Нелинейные явления в электростатических плазменных волнах: обратные волны, потоки частиц, двухтоновые волны и самобиения. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Китаев Илья Николаевич

• Китаев Илья Николаевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Китаев Илья Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Обратные и боковые электростатические волны в плазме

1.1. Введение

1.2. Обратные и боковые ЛВ в нейтрализованном электронном потоке

1.2.1 Вывод дисперсионного уравнения для ЛВ в нейтрализованном электронном потоке

1.2.2 Вычисление угла сноса ЛВ в нейтрализованном электронном потоке

1.3. Обратные и боковые ИЗВ в е/-плазме с однонаправлено движущимися ионами

1.3.1 Линейная теория обратных ИЗВ в е/-плазме с однонаправлено движущимися ионами: одномерная постановка задачи

1.3.2. Линейная теория обратных и боковых ИЗВ в е/-плазме с однонаправлено движущимися ионами: двухмерная постановка задачи

1.3.3. Нелинейная теория обратных и боковых ИЗВ в е/-плазме с однонаправлено движущимися ионами

1.4. Обратные ПАВ в е/^-плазме с однонаправлено движущимися пылинками

1.4.1. Линейная теория обратных ПАВ в е/^-плазме с однонаправлено движущимися пылинками

1.4.2. Нелинейная теория обратных ПАВ в е/^-плазме с однонаправлено движущимися пылинками

1.5. Выводы к главе

ГЛАВА 2. Потоки частиц в нелинейных электростатических плазменных акустических волнах произвольной амплитуды

2.1. Введение

2.2. Ионный поток в нелинейной ИЗВ в е/-плазме с холодными ионами (Модель Сагдеева)

2.3. Ионные потоки в нелинейных ИЗВ в е//-плазме с тёплыми ионами; сепарация ионов в медленной ИЗВ

2.3.1. Линейная теория ИЗВ в е//-плазме с тёплыми ионами

2.3.2. Ионные потоки в нелинейных ИЗВ в е//-плазме с тёплыми ионами и сепарация ионов в медленной ИЗВ

3

2.4. Ионные потоки в медленной сверхнелинейной ИЗВ в eiid- плазма

2.5. Пылевые потоки в нелинейных ПАВ в eid-плазме

2.5.1. Линейная теория ПАВ в eid-плазме

2.5.2. Пылевые потоки в периодической ПАВ и в последовательности ПА-солитонов в eid-плазме

2.6. Выводы к главе

ГЛАВА 3. Двухтоновые нелинейные электростатические волны в квантовой вырожденной плазме

3.1. Введение

3.2. Двухтоновые ЛВ в холодной квантовой плазме

3.2.1. Линейная теория двухтоновых ЛВ в холодной квантовой плазме

3.2.2. Нелинейная теория двухтоновых ЛВ в холодной квантовой плазме

3.3. Двухтоновые ЛВ в тёплой квантовой плазме

3.3.1. Безынтегральная форма уравнения состояния тёплого вырожденного ферми-газа

3.3.2. Нелинейная теория двухтоновых ЛВ в тёплой квантовой плазме

3.4. Двухтоновые ИЗВ в квантовой плазме

3.4.1. Анализ дисперсионных соотношений ИЗВ в классической плазме

3.4.2. Линейная теория двухтоновых ИЗВ в квантовой плазме

3.4.3. Нелинейная теория двухтоновых ИЗВ в квантовой плазме

3.5. Двухтоновые нелинейные продольные волны в квантовой eh-плазме

3.5.1. Линейная теория двухтоновых продольных волн в квантовой eh-плазме

3.5.2. Нелинейная теория двухтоновых продольных волн в квантовой eh-плазме

3.6. Выводы к главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные явления в электростатических плазменных волнах: обратные волны, потоки частиц, двухтоновые волны и самобиения.»

Актуальность работы

Поиск и изучение новых явлений и закономерностей, существующих в нелинейных волновых процессах в плазме и плазмоподобных средах, а также их теоретическое описание представляют собой важную задачу для современной теоретической физики, физики плазмы, радиофизики, астрофизики, физики конденсированного состояния.

К настоящему времени мировое число оригинальных исследований по нелинейным волнам в плазме перевалило за несколько десятков тысяч. Представление о разнообразии и богатстве нелинейных волновых процессов в плазме можно получить, например, из книг [1-5] и обзоров [6-8].

Основные цели диссертационной работы лежат в русле этой важной задачи.

В диссертации рассматриваются только электростатические волны в плазме, такие как электронные плазменные - ленгмюровские волны (ЛВ); ионно-звуковые волны (ИЗВ) и пыле-акустические волны (ПАВ), причем акцент исследований делался на трех мало изученных аспектах этих волн:

- вопрос о существовании и свойствах обратных и боковых электростатических волн в плазме;

- вопрос о существовании и свойствах потоков частиц, переносимых электростатическими волнами;

- вопрос о профилях и характере распространения электростатических волн в квантово-вырожденной плазме.

Обратными волнами (ОВ) называют волны, в которых фазовая и групповая скорости направлены в противоположные стороны, а боковые волны (БВ) - волны, в которых фазовая и групповая скорости направлены под произвольным углом друг к другу. При этом угол между фазовой и групповой скоростями называют углом сноса волны. Значение и области

применения ОВ велики: например, в лампах обратной волны (ЛОВ) в вакуумной СВЧ-электронике [9,10] и в технологиях маскирующих покрытий [11,12]. БВ рассматривали в оптике кристаллов [13]. К началу работы над диссертацией вопрос о существовании ОВ и БВ в плазменных электростатических волнах даже не поднимался.

Свойства потоков частиц, переносимых электростатическими волнами в плазме, к началу работы над диссертацией были исследованы недостаточно. Например, известна работа [14], из которой следует отсутствие электронных потоков в гармонических ЛВ малой амплитуды. Но нелинейные теории ИЗВ и ПАВ, основанные на анализе эволюционных уравнений типа Кортевега-де Вриза (КдВ), давали существование нелинейных потоков частиц в кноидальных волнах и солитонах [15-18]. Однако известно, что эволюционные уравнения являются приближенными и применимы только для волн малой амплитуды, поэтому для волн произвольной амплитуды этот вопрос был открытым.

В последние десятилетия расширился интерес к волновым процессам в квантовой плазме применительно к плазме твердого тела и к плотной плазме компактных астрофизических объектов [19-22]. Как правило, для описания нелинейных волн в квантовой плазме используются уравнения динамики частиц, включающие квантовый член Бома, уравнение состояния вырожденного газа частиц и иногда слагаемое, описывающее обменное взаимодействие. Для решения обычно применялись методы, основанные или на сведении уравнений задачи к приближенному эволюционному уравнению типа КдВ [23], или на анализе псевдопотенциала Сагдеева [24]. Отметим, что квантовый член Бома уничтожает гамильтоновость исходной системы уравнений, поэтому применимость метода Сагдеева в случае квантовой плазмы становится некорректной.

