Трехмерное моделирование магнитоускоренной импульсной плазмы с учетом эффектов, обусловленных обобщенным законом Ома тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Багдасаров, Геннадий Алексеевич

• Багдасаров, Геннадий Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Багдасаров, Геннадий Алексеевич

Введение

Актуальность проблемы.

Цели и задачи

Научная новизна.

Практическая значимость.

Положения, выносимые на защиту.

Достоверность результатов.

Апробация результатов.

Личный вклад автора.

Публикации.

Структура и объем диссертации.

Благодарности.

1 Проекционные схемы для уравнений параболического типа

1.1 Проекционная схема.

1.1.1 Вариант 1. "Потоки в узлах"

1.1.2 Вариант 2. "Потоки на гранях".

1.1.3 Обобщенная форма записи схемы

1.2 Практическое исследование сходимости.

1.2.1 Постановка задачи.

1.2.2 Результаты.

1.2.3 Оценка порядка аппроксимации

2 Алгоритм расчета электромагнитного поля.

2.1 Изотропная проводимость.

2.2 Анизотропная проводимость

2.3 Калибровка магнитного поля.

2.4 Алгоритм расчета диффузии поля.

2.4.1 Аппроксимация уравнения диффузии.

2.4.2 Аппроксимация уравнения калибровки

2.5 Тестирование: ЭМГ-волна.

3 Программная реализация модели РМГД.

3.1 Технологии разработки

3.1.1 Модели разработки.

3.1.2 Проектирование

3.1.3 Средства коллективной разработки

3.2 Архитектура кода MARPLE.

3.2.1 Сторонние разработки.

3.3 Организация расчета.

3.3.1 Подготовка данных.

3.3.2 Численный эксперимент.

3.3.3 Анализ результатов

3.4 Солверы диссипативных процессов.

3.4.1 Аппроксимации.

3.4.2 Солверы.

3.4.3 Подсистема вывода расчетных данных.

4 Моделирование задач плазмодинамики.

4.1 Плазменный прерыватель тока.

4.2 Квазисферический проволочный лайнер.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Трехмерное моделирование магнитоускоренной импульсной плазмы с учетом эффектов, обусловленных обобщенным законом Ома»

Актуальность проблемы

Управляемый термоядерный синтез (УТС) и плазменные технологии, физические процессы в космосе и источники мощных ионизирующих излучений—эти и многие другие разделы физики и техники развиваются на основе исследований плазмы с высокой плотностью энергии. Для этой цели применяются комплексные физические модели с учетом различных нелинейных процессов (т.н. плазменная "мультифизика") и полу-эмпирические модели состояния вещества. Получающиеся системы дифференциальных уравнений как правило не имеют известного аналитического решения, за исключением упрощенных, модельных постановок в областях с тривиальной геометрией, и могут быть решены лишь приближенно, с помощью аппарата численных методов. Данная работа посвящена проблеме моделирования плазмы мощных электрических разрядов.

Магнитное поле, порождаемое электрическим током, сжимает проводящее ток вещество. Это явление получило название пинч-эффект. "Самосжимаемые" сильным токовым импульсом электрические разряды, или гіинчи, являются эффективным средством получения плотной высокотемпературной плазмы. В природе вещество в условиях высокой плотности и давления существует внутри звезд под действием гравитации [1]. Однако электромагнитные (ЭМ) силы значительно превосходят гравитационные. Поэтому ЭМ сжатие вещества позволяет получать и исследовать в лабораторных экспериментах плотную, нагретую до температуры в миллионы градусов, плазму, а также сверхсильные магнитные поля, действие которых на хорошо проводящие среды (на ту же плазму) эквивалентно давлению в десятки миллионов атмосфер.

Экстремально высокие значения параметров вещества и поля определяют перспективы подобных исследований, которые физики видят прежде всего в решении проблемы УТС [1,2]. Именно в связи с проблемой УТС в России, США, Англии и Франции в 50-х годах прошлого столетия начались широкомасштабные исследования пинчей.

В середине 70-х годов прошлого столетия были сконструированы сверхмощные электрогенераторы, производившие импульсы тока силой в миллионы ампер, при весьма малом времени нарастания до максимальной амплитуды—от 100 нс до 1 мке (Ю-7 — 10"° сек). Были изобретены и особые типы нагрузки генераторов в виде цилиндрических сборок (лайнеров) из различных материалов —металлической фольги, полимеров, и даже полых газовых струй из специальных сопел. Наилучшие результаты были достигнуты для цилиндрических сборок из двухсот и более топких (диаметром несколько микрон) металлических проволочек. Такие оболочки имеют сантиметровые размеры и весьма малый вес — доли миллиграмма на сантиметр высоты. Будучи трансформированы током в плазменное состояние, лайнеры формируют пинчи, в которых скорость сжатия плазмы достигает нескольких сотен километров в секунду. В финальной стадии сжатия такого пинча вещество уплотняется и тормозится, его кинетическая энергия переходит в тепло. Конверсия кинетической энергии в тепловую происходит столь интенсивно, что вещество нагревается до миллионов градусов.

В быстрых пинчах можно в десятки раз усилить мощность энерговыхода по сравнению с мощностью генератора. Схемы нагрева вещества кратковременным интенсивным сжатием (электротоком или лазерным излучением) получили название "пнерциальных": за те небольшие промежутки времени, пока плазма, обладающая некоторой инертностью, не разлетелась, в сердцевине пинча сохраняется высокотемпературное плотное вещество. Оно и используется для фундаментальных исследований свойств материи в экстремальном состоянии и различных приложении. К таковым относятся, например, одно из направлений управляемого термоядерного синтеза, получившего название ииерциальпый (МУТС), "лабораторная астрофизика", источники рентгеновского излучения для медицины, биотехнологий, нанотехиологий, материаловедения и многого другого [1].

В настоящее время использование пипчеГг на основе проволочных сборок (Z-пинчей) в фундаментальных и прикладных исследованиях связано с тем. что они являются одним из самых мощных и ярких лабораторных источников рентгеновского излучения. Перспективным направлением этих исследовании является повышение компактности сжатия плазмы за счет выбора конструкции сборки, обеспечивающей квазисферическое сжатие, в отличие от радиального сжатия в цилиндрических сборках.

До недавнего времени наиболее мощным генератором являлся генератор "Z", созданный в национальной лаборатории США в Сандии (Sandia National Laboratory, SNL). В 2007 году его место занял обновленный генератор "ZR", который способен развивать ток до 26 МА. Эксперименты с нипчами на установке "Z", направленные па получение потоков рентгеновского излучения для инициирования термоядерных мишеней, дали выдающиеся результаты. При начальном эпергозапасе в конденсаторных батареях 40 МДж, токе 20 МА и мощности генератора 40 ТВт, получены импульсы рентгеновского излучения из пинча мощностью более 200 ТВт. Эта мощность в 200 раз превосходит мощность всех энергетических предприятий США. Наиболее мощный российский генератор АНГАРА-5-1 находится в Троицком институте инновационных и термоядерных исследований (ТРИГІИТИ, г.Троицк, МО). Он позволяет получать токи до 5 МА, при времени нарастания порядка 100 не. Аналогичные установки имеются в НИЦ "Курчатовский институт", в Институте сильноточной электропики СО РАН и в ряде других институтов. Несколько лет назад в России начались исследования, цель которых — создание генератора нового поколения "Байкал" [3], рассчитанного па токовые импульсы с амплитудой до 50 МА и временем нарастания тока до 100 не.

