Неравенства типа сидона и некоторые свойства пространства квазинепрерывных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Радомский, Артем Олегович

• Радомский, Артем Олегович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Радомский, Артем Олегович

Оглавление

Введение

§1. О неравенствах типа Сидона для тригонометрической

системы и системы Уолша

§2. О возможности усиления неравенств типа Сидона

§3. О некоторых свойствах нормы

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неравенства типа сидона и некоторые свойства пространства квазинепрерывных функций»

Введение

В диссертации получены новые результаты о неравенствах типа Си-дона, улучшающие известные. Исследован вопрос о возможности усиления неравенств типа Сидона. Эти результаты помимо их самостоятельного интереса могут применяться для вычисления энтропийных чисел классов функций многих переменных. Последний параграф диссертации посвящен изучению некоторых свойств пространства квазинепрерывных функций, которое приобретает важное значение в теории функций в связи, в частности, с возможным приложением к вычислению аппроксима-ционных характеристик классов функций многих переменных с ограничением на смешанную производную или с условием липшицева типа на смешанную разность.

Везде в диссертации под ||/||р мы будем понимать норму в пространстве Ур(а, Ь) :

где отрезок [а, Ь] будет, как правило, [0,27т] или [0,1], что всегда будет ясно из контекста.

Через сп(/) будем обозначать п-й коэффициент Фурье функции / :

Мы используем также сокращение О.Н.С. — ортонормированная система.

Параграф 1 диссертации посвящен неравенствам типа Сидона. Напомним несколько основных определений:

Определение 0.1. Последовательность натуральных чисел п\ <

Ц/Ц«, = евв эир |/(х)| К ь]

ri2 < ... < rik < ... называется лакунарной, если

^±1>А>1, к = 1,2,.... Пк

Определение 0.2. Тригонометрический ряд называется лакунар-ным, если он имеет вид

оо

a,k cos nk'x + bk sin rikx,

k=1

где натуральные числа n^ удовлетворяют неравенству

2*±!>А>1, Л: = 1,2,.... пк

Лакунарные ряды занимают важное место в классе общих тригонометрических рядов. В 20 в. они подверглись серьезному исследованию и было получено много интересных результатов в данной области (см., например, [1], гл. XI). Как выяснилось, лакунарные ряды обладают рядом интересных свойств. Нас прежде всего будут интересовать вопросы, связанные с абсолютной сходимостью данных рядов. В 1927 г. Сидон доказал следующую теорему.

Теорема (Сидон [30]). Пусть последовательность натуральных чисел {nk}kLi удовлетворяет условию

^±1>А>1, к = 1,2,.... (0.1)

Пк

Тогда, если тригонометрический ряд

оо

ak cos ПкХ + bk sin ПкХ

к=i

есть ряд Фурье ограниченной функции f(x), то

оо

]Г)Ы + М < ОО. k=1

Отметим, что сначала в работе [29] Сидон доказал более слабое утверждение: вместо условия (0.1) последовательность натуральных чисел щ <п2 < ... удовлетворяла условию

к-1 п

^ nj < к = 2,3,...,

¿=1

и затем в [30], разбивая произвольную лакунарную последовательность натуральных чисел на конечное число подпоследовательностей с высокой степенью лакунарности, он доказал вышесформулированную теорему. Метод доказательства Сидона основан на произведениях Рисса, которые стали важным аппаратом для теории тригонометрических и общих ортогональных рядов. Эти произведения впервые появились в 1918 г. в работе Ф. Рисса [27], и названы в его честь. Также в [30] Сидон отмечает, что теорема сохраняет силу и тогда, когда f(x) ограничена только с одной стороны, т. е. f{x) < М или f(x) > — М.

В действительности из доказательства в [30] вытекало следующее неравенство:

оо

Х>*| + |Ь*| <C(A)||/|U (0.2)

fc=i

где С(А) > 0 — величина, зависящая лишь от А. Неравенство (0.2) мы будем называть неравенством Сидона. В частности, если последовательность натуральных чисел {^А;}^ удовлетворяет условию > А > 1, к = 1, 2,..., то существует константа с(А) > 0, зависящая лишь от А, такая, что для любого тригонометрического полинома вида

N

f(x) = У^ ак cos пкх к=1

справедливо неравенство

N

\\f\\oo>c(X)J2Wk\. (0.3)

к=1

Дальнейшее продвижение по усилению теоремы Сидона проходило по нескольким направлениям. Как было показано в 1931 г. Зигмундом [9], вместо отрезка [—7г, тг] можно рассматривать некоторый интервал I. Здесь имеет место теорема:

Теорема (Зигмунд [9]). Пусть последовательность натуральных чисел удовлетворяет условию rik+i/rik > А > 1, к — 1,2,....

Если частичные суммы Sm(x) ряда

сю

ак cos ПкХ + Ьк sin ПкХ

к=1

удовлетворяют условию

lim ^„(а;) < +оо

то—>оо

{или lim Sm.jx) > —оо) в каждой точке некоторого интервала I, то

оо

Ы + \h\ < оо.

к=i

Другое направление в усилении теоремы Сидона было по пути ее доказательства в предположениях более широких, чем требование лакунарности последовательности {n/J. Сам Сидон [31] перенес ее на случай, когда {Пк} можно разбить на конечное число лакунарных последовательностей. Дальнейшее продвижение в этом вопросе принадлежало С. Б. Стечкину [32]. В связи с теоремой Сидона в теории абсолютно сходящихся рядов Фурье возникло следующее определение.

