Неоднородные модели ранней Вселенной тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Кириллов, Александр Альбертович

• Кириллов, Александр Альбертович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кириллов, Александр Альбертович

1 Введение.

1 Основные свойства и типы неоднородных моделей ранней Вселенной

1 Неустойчивость изотропных космологических моделей вблизи особенности

2 Общие свойства неоднородных полей вблизи особой точки.

3 Обобщенная казнеровская модель и казнеровская параметризация.

3.1 Гамильтоиова формулировка теории тяготения.

3.2 Уравнения движения в РТГ.2G

3.3 О размерностях физических величин.

3.4 Обобщенный казнеровский режим.

3.5 Условия применимости казнеровского режима.

3.6 Казнеровская параметризация динамических переменных.

4 Модель перемешанного мира (Асимптотическая модель ВЛХ)

5 Обобщенное решение Де - Ситтера.

2 Ячеистая структура геометрии вблизи особенности

1 Пространственное строение показателей на монотонной стадии эволюции

2 Статистические свойства ячеистой геометрии.

3 Поведение длин пространственных кривых.

3 Биллиардное представление и статистические свойства нсоднородностсй метрики

1 Переменные Мизнера-Читра.

2 Свойства биллиардов.

3 Динамика и свойства неоднородностей.

4 О генерации ячеистой структуры пространства.

4 Квантовая эволюция неоднородных моделей вблизи особой точки

1 Вводные замечания.

2 Система уравнений Уилера-Де Витта.

3 Пространство решений для локального ^-множества степеней свободы

4 Гильбертово пространство и вероятностная интерпретация.

5 Состояния Ныотона-Вигнера.

6 Неоднозначность выбора Гильбертова пространства.

7 Перемешивание частотностей и третичное квантование в однородных моделях

8 Структура Гильбертова пространства в случае полного набора степеней свободы

9 Статистические свойства квантовой модели перемешанного мира.

10 О редукции дополнительных измерений в неоднородных моделях типа Калузы-Клейна

5 Генерация классического фона в неоднородных моделях

1 О выделении фона в классической теории гравитации.

1.1 Модель перемешанного мира.

1.2 Динамика модели и отображение Пуанкаре.

1.3 Эволюция вещества.

1.4 Поведение амплитуд.

2 О возникновении классического пространства в квантовых неоднородных моделях.

G Эффекты, связанные с пространственно - временной иеной, в физике частиц 10G

1 Введение.

2 Общая схема вторичного квантования распределенных систем.

3 Пример скалярного поля в представлении вторичного квантования.

4 Операторы рождения физических частиц.

5 Эффективное поле.

6 Свойства основного состояния поля.

7 Заключительные замечания.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неоднородные модели ранней Вселенной»

Актуальность темы. В последние годы в релятивистской астрофизике и космологии повышенное внимание стало уделяться проблемам математического моделирования процессов, происходящих в самые ранние моменты развития Вселенной (см. например [1] -[9]). При этом особую актуальность приобретает построение и исследование иепертурбативпых неоднородных моделей. Это обусловлено в первую очередь тем, что простейшие однородные и изотропные модели вблизи особенности обнаруживают свойство неустойчивости по отношению к крупномасштабным возмущениям [10, 9, 11]. Причем данная неустойчивость присутствует, как в классической теории тяготения, так и в квантовой космологии [9, 12], а ее развитие приводит к тому, что в самые ранние моменты эволюции Вселенной неоднородности носили существенно ненертурбативный характер. Разумеется в полном объеме решить задачу о поведении неоднородных полей вблизи космологической особенности без развития адекватных методов математического моделирования не представляется возможным.

Наличие данной неустойчивости приводит к целому ряду фундаментальных проблем. Особенно остро стоит проблема объяснения наблюдаемой однородности и изотропии Вселенной. Отметим, что существование промежуточной инфляционной фазы расширения [13], по-видимому, не может служить основным механизмом изотропизации, поскольку наличие подобной фазы требует достаточно регулярных начальных условий. Так первичные неоднородности метрики должны быть сглаженными по сравнению с комптоновской длиной, а плотность энергии, запасенная в анизотропии пространства, малой но сравнению с энергией скалярного поля, ответственного за инфляцию |14|. Таким образом, особую актуальность приобретает поиск и других возможных механизмов изотропизации неодно- ^ родной Вселенной [15, 16], а также исследование возможности выхода на инфляционную фазу в рамках неоднородных моделей [1].

