Неявная разностная схема с расщеплением по электронному и ионному давлениям и ее приложение к моделированию некоторых задач динамики высокотемпературной плазмы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Завьялова, Наталья Александровна

• Завьялова, Наталья Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Завьялова, Наталья Александровна

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.:.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Модели динамики высокотемпературной плазмы.

1.2 Численные методы решения уравнений динамики высокотемпературной плазмы.

1.3 Программные комплексы, использующиеся для расчета динамики Ъпинчей.

1.4. Исследования динамики 2-пинчей.

1.9. Выводы.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТЕЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ г-ПИНЧА.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Уравнения модели.

2.3. Численный метод.

2.3.1. Граничные условия.

2.4. Оценка аппроксимации.

2.4.1. Априорная оценка погрешности аппроксимации.

2.4.2. Результаты оценок погрешности на стеках различной структуры

2.4.3. Применение тестовых сеток для расчетов.

2.4.4. Выводы.

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА МЕДНОГО г-ПИНЧА.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Динамика плазмы.

3.3. Динамика излучения.

3.4. Выводы.

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ОРГАНИЧЕСКОГО г-ПИНЧА.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Результаты расчетов.

4.4. Сравнение с результатами других работ.

4.4.1. Результаты других работ.

4.4.2. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неявная разностная схема с расщеплением по электронному и ионному давлениям и ее приложение к моделированию некоторых задач динамики высокотемпературной плазмы»

Актуальность темы

Важным направлением в изучении динамики высокотемпературной плазмы является математическое моделирование. Результаты расчетов могут использоваться для выбора оптимальных условий проведения экспериментов и детализации процессов, происходящих в плазме. Численные эксперименты допускают исследование задачи в широком диапазоне значений. Кроме того, расчеты являются менее затратными, нежели лабораторные эксперименты.

По мере совершенствования и усложнения экспериментальной техники, изменения параметров экспериментов становится возможным изучать новые явления. Новые эффекты, в свою очередь, требуют появления новых математических моделей. Для этих моделей необходимо разрабатывать соответствующие им численные методы.

Важным объектом для исследования физики высокотемпературной плазмы является 2-пинч. Пинч-эффект - это эффект сжатия сильноточного разряда в результате взаимодействия тока разряда с собственным магнитным полем. Ток в случае г-пинча течет вдоль оси симметрии цилиндрического плазменного столба. Силовые линии магнитного поля, создаваемого током, имеют вид концентрических окружностей, плоскости которых перпендикулярны оси [1]. г-пинч интересен тем, что используется для получения фундаментальных знаний по физике плазмы, а также в качестве прикладного объекта. 2-пинчи служат мощными и доступными источниками нейтронов, жесткого и мягкого рентгеновского излучения, быстрых ионов, релятивистских электронов, высоких магнитных полей.

В связи с успехами техники получения больших импульсных токов появилась возможность использовать пинч-эффект в металлических проводниках в виде тонкостенных цилиндров. Пропускание больших токов через полый цилиндр приводит к его разрушению, сжатию. Имплозия металлических цилиндров в варианте 2-пинча стало широко использоваться в работах по получению импульсных магнитных полей, сверхвысоких давлений, в процессах магнитной сварки металлов и т.д. [2].

В случае малых концентраций плазмы существенную роль играет эффект Холла. При этом можно построить упрощение двухжидкостной модели МГД — модель электронной магнитной гидродинамики (ЭМГ) [3]. Характерной особенностью ЭМГ режимов является вмороженность магнитного поля в электронные течения. Считается, что такое течение можно полностью охарактеризовать вводимой электронной токовой скоростью. В [4] приведены оценки применимости ЭМГ к описанию быстрого малоплотного Z-mmчa.

По сравнению с МГД-моделью система уравнений ЭМГ содержит дополнительные нелинейные слагаемые. Численное решение таких систем предполагаем разработку соответствующих разностных схем.

