Нестационарные двухфазные течения газа с частицами в решетках профилей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Романюк Денис Андреевич

• Романюк Денис Андреевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Романюк Денис Андреевич

1.3.1 Основные подходы

1.3.2 Основные процессы и явления двухфазных течений

1.4 Моделирование двухфазных течений газа с твёрдыми частицами в турбомашинах

1.5 Физическая постановка задачи

1.6 Выводы по первой главе

2 Математическая модель течения несущего газа

2.1 Уравнения Эйлера и Навье — Стокса

2.2 Уравнения Рейнольдса (URANS) и модель турбулентности

k — ш SST Ментера

2.3 Численный метод расчёта несущего газа

2.3.1 Расчётная область и сетка

2.3.2 Численный алгоритм

2.3.3 Граничные и начальные условия

2.3.4 Согласование решения на подвижной границе между роторным и статорным блоками сетки

2.4 Выводы по второй главе

3 Математическая модель течения дисперсной фазы

3.1 Математическая модель бесстолкновительной примеси

3.2 Математическая модель столкновительной примеси

3.3 Модели отражения частицы от твёрдой поверхности

3.3.1 Полуэмпирическая модель для сферических частиц в плоском движении ("модель-1a")

3.3.2 Полуэмпирическая модель для сферических частиц с учётом трёхмерного движения ("модель-1Ь")

3.3.3 Модель для несферических частиц ("модель-2")

3.4 Моделирование разброса частиц примеси по размерам

3.5 Численный метод

3.5.1 Численный метод расчёта движения одной частицы

3.5.2 Метод Монте-Карло (DSMC) для расчёта столкнови-тельной примеси

3.5.3 Модель соударения двух частиц

3.6 Выводы по третьей главе

4 Результаты численного моделирования и их анализ

4.1 Картины течения несущего газа и частиц-маркеров

4.2 Сравнение картин течения примеси для разных моделей несущего газа

4.3 Сравнение картин течения монодисперсной примеси

4.4 Картины течения полидисперсной примеси

4.5 Влияние на течение примеси рассеяния частиц из-за их несферической формы при отскоке от лопаток

4.6 Роль столкновений между частицами и обратное влияние примеси на несущий газ

4.7 Сравнение относительной роли всех рассмотренных эффектов на течение примеси в решётках

4.8 Выводы по четвёртой главе

Заключение

Список литературы

Условные обозначения

an, aT — коэффициенты восстановления нормальной и касательной составляющей скорости частицы при отскоке от поверхности p — давление газа R — газовая постоянная M — число Маха газа

cp — удельная теплоёмкость газа при постоянном давлении cv — удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме rp — радиус частицы mp — масса частицы Jp — момент инерции частицы

fd — вектор аэродинамической силы сопротивления, действующий на частицу

fu — вектор силы Магнуса, действующий на частицу lp — аэродинамический момент, действующий на частицу rp — радиус—вектор частицы vp — вектор скорости частицы Kn — число Кнудсена

Mp — число Маха движения частицы относительно несущего газа Pr, Prt — число Прандтля и турбулентное число Прандтля Re — число Рейнольдса

Rep — число Рейнольдса движения частицы относительно несущего газа

Stk — число Стокса

Греческие символы:

р — плотность газа

pp — плотность материала частицы

Y — показатель адиабаты

д — коэффициент динамической вязкости

¡x>p — вектор скорости вращения частицы

а — объёмная концентрация дисперсной примеси

Введение

Моделирование нестационарного двухфазного течения газа с твёрдыми частицами в системе решёток аэродинамических профилей представляет собой часть более общей задачи о моделировании течений запылённого газа в турбомашинах, в частности, в турбореактивных, турбовентиляторных и т.п. авиадвигателях. В последнем случае такая задача возникает в связи с полётами самолётов и вертолётов в запылённой атмосфере, например, при взлёте и посадке в песчаной местности, а также при полёте через рассеянные облака вулканического пепла. Расчёт течения запылённого газа чрезвычайно важен для прогноза абразивного износа лопастей воздушного винта, лопаток входной ступени компрессора и последующих элементов проточного тракта. Наличие в набегающем потоке воздуха даже очень небольшого количества дисперсной примеси приводит, как правило, к заметному абразивному износу, и тем самым негативно влияет на характеристики двигателя и срок его службы. Ясно, что для понимания особенностей движения примеси через венцы лопаток и прогнозирования наиболее опасных с точки зрения эрозионного воздействия участков поверхностей необходимо иметь адекватное описание всего двухфазного потока. Течение запылённого газа в решётках является очень сложным. Оно, как правило, турбулентное, примесь полидисперсная, частицы имеют неправильную форму и при отскоке от лопаток могут хаотически рассеиваться, они также могут сталкиваться между собой, что приводит к дополнительной хаотиза-ции движения дисперсной фазы. Наконец, течение несущего газа и частиц происходит в системе подвижных и неподвижных венцов, что делает течение существенно нестационарным.

В математической модели для описания такого рода течений необходимо учитывать следующие физические факторы и процессы:

— (1) Трансзвуковой характер течения и сжимаемость несущего газа;

— (2) Полидисперсность твёрдых частиц примеси;

— (3) Столкновение и отражение частиц от твёрдых поверхностей;

— (4) Рассеяние частиц при отражении от твёрдой поверхности из-за их

несферической формы;

-(5) Столкновения между частицами;

-(6) Обратное влияние примеси на несущий газ.

Все перечисленные факторы учтены в данной работе. Рассмотрим их более подробно.

(1) В данной работе рассматривается нестационарное двухфазное течение газа с твёрдыми частицами в системе двух плоских решёток "ротор—статор". Значительное внимание уделено моделированию и анализу течения несущего газа. Течение газа моделировалось на основе уравнений Эйлера, Навье—Стокса, а также на основе уравнений Рейнольдса, для замыкания которых использовалась к — ш БЯХ модель турбулентности Ментера. Численный алгоритм реализует конечно-объёмный метод и имеет второй порядок аппроксимации по пространству в областях гладкости решения.

(2) Для описания движения бесстолкновительной примеси используется Лагранжев подход. Траектория движения каждой частицы рассчитывается отдельно. Исследовано движение монодисперсной и полидисперсной примеси. Во втором случае считается, что в невозмущённом потоке твёрдые частицы распределены по размерам по логарифмически нормальному закону. Фракции различных размеров перемешиваются в потоке, что даже в бесстолкновительной примеси приводит к сложной структуре течения.

(3 и 4) Было принято две модели отражения частиц от твёрдой стенки. Первая — полуэмпирическая модель [52] и её модификация для трёхмерного движения частицы сферической формы [8]. Вторая — модель с постоянными коэффициентами восстановления точки контакта [37], которая используется для расчёта отражения несферических частиц. При моделировании столкновения несферической частицы с лопатками их пространственная ориентация относительно поверхности лопаток считается случайной и равновероятной.

(5) Для моделирования течения столкновительной примеси используется вариант метода Монте-Карло разработанный в работе [137]. "Техника"

этого метода близка к используемой в динамике разреженного газа. Характерной чертой алгоритма Монте-Карло является раздельное рассмотрение поступательного движения частиц и столкновений между ними. Это позволяет не проводить постоянную трассировку траекторий всех частиц, что значительно упрощает алгоритмическое описание процессов движения частиц и значительно уменьшает время расчёта течения столкновительной примеси.

(6) В случаях достаточно высоких концентраций частиц учитывается обратное влияние дисперсной примеси на несущий газ. Это явление учитывается с помощью введения соответствующих источниковых членов в уравнениях для газовой фазы.

Основные цели работы:

(1) Разработка математической модели, алгоритма расчёта и его численная реализация для моделирования нестационарного течения двухфазной смеси газа с дисперсными частицами в системе решёток "ротор—статор" с учётом следующих эффектов случайной природы: разброс частиц по размерам, рассеяние частиц при отскоке от лопаток (профилей) из-за их несферической формы, столкновения между частицами, а также с учётом обратного влияния примеси на течение несущего газа.

(2) Расчёт и анализ двухфазных течений в системе решёток. Оценка роли отдельных факторов, а также их совместного влияния на динамику примеси и её параметры.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения:

Глава 1. Состояние исследований

Рассмотрено современное состояние исследований по теме диссертации. Приведён обзор литературы по влиянию твёрдой примеси на работу турбореактивных двигателей, приведены основные подходы при численном моделировании течений несущего газа и дисперсной примеси. Дана физическая постановка задачи.

Глава 2. Математическая модель течения несущего газа

Приведены системы уравнений Эйлера, Навье—Стокса и Рейнольдса с

моделью турбулентности к — и Ментера. Описан численный метод: расчётная сетка, численный алгоритм, граничные и начальные условия.

Глава 3. Математическая модель течения дисперсной фазы

Рассмотрены математические модели бесстолкновительной и столкно-вительной примеси. Приведены модели расчёта отражения частиц сферической и произвольной формы от гладкой твёрдой поверхности. Описаны использованные численные методы.

Глава 4. Результаты численного моделирования и их анализ

Представлены результаты численного параметрического исследования и дан анализ роли рассмотренных случайных факторов на динамику, картину течения и профили концентрации примеси.