В программе создания сверхмощных генераторов для экспериментов в облас ти ИУТС (установка MOJI в программе "Байкал", взрывомагнитпые генераторы [4]) конечной ступенью обострения импульса является плазменный прерыватель тока (ППТ) во внешнем магнитном поле. Одно из условий его работоспособности — получение оптимальных параметров плазмы, создаваемой плазменными пушками. Выход на оптимальный режим работы ППТ требует некоторого количества наладочных пусков, которые на крупных установках достаточно дороги. Поэтому проблема выхода на режим с первого раза без предварительных импульсов по подбору оптимальных параметров плазмы, т.е. проблема первого "выстрела", является актуальной. Она особенно важна при обострении мощности взрывомагнитных генераторов, где первый "выстрел" является и последним. Для решения этой проблемы предложено [5] шунтировать межэлектродный зазор ППТ тонкой проволочкой, взрываемой током генератора. При этом необходимые для включения механизма обрыва тока параметры плазмы в зазоре ППТ предлагается подбирать за счет выбора материала, диаметра проволочки и скорости ее разлета в кольцевом зазоре. Предполагается, что замена плазменных пушек на электровзрываемый проводник (ЭВП) позволит прерывателю сразу выходить в рабочий режим — изначально высокая локально сконцентрированная плотность плазмы ЭВП будет "размазываться" в кольцевом зазоре по углу за счет силы Ампера.

Оптимизация условий экспериментов па сильноточных установках заключается в основном в определении параметров нагрузки (линча) с целью лучшего согласования с параметрами генератора и обеспечения условий, когда в нагрузку может быть передана максимальная доля вырабатываемой генератором электроэнергии. Другим направлением оптимизации является повышение мощности импульса генератора, где важную роль играет ППТ. Теоретическая часть этих работ выполняется в основном посредством вычислительных экспериментов с набором компьютерных моделей различного уровня отображения физических процессов. Основой компьютерного моделирования импульсной магнитоускоренной плазмы служит модель магнитной гидродинамики (МГД) [6].

Математические модели

Идеальная МГД (ИМГД) модель является подходящим средством для изучения поведения низкочастотной плазмы (и <С о;сг), когда электроны н ионы могут реагировать па воздействие внешнего электрического поля, и дви —* ~ гаться со скоростями порядка Е х В/В . На расстояниях больше дебаевской длины никаких значительных электрических полей в системе отсчета, движущейся с плазмой, существовать не может, электроны и ионы перемещаются вместе. Множество электронов и ионов совместно ведут себя практически как незаряженная (квазинейтральная) жидкость. Любое магнитное поле, в идеальном случае (т.е. в отсутствие диссипации в плазменном потоке), становится "захваченным" жидкостью и движется вместе с ней. В этом частотном диапазоне движение плазмы преимущественно связано с инерционностью ионов и магнитными силами натяжения. Движение электронов поддерживает нейтральность заряда и, принимая это во внимание, они могут быть исключены из системы уравнений задачи. (Здесь может иметь значение движение электронов вдоль магнитного поля).

При исследовании следующего по высоте частотного диапазона (си ~ шС1) рассматривается область, где ионы начинают скользить сквозь магнитное поле, связанное с электронами, а электроны гю-нрежнему движутся вдоль магнитного поля, поддерживая нейтральность по заряду. Таким образом, электронный и ионный потоки больше не движутся вместе, и требуется рассматривать двухжидкостную плазму. Двухжидкостный подход пригоден для анализа многих ситуаций. Однако, если в уравнениях удерживаются все действующие па электроны силы, наивысшими частотами являются частоты электронная циклотронная и плазменная, и необходимо использовать соответствующие кратковременные шкалы, что ограничивает по времени продолжительность моделирований.

Многие важные эффекты во втором частотном диапазоне (и ~ иС1) могут быть исследованы с помощью МГД-кода. Для достижения этого необходимо учесть добавку Холла в уравнении закона Ома, т.е. использовать модель "электронной МГД" (ЭМГД) [7]. Соответствующие уравнения получаются с использованием двухжидкостной модели в аппроксимации пулевой электронной массы, при которой электроны всегда находятся в состоянии силового равновесия. Так как высокочастотные электронные колебания не принимаются во внимание, вычисления могут быть выполнены с достаточно большой величиной шага интегрирования по времени. Это делает приближение нулевой электронной массы (безинерцпопиости электронов) удобным средством для многих приложений. Физически член Холла отвечает за относительное смещение ионов по сравнению с электронами в магнитном поле. Замкнутые липни тока поддерживаются течением ионов поперек, а электронов - вдоль магнитного поля. Таким образом, добавление одного слагаемого Холла в

МГД-код частично позволит электронам и нонам течь раздельно, в то время как плазма будет оставаться квазинейтральной. Данная аппроксимация представляет огромный интерес, так как расширяет МГД-модель новыми вариантами плазменных колебаний.

По материалам работ [8,9] проанализируем влияния эффектов, определяемых обобщенным законом Ома, в диапазоне параметров плазмы сильноточных Z-IIинчeй и других конструкций импульсной плазменной энергетики на основе проволочных сборок. Рассмотрим обобщенный закон Ома в основной системе уравнений МГД-модели Брагинского С. И. [6] для плазмы с одним сортом ионов: в grad Ре 1 3 Е =----ии х В епе с к + к + квх]+ * ]хв о-ц а± (Та еАпес о;цй1ж1цТс — a±gmd1T(, — х gradTe), где Е — напряженность электрического поля, Ре и Те — давление и температура электронной компоненты плазмы, пе — концентрация электронов в плазме, с— скорость света, ги —скорость плазмы, ^'ц^ и етцд,л — вектора плотности тока и проводимость вдоль и поперек линий индукции магнитного поля В, ~~ кинетические коэффициенты термосилы в неизотермической плазме.

При написании уравнения (1) было пренебрежепо инерцией (т.е. слагаемыми ~ (те/псе2)дм) и вязкостью электронного газа. Последнее проявляется в том, что в электронном давлении необходимо учесть добавки, вызванные градиентами макроскопической скорости ионной компоненты плазмы.

Все входящие в уравнение (1) коэффициенты (сгц, 0-'||д,л) зависят от таких параметром плазмы, как пе, % (средний заряд ионов) и Те, и, кроме того, от параметра замагниченности плазмы Хе = ^Ве/^еп где шве электронная гирочастота, а —характерная частота электрон-ионных столкновений. Выражения для коэффициентов можно найти в работе Брагинского С. И. [6|. Работы [8,9] дают современную форму этих выражений, которая в гораздо большей степени удобна для использования в МГД-кодах ввиду непрерывной зависимости от среднего заряда ионов.

