Оптимальные методы приближения функций обобщенными полиномами и всплесками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Фарков, Юрий Анатольевич

• Фарков, Юрий Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Фарков, Юрий Анатольевич

Введение.

Глава 1. Поперечники и е-энтроиия некоторых классов. аналитических функций.

§1.1. Предварительные сведения о поперечниках и ^-энтропии.

§ 1.2. Аппроксимации функций, аналитических в круге.

§ 1.3. Поперечники классов функций, голоморфных в шаре. и в трубчатых областях.

§ 1.4. Об ^-энтропии классов Харди-Соболева.

§ 1.5. Об оптимальности аппроксимаций Фабера и Ерохина.

§ 1.6. О наилучших линейных аппроксимациях функций,. аналитических в окрестности нескольких континуумов.

Глава 2. Ортогональные всплески на локально компактных. абелевых группах.

§ 2.1. Групповые аналоги всплесков Лемарье-Баттла и Шеннона.

§ 2.2. О стабильных и р-ично целых функциях на группе Виленкина.

§ 2.3. Кратномасштабный анализ на группах Виленкина.

§ 2.4. Алгоритмы построения ортогональных всплесков. на группах Виленкина.

§ 2.5. О гладкости ортогональных всплесков на группе Кантора.

§ 2.6. О безусловной сходимости всплесковых разложений.

Глава 3. Некоторые модификации ортогональной конструкции. всплесков на локально компактных абелевых группах.

§ 3.1. Биортогональные всплески на группах Виленкина.

§ 3.2. Дискретные всплесковые р-адические базисы.

§ 3.3. Периодические всплесковые р-адические базисы.

§ 3.4. Фреймы на канторовой диадической группе.

§ 3.5. Аналоги теоремы Гроссмана-Морле.

§ 3.6. Применения биортогональных и периодических всплесков. к обработке изображений и фрактальных сигналов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимальные методы приближения функций обобщенными полиномами и всплесками»

Оптимальные методы приближения функций составляют раздел теории приближений, начало которому было положено А.Н.Колмогоровым. Введенный им поперечник отвечает на следующий вопрос: какой точности приближения заданного класса можно достигнуть, если использовать в качестве аппарата приближения подпространства заданной размерности? В дальнейшем для изучения оптимальности различных методов приближения (линейных, интерполяционных и др.) были введены линейные, гельфандовские, александровские, бернштейновские и некоторые другие поперечники. Основные результаты о поперечниках изложены в работах В.М.Тихомирова [46]-[50] и монографии А.Пинкуса [116], где приведена подробная библиография. Методы теории поперечников играют важную роль в общей теории оптимальных алгоритмов (см., например, монографии К.И.Бабенко [3], О.В.Локуциевского и М.Б.Гаврикова [23], Трауба и Вожьняковского [51]) и в некоторых современных задачах теории восстановления, отраженных в работах Б.С.Кашина и В.Н.Темлякова [19], В.Н.Темлякова [127], Г.Г.Магарил-Ильяева и К.Ю.Осипенко [25], Д.Донохо [84], и др. В диссертации основное внимание уделяется обобщению и развитию методов приближения, возникших в работах К.И.Бабенко [2|, В.Д.Ерохина [13], Л.В.Тайкова [45], Дж.Уолша [130] и Х.Лэнга [111].

Напомним, что линейный n-поперечник подмножества А нормированного пространства X определяется равенством

An(A,X) := inf sup ||/ — An/||,

An ¡€а где нижняя грань берется по всем линейным ограниченным операторам Ап ранга п, отображающих X в себя. Уклонением множества А от подпространства L в X называют величину d(A, L, X) :— sup inf ||х — у||, хеа а n-поперечник но Колмогорову множества А в X определяется равенством dn(A,X) :=inf d{A,Ln,X), Ln где Ln - произвольные подпространства из X размерности п. Легко видеть, что dn(A,X) < Хп(А,Х). Для предкомпактного множества А через NS(A; X) обозначают минимальное число точек в г-сети для А в X. Величина

Пе(А,Х) \оЕ2 Ме(А. X) называется ^-энтропией множества А относительно X.

В диссертации рассматриваются несколько методов приближения, оптимальных относительно линейных и колмогоровских поперечников или по среднеквадратическому и энтропийному критериям. Под среднеквадратическими приближениями понимаются аппроксимации по 1/2-метрике в различных пространствах функций.Энтропийный критерий применяется в двух вариантах - для дискретных массивов данных (энтропия в смысле Шеннона) и для функциональных пространств (г-энтрогшя по Колмогорову). Детальное изложение конструктивных аспектов сопровождается соответствующими примерами и алгоритмами приближения, основанными на изучаемых методах аппроксимации. Основные результаты связаны с решением следующих задач.

1. Получить точные и асимптотически точные результаты о поперечниках и ^-энтропии классов аналитических функций.

2. Найти групповые аналоги всплесков Шеннона и Лемарье-Баттла на локально компактных абелевых группах.

3. Для произвольного натурального п построить диадические всплески с компактными носителями на канторовой диадической группе, отвечающие масштабирующему уравнению с 2" коэффициентами, и получить оценки гладкости этих всплесков.

4. Построить ортогональные и биортогональные всплески с компактными носителями на р-адической группе Виленкина и их дискретные аналоги в пространствах последовательностей.

5. Построить периодические всплески с компактными носителями на р-адической группе Виленкина.

6. Построить фреймы Парсеваля и жесткие фреймы на диадической группе Кантора.

7. Вычислительными экспериментами по обработке изображений и фрактальных функций выявить преимущества построенных вснлесковых систем по сравнению с базисами Хаара и Добеши, а также с биортогональным базисом 9/7, используемым в стандарте ^ЕС2000.

В первой главе диссертации изложены результаты автора о поперечниках некоторых классов функций, аналитических в круге, приведены многомерные аналоги результатов К.И.Бабенко, Л.В.Тайкова и А.Пинкуса о поперечниках класса Харди-Соболева и вычислена асимптотика е-энтропии этого класса функций. Построены оптимальные в смысле поперечников и е-энтрогши базисы для классов функций, ограниченных в окрестности нескольких континуумов комплексной плоскости (эти результаты обобщают соответствующие конструкции Г.Фабера, В.Д.Ерохина и Дж.Уолша).

Во второй главе диссертации излагаются результаты о построении ортогональных всплесков на локально компактных абелевых группах в рамках кратномасштабного анализа. Определены групповые аналоги всплесков Лемарье-Баттла и Шеннона. Изложены алгоритмы построения ортогональных всплесков с компактными носителями на группах Кантора и Виленкина. Показано, что соответствующие масштабирующие функции представимы лакунарными рядами Уолша. Получены оценки гладкости ортогональных всплесков на группе Кантора, доказана безусловная сходимость всплесковых разложений в диадическом пространстве Харди.

Третья глава диссертации посвящена нескольким модификациям ортогональной конструкции всплесков на группах Кантора и Виленкина. При построении биортогональных всплесковых систем на р-адической группе Виленкина С используются кратномасштабные анализы с базисами Рисса. Для пространств комплексных периодических последовательностей с помощью преобразования Виленкина-Крестенсона вводятся аналоги ортогональных всплесков, изучавшихся в главе 2, и указываются алгоритмы для их построения. Приведены примеры фреймов Парсеваля на группе Кантора. Доказаны аналоги теоремы Гроссмана-Морле. Изложены результаты вычислительных экспериментов по применению построенных всплесков для обработки изображений и фрактальных функций.

Пусть и — {г : \г\ < 1} - единичный круг, Т = 811 - его граница, иг — ги - круг радиуса г,Тг = диг, и пусть а и и - стандартные меры на окружности Т и комплексной плоскости С, определяемые равенствами с1а(егв) = йв/2тх и с1и(х + гу) — в^хв^у/к соответственно. Для 1 < р < оо обозначим через ВНр(ит) замкнутый единичный шар класса Харди Нр{11г). Пусть И > 1. С помощью тейлоровских аппроксимаций выводятся равенства

А,,(ЯЯ2(*7л).Ь2(а)) = с1п(ВН2(ип),Ь2(а)) - Д"п.

В то же время, как отмечалось Фишером и Мичелли [100], экстремальный метод приближения для линейных поперечников Лп(ВН2(ир), Ь2(и)) имеет вид г) « (СпЛ(г) := ]Г> - (0.1) к=0 и связан с ядром Пуассона оо

Т{г, := 1 + 2 ^ г* соэЫ, 0 < г < 1, ¿е[-тг,тг], к=1 формулой

7Г

Дге*) - (С„/)(ге*) = ^ I егп^Г(т/Я, в - (0.2) 7Г

С помощью метода (0.1) доказываются (см. [116]) равенства п(ВН2(ил), Ь2(и)) = с1п(ВН\ип), Ь2{и)) = Я~п(п + I)"1/2. (0.3)

Метод аппроксимации (0.1) одновременно решает задачу восстановления значения произвольной функции / из единичного шара пространства Н°°(ип) в данной точке г £ £//? \ {0} по тейлоровской информации {/(0),/'(0),. . ,/^п1^(0)} (этот результат принадлежит К.Ю.Осипенко 130]).