Из указанного выше вытекает необходимость и актуальность

исследований, выполненных в настоящей диссертации.

6

Цели работы

1. Развитие линейной и нелинейной теорий электростатических обратных и боковых ЛВ, ИЗВ и ПАВ в плазме.

2. Развитие нелинейной теории ионных и пылевых потоков, возникающих в нелинейных ИЗВ и ПАВ произвольной амплитуды.

3. Развитие линейной и нелинейной теории ЛВ и ИЗВ в квантовой плазме без учёта обменного взаимодействия и продольных электростатических волн в электронно-дырочной плазме полупроводников с учётом обменного взаимодействия.

Научная новизна исследования

1. Развиты линейные и нелинейные теории электростатических волн в плазме, в которой имеется направленное движение одной из компонент. Впервые обоснована возможность существования в такой плазме электростатических ОВ и БВ. В частности, теоретически показано, что ЛВ в нейтрализованном электронном потоке, ИЗВ в плазме, в которой существует ионный поток, и ПАВ в пылевой плазме, в которой пылинки однонаправлено движутся, могут принимать форму ОВ и БВ. Найдены условия существования ОВ и БВ в указанных волнах. Вычислены профили нелинейных периодических ИЗВ и ПАВ.

2. Развиты нелинейные теории потоков ионов в ИЗВ в многокомпонентных плазмах и пылевых потоков в периодических и солитонных ПАВ путем точного решения уравнений многожидкостной газодинамики плазмы. Впервые показано, что при определенных условиях нелинейные ИЗВ в плазме с двумя сортами ионов могут переносить ионные потоки в противоположные стороны.

3. Развиты линейные и нелинейные теории ЛВ и ИЗВ в квантовой плазме, а также продольных электростатических волн в квантовой полупроводниковой электронно-дырочной плазме. Во всех случаях

7

обнаружены двухтоновый характер волн и явление самобиений. Впервые дана интерпретация причины возникновения эффекта двухтоновости.

Научная и практическая значимость работы

Результаты диссертационного исследования, среди которых обоснование существования электростатических обратных и боковых ЛВ, ИЗВ и ПАВ в плазме, вычисление точных значений ионных и пылевых потоков, переносимых ИЗВ и ПАВ произвольной амплитуды, и физическая интерпретация двухтонового характера и явления самобиений ЛВ и ИЗВ в квантовой плазме, представляют интерес для фундаментальной физики плазмы, радиофизики.

Практическая ценность полученных результатов может заключаться в следующем:

- доказательство существования ИЗВ в форме ОВ открывает принципиальную возможность создания плазменной ЛОВ ионно-звукового типа;

- обоснование возникновения контр-направленных потоков ионов в ИЗВ в плазме с двумя сортами ионов даёт принципиальную возможность новой ИЗВ-технологии масс-сепарации ионов в плазме;

- установление двухтонового характера электростатических волн и явления самобиений в квантовой плазме открывает перспективу новых полупроводниковых волновых приборов.

Достоверность результатов

Достоверность результатов диссертационной работы подтверждается корректностью использованных аналитических методов и их численной реализации, обеспечивается использованием и модификацией широко известных, надежно зарекомендовавших себя постановок исходных задач, а

также положительными рецензиями на статьи, опубликованными в ведущих российских и зарубежных журналах.

Основные положения, выносимые на защиту

1 . Рассчитаны нелинейные профили и групповые скорости обратных и боковых волн, в виде которых ленгмюровские, ионно-звуковые и пыле-акустические возмущения могут распространяться при определенных, теоретически вычисленных условиях.

2. Вычислены потоки ионов и пылевой поток, которые могут переноситься нелинейными периодическими и солитонными ионно-звуковыми и пыле-акустическими волнами произвольной амплитуды. Теоретически доказано, что одна из мод ионно-звуковой волны в плазме с двумя сортами ионов может переносить потоки ионов в противоположные стороны.

3. Теоретически доказано, что в квантовой плазме ленгмюровские и ионно-звуковые волны могут существовать в двухтоновой форме.

Личный вклад автора

Все результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором. Им был осуществлен математический вывод и анализ всех формул, построение графиков. Постановка задач, обсуждение методов их решения и интерпретация полученных результатов проведены совместно с научным руководителем.

Апробация работы

Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на научных семинарах РФЯЦ ВНИИЭФ и ИКИ РАН и научных конференциях: 1. 21 научная конференция «Нижегородская сессия молодых учёных», май 2016 г., п. Морозовский, Нижегородская обл.

2. 22 научная конференция «Нижегородская сессия молодых учёных», май

2017 г., п. Морозовский, Нижегородская обл.

3. 16 научно-техническая конференция «Молодёжь в науке», октябрь 2017 г., г. Саров, Нижегородская обл.

4. 17 научно-техническая конференция «Молодёжь в науке», октябрь 2018 г., г. Саров, Нижегородская обл.

5. 20 международная конференция «Харитоновские научные чтения», март

2018 г., г. Саров, Нижегородская обл.

Публикации

Результаты исследований изложены в 14 публикациях в научных журналах, включенных в список ВАК и/или входящих в мировые индексы цитирования (SCOPUS, Web of Science).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 155 страниц с 53 рисунками. Список литературы содержит 184 наименования.

Благодарность

Автор диссертации выражает глубокую признательность и искреннюю благодарность своему научному руководителю, главному научному сотруднику ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», доктору физико-математических наук Дубинову Александру Евгеньевичу за постоянное внимание к работам автора диссертации, консультации, научное руководство и помощь в определении направления научных исследований, положенных в основу диссертации.

Диссертационная работа была поддержана фондом развития теоретической физики и математики "Базис" с 2019 по 2023 гг. (грант № 191-5-58-1 для аспирантов).

ГЛАВА 1. Обратные и боковые электростатические волны в

плазме

1.1. Введение

ОВ называют волны, в которых фазовая и групповая скорости направлены в противоположные стороны, а БВ - волны, в которых угол между фазовой и групповой скоростями является тупым.

Количество примеров успешного применения ОВ и БВ неуклонно растёт [9-10,12,25-30]. В работе [26] была поставлена задача поиска материалов, в которых могли бы распространяться электромагнитные ОВ. В природе до сих пор не нашлось сред или материалов, в которых бы они могли распространяться. Решение задачи создания таких сред пришло с созданием новых технологий метаматериалов [11,31-32], которые представляют собой композиты, состоящие из периодического множества одинаковых или иногда неодинаковых проволочных элементов - метаатомов. В [33] утверждается, что среды, о которых известно, что в них могут распространяться акустические или оптические ОВ с тупым углом между направлениями фазовой и групповой скоростей, - только искусственные.