Цели работы

Целями диссертационной работы являлись:

• разработка полностью неявной схемы для решения системы МГД - уравнений на подвижной сетке, позволяющей проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю;

• исследование порядка аппроксимации инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной четырехугольной сетке, исследование построенной схемы на аппроксимацию;

• реализация соответствующего численного метода для включения в имеющийся программный комплекс;

• проведение вычислительных экспериментов, характеризующих динамику сжатия медных 2-пинчей и 2-пинчей из органического материала. Получение оценок потерь энергии на излучение для понимания процессов, происходящих на финальном этапе сжатия Z-uиячa.

Объекты и методы исследования

В диссертационной работе предложена консервативная неявная разностная схема, построенная с помощью вариационного принципа. Схема позволяет проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю. Исследован порядок аппроксимации предложенной схемы на различных сетках. Рассматриваемая математическая модель включает уравнения движения двухтемпературной плазмы в приближении электронной магнитной гидродинамики. Т.к. 2-пинч симметричен, уравнения модели записаны в г-г геометрии. Для решения системы уравнений был применен метод расщепления по физическим процессам, на первом этапе рассматривалось движение плазмы в приближении идеальной магнитной гидродинамики с вмороженным магнитным полем. На втором этапе рассчитывалось проникновение магнитного поля в плазму с использованием ЭМГ-системы. На последующих этапах учитывались диссипативные процессы (с использованием ЭМГ-слагаемых) и перенос излучения. Модуль программного комплекса, рассчитывающий первый этап расщепления, реализован на языке фортран. На основании вычислительных экспериментов исследована динамика медного Z-шшчa и 2-пинча из органического материала.

Научная новизна

В диссертации для расчета динамики высокотемпературной плазмы построена консервативная неявная разностная схема, позволяющая проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю. Использование неявных схем позволило рассмотреть процессы фокусировки ударной волны на оси 2-пинча и распространение отраженной волны.

Исследована аппроксимация инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной четырехугольной сетке. Показано, что невязка в норме С обратно пропорциональна синусу угла ячейки, наиболее отличного от прямого. Порядок аппроксимации также зависит от разницы характерных линейных размеров ячеек. Построенная схема имеет первый порядок аппроксимации в областях сильных деформаций сетки и вблизи оси симметрии и второй порядок аппроксимации во всей остальной области.

Анализ динамики излучения медного лайнера показал, что при сжатии максимум значения интегрального потока излучения через границу достигается после прихода ударной волны на внутреннюю границу. После этого пинч продолжает сжиматься. В процессе имплозии проявляются нелинейные эффекты, из перегретого района с большой плотностью тока внутрь области распространяется тепловая волна.

Результаты расчетов динамики органического лайнера показывают, что начальная форма перемычки сильно влияет на динамику процесса. Численно показано, что для цилиндрической перемычки с полукруглым вырезом на свободной границе при равномерном начальном распределении плотности ^ р = 1,88x10 г/см, значении параметра Холла соете = ОД и амплитуде импульса 2 МА на 60-й наносекунде с момента подачи импульса на электроды на оси Ъ-пинча появляется горячая точка — образуются максимумы температуры и плотности.

Научная и практическая значимость

Предложенные численные методы вносят вклад в разработку методов математического моделирования динамики высокотемпературной плазмы. Построенная неявная схема применяется для решения уравнений идеальной двухтемпературной магнитной гидродинамики. Результаты проведенных исследований могут использоваться при изучении свойств разностных схем на подвижных сетках.

Программный комплекс, включающий разработанный модуль, позволяет проводить расчеты динамики плазмы быстрых медных 2-пинчей, плазменных прерывателей и плазменных размыкателей тока.

Результаты расчетов могут быть использованы для дополнения экспериментальных данных о динамики Z-пинчей в фундаментальных и прикладных исследованиях физики высоких плотностей и энергий.

Связь с научными проектами

В основу диссертационного исследования положены работы, выполненные в Московском физико-техническом институте (Государственном университете) в рамках проектов:

• ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы, ГК П954;

• РФФИ 07-01-00381 -а;

• РФФИ 10-01-00751-а.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на всероссийских и международных конференциях и семинарах ведущих институтов:

• 50-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2007 г., Москва.

• International conference "Numerical geometry, grid generation and scientific Computing" (NUMGRID2008), июнь 2008 г., Москва.

• 51-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2008 г., Москва.

• Третья всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование», апрель 2009 г, Саров

• 52-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2009 г., Москва.