В § 1.2 показано, что метод (0.1) оптимален для поперечников Лп(БЯр(/7я),Ь,?(а)) и Хп(ВНр(ид),^(гу)) для всех 1 < <? < р < оо. Более того, согласно предложению 1.2.2, если б^(ге^) = с1т{г) йа(е1°), где т - положительная борелевская мера на [0,р], 0 < р < Я, то для 1 < <7 < р < оо имеет место равенство и такие же равенства верны для колмогоровских и гельфандовских поперечников. При р = д = оо имеем

Хп(ВН°°(ин), С(Т)) = с?п(ВН°°(ия),С(Т)) = Я"» (0.4) и полиномиальный метод г) « (Р„/)(г) := £(1 - (I/Я)2{п~к)){^(0)/к\)гк (0.5) а~=0 оптимален для поперечника \п(ВН°°(ип),С(Т)).

Приведем обобщения методов (0.1) и (0.5) для оценок поперечников класса Харди-Соболева Нп(1,р), состоящего из функций, у которых производная порядка I принадлежит классу BHp(Ub). Для любого п > I и каждой функции /, аналитической в Ur, положим

1-1 п-1

GlJ)(z) := Е(/(/С)(0)/^!)гЧ^(1-(4п,М) (\z\/Rfn~k))(f^(0)/k\)zk, к=О к=1

0.6) где а1к := (/с — 1)\/к\ Полагая z — relip (0 < г < R), имеем равенство f(z)-(G'nf)(z) = i п h (TJ eXP'l{l " П){в ~ ^)f{l\Reie)de. (0.7) 7Г

Здесь оо

Blin{p, t):=aln + 2j2 Pkalk+n cos kt, 0 < p < 1, te [-тг, тг], (0.8) k=\

- ядро из работы К.И.Бабенко [2]. Это ядро связано с ядром Пуассона формулой 1

Ы/М) = ^ /(1 - r)l-lTn~lv{pr.t)dr о и, следовательно, неотрицательно. Отметим, что неотрицательность ядра (0.8) проверяется также повторным применением преобразования Абеля.

Обозначим через (Pj%f)(z) выражение, которое получается из правой части (0.6) заменой \z\ на 1. Согласно (0.7) имеем sup{|| / - PlJ\\c(U) : / е HR(l, оо)} = d(Hn(l,oo),Vu,C(U)) = a:lnRl~n,

0.9) где Vn ~ множество полиномов степени не выше п — 1 и супремум достигается на функции fo(z) = alnRl~nzn. Второе из равенств (0.9) выражает теорему Бабенко о наилучших полиномиальных приближениях класса Нц(1, оо). С другой стороны, из неравенств Бернштейна

K\\c{TR)<{n/R)\\Pn\\c{TR) и \\Рп\\с{тп) < Rn\\Pn\\c{T), где Рп G Vn+i, R > 1, по теореме о поперечниках шара выводится оценка dn(HR{l,oo),C(U))>alnRl~n.

Отсюда и из (0.9) имеем n{HR(l,oo),C{U)) =dn(HR(l,oo),C(U)) = a'nRl-n., (0.10) причем метод / ~ P^f оптимален для n-понеречника Xn(HR(l,oo),C(U)). Формула (0.10) для колмогоровских поперечников была получена В.М. Тихомировым. В явном виде методы аппроксимации / « P^f и / ~ Glnf указаны соответственно Л.В.Тайковым [45] и А.Пинкусом [116]. Подобный подход применим и для оценок поперечников некоторых других классов аналитических функций (см., например, недавнюю работу [5]).

В § 1.3 доказываются многомерные аналоги указанных результатов К.И.Бабенко, Л.В.Тайкова и А.Пинкуса, а в § 1.4 выводится асимптотическая формула для s-энтропии многомерного аналога класса Hr(1,p). Сформулированы соответствующие результаты для классов функций с ограниченными дробными производными. Дальнейшие результаты главы 1 посвящены анализу оптимальности методов аппроксимаций Фабера, Ерохина и некоторых их обобщений.

Пусть О - открытое множество на плоскости С, Е - компактное подмножество в П. Пространство H°°(Q) состоит из функций /, аналитических в Г2 и имеющих конечную норму Ц/Ня^п) := sup{|/(~)| : z G О}. Обозначим через ВН°°(£1) сужение на Е замкнутого единичного шара пространства и через cap (Е, П) емкость Грина множества Е относительно (например, если Е = U, то сщ> {Е.UR) = 1/log .ft). Если U - односвязная область Жордана и со : —> UR - отображение Римана. то

4(БЯ°°(П),С(£;)) - dn(BH°°(UR),C(u(E))) для любого компакта Е С Отсюда и из (0.4) для чебышевского случая, когда Е - отрезок [—1,1] и Q - эллипс с фокусами в точках —1 и 1, получается оптимальный метод для поперечников dn(BH°°(£l),C(E)).

В случае Фабера в качестве Е берется континуум К, не разбивающий плоскость, a Q является канонической окрестностью GR континуума К (граница dGR совпадает с прообразом окружности TR при конформном отображении дополнения К на дополнение единичного круга U в расширенной комплексной плоскости). Для К = U и К = [—1,1] аппроксимации Фабера совпадают соответствен© с аппроксимациями

Тейлора и Чебышева (подробнее о многочленах Фабера см., например, в монографиях [8] и [44]). Для широкого класса континуумов К (например, в случаях, когда К - выпуклый компакт или замкнутая область Радона) приближения функций частичными суммами ряда Фабера позволяют доказать (см. § 1.5) порядковые оценки

Л n(BH°°(GR), С (К)) х dniBH^iGn), С(К)) ж R~n. (0.11)

Задача о вычислении асимптотики e-энтропии класса BH°°{Vt) в метрике С(Е) поставлена А.Н.Колмогоровым. Условия, при которых имеет место асимптотическая формула

Hr(BH°°(ü), С(Е)) ~ CaP(g'fí)(log2(l/£))2 (е^ 0), (0.12) log2e изучали К.И.Бабенко, А.Г.Витушкин, В.Д.Ерохин, В.М.Тихомиров, В.П.Захарюта, Г.Видом и др. (см. [47, с.218]). Известно, в частности, что формула (0.12) является следствием равенства lim [dn{BH°°{Ü), C{E))}l/n = ехр(—1/сар (£, ÍÍ)), (0.13)

П—> 00 и что равенство (0.13) имеет место, если Q - ограниченное открытое множество, содержащее конечное или счетное число компонент, Е -компактное подмножество в tt положительной логарифмической емкости; кроме того, если О - многосвязная область либо конечное дизъюнктное объединение таких областей, то

С{Е)) > С\ ехр(—?г/сар (Е, Í2)). (0.14)

Пары (Е,П), для которых верна обратная оценка, можно найти в работах Ганелиуса, Фишера, Мичелли и др. Так, например, Фишером и Мичелли [100] при условии, что дополнение области в расширенной плоскости состоит из т + 1 компонент, установлено, что

1) dn(BН°°(Q), С(Е)) > ехр[—(m + n)/cap (Е, fi)],

2) если Е = {z G П : |ßo(2)| ^ р} Для некоторого произведения Бляшке Bq и некоторого р > 0, то dn{BHС(Е)) х ехр(—гг/сар (Е, Q)).

В общем случае равенство (0.13) доказывается с помощью приближений функций / из класса ВН°°(С1) рациональными функциями с нулями и полюсами, равномерно распределенными относительно некоторых мер. определяемых по Е и Í2.

В § 1.5 и § 1.6 излагаются оптимальные линейные методы приближения, позволяющие с помощью разложений в ряды функций / из BH°°(Ct) доказать формулу lim [An(£#°°(Q), С{Е))]1/п = ехр(-1/сар (Е, П)) (0.15) п—>оо и оценку

Ап{ВН°°{П), С{Е)) < с2 ехр(—n/cap (Е. Q)). (0.16)

Из (0.14) и (0.16) имеем слабые асимптотики

Ап{ВН°°{П), С{Е)) х dn(BH°°(ü), С{Е)) х exp(-n/cap (Е, П)).

В дополнение к указанному выше фаберовскому случаю приводятся пары (Е, О), для которых существуют аналитические в О функции Д такие, что:

1) любая функция /, аналитическая в Í2. единственным образом представима рядом

00 f(z) = J2akfk{z), Z е tt, к=О равномерно и абсолютно сходящимся на любом компакте из Ü;

2) если / е ВН°°(П), то п-1 lim sup II/ - fk\\l¿?E) < ехр(-1/сар (Е, Q)). п—>оо , с=0

Для некоторых пар (Е, Г2) излагаемые методы приводят к соотношениям Ап(£Я°°(0), L9(E)) х dn{BH°°{ü),Lq{E)) х n"1/f/ exp(-n/cap (ß, Vt)) для всех 1 < q < оо.

В § 1.6 основное внимание уделено случаю, когда Q - многосвязная область либо дизъюнктное объединение конечного числа таких областей, а Е - континуум, разбивающий плоскость, либо объединение конечного числа попарно непересекающихся континуумов. В этих случаях формула (0.15) и оценка (0.16) (а также их квадратичные аналоги) доказываются с помощью построенных автором базисов типа Ерохина, обобщающих классические базисы Лорана, Фабера, Якоби и Уолша. В обзорах В.М.Тихомирова [47] и [48] эта конструкция приведена среди наиболее важных результатов о поперечниках и энтропии классов аналитических функций.

