Свойства решений функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сурков, Александр Владимирович

• Сурков, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сурков, Александр Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

1 Общие свойства решений функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой

частью

1.1 Основные подходы к определению решения.

1.1.1 Простейшее выпуклое доопределение.

1.1.2 Доопределение систем с разрывными управлениями

1.2 Структура множеств точек разрыва и "скользящие режимы"

1.2.1 Понятие инвариантно дифференцируемого функционала

1.2.2 Множества точек разрыва.

1.2.3 Метод эквивалентного управления.

1.3 Существование решений.

1.3.1 Вспомогательные определения и утверждения

1.3.2 Существование решений.

1.4 Неявная форма уравнений

1.4.1 Правосторонняя единственность.

1.5 Приближенные решения функционально-дифференциальных уравнений.

1.5.1 Приближенные 5-решения

1.5.2 Метод Эйлера.

1.6 Непрерывные аппроксимации разрывных характеристик функционально-дифференциальных уравнений.

1.6.1 Аппроксимации Иосиды.

1.6.2 Аппроксимирующая система уравнений.

1.6.3 Другие непрерывные аппроксимации.

2 Устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений

2.1 Определения и постановка задачи.

2.2 Устойчивость решений функционально-дифференциальных включений.

2.2.1 Устойчивость и слабая устойчивость.

2.2.2 Асимптотическая устойчивость и слабая асимптотическая устойчивость.

2.2.3 Принцип инвариантности.

2.3 Устойчивость функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.'

2.4 Оптимальное демпфирование в задачах стабилизации и быстродействия систем с запаздыванием

2.4.1 Стабилизация.

2.4.2 Быстродействие.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства решений функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью»

Объект исследования

В диссертации рассматривается система функционально-дифференциальных уравнений = /(*,**(.)), **,(■)=¥>(■)» (1) где / : В1 X Ст —> Яп, С[Г)о] — Ст - пространство непрерывных функций из отрезка [—т, 0] в п-мерное евклидово пространство ¥С. Для непрерывной на отрезке [¿о — т, ¿о + Т] функции х{Ь) и любого £ 6 [¿о^о +Т] функция я^(-) £ Ст определена равенством = + в). —г < 0 < 0, Х10(-) = </?(•) 6 Ст - начальная функция. Функция /(£, предполагается в общем случае разрывной по совокупности переменных. Общепринятым методом исследования разрывных систем является переход к дифференциальным включениям. В данной работе решение уравнения (1) понимается, как решение функционально-дифференциального включения

•)=¥>(•), (2) где Р^Ь^х^-)) - многозначная функция, которая строится с помощью доопределения функции /(¿, в ее точках разрыва. Здесь будет использоваться метод простейшего выпуклого доопределения правой части в смысле Филиппова [46], а для управляемых систем будет рассматриваться доопределение в смысле Айзермана-Пятницкого [2].

Обзор литературы

Многочисленные задачи теории автоматического регулирования, техники, механики, радиофизики, биологии, экономики и т.д. описываются дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Так, например, транспортное запаздывание обычно возникает в системах, в которых вещество, энергия или сигналы передаются на расстояние [56]. Технологическое запаздывание может встречаться в химико-технологических процессах [55, 10], в теплоэнергетике [30, 32]. В системах управления, где одним из звеньев является человек, важное значение при построении математической модели всей системы имеет учет запаздывания реакции человека [5, 6]. Во многих задачах экономики учет запаздывания необходим для правильного качественного и количественного описания различных явлений [45]. Модели управления поточным производством, а также задачи управления запасами с учетом запаздывания рассматриваются в [29].

Отдельные результаты теории систем с запаздывающим аргументом были получены более 200 лет назад (Кондорсе, 1771 г., см. [57, стр. 9]), однако систематическое развитие теории таких систем началось значительно позднее. В период с 20-х до начала 40-х годов Н. Минорский в своих работах [68, 69], посвященных стабилизации курса корабля и автоматическому управлению его движением, ясно указал на важность рассмотрения запаздывания в механизме обратной связи. Большой интерес к теории автоматического регулирования в течении этих и последующих лет существенно способствовал быстрому развитию теории дифференциальных уравнений с запаздыванием. К результатам, которые также в значительной степени стимулировали теорию, можно отнести работы В. Вольтерра по исследованию модели "хищник-жертва" [9], а также его работы по вяз коупругости

70]. В 50-60-х годах А.Д. Мышкис [23, 24], ввел общий класс уравнений с запаздывающими аргументами и заложил основы теории линейных систем, которая интенсивно развивалась в последующие годы [20, 25, 58, 21, 59, 1].