Особый интерес, как в теоретическом отношении, так и с точки зрения приложений, связан с исследованием различных квантовых эффектов в неоднородных моделях. Действительно, в случае регулярного расширения, когда размер горизонта растет быстрее, чем характерный масштаб неоднородностсй метрики, механизм квантовой генерации возмущений из вакуумных флуктуаций существенно зависит от выбора начального квантового состояния [17, 18, 19]. Для последовательного вычисления подобных эффектов требуется привлекать квантовую гравитацию. В отсутствии же последовательной квантовой теории гравитации на передний план выступает математическое моделирование возможных квантовых эффектов в рамках достаточно простых, допускающих аналитическое исследование, моделей. В частности, наличие неустойчивости в квантовой области приводит к отсутствию фонового пространства на начальном этапе эволюции Вселенной [20, 21], что означает неприменимость в данной области квазиклассических методов исследований [12]. С математической точки зрения отсутствие фона означает, что интенсивность флуктуации метрики и кривизны пространства превышает соответствующие средние значения. Все это обуславливает актуальность моделирования квантовой динамики неоднородных гравитационных полей, процесса генерации классического пространства, формирования начальных условий для последующей квазиклассической эволюции и развитие различных непертурбативных методов исследования.

Еще одной актуальной проблемой является исследование возможных ограничений на модели элементарных частиц. В частности, одним из проявлений теорий суперсимметрии, а также теории суперструн, как теории всех фундаментальных взаимодействий, является многомерность физического пространства - времени [22, 23]. При этом встает проблема об эволюции и свойствах многомерных неоднородных моделей, а также об изучении возможности компактификации дополнительных измерений [24]-[26].

В диссертации представлены исследования по математическому моделированию различных аспектов динамики неоднородных полей. Основное внимание уделяется следующим вопросам: построение неоднородных моделей и их обоснование (область применимости); исследование процесса развития неоднородности пространства и статистическое описание неоднородных моделей; квантовая динамика, классификация состояний и построение гильбертова пространства; квазиклассический предел и генерация классического пространства; исследование процесса компактификации дополнительных измерений в многомерных квантовых неоднородных моделях; исследование эффектов связанных с изменением топологии пространства, построение теории допускающей переменное число полей.

Цель работы состоит в математическом моделировании и исследовании явлений, возникающих в ранней Вселенной при наличии неоднородностей непертурбативного характера.

Объекты исследования. Основные исследования проведены на моделях, допускающих аналитический анализ и выявляющих существенную роль присутствия непертурбативных неоднородностей метрики. Базовыми моделями являются построенные обобщения на неоднородный случай моделей перемешанного мира (mixmaster) и мира Де-Ситтера с материей в виде скалярных полей.

Методы исследования. В диссертации использованы методы математического моделирования, методы качественной теории динамических систем, методы матфизики и функционального анализа.

Научная новизна работы состоит в следующем.

Впервые обнаружен эффект генерации и усиления неоднородностей па масштабах, превышающих размер горизонта, проведено исследование их статистических свойств.

Впервые проведено исследование квантовой динамики ранней Вселенной при наличии непертурбативных неоднородностей, поставлен и исследован вопрос о генерации классического пространства в вакуумных неоднородных моделях, получено строгое ограничение на применимость классических моделей (квантовая граница).

Обнаружена возможность компактификации на ранней стадии эволюции в случае, когда размерность пространства - времени не превосходит десяти.

Предложен феноменологический метод описания произвольных топологий пространства в квантовой гравитации и исследованы простейшие наблюдаемые следствия.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Научная и практическая значимость.

Исследование ранних моментов в истории развития Вселенной имеет важное значение, как с чисто теоретической точки зрения, так и для наблюдательной астрономии. Структура и свойства современной Вселенной (средняя плотность вещества, состав, крупномасштабная структура, анизотропия реликтового излучения и т.д.) почти полностью определяются физическими процессами, происходящими в самый ранний период ее развития. Исследование статистических свойств и динамики крупномасштабных неоднородностей метрики позволяет решить проблему определения начальных условий в ранней Вселенной. Этой же цели служит установление квантовой границы и описание процесса генерации классического пространства, что кроме того, открывает возможность построения последовательной теории квантовой генерации первичных возмущений в случае регулярного (неинфляционного) расширения.

Полученные результаты по проблеме компактификации дополнительных измерений представляют значительный интерес для развития многомерных теорий (теории суперсимметрии, струн, суперструн и других).

Теория с переменным числом физических полей представляет существенный интерес для физики высоких энергий, при исследовании процессов, связанных с изменением топологии пространства; открывает возможность построение непротиворечивой квантовой теории гравитации и кроме того, дает возможность предсказания новых наблюдательных эффектов. В частности, данная теория предсказывает существование новой формы темной материи, что представляет интерес для астрономических приложений, при описании развития и эволюции крупномасштабной структуры Вселенной.

Отмстим, что основные результаты работы в равной степени приложимы, как для Эйнштейновской теории тяготения, так и релятивистской теории гравитации [27] -[30].

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Начальный период развития Вселенной должен описываться в рамках крупномасштабных непертурбативных неоднородных моделей. Наиболее адекватными являются неоднородная модель перемешанного мира и сс многомерные обобщения.

2. Хаотический характер эволюции метрики вблизи сингулярности сопровождается ростом степени неоднородности метрики.

3. Предложенные модели позволяют построить самосогласованное описание квантовой эволюции неоднородных нолей вблизи особой точки. В частности, вблизи сингулярности оказывается возможным ввести представление о стационарных состояниях гравитационного поля, которые классифицируются числами заполнения возбуждений анизотропии пространства. Геометрия же, соответствующая данным состояниям вовсе не является стационарной.