Глава 2 посвящена изложению результатов, относящихся к построению ортогональных всплесковых базисов на локально компактных абелевых группах. Подробная библиография по всплесковым конструкциям на группах приведена в [75]. Основное внимание в главе 2 уделено изучению всплесков, определяемых с помощью обобщенных функций Уолша. Изучение системы Уолша на группах началось в 40-е годы прошлого века. Приведем фрагмент введения к монографии [1]: "И. М. Гельфанд заметил, что система Уолша является системой характеров счетной суммы циклических групп порядка 2, и предложил Н. Я. Виленкину изучить ряды по характерам произвольных нуль-мерных компактных коммутативных групп. Это было выполнено в работе [6]. В силу общей теории характеров, построенной JI. С. Понтрягиным (см., например, [34]), такие ортонормированные системы оказываются мультипликативными и периодическими - некоторая степень любой функции тождественно равна единице. Оказывается, многие свойства тригонометрических рядов присущи и рядам по мультипликативным периодическим системам. Вместе с тем простое "устройство"(конечное или счетное множество значений) подчас упрощает доказательства". Независимо в 1949 г. интерпретация-функциий Уолша как характеров канторовой диадической группы была дана Файном [99]. Этот факт двумя годами ранее отмечался Н.Я. Виленкиным, которым в работе [6] был определен широкий класс локально компактных абелевых групп (называемых в современной литературе группами Виленкина), содержащий группу Кантора как специальный случай. Отметим, что применениям группы Кантора и обобщенных функций Уолша в теории тригонометрических рядов Фурье посвящены две главы монографии Р. Эдвардса [74].

В настоящее время теория преобразований Уолша и их обобщений представляет собой активно развивающийся раздел гармонического анализа. В России существенный вклад в развитие этой теории внесли Б. И. Голубов, А. В. Ефимов, В. А. Скворцов, С. В. Бочкарев, С. В. Конягин, М. С. Беспалов, А. С. Поспелов, JI. А. Балашов, С. С. Волосивец, С. Ф. Лукомский и др. (подробная библиография приведена в [10]). Основные достижения зарубежных математиков (среди них: G. Alexits, P. L. Butzer, S. Fridli, F. Móricz, С. W. Onneweer, J. Pal,. J. Price, F. Schipp, A. H. Siddiqi, P. Simon, R. S. Stankovic. M. H. Taibleson, W. R. Wade, H. J. Wagner, C. Watari) в этой области отражены в книге [118]. В монографиях [10], [11], [118], [125] изложены результаты по следующим темам:

• ряды по системе Уолша: признаки сходимости и методы суммирования;

• задачи единственности представления функций рядами Уолша;

• приближение функций полиномами Уолша и Хаара;

• ряды Уолша с монотонно убывающими коэффициентами;

• лакунарные ряды Уолша;

• двоичные интегралы и производные;

• диадические мартингалы и пространства Харди;

• двоичные операторы Харди и Харди - Литтлвуда;

• двоичные обобщенные функции;

• применения дискретных преобразований Уолша и их обобщений к цифровой обработке информации, кодированию изображений, исследованию случайных процессов, анализу динамики линейных и нелинейных систем, разработке систем оптимального управления, а также при построении многоканальных систем связи и в голографии.

Для данного р > 2 группа Виленкина может быть определена как слабое прямое произведение счетного множества циклических групп р-го порядка, рассматриваемых с дискретной топологией. В случае р = 2 группа Виленкина изоморфна канторовой диадической группе. Специфика построения всплесков на группах Кантора и Виленкина связана с тем обстоятельством, что эти группы (как и аддитивная группа поля р-адических чисел) содержат открытые компактные подгруппы (см. [75]). На международной конференции по дискретному анализу и его приложениям, состоявшейся в Салониках 27-29 сентября 2008 г., среди обсуждавшихся тем были следующие: анализ Уолша, гармонический анализ на группах Виленкина, р-адические всплески, анализ Фурье на некоммуттативных группах, производная Гиббса и ее обобщения, нелинейные методы кодирования. Статья автора [91] о кратномасштабном анализе и всплесках на группах Виленкина опубликована в специальном выпуске журнала Facta Universitatis, посвященном этой конференции.

Кратномасштабный анализ в ^-пространствах на локально компактных абелевых группах относится к числу фундаментальных понятий теории всплесков и определяется следующим образом. Пусть G - локально компактная абелева группа и L2(G) - соответствующее пространство Лебега. Предположим, что Н - дискретная подгруппа в G такая, что фактор-группа G/H компактна, и А - автоморфизм группы G такой, что А(Н) - собственная подгруппа в Н. Кратномасштабным анализом (сокращенно: КМА) в L2(G), ассоциированным с Н и А, называется семейство замкнутых подпространств Vj С L2(G), j Е Z, удовлетворяющих следующим условиям: i) Vj С yj+i для j G Z. (и) = iii) /(•) G V<¡=> ДА) G V-+i для j G z. iv) /(•) G Vo => /(• - h) G Vb ДЛЯ h G Я. v) Существует функция с/? G L2(G) такая, что система {(p(- — h) | /1 G Я} является ортонормированным базисом в Vo.

Условие (v) часто заменяют предположением, что система {(р(- — К) \ h G Я} является базисом Рисса в Vo- Это значит, что для каждой функции / G Vо существует единственная последовательность {а^} G £2(Я) такая, что

Ях) = - h) heH со сходимостью в L2(G) и выполнены неравенства л>(Е i а/.!2)1'2 < иЕ «"/(• - ft)i¡ < В»(Е i a"i2)I/2. heH heH heH где положительные константы Aq и Bq не зависят от / G Vо ■ В этом случае говорят о КМА с базисом Рисса. Эквивалентность этого определения КМА в L2{G) приведенному выше определению доказывается так же, как для пространства Ь2(Ж) (см., например, [29]).

Из (iii) и (v) следует, что система {<р(А ■ —К) \ h G Я} является ортогональным базисом в V\. Так как ip G Vo С Vi, то имеет место разложение р(х) = c(h)<p(Ax — h), х G G, heH которое часто рассматривается как функциональное уравнение относительно масштабирующей (или уточняющей) функции 1Р.

В § 2.1 при условиях, когда 1) группа G метризуема, причем выполняется вторая аксиомасчетности, и 2) автоморфизм А непрерывен, aero обратный А"1 является сжатием, определены групповые аналоги классических всплесков Лемарье-Баттла и Шеннона. Эти результаты связаны с групповыми вариантами интерполяционной теоремы Шенберга и теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона, полученными В.М.Тихомировым [49].

Напомним, что р-адическая группа Виленкина Gp состоит из последовательностей вида ж = (х3) = (. О, 0, хк, Хк+1,Хк+2, ■ ■.), где Xj Е {0,1,. .,р — 1} для j 6 Z и х3 = О для j < к = /с(х). Групповая операция на G = Gp обозначается © и определяется как покоординатное сложение по модулю р : zj) = {xj) 0 (у3) ^ = х3 + у3 (modp) для j G Z , а топология в G вводится полной системой окрестностей нуля:

Ui = {{xj) Е G \ х3 = 0 для j < /}, leZ.

Множества Ui являются открытыми компактными подгруппами в G и обладают свойствами: ul+1cuh f]UL = {e}, {Ju, = G.

Положим U — Uq и обозначим через © операцию, обратную ® (так что х © х = в. где в - нулевая последовательность). При р — 2 группа G совпадает с канторовой диадической группой С, погруппу U часто называют компактной канторовой группой (см., например, [74], [119]), а операция © в этом случае совпадает с ©.

В апреле 1996 г. автором в совместном с Д. Ю. Перловым докладе на международной конференции "Новые достижения в науках о Земле"(Москва, МГГА) был определен кратномасштабный анализ Хаара на группах Виленкина. В том же году Ленгом [111] были построены первые примеры ортогональных всплесков с компактными носителями на группе Кантора, отличные от всплесков Хаара.Через два года вышли две работы Лэнга [112] и [113], в которых определен кратномасштабный анализ в /^-пространстве на группе Кантора, выявлена мультифрактальная структура построенных в [111] ортогональных всплесков и найдены условия, при которых эти всплески порождают безусловные базисы в соответствующих /^-пространствах для всех 1 < q < оо. Кратномасштабный анализ на компактной группе Кантора в рамках FMS-анализа (Fourier - Walsh-similar analysis) построен Бл.Сендовым |119|; кроме того, им была предложена соответствующая адаптивная схема аппроксимации диадическими всплесками (см. [120], [121]). В дополнение к этим результатам в главе 2 изучены методы построения ортогональных всплесков с компактными носителями на группах Виленкина, получены оценки гладкости ортогональных всплесков на группе Кантора и доказана безусловная сходимость всплесковых разложений в диадическом пространстве Харди.

Пусть G - р-адическая группа Виленкина. Группа, двойственная G. обозначается G* и состоит из последовательностей вида и> = щ) = (., О, 0,^,^+1,^+2, • • .)> где Е {0,1,. ,р — 1} для ^ Е Ъ и = 0 для '} < к — к(и). Операции сложения и вычитания, окрестности нуля {иЦ} и мера Хаара ¡1* вводятся для С* так же, как и для С. Каждый характер группы С может быть задан по формуле для некоторого ш Е С*.

Выделим в С дискретную подгруппу Я = {(ху) Е С | = 0 для ] > 0} и определим автоморфизм А Е Аг^ С по формуле (Ах)^ = а^+ь Легко видеть, что фактор-группа Н/А(Н) содержит р элементов, а аннулятор Я-1 подгруппы Я состоит из последовательностей (с^) Е С*, у которых и2 = 0 для > 0.

