывался уравнениями заведомо не высокого порядка, что и гарантировало успех восстановления.

Гораздо более трудную проблему представляет восстановление уравнений для реальных процессов, в первую очередь, для медико-биологических объектов.

Попытки такого рода были предприняты, в частности, сотрудниками кафедры радиофизики Саратовского государственного университета [19-21, 29, 67] под руководством проф. В.С. Анищенко. Анализ полученных результатов, проведенный в обзорной работе [18], показал, что процедуры восстановления в состоянии выявить "основную", "устойчивую" часть математической модели, тогда как многие детали остаются не раскрытыми. В конечном итоге главная трудность состоит в том, что исследуемые медико-биологические процессы, как правило, имеют более сложную природу, чем это заложено в моделях: более высокая размерность, нестационарность, неавтономность и др.

За истекшее время предложен ряд новых методов решения обратных задач и сделаны попытки применения этих методов в радиофизике, медицине, экономике и социальных науках. Работы по моделированию динамических систем с хаотическим поведением активно ведутся в Саратовском государственном университете, Нижегородском государственном университете, Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова, Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Институте прикладной физики РАН, Саратовском отделении института радиотехники и электроники РАН, а также в ряде зарубежных научных центров, в том числе в университетах Сан-Диего (США), Ланкастера (Великобритания) и Потсдама (Германия).

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Работа относится к одному из перспективных направлений радиофизики - реконструкции динамических систем по наблюдаемым временным рядам, которое известно также как обратная задача нелинейной динамики.

Задача получения динамического описания хаотических систем по экспериментальным данным становится в последние годы все более актуальной в связи с насущной необходимостью в предсказании поведения нелинейных систем, модели которых находят всё большее применение в радиофизике, в биологии, медицине, химии, астрономии и т.д. Прогностические критерии, разработанные в перечисленных областях знания, опираются в основном на статистические методы и являются уже недостаточными. Развитие науки требует создания новых методов, основанных на использовании динамического описания исследуемых систем, одним из которых является метод глобальной реконструкции динамических систем по экспериментальным данным.

Несмотря на большое число работ, посвященных методу глобальной реконструкции, в большинстве работ рассматриваются в основном стационарные случаи и автономные системы, т.е. системы с постоянными параметрами. На настоящий момент число публикаций, в которых описывается применение метода глобальной реконструкции к сигналам, порожденным нестационарными или неавтономными системами, мало (B.C. Анищенко, А.Н. Павлов [59], Б.П. Безруч-ко [62] и др.). В этих работах, фактически, используется метод глобальной реконструкции на минимально необходимом для усреднения временном интервале или какая-либо априорная информация о характере неавтономности системы, т.е. характер нестационарного поведения отслеживается по изменению абсолютных значений коэффициентов реконструируемой модели.

Если провести аналогию между процессом измерения физических величин и процессом реконструкции как "процессом измерения" коэффициентов модели, то можно определить применяемые авторами методы реконструкции нестационарных динамических систем как прямые или абсолютные, которые по своей сути слабо чувствительны к малым изменениям восстанавливаемых параметров системы. Для регистрации малых изменений физических величин, как правило, используются разностные (потенциометрические) методы, или методы сравнения. При измерениях такими методами фиксируют не саму величину, а её отклонение от некоторой опорной величины, что значительно повышает чувствительность к обнаружению изменений. Таким образом, разработка разностных методов глобальной реконструкции чувствительных к малым изменениям управляющих параметров является совершенно неразработанным и актуальным направлением.

В любой отрасли знаний при разработке новых методов исследования всегда актуален вопрос о границах их применимости. Таким вопросом при моделировании является определение границ предсказуемого поведения. Можно ли восстановить динамические уравнения из экспериментальных временных рядов? Можно ли на основе восстановленных уравнений делать эффективные прогнозы? Что ограничивает время прогноза? Эти актуальные для развивающегося направления нелинейной науки проблемы и определили основную цель настоящей работы.

Цели работы

1. Исследование предела предсказуемости (горизонта предсказуемости) нелинейных динамических систем с хаотическим поведением при решении задач реконструкции. Выявление фундаментальных ограничений предельного времени предсказания при использовании линейных и нелинейных авторегрессионных моделей для построения прогноза поведения нелинейных динамических систем с хаотическим поведением.

2. Разработка разностных методов глобальной реконструкции нестационарных хаотических систем по наблюдаемым временным рядам, основанных на дискриминации моделей в пространстве состояний.

3. Определение оптимального времени усреднения и времени дискретизации наблюдаемых временных рядов, обеспечивающих максимальное приближение к горизонту предсказуемости при реконструкции хаотических систем.

4. Анализ предсказуемости при переходе через точки бифуркаций в присутствии шумов в нестационарных нелинейных динамических системах и выявление условий, при которых переход становится предсказуемым.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые на основе единой концепции "частично-детерминированного хаоса", основанной на соглашении, что в качестве признака случайности (детерминированности) выбирается непредсказуемость (предсказуемость) наблюдаемого процесса на основе определённой прогностической модели или класса моделей:

•получена оценка предельного времени предсказуемости - "горизонта предсказуемости" - для хаотических временных рядов с учётом шумов;

•аналитически и численно исследованы предельные возможности и получены фундаментальные ограничения времени предсказуемости авторегрессионных моделей при описании наблюдаемых временных рядов хаотических систем;

•аналитически установлены оптимальное время дискретизации и оптимальное время усреднения для получения максимального времени предсказуемости для нелинейных дискретных отображений;

• предложен метод различения случайных и хаотических процессов по отношению времени предсказуемости к радиусу корреляции наблюдаемых временных рядов

2. Разработан оригинальный разностный дискриминантный метод глобальной реконструкции нестационарных хаотических систем как по одномерному, так и по многомерным наблюдаемым временным рядам, который позволяет выявлять в наблюдаемых нестационарных хаотических процессах, как резкие скачки, так и плавные изменения управляющих параметров. Кроме этого алгоритм позволяет сравнивать модели наблюдаемого процесса не только в разные временные интервалы, но и от разных временных рядов (например, один из которых может быть от опорной или эталонной системы). Эта возможность практически реализована при построении приёмника в хаотических каналах связи.