В Заключении сформулированы основные выводы.

Научная новизна:

(1) Задача о нестационарном двухфазном течении газа с частицами в системе решёток профилей с учётом разброса частиц по размерам, рассеяния частиц при отскоке из-за несферичности формы, столкновений между частицами и обратного воздействия примеси на течение газовой фазы рассмотрена впервые.

(2) Полностью оригинальной является численная реализация математической модели для расчёта нестационарных двухфазных течений в решётках.

(3) Впервые в результате численного моделирования двухфазных течений в решётках получены оценки роли случайных факторов на динамику, картину и параметры течения примеси в широких диапазонах основных определяющих параметров (размер, форма и концентрация частиц).

Основные положения, выносимые на защиту:

(1) Математическая модель нестационарного двухфазного течения газа с твёрдыми частицами в системе решёток "ротор—статор" с одновременным учётом полидисперсности, рассеяния при отскоке от лопаток и столкновений между частицами, а также обратного влияния дисперсной примеси на течение несущего газа.

(2) Численная модель для расчёта двухфазных течений в решетках на основе уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Рейнольдса для несущего газа и лагранжевого и кинетического описания примеси с учётом названных выше эффектов.

(3) Результаты расчётов и анализ относительной роли факторов случайной природы (разброс частиц по размерам, рассеяние при отскоке от поверхности лопаток, хаотизация движения примеси из-за столкновений между частицами), а также обратного влияния примеси на газовую фазу в рассмотренной задаче.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные двухфазные течения газа с частицами в решетках профилей»

Апробация работы

Основные результаты по теме работы были представлены на 16 российских и международных научных конференциях и форумах:

1. XV Международная конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (ВМСППС'2007) (Крым, Алушта, 2007);

2. Всероссийский семинар по аэрогидродинамике (Санкт-Петербург, 2008);

3. 8th World Congress on Computational Mechanics WCCM8 / 5th European Congress on Computation Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2008) (Venice, Italy, 2008);

4. 7th EUROMECH Fluid Mechanics Conference (EFMC 7) (Manchester, United Kingdom, 2008);

5. XVII Школа-семинар молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева, "Проблемы газодинамики и тепломассообмена в аэрокосмических технологиях" (г. Жуковский, 2009);

6. 3d European Conference for Aero-Space Sciences (EUCASS 2009) (ParisVersailles, France, 2009);

7. III Международная научно-техническая конференция "Авиадвигатели XXI века" (Москва, ЦИАМ, 2010);

8. 5th European Conference on Computational Fluid Dynamics (ECCOMAS CFD 2010) (Lisbon, Portugal, 2010);

9. VII всероссийская научная конференция "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики" (Томск, 2011);

10. Х-й всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (ВСФПТПМ) (Нижний Новгород, 2011);

11. Международная научная конференции по механике "Шестые Поля-ховские чтения" (Санкт-Петербург, 2012);

12. XVI Международная конференция по методам аэрофизических исследований (ICMAR 2012) (Казань, 2012);

13. 5th European Conference for Aero-Space Sciences (EUCASS 2013) (Munich, Germany, 2013);

14. 29th Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences (ICAS 2014) (St.Petersburg, 2014);

15. Х! Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (ВСФПТПМ) (Казань, 2015);

16. XXIV Всероссийский семинар с международным участием по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Новосибирск, 2015);

17. Семнадцатая международная школа-семинар "Модели и методы аэродинамики" (Евпатория, 2017).

Публикации

Результаты диссертации представлены в 19 публикациях: в 2-х статьях и в изданиях из Перечня ВАК [144] и [145], в 2-х статьях, индексируемых в Scopus [146] и Web of Science [147], в статье в рецензируемом издании избранных трудов Европейской конференции EUCASS [148], в 7-ми статьях в сборниках трудов различных научных форумов [149]-[155] (тезисы здесь не учитываются), в 7-ми публикациях тезисов докладов [156]-[162].

Личный вклад автора в совместных публикациях

В совместных публикациях автору принадлежит математическая постановка задач, алгоритмы расчёта течений несущего газа и примеси, программная реализация алгоритмов, результаты численного моделирования и их постпроцессорная обработка, участие в обсуждении и анализе результатов. В работах в соавторстве с научным руководителем [144]-[155],

[157] —[162] Ю.М. Циркунову принадлежит выбор направления исследований, общая постановка и методология решения задач, анализ совместно с автором диссертации численных результатов. В работах [146], [148], [151], [153], [158], [160] С.В. Панфилову принадлежит алгоритм расчёта столкновения частиц с твёрдой поверхностью. В работе [155] М.А. Лобановой принадлежат результаты расчёта вихревой структуры следа за самолетом (в диссертацию не вошли). В работе [160] А.Н. Волкову принадлежат результаты обтекания цилиндра (в диссертацию не вошли). В работе [161] О.В. Маракуевой принадлежат результаты расчёта течения чистого газа в модельном компрессоре авиадвигателя на основе упрощённой постановки задачи (в диссертацию не вошли). Все основные результаты, вошедшие в диссертацию, принадлежат автору.

1 Состояние исследований

1.1 Влияние запылённости воздуха на работу авиадвигателя

Военная и гражданская авиационная техника может эксплуатироваться в условиях запылённости атмосферы. Например, наличие в воздухе частиц песка может приводить к абразивному износу лопастей винтов, лопаток компрессора и турбины авиадвигателя, и к другим негативным процессам. Как правило, эффект запылённости проявляется во время взлёта и посадки, а также при полётах на относительно низких высотах. Ещё одним важным примером наличия дисперсных частиц в воздухе является вулканический пепел. Полёт самолётов в рассеянных облаках вулканической пыли может приводить к серьёзным повреждениям авиадвигателей и возникновению аварийной ситуации.

В процессе эксплуатации турбомашин, происходят различные процессы износа, приводящие к ухудшению их характеристик. В работах (Meher C.B., 2000) [93] и (Bons J.P., 2010) [61] приводится их сводный обзор, в том числе рассматривается эрозионное воздействие. Так, согласно исследованиям, частицы малого размера, со средним диаметром около 5-10 мкм, в основном осаждаются на поверхности лопаток, а частицы большего размера вызывают эрозию. Эрозия приводит к возникновению шероховатости и снижению аэродинамических и прочностных характеристик лопаток. Сталкиваясь с лопатками, твёрдые частицы вызывают разрушение и унос вещества, что ведёт к изменению геометрии лопаток. Появление шероховатости приводит к снижению эффективности работы компрессора и двигателя в целом. Для лопаток ротора типичным является повышенный износ поверхности вблизи стенок канала проточного тракта (рис. 1.1, а), а для статора более характерен износ у основания лопаток (рис. 1.1, б). Вместе с этим происходит стачивание передней и задней кромок лопаток, что равносильно изменению профилей лопаток и угла их установки (рис. 1.2). Помимо прочего, абразивное разрушение приводит к нарушению целостности спе-

циального защитного покрытия лопаток и способствует уменьшению срока их службы.

Рис. 1.1: Результат эрозии лопаток компрессора [61]: слева — ротора, справа — статора.

Обзор работ по эрозии в турбомашинах приведён в статье (ТаЬак^ 2006) [85]. На рис.1.3 показан пример эрозии лопаток под воздействием потока примеси. Вопрос об эрозионном разрушении элементов проточного тракта остро возник при эксплуатации вертолётной техники во Вьетнаме, когда из-за высокой запылённости атмосферы двигатели приходилось выводить из эксплуатации в среднем уже через 100 часов налёта [99]. Согласно

■ Разрушаемый материал

Рис. 1.2: Схема эрозии лопатки [74].

Рис. 1.3: Лопатка турбины после тестового воздействия облака частиц кварца общей массой 20 гр и размером 1500 мкм при скорости 100 м/с и углом атаки 30 градусов [85].

[112], во время операции "Буря в пустыне" двигатели вертолётов часто приходилось заменять уже после 20 часов эксплуатации. В среднем, массовый поток песка для вертолётов различных типов составлял: Westland Lynx — 15 кг/час, SA-330 Puma — 23 кг/час, Boeing CH-47 Chinook — 56 кг/час. Таким образом, эксплуатация тяжёлых транспортных вертолётов оказалась затруднена. Это обстоятельство привело к созданию и установке на вертолёты устройств "Engine Air Particle Separators" (EAPS) для фильтрации от частиц входящего в компрессор воздуха. На рисунке 1.4 приведена принципиальная схема подобных устройств, чья эффективность может достигать 93—98%. В результате этих мер среднее время эксплуатации двигателей значительно возросло.

Согласно исследованиям (Neff J.C., 2013) [100] и (Wang Y.Q., 2008) [139] в типичной пустынной местности концентрация твёрдых частиц составляет 150—200 мг/м3. Во время сильного ветра (пылевой бури) она может достигать до 700—900 мг/м3. В отдельных редких случаях (песчаная буря) концентрация частиц размера PM10 может достигать 15000 мг/м3.

Рис. 1.4: Принципиальная схема устройств EAPS [112].