Отображение Л : С —>• М+ определим равенством

Отметим, что отображение Л переводит множество и в отрезок |0,1| и задает изоморфизм пространств с мерой (С, /¿) и (М+5/и+), где ¿¿+ -мера Лебега на М+. Образом подгруппы Я при отображении Л является множество целых неотрицательных чисел: А(Я) = Для каждого а Е 2+ через /г^] обозначим элемент из Я такой, что А(/г[п,]) = а; в частности, /г[0] = 9. Отображение Л* : С* —> К.+ , автоморфизм В Е А^С, подгруппа II* в С* и элементы из Н1- определяются аналогично Л, А. и и соответственно. Отметим, что \{Ах,и)) = для х Е С, со Е С*.

Для произвольного х Е С полагаем |х| := Л (ж).

Обобщенные функции Уолша для группы С могут быть заданы равенством а(х) = х{х-,и[а]), а Е ж Е С.

Эти функции непрерывны на С и удовлетворяют соотношениям ортогональности где 5а>р - символ Кронекера. Известно также, что система полна в

Ь2{и). Соответствующая система для группы С* определяется равенством ег и= ае1+,ие С*.

Система {IV*} является ортонормированным базисом в Ь2(17*). Для произвольной функции Е Ь2(С) положим гР12ч>{#х эК), ] Не я.

Будем говорить, что функция ф порождает (или генерирует) КМА в 1/2(С), если, во-первых, система {<£>(• © /г) | /г Е Я} ортонормирована в Ь2((?) и, во-вторых, семейство подпространств

V} = с1о8^(С)8рап{^1/1| К Е Я}, ^ Е Ъ, является КМА в Ь2(С). Если функция ф генерирует КМА в £2(С), то при каждом у Е Ъ система {^Р^^ | ^ £ является ортонормированным базисом в Ц и существуют ортогональные всплески ., ^р-1 такие, что функции

- р'^ЫА'х ОН), 1 < / < р - 1, з Е К Е Я, образуют ортонормированный базис в Ь2{(3).

В § 2.3 приведены необходимые и достаточные условия, при которых решения масштабирующих уравнений вида рп- 1 р аа<р{Ах © /г[а]) (0.17) а—0 порождают КМА в 1/2(С).

Напомним, что через обозначается характеристическая функция множества Е. Если ао = ••• = ар 1 = 1/р и все аа = 0 для а > р, то решением уравнения (0.17) является функция </? = 1(уг11; в частности, при п = 1 уравнению (0.17) удовлетворяет функция Хаара (р = 1 у и соответствующие всплески имеют вид р-1 ф^х) = е^СЛж © /г[а]), 1 < I < р - 1, (0.18) а—0 где Ер = ехр(27гг/р). Всплески (0.18) аналогичны р-адическим всплескам типа Хаара, построенным С.В. Козыревым [20] для поля р-адических чисел

Пусть функция V9 Е L2(G) имеет компактный носитель, удовлетворяет уравнению (0.17) и условию <Р(@) = 1. Применив преобразование Фурье, из (0.17) получим равенство <¿>(w) = то(В~1и>)<р(В~1ш), где pn-i mo(uj) = ]Г aaW*(to) (0.19)

Q=0

- обобщенный полином Уолша, называемый маской уравнения (0.17).

Множества , := B~n{uj[s]) 0 В"п{и*), 0 < s < рп - 1, являются смежными классами группы U* по подгруппе B~n(U*). Каждая из функций W*{uj) при 0 < а < рп — 1 постоянна на множествах U* s. Коэффициенты масштабирующего уравнения (0.17) связаны со значениями bs маски (0.19) на смежных классах U* s прямым и обратным дискретными преобразованиями Виленкина - Крестенсона:

Г-1 -7Г Е b»W¿(B-nuj[a]), 0<а<р»-1, (0.20)

Р 6=0 рп- i bs=]TaaW¿(B-"cj[s]), 0<s<pn-l. (0.21) cu—0

Для реализации этих преобразований имеются быстрые алгоритмы (см., например, [10]). Таким образом, выбор значений маски (0.19) на множествах U* s одновременно определяет коэффициенты уравнения (0.17), которому удовлетворяет соответствующая функция

Для каждого 1 Е {0,1,. . . ,р — 1} последовательность ш — (ujj), у которой uj\ = I и uij — 0 для j ^ 1. обозначим через 0/ (в частности, ^о = в). Если функция </? Е L2(G) удовлетворяет уравнению (0.17) и система {</?(• © /г) | /г Е Н} ортонормирована в L2(G), то р-1 то(и> © di)|2 = 1 для всех сj Е G*.

1=0

Поэтому равенства 1, |^|2 + |Ь,-+рп-1|2 + . + |^+(Р-1)Р«-'|2 = 1, 0<j <рп'1-1 (0.22) необходимы для ортонормированности в L2{G) системы {</?(• © h) \ h Е Н}.

Компактное множество Е С G* называется конгруэнтным U* по модулю если ¡¿*(Е) — 1 и для любого и Е Е существует элемент h* Е //^ такой, что ш © к* 6 II*. Пусть то - маска уравнения (0.17). Будем говорить, что то удовлетворяет модифицированному условию Коэна, если в группе С* найдется компактное подмножество Е, содержащее окрестность нулевого элемента и такое, что

1) Е конгруэнтно и* по модулю

2) выполнено неравенство т£ т£ > 0. (0.23) иеЕ

При условии то (#) = 1 в силу компактности множества Е существует номер такой, что то(В"3ш) = 1 для всех ] > ]о, и £ Е. Поэтому (0.23) верно, если полином то (и) не обращается в нуль на множествах В~1(Е),. . , В"3о(Е). Более того, всегда можно выбрать < рп, так как маска то полностью определяется своими значениями на множествах и* 3 (и то является Н^-периодической функцией). О применении условия Коэна для построения всплесков на прямой см., например, в монографии Добеши [12].

Пусть М С /У* и р-1

Трм = у^-Ц] + В"1 (и) | ш е М].

1=0

Множество М называется блокирующим (для маски то), если оно представимо в виде объединения некоторых из множеств я1пК]) е в1~п(и*), о < 5 < рп~1 -1, не содержит множества и*г 0 и обладает свойством ТРМ с Ми N(7770), где N(777,0) - множество всех нулей маски то на подгруппе и*. Очевидно, каждая маска может иметь только конечное число блокирующих множеств. В § 2.3 обосновывается следующий алгоритм построения ортогональных всплесков в Ь2(С).

Шаг 1. Выбрать числа Ь3, 0 < я < рп — 1, для которых выполнены условия (0.22).

Шаг 2. По формуле (0.20) вычислить коэффициенты а0, 0 < а < рп — 1, и проверить, что маска рп- 1

7710(и;) = ^ а=0 не имеет блокирующих множеств (или, что равносильно, удовлетворяет модифицированному условию Коэна). Шаг 3. Найти m¿H = Е 1 < I < Р - 1, (0.24) такие, что матрица (mi(u> 0 унитарна.

Шаг 4■ Определить ipi,. , фр-\ по формуле ф,{х) =Р J2 ааР{Лх © V])' 1<1<Р- 1- (0-25) aez+

Два метода реализации третьего шага этого алгоритма для произвольного р > 2 изложены в § 2.4. В случае р — 2 в разложении (0.25) можно положить аа^ = ( —1)аааФ1 или а^ — ( — 1)°а2"-1-а для 0 < а < 2" — 1 (и q^ = 0 для остальных а).

В соответствии с шагами 1 и 2 для случая р = п = 2 положим feo = 1, b\ = а, 62 = 0, 63 = b и q — (l+a+fe)/4, ai = (1+а —Ь)/4, а2 = (1 —а—6)/4, а3 = (1-а+6)/4,

0.26) где |а|2 + |fe|2 = 1. При а ^ 0 модифицированное условие Коэна выполнено на множестве Е — U* и соответствующее решение генерирует КМА в L2(G). В частности, при a = 1 и a = —1 получаются соответственно функция Хаара: <р(х) = 1ц{х) и смещенная функция Хаара: ip(x) — 1ц (xQ /г^]). Если 0 < |a| < 1, то функция <Р может быть задана разложением оо ф) = (1/2)1и(А~1х)(1 + а ^Г^ № W2j+i- х)), X е G. (0.27) з=о

В случае а — 0 множество Uh является блокирующим, функция <р определяется по формуле <р(х) = (1/2)1 и(А~1х) и система {<£>(• © К) \ h е Я} линейно зависима (так как <¿>(x) = </?(£ © fyi])). Из доказанных в § 3.7 результатов следует, что при а = 0 соответствующая система является фреймом Парсеваля в L2(C).

Разложение (0.27) было найдено Лэнгом [111]. Им же показано [112], что при |fe| <1/2 получаемые из заданной по формуле (0.27) функции ортогональные диадические всплески образуют безусловный базис во всех пространствах Lq(C), 1 < q < оо. Кроме того, оказалсь, что соответствующие всплески на полупрямой М+ можно интерпретировать как мультивсплески, состоящие их кусочно-фрактальных функций (см. [113])

Для случая р = 2, п — 3 положим 60 = 1, bi = а, 62 = 6, h = с, 64 = О, 65 — а, 66 = (3, Ъ7 = у, (0.28) а|2 + |а|2 = |6|2 + \(3\2 = |с|2 + j -"у |2 = 1.