Первое слагаемой в правой части уравнения (1)—термо-эдс, далее, со второго по пятое, идут индуктивное и омическое сопротивления, шестое слагаемое определяет эффект Холла, а с седьмого по девятое — термосила, причем последнее из них часто называют эффектом Нернста. Для выполнения оценок влияния перечисленных эффектов при моделировании пинчей на основе многопроволочных сборок необходимо иметь в виду, что:

• пятое ("омическое") слагаемое в правой части (1) В х никогда не преводходит вклада шестого ("холловского") слагаемого .у х B/{eZnec)\

• как правило, вклад в поле Е за счет теплового эффекта (силы давления) —> оказывается сопоставим с "холловским" '] х В /(eZncc).

Эффект Холла не приводит к непосредственной диссипации энергии. Тем не менее, он может приводить к заметному пространственному перераспределению тока в плазме. В свою очередь, это может вызвать ощутимые изменения в эффективной проводимости плазмы, что обусловлено диссипа-тивными выражениями типа у /а в законе Ома.

Для плазмы в целом соотношение между вкладами "омических" членов (вида Л а) и "холловским" слагаемым в уравнении (1) определяется параметром замагннченности Хе- Когда Хе «С 1, плазма называется незамагничеиной, а влияние эффекта Холла слабое. При Хе 1 плазма считается сильно замагпиченпой, а эффект Холла преобладает над "омическими" слагаемыми. Одним из проявлений такого преобладания является существенная разница между продольной и поперечной проводимостями плазмы.

Для плазменных струй, образующихся па металлических проволочках при их испарении импульсом тока, типичным будет условие Хе > 1- Для так называемых "увлеченных масс" плазмы условие Хе 1 представляется в большей степени характерным. Это условие также справедливо для плазмы в зазоре вакуумной передающей линии с магнитной изоляцией.

Надо понимать, что преобладание "холловского" слагаемого над "омическими" членами не подразумевает, что влияние эффекта Холла на динамику плазмы велико. Для оценки этого влияния необходимо сравнить "индуктивный" член уо х В/с в уравнении (1) с "холловским" слагаемым 3 х B|{eZnec) с тем, чтобы установить область сильного влияния эффекта Холла па движение плазмы. Соотношение между "холловским" слагаемым и "индуктивным" определяется отношением между токовой скоростью электронов и = j/enc и альфвеновской скоростью. Последнее отношение определяется безразмерным параметром следующего вида (т.н. "погонный ион"):

П* = ра1—(2) тгс1 где а — характерный размер области с плазмой (например, радиус гшнча).

При Пг 1 влияние "индуктивного" члена существенно выше, чем вклад эффекта Холла. Когда же Ilj < 1, ситуация прямо противоположная. В случае неподвижной неоднородной плазмы эффект Холла может приводить к увеличению эффективного сопротивления, как это показано в работах, посвященных ЭМГД [7]. Прирост сопротивления оказывается пропорционален параметру замагничениости что приводит к увеличению сопротивления в сильно замагниченной плазме (и к относительному усилению диффузии, т.е. взаимопроникновению плазмы и магнитного поля).

Оценки, выполненные согласно теории Брагинского С. И. [6], показывают, что эффект термо-эде зачастую имеет одинаковый порядок величины с термосилой. Сравнительно с эффектом Холла, термо-эде имеет порядок отношения Р = 87ГРе/В2. Заметим, что для плазменных струй с проволочек обычно выполняется ¡3 -С 1.

При учете термосилы совершенно необходимо учитывать и сопряженный эффект в потоке тепла:

7е —----а\\ТеЗ\\ ~ a±Tej± ~ а\ТсВ х j.

Кроме того в уравнении для температуры электронной компоненты плазмы Те надо учитывать общую форму для интенсивности омического нагрева: —*

• • • + ^ + ^т ~ а\\6\\ ■ g-d||Te) - a±(jL • gradjTe).

Таким образом, при включении обобщенного закона Ома в МГД-модель требуется выполнить также определенную модификацию уравнения теплового баланса для электронной компоненты плазмы.

Иногда отбрасывание слагаемых термосилы (тех, что с gradTe в уравнении (1)), в особенности компоненты, связанной с эффектом Нернста, приводит к существенным количественным ошибкам в расчетах для зоны около границы плазма-вакуум [10|.

Роль эффекта Холла в сильноточных Z-гшнчax обсуждается в работе [11]. Безразмерный параметр (2) показывает, что эффект Холла важен тогда, когда погонная масса пинча достаточно мала. Рассматривая условия экспериментов, выполненных па таких установках как и АНГАРА-5-1, можно сделать вывод, что условие П^ 1 в общем случае пе выполняется повсюду в объеме плазмы. Поэтому эффект Холла не оказывает существенного влияния па динамику плазмы "как целого". Однако если рассматриваются эффекты ускорения индивидуальных плазменных струй с проволочек, то ситуация оказывается прямо противоположной. Это обстоятельство обусловлено двумя причинами: количеством проволочек N в сборках (влияние эффекта Холла па одну проволочку ~ и большим асиектным отношением длины струи к ее толщине.

Таким образом, из приведенных оценок следует, что эффект Холла может иметь первостепенное значение

• для динамики плазмы вблизи испаряемых импульсом тока проволочек в многопроволочной сборке,

• на периферии пинча ("увлеченные массы", граница плазма-вакуум),

• для динамики плазмы вблизи поверхности электродов в передающих линиях с магнитной изоляцией (срыв плазмы с электродов может приводить к шунтированию линии и невозможности передачи импульса большой мощности на нагрузку [12])

• для динамики плазмы в плазменных прерывателях тока.

Подводя итог, можно сформулировать последовательность слагаемых, фигурирующих в законе Ома (1), расположив их по степени важности учета в численных расчетах пинчей, создаваемых на основе проволочных сборок:

1. эффект Холла, (Гц ^ ст±, щ ^ а±;

2. термо-эде;

3. термоспла (что требует совместного решения уравнений для В и Те);

4. эффект электронной вязкости и уточненное уравнение баланса энергии.