В [26] затрагивался вопрос о существовании ОВ в плазме. И действительно, плазма обладает большим числом волновых степеней свободы, и поэтому найти ОВ среди плазменных волн оказалось несложно: известно, например, что ионные и электронные бернштейновские моды в замагниченной плазме [34-38] имеют в своем спектре диапазоны длин волн, на которых волна имеет отрицательную групповую скорость при положительной фазовой. Однако, к началу работы над диссертацией возможность существования ОВ для других типов плазменных волн, и в частности, для электростатических волн, в литературе не рассматривалась.

В данной главе исследован вопрос о существовании и свойствах электростатических ОВ и БВ в плазме. Излагаемая здесь идея основана на специально подобранном направленном течении одной из фракций плазмы. В качестве объектов исследования выбраны электростатические плазменные волны: ЛВ, ИЗВ и ПАВ.

ЛВ в электронном потоке, движущемся в ионном фоне, который нейтрализует невозмущенный пространственный заряд потока, исследуются уже много лет, начиная с давних работ [39-45] и до работ последнего времени [46-51]. Эти исследования имеют значение, как для фундаментальной физики плазмы, так и при создании плазменно-пучковых СВЧ-генераторов.

ПАВ в плазме были предсказаны в [52]. Первые экспериментальные наблюдения ПАВ были осуществлены в [53-56]. Впоследствии для них экспериментально измерялись дисперсионные соотношения [57-59], исследовались ПАВ в условиях невесомости на международной космической станции [60-62], наблюдалась дифракция ПАВ на преграде [63]. Нелинейная теория и эксперименты с ПАВ описаны в многочисленных статьях [7,64-65]. Были теоретически и экспериментально изучены следующие формы ПАВ: периодические ПАВ [66-67], ударные ПАВ [68-70], ПА-солитоны [52, 7172], ПА-суперсолитоны [73], ПА rogue waves [74-77], цилиндрические и сферические ПА-солитоны [78-80], ПА-вихри [81]. Рассматривались также характеристики ПАВ в плазме с различными энергетическими распределениями лёгких частиц [82-85].

Недавно был представлен обзор исследований ПАВ за 25-летний период после их открытия [86], в котором отмечено значение ПАВ для фундаментальной физики плазмы, для понимания природных явлений в космосе, таких как планетарные кольца [87], ионосфера Земли и планет [8889], хвосты комет [68,90], и в прикладных исследованиях, например,

агломерации твердых микрочастиц в процессах плазменных технологий.

12

Линейные и нелинейные ИЗВ в плазме с ионным потоком рассматривались ранее в статьях [91-95]. Направленное течение заряженной пыли сквозь плазму также имеет место в различных экспериментах [96-97] и в космических условиях [98-99].

1.2. Обратные и боковые ЛВ в нейтрализованном электронном потоке

1.2.1 Вывод дисперсионного уравнения для ЛВ в нейтрализованном

электронном потоке

Большинство теоретических исследований ЛВ в [39-51] касались волн, распространяющихся только параллельно оси по ходу или против хода электронного потока. Однако электронный поток в компенсирующем ионном фоне представляет собой анизотропную среду. Поэтому необходимо, по меньшей мере, двумерное рассмотрение ЛВ, охватывающее волны, распространяющиеся вдоль направления движения потока, перпендикулярно потоку, а также под некоторым произвольным углом к нему.

Пусть сквозь неподвижный ионный фон бесстолкновительным образом проходит тепловой электронный поток со скоростью иде и температурой Те. Будем считать, что электронный газ в потоке подчиняется уравнению состояния идеального газа:

Ре = пекВТе, С1.1)

где ре - тепловое давление электронного газа, пе - его концентрация, кв -

постоянная Больцмана. Запишем систему уравнений, описывающих динамику электронов в волне:

дпс

дЬ

е +У-(пе^е )= 0; (1.2)

+ (V еУ^ е = ±- Уре; (1.3)

дЬ те тепе

Аф = 4^е(пе - п01) (1.4)

относительно неизвестных концентрации пе, скорости электронов Vе и электростатического потенциала ф. В (1.2)-(1.4) используются обозначения: е и те - заряд и масса электрона, Щ1 - постоянная концентрация положительных ионов.

Запишем систему уравнений (1.2)-(1.4) в двумерной координатной форме, считая, что скорость электронного потока направлена вдоль оси 0х.

дпе , °(пеУех) , °(перуе )= 0 . (1 5)

дЬ дх ду

Оиех + г д^ех + ^ З^ех = _^дф_М^Юпе. пб)

л < ех ^ еу л л л ' V * /

дЬ дх ду те дх те пе дх

°°еу °°еу °°еу е Зф квТе 1 дпе - + уех-- + уеу-- =----е ; (1.7)

Л I С Л л С I/ л л ^ V /

дЬ дх ду те ду те пе ду

д ф 3 ф . / ч

—+ —= 4пе(пе - п0г).

2, 2= 4^е(пе - п01). (1.8)

Зх ду

Придадим системе (1.5) - (1.8) малое волновое возмущение с частотой ю и волновым вектором к = кх1 + ку ]:

пе = пое + ~е ехр[1 (кг - ю Ь)]; (1.9)

ve = ^0е + ~е ехР[1 (кг-юЬ)]; (110)

ф = ф ехр[1 (кг -юЬ)], (111)

Затем перепишем возмущение в координатном представлении с малыми амплитудами ~е, ~ех, ~еу и ф:

пе = п0е + ~е ехР

1(ккхх + куУ - юЬ) ]

Ъех = ^0е + ~ех ехР

I(кхх + куУ - юЬ) ]

Ъеу = ~еу ехр[1 (кхх + куУ - юЬ) ]

Ф = ф ехр

1 (кхх + куУ -юЬ) ] ,

(1.12) (1.13) (114) (1.15)

где пде - невозмущенная концентрация электронов, I - мнимая единица.

Подставляя (1.12) - (1.15) в (1.5) - (1.8), после стандартной процедуры линеаризации получаем дисперсионное уравнения для ЛВ

ю(кх / ку ) = кх^0е + юред/1 + }ЧЭе (к? + ^ ).

(116)

В полученном дисперсионном уравнении использованы стандартные обозначения: электронной длины Дебая

^ Ве =

кВТе

2

4пе п0е

(1.17)

и электронной плазменной частоты

ю

ре

\

2

4пе п0е

(118)

Дисперсионное уравнение (1.16) представляет собой уравнение поверхности в пространстве с координатами {ю; кх; ку}. В простейшем

случае нулевого потока электронов (У0е = 0) уравнение определяет поверхность вращения относительно оси 0ю, которая показана на Рис. 1.1а.

Рис. 1.1. Дисперсионные поверхности для ЛВ в декартовых координатах {кх, ку, ш} :

а) при и0е = 0; б) при и0е ф 0.

При ф 0 дисперсионная поверхность не имеет осевой симметрии и наклонена в сторону против направленного движения электронов в потоке. Например, если иое < 0 поверхность наклонена в положительном направлении оси 0кх (Рис. 1.1 б). При этом нижняя точка поверхности также смещается в положительном направлении оси 0кх.