Значениями 6о, Ь\,. . , 67 коэффиценты ао,а\,. . уравнения (0.17) определяются однозначно, а выражения этих коэффи центов через параметры a,b,c,a,j3,7 получаются по формуле (0.20). Блокирующими множествами для маски 7 mo M = ]РааИ/*(и;) а=0 являются: 1) C/fд LJC/2,1 ПРИ а = 0, 2) ПРИ а = Р = 0, 3) [/2*3 при с =

0, 4) при b = с — 0. Если а = 0 или с = 0, то система {<£>(■ © /г) | h е Н} линейно зависима. Если же а и с ненулевые, то функция f генерирует КМА в L2(G). Неравенство (0.23) в случае abc ^ 0 выполнено для Е — U*, а в случае а^0, 6 = 0, с^0 оно имеет место для Е = ^(U^qUU^UU^UU^q). В частности, при а = с = 1, 0 < |6| < 1, получается кусочно-постоянная функция ф) = (1/4)1^(^(1 + WM + bW2(y) + W3{y) + /3We(y))t у = А~2х.

Аналоги разложения (0.27) для р = 2, п — 3 были найдены Лэнгом только в следующих случаях: 1) а = 1, 6 = 0, |с| < 1 (соотв. а = 0,/3 =

1, |7| < 1) и 2) \а\ < 1,6 = 1, с = 0 (соотв. |а| < = 0,7 = 1), а об общем случае было сказано, что "no simple patterns appeal' in the coefficients "для разложения в ряд Уолша функции Ч> (см. [112, с. 541]). По-видимому, это замечание Лэнга отчасти объясняет тот факт, что в течение нескольких лет построенный им для р = п = 2 пример всплесков рассматривался как "экзотический" и не получил развития. В § 2.4 для любых р и 71 приведено разложение в лакунарный ряд Уолша произвольной масштабирующей функции с компактным носителем нар-адической группе Виленкина.

Напомним, что масштабирующая функция Добеши порядка N является решением функционального уравнения

2N—1 ip{x) = V2 Y^ hktp(2x - к), X E Ж, (0.29) fc=0 и обладает следующими свойствами: 1) supp</? = [0, 2N — 1], 2) система {</?(• — к) : к Е Ъ} ортонормирована в L2(R); 3) (/9 генерирует кратномасштабный анализ в Ь2(Ш). При N = 1 конструкция Добеши приводит к функции Хаара: <р = X[o,i) (в этом случае ho — h\ = 1/\/2). Коэффициенты уравнения (0.29) для 2 < N < 10 приведены в книге Добеши (см. [12, раздел 6.4]). При N = 2 решение уравнения (0.29) непрерывно на М и удовлетворяет условию Липшица p(t) - ip(x)\ < C\t -х\а, t, х Е Ж, с показателем а ~ 0, 5500. Точное значение показателя а (и соответствующих величин для N = 3 и N = 4) было найдено матричным методом (см. [29, § 7.3]). Для масштабирующих функций Добеши порядков N > 5 точные значения показателей гладкости до сих нор не известны.

В случае р = 2 масштабирующее уравнение (0.17) принимает вид

2"—1

Ф) = Y, Ск^Ах е хеС■ (°-3°) к=о

В § 2.5 для п < 4 получены точные значения показателей гладкости решений (р уравнения (0.30) таких, что: 1) supp</? с U\-n, 2) система {^(-0 к) : к Е Z+} ортонормирована в Ь2(С), 3) <р порождает кратномасштабный анализ в L2(C). В доказательствах оценок снизу применялись разложения диадических масштабирующих функций в ряды Уолша (и в этом состоит главное отличие нашего метода от применяемых ранее методов оценки гладкости всплесков).

Диадический модуль непрерывности функции (р определяется по формуле w(<p,6) := sup{| (р(х 0 у) - ip(x)\ : х,у Е С, \у\ < 5}, 6 > 0.

Если функция <р такова, что со(<р, 2< С2~<у;1, j Е N для некоторого а > 0, то существует [118, § 5.1] константа С(р,а) такая, что

CJ(<P,6) < C{<p,a)ö°. (0.31)

Обозначим через а9 точную верхнюю грань множества всех значений а > 0, для которых выполнено неравенство (0.31). Поскольку в рассматриваемом нами случае supp</9 С оценка величины а^ сводится к изучению последовательности n3(f) := sup{|/(x) — f(y)\ | Х,уе Ui-n,xeye Uy}, j>l-n, для функции f — f. Известно [39], что для любой невозрастающей и сходящейся к нулю числовой последовательности

-п > £2-п > -п > lim £j — О,

J ->оо существует функция / е C{U\-.n) такая, что flj(f) — e-f для всех j > 1 — п.

Отметим также, что гладкость диадического ортогонального всплеска ф в L2(G), соответствующего масштабирующей функции (р, совпадает с а^. Оказывается (см. § 2.6), для масштабирующей функции Лэнга (0.27) справедливо равенство а^ — log2(l/|6|), так что этим примером охватывается вся шкала гладкостей, причем о^ —> оо при 6 —> 0 и а^ —> О при 6 —> 1.

Напомним, что совместный спектральный радиус двух комплексных матриц Aq и А\ размера N х N определяется по формуле р{Ао, АО := Нт тах{||Л*А^ . . Айк\\1/к ' ¿3 £ {0, 1}„ 1 < 3 < к), к—>оо где ||-|| - произвольная норма в С^*^ (см., например, статьи В.Ю.Протасова [35] и [36]). Очевидно, если Ао — А, т0 величина р(Ао,А\) совпадает со спектральным радиусом р{Ао).

Пусть п = 3 и коэффициенты масштабирующего уравнения (0.30) определены с помощью формулы (0.20) по параметрам (0.28). Для этого случая обозначим через р совместный спектральный радиус матриц

А) = 0 7 с ' =

0-/3 6 V

0 —7 с — о; О О

В § 2.5 доказано, что s/[c*j, если 6 = 0, | с| = 1, 0 < | а| < 1, тах{л/[а|, | 7Ц, если | 6| = 1, 0 < | а\ < 1, 0 < | 7I < 1, | -у|, если | а\ — 1, 0 < | 7] < 1 и при этом otip = — log2 р. Аналогичный результат получен и для п = 4. Кроме того, в § 2.5 приведено несколько случаев, когда решениями уравнения (0.30) являются двоично-целые функции.

Ив Мейер [115] доказал, что разложения по "регулярным"всплескам на вещественной прямой сходятся безусловно в пространствах Лебега Lq (М), 1 < q < сю. Им было замечено, что интегральный оператор, соответствующий таким вслесковым разложениям, является сингулярным оператором Кальдерона-Зигмунда и, следовательно, является оператором типа (1,1). Отсюда с помощью интерполяционной теоремы Марцинкевича выводится, что этот оператор ограничен во всех пространствах Lq (К), 1 < q < сю. Используя эту технику, Лэнг [112] доказал следующую теорему.

ТЕОРЕМА А. Пусть ip Е L%(C) - решение уравнения (0.30), генерирующее КМ А в Z/2 (С), и пусть ф - соответствующий ортогональный всплеск. Предположим, что существует константа С > 0 такая, что ф(х) — ф(у)\ < СХ(х ф у) для всех х,уЕС.

Тогда всплесковые разложения по системе fyjji} сходятся безусловно во всех пространствах Lq(C), 1 < q < сю.

Привлекая технику атомических разложений, мы дополняем в § 2.6 эту теорему соответствующим результатом о безусловной сходимости всплесковых разложений в диадическом пространстве Харди Н1{С). Для всплесков на вещественной прямой М аналогичная теорема была доказана Мейером.

Глава 3 посвящена нескольким модификациям ортогональной конструкции всплесков на группах Кантора и Виленкина. В § 3.1 при построении биортогональных всплесковых систем на р-адической группе Виленкина G используются КМА с базисами Рисса. Соответственно, функция </? порождает КМА в L2(G), если, во-первых, семейство {<р( ■ Q К) | h G Н} является системой Рисса в L2(G) и, во-вторых, замкнутые подпространства Vj ■.— span {(Pjth | h E H}, j E Z, обладают свойствами

VjCVj+1 для JEZ, \JVj = L\G) и = в этом случае семейство {Vj} является КМА с базисом Рисса в L2(G)).

Пусть даны две масштабирующие функции V7, V соответственно с масками рп-1 ph — 1 т(и) = ]Г a0W*(oj), т(со) = a0W¿(u>). (0.32) а=0 а=0

Положим т*(со) = т(со)т(со) и N = тах{п.п}. Если системы {</?(• © К) | Н Е Я}, {У(- © /г) | /г Е Я} являются биортонормированными в Ь2(С), то р-1 т*(с<; © ¿»¿) = 1 для всех со Е С*.

1=0

Это условие можно записать в эквивалентной форме:

Р"1 (ДГ)

ЕО- = 0 ^1 ^ р^1 -(°-33) и=О где Ъ\М) = т(В~мшщ)} ЦМ) =

Пусть ©р и ©р обозначают соответственно операции сложения и вычитания целых чисел но модулю р. Полагая аа = а^ = 0 для а > ¡3 > рп, получим / N m w Е аа = Е а7«79ра, а=0 7=0 и определим функцию ф* по формуле с

Нетрудно убедиться, что функция V9* удовлетворяет уравнению

Р*(х) =р а*а<Р*(Ахесх), х Е С, л=0 т.е. полином т* является маской функции ф*.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1.4. Если одна из масокт, т, т* имеет блокирующее множество, то системы

М-©/г)| /г ЕЯ}, {£>(•©/г) | И Е Я} не являются биортонормированными в Ь2(С).