4. Вблизи сингулярности невозможно ввести представление о классическом фоне. Соответственно, квазиклассичсскис методы и методы теории возмущений в данной области оказываются неприменимыми. Момент выделения фона полностью определяется выбором начального квантового состояния. В частности, в вакуумных неоднородных моделях момент возникновения классического фона определяется моментом времени, когда размер горизонта сравнивается с размером неоднородностей.

5. В случае, когда размерность пространства-времени не превосходит десяти, общим свойством квантовой эволюции ранней Вселенной является режим при котором масштабы вдоль дополнительных измерений убывают со временем, что является начальной стадией процесса компактификации дополнительных измерений в многомерных моделях. Причем данный режим не зависит от выбора начального квантового состояния.

6. Предложенный метод вторичного квантования распределенных систем позволяет учитывать произвольные топологии пространства и открывает путь для построения последовательной теории квантовой гравитации. Эффекты, связанные с квантовыми флуктуациями топологии пространства, могут приводить к наблюдаемым на макроскопических масштабах явлениям.

Совокупность научных положений и полученных в диссертации результатов позволяет сформулировать новое перспективное научное направление в теории ранней Вселенной -непертурбативные неоднородные модели.

Апробация работы.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и научных школах:

Международный симпозиум по астрофизике и релятивистской космологии АН СССР, Тыравере ЭССР 1989; Международная школа - семинар "Multidimentional gravity and cosmology Ярославль, 1994; 7-я и 8-я международные конференции "Marcel Grossmann Meeting on General Relativity", Stanford 1994, Jerusalem 1997; 1, 2 и 3 международные конференции "Астрономия. Космомикрофизика"(Космион-94, Космион-96, Космион-97, Москва); VI Seminar on Quantum Gravity, Moscow 1995; Международная школа - семинар "Foundation of gravitation and cosmology"Odessa, September 4-10 1995; на Российских гравитационных конференциях, Пущино 1993, Новгород 1996; International Conference "Contemprorary problems in the theory of dymanical systems", Nizhny Novgorod 1996; Second International Sakharov conference, Moscow 20-24 May 1996; International conference GR14, Florence, 1995. Прочитан курс лекций на VIII Бразильской школе Космологии и гравитации II, Rio de Janeiro, Brazil 1995.

По теме диссертации также делались доклады на научных семинарах в г. Москве - ГА-ИШ, АКЦ ФИ РАН, МГУ, НИЦПВ; г. Н. Новгороде - ННГУ, НИРФИ, НИИ ПМК, НИИ-МАШ РАН; в г. Рим (Италия) University of Rome "La Sapienza", Astronomical Observatory of Rome; в г. Potsdam (Германия), Max-Plank Institute,

Личное участие.

Автору принадлежит постановка задач (и участие в постановке задач совместно с А. А. Кочневым [Глава 2] и В.Н. Мельниковым [многомерные обобщения предложенных автором моделей и методов]) по всем, рассмотренным в диссертации, проблемам; построение исследуемых моделей и разработка математических методов их анализа; получение основных аналитических результатов и оценок.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 40 работ. Основные результаты опубликованы в 30 работах.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и двух приложений. Список литературы содержит 146 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кириллов, Александр Альбертович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построены модели, описывающие эволюцию крупномасштабных гравитационного и скалярных нолей в асимптотике сколь угодно малых времен при произвольном числе пространственных измерений. Показано, что в случае, когда размерность пространства-времени не превосходит десяти, генерация пространственного хаоса в метрических функциях является общим свойством эволюции данных моделей вблизи особой точ ки.

2. В рамках асимптотических моделей, описывающих эволюцию крупномасштабных полей в асимптотике малых времен, исследована статистика неоднородностей. В явном виде получено соответствие между, статистическими параметрами данных моделей и статистикой стандартных казнеровских параметров.

3. В рамках предложенных моделей проведено исследование квантовой динамики неоднородных полей. Дана классификация квантовых состояний для крупномасштабных гравитационного и скалярных полей вблизи особой точки. Показано, что вблизи космологической сингулярности эволюция квантовых состояний крупномасштабных полей может быть непротиворечивым образом описана, как в рамках уравнения Уилера- ДеВитта (суперпространственный подход), так и в рамках АДМ подхода. В обоих случаях проведено явное построение Гильбертова пространства и ведение вероятностной интерпретации.

4. Обнаружено, что в случае, когда размерность пространства-времени не превосходит десяти, общим свойством квантовой эволюции ранней Вселенной является режим при котором масштабы вдоль дополнительных измерений убывают со временем, что является начальной стадией процесса компактификации дополнительных измерений в многомерных моделях. Показано, что данный режим не зависит от выбора начального квантового состояния.

5. Показано, что вблизи сингулярности изотропные и однородные квантовые модели являются неустойчивыми по отношению к крупномасштабным возмущениям и таким образом квазиклассические методы оказываются неприменимыми при описании сингулярности. Исследован вопрос о генерации классического пространства в вакуумных неоднородных моделях. Показано, что момент возникновения классического фона зависит от выбора начального квантового состояния и соответствует моменту времени когда размер горизонта сравнивается с размером неоднородностсй.