Таким образом, математическое моделирование сильноизлучающей импульсной плазмы основывается па одножидкостной двухтемпературной МГД-модели, включающей теплопроводность, электрон-ионную релаксацию, перенос лучистой энергии на основе многогруппового по спектру диффузионного

3) приближения. Основная система МГД уравнений дополнена обобщенным законом Ома с учетом эффекта Холла и анизотропии проводимости плазмы вдоль и поперек линий магнитного поля. Идеальная МГД: д

T-p + di v(pw) = О, пik = pWiWk + Рбгк - ^ВіВк - ^В2бік о

В - rot (wx B^j = О, д f 1 2 В2\ , ^ Л

2pW +8^J+dlV(/ = 0' q = ^'рє + T^pw2 + P^j w + -^-B x (w x В

Диссипативные процессы:

Диффузия магнитного поля с учетом обобщенного закона Ома: gradPe j\\ h jxB

An Н--=--1---1--, епє а у <j± епес 47Г- - (4) rot B = —J: j=3\\+j±, ^> с 11 д

В = -с ■ rot£,n. ot

Теплопроводность, электрон-ионный обмен, джоулев нагрев и перенос энергии излучением: д рЕе = -div (ке ■ gradТе) + Qei + Gj + Gr, д pEi = -div (кі ■ grad Ті) - Qei: (5) — £e -f- £j, P = Pe Pi. В уравнениях (3)-(5) использованы следующие общепринятые обозначения: р — плотность плазмы, w — скорость плазмы, с — скорость света, и Ре,і—удельные внутренние энергии и давления электронной и ионной —* компонент плазмы, Я —индукция магнитного поля, и ацд — вектора плотности тока и коэффициенты проводимости плазмы вдоль и поперек линий индукции магнитного ноля, Ет = Е + ъи х В/с — напряженность электрического поля в движущейся вместе с плазмой системе координат (без учета слагаемых порядка ъи2/с2), и — температуры и коэффициенты теплопроводностей электронной и ионной компонент плазмы, С^ы — вклад электрон-ионного обмена в балансы GJ и Сд — вклады джоулева нагрева и переноса энергии излучением в баланс ее, а — символ Кронекера.

Численные методы

Для численного решения системы уравнений (3)-(5) радиационной МГД (РМГД) с обобщенным законом Ома применяется схема суммарной аппроксимации [13,14]. Исходная система уравнений представляетс51 в форме: + = (6) где пространственный оператор А можно представить в виде суммы п 1 при этом предполагается, что \/к оператор А^ > 0 и обладает достаточной гладкостью.

На каждом шаге по времени вычисления выполняются последовательно для каждого А&, а сумма всех выполненных действий аппроксимирует уравнение (6). Принятый порядок решения уравнений: Ах —идеальная МГД; А2 —диффузия магнитного поля; Аз — теплопроводность:

А3 ^электронная теплопроводность; А| — ионная теплопроводность; А| —электрон-ионная релаксация; А4 — джоулев нагрев и лучистый перенос энергии.

В работе [13] рассматриваются различные способы построения схем суммарной аппроксимации для квазилинейных задач, где дифференциальный оператор зависит от времени и от решения, а также исследуется их аппроксимация и устойчивость.

Все построенные в [13] алгоритмы расщепления для квазилинейных задач основаны на симметричной схеме Кранка-Никольсопа для элементарных этапов расщепления. Она обладает рядом достоинств, в частности вторым порядком аппроксимации по времени и абсолютной устойчивостью, однако может давать немонотонное решение, особенно в случае несимметричного оператора А. Кроме того, она имеет недиагональный оператор на верхнем слое, что влечет за собой необходимость решения системы линейных алгебраических уравнений большой размерности и соответствующие вычислительные затраты. Перечислим основные подходы, развиваемые в [13]:

• Схема предиктор-корректор и метод стабилизации. Оба метода двухпро-ходные, т.е. включают двукратное решение исходной системы уравнений — по явной и по симметричной схемам. Для обоих в [13] доказан второй порядок аппроксимации по времени и устойчивость.

• Двухцпклический метод. Обладает вторым порядком аппроксимации по времени и абсолютно устойчивый. К недостаткам относятся больший чем в первых двух методах объем вычислений и использование неявных схем. Альтернативой этим методам является организация итерационного цикла, по тогда, вероятно, итераций будет больше двух, и сократить вычислительные затраты не удастся. В практических расчетах часто применяется однопроходная схема, обладающая порядком аппроксимации 0(т). Это приемлемо, когда, как в нашем случае, требования физической точности диктуют достаточно мелкий шаг по времени.

Кроме требования суммарной аппроксимации к схеме решения уравнений РМГД предъявляются также требования консервативности и устойчивости.

Особенности современных задач сильноизлучающей импульсной плазмы—сложная геометрия экспериментальных установок, разпомасштабпость конструкций (тонкие проволочки микронного диаметра и разрядные камеры с характерным размером в несколько сантиметров) и физических явлений (сжатие плазмы в сотни и тысячи раз), существенная неоднородность изучаемых процессов — обуславливают необходимость использования трехмерных расчетных сеток нерегулярной структуры, адаптированных к границам расчетной области и особенностям решения. Очевидным кандидатом на эту роль являются тетраэдральные сетки, однако ряд сопутствующих им сложностей, таких как получение сеток хорошего качества (с ячейками с малым аспект-ным отношением) в трехмерных областях п построение схем повышенного порядка точности на этих элементах, заставляют обратить внимание на т.н. смешанные сетки, состоящие из ячеек различного типа. В общем случае использование таких сеток позволяет построить более компактную дискретизацию (т.е. с меньшим числом ячеек) расчетной области по сравнению с тетраэдральными сетками при одном и том же характерном размере ячеек. С другой стороны, использование смешанных сеток создает дополнительные трудности при построении численных схем.

Для численного решения дивергеитно-консерватнвных уравнении идеальной МГД (3) используется семейство явных конечно-объемных схем, основанных на идеях реконструкции решения типа ТУЭ или £N0. В качестве расчетных величин используются не узловые значения искомых функций, как это зачастую делается при аппроксимации исходных уравнений на неструктурированных сетках, а средние по ячейкам значения. Такой выбор расчетных величин позволяет избавиться от необходимости построения трехмерных контрольных объемов (ячеек консервативности) сложной формы вокруг узлов сетки; в качестве контрольных объемов для конечно-объемной схемы выступают непосредственно ячейки расчетной сетки. Существенным преимуществом этого подхода является использование одних и тех же ячеек консервативности как для описания бездиссипативных волновых процессов (в части идеальной МГД), так и для описания диссипативных процессов, включая процессы взаимодействия плазмы с электромагнитным полем. Такая унификация существенно упрощает построение консервативных схем и позволяет избежать лишних переинтерполяций во время вычислений.

Одной из задач настоящей диссертации являлось развитие удовлетворяющих указанным требованиям численных методов и алгоритмов для дисси-патнвной части описанной выше схемы. Необходимость решения уравнений параболического и эллиптического типов на трехмерных сетках нерегулярной структуры с ячейками разного типа потребовала разработки новых семейств разностных схем. Проекционные и вариационные методы (метод Галеркина, метод Ритца) в сочетании с методом конечных элементов [15,16] позволяют разработать регулярную процедуру построения численных схем на сетках указанного вида. В качестве теоретической основы был взят метод Галеркина с разрывными базисными функциями —класс методов конечных элементов, в котором для реконструкции решения и в качестве пробных функций используются разрывные функции [17-19]. Проекционпо-сеточные схемы на основе разрывного метода Галеркина, обладающие устойчивостью и сходимостью, были в последние годы разработаны для различных типов уравнений в частных производных, в том числе гиперболических, параболических, эллиптических и уравнений, содержащих производные высшего порядка, таких как уравнение Кортевега - де Фриза [20-22]. Гибкость в выборе локальных шагов и минимальные требования к дискретизации расчетной области делают этот метод особенно удобным при адаптации сеток. Кроме того, этот метод допускает эффективное распараллеливание.