Определение 0.3. Множество целых чисел Л называется множеством Сидона, если существует такая постоянная с > О, что для любого тригонометрического полинома

р(х) = Y, aneinx

пеА

справедливо неравенство

ibiioo > с^: Ы-пел

Если переформулировать теорему Сидона в новых терминах, то она утверждает следующее (см. (0.3)): множество Л = {±п/;}, к = 1,2,..., где последовательность натуральных чисел {nic}<^Ll удовлетворяет условию (0.1), является множеством Сидона. Более подробно о множествах Сидона можно прочитать в [10], [11], [19], [28]. Характеризация множеств Сидона была получена Ж. Пизье [21], [22], [23].

Теорема Сидона породила следующее определение в теории ортогональных рядов.

Определение 0.4. О.Н.С. х е 1); называется систе-

мой Сидона, если ряд

оо 71=1

сходится в пространстве L°°(0,1) тогда и только тогда, когда конечна сумма

оо

У^ \ап\ < ОО. п= 1

Можно показать, что для того чтобы система Ф = {<¿>n} была системой Сидона, необходимо и достаточно, чтобы для любого полинома

N

Р{х) = У1ап<Рп(х)

71=1

7

выполнялись неравенства

N

N

сХ>п|<1И|оо<С^>п|, (0.4)

71=1 n= 1

где постоянные с>0иС>0не зависят от полинома Р{х). Из неравенства (0.4), в частности, вытекает, что системами Сидона могут быть только равномерно ограниченные системы, т. е. системы, для которых

1Ы|оо < М,

п = 1,2,....

Системами Сидона являются, например, (см. (0.3)) системы вида {у/2 cos 27гп/га:}^=1, х G (0,1), где последовательность натуральных чисел щс, к — 1,2,..., лакунарна, а также система Радемахера (см. ниже определение 1.1). Как показал в 1966 г. В. Ф. Гапошкин [4, с. 36], из любой равномерно ограниченной О.Н.С. п = 1,2,..., можно выделить бесконечную подсистему Сидона {у^ч-О27)}^!-

Теорема (В. Ф. Гапошкин [4]). Из любой О.Н.С. {у?п(ж)}£°=1, 11 ^Рп 11 оо < М, п = 1,2,..., можно выделить бесконечную подсистему {y?nfc(a;)}^=1, для которой соотношение

1_

М

£

к—1

ак¥пК

<^2Ы<С(М)

оо

к=1

Uk

к=1

V

верно при всех в = 1,2,... (здесь С(М) > 0 — константа, зависящая лишь от М).

Количественный аналог этого результата принадлежит Б. С. Кашину [14].

Теорема (Б. С. Кашин [14] (см. также [15, с. 367])). Из всякого ортонормированного набора функций {(/зп(х-)}^г=1 с Ц^пЦоо < М при п = 1,2,..., А^ можно выбрать функции {^п^Ж^х, I < Щ < ... <

8

ns < N, с s > max {log2 iV] ,1} такие, что для любых чисел ak, k = 1,2,.. . , s, справедливы неравенства

1

М

53

<53|a*| <4М

Wnfe

Ь=1

Ь=1

fc=l

Пример тригонометрической системы показывает, что оценка й > по порядку неулучшаема (см. [15, с. 367]). О приложениях утверждений типа предыдущей теоремы к вопросам геометрии банаховых пространств см. [20]. Отметим, что при доказательстве последних двух теорем использовались произведения Рисса.

В 1998 г. Б. С. Кашин и В. Н. Темляков [17], [18] начали исследование нового направления в усилении теоремы Сидона. В связи с оценкой энтропийных чисел некоторых классов функций они исследовали вопрос о возможном обобщении неравенства Сидона (0.3) заменой аксозпкх на Рк{х) соБПкХ, где рк(х) являются тригонометрическими полиномами. Ими была доказана следующая теорема.

Теорема А (Б. С. Кашин, В. Н. Темляков [17], [18]). Для любого

тригонометрического полинома вида

21

/0е) = 53 Р*(Я)со84*Х,

к=1+1

где рк(х) — вещественные тригонометрические полиномы с degpk <

21, к = I + 1,..., 21, I — 1,2,..., справедливо неравенство

21

и/1и>с 53 «к, к=1+1

где с> 0 — абсолютная постоянная.

Дальнейшее исследование было продолжено автором [24], [25]. В параграфе 1 доказывается теорема, из которой, в частности, следует,

что в теореме А условие с^ рк < 21 может быть заменено условием ¿её Рк <

Теорема 1.1 (А. О. Радомский [24], [25]). Пусть последовательность натуральных чисел {пк}Т=1 удовлетворяет условию п^+х/п^ > Л > 1, к = 1, 2,.... Существует константа с(А) > 0, зависящая лишь от Л, такая, что для любого тригонометрического полинома вида

N

/(ж) = $>(*) СОЗЩХ, к=1

где рк — вещественные тригонометрические полиномы cdeg(pfc) < 7щ, 7 = тт(|, к = I,. .. , N, N > I, I = 1, 2,..справедливо неравенство

Ц/Иоо^^^Ых. (0.5)

к=1

Неравенства типа (0.5) мы будем называть неравенствами типа Си-дона. Это обосновано тем, что если рк{х) являются константами, т. е. тригонометрическими полиномами нулевой степени, то неравенство (0.5) превращается в неравенство Сидона (0.3). Также в параграфе 1 доказывается утверждение аналогичного характера для системы Уолша (см. теорему 1.2).

Параграф 2 посвящен вопросу о возможности усиления неравенств типа Сидона, т. е., другими словами, вопросу о точности теоремы 1.1. В нем доказывается следующий результат (см. [25]), из которого следует, что в теореме 1.1 при = 2к условие < 121 нельзя заменить на

й^ёРк < [2к~ке] ни при каком £ е (0,1).