Согласно [64] впервые проблема полётов в атмосфере с наличием вулканического пепла привлекла внимание после извержения вулкана Сент-Хеленс (St.Helen) в мае 1980 г., когда несколько реактивных самолётов пострадали, попав в облако пепла. Затем в течение десятилетия произошла целая череда извержений: 1982 — Галунггунг (Galunggung, остров Ява), 1989 — Редабт (Redoubt, Аляска), 1991 — Пинатубо (Pinatubo, Филиппины). Стало понятно, что облако пепла может распространяться на большое расстояние и вызывать повреждение авиадвигателя самолётов на удалении в нескольких сотен километров от места извержения.

Наиболее известными являются два инцидента. Первый из них — это происшествие 15 июня 1982 г. с рейсом British Airways Flight 009, когда Boeing 747-236 вошёл в облако вулканического пепла от извержения вулкана Галунггунг. Высота полёта в момент входа в облако составляла 11300 метров, расстояние от места извержения 150 км. В результате произошла остановка всех четырёх двигателей, которые удалось запустить лишь на высоте 3500 м. Ещё один инцидент произошёл в США 15 декабря 1989 г. с рейсом KLM-867, когда Boeing 747-400 попал в облако вулканического пепла от извержения вулкана Редаут, что также привело к временной остановке всех четырёх двигателей. Изучение осевших частиц пепла показало, что они имели размер до 100 мкм [65]. Результаты тщательного

исследования двигатели этого лайнера приведены в статье [106]. В том же районе, в разное время были зафиксированы инциденты ещё с четырьмя авиалайнерами, но уже без остановки двигателей. При этом высота полёта составляла около 7500 метров, удаление от вулкана до 240 км. В случае с извержением вулкана Пинотубо происшествия случались на удалении до 1000 км от его местоположения [64].

Уже после первых подобных инцидентов стал проводится систематический сбор и анализ информации. В июле 1991 г. в Сиэтле состоялся первый симпозиум по проблеме полётов в условиях наличия в воздухе вулканического пепла и проблемам авиационной безопасности [63]. В материалах симпозиума были рассмотрены основные инциденты произошедшие во время извержений вулкана Редаут (Redoubt) в 1989-1990 г., были освещены процессы формирования облаков пепла, основные подходы и направления для моделирования воздушной ситуации, предсказания опасных зон для полётов и т.д.

Столб вулканической пыли может подниматься на высоты до 30 км, т.е. достигать стратосферы, где вулканические частицы могут уносится потоками воздуха на сотни километров, постепенно выпадая из облака на землю под действием силы тяжести. При этом само наблюдение миграции таких облаков представляет определённые сложности и в настоящее время наилучшим образом оно выполняется с помощью спутниковой съёмки.

В работе [66] содержится наиболее полный обзор подобных инцидентов с авиалайнерами с 1953 по 2009 гг. Всего было зафиксировано 129 случаев, при этом остановка двигателей наблюдалась в 9-ти из них.

На рис.1.5 представлена характерная картина осаждения расплавленного вулканического материала на лопатках турбины высокого давления.

В работах (Dunn M.G., 1987 и 1996) [72], [73] приведены результаты испытаний авиадвигателей фирм двигателей Pratt & Whitney и General Electric в условиях запылённого воздуха. В качестве дисперсной примеси использовалась смесь из различных сортов песка и вулканической пыли с места извержения вулкана Сент-Хеленс (США). По результатам этих экс-

Рис. 1.5: Осаждение расплавленного вулканического пепла на лопатках турбины высокого давления [85].

периментов был сделан вывод, что при длительной работе в запылённой среде происходит повышенный износ элементов двигателя и заметное снижение его тяги. Было установлено, что необходимая температура для расплавления вулканической пыли составляет около 1100oC. При этом может происходить осаждение расплавленного материала на отверстиях охлаждения лопаток и на соплах впрыска топлива. В работе (Dunn M.G., 2012) [75] приведены данные по воздействию частиц песка и вулканического пепла на авиационные двигатели.

В работе [117] показано, что вулканический пепел обладает примерно в четыре раза большей абразивной способностью чем обычный песок и, таким образом, он значительно более опасен.

1.2 О численном моделировании течений несущего газа

В данном разделе описаны наиболее существенные черты численных методов решения уравнений газодинамики.

1.2.1 Методы дискретизации уравнений несущего газа

Для численного моделирования течения несущего газа необходимо выбрать тот или иной метод получения дискретного аналога системы уравнений описывающей его течение. Кратко рассмотрим их суть, преимущества и недостатки.

1. Конечно-разностный метод. Вся расчётная область представляется с помощью структурированной сетки. Каждый узел сетки является точкой, в которой сосредоточены и рассчитываются параметры течения. Для численного решения уравнений течения используются конечно-разностные аналоги уравнений в дифференциальной форме [88].

2. Конечно-объёмный метод. Расчётная область разбивается на вычислительные ячейки. В ходе решения системы уравнений течения газа находятся средние для ячейки значения параметров, которые "сосредоточены" в центре масс. Для построения схем второго и более высоких порядков аппроксимации по пространству газодинамические параметры представляются в виде полиномов в пределах каждой рассматриваемой ячейки [88].

3. Конечно-элементный метод. Расчётная область разбивается на конечные элементы произвольной формы. Внутри каждого конечного элемента вводится некоторое количество расчётных точек и полиномиальное распределение для каждой переменной, коэффициенты которого находятся в процессе решения [88]. В последнее время получил широкое распространение разрывный метод Галёркина (РМГ, Discontinuous Galerkin Method), основанный на использовании разрывных базисных функций, и нацеленный на расчёты течений с ударными волнами и разрывами.

Основным недостатком конечно-разностного метода является необходимость построения структурированной сетки, что создаёт значительные сложности при расчётах течений со сложной геометрией. Значительным плюсом является простота расчёта производных второго и более высоких порядков за счёт наличия координатных направлений сетки, что успешно использовалось при создании первых вариантов ENO (Essentially Non-Oscillatory) и WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory) методов. В на-

стоящее время конечно-разностный метод наиболее часто используется в исследовательских группах для тестирования новых алгоритмов и подходов на примере задач академического характера.

Наиболее известные пакеты программ для газодинамических расчётов, такие как Ansys Fluent, Ansys CFX, OpenFOAM и др., построены на конечно-объёмном методе. Его преимуществом является возможность использования неструктурированной расчётной сетки, что позволяет рассчитывать течения со сложной геометрией. Недостатком метода является сложность расчёта пространственных производных на сетке для третьего и более высоких порядков аппроксимации по пространству. В этих случаях шаблон (набор необходимых ячеек) для реконструкции функций распространяется на несколько слоёв удалённости ячеек от той, для которой строится реконструкция. При этом повышается алгоритмическая сложность нахождения самого шаблона аппроксимации, существенно увеличивается машинное время на вычисление производных. Также возрастают требования к качеству сетки, к скошенности ячеек (к плавности перехода форм и размеров ячеек) [7].

Конечно-элементный метод позволяет использовать сетки произвольной формы и менее критичен к их качеству в сравнении с конечно-объёмным методом. В силу особенностей метода упрощается построение схем более высокого чем второй порядка аппроксимации по пространству (Волков А.В., 2010) [7].

В настоящее время широко распространено промышленное использование коммерческих газодинамических пакетов, обеспечивающих второй порядок аппроксимации по пространству. Методы расчётов с более высоким порядком аппроксимации мало распространены в промышленности и чаще всего встречаются в расчётных кодах различных научных групп. Их применение связано с существенно большими временными затратами на проведение расчётов. При этом, во многих случаях, с точки зрения инженерных приложений получаемые результаты могут не иметь существенных отличий.

В методе конечных объёмов и разрывном методе Галёркина имеет место разрыв функций газодинамических параметров на гранях ячеек. В этом случае для нахождения "невязких"потоков консервативных переменных через грани используется решение задачи Римана о распаде произвольного разрыва.

1.2.2 Методы решения задачи Римана о распаде разрыва

В данной работе используется конечно-объёмный метод расчёта течений несущего газа, построенный на основе решения задачи о распаде разрыва.

Оригинальная версия этого метода была предложена Годуновым С.К. Она подробно описана, например, в [13]. Сейчас существует целое семейство различных версий этого метода. Их описание можно найти в работах Торо (Toro E.F., 1999) [127] и Куликовского А.Г. (2001) [26].

В данном исследовании, на стадии тестирования программного кода проводились расчёты течений в ударной трубе и обтекания цилиндра при числах Маха 0.5-2.0. Использовались следующие методы решения задачи Римана:

1. Метод Роу. Обладает удовлетворительным балансом между скоростью расчёта и качеством решения. Используется в пакете Ansys Fluent в составе решателя "density-based".

2. Метод Ошера-Соломона. Позволяет более аккуратно, чем метод Роу, рассчитывать параметры в волнах разрежения, однако требует большего машинного времени.

3. Метод точного решения задачи о распаде разрыва, который использовался в оригинальной работе Годунова. В сравнении с вышеперечисленными, он является наиболее затратным по времени.