Предлагается использовать семейство схем на основе метода Галеркина для численного решения уравнений диффузии лучистой энергии, теплопроводности и диффузии магнитного поля. Чтобы обеспечить консервативность в ячейке расчетной сетки для средних по ячейке значений, нужно ввести систему кусочно-постоянных и/или кусочио-линейных пробных функций. Стандартная процедура метода Галеркина позволяет в этом случае получить на регулярных сетках аппроксимацию второго порядка.

Основную трудность составляет аппроксимация дифференциальных операторов второго порядка па произвольных трехмерных ячейках со средними по ячейке значениями искомых функций. В докладе [23] отмечается, что насущными задачами являются разработка регулярной процедуры построения трехмерных диффузионных схем па основе разрывного метода Галеркина, а также исследование их точности и сходимости.

Компьютерное моделирование

Физика пинчей чрезвычайно разнообразна, в ней переплетаются нелинейные волновые процессы, движение плазмы подвержено всевозможным тепловым и гидродинамическим иеустойчивостям. Состояние плазмы в пип-чах существенно неоднородно, масштабы плазменных структур различаются в десятки и сотни раз. В целом эти проблемы столь сложны, что могут быть всесторонне исследованы только с использованием параллельных или распределенных вычислении терафлоииого уровня производительности. Высокопроизводительные вычисления являются перспективной технологией исследования нелинейных комплексных физических моделей, таких как модели, описывающие самосжимающиеся электрические разряды, возникающие вследствие электрического пробоя в газоструйных и пенных оболочках, сборках металлических проволочек и в других конструкциях. Суперкомпьютеры открывают возможность использования усовершенствованных моделей пин-чей и детализации плазменного течения на микронных масштабах, благодаря чему можно будет делать прогнозные расчеты для экспериментов на генераторах следующего поколения, с проектируемой мощностью 1000ТВт [1,2].

Программное обеспечение (ПО) или коды, моделирующие поведение импульсной плазмы, пока не развиты в такой степени, чтобы давать надежные прогнозы разнообразных экспериментов, и создание универсальных "прогнозирующих" кодов —это основная современная проблема в данной области вычислительной физики.

В числе передовых разработок в этой области следует назвать коды ALEGRA-I-IEDP (SNL, США) (24,25] и GORGON (Imperial College, Великобритания) [26]. Ряд других разработок, применяемых в этой области [27-30] либо реализуют только одномерные и/или двухмерные модели, либо не учитывают ряд важных физических процессов.

Одной из разработок, ориентированной па использование суперкомпьютеров, является объектно-ориентированный код MARPLE [31,32], создаваемый в ИПМ РАН на основе современных технологий программирования и предназначенный для параллельных вычислений сильпоизлучающей импульсной плазмы в трехмерных областях сложной геометрической формы на сетках нерегулярной структуры, в том числе блочных, состоящих из элементов разного типа. Код развивается в сотрудничестве с ФГУГ1 "ГНЦ РФ ТРИ НИТИ", ИТЭФ, МФТИ, а также французским исследовательским центром СЕА Gramat. К настоящему времени с помощью этого кода выполнены исследования перспективных типов нагрузок электрогенераторов, обеспечивающих квазнтрехмерное сжатие плазмы, и, тем самым, более высокие концентрации вещества и энергии по сравнению с традиционными пиичами.

Вовдотс

19

Программный комплекс МАИРЬЕ создается коллективом авторов в ИММ РАН - ИПМ РАИ. Начиная с этапа согласования принципов коллективной разработки кода соискатель принимает активное участие в создании программного комплекса: проектировании, реализации, тестировании и использовании созданного ПО для решения задач из предметной области.

Модель данных

Геометрическая подсистема [33] программного комплекса МАИРЬЕ отличается развитой поддержкой трехмерных неструктурированных расчетных сеток: используемые структуры данных позволяют эффективно хранить и работать со смешанными сетками, состоящими из правильно примыкающих друг к другу (т.е. таких, пересечение которых либо пусто, либо содержит общие для них узлы, ребра и/или грани) шестигранников, треугольных призм, а также пирамид с треугольным и четырехугольным основаниями.

Для проведения расчетов на многопроцессорных машинах (суперкопью-герах) в программном комплексе МАГ1РЬЕ используется т.п. геометрический параллелизм, суть которого заключается в разбиении исходной расчетной сетки па множество более мелких иодсеток, в каждой из которых расчет очередного шага или итерации ведется независимо. Все сеточные элементы в подсетках подразделяются на реальные, т.е. принадлежащие данной подсет-ке, и фиктивные ^Ьоя! в англоязычной литературе), т.е. образы реальных элементов с соседних подсеток, при этом каждый элемент может быть реальным в одной и только одной подсеткс. Фиктивные элементы необходимы для замыкания шаблонов аппроксимаций в тех реальных элементах подсеткп, что лежат вблизи ее (подсеткп) границы. Расчет производится только в реальных элементах, в фиктивные же элементы данные копируются с соседних подсеток в ходе т.н. актуализации при каждом изменении данных.

Разработанные структуры данных позволяют учитывать пространственные симметрии в расчетной области. Симметрия постановки задачи означает, что ее решение переходит само в себя при соответствующих движениях пространства и позволяет рассматривать только часть полной расчетной области, где решение имеет смысл —один период, пли одну половину для случая зеркальной симметрии. Например, зеркальная симметрия может использоваться для одно- и двухмерных постановок, а симметрия относительно поворота на некоторый угол —для расчета задач о сжатии цилиндрических проволочных сборок. Реализация этой идеи основана па той же идее, что и распределение по параллельным процессам: построением фиктивных ячеек около периодических границ.

Пространственная симметрия задачи может быть также частичной, когда некоторые из преобразований симметрии применяются лишь к части расчетной области. Например, для цилиндрических сборок (см. рис. 1а), если не учитывать различия между отдельными проволочками, можно предположить симметрию решения относительно поворота и решать задачу в секторе с одной проволочкой (рис. 1Ь). Впрочем для мпогопроволочных сборок такой подход приведет к возникновению острого угла вблизи оси, что может плохо сказаться на качестве аппроксимации в этой области. Возможность задания симметрий не во всей расчетной области, а лишь в ее части, позволяет обойти эту проблему (см. рис. 1с-с1). Реализованный в программном комплексе МАИРЬЕ алгоритм построения "полей" фиктивных элементов корректно обрабатывает такие сложные расчетные области (см. рис. 2), а структуры данных предоставляют вычислительным объектам всю необходимую информацию для учета симметрий. а Ъ с й

Рис. 1: Цилиндрическая сборка (а) и примеры расчетных областей с периодическими граничными условиями (Ь-с1). а)

Рис. 2: Расчетные сетки (отмечены красным) с "полями" фиктивных элементов (зеленый) в расчетных областях с частичными периодическими граничными условиями.