Как происходит наклон и смещается нижняя точка, показано на проекции дисперсионной поверхности на плоскость {ю; кх} (Рис. 1.2). Видно, что на некотором участке оси 0кх появляется отрицательная дисперсия, доказывающая существование обратной ЛВ.

1.2.2 Вычисление угла сноса ЛВ в нейтрализованном электронном

потоке

Вычислим угол сноса ЛВ. Известны общие выражения для фазовой и групповой скоростей [13,100]:

vph = ю и vят = = £>Ха&к ю . (119)

Угол сноса у между векторами V^ и Vgr, можно найти из их скалярного произведения:

(у рН v )

cos у =

vphvgr

(1.20)

причем, если cos у < 0, то угол сноса у является тупым и имеет место БВ, а если cosу> 0, то угол сноса - острый. Наконец, если cosу = -1, то реализуется обратная волна.

Приведем некоторые результаты вычислений. Выражение для фазовой скорости:

1 г- ^IDfc- "2

vph =

22

k2 + k2

kxv0e + ®pe^/1 + }2Oe + k2 ) (kx1 + kyj),

(1.21)

и выражение для групповой скорости:

v

gr

v0 e +

®pekx "2

,2

^ ®peky ^De

д/1 + ^De (kX + кУ )

(1.22)

где 1 и ] - единичные векторы в плоскости {кх, ку}.

Подставляя (1.21) и (1.22) в (1.20), получим выражение для косинуса угла сноса. Его численный анализ позволяет сделать вывод о том, что обратные и боковые ЛВ существуют в электронном потоке.

На рис. и 1.3б представлены области на плоскости {кх; ку},

границы которых соответствуют прямой (у = 0), боковой (у = л/2), и обратной (у = л) ЛВ. Эти границы находятся посредством решения

уравнений cos у = 1;0;-1 соответственно.

Рис. 1.3. Области в плоскости {кх,ку}, в которых угол сноса ЛВ у является тупым: а) при и0е = -0.95иТе ; при б) У0е = -1.2уте. Области тупых углов закрашены.

Представлены решения для двух случаев: скорость направленного движения электронов по модулю меньше, чем их тепловая скорость У0е = -0.95у>те (рис. 1.3а) и наоборот, больше тепловой скорости у>0е = -1.2уте (рис. 1.3б). Угол сноса у не определен для точек А и В, так как = для точки А и

УрЬ = 0 для точки В. Во всех остальных точках плоскости {кх;ку} угол

сноса либо тупой, либо острый, либо прямой.

1.3. Обратные и боковые ИЗВ в ег'-плазме с однонаправлено

движущимися ионами

1.3.1 Линейная теория обратных ИЗВ в ег-плазме с однонаправлено движущимися ионами: одномерная постановка задачи

Рассмотрим бесстолкновительную незамагниченную квазинейтральную е/-плазму, в которой ионы двигаются в одном направлении с одинаковой скоростью упорядоченного движения У0{. Здесь и далее будем для краткости

называть направлением «вперед» направление вдоль оси 0х, а направлением «назад» - против оси 0х. Электроны будем считать безынерционными и распределенными по Больцману:

Такая модель плазмы может описывать, например, солнечный ветер [101], т.е. фактически быть природной средой. Другим примером плазмы, к которой применима данная модель, можно считать плазму с набегающим на приэлектродный слой ионным потоком в соответствии с критерием Бома

с \ еф

(1.23)

[38,102-105].

Будем исходить из следующих уравнений ионной динамики:

—^ + -дЬ дх

(1.24)

ду ди{ е дф 1 др --+ ю-—------;

--г у-—----,

дЬ дх т дх тп дх

+ ю,-

(1.25)

(1.26)

где щ - концентрация ионов, у- - скорость ионов, pi - их газодинамическое давление, mi - масса отдельного иона и считается, что ионы однократно заряжены.

Положим, что ионная фракция плазмы подчиняется уравнению состояния pi = щквТ, причем температура ионного газа Т = const. Представим все неизвестные переменные в исходных уравнениях в виде гармонических функций:

Щ = n0i + ~i exp[l(kx - <t)]; (1.27)

vi = v0i + ~i exp[l(kx -<t)]; (1.28)

Ф = ф exp[l (kx -<t)]. (129)

Подставим (1.27) - (1.29) в уравнения (1.24) - (1.26). После линеаризации получим дисперсионное соотношение для ИЗВ в неявной канонической форме записи:

1 = т-У1 2 2 2 (1.30)

(ю-kvoi) -<pilDik к XDe

или в форме, разрешенной относительно частоты ю,

<(k) = ю

pi-

k 2

2-=Г + ^Dik2 + kvoi. (1.31)

k + *De

В (1.30), (1.31) и далее используются обозначения для ионной длины Дебая

* Dr =J-^Br- (1.32)

te noi

и для ионной плазменной частоты

2

<V=J . (1.33)

Для плазмы с неподвижными ионами, т.е. при Уо{ = 0, уравнения (1.30) и (1.31) принимают вид дисперсионного соотношения для ионного звука, известный из классических учебников по физике плазмы, а график зависимости ю( к) (кривая 1 на рис. 1.4а, б) будет симметричен относительно вертикальной оси.

Рис. 1.4. Дисперсионные кривые для ИЗВ (везде кривая 1 - для плазмы с неподвижными

ионами; кривая 2 - для плазмы с ионным потоком; дугообразные стрелки показывают направления поворота кривых, врезки показывают изменение линейных ионно-звуковых скоростей при повороте): а) - при V2> 1 > V; б) - при |^ог-1 > ^2 .

Обе ветви этого графика имеют по три характерных для ИЗВ участка [106-107]: длинноволновый участок с линейным ионным звуком с ионно-звуковой скоростью

1- Ю 1- а© /72 Л2 ^ „„ч

с5 = 11Ш - = 11т — = 1Пе + , (1.34)

к к как г \ и1

далее следует средневолновой участок с меньшим наклоном, соответствующий ионно-плазменным колебаниям, и коротковолновый «тепловой участок» с сильным затуханием по механизму Ландау. Симметричное расположение ветвей и знак ± в (1.34) означает одинаковый характер распространении волны вперед и назад.

Если же теперь положить Уо1 ^ 0 (для определенности мы приняли, что упорядоченное движение ионов направлено назад, т.е. vоi < 0), то кривая 1

повернется относительно начала координат по часовой стрелке на угол, тангенс которого равен ^, и займет место кривой 2 (рис. 1.4а, б). При этом симметрия графика относительно вертикальной оси теряется, а значения линейных ионно-звуковых скоростей становятся разными для направлений вперед и назад:

С5 =±Юр^У?Ое + + ^. (1.35)

Для значений скорости упорядоченного движения из диапазона V2> > V с границами

V1 = 4©р/

5(5л/45 + 3 + 28 +1

(1.36)

^ (л/48 + 3 + 28)3 ' где введён безразмерный параметр 8 = X.