3. В результате исследований проблемы предсказуемости при переходе нелинейной динамической системы через точки бифуркаций:

•обнаружено и исследовано новое явление - явление динамического нарушения вероятностной симметрии, при котором переход становится предсказуемым;

•расширено понятие адиабатичности бифуркационных переходов с учётом интенсивности флуктуаций, т.е. показано, что с точки зрения предсказуемости условие адиабатичности (медленности) перехода определяется не только скоростью перехода, но и уровнем внутренних шумов;

•аналитически и численно определена граница между стохастическим (непредсказуемым) и динамическим (предсказуемым) сценариями переходов и обнаружено явление разбиения плоскости начальных состояний на зоны притяжения конечных постбифуркационных состояний.

4. На реальных данных Я-Я интервалов (времени кардиоциклов сердца), показано:

• что по изменению коэффициентов реконструируемой малоразмерной нелинейной динамической модели с коэффициентами, являющимися значимыми для всей группы пациентов, можно оценивать один из важнейших клинических показателей - аэробно-анаэробный порог, определение которого традиционными клиническими методами требует дорогостоящей аппаратуры;

•величина степени хаотичности и размерность последовательности Я-Я интервалов, фазовые портреты функций последования пациентов кардиореанимационного отделения в состоянии близком к критическому на фоне лечения могут использоваться в качестве индикаторов состояния.

Создан комплекс компьютерных программ, реализующий разработанные процедуры.

Практическая значимость работы определяется возможностью применения полученных оценок и разработанных методов для решения задач реконструкции нелинейных стационарных и нестационарных динамических систем и выявление изменений управляющих параметров по наблюдаемым временным рядам. В частности, разработанный автором метод реконструкции нелинейных нестационарных динамических систем на основе дискриминации моделей в пространстве состояний был положен в основу приёмника для хаотических каналов связи со следящим дискриминатором, который разрабатывался совместно с коллективом под руководством М.В. Капранова (МЭИ) для выявления медленной и быстрой составляющих переменного управляющего параметра. Программный комплекс, разработанный совместно с аспирантом О.Л. Аносовым на основе дискриминантного анализа и методов оценки степени хаотичности, использовался во Владимирском кардиоцентре при исследованиях нарушений в сердечно-сосудистой деятельности наряду со стандартными комплексами для кардиологических исследований.

Полученные фундаментальные ограничения времени предсказуемости линейных авторегрессионных моделей временем корреляции процесса представляют интерес для широкого круга теоретических и практических задач радиофизики и смежных областей, определяя стратегию выбора моделей и методов анализа, решения задач прогнозирования.

Разработанные процедуры и компьютерные программы восстановления моделей и обнаружения нестационарного поведения управляющих параметров хаотических систем могут быть использованы для исследования широкого класса радиофизических, медико-биологических, метеорологических, геофизических и других явлений для построения нелинейных динамических моделей процессов. На их основе могут быть созданы эффективные методы и приборы диагностики состояния и предсказания поведения нелинейных динамических систем.

Основные результаты работы и положения, выносимые на защиту

1. Получено соотношение, определяющее "горизонт предсказуемости" для нелинейных динамических систем с хаотическим поведением с учётом основных факторов: измерительного шума, внутреннего шума и неточности модельного оператора. На основе полученной оценки предложен критерий выявления динамики из наблюдаемых временных рядов по соотношению между временем корреляции и временем предсказуемости.

2. Аналитически и численно выявлены фундаментальные ограничения на время предсказуемости при использовании линейных и нелинейных авторегрессионных моделей для описания нелинейных динамических систем с хаотическим поведением. Показано, что во всех случаях, кроме случая восстановления моделей дискретных отображений, время предсказуемости практически не превышает время корреляции наблюдаемого процесса как и для процессов случайной природы. Увеличение порядка модели не приводит к увеличению времени предсказуемости, а даже наоборот приводит к некоторому его ухудшению.

3. Аналитически и численно оценены границы оптимального времени дискретизации и оптимального времени усреднения для получения максимального времени предсказуемости в случае дискретных моделей нелинейных динамических систем.

4. Предложен новый метод глобальной реконструкции нелинейных нестационарных динамических систем как по одномерным, так и по многомерным наблюдаемым временным рядам, основанный на сравнении моделей в пространстве состояний. На тестовых примерах показана устойчивость метода к действию шумов, выявлена высокая чувствительность метода к изменениям управляющих параметров и, благодаря простоте алгоритма, возможность построения системы, работающей в реальном времени, например в качестве приёмника для хаотических каналов связи.

5. В численных экспериментах по исследованию предсказуемости в нелинейных динамических системах при динамических (нестационарных) бифуркациионных переходах в присутствии шумов обнаружено что, наряду с общеизвестным непредсказуемым сценарием перехода существует новый динамический - предсказуемый сценарий перехода. Теоретически и численно определена граница между этими сценариями, которая определяется соотношением между скоростью перехода и уровнем шума.

6. Клинические исследования кардиоциклов (11-11 интервалов) показали возможность использования реконструированных малоразмерных моделей для оценки клинических показателей, а оценки степени хаотичности в качестве индикаторов состояния пациентов не только в нормальном, но и в состоянии близком к критическому.

В своей совокупности эти положения составляют основу нового интенсивно развивающегося научного направления - методы глобальной реконструкции нестационарных хаотических систем по экспериментальным данным.