Как показали тестовые расчёты дозвуковых и трансзвуковых течений, для решения задач данной работы метод Роу оказался более предпочтительным. Он позволяет проводить расчёты быстрее чем остальные два метода, при этом результаты практически не отличаются.

Схемы второго порядка аппроксимации по пространству получаются

с помощью кусочно-линейного представления распределения параметров внутри ячеек. При этом, во избежание осцилляций решения вблизи газодинамических разрывов, необходимо вводить ограничение на градиенты газодинамических параметров. В этих целях могут применяться различные подходы, например TVD или WENO (Total Variation Diminishing). В первом случае на газодинамических разрывах схема переключается на первый порядок аппроксимации. Во втором случае, формально схема сохраняет второй порядок, но при этом значения производных существенно ограничиваются по величине. В данной работе используется TVD метод, основанный на ограничителе "minmod", предложенном в работе [142].

1.2.3 Моделирование турбулентности

В настоящие время наиболее распространённым подходом моделирования течений газа в турбомашинах является использование стационарных (RANS) и нестационарных (URANS) осреднённых по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса. Такой подход является достаточно экономичным с точки зрения вычислительных ресурсов. Его использование длительное время позволяло успешно рассчитывать течения в турбомашинах различного назначения и улучшать их характеристики.

Однако в настоящее время прогресс в этой области с использованием RANS или URANS подхода и экспериментальных исследований уже приближается к пределу своих возможностей. Эксперименты достаточно дороги и существуют определённые сложности при выполнении измерений, поэтому основной акцент приходится на численное моделирование.

RANS подход не позволяет разрешить мелкомасштабную турбулентность, а также в ряде случаев неточно предсказывает зоны отрыва течения. Уравнения RANS могут давать завышенную оценку рейнольдсовых напряжений, что приводит к более тонким вихревым следам и завышению оценки потерь давления (Muller—Shindewolffs C., 2017) [98]. Потери при течении в турбомашинах вызваны потерями энергии в пограничных слоях лопаток, при отрыве течения, при смешении в следах за лопатками, при

пересечении следов, из-за вторичных течений около вала (Jimbo T., 2012)

[91].

Также у подхода RANS имеются определённые трудности при моделировании течений с большой кривизной линий тока, при наличии зон с низкими числами Рейнольдса, при реламинаризации течения, при учёте шероховатости поверхности и т.п. Некоторые авторы отмечают слабую теоретическую обоснованность подхода URANS, особенно в случаях присутствия одновременно крупномасштабной и мелкомасштабной турбулентности (Tucker P., 2013) [132]. Это связано с тем, что изначально уравнения RANS и многие модели турбулентности создавались для случая стационарных течений.

В этой связи дальнейшее развитие моделирования течений в турбома-шинах связывается с использованием подходов DES, LES, гибридных подходов и DNS. Как показал первый опыт применения этих подходов, они позволяют лучше моделировать переходные процессы, разрешать большую часть вихревых структур течения и точнее прогнозировать течение. В работах [131], [132], [91] приведены обзоры по текущему состоянию, преимуществам и недостаткам, и по перспективам использования LES в турбо-машиностроении. Отмечается что данный подход и его модификации всё чаще используются в инженерных расчётах.

В работах Любимова Д.А. [29], [30], [28] разработаны и подробно описаны RANS/ILES и WMILES методы для расчёта турбулентных сжимаемый течений в элементах проточного тракта авиадвигателей и струях.

В сборнике трудов ЦИАМ [10] обобщены результаты многолетних исследований учёных Лаборатории газовой динамики. В нём рассмотрены квазиодномерные модели, проблемы пограничного слоя, оптимальное профилирование, взаимодействие решёток и венцов, трансзвуковые и двухфазные течения, теории и модели турбулентности, численные методы и т.д.

1.3 Моделирование течений дисперсной примеси 1.3.1 Основные подходы

Всего можно выделить три основных подхода к моделированию течений дисперсной примеси.

1а) Континуальный Эйлеров подход. Был введён в работах (Carrier G.F., 1958) [62] и существенно развит Крайко А.Н., Стерниным И.Е. (1965) [25] и Нигматулиным Р.И. (1987) [34]. Для описания дисперсной фазы совокупность частиц рассматривается как "газ" частиц для которого вводятся уравнения, аналогичные уравнениям Эйлера для несущего газа.

Двухфазное течение в целом рассматривается как течение взаимопроникающих континуумов — несущего газа и дисперсной фазы. При этом дисперсная фаза считается, как правило, бесстолкновительной сплошной средой. В некоторых задачах для моделирования примеси требуется вводить не один, а два и более континуумов.

Так, в задачах обтекания тел с отскоком (отражением) частиц от поверхности в работах Матвеева С.К. (1982—1984) [31], [32], [33] было введено три взаимопроникающих континуума: для падающих, отражённых и хаотически сталкивающихся частиц. Модифицированные уравнения Эйлера для "газа частиц" включали в себя источниковые члены, описывающие переход частиц из бесстолкновительного континуума в столкновительный. В последнем случае "газ частиц" имел собственное давление. Эта модель использовалась позже в работах Джайчибекова Н.Ж. (1985—1986) [15], [14], для исследования эффекта экранирования поверхности тел слоем отражённых частиц от высокоскоростного потока падающих частиц.

Данная модель имеет существенные ограничения, связанные с использованием двух допущений:

— принимается, что число Кнудсена в "газе частиц" много меньше единицы. Это означает возможность расчёта течений только с достаточно высокой объёмной концентрацией а ^ 10—2;

— предполагается равновесное максвелловское распределение частиц по

скоростям, которое в случае дисперсных частиц весьма спорно, поскольку в изолированной системе частиц происходит затухание кинетической энергии системы из-за потерь на сопротивление воздуха и неупругости столкновений между частицами.

1б) Континуальный Лагранжев подход (или полный Лагранжев подход). Данный метод являющийся развитием дискретно—траекторного подхода. Наряду с уравнением импульса и энергии вводится дополнительное уравнение — уравнение неразрывности неразрывности для "газа" частиц, записанное также в лагранжевых переменных. Решение этого уравнения даёт поле концентрации или поле средней плотности примеси.

Такой подход для бесстолкновительной среды частиц был введён Зельдовичем Я.Б. (1973) в работе [17]. Для расчётов двухфазных течений газа с твёрдыми частицами он был развит и впервые с успехом использован Осип-цовым А.Н. (1988-2000) [35], [103], [104], [105], который предложил метод вычисления элементов якобиана в уравнении неразрывности с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Затем этот метод использовался и развивался другими научными группами: Циркунова Ю.М. [53], [125], [126], Янга (Young J.B.) [86] и др.

2) Дискретно—траекторный подход. Для расчётов движения бесстолк-новительной примеси он начал активно использоваться начиная с работ Фукса Н.А. (1958) [46]. Позже Кроу (Crowe C.T., 1972) [67], [68] предложил алгоритм расчёта концентрации примеси на основе расчёта траекторий большого количества частиц. Далее этот подход применялся многими научными группами для расчётов течений газа с твёрдыми частицами: Tabakoff W. [133], Ishii R. [90], Рамм М.С. и Шмидт А.А. [39], [40], [41] Циркунов Ю.М. [54] и др. Дисперсная примесь представляется с помощью некоторой совокупности пробных частиц. Каждая частица рассматривается индивидуально, её движение и теплообмен описывается с помощью уравнений импульса и энергии, записанных в Лагранжевых координатах. Поле концентрации частиц находится путём подсчёта количества частиц, оказавшихся на текущем временном шаге внутри ячеек расчётной сетки.

Основным недостатком метода является зависимость результатов от количества пробных частиц и размера расчётных ячеек для частиц. С алгоритмической точки зрения данный метод можно считать упрощённым вариантом метода основанного на кинетическом подходе для случая течения бесстолкновительной примеси.

3) Кинетический подход. Этот подход был развит для моделирования движения столкновительной примеси. Кинетическая теория газовзвесей изложена в монографии Цибарова В.А. (1997) [50]. Для случая бесстолкнови-тельной примеси в течениях "газ-твёрдые частицы" кинетическая теория была развита в работах Киселёва В.П. (1986-1994) [20], [21], [22]. Обобщение на случай столкновительной примеси было выполнено в работах Протодья-конова И.О. (1985) [38] и Цибарова В.А. (1997) [50]. Практическая реализация кинетического метода требует использования методов Монте-Карло прямого статистического моделирования. Впервые это было осуществлено в работе Танака (Tanaka X. а1, 1991) [124]. В цикле работ научной группы Циркунова Ю.М. была развита алгоритмическая реализация метода Монте-Карло, которая использовалась для расчёта течений столкнови-тельной примеси около затупленных тел в работах [8], [134], [135], [136], в которых был исследован слой интенсивно сталкивающихся частиц, возникающий при обтекании затупленного тела потоком газовзвеси.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Романюк Денис Андреевич, 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Андерсон Д., Таннехилл Дж, Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х т. — М.: Мир, 1990.

[2] Асмолов Е.С. О поперечной силе, действующей на сферическую частицу в ламинарном пограничном слое. // Изв. АН СССР, МЖГ. 1989. N 5. с. 66—77.