• International conference "Numerical geometry, grid generation and scientific Computing" (NUMGRID2010) октябрь 2010 г., Москва.

• Четвертая всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование», апрель 2010 г, Саров.

• XXIII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-23" июнь 2010 г, Белгород.

• Пятая всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование», апрель 2011 г, Саров.

• Семинары кафедры вычислительной математики Московского физико-технического института, научные семинары ФУПМ 2009 -2011 гг., Москва.

Публикации

Результаты диссертационного исследования опубликованы в двух статьях из списка, рекомендованного ВАК РФ для опубликования [5, 6], в статьях прочих изданий [7-9], тезисах докладов конференций [10-17].

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

• Построенная консервативная неявная разностная схема для решения системы уравнений идеальной магнитной гидродинамики с вмороженным магнитным полем, позволяющая проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю.

• Результаты исследования инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной четырехугольной сетке.

• Результаты численного моделирования медных и органических Ъ-пинчей с использованием программного комплекса, учитывающего ЭМГ-эффекты.

Достоверность результатов

Достоверность положений, выносимых автором на защиту диссертации, обеспечивается проведенными аналитическими исследованиями разностной схемы и качественным и количественным соответствием результатов проведенных вычислительных экспериментов экспериментальным данным и результатам расчетов других авторов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Завьялова, Наталья Александровна

4.4.2. Выводы

Начальная форма перемычки влияет на динамику процесса и на проникновение магнитного поля в материал пинча. Неоднородность в распределении магнитного поля внутри плазмы на начальном этапе процесса (при разлете плазмы) приводит к вытеснению части материала и образованию ионной струи, скорость которой направлена в вакуум.

В области низких температур характер проникновения магнитного поля диффузионный. Из-за наличия температурных максимумов, запирающих поле на свободной границе, оно проникает языками. Эффект Холла в этой задаче играет несущественную роль. Из-за градиентов температуры и плотности возникают мелкомасштабные структуры.

Формирующиеся в процессе сверхзвуковые ионные струи приводят к образованию косых ударных волн. Электроны и ионы при переходе через фронт ударной волны нагреваются

Численно показано, что для цилиндрической перемычки с полукруглым вырезом на свободной границе при равномерном начальном распределении плотности р = 1,88x10 г/см, значении параметра Холла соете = 0,1 и амплитуде импульса 2МА на 60-й наносекунде с момента подачи импульса на электроды на оси 2-пинча появляется горячая точка — образуются максимумы температуры и плотности.

Результаты расчетов, проведенных для перемычки, образованной двумя усеченными конусами, сравнивались с экспериментальными данными, теоретическими оценками и расчетами других авторов. Выявлено качественное и количественное совпадение результатов по ряду параметров, таких как значения электронной и ионной температур, скорость сжатия пинча, профили излучения, проникновение магнитного поля.

В условиях рассматриваемой задачи к 80 не магнитное поле достигает внутренней границы. Расчеты показывают, что на 80-й не динамики органического 2-пинча появляется горячая точка — образуются максимумы ионной и электронной температуры на оси пинча.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложена новая неявная консервативная разностная схема для решения системы МГД-уравнений на подвижной сетке, позволяющая проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю.

2. Исследован порядок аппроксимации разностной схемы. Показано, что невязка в норме С зависит от разницы характерных линейных размеров соседних ячеек и от синуса угла ячейки, наиболее отличающегося от прямого. Показано, что схема имеет первый порядок аппроксимации в областях сильных деформаций сетки и вблизи оси симметрии и второй порядок аппроксимации во всей остальной области.

3. Предложенная схема реализована в виде модуля программного комплекса. Проведены расчеты динамики медных г-пинчей. Показано, что максимум излучения наступает после фокусировки ударной волны на ось пинча и до максимального сжатия по радиусу. Реализация разностной схемы и включение модуля в состав программного комплекса позволило рассчитать имплозию медных 2-пинчей, рассмотреть фокусировку ударной волны на оси 2-пинча и распространение отраженной волны.