Апробация работы. Результаты, включенные в диссертацию, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах в ВлГУ, ИКИ РАН, ИРЭ РАН, МГУ (семинар "Синергетика" под руководством проф. Ю.Л. Климон-товича и семинар «Время, Хаос и Математические проблемы» под руководством акад. В.А. Садовничего), АКИН РАН, МПГУ, СО ИРЭ РАН, а также на следующих Российских и зарубежных конференциях:

Third Technical Conference on Nonlinear Dynamics (CHAOS) and Full Spectrum Processing, Mystic, July 10-14, Connecticut, USA (1995);

International Conference "Appl. Nonlinear Dynamics Near the Millenium" (ANDM'97), San Diego, CA, USA, July 7-11 1997;

International Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" (NDES'97), Moscow, Russia, June 26-27 1997;

The International Conference on Dynamical Systems and Chaos (23-27 May 1994, Tokyo);

International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine, Saratov. 1996, 1998;

International Conference "Stochastic and Chaotic Dynamics" in The Lakes (Ambleside 16-20 August 1999, England), 1999.

Работы, положенные в основу диссертации, были поддержаны Международным Валютным Фондом в рамках Соросовской программы (гранты NAGOOO, NAG300), Министерством образования (грант 95-0-8.3-1), Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 99-02-16625, 00-0217441), INTAS (грант 96-0305), ФПЦ "ИНТЕГРАЦИЯ" (гранты А0030 и Б0001).

Материалы диссертации отражены в 47 опубликованных работах, в том числе в 20 статьях в иностранных и центральных российских журналах, 2 препринтах ИКИ РАН, 7-ми научных сборниках и коллективных монографиях, в трудах 18 конференций.

Достоверность научных выводов основана на совпадении аналитических результатов с результатами численного моделирования на широко используемых моделях хаотических систем, а также с результатами экспериментов на макетах электронных систем. Материалы диссертации обсуждав лись на российских и международных научных конференциях и семинарах различного уровня. В значительной своей части они уже получили признание у специалистов и неоднократно цитировались в литературе.

Личный вклад автора. Основные результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно или на равных правах с соавторами.

Личный вклад автора в большинстве публикаций был определяющим и состоял в постановке задач, получении аналитических результатов, построении алгоритмов, составлении программ и проведении численных расчётов, обсуждении результатов и участии в написании всех статей. Анализ и обсуждение полученных результатов, написание и редактирование статей проходили при поддержке проф. Ю.А. Кравцова, которому принадлежит формулировка общего направления исследований по проблемам предсказуемости. Компьютерная реализация дискриминантного анализа и подготовка численных иллюстраций выполнены О.Л.Аносовым во время его обучения в аспирантуре под совместным научным руководством диссертанта и Ю.А. Кравцова. Исследования явления динамического нарушения вероятностной симметрии были проведены сначала совместно с Е.Д. Суровяткиной, проходившей обучение в аспирантуре МПГУ под нашим с Ю.А. Кравцовым научным руководством, а затем совместно с И.А. Рычка и С.Г. Бильчинской, которые окончили аспирантуру МПГУ под научным руководством Е.Д. Суровяткиной и Ю.А. Кравцова. Е.Д. Суровяткиной, И.А. Рычка и С.Г. Бильчинской принадлежит основная роль в проведении численного моделирования и анализе результатов в публикациях [10, 16, 17, 19, 20].

Сотрудничество с группой Ю.И. Кузнецова (МГУ) было направлено на сравнение эффективности разных подходов к проблеме реконструкции хаотических систем [31,32]. Дж. Брашу принадлежат результаты вычислений зависимости соотношения сигнал-шум для динамического и стохастического сценариев бифуркационных переходов [22]. Работы [14,20,40,41] были выполнены в рамках совместного с группой проф. М.В. Капранова (МЭИ) гранта РФФИ по использованию дискриминантного анализатора в качестве приёмника сигналов с хаотической несущей. К выполнению части численных расчётов привлекались студенты ВлГУ М.Ю. Логунов и И.М. Кошевой.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и библиографического списка использованной литературы. В ней содержится 279 страниц машинописного текста, в том числе 57 рисунков. Библиография включает 181 наименование.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Бутковский, Олег Ярославович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В рамках единого подхода аналитически и численно получены:

• оценка для предельного времени предсказуемости ("горизонта предсказуемости") нелинейных хаотических процессов с учётом основных факторов, влияющих на качество реконструкции моделей динамических систем: измерительный шум, внутренний (физический) шум и дефект модели. На основе полученной оценки сформулирован простой критерий выявления динамики из наблюдаемых временных рядов по соотношению между временем корреляции и временем предсказуемости, который позволяет оценить потенциальную возможность восстановления динамической модели на основе наблюдаемых экспериментальных данных.

• время предсказуемости при использовании линейных и нелинейных авторегрессионных моделей при прогнозировании поведения нелинейных динамических систем с хаотическим поведением ограничено временем корреляции процесса и установлено, что увеличение порядка линейных авторегрессионных моделей сверх п=1 или п=2 практически не улучшает качество описания процесса, а в некоторых случаях даже приводит к обратному результату - ухудшению предсказуемости.

• корреляция между ошибками прогноза и шумом носит запаздывающий характер, а максимум корреляции достигается на временах порядка времени предсказуемости.

2. Предложен новый - дискриминантный - подход к реконструкции нестационарных хаотических систем на основе объединения алгоритмов дискриминации случайных событий и двухоконных алгоритмов выявления изменений в наблюдаемых процессах. В качестве дискриминантной функции используется динамическая модель процесса. Предлагаемый метод обеспечивает хорошую чувствительность к обнаружению нестационарностей и приемлемую устойчивость процедуры к виду модели при идентификации как по одной наблюдаемой переменной, так и при наблюдении всех переменных. Показано также, что разработанный дискриминантный метод идентификации сохраняет свои свойства в условиях умеренного аддитивного шума. Ещё одной важной особенностью разработанного алгоритма является возможность использования в процессе идентификации не только соседние временные интервалы одной наблюдаемой последовательности, но и разные временные ряды один из которых может генерироваться опорной или эталонной динамической системой. Последнее обстоятельство уже нашло применение при разработке дискриминантных приёмников для хаотических каналов связи.