6. Показано, что существование флуктуаций топологии пространства приводит к тому, что число фундаментальных квантовых бозонных полей становится переменной величиной. Предложена общая схема построения теории, допускающей переменное число нолей - схема вторичного квантования распределенных систем. Показано, что в отсутствии процессов, связанных с изменением топологии пространства восстанавливается стандартная теория поля.

7. Проведено исследование простейших наблюдаемых эффектбв, вызванных флуктуациями топологии пространства. Показано, что в полной теории основное состояние характеризуется ненулевой плотностью Бозе-частиц. С точки зрения стандартной теории поля данные частицы являются "скрытыми"и могут формировать скрытую массу Вселенной. Показано, что последняя должна представляет собой смесь компонент с релятивистским и нерелятивистским уравнениями состояния. Исследована возможность измерения квантовых флуктуаций потенциалов безмассовых полей. Показано, что при наличии нетривиальной топологической структуры пространства на макроскопических масштабах должно наблюдаться заметное повышение интенсивности флуктуаций полей.

В качестве дальнейших путей исследования укажем лишь некоторые из возможностей.

Во-первых отметим, что классический анализ поведения неоднородных полей вблизи космологической особенности представляет скорее чисто теоретический, нежеди практический, интерес. Действительно, генерация неоднородностсй на масштабах превышающих размер горизонта происходит только на вакуумной стадии развития и имеет достаточно медленный темп (координатный масштаб неоднородности уменьшается логарифмически в синхронном времени). Тем не менее, без проведения подобного анализа нельзя приступать к решению соответствующих квантовых задач.

Одной из главных и еще нерешенных задач является генерация классического фона при наличии вещества. Простейшая оценка показывает, что фон будет выделяться в тот момент времени, когда горизонт достигнет наименьшего из характерных масштабов - масштаб неоднородности, комптоновская длина (при наличии скалярного ноля) или связанная с веществом Джинсовская длина [150]).

Важность этой проблемы обусловлена тем, что согласно современным представлениям, наша Вселенная должна была пройти через инфляционную стадию расширения [13, 14]. Однако вопрос о том, какие начальные условия требуется для этого наложить и насколько общим является данный тип эволюции еще не получил строгого ответа.

Если наименьшей является комптоновская длина, то на классическом уровне эволюция может приводить к инфляционному типу расширения пространства. Квантовая же динамика подобной эволюции остается практически не исследованной. До сих пор неясно, можно ли говорить (и в каком смысле) об инфляционном типе эволюции на стадии, когда отсутствует классический фон.

Однако, если наименьшей является длина волны Джинса, то плотность энергии анизотропии пространства может быть еще достаточно большой, что должно привести к некотоI рому динамическому подавлению анизотропии. При этом масштаб неоднородности также может быть еще достаточно большим, что в принципе позволяет реализацию инфляционного сценария уже в рамках классического (или квазиклассического) подхода.

Другой важной задачей является построения квантовой теории генерации возмущений на квашизотронном фоне, когда последний эволюционирует с замедлением. В этом случае определение вакуума в различных причинно - несвязанных областях пространства различается и должно определяться крупномасштабной частью неоднородностей. Однако данная задача требует, по-видимому, развития новых идей, поскольку рассматриваемые в работе модели уже неприменимы. Отметим лишь, что структура гильбертова пространства для крупномасштабной части возмущений должна быть сходной с описанной в настоящей работе.

Следующей важной (уже для теоретической физики) задачей представляется дальнейшее исследование процесса компактификации дополнительных измерений в многомерных теориях. Для реального осуществления данного процесса необходимо обеспечить механизм стабилизации скомпактифицированных измерений. Что также требует исследования процесса выделения фона, как в вакуумных моделях, так и при наличии вещества.

В заключении данного и далеко неполного списка задач укажем на необходимость дальнейшего исследования процессов, связанных с изменением топологии пространства. Предложенный в работе метод вторичного квантования распределенных систем требует развития ковариантного подхода. Кроме того, как показано в последней главе наличие нетривиальной топологической структуры пространства может приводить к целому ряду явлений. Так при наличии самодсйствия, что всегда имеет место для неабелевых нолей, может происходить перестройка основного состояния (6.6.1) и что может объяснить природу скалярных хигсовских полей. Действительно, до сих пор в экспериментах на ускорителях скалярные частицы небыли обнаружены и единственной причиной их рассмотрения является необходимость генерации масс элементарных частиц. Кроме того, если в реальных экспериментах удастся детектировать нетривиальность структуры пространства, что в принципе можно осуществить с помощью измерения флуктуаций потенциалов безмассовых полей или эффекту Казимира, то возникнет целая область исследований о влиянии различных внешних воздействий на структуру и свойства пространства. Сразу же заметим, что здесь идет речь о макроскопических масштабах 1 Дг ~ 0.1 /Т7

Глава 8

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кириллов, Александр Альбертович, 2005 год