[3] Бабуха Л.Г., Шрайбер А.А. Взаимодействие частиц полидисперсного вещества в двухфазных потоках. — Киев: Наук. думка, 1972. — 176 с.

[4] Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: Учебник в 2-х томах. Т. 2. Динамика. — М.: Наука, 1979. — 544 с.

[5] Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. — 312 с.

[6] Вараксин А.Ю. Турбулентные течения газа с твёрдыми частицами. — М.: Физматлит, 2003. — 192 с.

[7] Волков А.В. Метод численного исследования обтекания пространственных конфигураций путём решения уравнений Навье—Стокса на основе схем высокого порядка точности. Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. // ЦАГИ — Москва, 2010. — 189 с.

[8] Волков А.Н., Циркунов Ю.М. Кинетическая модель столкновительной примеси в запылённом газе и её применение к расчёту обтекания тел. // Изв. РАН, МЖГ. 2000. N 3. с. 81—97.

[9] Волков А.Н., Циркунов Ю.М. Влияние дисперсной примеси на течение и теплообмен при поперечном обтекании цилиндра сверхзвуковым потоком запылённого газа. // Изв. РАН, МЖГ. 2005. N 4. с. 81—97.

[10] Газовая динамика. Избранное. В 2 т. / Под общей ред. А.Н. Крайко. Ред.-сост. А.Н Крайко, А.Б. Ватажин, А.Н. Секундов. — 2-е изд. испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 720 и 752 с.

[11] Гарбарук А.В., Стрелец М.Х., Шур М.Л . Моделирование турбулентности в расчётах сложных течений. Учебное пособие. — Санкт-Петербург: Изд-во Политехнического ун-та, 2012 г. — 88 с.

[12] Гильманов А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. — 248 с.

[13] Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука, 1976. — 400 с.

[14] Джайчибеков Н.Ж., Матвеев С.К. Расчёт обтекания затупленных тел газовзвесью с учётом хаотического движения частиц. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. / Ленингр. гос. ун-т. — Л., 1986. — 129 с.

[15] Джайчибеков Н.Ж., Матвеев С.К. Расчёт обтекания сферы газовзвесью на основе трёхкомпонентной модели двухфазной среды. // Вестник Ленингр. гос. ун-та. Сер. "Матем. механ. астрон." 1985. N 22. с. 57—62.

[16] Зайчик Л. И. Проблемы и методы моделирования гидродинамики и теплообмена в двухфазных турбулентных потоках. // Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену. В 8 томах. Т.1. Пленарные и общие проблемные доклады. Доклады на круглых столах. — М.: Изд-во МЭИ, 1998. с. 47—52.

[17] Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. Среда из невзаимодействующих частиц. — М.: Наука, 1973. — 351 с.

[18] Иванов М.С, Рогазинский С.В. Сравнительный анализ алгоритмов прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа. // ЖВММФ, 1988, Т. 28, N 7, с. 1058—1070.

[19] Кашеваров А.В., Стасенко А.Л. Взаимодействие частиц различной формы с несущим континуальным потоком газа (обзор). // Учёные записки ЦАГИ, 2014, Т. 45, N 5, с. 1 — 17.

[20] Киселёв С.П., Фомин В.М. Континуально-дискретная модель смеси газ-твёрдые частицы при малой объёмной концентрации частиц. // ПМТФ. 1986. N 2. с. 93—100.

[21] Киселёв С.П., Фомин В.М. Исследование каустик в двухфазной среде газ-частицы. // ПМТФ. 1987. N 4. с. 164—170.

[22] Киселёв В.П., Киселёв С.П., Фомин В.М. Взаимодействие ударной волны с облаком частиц конечных размеров. // ПМТФ. 1994. N 2. с. 26—37.

[23] Кнут Э. Дональд. Искусство программирования. — М.: Изд.-во "Ви-льямс 2007.

[24] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. I и II. 584 с. и 728 с. — М.: Физматлит, 1963.

[25] Крайко А.Н., Стернин И.Е. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твёрдыми или жидкими частицами. // ППМ, 1965. Т. 29. Вып. 3. с. 418—429.

[26] Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семёнов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 608 с.

[27] Лашков В.А. Об экспериментальном определении коэффициентов восстановления скорости частиц потока газовзвеси при ударе о поверхность. // ИФЖ. 1991. Т. 60. N 2. с. 197—203.

[28] Любимов Д.А. Анализ турбулентных струйных и отрывных течений в элементах ТРД комбинированными НА^/ЬЕБ - методами высокого

разрешения. Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. // ЦИАМ — Москва, 2014. — 289 с.

[29] Любимов Д.А. Применение комбинированного КЛ^/НЕБ-метода для исследования отрывных пространственных турбулентных течений в криволинейных диффузорах. // ТВТ. 2010. Т. 48. N 2. С. 279—289

[30] Любимов Д.А. Разработка и применение метода высокого разрешения для расчета струйных течений методом моделирования крупных вихрей. // ТВТ. 2012. Т. 50. N 3. С. 450—466.

[31] Матвеев С.К. Математическое описание обтекания тел потоком газовзвеси с учётом влияния отражённых частиц. // Движение сжимаемой жидкости и неоднородных сред. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. с. 189—201. ("Газодинамика и теплообмен". Вып. 7)

[32] Матвеев С.К. Модель газа из твёрдых частиц с учётом неупругих соударений. // Изв. АН СССР, МЖГ. 1983. N 6. с. 12—16.

[33] Матвеев С.К. Динамика газа неполностью упругих частиц. // Динамика неоднородных и сжимаемых сред. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. с. 3—11. ("Газодинамика и теплообмен". Вып. 8)

[34] Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. В 2-х частях. — М.: Наука. 1987. — 464 с. и 360 с.

[35] Осипцов А.Н. Течение запылённого газа на начальном участке плоского канала и круглой трубы. // Изв. АН СССР, МЖГ. 1988. N 6. с. 80—87.

[36] Прис К. (под ред.) Эрозия. — М.: Мир, 1982. — 464 с.

[37] Панфилов С.В., Циркунов Ю.М. Рассеяние несферических частиц примеси при отскоке от гладкой и шероховатой поверхностей в высокоскоростном потоке газовзвеси. // ПМТФ. 2008. N 2. с. 79—88.

[38] Протодьяконов И.О., Цибаров В.А., Чесноков Ю.Г. Кинетическая теория газовзвесей. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. — 200 с.

[39] Рамм М.С., Шмидт А.А. Влияние частиц, отражённых от поверхности, на картину сверхзвукового обтекания затупленного тела потоком газовзвеси. // Численные методы в механике сплошной среды. 1986. Т. 17. N 6. с. 108—113.

[40] Рамм М.С., Шмидт А.А. Обтекание затупленного тела потоком газовзвеси. I. Учёт отражения дисперсных частиц от обтекаемой поверхности, оценка вклада столкновений между частицами. — Л., 1987. — 24 с. (Препр./ АН СССР. ФТИ; N 1097).

[41] Рамм М.С., Шмидт А.А. Влияние механизма эрозионного разрушения на обтекание затупленного тела потоком газовзвеси. — Л., 1987.

— 24 с. (Препр./ АН СССР. ФТИ; N 1045).

[42] Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. — М.: Наука, 1973. — 584 с.

[43] Смирнов Е.М., Гарбарук А.В. Конспект лекций дисциплины "Течения вязкой жидкости и модели турбулентности: методы расчёта турбулентных течений". — Санкт-Петербург: изд-во Политехнического ун-та, 2010 г.

[44] Стернин Л.Е., Маслов Б.Н., Шрайбер А.А., Подвысоцкий А.М. Двухфазные моно- и полидисперсные течения газа с частицами. — М.: Машиностроение, 1980. — 172 с.

[45] Стернин Л.Е., Шрайбер А.А. Многофазные течения газа с частицами.

— М.: Машиностроение, 1994. — 320 с.

[46] Фукс Н.А. Испарение и рост капель в газообразной среде. — М.: Изд-во академии наук СССР, 1958. — 92 с.

[47] Цибаров В.А. Кинетическая модель взвеси и её обоснование. I. Газ. // Вестник Ленинградского ун-та. Сер. 1. 1992. Вып. 2 (N 8). с. 88-92.

[48] Цибаров В.А. Кинетическая модель взвеси и её обоснование. II. Частицы. // Вестник С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 1992. Вып. 3 (N 15). с. 65-69.

[49] Цибаров В.А. Кинетическая модель взвеси и её обоснование. III. Обоснование. // Вестник С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 1993. Вып. 1 (N 1). с. 92-97.

[50] Цибаров В.А. Кинетический метод в теории газовзвесей. — СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 1997. — 192 с.

[51] Циркунов Ю.М. Моделирование течений примеси в задачах двухфазной аэродинамики. Эффекты пограничного слоя. // Моделирование в механике. 1993. Т. 7. N 2, с. 151 — 193. — Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО РАН.