Теорема 2.1 (А. О. Радомский [25]). Пусть е, е — действительные числа, причем | < е < е < 1. Для любого IV £ N существуют веще-

ственные тригонометрические полиномы рь{х), к — 1 такие,

что degpk < [:2к-*'] , Цр^ > \, Цр^ < 70, к = 1,..., ТУ, и

тах

\<п<Ш

х) соб 2 X

к=1

< С\¥Е

где С = С(е,£) >0 — константа, зависящая лишь от в и е.

Доказательство теоремы 2.1 опиралось на идеи из работы П. Г. Григорьева [5], где была доказана следующая теорема.

Теорема В (П. Г. Григорьев [5]). Существуют абсолютная посто-лнная А > 0 и последовательность тригонометрических полиномов

°к{х) = к = 1,2,...,

2к<Щ<2к+1

такие, что Ца^Цх > £, Ца^Цоо <6, к = 1, 2,..., и

^ А = 1,2,....

Как пишет П. Г. Григорьев в своей кандидатской диссертации (см. [6]), метод построения полиномов а^х) может быть назван методом псевдо моментов остановки, так как идея в каком-то смысле была позаимствована из стохастического анализа.

Позднее совместно с П. Г. Григорьевым была доказана следующая теорема, усиливающая теорему 2.1.

Теорема 2.2 (П. Г. Григорьев, А. О. Радомский [7]). Пусть последовательность натуральных чисел {п^}^ удовлетворяет условию п/с+х/п/е > Л > 1 для любого к, и последовательность вещественных чисел {д{к)}<^1 неубывает и 1 < д(к) < п^, к = 1,2,.... Существу-

ет последовательность вещественных тригонометрических полиномов Рк(х), к = 1,2,..., таких, что

сИ? Рк <

Пк

Ык)

2тт

, ИраЦх > у, |к1!оо<12, к= 1,2,...,

и

N

^Рк(х) ССЙ пкх

к=1

< а(Л)+/Зv/iV + 241ogA^(A^), N = 1,2,...

оо

где ¡3 > 0 — абсолютная постоянная и а(Л) > 0 — величина, зависящая лишь от А.

В частности, взяв в теореме 2.2 в качестве Пк = 2к и д(к) = 2^, получаем следующее следствие.

Следствие 2.1. Пусть 0 < £ < 1. Существует последовательность вещественных тригонометрических полиномов рк{х), к = 1,2,..., таких, что degpk < [2*~*е] , Цр^Ж > тр, 1Ы!оо < 12, к = 1,2,..., и

N

^Рк(х) соэ 2^

Л=1

<СдгтахМ); дг = 1,2,...,

оо

где С > 0 — некоторая абсолютная постоянная.

Параграф 3 посвящен изучению С^С нормы. Эта норма была введена в работах [17], [18] Б. С. Кашиным и В. Н. Темляковым. Она определяется следующим образом: для функции / 6 Ь1{0, 2-7г) с рядом Фурье

оо

з=0

2тг

р2п

/ /(х) ¿ж, ^ с,5 = 1,2,...

2Я-1<|А:|<25

положим

оо

11/11дс =

сИ, (0.6)

где ~ система Радемахера (см. опр. 1.1). Пространством ква-

зинепрерывпых функций называется замыкание множества тригонометрических полиномов по норме (0.6).

В многомерном случае С}С норма вводится следующим образом: для функции / на [0,27г]а (с1 > 2) положим

11/11дс = ||||/(-!а;1)||дС:||00, (0.7)

где по определению для х = (х1,...,ха) £ полагаем х1 = (х2,..., ха) Е Т^-1. Другими словами, в (0.7) берется С^С норма по переменной х\ и вир-норма по остальным переменным.

Для функций одной переменной Б. С. Кашиным и В. Н. Темляковым была доказана следующая теорема.

Теорема С (Б. С. Кашин, В. Н. Темляков [17], [18]). Для любой

действительной функции / (Е 1^(0, 27т) справедливо неравенство

1 00

(0-8)

в=0

В параграфе 3 этот результат обобщается на произвольный лакунар-ный случай (см. теорему 3.1).

Обозначим через Т(т) пространство вещественных тригонометрических полиномов степени < т. Из теоремы С и теоремы В вытекает, что

Бир

1№зс>су^ с > 0.

оо

С другой стороны, как показал К. И. Осколков (см. [18]; с. 96),

с> 0. (0.9)

БИр ¿ет(2к) \\4\QC

А именно, он показал, что для тригонометрических полиномов

к-1 2*+1-1 53 008 ЭХ

справедлива оценка Ц^-Цдс < 'У у/к, где 7 > 0 — абсолютная постоянная. Поскольку = t^c(0) = к, то отсюда следует (0.9). В теореме 3.2

пример К. И. Осколкова обобщается.

Теорема 3.2 (А. О. Радомский [26]). Пусть последовательность вещественных чисел {ап}^°=1 удовлетворяет условию

23—2 ^

53 К - ап+1\ + < «у, 7 = 1,2,...,

71=23-

(мы полагаем ^ := 0). Тогда

2к-1 |Е

71= 1

а„ сое пж

<?с

< Су/к, к = 1,2,...,

где С > 0 — абсолютная постоянная. В качестве следствия мы выводим, что

N

у сое па:

71=1

п

дс

в то время как

N

сой пж

71=1

п

1пЖ

Интерес к изучению С^С нормы связан прежде всего с возможным ее приложением для исследования аппроксимационных характеристик классов функций многих переменных с ограничением на смешанную производную или с условием липшицева типа на смешанную разность. Известно, что многие задачи теории приближения данных классов по норме

L°° остаются нерешенными до сих пор. В то же время в решении этих вопросов удалось продвинуться, если заменить норму L°° на близкую норму — QC норму. Поэтому, в частности, задача о выявлении связи между QC и равномерной нормами является очень важной. Введем необходимые определения.