1. G.Borner, The Early Universe, Facts and Fiction, Springer-Verlag, Berlin,1992

2. K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 67 11076 (1982); Phys. Rev. D48 5634 (1993).

3. D.S. Salopek and J.R. Bond, Phys. Rev. D42 3936 (1990).

4. A.A. Кириллов. Общее асимптотическое решение уравнения Уилера- де Витта при наличии космологической постоянной. В сб.статей Методы качественной теории и теории бифуркаций под ред^ Л.П.Шилышкова. Нижний Новгород С.130, 1991,

5. A.A. Kirillov, G. Montani, Quasiisotropization of the inhomogeneous mixmaster universe induced by an inflationary process, Phys. Rev. D66 064010, (2002).6} D.S. Salopek, J.M. Stewart, J.Parry, Phys. Rev. D48 719 (1993); Phys. Rev. D49 2872 (1994).

6. G.L.Comer, N.Deruelle, D. Langlois, and J.Parry, Phys. Rev. D49 2759 (1994).

7. K. Tomita, H. Asada, T. Hamana, Prog. Theor. Phys. Suppl. 133 155-181 (1999).

8. A.A. Kirillov, Dynamics of inhomogeneous models near singularity in classical and quantum cosmology. In: Cosmology and Gravitation, Ed. M.Novello, Ed.Front., Singapore, 1995, p.349.

9. E.M. Лифшиц, ЖЭТФ, 16, 587 (1946).

10. Я.Б.Зельдович, И.Д.Новиков. Строение и эволюция Вселенной М.:Наука, 1975.

11. A.A. Kirillov, Phys. Lett. В 399, 201 (1997).

12. A.A.Starobinsky, Phys. Lett. 91B, 100 (1980); A.H.Guth, Phys. Rev. D23, 347 (1981); A.A.Linde, Phys. Lett. B108, 389 (1982).

13. А.Д. Линде, Физика элементарных частиц и инфляционная космология, -М.: Наука, 1990.

14. A.G. Doroshkevich, V.N. Lukash and I.D. Novikov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 64, 1457 (1974).

15. B.H. Лухаш, Докторская диссертация, ИКИ АН СССР 1984.

16. Я.Б. Зельдович, А.А. Старобинский// ЖЭТФ. 1971.- Т. 61. С.2161.

17. В.Н. Лукаш, А.А. Старобинский// ЖЭТФ. 1974,- Т. 66. С.1515.

18. Бирел Н. Девис П., Квантованные поля в искривленном пространстве времени. Пер. с англ. - М.: Мир. 1984.20 |212226 27 [28 [29 [30 [31 [32 [3334

19. А.А. Kirillov and G. Montani, Письма ЖЭТФ 66, 449 (1997).

20. A.A. Kirillov, Origin of a classical background in the vacuum inhomogeneous mixmaster model, In: Proc. of 8th Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, (Jerusalem 1997), Eds. T.Piran and R. Ruffini, WSP, Singapore P. 1021 (1998).

21. M.B. Green, J.H. Schwarz, and E. Witten, Superstring theory (Cambridge University Press, Cambridge,England, 1988).

22. Th. Kaluza // Stizungsber. Preuss. Akad. Wiss. Pliys., Math. 1921. -Bd Kl. - S. 966; 0. Klein // Z. Phys. - 1926. - Bd 37. S. 895.

23. A. Chodos and S. Detweiler, Phys. Rev., D21, 2176 (1980).

24. M. Dcmianski, Z. Golda, M. Heller and M. Szydlowski, Class. Quantum Grav. 3, 1196 (1986); Class. Quantum Grav. 5, 733 (1988).

25. K. Maeda and P.Y. Pang, Phys. Lett., 180B, 29 (1986).

26. А. А. Логунов, А. А. Власов // ТМФ, T.61, C.3 (1984).

27. А. А. Власов, А. А. Логунов, M.А. Мествирешвили// ТМФ,- 1984. T.61. C.323. А.А. Логунов, M.A. Мествирешвили// ЭЧАЯ.- 1986. Т.17. вып.1 - С.5-159.

28. A.А. Логунов, М.А. Мествирешвили// ТМФ.- 1984. T.61. С.327.

29. B.Н. Лукаш // ЖЭТФ .-1980. Т. 79. С. 1601. J.M. Bardeen, Phys. Rev., D23, 1882 (1980).

30. В.Ф. Муханов, Г.В. Чибисов// Письма ЖЭТФ .-1981. Т. 33. С. 549; ЖЭТФ.-1982. Т. 83. - С. 475.

31. S.W. Hawking // Phys. Lett.- 1982.-V. 115В,- Р.295; А.А. Starobinsky, Phys.Lett. 1982.-V. 117В.- Р.175; А.Н. Guth, S.Y. Pi Phys. Rev. Lett.- 1982.-V. 49.- P.1110; J. Bardeen, P.J. Steinhardt, M.S. Turner, Phys. Rev. - 1983.-V. D28.- P.679.