В комплексе МАИРЬЕ предусмотрена также возможность физической декомпозиции расчетной области, вообще говоря, с различными системами решаемых уравнений, набором неизвестных и уравнений состояния. Для балансировки нагрузки и унификации программного кода на вычислительных ядрах, все физические подобласти разбиваются на равное количество расчетных подобластей (равное количеству доступных вычислительных ядер) и каждое вычислительное ядро получает по одному фрагменту от всех физических подобластей (см. рис. 3).

1111111 1 1 1 1 1 1 1 а0 а,

Ьо = Е сг

Со - - с,

1 м 1111 1111111

См

111111

Рис. 3: Пример разбиения сложной расчетной области с тремя физическими подобластями "А", "В" и "С" на (./V + 1) процессоров.

Цели и задачи

Целью дагшой работы является разработка численных методов и алгоритмов решения уравнений МГД с учетом обобщенного закона Ома, их реализация в рамках программного комплекса МАЯРЬЕ и решение методом вычислительного эксперимента актуальных задач импульсной плазменной энергетики, а именно моделирование работы плазменного прерывателя тока, образованного электровзрывом проволочки во внешнем магнитном поле, и сжатия многопроволочной сборки с профилированными электродами собственным магнитным полем. Для достижения поставленных целей потребовалось решить следующие основные задачи:

• разработать и исследовать семейство проекционно-сеточных схем повышенного порядка точности для решения начально-краевой задачи для уравнений параболического типа на трехмерных сетках нерегулярной структуры с элементами различного типа;

• разработать алгоритм расчета ЭМ поля на основе уравнений Максвелла и обобщенного закона Ома в МГД-модели высокоскоростных течений плазмы, проанализировать влияния эффектов, определяемых обобщенным законом Ома, в диапазоне параметров плазмы сильноточных Z-пинчeй и других конструкций импульсной плазменной энергетики на основе проволочных сборок.

• реализовать предложенные численные схемы и алгоритмы в рамках программного комплекса МАИРЬЕ;

• исследовать средствами созданного программного обеспечения работу плазменного прерывателя тока, образованного электровзрывом проволочки во внешнем магнитном поле, сжатие Z-пинчa с профилированными электродами.

Основным методом исследования задач, поставленных в диссертационной работе, является вычислительный эксперимент.

Научная новизна

Новизна работы заключается в построении нового семейства ироекцион-по-сеточпых схем повышенного порядка точности для решения начально-краевых задач для уравнении параболического типа на трехмерных неструктурированных сетках и разработке алгоритма расчета ЭМ поля на основе уравнений Максвелла и обобщенного закона Ома в МГД-модели высокоскоростных течений плазмы.

Для аппроксимации пространственных дифференциальных операторов на трехмерной сетке нерегулярной структуры с элементами различного типа использовался вариант метода Галеркина для конечных элементов с разрывными базисными функциями. Особенность построенных схем состоит в том, что для неизвестных функций вычисляются средние по трехмерной ячейке значения, а не значения в узлах или на гранях расчетной сетки, как это делается в распространенных конечно-элементных схемах.

Предложенный алгоритм расчета ЭМ поля на основе уравнений Максвелла и обобщенного закона Ома позволяет в рамках МГД-модели учесть относительное смещение ионов по сравнению с электронами в магнитном поле, в то время как плазма в целом остается квазинейтральной.

Развитые соискателем численные схемы и алгоритмы включены в созданный при его активном участи программный комплекс МАИРЬЕ, предназначенный для параллельных вычислений сильноизлучающей импульсной плазмы в трехмерных областях сложной геометрической формы на смешанных сетках нерегулярной структуры.

Средствами созданного ПО исследованы новые задачи импульсной плазменной энергетики. Исследовано квазисферпчекое сжатие проволочных сборок. Моделирование показало, что специальный выбор формы электродов, конструкции сборки и распределения массы вдоль проволочек позволяют получить компактный яркий источник рентгеновского излучения в центре сборки. Показано влияние эффекта Холла на формирование пинча па основе многопроволочной сборки. Определены параметры плазмы в плазменном прерывателе тока на основе электровзрыва металлической проволочки и исследованы режимы его работы.

Практическая значимость

Практическая значимость диссертационной работы заключается в реализации предложенных автором численных схем и алгоритмов в рамках программного комплекса МАЫРЬЕ, созданного и развиваемого при его активном участии, и использовании созданного ПО для прогнозирования и анализа результатов экспериментов в области физики излучающей импульсной плазмы, в частности, проводимых на сильноточных генераторах АНГАРА-5-1 (ГНЦ РФ ТРИНИТИ) и С-300 (НИЦ "Курчатовский институт").

Положения, выносимые на защиту

• Проекционные схемы повышенного порядка точности для решения начально-краевой задачи для уравнений параболического типа на трехмерных сетках нерегулярной структуры с элементами различного типа.

• Алгоритмы расчета ЭМ поля на основе уравнений Максвелла и обобщенного закона Ома в МГД-модели высокоскоростных течений плазмы.

• Реализация предложенных численных схем и алгоритмов в рамках программного комплекса МАИРЬЕ.

• Результаты моделирования плазменного прерывателя тока и сжатия проволочных сборок.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов численного моделирования с известными экспериментальными данными, а также данными вычислительных экспериментов, выполненных известными численными методами.

Апробация результатов

Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях, семинарах и симпозиумах:

1. XXXV-XXXIX Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, г. Звенигород, Россия, 2008-2012.

2. XXITT-XXV Международная конференция "Уравнения состояния вещества", п. Эльбрус, Кабардино-Балкария, Россия, 2008-2010.

3. 15-16 Международный симпозиум по сильноточной электронике, г. Томск, Россия, 2008, 2010.

4. 6th, 8th—10th International Seminar "Mathematical Models & Modeling in Laser-Plasma Processes", Montenegro, 2009-2012.

5. 5-я Международная конференция "Параллельные вычислительные технологии", г.Москва, Россия, 28 марта - 1 апреля 2011 г.

6. 8th International conference on Dense Z-pinches (DZP-2011), Biarritz, France, 4-9 June 2011.

7. International Conference "Parallel Computing - ParCo 2011", Ghent, Belgium, 30 August - 2 September 2011.

8. 7th Int. PhD & DLA Symposium, Pecs, Hungary, 24-25 October 2011.

9. 6th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2012), Vienna, Austria, 10-14 Sept. 2012.

10. 4th Euro-Asian Pulsed Power Conference, 19th International Conference on High-Power Particle Beams (EAPPC-2012 / BEAMS-2012), Karlsruhe, Germany, 30 September - 4 October, 2012.

11. Семинар отдела №13 ИПМ им. М.В.Келдыша РАН под руководством зав. отделом, д.ф.-м.н. В. А. Гасилова, г. Москва, 26 июня 2012.

12. Семинар отделения физики токонесущей плазмы ТРИНИТИ под руководством директора отделения, к.т.н. ГрабовскогоЕ. В., г.Троицк,

19 апреля 2012.