Для г > 0 и a G К. определим одномерное ядро Бернулли

сю

Fr(x, а) = 1 + 2 cos [кх - , х € [0, 27т],

к=1

и многомерное для х — (х\,..., Xd) и а = (ai,..., ad)

d

Fr(x,a) = JJ-FrOz/, atj). i=i

Определим класс периодических функций с ограниченной смешанной производной:

где * — операция свертки.

Для г > 0 положим I = [г] + 1 и рассмотрим операторы Д^7 взятия 1-й разности с шагом h по переменной xj. Для набора натуральных чисел е С {1,... ,d} определим оператор смешанной разности

Д|(еО=Дд£', * = (*!,...,*„), Aj(0)=ld.

j€e

Определим класс функций с ограниченной смешанной разностью: Щ = {/ G L* ([0, 2n]d) : Ve С {1,..., d} \\Alt(e)f\\q < Ц\tj\r}.

Напомним определения г-энтропии и поперечников по Колмогорову. Для компакта К в банаховом пространстве X с единичным шаром Вх вели-

чины

п

<1п(К,Х)= зирт£

{щ}?^СХ /еК <к

С^и 2 г=1

/-Е

г=1

= 3{/<}?=1 2*"1, К С (^Л + еВД

г=1

(п = 1,2,...) называются соответственно п-м поперечником по Колмогорову и п-м энтропийным числом множества К в пространстве X.

Аппроксимационные характеристики (г-энтропия и поперечники по Колмогорову) классов У/^ и Ядг в при 1 < р < оо известны (см., например, [34], [35], [36], [16]). Наиболее трудным является случай, когда X = Ь°°. Здесь точные порядки поперечников по Колмогорову получены лишь для случая а5 = 1 Б. С. Кашиным [13] и в, = 2 В. Н. Темляковым [37], [38]. В случае с1 > 2 наилучшие верхние оценки энтропийных чисел и колмогоровских поперечников классов Щ и \МТЧ были получены Э. С. Белинским [2], [3] (отметим, что при с? = 2 эти оценки были получены ранее В. Н. Темляковым (см. [34] доказательство теоремы 1.1 гл. 3)). Приведем эти оценки:

Теорема (Э. С. Белинский [2]). 1) Для г > тах(^,|), с? > 2 и 1 < д < оо существует константа С — С(г, с1, д) > 0 такая, что справедливы неравенства

£п(Щ,Ь°°) < ^(^П)^; (0.10)

еп(у/гч, Ь°°) < Сп~г(1о£п)г{с1-1)+1к (0.11)

2) Для г > 1/2, б?>2«2<д<оо существует константа С' --С (г, в) > 0 такая, что справедливы неравенства

с1п(Щ, Ь°°) < С'п-г(1оёп)г(<*-1)+5; (0.12)

Ь°°) < С'п-г(1оёп)г{<1-1)+12. (0.13)

\

В. H. Темляков в [37], [38] показал, что эти оценки точны по порядку при d = 2 . Случай d > 2 до сих пор остается открытым. Доказательство при d = 2 соответствующих нижних оценок в [37], [38] было основано на одном неравенстве. Чтобы его сформулировать введем несколько определений.

Для s € положим

р (s) = {п= (щ, ...,nd)eZd: [2е'"1] < < 2Sj, j = 1,...

Для четных к и d > 2 обозначим

Yfcd = = (2/ь ..., 2Zd), /! + ... + fc = /с/2, 1 е Zd+j .

В двумерном случае В. Н. Темляковым было доказано следующее неравенство (см. [37]):

¡Е^сЕЫь с > 0, (0.14)

seY? °° seY? где 6s(x) = апё^х\ х G [0, 2-7г]2.

Tl£p(s)

В [38] В. Н. Темляков высказал предположение, что для случая d > 3 справедливо неравенство:

I 53 ^ > c{d)k-^'2 53 H^llb c(d) > 0, (0.15) где55(а;)= 53 ane^, ж G [0, 2тг]^.

nep(s)

Это предположение является открытым вопросом. Отметим, что похожее на (0.14) неравенство для полиномов по системе Хаара в случае d — 2 было доказано ранее в [33] в связи с приложениями к теории гауссов-ских процессов, Случай d > 3 для полиномов по системе Хаара также является открытым.

Используя неравенство (0.14), В. Н. Темляков в [37], [38] доказал точность оценок (0.10)—(0.13) при d = 2, т. е. получил такие же по порядку нижние оценки аппроксимационных характеристик классов W^ и Щ. Отметим, что если бы при каком-то d > 3 удалось доказать неравенство (0.15), то, повторяя рассуждения из [37], [38], для этого d была бы установлена точность оценок (0.10)—(0.13).

В [17], [18] Б. С. Кашин и В. Н. Темляков доказали неравенство, аналогичное неравенству (0.15), где норма L°° была заменена на QC норму.

Теорема D (В. С. Кашин, В. Н. Темляков [17], [18]). Для любого вещественного тригонометрического полинома d переменных (d = 2, 3,...) вида

f(x)= Y, *teós(x)= ake^\

s: ||s||x=n kep(s)

обладающего свойствами

1) Щ\4<1 Vs: |M|i=n;

2) Ц/Ц2 > bn^l)/\ где b > 0 — абсолютная постоянная; справедливо неравенство

II/IIqc > cnd'\ с = c(d, b) > 0.