[52] Циркунов Ю.М., Панфилов С.В., Клычников М.Б. Полуэмпирическая модель ударного взаимодействия дисперсной частицы примеси с поверхностью, обтекаемой потоком газовзвеси. // ИФЖ. 1994. Т. 67. N 5—6. с. 379—386.

[53] Циркунов Ю.М., Тарасова Н.В. Исследование течения в пограничном слое на горячей поверхности затупленного тела, обтекаемого потоком слабоконцентрированной газовзвеси. // Тр. Второй Российской нац. конф. по теплообмену. Т. 5. Двухфазные течения. Дисперсные потоки и пористые среды. — М.: Изд-во МЭИ, 1998. с. 303—306.

[54] Циркунов Ю.М, Панфилов С.В., Лисун С.В. Рассеяние дисперсных частиц примеси при отражении от поверхности тела, обтекаемого двухфазным потоком. // Вторые Поляховские чтения: Избранные труды — СПБ, Изд-во НИИ Химии С.-Петербург. ун-та, 2000, с. 208—226.

[55] Шрайбер А.А., Милютин В.Н., Яценко В.П. Гидромеханика двухком-понентных потоков с твёрдым полидисперсным веществом. — Киев: Наук. думка, 1980. — 252 с.

[56] Шрайбер А.А., Гавин Л.Б., Наумов В.А., Яценко В.П. Турбулентные течения газовзвеси. — Киев: Наук. думка, 1987. — 240 с.

[57] Яненко Н.Н., Солоухин Р.И., Папырин А.Н., Фомин В.М. Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной неравновестности частиц. — Новосибирск: Наука, 1980. — 160 с.

[58] Теоретические и экспериментальные проблемы взаимодействия частиц с поверхностью. Сборник научных трудов. — Киев: Институт сверхтвёрдых материалов АН УССР, 1988. — 92 с.

[59] Barkla H.M., Auchterlonie L.J. The Magnus or Robins effect on rotating spheres. // Journal of Fluid Mechanics, Vol. 47, 1971, pp. 437—447.

[60] Ben Salem M, Oesterle B. A shear flow around a spinning sphere: numerical study at moderate numbers. // Int. Journal of Multiphase Flow, Vol. 24, No. 4, 1998, pp. 563—585.

[61] Bons J.P. A review of surface roughness effects in gas turbines. // Journal of Turbomachinery, Vol. 132, No. 2, 2010, pp. 28—43.

[62] Carrier G.F. Shock waves in a dusty gas. // Journal of Fluid Mechanics, Vol. 4, 1958, pp. 376—382.

[63] Casadewall T.J. (Edited by.) Volcanic Ash and Aviation Safety: Proceedings of the First international Symposium on Volcanic Ash and Aviation Safety. // U.S. Geological survey bulletin 2047, 1994.

[64] Casadewall T.J. Volcanic hazards and aviation safety: Lessons of the past decade. // FAA Flight safety digest, 1993.

[65] Casadewall T.J. The 1989-1990 eruption of Redobt Volcano, Alaska: impacts on aircraft operations. // Journal of volcanology and geothermal research, 1994, Vol. 62, pp. 301-316.

[66] Casadewall T.J. Encounters of aircraft with volcanic ash clouds: A compilation of known incidents, 1953-2009. // U.S. Geological Survey, 2010.

[67] Crowe C.T. and Pratt D.T. Two Dimensional Gas-Particle Flow. // Proceedings of Heat Transfer and Fluid Mechanics Institute, Stanford University Press, 1972.

[68] Crowe C.T. Review: Numerical models for dilute gas-particle flows. // Journal of Fluid Engineering, 1982, Vol. 104, pp. 297-303. (Рус.перев.: Кроу. Численные методы течений газа с небольшим содержанием частиц (обзор). // Теор. основы инж. расч. 1982. N 3. с. 114-122.

[69] Crowe C.T., Troutt T.R., Chung J.N. Numerical models for two-phase turbulent flows. // Annu. Rev. Fluid Mech, 1996, Vol. 28, pp. 11-43.

[70] Crowe C.T., Sommerfeld M., Tsuji Yu. Multiphase flows with droplets and particles. - CRC Press, 1998. - 471 p.

[71] Dennis S.C.R., Singh S.N. and Ingham D.B. The steady flow due to a rotating sphere at low and moderate Reynolds numbers. // Journal of Fluid Mechanics, 1980, Vol. 101, pp. 257-280.

[72] Dunn M.G., Padova C, Moller J.E., Adams R.M. Performance deterioration of a turbofan and a turbojet engine upon exposure to a dust environment. // Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 1987, Vol. 109, pp. 336-343.

[73] Dunn M.G., Baran A.J., Miatech J. Operation of gas turbine engines in volcanic ash clouds. // Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 1996, Vol. 118, pp. 724-731 .

[74] Batcho P.F., Moller J.C., Padove C, Dunn M.G. Interpretation of gas turbine response due to dust ingestion. // Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 1987, Vol. 109, pp. 344-352.

[75] Dunn M.G. Operation of gas turbine engines in volcanic an environment contaminated with volcanic ash. // Journal of Turbomachinery, 2012, Vol. 134.

[76] Finnie I. An experimental study on erosion. // Proceedings of the society for experimental stress analysis, 1960, Vol. 17, No. 2, pp. 65-70.

[77] Ghenaiet A. Turbomachinery performance degradation due to erosion effect. — Ph.D. Thesis. Cranfield University, 2001.

[78] Ghenaiet A. Study of sand particle trajectories and erosion into the first compression stage of a turbofan. // Journal of Turbomachinery, 2012, Vol. 134.

[79] Ghenaiet A. Simulation of Particle Trajectories and Erosion in a Centrifugal Compressor. // Journal of turbomachinery, 2012, Vol. 134.

[80] Grant G. and Tabakoff W. Erosion prediction of turbomachinery resulting from environmental solid particles. // Journal of Aircraft, 1975, Vol. 12, No. 5, pp. 471—478.

[81] Haider A. and Levenspiel O. Drag coefficient and terminal velocity of spherical nonspherical particles. // Powder Technol., 1989, Vol. 58, pp. 63—70.

[82] Hamed A. ans Tabakoff W. Trajectories of particles suspended in flows through cascades. // Journal of Aircraft, 1971, Vol. 8, No. 1, pp. 60—64.

[83] Hussein M.F. and Tabakoff W. Dynamic behaviour of solid particles suspended by polluted flow in a turbine stage. // Journal of Aircraft, 1973, Vol. 10, No. 7, pp. 434—440.

[84] Hamed A., Tabakoff W, Rivir R.B., Das K., Arora P. Turbine blade surface deterioration by erosion. // Journal of Turbomachinery, 2005, Vol. 127, No. 3, pp. 445-452.

[85] Hamed A. and Tabakoff W. Erosion and deposition in turbomachinery. // Journal of propulsion and power, 2006, Vol. 22, No. 2, 350-360.

[86] Healy D.P., Young J.B. Full Lagrangian methods for calculating particle concentration fields in dilute gas-particle flows. // Proc. Royal Soc., Ser. A, Vol. 461, pp. 2197-2225.

[87] Henderson Ch.B. Drag coefficients of spheres in continuum and rarefied flows. AIAA Journal, 1976, Vol. 14, No. 6, pp. 707-708. (Рус.перев.: Хен-дерсон К. Коэффициент сопротивления сферы в течениях разреженного газа и сплошной среды. // РТиК. 1976. Т. 14. N 6. c. 5-7.)

[88] Hirsch C. Numerical computation of internal and external flows. Vol. 1 and 2. - John Wiley & Sons, 1988.

[89] Hussein M.F. and Tabakoff W. Computation and plotting of solid particles flow in rotating cascades. // Computer and Fluids, 1974, Vol. 2, No. 1, pp. 1-15.

[90] Ishii R., Umeda Y. and Yuhi M. Numerical analysis of gas-particle two-phase flows. // Journal of Fluid Mechanics, 1989, Vol. 203, pp. 475-516.

[91] Jimbo T., Biswas D., Niizeki Y. Studies on unsteady flow characteristics in a high pressure turbine cascade based on a high-order large eddy simulation turbulence. // Journal of turbomachinery, 2012, Vol. 134.

[92] Kurose R., Komori S. Drag and lift forces on a rotating sphere in a linear shear flow. // Journal of Fluid Mechanics, 1999, Vol. 384, pp. 183-206.

[93] Meher-Homji C.B, Chaker M.A., Motiwala H.M. Gas turbine performance deterioration. // Proc. of the 30th turbomachinery symposium, 2000.

[94] Memory C.L., Chen J.P., Bons J.P. Implicit Large Eddy Simulation of a Stalled Low-Pressure Turbine Airfoil. // Journal of Turbomachinery, Vol. 138, 2016.

[95] Menter F.R. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engeneering applications. // AIAA Journal, 1994, Vol. 32, No. 8, pp. 1598—1605.

[96] Grotians H, Menter F.R. Wall functions for industrial applications. In K.D. Papailiou, Editor. Computational Fluid Dynamics'98, Vol. 1, Part 2, pp. 1112—1117, Chichester. ECCOMAS'98, John Wiley Sons.