3. Аналитические и численные исследования погрешности реконструкции параметров хаотических систем подтвердили, что существует оптимальная длина выборки при которой для данного уровня шума и сложности реконструируемой модели время предсказуемости максимальное. Увеличение длины выборки N приводит к уточнению параметров исследуемого отображения только до определенного оптимального предела Nopt.~N,iped. Дальнейшее увеличение длины выборки N сверх Nopt не приводит ни к уточнению коэффициентов восстановленного уравнения, ни к увеличению времени предсказуемости.

4. Исследования предсказуемости при динамических бифуркационных переходах показали, что наряду с традиционным стохастическим (непредсказуемым, т.е. нельзя предсказать в каком из возможных новых состояний будет находиться система после бифуркации) сценарием, существует динамический (предсказуемый) режим, который реализуется при скоростях перехода больше некоторого предела и характеризуется нарушением вероятностной симметрии конечных состояний нелинейной системы. Аналитически и численно установлена граница между стохастическим и динамическим сценариями и показано, что граничное (критическое) значение интенсивности шума о-] дается степенным законом, ст.2 = Csa, где s -безразмерная скорость изменения управляющего параметра системы: при сг » ст. реализуется стохастический сценарий, тогда как при сг « стс бифуркационный переход подчиняется динамическому сценарию с нарушением вероятностной симметрии.

5. Клинические исследования динамики сердечных ритмов (динамики 11-11 интервалов) на примере оценки аэробно-анаэробного порога показали возможность использования малоразмерных, неполных моделей в качестве основы для простых измерительных комплексов. Кроме того, методы оценки размерности и фазовые портреты функций последования могут быть использованы (и используются) для экспресс диагностики состояния сердечной деятельности при различных типах стрессов и в условиях кардиореанимации, т.е. в состоянии близком к критическому.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бутковский, Олег Ярославович, 2004 год

1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер.с англ./ Под ред. Я.З.Цыпкина. М.: Наука, 1991. - 432 с.

2. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. -М.: "Техника", 1995. 312 с.

3. Современные методы идентификации систем. /Под ред.П.Эйкхоффа. М.: Мир, 1983.-432 с.

4. Балакришнан А.В, Теория фильтрации Калмана. М.: Мир, 1988. - 321 с.

5. Мапл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. - 584 с.

6. Cremers J., Hubler A. Construction of differential equations from experimental data.//Z.Naturforschung. 1987. - Vol.42(A). - N.4. - P.897.

7. Grutchfield J.P., McNamara B.S. Equations of motion from a data se-ries.//Complex Systems. 1987. - Vol.1. - N.2. - P.417.

8. Breeden J., .Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables.//Phys.Rev.A. 1990. - Vol.42. - N. 10. -P.5817.

9. Gouesbet G. Reconstmction of the vector fields of continuous dynamical systems from numerical scalar time series // Phys.Rev.A. 1991. - Vol.43-N.10 - P.5321.

10. Brush J.S., Kadtke J.B. Nonlinear signal processing using empirical global dynamical equations.//Proc. ICASSP-92. San-Francisco, 1992. - P.321.

11. Грибков Д.А., Грибкова B.B., Кравцов Ю.А., Кузнецов Ю.И., и др. Восстановление структуры динамической системы из временных рядов. //Радиотехника и электроника. 1994. - Т.39. - №. 2. - С.241.

12. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кравцов Ю.А., Кузнецов Ю.И., Ржанов А.Г. Восстановление дифференциальных уравнений автостохастических систем по временной реализации одной динамической переменной процес-са//ЖТФ. 1994. - Т.64. -N. 3. - СЛ.

13. Anosov O.L., Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A., Surovyatkina E.D. Predictable Nonlinear Dynamics: Advances and Limitations. In: Chaotic, Fractal and Nonlinear Signal Processing, R.A.Katz, Ed., v.375, AIP Press, Woodburg, NY, 1996. P.71-91.

14. Mees A.I., Judd K. Parsimony in dynamical modelling.// Predictability of Complex Dynamical Systems/ Yu.A.Kravtsov, J.B.Kadtke, Eds. Springer Verlag. Berlin: Heidelberg, 1996. - P. 123.

15. Anosov O.L., Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A. Strategy and Algorithms of Dynamical Forecasting // In: Predictability of Complex Dynamical Systems, Yu.A.Kravtsov, J.B.Kadtke, Eds., Springer Verlag. Berlin: Heidelberg, 1996. -P.105-122.

16. Kravtsov Yu.A., Kadtke J.B. (Eds.) Predictability of Complex Dynamical Systems. Springer Verlag. Berlin: Heidelberg, 1996.

17. Павлов A.H., Янсон Н.Б. Применение метода восстановления математической модели к анализу электрокардиограмм.//Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 1997. - Т.5. - N.1. - С. 93.

18. Anishchenko V.S., SmirnovaN.B. Analysis and synthesis of dynamical systems from experimental data //SPIE. 1993. - Vol.2098. - P. 137.

19. Janson N.B., Anishchenko V.S. Modelling the dynamical systems on experimental data.//In: Chaotic, Fractal and Nonlinear Signal Processing, R.A.Katz, Ed. AIP Conf. Proc. Vol.375. N.Y.: AIP Press., 1995. - P.688.

20. Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Моделирование динамических систем по экспериментальным рядам. Изв.вузов. Прикладная Нелинейная Динамика. -1995. -Т.З. -N.3. -С.112.

21. Packard N.M., Cmtchfield J.P., Fanner J.D., Shaw R.S. Geometry from a time >ч series//Phys.Rev.Lett. 1980. - V.45. - P.712.

22. Takens F. Detecting strange attractor in turbulence//Warwick. 1980. Vol.898 of Lecture Notes in Mathematics/Eds. Rang, L.S.Young. Berlin: Springer, 1981. -P.366.