Имеет место следующий аналог хорошо известного критерия Коэна. ТЕОРЕМА 3.1.1. Пусть Р. <Р - масштабирующие функции та,кие, что их маски га, га удовлетворяют условию (0.33), и пусть р(в) = Р(в) — 1. Тогда следующие утверждения эквивалентны: a) системы {</?(• © К) | И Е Н}, {<Р>(■ © /г) | /г е Я} являются биортонормир о ванными в Ь2(С); b) существует множество Е, конгруэнтное и* по модулю Н1, содержащее окрестность нулевого элемента группы С*, и такое, что т£ т£ I га(Я-;/^)| > 0, т£ т£ | т{В~:,и)\ > 0. (0.34) еМсоеЕ ¿еПшеЕ

Напомним, что совместный спектральный радиус конечномерных линейных операторов Ьо, Ь\,.,Ьр-\ определяется как совместный спектральный радиус их матриц в произвольном фиксированном базисе соответствующего линейного пространства.

Пусть г = рп~1. Для данного масштабирующего уравнения (0.17) положим са = раа и зададим матрицы То, Т\, ., Тр-\ размера (г х г) по формулам о)г^ = С(р^-р)еР0-1)> — С(р^р+ 1)©р0-1), • • • , (^р-О?;.; = С(рг1)9р(;1). где %,] £ {1, 2,. . . , г}. Определим подпространство

V := {и — (щ,. , иг)1 | + . . + иг — 0} и обозначим через Ьо, Ь\,. . , Ьр^\ сужения на подпространство V линейных операторов, заданных на всем пространстве Сг соответственно матрицами То, Т1;., 1.

Пусть маска га масштабирующего уравнения (0.17) удовлетворяет условиям тп{0) — 1, га^) = 171(62) = ■ ■ ■ = т(6р-\) = 0, и пусть р [га] := р(Ьо, Ь\,. . , Ьр^\) < 1. Из предложения 3.1.5 следует, что тогда решение ц) уравнения (0.17) непрерывно на (7. Проиллюстрируем эти результаты следующим примером (подробнее см. § 3.1).

ПРИМЕР 3.1.3. Пусть р = 3, п = п = 2, а маски га, га равны 1 на [/|0, равны 0 на з и £/2* б> а на остальной части подгруппы II* заданы равенствами т(и) = а и т(ш) = а для и Е Щ \ , ш Е С/2*2,

771(60») = Ъ и га (и;) Ь для а; Е £/2 4, т(и) — с и га(со>) = с для и Е Щ 7, си Е £/2*8, где параметры удовлетворяют условию аа + ЬЬ + сс = аа + (3(3 + 77 = 1.

В случаях аа = аа = 0, аа = сс = 0, аа = /3/3 — 0 блокирующими множествами для маски га* соответственно являются Щл и и{ 2, 1, ^Г.г-Условие (0.28) выполняется в следующих трех случаях:

1) аа ф 0, аа ф 0 и Е = [/*;

2) аа ф О, /?Д ^ 0 и Е = Щ 0 и 2 и 5;

3) ссф 0, аа ф 0 и Е = [/{0 и 2 и

Таким образом, если р[т] < 1 и р[т} < 1 (это условие при конкретных числовых значениях параметров проверяется численно), то в указанных трех случаях Н-сдвиги масштабирующих функций у?, V3 составляют биортонормированную систему в 1/2((7).

Пусть {У,}, {У?} - два КМА в Ь2(С). Будем говорить, что функции ^ У\, и — . ,р — 1, образуют биортогоналъный набор всплесков относительно пары {У?}, {У/}, если ф^ 1 Уо, ф^ Л- Уо для всех г/ = 1,. . . , р — 1, и

• е /![„]), ф{х)( ■ © Л[а,)) = <5„,х ¿а>/?1 ^ X Е {1,., р-1}, а, (3 Е

Напомним, что через М* обозначается матрица, сопряженная к матрице М, а через / - единичная матрица.

Теорема 3.1.2. Пусть КМА {V,}, {У;} соответственно порождены масштабирующими функциями (Р, ф с масками т = то, га — то и системы {<р( • © К) | /г Е Н}, {</7( • © Ь)\ к Е Н} являются биортонормированными. Если матрицы

М = {т„{ш © 4)1^=0, М = {т„{и © 6к)}р~к10, где Е Ь2(11*), для почти всех ио Е и* удовлетворяют условию

ММ* = /, (0.35) т(и) — а т(со) = (3 т(ш) = 7 и т(и) и т(и) и т(ш) а для (3 для = 7 для то функции и — 1,. ,р — 1, определенные равенствами образуют биортогональный набор всплесков относительно пары

В общем случае применима следующая процедура построения биортогональных всплесков в Ь2(С):

Шаг 1. Выбрать числа Ь8, Ь8, 0 < э < рм — 1, удовлетворяющие условию (0.33).

Шаг 2. С помощью преобразования Виленкина-Крестенсона (0.20)

0) ~(0) ~ а ^ ^ N 1 вычислить аа = аа , аа = аа , 0 ^ а ^ р — 1 и проверить, что маски рп-1 р7~'~ 1 то(ы) = Е т0М = Е а=0 а=0 удовлетворяют условию (Ь) теоремы 3.1.1. Шаг 3. Найти т„{и>) = Е = Е с^Й^Н, 1 < I/ ^ р - 1, такие, что равенство (0.35) выполнено для почти всех о; £ С/* . Шаг Определить и для 1 ^ г/ ^ р — 1 по формулам ^(я) = Р Е © V])' ^О*) = V Е © V])

Эффективный алгоритм реализации третьего шага этой процедуры приведен в § 3.1.

Напомним, что система Уолша {гип | п £ на положительной полупрямой М+ определяется формулами к т0(х) = 1, ъип(х) = х)У\ п £ N. ж £ М+, где и^ - цифры двоичного разложения к п = Е ^ ^ {0> 1}) ик — 1, к — к(п),

1=0 а и)\ (х) для х £ [0,1) вычисляется по правилу Г 1, если х £ [0,1/2), если я е [1/2,1) и продолжается на М+ периодически: ъи\(х + 1) = ъи¡(х) для всех х £ М+.

Для каждого х £ и любого ] £ N определим х3,х-^ £ {0,1} из бинарного разложения

3<0 з>0 в случае двоично-рационального х выбирается разложение с конечным числом ненулевых слагаемых). Если, как выше, [х] обозначает целую часть числа х, то х3 = [2-7ж](тос12), хч = [21:,х](тос1 2), х £ М+, .7 £ N. (0.36) Двоичное сложение на определяется по формуле

Х + У = + X] \хз ~ х> у е М+'

7<0 ]>0 где Ху и у3 вычислются согласно (0.36).

Многие результаты теории рядов и преобразований Уолша допускают двоякую формулировку: a) использование системы {и>п} и интегрирования по Лебегу для изучения функций, определенных на (М+,+), или b) использование системы {И^.} и интегрирования по Хаару для изучения функций, определенных на (С,0).

В частности, приведенные выше результаты об ортогональных и биортогональных всплесках на группе Кантора могут быть переформулированы для всплесков на полупрямой М+.

В § 3.2 для пространств комплексных периодических последовательностей с помощью преобразования Виленкина-Крестенсона вводятся аналоги ортогональных всплесков, изучавшихся в главе 2, и указываются алгоритмы для их построения. Отмечается, что аналогичные конструкции могут быть реализованы для биортогональных всплесков, а также (как в ортогональном, так и биортогоналы-юм случаях) для пространства Кроме того, при построении р-адических базисов в пространствах последовательностей условие отсутствия блокирующих множеств оказывается несущественным: "вырожденные "наборы параметров для базисов на группах Кантора и Виленкина приводят к ортогональным или ортонормированным базисам в пространствах последовательностей, причем именно на таких наборах часто получаются наилучшие результаты при обработке изображений.

В работе Чуй и Маскара [79] с помощью модифицированных ядер Дирихле те—1 '

V*m{x) := -(1 + cosтх) + ^ cos кх, т G N, гбК, 2 к=1 определены всплесковые базисы в пространствах тригонометрических полиномов. Аналогичные всплесковые конструкции были построены для классических ортогональных полиномов Чебышева, Лежандра, Эрмита, Якоби и Лагерра ( см., например, [41], [101]). Построению кратномасштабного анализа для периодических всплесков посвящены статьи [26],[32], [33], [78], [124] и глава 9 монографии [29]. С помощью ядер типа Дирихле - Уолша в § 3.3 построены периодические всплесковые базисы на р-адической группе Виленкина G, аналогичные всплескам Чуи-Маскара, и соответствующие алгоритмы разложения и восстановления сигналов. Для иллюстрации в § 3.6 приведено несколько примеров кодирования фрактальных функций. Отмечается, что полученные алгоритмы разложения и восстановления существенно проще (как по структуре, так и по числу арифметических операций) по сравнению с соответствующими алгоритмами для случая тригонометрических всплесков, построенных Чуй и Маскаром.