32. B.A. Белинский, E.M. Лифшиц, И.М. Халатников, УФН 102, 463 (1970) Sov. Phys. Usp. 13, 745 (1971).; Adv. Phys., 19, (1970), 525.

33. B.A. Белинский, E.M. Лифшиц, И.М. Халатников, ЖЭТФ 59, 314 (1970)

34. C.W. Misner, Phys. Rev. Lett. 22, 1071 (1969).

35. B.A. Белинский, E.M. Лифшиц, И.М. Халатников, ЖЭТФ 62, 1606 (1972). B.A. Белинский, E.M. Лифшиц, И.М. Халатников, Adv. Phys. 31, 639 (1982). А.А.Кириллов, А.А.Кочнев, Письма в ЖЭТФ 46, 345 (1987).

36. В.А. Белинский, Письма в ЖЭТФ 56, 437 (1992). G. Montani, Class. Quantum Grav. 12, 2505 (1995).

37. V. Belinski, A. Kirillov, and G.Montani, On The Turbulence near cosmological singularity. In: Proc. 8th Marcel Grossmann meeting, (Jerusalem 1997), Eds. T.Piran and R. Ruffini, WSP, Singapore P. 612 (1998).

38. А.А.Кириллов, ЖЭТФ 103, 721 (1993).

39. A.А.Кириллов, А.А.Кочнев. Точная интегрируемость уравнений скалярных полей, неминимально взаимодействующих с гравитационным полем. //В сб.статей Методы качественной теории и теории бифуркаций под ред. Л.П.Шилышкова. Нижний Новгород С. 105, 1988.

40. К.A. Bronnikov J. Phys. A, Math. Gen. 13, 3455-3468 (1980).

41. B.K. Berger and V. Moncrief, Phys. Rev. D48, 4676 (1993).

42. B.K. Berger, Numerical Investigation of Singularities (Plenary Session lecture given at the GR 14 Conference, Florence, August 1995).

43. A.A. Kirillov, V.N. Melnikov, Phys. Rev. D52, 723 (1995).

44. E.M. Lifshitz and I.M. Khalatnikov, Adv. Phys., 12 , (1963), 185; УФН 1963 T.80, C.391. D.M. Chitre, PhD Thesis, University of Maryland 1972.

45. Мизнер Ч.В., Торн K.C., Уилер Дж.А.// Гравитация, т.1, 2. М.: Мир, 1977. А.А. Логунов,// ТМФ,- 1994. Т.101. - С.З.

46. A.А. Kirillov, Int. Jour. Mod. Phys. D3, 431 (1994).

47. B.Д. Иващук, A.A. Кириллов, B.II. Мельников, Письма в ЖЭТФ, 60, 225 (1994).

48. A.А. Старобинский, Письма в ЖЭТФ 37, 55 (1983).

49. M. Khalatnikov, E.M. Lifshitz, Phys. Rev. Lett. 24 76 (1970).

50. B.A. Белинский, И.М. Халатников, ЖЭТФ 63, 1121 (1972).

51. И.М. Лифшиц, E.M. Лифшиц, И.М. Халатников, ЖЭТФ, 59, 322 (1970).

52. И.П. Корнфельд, Я.Г. Синай, С.В. Фомин, Эргодичсская теория. М.:Наука 1980.

53. J. Demaret, М. Henneaux and P. Spindel, Phys. Lett. 164B 27 (1985); J. Demaret, J.L. Hanquin, M. Henneaux et al, Phys. Lett. 175B 129 (1986).

54. A. Hosoya, L.G. Jensen and A. Stein-Schabes, Nucl.Phys. 238B 657 (1987).

55. Y. Elskens and M. Henneaux, Nucl. Phys. 290B 111 (1987).

56. A.A. Kirillov, V.N. Melnikov, Astr. Astrophys. Trans. V.10, p.101 (1996).

57. A.A. Kirillov, V.N. Melnikov, On dynamics of inhomogenelties of metric near the singularity in multidimensional cosmology. Abstracts of the reports at the international school-seminar "Multidimentional gravity and cosmology" Yaroslavl, C.75, 1994.

58. A.A. Kirillov, V.N. Melnikov, Formation of Spatial Chaos in Vacuum Inhomogeneous Kaluza-Klein Models. In: Inhomogeneous cosmological models, Eds. A.Molina and I.Sinovilla, World Scientific, 1995, pp 167-171.

59. А.А. Кириллов, Regular and Chaotic dynamics, 1, No.2 ,13 (1996).

60. Д.В. Аносов, Геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны. Труды МИАН им.Стеклова, М. 1967.

61. R. Arnowitt, S. Deser, and C.W. Misner, In Gravitation: An Introduction to Current Research, edited by L.Witten, Wiley, New York, 1962 ,P.227.

62. B.S. DeWitt, Phys. Rev.160,1113 (1967).

63. C.W. Misner, Phys. Rev. 186 1319 (1969).

64. C.W. Misner, ; in: Magic Without Mgic, J.A. Wheeler, edited by J. Klander (Freeman, San Francisco, 1972).

65. L.P. Grishchuk and Ya.B. Zeldovich. Quantum Structure of Space and Time. (Cambridge Univ. Press, 1982) p.387; Я.Б. Зельдович, A.A. Старобииский, Письма в АЖ 10, 323 (1984) Sov. Astron. Lett. 10, 135 (1984)].