Развитие общей теории и многочисленные прикладные задачи инициировали интерес к качественной теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и особенно - к проблемам устойчивости движений в системах, описываемых такими уравнениями. Для обыкновенных дифференциальных уравнений основным подходом к исследованию вопросов устойчивости является метод функций Ляпунова. Применительно к дифференциальным уравнениям с последействием использование метода функций Ляпунова нашло свое выражение в теоремах Разумихина [21, 58]. Однако в целом метод функций Ляпунова для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом не обладает такой же полнотой, как для дифференциальных уравнений без запаздывания и его применение сопряжено с определенными трудностями. Более плодотворной оказалась концепция Н.Н. Красовского, который рассматривал интегральные кривые решений дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом в пространстве Я,1 х Ст даже тогда, когда переменная состояния представляла собой конечномерный вектор [15] . Трактовка Н.Н. Красовского прояснила функциональную природу дифференциальных уравнений запаздывающего типа, дала возможность провести глубокие аналогии между теорией таких уравнений и теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и показала причины не менее глубоких различий этих теорий, проистекающие в первую очередь из бесконечномерности пространства Ст. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргумен том часто называются функционально-дифференциальными уравнениями.

При исследовании вопросов устойчивости для функционально-дифференциальных уравнений методом функционалов Ляпунова обычно используется правое верхнее производное число функционала вдоль решений. Это позволяет достаточно полно исследовать рассматриваемые задачи, поскольку правое верхнее производное число функционала существует при достаточно общих условиях, что придает методу определенную универсальность. Однако элемент конструктивности при этом теряется, так как требуется (теоретически) знать само решение, а не только правую часть уравнения. В приложениях и при исследовании конкретных систем эта трудность так или иначе разрешается. Многочисленные примеры имеются в книгах [59], [21]. Из них видно, что часто производная функционала вдоль решения разделяется на две части, одна из которых инвариантна относительно продолжения решения в последующие моменты времени, а другая может быть выражена через правую часть уравнения. Это свойство функционалов было формализовано в работах A.B. Кима (см. [17]), где было введены понятия инвариантной производной и инвариантной диффе-ренцируемостп и разработан соответствующий аппарат для исследования устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений.

Еще одно направление, которое отражено в объекте исследований данной диссертации, связано с дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью. Общепризнанные подходы к исследованию таких уравнений основаны на теории дифференциальных включений. Существенным толчком к развитию этих подходов послужила известная дискуссия на 1-ом конгрессе ИФАК по докладу А.Ф. Филиппова в 1961 г. Обзорный материал многочисленных исследований, сформировавших основные методы и направления развития теории разрывных систем в последующие годы, представлены в ряде книг и статей таких авторов, как А.Ф. Филиппов, М.А. Айзерман, Е.С. Пятницкий, В.И. Уткин. В частности, в монографии А.Ф. Филиппова [46] представлены различные способы определения решения решения дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Приведем три из них, которые представляются наиболее употребительными как в теории, так и в приложениях.

1. Простейшее выпуклое доопределение (А.Ф. Филиппов, 1961 г.) для уравнений вида где функция / - разрывна по переменным t их. При простейшем выпуклом доопределении за правую часть уравнения (3) в точках разрыва функции / принимается выпуклая замкнутая оболочка всех ее предельных значений. Далее исследуется дифференциальное включение, в правой части которого стоит полученная многозначная функция, и под решением системы уравнений с разрывной правой частью понимается решение полученного дифференциального включения.

2. Применительно к управляемым системам вида где вектор-функция /(¿,#,^1,. ,иг) - непрерывна по совокупности аргументов, а функции «¿(i, х) - разрывны (каждая на своей поверхности), М.А. Айзерманом, Е.С. Пятницким в работе [2] был предложен способ доопределения правых частей, который они охарактеризовали, как репрезентативное представление уравнений (4). Формально и для этих уравнений может быть применен первый способ, но к понятию решения дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями предъявляются определенные требования. Помимо содержательности (возможности построения достаточно полной математической теории) есть еще требование физичности (учет физических законов или инжех = f(t, ж),

3)

X = /(£, х, Ui(i, х),., ur(t, я;))

4) нерных соображений). Именно последнее обстоятельство приводит к репрезентативному представлению. Эти два подхода совпадают, если правая часть (4) линейна по щ,., иг , но в общем случае они различны. Первое направление в работе [2] условно названо математическим, а второе - техническим.