Используя теорему D, Б. С. Кашиным и В. Н. Темляковым [17], [18] были получены точные порядки энтропийных чисел и поперечников по Колмогорову классов и Нrq rio QC норме. Доказательство теоремы D было основано на одномерном неравенстве для QC нормы (0.8). Из результата П. Г. Григорьева (теорема В) вытекает, что неравенство (0.8)

перестает быть верным, если в нем С^С норму заменить на норму Ь°°, поэтому доказательство неравенств (0.15) при с1 > 3 должно идти другим путем. В параграфе 3 доказывается, что утверждение теоремы Б сохраняет силу при более слабых условиях: \\SsWp <1, р > 2 (см. теорему 3.3 и следствие 3.1).

Я хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю академику РАН Борису Сергеевичу Кашину за постановки задач и постоянное внимание к моей работе.

§1 О неравенствах типа Сидона для тригонометрической системы и системы Уол-ша

Из классической теоремы Сидона (см. Введение) следует, если последовательность натуральных чисел удовлетворяет условию

^>А>1, к = 1,2,..., Пк

то для любого тригонометрического полинома вида

N

f(x) = 53 ак C°S Пк% ^" ^

к=1

справедливо неравенство,

N

со

>С(А)]ГЫ, (1.2)

/г=1

где с(А) > 0 — величина, зависящая лишь от А. Неравенство (1.2) мы будем называть неравенством Сидона.

В связи с оценкой энтропийных чисел некоторых классов функций Б. С. Кашин и В. Н. Темляков (см. [17], [18]) исследовали вопрос о возможном обобщении неравенства Сидона, заменив в (1.1) а^соБп^а: на Рк{х) соБПкХ, гдерк{х) являются тригонометрическими полиномами (см. теорему А во Введении). Дальнейшее исследование было продолжено автором [24], [25]. В данном параграфе доказывается теорема 1.1, из которой, в частности, следует, что в теореме А условие с^рк < 21 может быть заменено условием с^р/г < |4г.

Введем несколько обозначений. Через < •, • > будем обозначать скалярное произведение функций в пространстве Ь2(0, 2-к) :

/>2тг

</,9>= / !{х)д{х)(Ь. Jo

20

Через Сп(/) обозначим п-й коэффициент Фурье функции f(x) : Сп(/) = ~ Г f(*)e~inxdx, neZ.

Определим свертку двух 27г-периодических функций, суммируемых на [0,2тг] :

1 У"271"

(f*g)(x) = —J f(x — t)g{t) dt. (1.3)

Нами часто будет использоваться следующее хорошо известное свойство свертки (см., например, [8, т. 1, с. 64]):

cn(f*g) = cn{f)cn(g). (1.4)

Мы доказываем следующее

Теорема 1.1 ([24], [25]). Пусть последовательность натуральных чисел удовлетворяет условию nk+i/nk > А > 1, k = 1, 2,....

Существует константа с(А) > 0, зависящая лишь от X, такая, что для любого тригонометрического полинома вида

N

f(x) = ^рк(х) cos пкх, k=l

гдерк — вещественные тригонометрические полиномы cdeg(pt) < 7Щ, 7 = min(|, ^р), k = I,. .., N, N > I, I — 1,2,..., справедливо неравенство

N

Шоо^А^ЫЬ. (1.5)

к=1

Неравенства типа (1.5) мы будем называть неравенствами типа Си-дона. Это обосновано тем, что если рк{х) являются константами, т. е. тригонометрическими полиномами нулевой степени, то неравенство (1.5) превращается в неравенство Сидона (1.2).

Доказательство теоремы 1.1. Рассмотрим тригонометрический полином

Аг

/(ж) = У^Рк(х) сов пкх,

к=1

где рк — вещественные тригонометрические полиномы с deg(p/c) =: 0(-к < 7 п1: 7 = пйп^нг), к = Л/". Определим функции ^(я),

к = I,..., N. Возьмем произвольное к € {I,..., А7"}. Если а^. = 0, то полином суть вещественная константа ак- В этом случае положим

{1, если ак > О,

— 1, если ак < 0.

Если ак > 0, то определим функцию дк(:г) следующим образом. Введем функцию (ядро Балле Пуссена)

. 271-1

п г—' ^—'

Эта функция обладает следующими свойствами:

а) Уп{х) — вещественный тригонометрический полином с deg(1Kг) < 2п;

б) сг(К) = 1, при |/| < п;

в) ЦКЦ^бтг.

Первые два свойства очевидны. Третье следует из известных свойств ядер Фейера Кп{х) = ^ где ОД = е'"*:

-2тг

¡■¿■к

Кп(х)>0 и / Кп(х)с1х = 2тг,

Л

'0

и того факта, что

1 2п-1

КМ = - = 2^2п-1(а:) - #„-!(*).

тъ

з—п

Откуда имеем

г2к Г2ТТ Г2ТГ

/ |14(а;)| < 2 / #2,1-1 (ж) йх + / #„-1(2;) (1х = 67Г, ./о Уо

и свойство в) доказано. Положим (см. (1.3))

дк = sign(pfc) * Уак.