Напомним, что диадическое поле F состоит из последовательностей Х = iXj) = (■ • - ,Х-2,Х-1,Хо,Х1,Х2, ■ ■ ■), Xj е {0,1}, таких, что Xj —У 0 при j —> —оо. Сложение на F - это покоординатное сложение ио модулю 2 :

Zj) = (Xj) 0 (yj) Zj = Xj + y3 (mod2), а произведение на F определяется правилом zj) = (xj) ■ (y3) Zj = (mod 2). i+k=j

Проекции 7Tj : F —>• {0,1} действуют по формуле 7г3(х) = xj, где x = (x.j). Для каждого n£Z выберем единичный элемент еп Е F такой, что

1, j = п,

0, в остальных случаях.

Kj(en) =

Отметим, что еп ■ х = (Xj-n) для всех х = (х3) Е F. Легко видеть, что для каждого х Е F, отличного от нулевого элемента 0, существует номер s(x) е Z такой, что xs{x) = 1 и х3 = 0 для j < s(x).

На поле F существует неархимедова норма. Действительно, пусть ||0|| = О и для каждого ненулевого элемента х Е F положим \\х\\ = Тогда х + у\\ < тах{||ж||, ||у||} и ||ж • у\\ = ||ж||||у|| для х, у Е F.

В § 3.4 канторова диадическая группа С рассматривается как аддитивная группа диадического ноля F с топологией, индуцированной || • ||. В этой топологии множества Ui, 1 Е Z, образуют полную систему окрестностей нулевого элемента в. Определенный выше автоморфизм А группы С совпадает с произведением произвольного элемента х Е С на элемент е\. Отметим, что группа С самодвойственна (т.е. С* = С).

Система {Ф3,а} является фреймом для Ь2(С), если существуют положительные константы со, с\ такие, что для каждой функции / Е Ь2(С) выполнены неравенства

J,a

Константы со и с\ называются соответственно нижней и верхней границами фрейма. В случае со = с\ получается жесткий фрейм; тогда = / Е L2{G).

Фрейм {ф3>а} называется фреймом Парсеваля, если со = с\ = 1.

Пусть 7 - ненулевой элемент в С. Функция Х>7 : С —> R, определенная по формуле

Т>у(х) :— / х{х-ш) dfi(uj), х Е С, J-yU называется обобщеным ядром Дирихле. Если 7 = ео, то Т)1 совпадает с масштабирующей функцией Хаара, а в общем случае Т>0 = 11ц Легко видеть также, что подпространства

VÁl) := {/ е L2(C) : /И = 0 для üj Е С \ A]{~fU)}. (0.37) где j Е Z, 7 E U\ \ U2, удовлетворяют соотношениям

Теорема 3.4.1. Пусть <p = Г>7 и ф = Рл7 - T>lf где 7 Е U\ \ U2. Предположим, что подпространства Vj(7) определены согласно (0.37). Тогда справедливы следующие утверждения: a) {<£>(• © /¿) : he Н} - фрейм Парсеваля для Vq(j); b) {^,0 : а Е Z+} - фрейм Парсеваля для Vj{7); c) если / Е Vji'j), тпо f(x) = YJf{A~3h)v{Aix®h)) хЕС; hell d) : j Е Z, ее Е Z+} - фрейм Парсеваля для L2(C). В качестве следствия получается следующее равенство

V,,{x) = ]Г Р7(Л"1/г)'Р7(Лх ф /г), ж Е С. heH

Для произвольной функции ф Е L2(G) и любого I Е N положим

АаМ := Е I Мм := sup ]Г | © /i(i])|. jez ш€С jez

Заметим, что = D^{Aüj) для всех ш Е С, а также что определение величины инвариантно относительно преобразования и н->• Аи, так что супремум в этом определении может вычисляться по ш Е U\tо

ТЕОРЕМА 3.4.3. Пусть для функции ф Е L2(C) выполнены условия

А\^ф := essinf - V] > 0 и>£ С *—' le N и

В^ф := ess sup Бф(ш) + ^ М^ф < оо. weC leN

Тогда система {ipjk} является фреймом в Ь2(С) с границами и В\ф.

Аналог этой теоремы для фреймов на прямой Ж доказан И. Добеши и хорошо известен. С помощью теоремы 3.4.3 в § 3.4 построены новые примеры фреймов Парсеваля и жестких фреймов в Ь2(С).

Пусть 6 Ь2с{С) - решение уравнения (0.30), непрерывное в нулевой точке в и такое, что ф{6) ^ 0, и пусть маска 2п-1 т0(и) = - Е с№к{и) к=0 удовлетворяет условию то(^)|2 + |тпо(бо> 0 5х)|2 — 1 для всех со ЕС. (0.38)

Предположим, что ф задана формулой ф(и>) — т\(А~1ш)ф{А~1ш), где т\ - полином Уолша такой, что матрица Шо(с^) ГП1(си) \

У 777,0(^0^1) 777,1 (бо> 0 ¿1) / унитарна для всех ш 6 С. Тогда - жесткий фрейм для Ь2(С) с границами фрейма \ ф(6)\2. В частности, можно выбрать

2" —1 2 Е 0 /г[а]), ж £ С. (0.39) о-=0

Это утверждение доказывается аналогично теореме 1.8.11 в [29]. Отметим, что в случае, когда то удовлетворяет условию (0.38) и не имеет блокирующих множеств, функция У при условии (р(в) = 1 порождает КМА в 1/2(С) (в силу теоремы 2.3.2), а заданная по формуле (0.39) функция ф является ортогональным всплеском для Ь2(С). Поэтому, если маска то имеет блокирующее множество, то {ф3,а} будет жестким фреймом, который не является базисом в Ь2(С). Этот результат полезно сравнить с отмечавшейся выше особенностью построения р-адических всплесков в пространствах последовательностей.

Пусть р - простое число и - поле, с элементами множества {0,1, . . ., р — 1}. Через ¥р((Ь)) обозначают поле формальных рядов Лорана вида

Е аХ, п0 6 Ъ, апе ¥р, п>по с обычными операциями сложения и умножения. Это поле может быть получено как пополнение поля ¥р(^ рациональных функций с коэффициентами из ¥р относительно абсолютного значения | а\ = р-огй0{а)^ Где огс[0(а) порядок нуля (или отрицательный порядок полюса) рациональной функции а в 0. Мы сохраним обозначение | а\ для нормы произвольного элемента а из Fp((£)). Аддитивная группа G поля Fp((t)) является локально компактной абелевой группой с топологией, индуцированной | • |, и с открытой компактной подгруппой U = Fp[[i]], состоящей из рядов Тейлора и совпадающей с замыканием кольца полиномов Fp[t] С ¥p((t)) . При р = 2 группа G изоморфна канторовой диадической группе, а в общем случае G изоморфна р-адической группе Виленкина.

Характер х '■ G > С определим по формуле

X I ttntn ) = ехр(2тгга1 р~1). п>п0 /

Относительно соотношения двойственности (x,oj) — xiXLJ) группа G самодвойственна: G = G\ кроме того, аннулятор подгруппы U совпадает с этой подгруппой: U1 — U. Как обычно, меру Хаара р на G нормируем условием n(U) = 1 и положим для краткости dx — dfi(x).

Гомоморфные отображения группы G на себя образуют группу AutG. Для каждого A G Aut G и для любого измеримого множества Е С G справедливо равенство р(АЕ) = | А\р(Е), где | А| - модуль автоморфизма А. При этом А*\ = | А\, [А*)'1 = {А~1)\ | Л]"1 - | Л"1!, где А* - гомоморфизм, сопряженный к Л. В частности, для автоморфизма А : х н-> ах аддитивной группы G (здесь а - фиксированный ненулевой элемент из Fp(( £))) имеем А* = А и | А\ = \ а\. Формальные суммы вида

-1 antn, По < -1, апе Fp, n — PQ образуют дискретную подгруппу Н в G. Легко видеть, что G = Н х U и Н1 = Я.

Отображение А : G —> [0, оо) определим по формуле

А(]Гап£п) = J2a"P~n-1п>По / П>По

Образом подгруппы Я при отображении А является множество целых неотрицательных чисел: А (Я) = Z+. Для каждого а £ через кщ обозначим элемент из Я такой, что A(/i[Q]) = а (так что /i[o] - нулевой элемент группы С). Положим С* = С\{/г,[о]}- Обобщенные функции Уолша для группы С могут быть заданы равенством

И?а{х) = (х, /г[а]), а £ 2,+ ) х £ С.

Пусть а £ С*, а,п £ Обозначим через д^ п функцию, преобразование Фурье которой совпадает с характеристической функцией множества Vап := + и). Легко проверить, что в случае а = l/¿ справедливо равенство

9аа,п{х) ■■= р-п1и(а-пх)\¥а(а~пх), х £ С, где 1 е ~ характеристическая функция множества Е С С.

Функция ф £ Ь2(С), удовлетворяющая условию

О < Сф := / | тЙ»!2^1 с^ < +оо, (0.40)

О й называется всплеском в £2(С). Например, при любом натуральном а функции а £ С*, п £ являются всплесками в Ь2(С). Для каждого всплеска ф определено семейство функций фа1ь(х) = \а\-1/2ф(а-1(х-Ь)), (а,6)еС*хС, х£в.

Непрерывное всплесковое преобразование произвольной функции / 6 Ь2(С) относительно всплеска ф определяется по формуле

Щ/)(а,Ь) = [ /{х)фа,ь(х)(Ь, (а.Ъ) £С*хС. 3 с

Рассмотрим гильбертово пространство

П = Ь2 (С* х С, а'2с1ас1Ь) со скалярным произведением и, у) / и(а.Ь)у(а,Ь) а~2с1ас1Ь.