66. J.B. Hartle and S.W. Hawking, Phys. Rev. D28, 2960 (1983).

67. A. Vilenkin, Phys. Lett B117, 25 (1982); Phys. Rev. D27, 2848 (1983).

68. Д.Е.Бурлаиков, В.Н.Дутышев, А.А.Кочнев. Квантовая динамика изотропной космологической модели. ЖЭТФ 1984, Т.87, С.705.

69. A.Vilenkin, Phys.Rev. D37, 888 (1988).

70. А.О. Barvinsky, Phys. Rep. 230 237 (1993); B.JI. Альтшулер, А.О. Барвинский, УФН 166 459 (1996).

71. А.А. Кириллов, Письма в ЖЭТФ 55, С.540-542 (1992).

72. А.А. Kirillov, On properties of inhomogeneities of gravitational and scalar fields in the vicinity of a cosmological singularity// In: Proc. of 7th Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, WSP, Singapore p 711 (1996).

73. А.А. Кириллов, Письма в ЖЭТФ 62, 81 (1995).

74. А.А. Kirillov and V.N. Melnikov, Preprint CBPF-NF-037/95, Rio de Janeiro, Brazil, 1995.

75. A.A. Kirillov, V.N. Melnikov, Inhomogeneous Kaluza-Klein models near the cosmological singularity in quantum cosmology. Abstracts of the reports at the Int. school-seminar (Foundation of gravitation and cosmology) Odessa, September 4-10 1995.

76. A.A. Kirillov and V.N. Melnikov, Phys. Lett. B389, 221 (1996).

77. A.A. Kirillov and V.N. Melnikov, Gravitation and Cosmology 4 (1998).

78. A.A. Кириллов, B.H. Мельников, On the problem of the compactification in Kaluza-Klein cosmologies, Тезисы докладов IX Российской гравитационной конференции, Теоретические и эксперементальные проблемы гравитации, Новгород, С.69, 1996.

79. А.А. Kirillov, V.N. Melnikov, Quantum dynamics of inhomogeneous Kaluza-Klein cosmological models near a cosmological singularity. Abstracts of Int. conference GR14 1995.

80. H.H. Боголюбов, Д.В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука. 1984.

81. S. Schweber, An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory (New York: Harper and Row, 1961).

82. Newton T.D., Wigner E.P., Rev. Mod. Phys., 21 400 (1949).

83. А.А.Гриб, С.Г.Мамаев, В.М.Мостепапенко. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях М.: Энергоатомиздат,1988.

84. V.A. Rubakov. Phys. Lett. В214, 503 (1988).

85. A. Hosoya and M. Morikawa, Phys. Rev. D 39, 1123 (1989).

86. M. Mc Guigan, Phys. Rev. D 38, 3031 (1988); Phys. Rev. D 39, 2229 (1989).

87. A.Vilenkin, Phys. Rev. D39, P.1116, 1989.

88. A.A. Kirillov, Gravitation and Cosmology 4 23 (1998).

89. A.A. Kirillov and G. Montani, Phys. Rev. D56 6225 (1997).

90. D.F. Chernoff, J.D. Barrow, Phys. Rev. Lett. 50, 134 (1983); J.D. Barrow, in: Classical General Relativity, ed. W. Bonnor, J'. Islam, M.A.H. MacCallum, (CUP Cambridge, 1984) pp.25-41.

91. И.М. Халатников, E.M. Лифшиц, K.M. Хании, Л.М. Щур, Я.Г.Синай, Письма в ЖЭТФ 38, 79 (1983); Journ. Stat. Phys., 38, 97 (1985).

92. S.W. Hawking, Nuclear Phys., B114 , 349 (1978).

93. S.W. Hawking, Phys. Rev. D37 (1988) 904; Nucl. Phys. B335 (1990) 155.

94. G.V. Lavrelashvili, V.A. Rubakov and P.G. Tinyakov, Nucl. Phys. B299 (1988) 757.

95. S. Gidings and A. Strominger, Nucl. Phys. B307 (1988) 854.

96. S. Coleman, Nucl. Phys. B310 (1988) 643.

97. T. Banks, ibid. B309 (1988) 493.

98. Bronnikov K.A. Int. J. Mod. Phys. D, 4, 4, 491 (1995).112| A.A. Kirillov, Topology fluctuations in the expanding Universe. In: Quantum gravity: Proc. VI Seminar on Quantum Gravity, Moscow 20-25 May, 1995r.

99. B.S.DeWitt. In Gravitation: An Introduction to Current Research, edited by L.Witten, Wiley, New York,1962.

100. A.A. Kirillov, Gravitation and Cosmology V.2, No.l (5) p.35 (1996).

101. A.A. Kirillov, On third quantization in quantum cosmology// Abstracts of the reports at the international school-seminar "Multidimentional gravity and cosmology" Yaroslavl, C.74, 1994.