3. Метод эквивалентного управления для уравнений (4), рассмотренный в работах В.И. Уткина [44], предназначен для описания скользящих режимов разрывных систем и общего определения решения решения не дает. Суть метода состоит в том, что на пересечении поверхностей разрывов управлений щ(Ь,х) новые (эквивалентные) управления выбираются так, чтобы вектор производной скользящего режима лежал на пересечении касательных плоскостей этих поверхностей. С учетом ограничений на управления, это не всегда возможно. В этом направлении имеются работы [51, 53], где предложен общий неявный метод доопределения дифференциальных уравнений с кусочно непрерывными правыми частями.

Различным задачам общей и качественной теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и их приложениям посвящено большое количество работ. Классификация и сравнительный анализ различных подходов к понятию решения имеется в [22]. Тем не менее, тот факт, что дифференциальные уравнения с разрывной правой частью могут быть заменены соответствующими дифференциальными включениями, позволяет использовать разделы существующей теории дифференциальных включений с выпуклой правой частью без каких-либо ограничений. Среди работ, посвященным теории дифференциальных включений, отметим [60, 27, 7, 4, 48, 65, 71].

Что касается самих функционально-дифференциальных включений, то их изучение, по-видимому, началось с работы А.Д. Мышки-са [23] и к настоящему времени рассмотрен достаточно широкий класс таких включений [3, 11, 20, 42, 50, 28, 31, 63, 66J, где были исследованы вопросы существования, продолжимости и непрерывной зависимости решения.

Актуальность темы диссертации

Если придерживаться функциональной концепции H.H. Красовского, то при описании движений по пересечению множеств разрывов (аналогов скользящих режимов) здесь возникают те же проблемы с вычислением производных функционалов, задающих эти множества, что и в теории устойчивости. Разница лишь в том, что даже теоретически невозможно потребовать знание решения для этих вычислений, так как оно подлежит определению или определено неоднозначно. Вместе с тем отметим, что такие задачи теории управления, как задача стабилизации, приводят к системам с разрывными обратными связями, и основные режимы их функционирования представляют собой движения по пересечению поверхностей разрыва. Поэтому актуальной задачей является распространение аппарата инвариантно дифференцируемых функционалов для исследования функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, как для описания множеств точек разрывов, так и для исследования устойчивости. Эти исследования актуальны также, как дополнение существующей теоретической базы для решения различных прикладных задач, которые приводят к системам функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью при надлежащей идеализации реальных процессов. Так, например, в математических моделях стабилизации курса корабля важно учитывать запаздывание в механизме обратной связи, но эти обратные связи часто моделируются разрывными (релейного типа) функциями. Такие сочетания ранее практически не изучались.

Цель работы

Целью данной работы является распространение основных методов, подходов и результатов общей теории разрывных систем на функционально- дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями в рамках функциональной концепции, основанной на бесконечномерности области определения правых частей таких систем, а также развитие для них методов теории устойчивости с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова.

Структура и объем работы

Данная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 71 наименований. Общий объем диссертации составляет 94 страницы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Сурков, Александр Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты.

1. Предложено описание структуры множеств точек разрыва правых частей функционально-дифференциальных уравнений с бесконечномерным фазовым пространством непрерывных функций. Разработаны способы определения решений согласующиеся с основными подходами теории разрывных систем, развитой в работах А.Ф. Филиппова (простейшее выпуклое доопределение), М.А. Айзермана, Е.С. Пятницкого (репрезентативное представление) и В.И. Уткина (метод эквивалентного управления).

2. Обоснованы теоремы о существовании и продолжимости решений функционально дифференциальных уравнений с разрывной правой частью с использованием теорем для функционально-дифференциальных включений.

3. Получена неявная форма записи для функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, которая обобщает метод эквивалентного управления и при определенных условиях однозначно определяет движение в "скользящем режиме". Доказана теорема о правосторонней единственности решений.

4. Рассмотрены вопросы о непрерывных аппроксимациях разрывных монотонных характеристик разрывных систем с последействием однопараметрическими семействами непрерывных функций. Получены оценки близости решений исходных и аппроксимирующих систем функционально-дифференциальных уравнений, что позволяет использовать хорошо известные схемы численных методов для функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

5. Доказаны теоремы о (слабой) устойчивости и (слабой) асимптотической устойчивости для функционально-дифференциальных включений с использованием инвариантной дифференцируемое™ функционалов Ляпунова. Преимущество данного подхода заключается в том, что при вычислении производных функционалов Ляпунова вдоль решений не требуется знать самих решений. В то же время достаточно широкий класс функционалов обладает свойством инвариантной дифференцируемости.