Личный вклад автора

Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит автору, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Публикации

По результатам диссертационной работы опубликовано девять статей, из них две —в рецензируемых научных журналах. Список публикаций в рецензируемых научных журналах:

• Гасилов В. А., БагдасаровГ. А., БолдаревА. С. и др. Современные методы разработки программ для ЗО-моделирования задач плазмодинамики (плазменной мультифпзики). Вестник УГАТУ, т. 15, н. 4 (44), сс. 120-129, 2011.

• Гасилов В. А., БолдаревА. С., Дьяченко С. В. и др. Пакет прикладных программ MARPLE для моделирования на высокопроизводительных ЭВМ импульсной магнитоускоренной плазмы. Математическое моделирование, т. 24, н. 1, сс. 55-87, 2012. электронных журналах:

• ГасиловВ. А., БолдаревА. С., Дьяченко С. В. и др. Визуализации данных вычислительных экспериментов в области 3D моделирования излучающей плазмы, выполняемых на многопроцессорных вычислительных системах с помощью пакета MARPLE. Научная визуализация, т. 2, н. 1, 2010. сборниках:

• TkachenkoS. I., RomanovaV. М., Mingaleev A. R. et al. Experimental and numerical study of distribution of plasmas in the discharge channel upon aluminum wire explosion. Physics of Extreme States of Matter, pp. 213-215, Chernogolovka, Russia, 2010.

• GasilovV., BoldarevA., DyachenkoS. et al. Towards an Application of HPC Systems to 3D Simulations of HEDP in Z-Pinches. Applications, Tools and Techniques on the Road to Exascale Computing, v. 22, pp. 235-242, 2012.

• Boldarev A. S., GasilovV. A., OlkhovskayaO. G. et al. Object-orientcd codc MARPLE: simulations of radiative HD/MHD effects at high-performance computer systems. CD-ROM Proceedings of the 6th European Congress 011 Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, Vienna, Austria, 2012. препринтах:

• Гасплов В. А., Дьяченко С. В., БолдаревА. С. и др. Пакет прикладных программ MARPLE для моделирования на высокопроизводительных ЭВМ импульсной магнитоускоренпой плазмы. Препринт н.20 ИПМ РАН, 36 стр., 2011.

• БагдасаровГ. А., Дьяченко С. В., Ольховская О. Г. Измерение производительности и масштабируемости программного комплекса MARPLE. Препринт н. 37 ИПМ РАН, 22 стр., 2012.

• Дьяченко С. В., Багдасаров Г. А., Ольховская О. Г. Средства профилирования и анализа многопоточных приложений Oracle (Sun) Studio Performance Analyzer. Препринт н.38 ИПМ РАН, 15 стр., 2012.

• БагдасаровГ. А., ГасиловВ. А., Долгачев Г. И. и др. Экспериментальные и численные исследования динамики плазмы в ППТ па основе взорванной проволочки. Препринт н.56 ИПМ РАН, 16 стр., 2012.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, общих выводов и списка литературы. Работа изложена на 114 страницах, содержит 27 иллюстраций и 2 таблицы. Список литературы включает 69 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Багдасаров, Геннадий Алексеевич

Заключение

1. Разработано, реализовано и исследовано семейство схем повышенной точности для решения дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка на трехмерных сетках нерегулярной структуры с элементами различного типа в многопроцессорном режиме.

2. Разработан и реализован алгоритм расчета электромагнитного поля на основе системы уравнений Максвелла и обобщенного закона Ома в МГД-модели высокоскоростных течений плазмы в диапазоне параметров плазмы сильноточных Z-lIинчeй и других конструкций импульсной плазменной энергетики на основе проволочных сборок.

3. Предложенные численные схемы и алгоритмы реализованы в рамках программного комплекса МАЯРЬЕ, предназначенного для моделирования сильпоизлучающей импульсной плазмы в трехмерных областях сложной геометрической формы с использованием массивно-параллельных вычислений.

4. Средствами созданного программного обеспечения исследованы методом вычислительного эксперимента актуальные задач физики плазмы. Выполнено моделирование работы плазменного прерывателя тока на основе взорванной металлической проволочки. Определены параметры плазмы прерывателя и время его срабатывания. Выполнено моделирование формирования Z-пинчa в результате сжатия токовым импульсом проволочной сборки. Определены условия формирования компактного яркого источника излучения, а также исследовано влияние эффекта Холла на симметрию сжатия пинча.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Багдасаров, Геннадий Алексеевич, 2012 год

1. Ядерный синтез с инерционным удержанием. Современное состояние и перспективы для энергетики; Сборник статей под ред. чл.-корр. РАН Б. Ю. Шаркова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

2. Фортов В. Е. Экстремальные состояния вещества. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.

3. АзизовЭ. А., АлихановС. Г., Велихов Е. П. и др. Проект "Байкал". Отработка схемы генерации электрического импульса. ВАНТ. Сер. Термоядерный синтез, вып. 3. с. 3, 2001.

4. БухаровВ.Ф., ВласовЮ.В., Демидов В. А. Плазменные прерыватели микросекундных мегаамперных токов. ЖТФ, т. 71, н. 3, сс. 57-68, 2001.

5. Багдасаров Г. А., ГасиловВ.А., ДолгачевГ. И. и др. Экспериментальные и численные исследования динамики плазмы в ППТ на основе взорванной проволочки. Препринт н. 56 ИПМ РАН, 16 стр., 2012.

6. Брагинский С. И. Явления переноса в плазме. В книге: Вопросы теории плазмы, вып. 1, М.: Атомиздат, сс. 183-272, 1963.

7. КингсепА. С. Введение в нелинейную физику плазмы, 2-е издание. М: МЗ-ПРЕСС, 2004.

8. БоброваН. А., СасоровП. В. Об уравнениях электронной гидродинамики в пинчах малой плотности. Физика плазмы, т. 16, 1990.

9. BobrovaN.A., LazzaroE., SasorovP. V. Magnetohydrodynamic Two-Temperature Equations For Multicorriponent Plasma. Physics of Plasmas, v. 12, 2005.

10. Боброва H. А, СасоровП.В. МГД уравнения для полностью ионизованной плазмы сложного состава. Физика Плазмы, т. 19, сс. 789-795, 199311| Oliver В. V., MelhornT. A. IEEE Transactions on Plasma Science, 30 (517), 2002.

11. Bakshaev Yu. L. et al. Study of the dynamics of the electrode plasma in a high-current magnetically insulated transmission line. Plasma Physics Reports, vol. 33, No. 4, pp. 259-270, 2007.13| МарчукГ. И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.

12. МарчукГ. И. Методы расщепления для решения нестационарных задач. ЖВМиМФ, т. 35, н. 6, 1995.

13. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: пер. с англ. — М.: Мир, 1986.

14. ФлетчерК. Численные методы на основе метода Галеркнна. М.: Мир, 1988.

15. CockburnB. An Introduction to the Discontinuous Galerkin Method for Convection-Dominated Problems. Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations (Lecture Notes in Mathematics), v. 1697, pp. 151-268, 1998.

16. CockburnB., ShuC. W. The local DG method for time-dependent convection-diffusion systems. SIAM Journal of Numerical Analysis, v. 35(6), pp. 24402463, 1998.