23. Noakes L. The Takens embedding theorem//Int.J.Bifurc.Chaos. 1991.1. Л Vol.1,-N.1.-P.867.

24. Casdagli M. Nonlinear prediction of chaotic time series//Physica D. 1989. -Vol.35.-P.335.

25. Farmer J.D., Sidorowich J.J. Predicting chaotic time series//Phys. Rev. Lett. -1987.-Vol.59.-P.845.

26. Breeden J.L., Packard N.H. A learning algorithm for optimal representation of experimental data//Int. J. Bifurc. Chaos. 1994. - Vol.4. - N.2. - P.311.

27. Gousbet G., Letellier C. Global vector-field reconstruction by using a multivariate polynomial L2 approximation on nets//Phys. Rev. E. 1994. - Vol.49. -P.4955.

28. Янсон Н.Б., Павлов A.H., Баланов А.Г., Анищенко B.C. Задача реконструкции математической модели применительно к электрокардиограм-ме//Письма в ЖТФ. 1996. - Т.22. - N.16. - С.57.

29. Breedon J.L., Packard N.H. Nonlinear analysis of data sampled nonuniformly in time//Physics D. 1992. - V.58. -P.273.

30. Анищенко B.C., Янсон Н.Б., Павлов A.H. Об одном методе восстановления неоднородных аттаркторов//Письма в ЖТФ. 1996. - Т.22. - N.7. -С.1.

31. Frazer A.M., Swinney H.L. Independent coordinates from mutual informa-tion//Phys. Rev.A. 1986. - V.33. - P.l 134.

32. Bransater A., Swinney H.L. Strange attractor in weakly turbulent Couette-Taylor flow//Phys. Rev. A. 1987. - V.35. - P.2207.

33. Liebert W., Sinister H.G. Proper choice of the time delay for the analysis of chaotic time series//Phys. Rev. A. 1989. - V.142. - P.107.

34. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение: Пер с англ. М.: Мир, 1988.-240 с.

35. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 311 с.

36. Fanner J.D., Ott Е., Yorke J.A. Dimension of chaotic attractors//Physica D. -1983.- Vol.7. -P.153.

37. Frederickson P., Kaplan J., Yorke J. The Lyapunov dimension of strange attrac-tors//J. Diff. Eqs. 1983. - Vol.49. - P. 185.

38. Wolf A., Swift J. Progress in computing Lyapunov exponents from experimental data//Statistical physics and chaos in fusion plasmas/C.W.Horton Jr.,

39. E.Reichl (Eds.) Wiley. -NY. 1984. -P.l 11-125.

40. Pawelski K., Sinister H.G. Generalized dimensions and entropies from a measured time series//Phys. Rev. A. 1987. - Vol.35, - N.l. P.48.

41. Havstad J.W., Ehlers C.L. Attractor dimension of nonstationary dynamical systems from small data sets//Phys. Rev. A. 1989. - Vol.39. - P.845.

42. Theiler J. Estimating fractal dimension//! Opt. Soc. Am. A. 1990. - Vol.7. -N.6. -P.105.

43. Sauer Т., Yorke J.A., Casdagli M. Embedology//J. Stat. Phys. 1991. - Vol.65. -N.3/4. - P.579.

44. Mane R. On the dimension of the compact invariant set of certain nonlinear ' maps//Warwick, 1980. Vol.898 of Lecture Notes in Mathematics /eds. D.A.

45. Rang, L.S.Young. Springer, Berlin, 1981. -P.230.

46. Theiler J. Spurious dimension from correlation algorithms applied to limited time series data//Phys.Rev.A. 1986. - Vol.34. - P.2427.

47. Ланда П.С., Розенблюм М.Г. Об одном методе оценки размерности вложения аттрактора по результатам эксперимента//ЖТФ. 1989. - Т.59. -N.1. - С.13.

48. Nerenberg М.А.Н., Essex С. Correlation dimension and systematic geometric effects//Phys. Rev. A. 1990. - Vol.43. - P.7065.

49. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of strange attractors//Phys. Rev. Lett. 1983. - Vol.50. -N.5. -P.346.

50. Broomhead D.S., King G.P. Extracting quatitative dynamics from experimental data//Physica D. 1986. - Vol.20. - N. 2. - P.217.

51. Schwarz G. Estimating the dimension of a model//Annals of Statistiks. 1978. - V.6.-P.461.

52. Baake E., Baake M., Bock H.G., Briggs K.M. Fitting ordinary differential equations to chaotic data//Phys.Rev. 1992. - V.45. - N.8. - P.5524.

53. Mees A.I. Modelling complex systems//In: Dynamics of Complex Interconnected Biological Systems/A.I.Mees, T.Vincent, L.S.Jennings, Eds. Birkhauser, Boston, 1990.

54. Mees A.I. Dynamical systems and tesselation: detecting determinism in data//Internat. J.Bifurc. Chaos. 1991. - Vol. 1. - P.777.

55. Mees A.I. Parsimonious dynamical reconstruction//Int. J. Bifurc. Chaos. -1993.-Vol.3.-P.669.

56. Mees A.I. Nonlinear dynamical systems from data//Probability, Statistics and Optimization/F.P.Kelly (Ed.). Wiley, Chichester, UK. 1994. - P.225.

57. Mees A.I. Reconstructing chaotic systems in the presence of noise//Towards the Harnessing of Chaos/M.Yamaguti (Ed.). Elsevier, Tolyo. 1994. - P.305.

58. Brown R., Rulkov N.F., Tracy E.R. Modelling and synchronizing chaotic systems from time-series data//Phys. Rev. E. 1994. - Vol.49. - N.5. - P.3784.

59. Glover J., Mees A.I. Reconstructing the dynamics of Chua's circuit//J.Curcuits, Systems and Computers. 1992. - Vol.3. -N.2. -P.201.