[97] Menter F.R., Kuntz M. and Langtry R. Ten Years of Industrial Experience with SST Turbulence Model. // Turbulence, Heat and Mass Transfer 4, 2003.

[98] Muller— Schindewolffs C, Baier R.D., Seume J.R., Herbst F. Direct Numerical Simulation Based Analysis of RANS Predictions of a Low-Pressure Turbine Cascade. // Journal of Turbomachinery, 2017, Vol. 139.

[99] Mund M.G. and Guhna H. Gas Turbine Dust Air Cleaners. // American Society of Mechanical Engineers, 1970, paper No. 70-GT-104.

[100] Neff J.C., Reynolds R.L., Munson S.M., Fernandes D., Belnap J. The role of dust storms in total atmospheric particle concentrations at two sites in the western U.S. // Journal of Geophysical Research, 2013, Vol. 118, issue 19.

[101] Neilson J.H. and Gilchrist A. Erosion by a stream of solid particle. // Wear, 1968, 11 (2), pp. 111 — 122.

[102] Oesterle B. and Bui Dinh T. Experiments on the lift of a spinning sphere in a range of intermediate Reynolds numbers. // Experiments in Fluids, 1998, Vol. 25, pp. 16—22.

[103] Osiptsov A.N. Mathematical modeling of dusty-gas boundary layers. // Appl. Mech. Rev., 1997, Vol. 50, No. 6, pp. 357-370. (ASME Reprint No. AMR 214).

[104] Osiptsov A.N. Modified Lagrangian method for calculating the particle concentration in dusty-gas flows with intersecting particle trajectories. // Proc. Third International Conference in Multiphase Flow, 8-12 June 1998, Lyon, France. - CD-ROM Proc. ICMF'98, 1998, paper No. 236, 8 p.

[105] Osiptsov A.N. Lagrangian modelling of dust admixture in gas flows. // Astrophysics Space Science, 2000, Vol. 274, pp. 377-386.

[106] Przedpelski Z.J., Casadewall T.J. Impact of volcanic ash from 15 December 1989 Redoubt volcano eruption on GE CF-80C2 turbofan engines. // Volcanic Ash and Aviation Safety: Proceedings of the First international Symposium on Volcanic Ash and Aviation Safety, 1991, pp. 129-135.

[107] Rai M.M., Madavan N.K. Multi-Airfoil Navier-Stokes Simulations of Turbine Rotor-Stator Interaction. // Journal of Turbomachinery, 1990, Vol. 112, pp. 377-384.

[108] Richter A., Nikrityuk P.A. Drag forces and heat transfer coefficients for spherical, cuboidal and ellipsoidal particles in cross flow at sub-critical Reynolds numbers. // Int. Journal of Heat and Mass Transfer, 2012, Vol. 55, pp. 1343-1354.

[109] Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vector and difference schemes. // J. Comp. Phys., 1981, Vol. 43, No. 2, pp. 357-372.

[110] Rubinow S.I. and Keller J.B. The transverse force on a spinning sphere moving in a viscous fluid. // Journal of Fluid Mechanics, 1961, Vol. 11, pp. 447-459.

[111] Saffman P.G. The lift on a small sphere in a slow shear flow. // Journal of Fluid Mechanics, 1965, Vol. 22, Part 2, pp. 385-400.

[112] Sirs R.C. The Operation of Gas Turbine Engines in Hot & Sandy Conditions-Royal Air Force Experiences in the Gulf War. // AGARD-CP-558, paper No. 2, May 1994.

[113] Suzuki M., Inaba K., Yamamoto M. Numerical simulation of sand erosion phenomena in rotor/stator interaction of compressor. // Proc. of FEDSM2006, paper No. FEDSM2006-98219.

[114] Suzuki M., Yamamoto M. Numerical simulation of sand erosion in a transonic compressor rotor. // Proc. of ASME Turbo Expo 2010, paper No GT2010-23593.

[115] Tabakoff W. The dynamic characteristics of solid particles in particulate flow in rotating machinery. — Ph.D. Thesis, 1972, USA, Ohio, Univ. of Cincinnati.

[116] Tabakoff W. and Sugiyama Y. Experimental methods of determining particle restitution coefficients. // Proceedings of the ASME symposium on polyphase flow and transient technology, American Society of Mechanical Engineers, New York, 1980, pp. 203—210.

[117] Tabakoff W. Review of Material Erosion Exposed to Aerodynamic Conditions. // U.S. Dept. of Engineering, Rept. on Program Review, Oak Ridge, TN, April 1986.

[118] Tabakoff W. and Hammed A. The dynamics of suspended solid particles in a two-stage gas turbine. // Journal of Turbomachinery, 1986, Vol. 108, No.2, pp. 298—302.

[119] Tabakoff W, Malak M.F. and Hamed A. Laser measurement of solid—particle rebound parameters impacting on 2023 aluminum and 6A1-4V Titanium alloys. // AIAA Journal, 1987, Vol. 25, No. 5, pp. 721—727.

[120] Tabakoff W. and Malak M. Laser measurement of fly ash rebound characteristics for use in trajectory calculations. // Journal of Turbomachinery, 1987, Vol. 109, No. 3, pp. 535—540.

[121] Tabakoff W. Compressor erosion and performance deterioration. // Journal of Fluids Enineering, 1987, Vol. 109, No. 3, pp. 297-306.

[122] Tabakoff W, Hamed A., Metwally M. and Yeuan J. Study of particle rebound characteristics and material erosion at high temperatures. // ORNL/FMP902, AR&TD Fossil Energy materials semi-annual progress report for period ending 09-30-1990, ORNL, part. IV, pp. 381-393.

[123] Tabakoff W. Measurements of particles rebound characteristics on materials used in gas turbines. // Journal of Propulsion and Power, 1991, Vol. 7, No. 5, pp. 805-813.

[124] Tanaka T., Tsuji Y. Numerical simulation of gas-solid two-phase flow in a vertical pipe: on the effect o inter-particle collision. (Eds. D.E. Stock, Y. Tsuji, J.T. Jurewicz, M.W. Reeks, M. Gautam.) // Gas-solid Flows. FED-Vol. 121. - New York: ASME, 1991, pp. 123-128.

[125] Tarasova N.V., Tsirkunov Yu.M. Full Lagrangian approach for numerical modelling of collisionless particle-phase flow field in the non-isothermal two-phase boundary layer. // Proc. 4th Summer Conf. "Numerical Modeling in Continuum Mechanics" 31 July - 3 August 2000, Prague, Gzech Republic. - Prague: Matfyzpress, 2001, pp. 283-294.

[126] Tsirkunov Yu.M., Volkov A.N., Tarasova N.V. Full Lagrangian approach to the calculation of dilute dispersed phase flows: advantages and applications. // ASME 2002 Fluids engineering division summer meeting, Montreal, Quebec, Canada, July 14-18, 2002. - CD-ROM Proc. of ASME FEDSM'02, paper No. 31224, 14 p.

[127] Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. // Springer, 1999, 640 p.

[128] Tsibarov V.A. A kinetic model of gas-solid suspension with vaporizing particles. // Proc. Bulgarian Acad. Sci. Theor. and Appl. Mech., 1988, Vol. XIX, No. 3, pp. 94-98.

[129] Tsirkunov Yu.M. Gas-particle flows around bodies — key problems, modelling and numerical analysis. // Proc. Fourth International Conference on Multiphase Flow (Ed.: E. Michaelides), May 27—June 1, 2001, New Orleans, USA. — CD-ROM Proc. ICMF'2001, paper No. 609, 31 p.

[130] Tsuji Y, Morikawa Y, Mizuno O. Experimental measurements of the Magnus force on a rotating sphere at a low Reynolds numbers. // Trans. ASME, Journal of Fluids Engineering, 1985, Vol. 107, pp. 484—488.

[131] Tucker P. et al. Hybrid LES Approach for Practical Turbomachinery Flows " Part I and II. // Journal of Turbomachinery, 2012, Vol. 134.

[132] Tuacke J., Tucker P. Large Eddy Simulation for Turbines: Methodologies, costs and Future Outlooks. // Journal of Turbomachinery, 2014, Vol. 136.

[133] Vittal B.V.R., Tabakoff W. Two-phase flow around a two-dimensional cylinder. // AIAA Journal, 1987, Vol. 25, No. 5, pp. 648—654.

[134] Volkov A., Tsirkunov Yu. Direct simulation Monte—Carlo modelling if two-phase gas-solid flow with inelastic particle—particle collisions. // Proc. Third ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference, 9—13 September 1996, Paris, France. — Chichester: Whiley, 1996, pp. 662—668.

[135] Volkov A.N., Tsirkunov Yu.M. Monte-Carlo modelling of dusty gas flows over bodies. // Proc. Fourth Europian Computational Fluid Dynamics Conference (Eds.: K.D. Papailiou, D. Tsahalis, J. Periaux, Ch. Hirsch, M. Pandolfi), 7—11 September 1998, Athens, Greece. Vol. 1, part I. — Chichester: Wiley, 1998. pp. 169—174.