4. Расчеты динамики 2-пинчей из органического материала показали, что динамика процесса зависит от начальной формы перемычки. В условиях рассматриваемых задач горячая точка на оси г-пинча начинает появляться на 60-й не.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Завьялова, Наталья Александровна, 2011 год

1. Арцимович JI.Il. Элементарная физика плазмы, 3-е изд. — М.: Атомиздат, 1969. 98 с.

2. Лукьянов С.Ю. Горячая плазма и управляемый термоядерный синтез, М.: Наука, 1975.-398с.

3. А.С. Кингсеп, КВ. Чукбар, В.В. Янъков Электронная магнитная гидродинамика / Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1987. - Вып. 16. -С. 243-291.

4. Имшенник B.C., Боброва Н.А. Динамика столкновительной плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1997. 320 с.

5. Завьялова Н.А., Лобанов А.И. Численные расчеты динамики лайнера, сформированного парами меди // Математическое моделирование. М., 2011. — Т. 23, N4.-С. 103-119.

6. Завьялова Н.А. Исследование порядка аппроксимации инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной четырехугольной сетке // Компьютерные исследования и моделирование. М.:2011. Т. - 3, N 4. - С. 352 -364.

7. Завьялова H.A. Лобанов А.И. Изучение динамики излучения медного Z-пинча //Четвертая всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование»: Сб.ст. /Саров: СарГФТИ. 2010. - С. 53-54.

8. Завьялова H.A., Лобанов А.И. Математическое моделирование быстрого медного Z-пинча / XXIII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-23" -Саратов: СГТУ. -2010. Т. 8, С. 82 - 85.

9. Завьялова Н.А., Лобанов А.И. Двумерное моделирование углеродного Z-пинча./ XXIV Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-24" Киев. - 2011

10. Завьялова Н. А., Лобанов А.И. Численное моделирование динамики z-пинчей //Третья всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование»: Сб.ст./ Саров: СарГФТИ. 2009 г. - С. 47 - 49.

11. Брагинский С.И. Явления переноса в плазме. — В сб. «Вопросы теории плазмы» (Под ред. М.А.Леонтовича). — М., Атомиздат, 1963, вып.1. С.183-272.

12. Subhash P.V., Madhavan S. and Chaturvedi S. Numerical simulations for cold layer formation in an inverse Z-pinch magnetized target fusion system // PHYSICS OF PLASMAS 16, 012701 2009. doi: 10.1063/1.3054546 (12p.)

13. Мажушн В.И. Математические модели и моделирование в лазерно -плазменных процессах // ЗНАНИЕ. ПОНИМАНИЕ. УМЕНИЕ, М.:2007. N3. С. 244 259

14. Chittenden J.P., Lebedev S.V., Jennings С.A., BlandS.N., and Ciardi А., X-ray generation mechanisms in 3D simulations of wire array Z-pinches // Plasma Phys. Controlled Fusion 46, 2004. В 457-76.

15. Garasi C.J., Bliss D.E., Mehlhorn T.A. et al. Multi-dimensional high energy density physics modelling and simulation of wire array Z-pinch physics // Phys. Plasmas. 2004. V. 11N 5. doi: 10.1063/1.1683506 (9p.)

16. Грабовский Е.В. и др Использование конусных проволочных сборок для моделирования трехмерных эффектов МГД-сжатия // Физика Плазмы. -2008, Т. 34, N10-С. 885-900.

17. Strickler T.S. Azimutal wire motion and ablation dynamics in Z-pinches : Doctoral Dissertation, University of Michigan, Ann Arbor 2006.

18. Gasilov V.A., D'yachenko S. V., Chuvatin A.S. et al Perfomance Analysis of Magnetic Flux Compression by Plasma Liner // Mathematical Models and Computer Simulations. 2010, V. 21, N 11, P. 57-73.

19. Морозов А.И. Введение в нелинейную плазмодинамику. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 576 с.

20. Thornhill J. W. et al One- and two-dimensional modeling of argon K-shell emission from gas-puff Z-pinch plasmas // Physics of plasmas. — 2007. 063301 V 14, N4. —P. 606-617.

21. Oreshkin V. I., Radiative MHD modeling of implosions of plasma liners: preprint no. 4 / Proceedings of the 4th International Conference on Dense Z-Pinches, Vancouver, Canada, NY, 1997. Vol. 409, P. 247 - 251.