60. Anishchenko V.S., Pavlov A.N. Global reconstruction in application to multichannel communication.//Phys.Rev E. 1998. - V.57. - N.2. - P.2455.

61. Аносов O.JI., Бутковский О.Я., Исакевич B.B., Кравцов Ю.А. Выявление нестационарности случайно-подобных сигналов динамической природы // Радиотехника и Электроника. 1995. - Т.40. - № 2. - С.255-260.

62. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кузнецов Ю.И. Восстановление внешнего воздействия по реализации одной переменной автостохастической систе-мы//Вестник МГУ. Сер. Физ. Астрон. 1995. -Т.36. -№1. -С.76.

63. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. Реконструкция уравнений неавтономного нелинейного осциллятора по временному ряду (модели, эксперимент). //Изв.вузов, Прикладная нелинейная динамика. 1999. -Т.7. -№1 - С.49-67.

64. Stark J., Broomhead D.S., Davies M.E., Huke J. Nonlinear Analysis, Theory, Methods&Applications. 1997. - Vol.30. - №8. - P.5303 (Proc. 2nd Congress of Nonlinear Analysis).

65. Teodorescu D. Time series decomposition and forecasting//Int.J.Control. -1989.-Vol.50.-N.5.-P.1577.

66. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.

67. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Минимаксная процедура идентификации хаотических систем по наблюдаемой временной последовательности // Радиотехника и электроника. 1997. - Т.42. - № 3. - С. 1-7.

68. Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Применение статистических методов при решении задачи глобальной реконструкции//Письма в ЖТФ. -1997. Т.23. -№8.

69. Arbanel H.D.I., Brown R., Kadtke J.B. Predicting in chaotic nonlinear systems: methods for time series with broadband Fourier spectra//Phys. Rev. A. 1990. - Vol.41.-P.1782.

70. Smith L.A. Identification and prediction of low-dimensional dynamics//Physics D. 1992. - V.58. -№1. - P.50.

71. Kadtke J., Kremliovsky M. Signal classification using global dynamical mod-els//Chaotic, Fractal and nonlinear Signal Processing. Mystic, CT, USA. July 1995 /Ed. R.A.Katz. AIP Conf. Proc. Vol.375. AIP Press, NY, 1996. - P.189.

72. Brush J.S. Classifying transient signals with nonlinear dynamic filter banks//Chaotic, Fractal and Nonlinear Signal Processing. Mystic, CT, USA, July 1995 /Ed. R.A.Katz. AIP Conf. Proc. Vol.375. AIP Press, NY, 1996. -P.189.

73. Кравцов Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость //УФН. 1989. - Т.158. - №1. С.93.

74. Кравцов Ю.А. Фундаментальные и практические пределы предсказуемо-сти.//Пределы предсказуемости /Под ред. Ю.А.Кравцова. М.: Центроком, 1997.-С.170.

75. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Пределы предсказуемости для линейных авторегрессионных моделей // Радиотехника и Электроника. 1995. - Т.40. -№12. - С.1866-1873.

76. Anosov O.L., Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A. Nonlinear chaotic system identification from observed time series // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 1997. - V.7. - N1. - P.39-46.

77. Anishchenko V.S., Pavlov A.N., Janson N.B. Global reconstruction in the presence of apriory information//Chaos, Solutions&Fractals. 1998. - V.8. - N.8. -P.1267.

78. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов B.B. Нелинейная динамика хао1. J*- sтических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1999. - 368 с.

79. Безручко Б.П., Диканев Т.В., Смирнов Д.А. Глобальная реконструкция уравнений динамической системы по временной реализации переходного процесса // Изв. Вузов «Прикладная нелинейная динамика». 2001. - Т.9.' -№3. С.3-14.

80. Воробьев Ю.Л., Малинецкий Г.Г., Махутов Н.А. Управление риском с позиций нелинейной динамики. Человеческое измерение // Прикладная нелинейная динамика, Изв. ВУЗов. 2000. - Т.8. - N.6. - С. 12-26.

81. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблемы про> ' гноза // Вестник РАН. 2001.-T.71.-N.3.-C.210-224.

82. Браш Дж.С., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Нарушение вероятностной симметрии при быстрых бифуркационных переходах // ЖЭТФ. 1996. - Т.109. - №6. - С.2201-2207.

83. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Запазды-■ вающие корреляции между шумом и ошибкой прогноза в хаотическихсистемах // Радиотехника и Электроника. 1996. - Т.41. - № 9. - С.1116-1119.

84. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Использование гистерезиса в бифуркационных системах для измерения шума // ЖТФ. 1997. -Т.67. -№ 9. -С.128-131.

85. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Динамика зон притяжений конечных состояний при динамических бифуркациях под воздействием шумов //ЖЭТФ. 1997. - Т.112. - Вып.11. - С.286-294.

86. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Структура зон притяжения конечных состояний при динамических бифуркациях удвоения периода // ЖЭТФ. 1998. - Т. 113. - Вып. 1. - С.369-380.

87. Бильчинская С.Г., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Рычка И.А., Суровяткина Е.Д. Предбифуркационное усиление шума в нелинейных системах // ЖЭТФ. 2001. - Т.120. - Вып.6. - С.1527-1534.

88. Anosov O.L., Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A. Predictability of linear and nonlinear autoregresive models // Phys. of Vibrations. 1999. - V.7. - N2. -P.61-74.

89. Аносов O.JL, Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Степень предсказуемости нелинейных авторегрессионных моделей // Радиотехника и Электроника. -2000. Т.45. - №6. - С.690-697.

90. Аносов O.JL, Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам (краткий обзор) // Известия ВУЗов. Прикладная Нелинейная Динамика. 2000. - Т.8. - №1. - С.29-48.

91. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. К вопросу о рациональном выборе интервала дискретизации процессов, в спектре которых имеется доминантная частота // Известия ВУЗов. Прикладная Нелинейная Динамика. 2001. -Т.9. - № 1. - С.54-60.