1/2 =©р- , (1.37)

угол поворота будет таков, что на правой ветви дисперсионной кривой 2, которая соответствует движению волны вперед, появится спадающий участок (рис. 1.4а). На этом участке групповая скорость направлена назад. Наличие такого участка свидетельствует о том, что на нем реализуется ОВ.

Для ещё больших значений скорости удг-, когда выполняется |удг-1 > У2,

угол поворота будет достаточным для пересечения правой ветвью кривой 2 горизонтальной оси (рис. 1.4б). Это соответствует тому, что для длинноволнового участка, на котором частота положительна, реализуется ОВ, а для коротковолнового участка, где частота отрицательна - реализуется прямая волна с сонаправленными назад скоростями и V^г.

Значения граничных скоростей У\ и (1.36) и (1.37) находятся следующим образом: У\ есть минимальный тангенс угла наклона касательной к кривой 1 на рис. 1.4а, б, а У2 есть тангенс угла наклона коротковолновой асимптоты кривой 1.

Таким образом, при некоторых значениях скорости упорядоченного движения уд1 может быть реализована обратная ИЗВ.

Следует, однако, обратить внимание на то, что ОВ в плазме с ионным потоком всегда являются однонаправленными с фазовой скоростью против потока ионов.

1.3.2. Линейная теория обратных и боковых ИЗВ в ^г-плазме с однонаправлено движущимися ионами: двухмерная постановка задачи

Обобщим результаты, полученные в предыдущем разделе, на двухмерный случай. Геометрия задачи представлена на рис. 1. 5.

Запишем векторные уравнения, описывающие динамику ионов в волне:

dt

+ V(n - ) = 0; (1.38)

л -л

d-i + (vi-V)vi = V9--Vpi; (1.39)

dt mi mini

Лф = 4ne(ne - ni). (1.40)

В двумерной геометрии уравнения (1.38) - (1.40) можно записать в скалярном координатном виде. Выберем систему координат так, чтобы ионный поток был направлен вдоль оси 0x:

dni I d(nivxi) , d(niVy )= 0. (141)

dt dx dy

IX- | ^^. IX- | ^^. IX- __ Ф

kBTi 1 dni

^ I ix ^ iy ^ л ^ ' \ ' J

dt dx dy mi dx mi ni dx

dviy dviy dviy e 5ф kBTi 1 dni ,,

—- + vix—- + viy—- _-----1; (1.43)

/-Ч . ix ^ iy ^ ^

dt dx dy mi dy mi ni dy

d2 d2

—ф + —ф _ 4*e(ne _ ni). (1.44)

dx dy

Положим, что все неизвестные физические величины в исходных уравнениях имеют форму гармонических функций:

Щ = п01 + ~ ехр[1(кг- юt)]; (1.45)

vi = v0i•+ехр[1 (кг )]; (1 46)

Ф = ф ехр[1 (кг -юt)], (1.47) что можно переписать в координатном представлении:

Щ = Щ01 + ~ ехр[ 1(кхх + куу - ©)]; (1.48)

Щх = Щ0« + ~х ехР[ 1(кхх + куУ - Ю0]; (1.49)

Щу = ~у ехр[ 1(кхХ + куу - ю^)]; (1.50)

Ф = ф ехр[ 1(кхх + куу -ю^] . (1.51)

Подставим (1.48) - (1.51) в систему уравнений (1.41) - (1.44).

Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости и выше, получим дисперсионное соотношение для ИЗВ.

ю 2 к2 + к2 + X гь

Р _ х у ие ^ ^^

(ю-^)2 (к,2 + )Ц + Х2и(к.2 + + ))

Соотношение (1.52) удобно анализировать, переписав его в явной форме:

©(кх / ку )=Юр«

х у ГТ + Х"Ъг (к? + к2) + У0«кх. (1.53)

кх + ку + ХОе

Зависимость (1.53) задает в декартовых координатах {кх, ку, ю}

дисперсионную поверхность (рис. 1.6а, б). При ^0« = 0 она имеет вид поверхности вращения вокруг оси 0ю (рис. 1.6а).

Рис. 1.6. Дисперсионные поверхности для ИЗВ в декартовых координатах {кх, ку, ш} :

а) при = 0; б) при У0г ф 0.

При voi ф 0 дисперсионная поверхность не имеет осевой симметрии и наклонена в сторону против направленного движения ионов. Например, если Уо{ < 0 поверхность наклонена в положительном направлении оси 0кх (рис. 1.6б). При достаточном угле наклона на поверхности возникает локальная впадина, в окрестности которой ИЗВ может принимать форму ОВ или БВ. Приведем выражения для V ^ и V , полученные с помощью (1.19):

у рк

к

х

2 2 кх + к2

ш

рг.

22

Х У + АГ»г (к2 + кУ )+ у0гк

2 2 — 2

к2 + ку +

х

1+

к

+

У

2 2 кх + к2

ю

рг-

22

Х У + (к2 + кУ )+ у0гк

2 2 2 к2 + к}/ + ^ Вв

х

];

(1.54)

V ^ = <

ю

рг

к, ч2в

(к2 + к2 + А, ¿в)2

+ кх Ь2гн

2 2

,2 Л+ ,2-2 + + к2)

кх + ку + А ¿в

+ ^ог

+

юрг

+ ■

ку ^Вв

/ 2 2 -2 + кУ%2Вг (кх + ку + )

1

2 2 к2 + ку

2 2 2 кхт + ку + ^ Вв

+АВ>< (к2 + к2)

(1.55)

Вычислим угол сноса у по формуле (1.20) и найдем области на плоскости {кх, ку}, где у является тупым.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Китаев Илья Николаевич, 2024 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Davidson R.C. Methods in nonlinear plasma theory // NY and London: Academic press, 356 p. (1972).

2. Kono M., Skoric M.M. Nonlinear physics of plasmas // NY: Springer, 552 p. (2010). DOI: 10.1007/978-3-642-14694-7

3. Медведев Ю.В. Нелинейные явления при распадах разрывов в разреженной плазме // М.: Физматлит, 343 c. (2012).

4. Цытович В.Н. Нелинейные эффекты в плазме // М.: Наука, 286 c. (1967).

5. Vladimirov S.V., Tsytovich V.N., Popel S.I., Khakimov F.Kh. Modulation interactions in plasmas // Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 543 p. (1995).

6. Веденов А.А., Велихов Е.П., Сагдеев Р.З. Нелинейные колебания разреженной плазмы // Ядерный синтез, Т. 1. вып. 2, c. 82-100 (1961).