Ясно, что дк — вещественная функция и, учитывая (1.4), получаем, что дк — вещественный тригонометрический полином сс^^) < 2ак. Покажем, что |Ы|ТО < 3. Действительно, в каждой точке х € [0,27т]

1 /*2,г

Покажем, что

8'щп{рк(х-г))-Уак(г)сИ 27Г УО

< Рк,дь >= 1Ы1ь

Используя то, что deg(pk) = ак и С1(Уак) = 1 при |/| < ак, находим (см. также (1.4)):

а к а к

<Рк,9к > = 2тг С1(Рк)с-1(дк) = 27Г 53 с1(Рк)с-1(&'щп(рк))с^{Уак) =

1=-ак 1=~оск

ак

= 2тг 53 С1{рк)с^(т^п(рк)) =< рк, sign(рк) >= Цр^Ць 1=-ак

Объединяя два случая, имеем

<1е%(дк) <2-гт, |Ы|оо < 3, < рк,9к >= \Ы|ь к = /,..., N. (1.6)

Выберем // = /¿(Л) >11, такое, что

1-1Л 1 1 N 2ж +1

Нетрудно видеть, что это возможно сделать, если взять /л достаточно большим. Отметим следующие неравенства

а /2—1 ¡л — 1

9т -1- 1

О, 9fix~2 — ___ > о, х>2. (1.9)

6

Действительно, первое неравенство равносильно неравенству 2 < Л + которое, очевидно, выполнено, поскольку Л > 1. Для доказательства второго рассмотрим функцию ф(х) = 0, 9¡ix~2 — Имеем ф(2) = ^ > О и

ф'{х) = 0, 9цх~2 ln fj, - i > 0, x>2,

ó

поскольку

ф'{2) = 0, 9 ln \i - \ > 0, 9 ln 11 - i > 0,

3 o

и тем самым неравенство (1.9) доказано.

Разобьем последовательность {n^^Li на конечное число М = М(А,/х) подпоследовательностей {mf^'jLi, q ~ 1,..., М, удовлетворяющих условию mf^/rn^ > ц, j = 1,2,... . Поскольку ¡i = /i(A), то М = М(А).

Выберем одну из этих подпоследовательностей и обозначим ее через {т}. Рассмотрим следующее произведение Рисса

1

Л(х)= П (l + gá^aOcosnfcz). (1.10)

l<k<N:nk(={m}

Поскольку H^fclloo < 3, то R(x) > 0. Покажем, что

llalli = 2ТГ. (1.11)

Раскрывая скобки в (1.10), получаем:

1 А

R(x) = 1 + - gk(х) eosnkx + w(x), (1-12)

l<k<N:nke{m}

где w(x) = YleaÁx) и слагаемые ae(x) имеют вид

ae{x) = 9kiix)cosnklx • ... ■ gkp(x)cosnkpx ■ (1.13)

где к\ > кч > .. • > кр, р > 2. Имеем

/■2тг

/ 9к{х) со$пкх(1х = О, А; = /,..., А/", Jo

поскольку с1её(с/А;) < 27П/ < п^. Покажем, что

/ ад (ж) ¿¿Ж = 0. ¿0

Минимальная частота тригонометрического полинома ае(х) по модулю будет (см. (1.6))

\и

> пк1 - 27щ - (пк2 + 27щ + •. • + пкр + 27щ) = = пк1 - (пк2 + ... + пкр) - р2ущ.

Поскольку пк € {т}, имеем

Отсюда, пользуясь также тем, что пк1 > д > 11, 7 < 1/6 и (1.9),

получаем

1 \ _ л 1

-пк1.

И > (1 - ^ту,)7^ ~ 2Р1п1 - ^ - ^¡зу 1щ ~ 2р1П1 -

> (0,9^-! - 2Р7)пг > (о, 9(1Р~1 - Ц)щ > (0,9/-2 - п/ > 0.

Отсюда получаем, что /02?г ае(х) (1х = 0, и т. к. ае(х) произвольное слагаемое, входящее в сумму т{х), то ,и)(х)(1х = 0. Поскольку Я(х) > 0, то из (1.12) имеем

г2л п2ж

ЦДЦх = / я{х)(1х= / Ыж = 2тг, Уо ¿о

и (1.11) доказано.

Рассмотрим следующую величину

г2п

I = < /,Я>= / ¡{х)11{х)(Ь. Jo

25

Оценим I сверху. Имеем

г2п

I < / \f(x)\\R(x)\ dx < ||/||ос||Л||1 - гтгЦ/Цоо. (1.14)

J о

Оценим теперь I снизу.

/=/ Рк(х) cos nkx"j (l + i cosn^-a; + dx.

k=l l<k<N:nk£{rn}

(1.15)

Имеем

/>2тг

/ pk(x) cos nkx dx — 0, k = l,...,N, (1-16)

Jo

поскольку deg(pfc) < 772/ < n^. Покажем, что

JP2tt

Pk{x) cosrikxw(x) dx = 0, k = l,...,N. (l-l?)

0

Для этого достаточно показать, что f^рк(х) cosnkx ае(х) dx = 0, где ае(х) — произвольное слагаемое, входящее в сумму w. Рассмотрим (см. (1.13))

Pk(x) cosnkx gkl(x) cosnklx ■ ... ■ дкр(х) cosпкрх. (1.18)

Рассмотрим три случая:

1) пк < nkl. Тогда минимальная частота (1.18) по модулю будет

М > nkl - (пк2 + ... + пкр) - p2-fni ~пк- -yni >

> (1 - ~пк~ (2р + 1)7^-

Поскольку пк < Пку-i < и пользуясь также тем, что nkl >

fip"lni, получаем (см. (1.7))

X 1

И > (l - д - ~—[)nki ~ i2P + >

2) пк > пкх■ Тогда минимальная частота (1.18) по модулю будет И > пк - jm - {nkl + ... + пкр) - р2^щ.