92. Butkovskii O.Ya., Ivanov R.N., Kravtsov Yu.A., Ryclika I.A., Surovyatkina E.D. Attraction Basins of Final States of Coupled System with Variable Parameters Under Period Doubling Bifurcations // J. Phys. of Vibrations. 2002.- V.9.-N3.-P.156-162.

93. Bilchinskaya S.G., Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A., Surovyatkina E.D. Peculiarities of fast bifurcation transition in presence of noise // Phys. of Vibrations.- 2002. V. 10. - N9. - P.54-59.

94. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Логунов М.Ю. Анализ погрешностей восстановления параметров нелинейного отображения по зашумлённым хаотическим временным рядам // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2002. -T.XLV. - №1. - С.55-66.

95. Бильчинская С.Г., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Рынка И.А., Суровят-кина Е.Д. Нарушение вероятностной симметрии периодических режимов при быстром прохождении через зону хаоса в окно прозрачности // ЖЭТФ.- 2002. Т.122. - Вып.1. - С.198-205.

96. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Метод измерения внутренних шумов по размеру бифуркационной петли при динамических бифуркациях // Препринт ИКИ РАН. Москва, 1996. - № 1952.

97. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Зоны притяжения конечных состояний при динамических бифуркациях в присутствии шумов // Препринт ИКИ РАН. Москва, 1996. - № 1953.

98. Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A., Brush J.S. The bifurcation paradox: the final state is predictable if the transition is fast enough // In: Predictability of

99. Complex Dynamical Systems, Yu.A.Kravtsov, J.B.Kadtke, Eds., SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, 1996. P.144-152.

100. Бильчинская С.Г., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Явление шумозависимого гистерезиса в бифуркационных системах с переменными параметрами // Сб. трудов посвященный памяти А.Н.Малахова. 2000. - С.55-64.

101. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Обратные задачи хаотической динамики и проблема предсказуемости хаоса // Труды семинара «Время, Хаос и Математические Проблемы». М.: Книжный дом «Университет». 1999. -№1. - С.165-181.

102. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Предсказуем ли хаос? // Ежегодник Российского акустического общества-2000. РАО, М., 2000. С.157-171.

103. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Предсказуемость хаоса // Преподавание физики в высшей школе. М.: МПГУ, 1999. С.47-59.

104. Butkovskii O.Ya., Surovyatkina E.D. Derive application to nonlinear dynamic systems. International Derive and TI-92 Conferenca, Computeralgebra in Matheducation, Bonn, Jule 2-6, 1996. P.l 14-120.

105. Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A. Spontaneous symmetry breaking and predictability for nonadiabatic transition. International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine, Saratov, 1996.

106. Бутковский О.Я., Васильева C.B., Сорокин С.А. Реконструкция фазовых портретов капиллярного кровотока. Труды 4-ой межд. научн.-техн. конф. "Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии (ФРЭМЭ-2000)", июнь 2000г., Владимир. Ч. 1. - С.215-217.

107. Бутковский О.Я., Ославский Е.В. Динамика внешних и внутренних флюктуаций при бифуркационных переходах. // Труды 6-ой межд. научн,-техн. конф. "Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии (ФРЭМЭ-2004)", апрель 2004г., Владимир. 4.2. - С.89-95.

108. Ланда П.С., Неймарк Ю.И. Стохастические динамические системы. -М: Наука, 1990.-460с.

109. Lighthill J. The recently recognized failure of predictability in Newtonian dynamics.// Proc. Roy. Soc. A. 1986. - Vol.407. -№1832. - P.35-50.

110. Справочник по прикладной статистике. /Под ред. Э.Плойда, У.Ледермана, Ю.Н.Тюрина. М.: Финансы и статистика, 1989. - Т.2.

111. Рытов С.М. Статистическая радиофизика. М.: Наука, 1986. - Т.2.

112. Кравцов Ю.А., Эткин B.C. Степень динамической корреляции и проблема выявления динамической природы случайных процессов.// Радиотехника и электроника. 1984. - Т.29. -№12. - С.2358-2364.

113. Kravtsov Yu.A. Fundamental and practical limits of predictability.// In:i1.mits of Predictability: Ed.Yu.A.Kravtsov. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. P.173-449.

114. Илькова Л.Ш., Кравцов Ю.А., Мергелян О.С., Эткин B.C. Степень частичной детерминированности динамического хаоса // Изв. вузов. Радиофизика. 1985. - Т.28. -№7. - С.929-932.

115. Шеннон Э. Многомерные временные ряды. М.: Мир, 1974.

116. М.Кендал, А.Стюард. Многомерный статистический анализ и временные ряды: Пер.с англ. Э.Л.Пресмана и В.И.Ротаря. М.:Наука, 1976, 738с.

117. С.А.Айвазян, В.М.Бухштабер, И.С.Енюков, Л.Д.Мешалкин. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности: Справ.изд.: Под.ред. С.А.Айвазяна. М.:Финансы и статистика, 1989, 607с.

118. Обнаружение изменений свойств сигналов и динамических систем: Под ред. М.Бассвиль, А.Бенвениста: Пер. с англ. М.: Мир, 1989.

119. R.A.Fisher. The use of multiple measurements in tyxonomic problems./ Ann.Eugen. 1936. Vol.7, №2. Pp.179-188.

120. А.Г. Ивахненко, Ю.П. Зайченко, В.Д. Димитров Принятие решений на основе самоорганизации. М.: Сов. радио, 1976

121. J.S. Brush, J.B. Kadtke// Proc. of the ICASSP-92. USA. San-Francisco. 1992. p. 321.

122. O.E. Roessler// Phys.Lett. 1976. V.57A. P.397.

123. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1970.

124. О.Л. Аносов. Дискриминантные процедуры в статистических и динамических задачах радиофизики.// Дисс. на соискание учёной степени к.ф,-м.н. 1996,-Москва.