17. CocburnB., Karniadakis G. E. and ShuC.-W. Discontinuous Galerkin methods. Lecture notes in computational science and engineering. Springer Verlag, 2000.

18. Arnold D.N., BrezziF., CockburnB., MariniL.D. Unified Analysis of Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Problems. SIAM Journal of Numerical Analysis, v. 39, pp. 1749-1779, 2002.

19. ГаланинМ. П., СавенковE. В., ТокареваС.А. Решение задач газовой динамики с ударными волнами RKDG-методом. Математическое моделирование, т. 20, н. 11, сс. 55-66, 2008.

20. ЛадоикинаМ. Е., Неклюдова О. А., ТишкинВ.Ф. Исследование влияния лимитера на порядок точности решения разрывным методом Галеркина. Препринт н. 34 ИПМ РАН, 31 стр., 2012.

21. Bram van Leer. Recent advances in Discontinuous Galerkinfor diffusion and advection. University of Michigan, Department of Aerospace Engineering, Ann Arbor, NIA, Hampton, VA. 6 November, 2006.

22. Edmund P. Yu, M. E. Cuneo, M. P. Desjarlais et al. 3D effects in trailing mass in the wire-array Z pinch. Physics of Plasmas, 15, 056301, 2008.

23. Robinson A. C., GarasiC. G. Three-dimensional z-pinch wire array modeling with ALEGRA-HEDP. Computer Physics Comm., v. 164, nn. 1-3, 2004.

24. Chittenden J. P., LebedevS. V., Bland S. N., BegF. N. and Haines M. G. One-, two- and three-dimensional modelling of the different phases of wire array Z-pinch evolution. Physics of Plasmas, 8, 2305, 2001.

25. ГасиловВ.А., Чуватин А. С., Круковский А. Ю. и др. Комплекс программ "РАЗРЯД" моделирование ускорения плазмы в сильноточных импульсных системах. Мат. моделирование, т. 15, н. 9, сс.107-124, 2003.

26. BaskoM.M. Introduction to RALEF-2D —a two-dimensional radiation-hydrodynamics code. Seminal at ILE, Osaka, December 17, 2010.

27. Thornhill J. W., ChongY. K., ApruzeseJ.P. et al. One- and two-dimensional modeling of argon K-shell emission from gas-puff Z-pinch plasmas. Physics of Plasmas, 14, 063301, 2007.

28. СелемирВ. Д., Демидов В. А., Репин П. Б., ОрловА. П. Двухмерное маг-нитогидродипамическое моделирование Z-пипчей с учетом эффекта Холла. Международная конференция по импульсной мощности Pulsed Power, г. Вашингтон, 28 июня 2009 г.

29. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

30. Courier W. J. An adaptively-refined, cartesian, cell-based scheme for Euler and Navier-Stokes equations. PhD thesis, University of Michigan, June, 1994.

31. Vingeron D.,Vaassen J.-M., EssersJ.-A. An implicit high-order cell centered finite-volume scheme for the solution of three-dimentional Navier-Stokes equations on unstructured grids. Third MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics, 2005

32. ШокинЮ.И., ФедотоваЗ.И. О достижениях в теории разностных схем. Вычислительные технологии, т. 4, и. 5, сс. 56-69, 1999.

33. Самарский А. А., СобольИ. М. Примеры численного расчета температурных волн. ЖВМиМФ, т. 3, н. 4, 1963.

34. Зельдович Я. Б., РайзерЮ.П. Физика ударных воли и высокотемпературных гидродинамических течений. 2-е изд., М.: Наука, 1966.

35. Самарский А. А., Попов И. М. Разностные методы решения задач газовой динамики. 3-е изд., доп., М.: Наука, 1992.

36. TothG. Computational MHD. Notes for an introductory level course. Dept. of Atomic Physics, Eotvos University, Porto, June 15-19, 1998.

37. BrackbillJ.U., Barnes D. C. The effect of nonzero product of V • В on the numerical solution of the magnetohydrodynamic equations. Journal of Computational Physics, vol. 35, pp. 426-430, 1980.

38. Kingsep A. S., MokhovYu. V., ChukbarK. V. Nonlinear skin effect in plasmas. Sov. J. Plasma Pliys., 10(4), July-August, 1984.

39. КингсепА. С. Введение в нелинейную физику плазмы. М.: МФТИ, 1996, 208 е., ISBN5-89155-010-X.

40. Брушлинский К. В. Математические и вычислительные задачи магнитной газодинамики. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

41. Борисенко А. И., ТараповИ. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: "Высшая школа", 1966.

42. Буч Г. Объектно-ориентироваииый анализ и проектирование с примерами приложений на С+ f. СПб.: "Невский диалект", 2-е изд., 2001.

43. A Guide to the Project Management Body of Knowledge (PMBOK Guide), Fourth Edition. Project Management Institute, 2008.

44. BoehmB. A Spiral Model of Software Development and Enhancement. ACM SIGSOFT Software Engineering Notes, ACM, 11(4), pp. 14-24, August 1986.

45. Буч Г., РамбоДж., ДжекобсонА. Язык UML. Руководство пользователя. Пер. с англ. Слинкин А. А., 2-е изд., стер., М.: ДМЛ Пресс, 2004.

46. Squillacote A. ParaView Guide, A Parallel Visualization Application. Kitware Inc., 3rd edition, 2008.

47. Никифоров А. Ф., Новиков В. Г., Уваров В. Б. Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы. М: Физматлит, 2000.

48. Долгачев Г. И., Масленников Д. Д., Ушаков А. Г. и др. Динамика заполнения плазмой зазора плазменного прерывателя тока поперек сильного магнитного поля. Физика плазмы, т. 37, и. 2, сс. 193-198. 2011.

49. БариновН.У., БудковС. А., Данько С. А. и др. Модернизированная установка РС-20 для исследования характеристик плазменного прерывателя тока. ПТЭ, н.2, сс. 112-119, 2002.

50. Грабовский Е. В., ГрицукА. Н., Смирнов В. П. и др. Токовая имплозия квазисферических проволочных лайнеров. Письма в ЖЭТФ, т. 89, н. 7, сс. 371-374, 2009.

51. Александров В. В., Волков Г. С., Грабовский Е. В. и др. Исследование характеристик имплозии квазисферических проволочных лайнеров на установке АНГАРА-5-1 при токе до 4 МА. Физика плазмы, т. 38, н. 4, сс. 345-369, 2012.

52. ГрабовскийЕ. В., Александров В. В., Волков Г. М. и др. Использование конусных проволочных сборок для моделирования трехмерных эффектов МГД-сжатия. Физика плазмы, т. 34, и. 10, сс. 885-900, 2008.

53. Александров В. В., Браницкий А. В., Волков Г. С. и др. Динамика гетерогенного лайнера с затянутым плазмообразованием. Физика плазмы, т. 27, н. 2, сс. 99-120, 2001.

54. Chuvatiii A. S., EtlishcrB. Theoretical approaches to the plasma openning switch (POS) operation mechanism: possible scenario. Séminaire au LPMI (PMI No. 2714), 11, 1992.