22. Chuvatin A. S., Rudakov L. I., Velikovich A. L., Davis J., Oreshkin V. L, Erratum: Heating of on-axis plasma heating for keV x-ray production with Z-pinches /IEEE Trans. Plasma Sci. 33, 739 2005. — P. 1129 1129.

23. Coverdale C.A., et al Neutron production and implosion characteristics of a deuterium gas-puff Z-pinch // Phys. Plasmas 14, 022706 (2007); doi:10.1063/l.2446177 (7p).

24. Рихтмайер P.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972. — 420с.

25. Яненко Н.Н. Методы дробных шагов решения многомерных задач математической физики, — Новосибирск: Наука, 1967. — 194 с.

26. Шулъц УД. Двумерные конечно-разностные гидродинамические уравнения в переменных Лагранжа. — В кн. Вычислительные методы в гидродинамике. — М.: Мир, 1967. С. 9 55.

27. Софронов И.Д., Дмитриев JI.B., Малиновская Е.В. Методика расчета нестационарных двумерных задач газодинамики в переменных Лагранжа: Препринт N 59 / ИПМ им. М.В.Келдыша. — М., 1976. — 175 201 с.

28. Тишкин В.Ф., Тюрина Н.Н., Фаворский А.П. Разностные схемы для расчета гидродинамических течений в цилиндрических координатах: Препринт 23 / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1987. — 38 с.

29. Рождественский Б.Л., Левитан Ю.Л., Моисеенко БД. Численное решение уравнений гидродинамики в переменных Лагранжа: Препринт 25 / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1971. — 26 с.

30. Арделян Н.В., Бисноватый-Коган Г.С., Попов Ю.И Исследование магниторотационного взрыва сверхновой в цилиндрической модели // Астрономический журнал. — 1979, Т. 56, N 6. — с.1244-1256.

31. Knupp P., Margolin L., Shashkov М Reference Jacobian Optimization-Based Rezone Strategies for Arbitrary Lagrangian Eulerian Methods. // Journal of Computational Physics. 2002. - N 176. - P. 93-128.

32. Charakhch'yan A. A variational form of the Winslow grid generator // Journal of Computational Physics. 1997. - N 136. - P. 385-398.

33. Франк P.M., Лазарус Р.Б. Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа. — в Сб. Вычислительные методы в гидродинамике. — М.:Мир, 1967. — С. 55-75.

34. Нох В.Д. СЭЛ совместный эйлерово-лагранжевый метод для расчета нестационарных двумерных задач. — в. Сб. Вычислительные методы в гидродинамике. — М.:Мир, 1967. — С. 128-164.

35. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // ЖВМ и МФ. — 1972, Т. 12, N 2. — С. 429-440.

36. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. - 424с

37. Арделян Н.В., Бисноватый-Коган Г.С., Попов Ю.П. Исследование магниторотационного взрыва сверхновой в цилиндрической модели // Астрономический журнал. — 1979. Т 56, N 6. — С.1244-1256.

38. Гущин КС., Попов Ю.П. К расчету задач магнитной гидродинамики с учетом фазового перехода // ЖВМ и МФ. — 1977, Т.17, N 5. — С. 1248-1255.

39. Самарский A.A., Дородницын В.А., Курдюмов С.П., Попов Ю.П. Образование Г-слоев при торможении плазмы магнитным полем / Докл. АН СССР. — 1974, Т 216, N 6. — С. 1254-1257.

40. Головизнин В.М., Коршунов В.К. О вариационно-разностных схемах газовой динамики на треугольных сетках: Препринт 17 / ИПМ им. М.В .Келдыша. — М., 1983. —26с.

41. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Об использовании принципа наименьшего действия для построения дискретных математических моделей в магнитной гидродинамике / Докл. АН СССР — 1979, Т. 246, N 5. — С.1083-1088.

42. Головизнин В.М., Коршия Т.К., Самарский A.A., Фаворский А.П. Двумерные вариационно-разностные схемы магнитной гидродинамики с тремя компонентами скоростей и магнитного поля // ЖВМ и МФ Т. 22, N 4, 1982. —926-942.