6. Доказан аналог принципа инвариантности Ла-Салля в автономном случае.

7. При исследовании вопросов устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью обоснован переход к исследованию этих вопросов для функционально-дифференциальных включений.

8. Исследованы вопросы стабилизации и быстродействия с использованием разрывных обратных связей, оптимальных по отношению к демпфированию инвариантно-дифференцируемых функционалов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сурков, Александр Владимирович, 2008 год

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматулина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений: Методы и приложения. - Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000.

2. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. I, II. // Автоматика и телемех. 1974. №7. С. 33-47; №8. С. 39-61.

3. Ананьев Б.И. Теорема существования для дифференциального включения с переменным запаздыванием. // Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 11. №7. С. 1153-1158.

4. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. К теории релейных дифференциальных уравнений. // Изв. ВУЗов, сер. математика. 1962. №1. С. 3-13.

5. Боднер В.А. Оператор и летательный аппарат. М.: Машиностроение, 1976.

6. Боднер В А., Закиров P.A., Смирнова И. И. Авиационные тренажеры. М.: Машиностроение, 1973.

7. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д. Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: КомКнига, 2005.

8. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Многозначные отображения. // Итоги науки и техники. Серия Математический анализ. 1981. Т. 19. С. 127-231.

9. Волтерра В. Математическая теория больбы за существование. -М.: Наука. 1976.

10. Гурецкий X. Анализ и ситез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974.

11. Дочев Д. Т., Байданов Д.Д. О существовании решений одного класса многозначных дифференциальных уравнений. // Украинский математический журнал. 1978. Т.ЗО. №5. С. 659-664.

12. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

13. Зубов В. И. Теория уравнения управляемого движения. Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1980.

14. Канторович, Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

15. Красовский H.H. О применении второго метода A.M. Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. Вып. 3. С. 315-327.

16. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения М.: Гостехиздат, 1959.

17. Ким A.B. i-Гладкий анализ и функционально дифференциальные уравнения. Екатеринбург: УрО РАН, 1996.

18. Ким A.B., Пименов В. Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004.

19. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966.

20. Куржанский A.B. О существовании решений уравнений с последействием. // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, №10. С. 1800-1809.

21. Колмтювекий В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

22. Матросов В .М. Метод векторых функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физма.тлит, 2001.

23. Мышкис А Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. // Успехи мат. наук. 1949. Т. 4. выи. 5. С 99-141.

24. Мышкис А.Д. О решениях линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка периодического типа с запаздывающим аргументом. // Матем. Сб. 1951. 28 /70/. № 1. С. 15 -54.

25. Мышкис А.Д., Эсгольц Л.Э. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. // Успехи матем. наук. 1967. 22. № 2 /134/. С. 21 - 57.

26. Мышкис АД. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

27. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.

28. От,акулов С. О дифференциальных уравнениях с многозначной правой частью. // Вопросы вычислительной и прикладной математики. 1978. Вып. 52. С. 12-21.

29. Первозвапский А. А. Математические маодели в управлении производством. М.: Наука, 1975.

30. Плетнев Г. П. Автоматическое регулирование и защита теплоэнергетических установок электрических станций. М.: Эрегния, 1970.

31. Поволоцкий А.PL, Ганго Е.А. О дифференциальных уравнениях с многозначной правой частью с запаздывающим аргументом. // Ученые записки ЛГПИ, сер. алгебра и анализ. 1972. Т. 496. Вып. 2. С. 281-293.

32. Ротач В. Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования. М.: Энергия, 1973.

33. Руш М., А бет с ПЛалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

34. Сурков A.B. Об устойчивости и слабой устойчивости функционально-дифференциальных включений частью // Известия Института Математики и Информатики. Ижевск. 2006. Вып. 3(37). С. 149-150.

35. Сурков A.B. Об однозначной определенности «скользящих режимов» систем управления с последействием. // Материалы международного симпозиума "Обобщенные решения в задачах управления". Улан-Удэ. 2006.

36. Сурков A.B. Метод Эйлера для функционально-дифференциальных уравнений. // Труды IX Международной Четаевской конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Иркутск. 2007. Т. 5. С. 218-223.

37. Сурков A.B. Об устойчивости функционально-дифференциальных влючений с использованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова. // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. Ш. С. 1055-1063.