125. Е.Д. Суровяткина. Динамические бифуркации в системах с шумом. .// дисс. на соискание учёной степени к.ф.-м.н. 1996.-Москва.-С.106.

126. Arimondo, D.Dangoisse, С. Grabbanini, E.Menchi and F.Papoff. Dinamic behavoir of bistability in a laser with a saturable absorber. //J.Opt. Soc. Am. -1987. В 4. - P.892.

127. Baesens C. Slow sweepthrough period-doubling cascade: delayed bifurcations and renormalisation. //Physica-D. 1991. - v.53. -N. 2-4. -P.319.

128. Dynamical bifurcations. Lecture Notes in Mathematics. / Benoit E.(ed). -Springer-Verlag, Berlin, 1993.

129. Dyson F.J. //Mol.Evol. 1982. - V. 18. - P.344.

130. Kapral R. and Mandel P., Bifurcation structure of nonautonomous quadratic map //Phys. Rev. 1985. - A 32. - P. 1076.

131. Lefebre M., Dangoisse D. and Glorieux P. //Phys. Rev. 1984. - A 29. -P.1486.

132. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Статистическая физика.-2-e изд.4.1.-М.:Наука, 1976

133. Mandel P. and Erneux T. //Phys. Rev.Lett. 1984. - Vol.53. - P.1818.

134. Morris B. and Moss. //Phys.Lett. 1986. - A 118. - P.l 17.

135. Pieranski P. and Malecki J., Noise-sensitive hysteresis loops around period-doubling bifurcations. //Nuovo Cimento. 1987. - D 9. - P.757.

136. Shaw R. //Zeitshrift Fur Naturforshung. 1981. - V.36a. -N 1. -P.80.

137. Van den Broeck C. and Mandel P., Delayed bifurcations in the presence of noise. //Phys. Lett. A. 1987. -N 122. -P.36.

138. Zeghlache H., Mandel P. and Van den Broeck C., Influence of noise on delayed bifurcations. //Phys.Rev. A. 1989. - Vol.40. - P.286.

139. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.:Наука, 1978.

140. Белинцев Б. Н.//УФН. 1983. - Т.141. - С.55.

141. Гапонов А.В., Рабинович М.И. Нелинейная физика. Стохостичность и структура. В кн.: Физика XX века: Развитие и перспективы./ М.:Наука.1984.

142. Гольданский В.И., Кузьмин В.В.//УФН. 1989. - Т. 157, вып1. - С.З.

143. Долгов А.Д., Зельдович Я.Б.//УФН. 1980. - Т. 130. - С.559.

144. Желудев. И.Н //УФН. 1989. - Т. 157. -№ 4. - С.683.

145. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной.- М.: Наука, 1975.

146. Кравцов Ю.А., Эткин B.C. //Радиотехника и электроника 1984. - Т.29. -N.12.-С.2358.

147. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В 2-Х томах./ М.:Сов.радио,1969.

148. Лефевр Р., Хорстхемке В. Индуцированные шумом переходы/ Пер. с англ. Под ред. Д.Н. Зубарева. М.: Мир, 1987.

149. Морозов Л.Л., Гольданский В.И.//Вестн. АН СССР. 1984. - №6. -С.54.

150. Нейштадт А.И., Сидоренко В.В. Запаздывание потери устойчивости в системе Циглера. //Препринт Института Прикладной Математики РАН. -1995. № 56. - С.28.

151. Нейштадт А.И. //Успехи мат.наук. 1985. - Т.41. - №5. - С.ЗОО.

152. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновестных системах/ Пер. с англ. Под ред. А. Чизмаджева. М.: Мир, 1979.

153. Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. М.: Наука,1983.

154. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М: Наука, 1984.

155. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления./Пер. с англ. Под ред. C.B. Вонсовского. М: Наука, 1976.

156. Хакен Г. Синергетика /Пер. с англ. Под ред. Ю.Л. Климантовича.-М. Мир, 1982.

157. М.А.Шишкова. //Докл. АН СССР. 1973. - Т.209. - №3. - С.576.

158. Эткин B.C., Кравцов Ю.А. //Изв.высш.уч.зав. Радиофизика. 1981. -Т.24. - N 8. - С.992.

159. Hersel, H. Ebeling W. //Biomed. Biochim. Acta. 1990. - Vol. 49. - N8/9. -P.941.

160. Ю.И.Неймарк, З.С.Баталова, Ю.Г.Васин, М.Д.Брейдо. Распознавание образов и медицинская диагностика. М.:Наука, 1972. 326с.

161. JL Гласс, М.Меки От часов к хаосу. Ритмы жизни. М.: Мир,1991.248с.

162. L.Glass Theory of heart. New York: Springer-Verlag, 1991.

163. L.Glass Dynamics of Cardiac Arrhythmias.Physics Today. 1996, August, C.40.

164. A.L.Goldberger, D.R.Rigney, B.J.West. Chaos and fractals in human physiology.// Sci. Am. 1990. V. 262. P. 42.

165. В.С.Анищенко, П.И.Сапарин, Ю.Куртс, А.Витт, А.Фосс.Анализ динамики сердечного ритма человека на основе критерия перенормированной энтропии.// Изв.вузов, Прикладная нелинейная динамика. 1994. № 3,4. С.54.

166. В.С.Анищенко, Н.Б.Янсон, А.Н.Павлов.Может ли режим работы сердца здорового человека быть регулярным?// Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, №.8. С.1005.

167. А.Н.Павлов, Н.Б.Янсон. Применение методики реконструкции математической модели к электрокардиограмме. // Изв.вузов, Прикладная нелинейная динамика. 1997, №1.С.93.

168. M.G.Signorini, S.Cerutti, S.Guzzetti, R.Parola. Non linear dynamics of cardiovascular variability signals. Proceedings of the IMIA-IFMBE Working Conference on "Biosignal Interpretation" August 25-27 1993, Rebild Bakker, Alborg,Denmark. 1993,C.73.