102. А.А.Кириллов, Флуктуации топологии в расширяющейся Вселенной. Тезисы докладов Международной школы семинара "Основания теории гравитации и космологии", Одесса, 4-10 сентября С. 100, 1995.

103. А.А. Kirillov, Astronomical and Astrophysical Transactions V.10, pp.95-100 (1996).

104. А.А.Кириллов, ЖЭТФ 115/N6 1921 (1999).

105. A.A. Kirillov, Gravitation and Cosmology 5 134 (1998).

106. A.D. Linde, Phys. Lett. B129, 177 (1983); A.A. Starobinsky, in Current Topics in Field Theory, Quantum Gravity and Strings, Lecture Notes in Physics, eds. H.J. de Vega and N. Sanchcz, (Springer-Verlag, Heidelberg, 1986) Vol. 246, p. 107.

107. Ya.B. Zeldovich// Mon. Not. RAS. 1970. - V.160. - P.l.

108. Hawking S.W., Penrose R. The singularities of gravitational collapse and cosmology. -Proc. Roy. Soc. London, A, 1970, vol.314, N 1519, p. 529-548.

109. R.D. Davies et al., Nature 326, 462 (1987).

110. B.H Мельников, In Results of Science and Technology. Ser. Classical Field Theory and Gravitation. Gravitation and Cosmology. Ed. V.N. Melnikov. VINITI Publ., Moscow, Vol.1, 1991, 49 in Russian];

111. K.A. Bronnikov and V.N. Melnikov, In Results of Scicnce and Technology. Ser. Classical Field Theory and Gravitation. Gravitation and Cosmology. Ed. V.N. Melnikov. VINITI Publ., Moscow, Vol. 4, 1992, 67.

112. V.D. Ivashchuk and V.N. Melnikov, Int. J. Mod. Phys. D, 3, 795 (1994).

113. V.N. Melnikov. Preprint CBPF-NF-051/93, Rio dc Janeiro, Brazil, 1993. In: Cosmology and Gravitation, Ed. M.Novello, Ed.Front., Singapore, 1994, p. 147.

114. M. Szydlowski, J. Szczesny and M. Biesiada, Gen. Relativ. Gravit. 19, 1118 (1987); M. Szydlowski, G. Pajdosz, Class. Quantum Grav., 6, 1391 (1989); J. Demaret, Y.de Rop, M. Henneaux, Int. J. Theor. Phys., 28, 250 (1989).

115. V.N.Lukash, Formation of large scale structure of the universe. In: Cosmology and Gravitation, Ed. M.Novello, Ed.Front., Singapore, 1995, p.299.

116. B.A. Белинский, Л.П. Грищук, Я.Б. Зельдович, И.М. Халатников, ЖЭТФ 89, 346 (1985); В.А. Белинский, И.М. Халатников, ЖЭТФ 93, 784 (1987).

117. J.D. Barrow, Phys. Rev. Lett. 46, 963 (1981); Phys. Rep. 85, 1 (1982).

118. П.В. Елютин, УФН 155 397 (1988)1

119. L. Artin, Ein mechanischcsm System mit quasiergodischen Bahnen, Collected Papers (Add. Wesley, 1965) pp.499-501.

120. В.Д. Ивашук, А.А. Кириллов, B.H. Мельников, Chaos in multidimensional cosmology// Abstracts of the reports at the international school-seminar "Multidimentional gravity and cosmology" Yaroslavl, C.70, 1994; Изв. Вузов. Физика, No.ll (1994).

121. L.J. Garay, Phys Rev. Lett 80, 2508 (1998).1138. K. Wilson, Phys. Rev. D 10 (1974) 2445-2459.

122. Vaughan Jones, Ann. Math. 126 (1987) 59-126.

123. E. Witten, Comm. Math. Phys. 121 (1989) 351-99.

124. C. Rovelli and L. Smolin, Nucl. Phys. B331 (1990).

125. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Квантовая механика, -M.: Наука, 1975.

126. H.B.G. Casimir, Proc. Коп. Nederl. Akad. Wet. 51, 793 (1948).-11441 M.J. Sparnaay // Physiea. 24, 751 (1958).

127. E. Witten // Nucl. Phys. Ser. B. 1981. - V.186. - P.412.

128. D. Hobill, A. Burd and A. Coley (cds), "Deterministic Chaos in General Relativity", NATO ASI series В Physics, vol.332, Plenum Press, New York 1994; J.D. Barrow, Phys. Rep., 85, (1982), 1.

129. B.C. Девитт, Динамическая теория групп и полей. М.: Наука. 1987.

130. А.Я. Хинчин, Цепные дроби. М., Физматгиз, 1961.

131. R.C. Tolman, Proc. Natl. Acad. Sci. 20 169 (1934); H. Bondi, MNRAS 410 107 (1947).

132. A.A. Kirillov, G.V. Serebryakov, Origin of a classical space in quantum cosmologies // Grav.Cosmol.7 211-214, (2001).