ТЕОРЕМА 3.5.1. Пусть функция ф £ Ь1{С) П Ь2(С) удовлетворяет условию (.0.40). Тогда для всех /. д £ Ь2(С) имеют место формулы и

2 = - / Ь)\2а~2с1адЬ.

Сф

Кроме того, для любой функции / Е Ь2(С) справедлива формула

У/ф/(а, а~2с1ас1Ь. где равенство понимается в смысле пространства Ь2(С).

Эта теорема аналогична хорошо известной теореме Гроссмана - Морле (сравните с [12, § 2.4] и [24]). Подобная теорема в § 3.5 доказана и для интегрального преобразования, определяемого с помощью многочленов Гегенбауэра. Отметим, что при специальном выборе а и Ь справедливы равенства фа,ь — фь}, и (\У.ф/)(а,Ь) = (/, так что жесткие фреймы и ортогональные всплесковые базисы в Ь2(С1) можно рассматривать как дискретизации непрерывного всплескового преобразования.

В § 3.6 излагается конструкция биортогональных диадических всплесков на К+, аналогичная групповой конструкции из § 3.1 параграфа для случая р = 2. Показано, что для обработки некоторых изображений построенные в этом параграфе диадические всплески имеют преимущества по сравнению с ортогональными всплесками Хаара, Добеши и биортогональными 9/7 всплесками. Кроме того, в § 3.6 приведены примеры кодирования фрактальных функций с помощью периодических всплесков из § 3.3.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Фарков, Юрий Анатольевич, 2012 год

1. Ерохин В.Д. К теории конформных и квазиконформных отображений многосвязных областей // Доклады АН СССР. 1959. Т. 127. № 6. С.1155-1157.

2. Залманзон JI.A. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989.

3. Кашин B.C., Темляков В.Н. Замечание о задаче сжатого измерения // Матем. заметки. 2007. Т. 82. № 6. С.829-837.

4. Козырев C.B. Теория всплесков как р-адический спектральный анализ// Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Т. 66. № 2. С. 149-158.

5. Коновалов В.Н. К задаче о поперечниках классов аналитических функций // Украинский матем. журнал. 1978. Т.ЗО. № 5. С.668-670.

6. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987.

7. Локуциевский О.В., Гавриков М.Б. Начала численного анализа. М.: ТОО "Янус" , 1995.

8. Лукашенко Т. П. Всплески на топологических группах // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. № 3. С.88-102.

9. Максименко И.Е., Скопина М.А. Многомерные периодические всплески // Алгебра и анализ. 2003. Т. 15. № 2. С. 1-39.

10. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. Мир, М., 2005.

11. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Обобщенные вейвлетные базисы, связанные с дискретным преобразованием Виленкина-Крестенсона. Алгебра и анализ. 2001. Т.13. С.111-157.

12. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Сконина М.А. Теория всплесков. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

13. Осипенко К.Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций // Матем. заметки. 1972. Т. 12. № 4. С.465-476.

14. Парфенов О.Г. Поперечники по Гельфанду единичного шара Ня в весовых пространствах // Матем. заметки. 1985. Т.37. № 2. С.171-175.

15. Петухов А.П. Периодические дискретные всплески // Алгебра и анализ. 1996. Т.8. № 3. С.151-183.

16. Петухов А.П. Периодические всплески // Матем. сб. 1997. Т. 188. № 10. С.1481-1506.

17. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1984.

18. Протасов В.Ю. Обобщенный совместный спектральный радиус. Геометрический подход // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Т. 61. № 5. С.99-136.

19. Протасов В.Ю. Фрактальные кривые и всплески // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. Т. 70. № 5. С.123-162.

20. Протасов В.Ю., Фарков Ю.А. Диадические вейвлеты и масштабирующие функции на полупрямой // Матем. сб. 2006. Т. 197. № 10. С.129-160.

21. Родионов Е.А., Фарков Ю.А. Оценки гладкости диадических ортогональных всплесков типа Добеши // Матем. заметки. 2009. Т.86. № 3. С. 429-444.

22. Рубинштейн А.И. О модулях непрерывности функций, определенных на нульмерной группе// Матем. заметки. 1978. Т.23. С. 379-388.

23. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Cn. М.: Мир, 1984.

24. Скопина М. А. Ортогональные полиномиальные базисы Шаудера в С—1,1] с оптимальным ростом степеней // Матем. сб. 2001. Т.192. № 3. С.115-136.

25. Смирнов В.И., Лебедев H.A. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.-Л.: Наука, 1964.

26. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах М.: Мир, 1974.

27. Farkov Yu.A., Goginava U., Kopaliani T. Unconditional convergence of wavelet expansion on the Cantor dyadic group, Jaen J. Approx. 2011. V.3. № 1. P.117-133.

28. Fine N.J. On the Walsh functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1949. V. 65. P.372-414.

29. Fisher S.D., Micchelli C.A. The n-width of sets of analytic functions // Duke Math. J. 1980. V.47. P.789-801.

30. Fisher B., Prestin J. Wavelets based on orthogonal polynomials // Math. Computation. 1997. V.66. № 220. P.1593-1618.

31. Freeden W., Schreiner M. Orthogonal and non-orthogonal multiresolution analysis, scale discrete and exact fully discrete wavelet transform on the sphere // Constr. Approx. 1998. V.4. P.493-515.

32. Graham I. The radial derivative, fractional integrals, and the comparative growth of means of holomorphic functions on the unit ball in Cn // Ann. Math. Stud. 1981. V.100. P.171- 178.

33. Grochenig K., Madych W. R. Multiresolution analysis, Haar bases, and self-similar tilings of Mn//IEEE Trans. Inform. Theory. 1992. V.38. № 2. P.556-568.

34. He M.S., Saff E.B. The zeros of Faber polynomials for ra-cusped hypocy-cloid // J. Approx. Theory. 1994. V.78. P.410-432.

35. Henrici P. Applied and computation complex analysis. Vol.3. New York/Toronto: Wiley, 1986.

36. Holshneider M. Wavelets: an analysis tool. Oxford: Clarendon Press, 1995.

37. Jia R.-Q., Shen Z. Multiresolution and wavelets //Proc. Edinburgh Math. Society. 1994. V. 37. P.271-300.

38. Landau H.J. On the conformal maps of multiply connected domains // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. V. 99. № 1. P. 1-20.

39. Lang W.C. Orthogonal wavelets on the Cantor dyadic group, SIAM J. Math. Anal. 1996. V.27. № 1. P.305-312.

40. Lang W.C. Wavelet analysis on the Cantor dyadic group // Houston J. Math. 1998. V.24. P.533-544.

41. Lang W.C. Fractal multiwavelets related to the Cantor dyadic group. // Intern. J. Math, and Math. Sci. 1998. V.21. P.307-317.

42. Lawton W., Lee S.L., Shen Zuowei. An algorithm for matrix extension and wavelet construction // Math. Comput. 1996. V.65. P.723-737.

43. Meyer Y. Wavelets and Operators. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

44. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin/New York: Springer-Verlag, 1985.

45. Rudin W. Uniqueness theory for Laplace series // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. V.78. P.205-224.

46. Schipp F., Wade W.R., Simon P. Walsh Series: An Introduction to Dyadic Harmonic Analysis. Adam Hilger, New York (1990).

47. Sendov Bl. Multiresolution analysis of functions defined on the dyadic topological group // East J. Approx. 1997. V.3. № 2. P.225-239.

48. Sendov Bl. Adaptive multiresolution analysis on the dyadic topological group // J. Approx. Theory. 1999. V.96. № 2. P.258-280.

49. Sendov Bl. Adapted multiresolution analysis and wavelets, in: "Proceedings of Alexits Memorial Conference "Functions, Series, Operators "(August 9-14, 1999), L.Leindler, F.Schipp and J.Szabados eels., Budapest (2002), pp. 23-38.

50. Shah F.A. Construction of wavelet packets on the p-adic field// Int. J. Wavelets Multiresolut. Inf. Process. 2009. V.7. № 5. P.553-565.

51. Shah F.A., Debnath L. Dyadic wavelet frames on a half-line using the Walsh-Fourier transform // Integ. Transf. Spec. Funct. 2011. V.22. № 7. P.477-486.

52. Skopina M.A. Multiresolution analysis of periodic functions // East J. Approx. 1997. V.3. № 2. P.203-224.

53. Stankovic R.S., Moraga C., Astola J.T. Fourier analysis on finite groups with applications in signal processing and system design. New Jersey: John Wiley & Sons, 2005.

54. Starke G., Varga R.S. A hybrid Arnoldi Faber iterative method for nonsymmetric systems of linear equations // Numer. Math. 1993. V.64. P.231-240.

55. Temlyakov V.N. Greedy approximation // Acta numer., 2008. V.17. P. 235-409

56. Walsh J.L. On the conformai mapping of multiply connected regions // Trans. Amer. Math. Soc. 1956. V. 82. № 1. P. 128-146.

57. Walsh J.L. Sur l'approximation par fonctions rationnelles et par fonctions holomorphes bornées // Ann. Mat. 1955. V. 39. № 4. P. 267-277.

58. Walsh J.L. A generalization of Faber's polynomials// Math. Ann. 1958. V. 136. № 1. P. 23-33.