7. Shukla P.K., Mamun A.A. Solitons, shocks and vortices in dusty plasmas // New J. Phys., V.5. pp. 17.1-17.37 (2003). D0I:10.1088/1367-2630/5/1/317

8. Dubinov A.E., Kolotkov D.Yu. Above the weak nonlinearity: super-nonlinear waves in astrophysical and laboratory plasmas // Rev. Mod. Plasma Phys., V.2, no. 2, pp. 1-48 (2018). DOI: 10.1007/s41614-018-0014-9

9. Гершензон Е.М., Голант М.Б., Негирев А.А. Савельев В.С. Лампы обратной волны миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов волн // под ред. Н. Д. Девяткова // М.: Радио и связь, 136 с. (1985).

10. Abubakirov E.B., Denisenko A.N., Fuks M.I., Kolganov N.G., Kovalev N.F., Petelin M.I., Savelyev A.V., Schamiloglu E., Soluyanov E.I., Yastrebov V.V. An X-band gigawatt amplifier // IEEE Trans. Plasma Sci., V. 30, no. 3, pp. 10411052 (2002). DOI: 10.1109/TPS.2002.801601

11. Capolino F. Applications of Metamaterials // Boca Raton-London-NY: CRC Press, Taylor & Francis Group, 762 p. (2009). DOI: 10.1201/9781420054248

12. Дубинов А.Е., Мытарева Л.А. Маскировка материальных тел методом волнового обтекания // УФН, Т. 180, вып. 5, с. 475-501 (2010). DOI: 10.3367/UFNr.0180.201005b.0475

13. Агранович В.М., Гинзбург В.Л. Кристаллооптика с учётом пространственной дисперсии и теории экситонов // М.: Наука, 432 с. (1965).

14. Бухман Н.С. О магнитном поле ленгмюровских колебаний // ЖТФ, Т. 67, вып. 6, с. 140-141 (1997).

15. Tiwari R.S., Jain S.L., Chawla J.K. Ion acoustic cnoidal waves and associated nonlinear ion flux in a warm ion plasma // Phys. Plasmas, V. 14, no. 2, pp. 022106-1-9 (2007). DOI: 10.1063/1.2424428

16. Прудских В.В. Ионно-звуковые кноидальные волны в пылевой плазме с критической плотностью пыли // Физика плазмы, Т. 35, № 8, c. 709-715 (2009). [Prudskikh V.V. Ion acoustic cnoidal waves in a dusty plasma with a critical dust density // Plasma Phys. Rep., V. 35, pp. 651-657, (2009). DOI: 10.1134/S1063780X09080054]

17. Jain S.L., Tiwari R.S., Mishra M.K. Ion-acoustic cnoidal wave and associated non-linear ion flux in dusty plasma // Phys. Plasmas, V. 19, no. 10, pp. 103702-1-12 (2012). DOI: 10.1063/1.4757222

18. Трухачев Ф.М., Васильев М.М., Петров О.Ф. Солитонные токи (обзор) // Теплофизика высоких температур, Т. 58, № 4, c. 563-583 (2020). DOI: 10.31857/S0040364420040158

19. Haas F. Quantum Plasma. A Hydrodynamic Approach // NY: Springer, 221 p. (2011).

20. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. О квантовом описании линейных кинетических свойств бесстолкновительной плазмы // УФН, Т. 169, вып. 6, c. 687-689 (1999). DOI: 10.3367/UFNr.0169.199906g.0687

21. Shukla P.K., Eliasson B. Colloquium: Nonlinear collective interactions in quantum plasmas with degenerate electron fluids // Rev. Mod. Phys., V. 83, no. 3, pp. 885-906 (2011). DOI: 10.1103/RevModPhys.83.885

137

22. Haas F., Mahmood Sh. Linear and nonlinear waves in quantum plasmas with arbitrary degeneracy of electrons // Reviews of modern plasma physics, V. 6, no. 7. pp. 1-40 (2022). DOI: 10.1007/s41614-022-00068-2

23. Haas F., Garcia L.G., Goedert J., Manfredi G. Quantum Ion-Acoustic Waves // Phys. Plasmas, V. 10, no. 10, pp. 3858-3866 (2003). DOI: https://doi.org/10.1063/L1609446

24. Tribeche M., Ghebache S., Aoutou K., Zerguini T.H. Arbitrary Amplitude Quantum Ion-Acoustic Solitary Waves // Phys. Plasmas, V. 15, no. 3. pp. 0337021-7 (2008). DOI: 10.3367/UFNr.0073.196104h.0701

25. Блиох К.Ю., Блиох Ю.П. Что такое левые среды и чем они интересны? // УФН, Т. 174, вып. 4, с. 439-447 (2004). DOI: 10.3367/UFNr.0174.200404j.0439 [Bliokh K.Yu., Bliokh Yu.P. What are the left-handed media and what is interesting about them? // Phys. Usp., V. 47, iss. 4, pp. 393-400 (2004). DOI: 10.1070/PU2004v047n04ABEH0017281

26. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и ^ // УФН, Т. 92, вып. 3, с. 517-526 (1967). DOI: 10.3367/UFNr.0092.196707d.0517 [Veselago V.G. The electrodynamics of substance with simultaneously negative values е and ^ // Sov. Phys. Usp., V. 10, iss. 4, pp. 509-514 (1968). DOI: 10.1070/PU1968v010n04ABEH0036991

27. Pendry J.B. Negative Refraction Makes a Perfect Lens // Phys. Rev. Lett., V. 85, iss. 18, pp. 3966-3969 (2000). DOI: 10.1103/PhysRevLett.85.3966

28. Pendry J.B. Perfect cylindrical lenses // Opt. Expr., V. 11, iss. 7, pp. 755760 (2003). DOI: 10.1364/QE.11.000755

29. Fang N., Zhang X. Imaging properties of a metamaterial superlens // Appl. Phys. Lett., V. 82, iss. 2, pp. 161-163 (2003). DOI: 10.1063/1.1536712

30. Ingrey P.S., Hopcraft K.I., French O., Jakeman E. Perfect lens with not so perfect boundaries // Opt. Lett., V. 34, iss. 7, pp. 1015-1017 (2009). DOI: 1Q.1364/OL.34.001015

31. Cai W., Shalaev V. Optical Metamaterials // NY-Dordrecht-Heidelberg-London: Springer, 197 p. (2010). DOI: 10.1007/978-1-4419-1151-3

32. Cui T.J., Smith D.R., Liu R. Metamaterials // NY-Dordrecht-Heidelberg-London: Springer, 367 p. (2010).

33. Буров В.А., Волошинов В.Б., Дмитриев К.В., Поликарпова Н.В. Акустические волны в метаматериалах, кристаллах и структурах с аномальным преломлением // УФН, Т. 181, вып. 11, с. 1205-1211 (2011). DOI: 10.3367/UFNr.0181.201111i.1205 [Burov V.A., Voloshinov V.B., Dmitriev K.V., Polikarpova N.V. Acoustic waves in metamaterials, crystals, and anomalously refracting structures // Phys. Usp., V. 54, iss. 11, pp. 1165-1170 (2011). DOI: 10.3367/UFNr.0181.201111i.1205]