38. Сурков A.B. О функционально-дифференциальных уравнениях с разрывной правой частью. // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. №2. С. 278-281.

39. Сурков A.B., Финогенко И.А. Об аппроксимациях регулируемых систем с разрывными монотонными характеристиками // Оптимизация, управление, интеллект. 2004. Т. 7. С. 40-52.

40. Сурков A.B., Финогенко И.А. О стабилизации функционально-дифференциальных включений // Материалы всероссийской конф. с меж дун ар. участием "Математика, ее приложения и математическое образование". Улан-Удэ. 2005. С. 206-212.

41. Толстоногое A.A., Финогенко И.А. О функционально-дифференциальных включениях в банаховом пространтсве с невыпуклой правой частью. // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254. №1. С. 45-49.

42. Трубников Ю.В., Перов А.И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. Минск: Наука и Техника, 1986.

43. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М: Наука, 1981.

44. Фаерман Е. Ю. Проблемы долгосрочного планирования. М.: Наука, 1971.

45. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

46. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. // Матем. сборн. 1960. Т. 51. №1. С. 99-128.

47. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравенния с многозначной разрывной правой частью. // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151. №1. С. 65-68.

48. Филиппов А.Ф. О приближенном вычислении решений обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // Вест. Моск. Ун-та, Сер. 15, Вычисл. Матем. И Киберн. 2001. Ш. С. 150-152.

49. Финогенко И.А. О решениях функционально-дифференциальных включений в банаховом пространстве. // Дифференциальные уравнения, 1982. Т. 18. №11. С. 2001-2002.

50. Финогенко И. А. Об условии правой липшицевости для дифференциальных уравнений с кусочно непрерывными правыми частями. // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 38. № 8. С. 1068-1075.

51. Финогенко И.А. О скользящих режимах регулируемых разрывных систем с последействием. // Известия РАН. Сер. Теория и системы управления. 2004. №4. С. 19-26.

52. Финогснко И.А. О непрерывных аппроксимациях и правосторонних решениях дифференциальных уравнений с кусочно непрерывной правой частью. // Дифференциальные, уравнения. 2005. Т.41. №5. С.647-655.

53. Финогенко И. А. Неявные формы записи разрывных систем // Известия РАЕН. Сер. МММИУ. 2003. Т. 7. № 3-4. С. 5-24.

54. Шигин Е.К. Классификация динамических моделей объектов регулирования химико-технологических процессов. // Автоматика и телемеханика. 1968. №6. С. 145-162.

55. Эрриот П. Регулирование производственных процессов. М.: Энергия, 1976.

56. Эсгольц Л. Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

57. Эльсгольц Л.Э. Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений // Успехи математических наук. 1954. Т. 9. Вып. 4.

58. Хейл Док. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

59. Aubin J.Р., Cellina A. Differential Inclusions. Springer-Verlag Heidelberg, 1984.

60. Dontcheu A, Lempio .F Difference methods for differential inclusions: a survey. // SIAM Review. 1992. V. 34. Issue 2. Pp. 261-279.

61. Driver R. D. Ordinary and Delay Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1977.

62. Janiak T., Luczak-Kumorek E. Kisielewicz M. Existence theorem for functional-differential relations. // Deomnstratio Math. 1979. V.12.

63. Himmelberg C.J. Measurable relations. // Fund. Math. 1975. V. 87. Pp. 53-72.

64. Kikuchi N. On some fundamental theorems of contingent equations connection with the control problems. // Publ. RIMS, Kyoto Univ., ser. A. 1967. V.3. №2. Pp. 177-201.

65. Kisielewicz M., Janiak T. Existence theorem for functional-differential contingent equations. // Ann. Pol. Math. 1977. V. 35. Pp.161-166.

66. Frank Lempio, Vladimir Veliov Discrete approximations of differential inclusions // Bayrcuther Mathematische Schriften. 1998. V. 54. Pp.

67. Minorsky N. Directional Stability and Automatically Steered Bodies. // J. Am. Soc. Nav. Eng. 1922. V. 34. Pp. 280.

68. Minorsky N. Self-excited oscillations in dynamical systems possesing retarded actions. // Journal of Applied Physics 9. 1942. A65—A71.

69. Volterra V. La teoria deifunzionali appiata aifenomcni ereditari // Atti congr.lut.Mat. Bolongna'. 1928. V.l.

70. Wazewsky T. Systèmes de commande et equations au contingent. // Bull. Acad. Pol. Sci., ser. math. 1962. V.10. №1. Pp. 11-15.12. Pp. 411-420.149.232.