Поскольку

1 , \ р

nkl + • • • + пкр < пкх (n---1-..

nkl,

fi ) fi-1

пк > Xnkl, nkl > получаем (см. также (1.7), (1.8))

М > Пк--~-nkl - (2р + 1)7щ > (Л--^-—)пк - (2р + 1)7П/ >

ju — 1 V ¡1—1/

_ - . .......... 1 1

Л д - 1

(l - \ ~ ^ГТ)^ - (2Р + > (V1 (l

3) пк = rifcj. Имеем

PfciO^S^Cz) cos2 nklxgk2(x) cosп^ж • ... • зъДж) соэп^ж = = ^ Pfci (ж) gki ) cos 2nkl x gk2 (ж) cos nk2x ■ ...- gkp(x) cosnkpx+ (1.19) + ^п-1(ж)^1(ж)^2(ж) cos nk2x ■ ...■ gkp(x) cosnkpx.

Минимальная частота по модулю в первом слагаемом (1.19) будет (см.

(1.9))

и\ > 2nkl - (пк2 + ... + пкр) - (2р + 1)7щ > > (2 - - (2р + l)7n, > 1,9пкх - (2р + 1)7п, >

Рассмотрим теперь второе слагаемое в (1.19). Минимальная частота по модулю будет

И > пк2 - Кз + ... + пкр) - (2р + 1)7щ > - Пк2~

- (2р + 1 > 0,9пк2 - (2р + 1)7щ. Поскольку пк2 > цр~2П1, имеем (см. также (1.9))

И > (о, - (2р + 1)7)п/ > (о, - т > 0.

Таким образом, получаем, что рк(х) cos пкхае(х) dx = 0, где ае(х) — произвольное слагаемое, входящее в сумму ад, и, следовательно, (1.17) доказано.

Рассмотрим теперь

р2тт

/ рк{х) cosnkx gs{x) cosnsx dx. (1.20)

J 0

Рассмотрим три случая:

1) пк < ns. Тогда минимальная частота рк(х) cosnkx gs(x) cosnsx по модулю будет

\и\ > ns - пк - 37щ > (А - 1 )пк ~ З7щ > (А - 1 - З7)щ > 0.

2) пк > ns. Тогда минимальная частота рк(х) cos пкх gs(x) cos nsx по модулю будет

\и\ > пк — ns — 3"fni > (А — 1 )ns — З^щ > (Л — 1 — З7)ni > 0.

Таким образом, в случаях 1) и 2) интеграл (1.20) равен нулю. 3) Пк — ns. Имеем (см. (1.6))

п2ж . ^ п2тх

/ рк{х)дк{х) cos2 пкх dx — - / рк(х)дк(х) dx+ J о г J о

1 [2п 1 с2п 1

+ 2 J Pk{x)gk{x) cos 2пкх dx = - J pk(x)gk(x) dx = ~\\pk\\i.

Мы здесь использовали также то, что deg{ркдк) < З7щ < 2пк.

Таким образом, учитывая также (1.15), (1.16) и (1.17), получаем

i = l £ ыь- с1-21)

l<k<N: UfcS{m}

Из (1.14) и (1.21) получаем

£ mb ^ 127ги/1!оо- (1-22)

l<k<N:nke{m)

Складывая неравенства (1.22) по всем подпоследовательностям

д = 1,..., М, получаем

7v

ЕЫЬ^тгМ^или,

к=1

т.е. |[/||оо > с(Л) 1Ы|ъ где с(Л) = 12^(л)■ Теорема 1.1 доказана. Напомним определения двух известных систем.

Определение 1.1. Для п = 1,2,... п-я функция Радемахера задается равенством

1 при х € (^тг, ^г) , г — нечетное,

гп(ж) := _

— 1 при ж € (^г, ф) , г — четное, 29

Кроме того, в дальнейшем удобно считать, чтого(х) = 1 при х Е (0,1) и что rn(i/2n) = 0 при i = 0,1,..., 2П; п = 0,1, 2,....

Для целого числа п > 0 рассмотрим его двоичное разложение

00 s(n)

n=Yl = Y, W2^ гДе 0* = О или 1,

k—Q к=о

ös(n)W = l! S(n) = [l0g2n].

Определение 1.2. Система Уолша - это система функций

W = 0> ж 6 [0,1],

в которой Wq(x) = 1, а при п > 1

00 s(n)-l

wn(x) = = П (1-23)

k=0 k=0

где Гк(х), к = 1, 2,..., — функции Радемахера.

О разных свойствах этих систем можно ознакомиться в книгах [12], [15].

Для т £ Z+ через Wim) будем обозначать множество полиномов р(х) по системе Уолша вида

т

Р(х) = anwnix), а>п G К.

п=0

Следующая теорема является аналогом неравенства типа Сидона (1.5) для полиномов по системе Уолша. Ниже под ||/||р мы понимаем

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Радомский, Артем Олегович, 2014 год

Список литературы

[1] Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

[2] Белинский Э. С. Асимптотические характеристики классов функций с условием на смешанную производную (смешанную разность) // Исследования по теории функций многих вещественных переменных, Сб. статей. Ярославль. ЯГУ, 1990, с. 22-37.

[3] Белинский (Belinskiy Е. S.) Estimates of entropy numbers and Gaussian measures for classes of functions with bounded mixed derivative // J. Approx. Theory, 1998, v. 93, №1, p. 114-127.

[4] Гапошкин В. Ф. Лакунарные ряды и независимые функции // Успехи матем. наук, 1966, т. 21, №6, с. 3-82.

[5] Григорьев П. Г. Об одной последовательности тригонометрических полиномов // Матем. заметки, 1997, т. 61, №6, с. 935-938.

[6] Григорьев П. Г. Случайные и специальные полиномы по общим функциональным системам. Дисс. канд. физ.-матем. наук. МИРАН им. В. А. Стеклова, М., 2002.