34. Crawford F.W., Tataronis J.A. Absolute instabilities of perpendicularly cyclotron harmonic plasma waves // J. Appl. Phys., V. 36, iss. 9, pp. 2930-2934 (1965). DOI: 10.1063/1.1714609

35. Ault E.R., Ikezi H. Propagation of ion cyclotron harmonic waves // Phys. Fluids, V. 13, iss. 11, p. 2874-2876 (1970). DOI: 10.1063/1.1692875

36. Schmitt J.P.M. Dispersion and cyclotron damping of pure ion Bernstein waves // Phys. Rev. Lett., V. 31, iss. 16, pp. 982-986 (1973). DOI: 10.1103/PhysRevLett.31.982

37. Goree J., Ono M., Wong K.L. Observation of the backward electrostatic ion-cyclotron wave // Phys. Fluids, V. 28, iss. 9, pp. 2845-2847 (1985). DOI: 10.1063/1.865204

38. Chen F.F. Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion // NY: Plenum Press, 421 p. (1984). DOI: 10.1007/978-3-319-22309-4. [Чен Ф. Введение в физику плазмы // М.: Мир, 399 c. (1987).]

39. Ramo S. Space charge and field waves in an electron beam // Phys. Rev., V. 56, iss. 3. pp. 276-283 (1939). DOI: 10.1103/PhysRev.56.276

40. Pierce J.R. Limiting stable current in electron beams in the presence of ions // J. Appl. Phys., V. 15, no. 10, pp. 721-726 (1944). DOI: 10.1063/1.1707378

139

41. Gammel G., Nation J.A., Read M.E. Slow space-charge wave propagation on a relativistic electron beam // J. Appl. Phys., V. 50, no. 9, pp. 5603-5608 (1979). DOI: 10.1063/1.326755

42. Hofmann I. Simulation of space charge waves in finite length highcurrent beams with wall resistivity // Zeitschrift Naturforschung A, V. 37, no. 8, pp. 939945 (1982). DOI: 10.1515/zna-1982-0828

43. Kuzelev N.V., Rukhadze A.A., Sanadze, G.V. Relativistic charge density waves in high-current neutralized magnetized electron beam // Sov. Phys. JETP, V. 62, no. 5, pp. 921-927 (1985).

44. Wang N.-Q. Chaotic behavior in an electron-beam plasma // Phys. Lett. A, V. 145, no. 1, pp. 29-32 (1990). DOI: 10.1016/0375-9601(90)90271-0

45. Wang J.G., Reiser M. Longitudinal space-charge waves and instabilities in intense beams // Phys. Plasmas, V. 5, no. 5, pp. 2064-2070 (1998). DOI: 10.1063/1.872878

46. Dubinov A.E. Multistream instability of crossed electron beams in a plasma // Tech. Phys., V. 46, no. 5, pp. 518-523 (2001). DOI: 10.1134/1.1372938

47. Tian K., Zou Y., Cui Y., Haber I., Kishek R.A., Reiser M., O'Shea P.G. Experimental observations of longitudinal space-charge waves in intense electron beams // Phys. Rev. ST Accel. Beams, V. 9, p. 014201- 1-7 (2006). DOI: 10.1103/PhysRevSTAB.9.014201

48. Dubinov A.E. Theory of nonlinear space charge waves in neutralized electron flows: Gas-dynamic approach // Plasma Phys. Rep., V. 33, no. 3, pp. 210217 (2007). DOI: 10.1134/S1063780X07030051

49. Elwakil S.A., Zahran M.A., El-Shewy E.K. Nonlinear electronacoustic solitary waves in a relativistic electron-beam plasma system with non-thermal electrons // Phys. Scripta, V. 75, no. 6, pp. 803-808 (2007). DOI: 10.1088/00318949/75/6/010

50. Filatov R.A., Hramov A.E. Simulation of oscillatory processes in a beam-plasma system with a virtual cathode in gas-filled interaction space // Plasma Phys. Rep., V. 37, iss. 5, pp. 395-408 (2011). DOI: 10.1134/S1063780X11040040

51. Bogdankevich I.L., Goncharov P.Y., Gusein-Zade N.G., Ignatov A.M. Nonlinear dynamics of beam-plasma instability in a finite magnetic field // Plasma Phys. Rep., V. 43, no. 6, pp. 648-658 (2017). DOI: 10.1134/S1063780X17060046

52. Rao N.N., Shukla P.K., Yu M.Y. Dust-acoustic waves in dusty plasmas // Planet. Space Sci., V. 38, iss. 4, pp. 543-546 (1990). DOI: 10.1016/0032-0633(90)90147-I

53. Barkan A., Merlino R.L., D'Angelo N. Laboratory observation of the dust-acoustic wave mode // Phys. Plasmas, V. 2, iss. 10, pp. 3563-3565, (1995). DOI: 10.1063/1.871121

54. Prabhakara H.R., Tanna V.L. Trapping of dust and dust acoustic waves in laboratory plasmas // Phys. Plasmas, V. 3, iss. 8, pp. 3176-3181 (1996). DOI: 10.1063/1.871620

55. Pramanik J., Veeresha B.M., Prasad G., Sen A., Kaw P.K. Experimental observation of dust-acoustic wave turbulence // Phys. Lett. A, V. 312, no. 1-2, p. 84-90 (2003). DOI: 10.1016/S0375-9601(03)00614-5

56. Saitou Y. Fluid dispersion relation of dust acoustic wave with ion flow // Phys. Plasmas, V. 28. no. 7, p. 073703 (2021). DOI: 10.1063/5.0054548

57. Pieper J.B., Goree J. Dispersion of plasma dust acoustic waves in the strong-coupling regime // Phys. Rev. Lett., V. 77, iss. 15, pp. 3137-3140 (1996). DOI: 10.1103/PhysRevLett.77.3137

58. Thompson C., Barkan A., D'Angelo N., Merlino R.L. Dust acoustic waves in a direct current glow discharge // Phys. Plasmas, V. 4, iss. 7, pp. 2331-2335 (1997). DOI: 10.1063/1.872238

59. Williams J.D., Snipes E.K. Measurements of the dust temperature in the dispersion relation of the dust acoustic wave // IEEE Trans. Plasma Sci., V. 38, iss. 4, pp. 847-851 (2010). DOI: 10.1109/TPS.2009.2035808

141

60. Yaroshenko V.V., Annaratone B.M., Khrapak S.A., Thomas H.M., Morfill G.E., Fortov V.E., Lipaev A.M., Molotkov V.I., Petrov O.F., Ivanov A.I., Turin M.V. Electrostatic modes in collisional complex plasmas under microgravity conditions // Phys. Rev. E, V. 69, iss. 6, p. 066401 (2004). DOI: 10.1103/PhysRevE.69.066401