[136] Volkov A.N., Tsirkunov Yu.M. Computational simulation of viscous two-phase flows of a dense gas—particle mixture over a bodies. // European Congress on Computational Methods in Applied Science and Engineering, ECCOMAS'2000, 11 — 14 September 2000, Barcelona, Spain. — CD-ROM Proc. "ECCOMAS'2000" 2000, paper No. 309, 20 p.

[137] Volkov A.N. and Tsirkunov Y.M. CFD/Monte Carlo simulation of collision-dominated gas-particle flows over bodies. // ASME 2002 Fluids engineering division summer meeting, Montreal, Quebec, Canada, July 14-18, 2002. - CD-ROM Proc. of ASME FEDSM'02, paper No. 31222, 14 p.

[138] Volkov A.N., Tsirkunov Yu.M., Oesterle B. Numerical simulation of a supersonic gas-solid flow over a blunt body: The role of inter-particle collisions and two-way coupling effects. // Int. Journal of Multiphase flow, 2005, Vol. 31, pp. 1244-1275.

[139] Wang Y.Q. et al. Surface observation of sand and dust storm in East Asia and its application in CUACE/Dust. // Atmospheric Chemistry and Physics, European Geosciences Union, 8 (3), 2008, pp. 545-553.

[140] Wilcox D.C. Turbulence Modeling for CFD. - Griffin Printing, 1993, 460 p.

[141] Webb J., Casadey B., Parker B., Bons J.P. Coal Ash Deposition on Nozzle Guide Vanes " Part I and II. // Journal of Turbomachinery, Vol. 135, 2013.

[142] Yee H.C., Harten A. Implicit TVD schemes for hyperbolic conservation laws in curvilinear coordinates. // AIAA Journal, Vol. 25, No. 2, 1987, pp. 266-274.

[143] Zagnoli D., Prenter R., Ameri A., Bons J.P. Numerical study of deposition in a full turbine stage using steady and unsteady methods. // Proc. of ASME Turbo Expo 2015, paper No. GT2015-43613.

Публикации Романюка Д.А.:

[144] Романюк Д.А., Циркунов Ю.М. Численное моделирование двухфазного течения газа с частицами во входной ступени "ротор-статор" турбомашины. // Математическое моделирование. 2010. Т. 22. N 1. с. 136-144. (Перечень ВАК)

[145] Циркунов Ю.М, Романюк Д.А. Течение запылённого газа в решетках профилей. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. N 4(3). с. 1237-1239. ISSN 1993-1778. (Перечень ВАК)

[146] Tsirkunov Yu.M., Romanyuk D.A., Panfilov S.V. Computational simulation of two-phase gas-particle flow in an inlet "rotor-stator" stage of a turbojet engine compressor. // 29th Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences. St. Petersburg, Russia, 7-12 September, 2014. - Proc. of ICAS 2014, paper No. 2014-0856, 10 p. (Scopus)

[147] Tsirkunov Yu.M., Romanyuk D.A. Computational fluid dynamics / Monte-Carlo simulation of dusty gas flow in a "rotor-stator" set of airfoils cascades. // Progress in Propulsion Physics. Vol. 8 (Eds.: M. Calabro, C. Bonnal, O. Haidn and S. Frolov). - Moscow: Torus Press & EDP Sciences, 2016, pp. 427-444. (Web of Science)

[148] Tsirkunov Yu., Romanyuk D., Panfilov S. Effects of particles' mixing and scattering in the dusty gas flow through the moving and stationary cascades of airfoils. // Progress in Propulsion Physics. Vol. 2 (Eds.: L. DeLuca, C. Bonnal, O. Haidn and S. Frolov). - Moscow: Torus Press & EDP Sciences, 2011, pp. 459-474.

[149] Романюк Д.А., Циркунов Ю.М. Численное моделирование двухфазного течения газа с частицами во входной ступени "ротор-sстатор" турбомашины. // Материалы XV международной конференции по

вычислительной механике и современным прикладным программным средствам ВМСППС'2007. Алушта, 25-31 мая 2007 г. - М.: Вузовская книга, с. 435-436.

[150] Романюк Д.А., Циркунов Ю.М. Численное моделирование двухфазного течения газа с частицами во входной ступени турбомашины. // Труды XVII Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева "Проблемы газодинамики и тепломассообмена в аэрокосмических технологиях". г. Жуковский, 25-29 мая 2009 г. - М.: Издательский дом МЭИ, 2009, Т. 2, с. 261-264.

[151] Tsirkunov Yu, Romanyuk D., Panfilov S. Effects of particles' mixing and scattering in the dusty gas flow through the moving and stationary cascades of airfoils. // Third European Conference for Aero-Space Sciences. Paris-Versailles, France, 6-9 July 2009. - CD-ROM Proc. of EUCASS 2009 (Ed. M.L. Riethmuller), paper No. 297, 12 p.

[152] Romanyuk D.A., Tsirkunov Yu.M. Numerical simulation of unsteady dusty gas flow through the moving and stationary cascades of airfoils. // Fifth European Conference on Computational Fluid Dynamics. Lisbon, Portugal, 14-17 June 2010. - CD-ROM Proc. of ECCOMAS CFD 2010 (Eds. J.C.F. Pereira and A. Sequeira), paper No. 1063, 20 p.

[153] Циркунов Ю.М., Романюк Д.А., Панфилов С.В. Течение запылённого газа во входном компрессоре турбореактивного двигателя. // Авиадвигатели XXI века: Материалы конференции. Москва: ЦИАМ, 2010.

- CD-ROM, с. 123-126. ISBN 978-5-94049-026-5.

[154] Tsirkunov Yu.M., Romanyuk D.A. CFD/Monte Carlo simulation of dusty gas flow in a "rotor-stator" set of airfoil cascades. // 5th European Conference for Aero-Space Sciences. Munich, Germany, 1-5 July 2013.

- CD-ROM Proc. of EUCASS 2013 (Eds.: Oskar J. Haidn, Walter Zinner, Max Calabro), paper No. 373, 12 p.

[155] Циркунов Ю.М., Романюк Д.А., Лобанова М.А. О моделировании течений с крупномасштабной вихревой структурой. //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: Сборник докладов. (Казань, 20-24 августа 2015 г.). / ^ст. Д.Ю. Ахметов, А.Н. Герасимов, Ш.М. Хайдаров, под ред. Д.А. Губайдуллина, А.М. Елизарова, Е.К. Липачёва. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2015. с. 4026-4028. ISBN 978-5-00019-492-8.

[156] Романюк Д.А. Численное моделирование вязких двухфазных течений в областях подвижными границами. // Всероссийский семинар по аэрогидродинамике: Тезисы докладов. Санкт-Петербург, 5-7 февраля 2008 г. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2008, с. 109.

[157] Romanyuk D., Tsirkunov Yu. Dusty gas flow through the moving and stationary cascades of airfoils. // 8th World Congress on Computational Mechanics / 5th European Congress on Computation Methods in Applied Sciences and Engineering. Venice, Italy, 30 June - 4 July 2008. - CD-ROM Proc. of WCCM8 / ECCOMAS 2008, Abstracts of papers (Eds.: B.A. Schrefler and U. Perego), abstract No. A795.

[158] Tsirkunov Yu., Romanyuk D., Panfilov S. Two-phase gas-particle flow through a set of moving and stationary cascades of blades. // 7th EUROMECH Fluid Mechanics Conference. Manchester, United Kingdom, September 14-18, 2008. - Abstracts of papers EFMC 7, University of Manchester, 2008, p. 341.

[159] Романюк Д.А., Циркунов Ю.М. Перемешивание и рассеяние частиц при течении запылённого газа через систему решёток. // Тезисы докладов международной научной конференции по механике "Шестые Поляховские чтения". Санкт-Петербург, 31 января - 3 февраля 2012 г. - М.: Издатель И.В. Балабанов, 2012, с. 177. ISBN 978-5-91563-101-3.

[160] Tsirkunov Yu.M., Volkov A.N., Panfilov S.V., Romanyuk D.A. Fluid dynamics and heat transfer in dusty gas flow over bodies: modeling and

role of random effects. // XVI International Conference on the Methods of Aerophysical Research. Kazan, Russia, August 19—25, 2012. — Abstracts ICMAR 2012, Part II. (Ed.: V.M. Fomin) — Kazan, pp. 261—264. ISBN 978-5-9222-0527-6.

[161] Циркунов Ю.М., Романюк Д.А., Маракуева О.В. Отрывные двухфазные течения газа с частицами и течения чистого газа в подвижных решётках профилей и ступенях турбомашин. // Струйные, отрывные и нестационарные течения: Тезисы докладов XXIV Всероссийского семинара с международным участием. Новосибирск, 11 — 13 ноября 2015 г. / под ред. В.М. Фомина, В.И. Запрягаева. — Новосибирск, Изд-во "Параллель", 2015, с. 166—167. ISBN 978-5-98901-166-7.

[162] Романюк Д.А., Циркунов Ю.М. Нестационарные течения запылённого газа в решётках. // Модели и методы аэродинамики: Материалы семнадцатой международной школы-семинара. Евпатория, 4—11 июня 2017 г. — М.: ЦАГИ, 2017, c. 147—148.