43. Головизнин В.М., Коршия Т.К., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационные схемы магнитной гидродинамики в произвольной системе координат//ЖВМ и МФ. — 1981, T.21,N 1. — С. 54-68.

44. Головизнин В.М. Трехмерные дифференциально-разностные схемы МГД // Дифференциальные уравнения. — 1981, Т.17, N 7. — С. 1222-1227.

45. Гасилов В.А., Головизнин В.М. и др. Численное решение одной модельной задачи о релей-тейлоровской неустойчивости: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1977. N 119. — 18 с.

46. Головизнин В.М., Коршия Т.К. и др. Численное исследование разлета плазмы в магнитном поле: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1978. N61. — 12 с.

47. Гасилов В.А., Головизнин В.М. и др. О численном моделировании релей-тейлоровской неустойчивости в несжимаемой жидкости: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1979. N 70.

48. Гасилов В.А., Головизнин В.М. и др. Численное моделирование компрессии тороидальной плазмы квазисферическим лайнеров: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1979. N 71.

49. Гасилов В.А., Головизнин В.М., Сороковикова О.С. Вариационный подход к построению дискретных математических моделей газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1983. N 35. — 30 с.

50. Волосевич П.П. и др. Процесс сверхвысокого сжатия веществаи инициирование термоядерной реакции мощным импульсом лазерного излучения // Физика плазмы. — 1976., Т.2, N 6. — С. 883-897.

51. Волосевич П.П. и др. Двумерные эффекты при лазерном сжатии стеклянных оболочек // Письма в ЖЭТФ. — 1976., Т.24, вып.5 — С. 283 286.

52. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный принцип получения уравнений магнитной гидродинамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных // ЖВМ и МФ. — 1981., Т.21, N 2 — С. 409422.

53. Гасшов В.А., Головизнин В.М. и др. О численном моделировании релей-тейлоровской неустойчивости в несжимаемой жидкости: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша. — М., 1979. — N 70. — 15с.

54. Самарский A.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А. и др. Разностные схемы на нерегулярных сетках — Минск:Критерий, 1996., — 274 с.

55. Гасшов В.А., Дьяченко С.В., Болдарев A.C. и др. Пакет прикладных программ MARPLE3D для моделирования на высокопроизводительных ЭВМ.

56. Davis J., Kondarenko N.A. and Velikovich A.b. Fast commutation of high current in double wire array Z-pinch loads // Appl. Phys. Lett. — 1997, V. 70, 170; doi: 10. 1063/1.118339 (3 p).

57. Jones В., Deeney C., McKenney J.L. et al Seeded Perturbations in Wire Array Z-Pinches / 6th International Conference on Dense Z-Pinches. — July 25, 2005.

58. Esaulov A.A., Kantsyrev V.L., Safronova A.S. et al Magnetostatic and magnetohydrodynamic modeling of planar wire arrays // Physics of plasmas. — 2008, 15, 052703, doi:10.1063/1.2918667. — lip.

59. See National Technical Information Service Document No. DE94-011699 (J. D. Johnson, "SESAME Data Base"). Copies may be ordered from the National Technical Information Service, Springfield, VA 22161.

60. Иваненков Г.В., Степневски В., Гуськов С.Ю. МГД-процессы каскадного развития перетяжки и вспышки горячей точки в Х-пинче. // Физика плазмы. — 2008. Т 34. N 8. — С 675-694.

61. Репин П.Б., Селемир В.Д. и dp Исследование влияния предварительного взрыва проволочного лайнера на генерацию рентгеновскогоизлучения в геометрии Z-пинча. // Физика плазмы. — 2008. Т 35. N 1. — С. 4855.

62. Грабовский Е.В., Александров В.В., Волков Г.С., Гаснлов В.А. и др. Использование Конусных проволочных сборок для моделирования трехмерных эффектов МГД-сжатия. // Физика плазмы. — 2008. Т. 34. N 10. — С. 885 900.

63. Гаранин С.Ф., Мамышев В.И. Двумерное МГД-моделирование работы плазменного фокуса с учетом ускорительного механизма генерации нейтронов. // Физика плазмы. — 2008. Т 34. N 8. — С. 695-706.