[7] Григорьев П. Г., Радомский А. О. Некоторые тригонометрические полиномы с экстремально малой равномерной нормой // Матем. заметки (принято к печати). Предварительный вариант на английском языке доступен по ссылке: http://arxiv.org/pdf/1406.3042vl.pdf

[8] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1, 2. М.: Мир, 1965.

[9] Зигмунд (Zygmund A.) Quelques théorèmes sur les séries trigonométriques et celles de puissances // Studia Mathematica, 3 (1931), p. 77-91.

[10] Кахан Ж. П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. М.: Мир, 1976.

[11] Кахан Ж. П. Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973.

[12] Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физ-матгиз, 1958.

[13] Кашин Б. С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций // Изв. АН СССР, 1977, т. 41, №2, с. 334351.

[14] Кашин Б. С. О некоторых свойствах пространства тригонометрических полиномов с равномерной нормой // Труды МИАН, 1980, т. 145, с. 111-116.

[15] Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. Изд. 2-е, доп. М.: Изд-во АФЦ, 1999.

[16] Кашин Б. С., Темляков В. Н. Об оценке аппроксимативных характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной // Матем. заметки, 1995, т. 58, №6, с. 922-925.

[17] Кашин Б. С., Темляков В. Н. Об одной норме и связанных с ней приложениях // Матем. заметки, 1998, т. 64, №4, с. 637-640.

[18] Кашин Б. С., Темляков В. Н. Об одной норме и аппроксимационных характеристиках классов функций многих переменных // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. Сборник статей. Посвящается Петру Лаврентьевичу Ульянову к его семидесятилетию, М.: АФЦ, 1999, с. 69-99.

[19] Лопез, Росс (Lopez J., Ross К.) Sidon sets. Lecture Notes in Pure and Appl. Math., no. 13, Dekker, New York, 1975.

[20] Мильман, Вольфсон (Milman V. D., Wolfson H.) Minkowski spaces with extremal distance from the Euclidean space // Israel J. Math., 1978, v. 29, №2-3, p. 113-131.

[21] Пизье (Pisier G.) De nouvelles caractérisations des ensembles de Sidon // Mathematical Analysis and its Applications, Part B, Advances in Mathematics Supplementary Studies, 1981, v. 7, p. 685-726.

[22] Пизье (Pisier G.) Conditions d'entropie et caractérisations arithmétiques des ensembles de Sidon // in: Topics m Modern Harmonie Analysis, vol. II, 1st. Naz. Alta Mat. F. Severi, Roma, 1983, p. 911-944.

[23] Пизье (Pisier G.) Arithmetic characterizations of Sidon sets // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 1983, v. 8, №1, p. 87-89.

[24] Радомский А. О. Об одном неравенстве типа Сидона для тригонометрических полиномов // Матем. заметки, 2011, т. 89, №4, с. 589595.

[25] Радомский А. О. О возможности усиления неравенств типа Сидоиа // Матем. заметки, 2013, т. 94, №5, с. 792-795.

[26] Радомский А. О. О QC норме тригонометрических полиномов специального вида // Депонировано в ВИНИТИ 2014, №275-В2014, 6 с.

[27] Рисс (Riesz F.) Über die Fourierkoeffizienten einer stetigen Funktion von beschränkter Schwankung // Mathematische Zeitschrift, 2 (1918), p. 312-315.

[28] Рудин (Rudin W.) Fourier analysis on groups. New York, Interscience Publishers, Inc., 1962.

[29] Сидон (Sidon S.) Ein Satz über die absolute Konvergenz von

, Fourier reihen, in denen sehr viele Glieder fehlen / / Mathematische

| Annalen, 96 (1926), p. 418-419.

i

, [30] Сидон (Sidon S.) Verallgemeinerung eines Satzes über die absolute

' Konvergenz von Fourierreihen mit Lücken // Mathematische Annalen,

97 (1927), p. 675-676.

[31] Сидон (Sidon S.) Ueber orthogonale Entwicklungen // Acta Litterarum ac Scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae, 10 (1943), p. 206-253.

[32] Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости рядов Фурье // Известия Академии наук СССР, серия математическая, 1953, т. 17, с. 87-98; 1955, т. 19, с. 221-246; 1956, т. 20, с. 385-412.

[33] Талагран (Talagrand М.) The small ball problem for the Brownian sheet // Ann. Probability, 1994, v. 22, №3, p. 1331-1354.

[34] Темляков В. H. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Труды МИАН, 1986, т. 178.

[35] Темляков В. Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Труды МИАН, 1989, т. 189, с. 138-168.

[36] Темляков (Temlyakov V. N.) Approximation of Periodic Functions. Commack, NY: Nova Sei. Publ., 1993.

[37] Темляков (Temlyakov V. N.) An inequality for trigonometric

polynomials and its application for estimating the entropy numbers // J. Complexity, 1995, v. 11, p. 293-307.

[38] Темляков (Temlyakov V. N.) An inequality for trigonometric polynomials and its application for estimating the Kolmogorov widths // East J. Approx., 1996, v. 2, №2, p. 253-262.

[39] Хант (Hunt R. A.) On the convergence of Fourier series // Orthogonal Expansions continuous Analog., Proc. Conf. Southern Illinois Univ. Edwardsville, 1967, 1968, p. 235-255.

[24] Радомский А. О. Об одном неравенстве типа Сидона для тригонометрических полиномов // Матем. заметки, 2011, т. 89, №4, с. 589-595.

[25] Радомский А. О. О возможности усиления неравенств типа Сидона // Матем. заметки, 2013, т. 94, №5, с. 792-795.

[26] Радомский А. О. О рС норме тригонометрических полиномов специального вида // Депонировано в ВИНИТИ 2014, №275-В2014, 6 с.

Работы автора по теме диссертации: