О некоторых экстремальных задачах математического моделирования в пространствах BV тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ищенко, Анна Сергеевна

• Ищенко, Анна Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ищенко, Анна Сергеевна

Введение

I Энергетический подход к моделированию нерегулярного континуума

§ 1 Предварительные сведения. Полнота пространства Е

§ 2 Физический пример задачи на экстремум

§ 3 Непрерывность интегрального функционала в Е

§ 4 Аналог уравнения Эйлера для непрерывных задач

II Достаточное условие экстремума

§ 1 Неотрицательность псевдоэнергетического функционала

§ 2 Аналог усиленной теоремы Якоби ^

§ 3 Поле экстремалей

§ 4 Достаточное условие экстремума

III Постановка задачи в классе разрывных функций из В V. Необходимое условие экстремума

§ 1 Некоторые сведения о к - интеграле

§ 2 Полнота пространства Еи

§ 3 Задача о разрывной струне

§ 4 Непрерывность функционала в Еи

§ 5 Необходимое условие экстремума для задачи, допускающей разрывные решения

IV Достаточное условие экстремума для случая разрывных функций

§ 1 Неотрицательность псевдоэнергетического функционала 103 в разрывном случае

§ 2 Аналог усиленной теоремы Якоби в разрывном случае

§ 3 Поле экстремалей

§ 4 Достаточное условие экстремума

V Численный эксперимент

§ 1 Приближенный метод решения вариационной задачи деформации цепочки из двух струн

§ 2 Тестовые примеры

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых экстремальных задачах математического моделирования в пространствах BV»

В диссертации проводится разработка математических методов анализа моделей нерегулярного континуума, а именно, разработка вариационного метода анализа математической модели стилтьесовской струны в случае нерегулярности как внешних параметров, так и внутренней структуры. Последовательно рассматривается два случая: в первом случае струна предполагается негладкой, так что для нее неверна традиционная модель Бернулли (Ри'У - / ■

Решение в этом случае мы ищем в классе абсолютно-непрерывных функций, производные которых имеют ограниченную вариацию. Кроме того, мы рассматриваем случай «разорванной струны», когда исследуемый одномерный континуум составлен из нескольких кусков струн, причем соседние куски-упруго соединены, не составляя в точках состыковки непрерывного целого. В последнем случае решение изучаемой, задачи строится в классе функций ограниченной вариации. В обоих случаях главной математической опорой является интеграл Стилтьеса - классический вариант этого интеграла в первом случае, и некоторая его существенная модификация во втором.

Необходимость описания математических моделей с помощью недостаточно гладких функций назрела давно. Опора на анализ гладких функций была исчерпана в инженерной математике уже к концу XIX века. Стилтьесом в конце XIX века была изучена задача о «струне с бусинками», когда задача о колебаниях упругой струны была связана не с уравнением

-и" = ЛМ'(х)и, где М описывает распределение масс, а с более сложным математическим объектом, где, в современных терминах, вместо М'(х) должна стоять комбинация 8-функций где т1 - массы соответствующих бусинок (грузиков). Эту, по существу, конечномерную задачу Стилтьес предложил решать с помощью нового введенного им интеграла, называемого ныне интегралом Стилтьеса.

Математическое расширение подобного взгляда предложили Ган-тмахер и Крейн, где для произвольного распределения масс вдоль струны они ввели уравнение в котором интеграл понимается по Стилтьесу, М(рс) описывает распределение масс.

Уже в начале XIX века вариационные принципы физики, стали источником новых математических постановок и поводом для создания и привлечения новых математических идей. Так, например, Гильберт определял математическую струну как минималь функционала описывающего потенциальную энергию для виртуальной формы струны и{х). Тогда же стали известны примеры функционалов' простых по форме, но недостигающих экстремальных значений в стандартных классах функций. Это, в свою очередь, потребовало привлечения новых математических средств для построения моделей. Так, например, как мы уже отмечали, М.Г. Крейн- [23], [3] начал привлекать к анализу упругих колебаний струны интеграл Стилтьеса. Позднее интеграл Стилтьеса начали использовать Феллер [52], Аткинсон [1] и др. исследователи. Однако, почти до конца XX века моделирование реальных систем производилось, с опорой1 на математические средства, развитые еще в XVIII веке Лейбницем, Эйлером, Даламбером, Лагранжем и др., на основе классических методов дифференциального и интегрального исчисления. Во второй половине XX века обнаружились недостатки регулярных (классических) математических средств для описания реальных систем, существенно неоднородных по своей физической природе, и здесь выяснилось, и{х) = Я 8)и(з)с1М{$), о что решающим математическим средством оказывается мало применявшийся ранее интеграл Стилтьеса. Естественность опоры на интеграл Стилтьеса можно проиллюстрировать на гильбертовом описании струны, если, например, внешняя нагрузка, деформирующая струну, не имеет непрерывной плотности Дд:), а содержит сосредоточенные силы, что в формуле (0.0.1) приведет к появлению уДх) компонент типа б - функции. Тогда функционал потенциальной энергии для нерегулярной струны может быть корректно записан в виде

1 12 I

Ф(и) = \и^ , (0.0.2) о ^ о где второе слагаемое естественно понимать по Стилтьесу. Так как в этой ситуации физические соображения не обеспечивают гладкость формы и(х), то первый интеграл также как и в (0.0.1) не может пониматься по Риману. При стандартном применении к (0.0.2) классической вариационной схемы [2], [25], [27], [41], [58], [59], мы должны получить формальное уравнение вида

-(ри')' = Г, (0.0.3) где штрихи означают обобщенные производные. Если при этом исходный упругий континуум («стилтьесовская струна» по выражению М. Крейна) имеет тотальную упругую связь с окружающей средой, то вместо (0.0.3) будет более сложное выражение

-(Ри'у+ди=г, где Q — некоторая возрастающая функция, О* - ее обобщенная производная.

Изучению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

-(ри')' + ди = / (0.0.4) с обобщенными коэффициентами, где д = <2', / = посвящено достаточно большое количество работ (например, [1], [6]-[9], [11]-[14], [26], [28]-[30], [32], [46], [50], [51], [53], [57]). Решения со скачками производных описаны уже в классической монографии Ф. Аткинсона [1]. Достаточно тонкий анализ однородного уравнения вида (0.0.4) с обобщенными коэффициентами проводился в работах А.Д. Мышкиса [30], J. Kurzweil [26]. Более полную библиографию можно найти, например, у Ф. Аткинсона [1], А.Ф. Филиппова [53], С.Т. Завалищина и А.Н. Сесекина [13]. Из обширного числа работ особо отметим публикации В.Я. Дерра [6]-[9], Ю.В. Егорова [12], С.Т. Завалищина [14], А.Н. Сесекина [50], Bi Dragovich[l 1], A.A. Шкаликова и его учеников [46].

Однако, для подобных уравнений, внешне имеющих вид обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), классическая теория ОДУ не работает, так как она- определяется^ возможностями поточечного анализа, недоступного сквозь формализм обобщенного дифференцирования, где обобщенная производная оказывается не обычной поточечно определяемой функцией, а специальным функционалом на пространстве бесконечно дифференцируемых финитных функций. Эту проблему - возможного обходного маневра вокруг обобщенного дифференцирования - М.Г. Крейн решал, опираясь на возможность представления, например, уравнения для задачи о колебаниях струны в интегральной форме с интегрированием по Стилтьесу. Позднее, опять же Крейном, реализована возможность опоры на поточечное интегро-дифференциальное уравнение дг+0 иЦя;) = и1(0)-Я \udM, о где и'+(х) - правая производная, и'(х) - число, служащее для продолжения правой производной влево от точки х=0. Подобный подход, применявшийся I

Феллером, Аткинсоном, отодвигал идею Гильберта о вариационном обосновании как бы в тень. Соответствие этого уравнения реальным формам струны определялось чисто интуитивными соображениями.

В настоящей работе на первый план выдвигается гильбертов подход к постановке математического моделирования. Мы детально изучаем модельную проблему

Ф-^ min , (0.0.5) а(0)=Л,и(/)=В где функционал Ф в первом случае имеет вид

Здесь р,Я,8,М - функции ограниченной вариации, т.е. принадлежат пространству ВУ[0, /], и интегралы понимаются по Стилтьесу. Функционал (0.0.6) мы определяем на пространстве Е абсолютно-непрерывных на [0, /] функций, производные которых принадлежат ВУ[0, /].

В исследуемом нами втором случае функционал Ф имеет вид „м'2 / 2 1 ф(и) = у-^-ац + у-<Щ\ - , (0.0.7)

0 ^ 0 2 о гдер, (2, Е принадлежат пространству В¥[0, /], функция //строго возрастает на [0, /]. Такой функционал возникает при описании задач, допускающих разрывные решения, например; при моделировании упругих деформаций неоднородного континуума, расположенного вдоль отрезка [0, /] и состоящего из кусков стилтьесовской струны, упруго взаимодействующих в точках х = где г = 1, 2, ., N. и е(0,/). В этом случае, естественно, возникает необходимость расширения понятия обычного интеграла Стилтьеса, когда интегрируемыми оказываются разрывные функции, и когда соответствую/ щие интегрирующие меры могут иметь расщепляющиеся атомы, т.е. т о приобретает корректный смысл для каждой разрывной функции и(х), если в точках разрыва и(х) интегрирующая функция а(х) имеет двойной скачок. Мы опираемся здесь на расширенное толкование интеграла Стилтьеса, предложенного Ю.В Покорным. Чтобы подчеркнуть, что речь идет о таком интеграле, мы обрамляем функцию, стоящую под дифференциалом, в квадратные скобки. Функционал (0.0.7) мы определяем на пространстве Еи г л -абсолютно-непрерывных на [0, /] функций, производные которых принадлежат BV[0, /]. Т.е. здесь функции и могут терпеть разрывы в точках разрыва jj, . Для функционала (0.0.7) мы обсуждаем точно такой же круг вопросов, что и для функционала (0.0.6).

Такие задачи другими авторами ранее решены не были. Цель работы. Основной целью работы является разработка математических методов анализа модельной проблемы Ф —> min , где функциои(0)=Л,и(/)=В нал Ф гипотетически определяет потенциальную энергию исследуемого в j реалии объекта. Работа направлена на построение наиболее полных аналогов необходимых и достаточных условий экстремума из классической вариационной теории, максимально учитывающих способность возникающих при этом моделей соответствовать реальным особенностям моделируемых задач.

Методика исследований. В диссертационной работе в интересах математического моделирования применяются и совершенствуются идеи и методы классического вариационного исчисления, методы общего математического анализа, аппарат теории меры и интеграла Лебега-Стилтьеса, аппарат численных методов.

Научная новизна. Приводимые ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Установлена полнота исходного функционального пространства Е виртуальных состояний объекта по норме ||и|| = max|w(x)| + Vq (и'), где Vq оз

0,/] начает полную вариацию на отрезке [0, /].

2. Доказана непрерывность функционала (0.0.6) в пространстве Е.

3. Установлено, что функция и0, определяющая реальное состояние объекта, описываемого модельной проблемой (0.0.5) для функционала (0.0.6), является решением интегро-дифференциального уравнения с интегралами, понимаемыми по Стилтьесу

X X pu'ipc) + judR - judS - M(x) = pu\0) - M(0). о 0

4. Установлены достаточные условия неотрицательности псевдоэнергетического функционала / 1(h) = \ph'2dx+ ¡h2dO, о о где Q=S-R

5. Получен аналог усиленной теоремы Якоби о сильной положительности псевдоэнергетического функционала.

6. Установлена возможность построения поля экстремалей.

7. Получено достаточное условие экстремума для функционала (0.0.6).

8. Аналогичные результаты получены для функционала (0.0.7).

9. Впервые построен алгоритм и проведен численный эксперимент анализа модельной'проблемы (0.0.5), где функционал Ф определяется равенством (0.0.7).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при обосновании корректности разнообразных математических моделей и при разработке разнообразных численно-аналитических методов, создаваемых для-анализа таких моделей.

Апробация работы. Основные результаты из всех разделов диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и совещаниях: Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории-функций-и-их приложения» (2004 г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2004 г.), Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2005 г.), Воронежских весенних математических школах «Понтрягинские чтения-XV» (2004 г.), «Пон-трягинские чтения-XVI» (2005 г.), «Понтрягинские чтения-XVII» (2006 г.), «Понтрягинские чтения-XVIII» (2007 г.), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (2007 г.), Международной научной конференции» «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2007 г.), на семинарах профессора Покорного Ю.В. в 2004-2007 гг, на конференциях профессорско-преподавательского состава Белгородского университета потребительской кооперации в 2004-2007 гг.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [16, 17, 18, 19, 20, 37, 38, 39, 40, 60]. Из совместных работ [37-40, 60] в диссертацию включены только результаты автора. Списку ВАК соответствуют работы [20,37, 38; 40].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав, изложенных на 140 страницах машинописного текста, списка цитируемой литературы из 60, наименований на 7 станицах. Общий объем диссертации составляет 147 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ищенко, Анна Сергеевна, 2008 год

1. Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи: пер. с англ. / Ф. Аткинсон. - М.: Мир, 1968. - 749 с.

2. Ахиезер, Н.И. Лекции по вариационному исчислению / Н.И. Ахие-зер. М.: ГИТТЛ, 1955. - 248с.

3. Гантмахер, Ф.Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф.Р. Гантмахер, М.Г. Крейн. М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теоретич. Литературы, 1950. — 359 с.

4. Гливенко, В.И. Интеграл Стилтьеса / В.И. Гливенко. ОНТИ НКТП СССР, 1936.-217 с.

5. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория: пер. с англ. / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: ИЛ, 1962. - 896 с.

6. Дерр, В.Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах / В.Я. Дещэ // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 298, №2. - С.269-272.

7. Дерр, В.Я. Неосцилляция решений линейного квазидифференциального уравнения / В.Я. Дерр // Изв. Ин-та математики и информатики Уд-ГУ-Ижевск, 1999.-Вып. 1 (16). — С.3-105.

8. Дерр, В.Я. О решениях дифференциальных уравнений с обобщенными функциями в коэффициентах / В.Я. Дерр // Известия Института математики и информатики УдГУ-Ижевск, 1995. -Вып.1. С.51-75.

9. Дерр, В.Я. О дифференциальных уравнениях с обобщенными функциями и С-интегральных уравнениях / В.Я. Дерр // Вестник Удмуртского университета. 2000. - Вып.1. - С.49-60.

10. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, B.JL Прядиев и др. М.: Физматлит, 2004. -268 с.

11. Dragovich, В. Обобщенные функции на аделях / В. Dragovich, Я.В. Радыно, A.A. Хренников // Труды Воронежской математической школы «Понтрягинские чтения-XI». Воронеж, 2000. — 4.1. - С.85-94.

12. Егоров, Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа / Ю.В. Егоров. М.: Наука, 1984. - 360 с.

13. Завалищин, С.Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С.Т. Завалищин, А.Н. Сесекин. — М.: Наука, 1991. 255 с.

14. Завалищин, С.Т. Формула Коши для линейного уравнения общего вида в обобщенных функциях / С.Т. Завалищин // Дифференциальные уравнения. 1973. - Т.9, №6. - С. 1138-1140.

15. Зверева, М.Б. О некоторых вопросах качественной теории дифференциальных уравнений с производными Стилтьеса: дис.кан. физ.-мат. наук / Зверева Маргарита Борисовна. Воронеж, 2005. - 120 с.

16. Ищенко, A.C. О неосцилляции стилтьесовской струны / A.C. Ищенко // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XV». Воронеж, ВГУ, 2004. С. 101 -102.

17. Ищенко, A.C. О поле экстремалей в нерегулярной вариационной задаче для общей струны / A.C. Ищенко // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XVI». Воронеж: ВГУ, 2005. - С.71.

18. Ищенко, А.С. Об аналоге уравнения Якоби для одной вариационной задачи с сильными особенностями / А.С. Ищенко // Вестник БУПК. -2007. — №1. С.128-129.

19. Камке, Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса: пер. с нем. / Э. Камке. М.: Физматлит, 1959. - 328 с.

20. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: пер. с нем. / Э. Камке. М.: ИЛ, 1950. - 828 с.

21. Кац, И.С. О спектральных функциях струны / И.С. Кац, М.Г. Крейн // Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткинсон. -М.: Мир, 1968. С.648-733.

22. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1968. - 496 с.

23. Курант, Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. — М.: Гостехиздат, 1954. Т.1. - 525 с.

24. Kurzweil, J. Generalized ordinary differential equations / J. Kurzweil // Czech. Math. J. 1958. - V.8. - P.360-388.

25. Лаврентьев, M. Основы вариационного исчисления / M. Лаврентьев, Л. Люстерник. М.-Л.: ОНТИ, 1935. - Т.1, 4.II - 400 с

26. Левин, А.Ю. Вопросы теории обыкновенного линейного дифференциального уравнения / А.Ю. Левин // Вестник Ярославского университета. 1974. - Вып.8. - С.122-144.

27. Максимов, В.П. О некоторых обобщениях обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач и их приложениях к задачам экономической динамики / В.П. Максимов // Вестник Пермского университета. — 1997.-Вып.4.-С. 103-120.

28. Мышкис, А.Д. О решениях линейного однородного двучленного дифференциального неравенства второго порядка с обобщенным коэффициентом / А.Д. Мышкис // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т.32, №5. — С.615-619.

29. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон М.: Наука, 1974. - 480 с.

30. Pandit, S.G. Differential systems involving impulses / S.G. Pandit, S.G. Deo // Lect. Notes Math 1982. - V. 954.

31. Покорный, Ю.В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях/ Ю.В. Покорный // Докл. АН 1999. - Т.364, №2 - С.167-169.

32. Покорный, Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с обобщенными коэффициентами / Ю.В. Покорный, С.А. Шабров // Труды математического факультета ВГУ (новая серия). 1999. - Вып.4. -С.84-96.

33. Покорный, Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса в обобщенной задаче Штурма-Лиувилля / Ю.В. Покорный // Докл. АН. 2002. - Т.383, №5 -С. 1-4.

34. Покорный, Ю.В. О задаче Штурма-Лиувилля для разрывной струны / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Изв. вузов. Северо-кавказ. регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды. — 2004. Спецвыпуск. - С. 186-191.

35. Покорный, Ю.В. О неосцилляции интегро-дифференциального уравнения из задачи о стилтьесовской струне / Ю.В. Покорный, С.А. Шаб-ров, М.Б. Зверева, A.C. Ищенко // Вестник ВГУ. Серия физика, математика. — 2004. №1 - С.136-138.

36. Покорный, Ю.В. О нерегулярном расширении осцилляционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, A.C. Ищенко, С.А. Шабров // Математические заметки, 2007, 82:4, С.578-582.

37. Покорный, Ю.В. О разрешимости некоторых классов нерегулярных вариационных задач второго порядка / Ю.В. Покорный, Ж.И. Бахтина, A.C. Ищенко // Известия Саратовского университета. Серия математика, механика, информатика. 2007. - Т.2, вып.2 - С.32-36.

38. Покорный, Ю.В. Оптимальные задачи / Ю.В. Покорный. Воронеж: ВГУ.-2002.- 198с.

39. Pokornyi, Yu.V. Toward a Sturm-Liouville theory for an equation with generalized coefficients / Yu.V. Pokornyi, S.A. Shabrov // Journal of Mathematical Sciences. Vol.119, №6. - 2004 - Р.769-787/

40. Радыно, Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения / Я.В. Радыно, А.Б. Антоневич. Минск. - 1984. - 351 с.

41. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу: пер. с франц. / Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. -М.: Мир, 1979. 588 с.

42. Рудин, У. Основы математического анализа: пер. с анг. / У. Рудин. — М.: Мир, 1976.-320 с.

43. Савчук, A.M. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / A.M. Савчук, A.A. Шкаликов // Мат.заметки. 1999. — Т. 66. — Вып.6. — С.897-911.

44. Сакс, С. Теория интеграла / С. Сакс. М.: ИЛ., 1949. - 544 с.

45. Сансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж. Сансоне. М.: Госиноиздат, 1954. — Т.1. - 346 с.

46. Сансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж. Сансоне. М.: Госиноиздат, 1954. Т.2. - 414 с.

47. Сесекин, А.Н. О нелинейных дифференциальных уравнениях в классе функций ограниченной вариации / А.Н. Сесекин // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т.25, №11. - С. 1925-1932.

48. Тонков, Е.Л. К вопросу о неосцилляции линейной системы / Е.Л. Тонков // Нелинейные колебания и теория управления. Ижевск, 1982. — Вып.4. - С. 62-74.

49. Feller, W. Generalized second order differential operators and their londitions / W. Feller // Illinois J. Math. 1957. - V. 1, № 4. - P. 459-504.

50. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. М.: Наука, 1985. - 225 с.

51. Халмош, П. Теория меры: пер. с англ. / П Халмош. М.: ИЛ, 1953. -291 с.

52. Шабров С.А. О краевых задачах с импульсными коэффициентами: дис.кан. физ.-мат. наук / Шабров Сергей Александрович. Воронеж, 2000, 74 с.

53. Шилов, Г.Е. Интеграл, мера и производная (общая теория) / Г.Е. Шилов, Б.Л. Гуревич. М.: Наука, 1967. - 220 с.

54. Schwabik, S. Differential and integral: Boundary value problems and adjoints / S. Schwabik, V. Tvrdy, O. Vejvoda. Prague: Academia, 1970. - 246 p.

55. Янг, Jl. Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению / Л. Янг. М.: Мир, 1974. - 488 с.

56. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. М.: Эдиториал УРСС. — 2000. — 231с.