64. Кубеш П., Королев В.Д. и др. Генерация нейтронов при сжатии проволочного лайнера на дейтерированную нить. // Физика плазмы. — 2008. Т 34. № 1. —С. 57-65.

65. Ананьев С.С., Данько С.А., Калинин Ю.Г. Регистрация многозарядных ионов с временным разрешением и определением параметров горячей компоненты плазмы при магнитном сжатии многопроволочных сборок // Письма в ЖЭТФ. 2010, Т. 92, вып. 11, — С. 817-822.

66. Коваленко И.В. Эффекты электронной магнитной гидродинамики применительно к математическому моделированию плазменных размыкателей тока: Дис. канд. физ.-мат. наук. — М., 2002. — 103 с.

67. Ландау Л Д., Лифшиц Е.М. Теоретичесая физика: Учеб.пособ.: Для вызов. В 10 т., Т.VIII. Электродинамика сплошных сред. — 4-е изд., стереот. — М.:Физматлит, 2005 . —656 с.

68. Post D.E., Jensen R. V., Tarter С. V. et al. Steady-state radiative cooling rates for low-density high-temperature plasmas / PPPL-1352, Princeton Univ., 1977. V. 20, N 5. — P.397 439.

69. КингсепA.C., Коваленко И.В., Лобанов А.И. и др. Моделирование быстрого плазменного потокового размыкателя в режиме электронной магнитной гидродинамики. Математическое моделирование. 2004. Т. 16. -N10. -С. 93- 106.

70. Яненко H.H., Ковеня В.М. Метод расщепления в задачах газовой динамики. — Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1981. — 304 с.

71. Гаснлов В.А., Круковский А.Ю., Оточин. A.A. Программный пакет для рассчета двумерных осесимметричных течений радиационной газовой динамики: Препринт / ИПМ им. Келдыша, М.: 1990, N 162 35 с.

72. Гаснлов В.А., Головизнин. В.М. Применение метода Ньютона для решения разностных уравнений гидродинамики: Препринт / ИПМ им. Келдыша, М.: 1978, N 100.

73. Библиотека численного анализа НИВЦ МГУ: Электронный ресурс.: Электрон. ст. Режим доступа к ст.: http://www.srcc.msu.su/num anal/lib na/cat/cat5.htm

74. LePell L.P., Deeney С., Coverdale С., Jones В., Meyer С., Apruzese J., Ion temperature measurements on the Z-accelerator at Sandia National Laboratories, // Bull. Am. Phys. Soc. — 2004 V. 49, N. 9, — P. 200.

75. Бакшаев Л.Ю., Блинов П.И., Вихрев B.B. и др. Исследование плазмы в предварительно созданной перетяжке Z-пинча // Физика плазмы. — 2001, Т. 23, N10, —С. 1-10.

76. Аранчук Е.М., Данько С.А., Копчиков A.B., и др. Экспериментальное исследование плазмы в перетяжке быстрого Z-пинча // Физика плазмы. 1997. Т. 23. С. 215-221.

77. Gordeev Е.М., Danko S.A., Kalinin Yu.G., et. al. Intermediate density Z-pinches compression dynamics investigation // Proc. 4th Int. Conf. on High Power Particle Beams/ San Diego (USA), 1994. V. 1. — P. 167 174.

78. Калиткж H.H., Алыиин А.Б., Алыиина E.A., Рогов Б.В. Вычисления на квазиравномерных сетках М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 224 с.

79. Lebedev S. V et al. Effect of discrete wires on the implosion dynamics of wire arrays Z-pinches. / BEAMS-DZP, Albuquerque, NM, June 24, 2002. PDF. — 23p. (dorland.pp.ph.ic.ac.uk/magpie/publications/icops01/LebedevPlC50.PDF)

80. Artyomov А.Р., Chaikovsky S.A., Fedunin A.V., Oreshkin V.I. Measurements of X-pinch soft X-ray source parameters// Proc. 16th International Symposium on High Current Electronics. Tomsk, Russia, September 19-24, 2010. — P. 242-245.

81. Артемов А.П., Лабецкая H.A., Федюнин A.B., Чайковский С.А. Определение размера источника рентгеновского излучения на основе Х-пинча // Краткие сообщения по физике ФИАН 2010, N. 6. — С. 31 - 34.