61. Schwabe M., Zhdanov S.K., Thomas H.M., Ivlev A.V., Rubin-Zuzic M., Morfill G.E., Molotkov V.I., Lipaev A.M., Fortov V.E., Reiter T. Nonlinear waves externally excited in a complex plasma under microgravity conditions // New J. Phys., V. 10, iss. 3, p. 033037 (2008). DOI: 10.1088/1367-2630/10/3/033037

62. Kumar K., Bandyopadhyay P., Singh S., Arora G., Sen A. Reflection of a dust acoustic solitary wave in a dusty plasma // Phys. Plasmas, V. 28. no. 10. p. 103701 (2021). DOI: 10.1063/5.0060747

63. Kim S.-H., Heinrich J.R., Merlino R.L. Diffraction of dust acoustic waves by a circular cylinder // Phys. Plasmas, V. 15, iss. 9, p. 090701 (2008). DOI: 10.1063/1.2977986

64. Shukla P.K., Eliasson B. Fundamentals of dust-plasma interactions // Rev. Mod. Phys., V. 81, iss. 1, pp. 25-44 (2009). DOI: 10.1103/RevModPhys.81.25

65. Merlino R.L., Heinrich J.R., Kim S.-H., Meyer J.K. Dusty plasmas: experiments on nonlinear dust acoustic waves, shocks and structures // Plasma Phys. Control. Fusion, V. 54, iss. 12, p. 124014 (2012). DOI: 10.1088/07413335/54/12/124014

66. Thomas E., Jr. Measurements of spatially growing dust acoustic waves in a dc glow discharge plasma // Phys. Plasmas, V. 13, iss. 4, p. 042107 (2006). DOI: 10.1063/1.2193540

67. Yadav L.L., Sayal V.K. Obliquely propagating cnoidal waves in a magnetized dusty plasma with variable dust charge // Phys. Plasmas, V. 16, iss. 11, p. 113703 (2009). DOI: 10.1063/1.3255593

68. Naeem I., Ehsan Z., Mirza A.M., Murtaza G. Shocklets in the comet Halley plasma // Phys. Plasmas, V. 27, iss. 4, p. 043703 (2020). DOI: 10.1063/5.0002521

142

69. Heinrich J., Kim S.-H., Merlino R.L. Laboratory observations of self-excited dust acoustic shocks // Phys. Rev. Lett., V. 103, iss. 11, p. 115002 (2009). DOI: 10.1103/PhysRevLett.103.115002

70. Sarma S.K., Boruah A., Nakamura Y., Bailung H. Observation of dust acoustic shock wave in a strongly coupled dusty plasma // Phys. Plasmas, V. 23, iss. 5, p. 053702 (2016). DOI: 10.1063/1.4950832

71. Khaled M.A.H., Shukri M.A., Hager Y.A.A. Dust acoustic solitons in an opposite polarity dusty plasma in the presence of generalized polarization force // Phys. Plasmas, V. 26, iss. 10, p. 103703 (2019). DOI: 10.1063/1.5099928

72. Verheest F. Nonlinear dust-acoustic waves in multispecies dusty plasmas // Planet. Space Sci., V. 40, iss. 1, pp. 1-6, (1992). DOI: 10.1016/0032-0633(92)90145-E

73. Hellberg M.A., Baluku T.K., Verheest F., Kourakis I. Dust-acoustic supersolitons in a three-species dusty plasma with kappa distributions // J. Plasma Phys., V. 79, iss. 6, pp. 1039-1043 (2013). DOI: 10.1017/S0022377813001153

74. Rajib T.I., Tamanna N.K., Chowdhury N.A., Mannan A., Sultana S., Mamun A.A. Dust-ion-acoustic rogue waves in presence of non-extensive non-thermal electrons // Phys. Plasmas, V. 26, iss. 12, p. 123701 (2019). DOI: 10.1063/1.5127256

75. Singh K., Saini N.S. The evolution of rogue wave triplets and super rogue waves in superthermal polarized space dusty plasma // Phys. Plasmas, V. 26, iss. 11, p. 113702 (2019). DOI: 10.1063/1.5119894

76. Moslem W.M., Sabry R., El-Labany S.K., Shukla P.K. Dust-acoustic rogue waves in a nonextensive plasma // Phys. Rev. E, V. 84, iss. 6, p. 066402 (2011). DOI: 10.1103/PhysRevE.84.066402

77. Selim M.M., Abdelwahed H.G., El-Attafi M.A. Nonlinear dust acoustic rogue waves in a two temperature charged dusty grains plasma // Astrophys. Space Sci., V. 359, iss. 25, pp. 1-8 (2015). DOI: 10.1007/s10509-015-2475-4

78. Mamun A.A., Shukla P.K. Spherical and cylindrical dust acoustic solitary waves // Phys. Lett. A, V. 290, iss. 3-4, pp. 173-175 (2001). DOI: 10.1016/S0375-9601(01)00669-7

79. Xue J.-K. Cylindrical dust acoustic waves with transverse perturbation // Phys. Plasmas, V. 10, iss. 8, pp. 3430-3431 (2003). DOI: 10.1063/1.1594186

80. Annou K. Effects of spherical geometry and two temperature electrons on dust acoustic waves // Astrophys. Space Sci., V. 350, pp. 211-215 (2014). DOI: 10.1007/s10509-013-1739-0

81. Masood W., Mirza A.M., Nargis S. Dust acoustic vortices in an inhomogeneous quantum magnetoplasma with dissipation and sheared dust flows // Phys. Plasmas, V. 15, iss. 10, p. 103703 (2008). DOI: 10.1063/1.2998831

82. Dev A.N., Sarma J., Deka M.K. Dust acoustic shock waves in arbitrarily charged dusty plasma with low and high temperature non-thermal ions // Can. J. Phys., V. 93, iss. 10, pp. 1030-1038 (2015). DOI: 10.1139/cjp-2014-0391

83. El-Taibany W.F., El-Siragy N.M., Behery E.E., Elbendary A.A., Taha R.M. The effects of variable dust size and charge on dust acoustic waves propagating in a hybrid Cairns-Tsallis complex plasma // Indian J. Phys., V. 92, pp. 661-668 (2018). DOI: 10.1007/s12648-017-1150-8

84. Lazar M., Kourakis I., Poedts S., Fichtner H. On the effects of suprathermal populations in dusty plasmas: The case of dust-ion-acoustic waves // Planet. Space Sci., V. 156, pp. 130-138 (2018). DOI: 10.1016/j.pss.2017.11.011

85. Ouazene M., Amour R. Dust acoustic solitons in a dusty plasma with Cairns-Gurevich distributed ions // Astrophys. Space Sci., V. 364, pp. 1-8 (2019). DOI: 10.1007/s10509-019-3508-1

86. Merlino R.L. 25 years of dust acoustic waves // J. Plasma Phys., V. 80, iss. 6, pp. 773-786 (2014). DOI: 10.1017/S0022377814000312

87. El-Labany S.K., Moslem W.M., Safy F.M. Effects of two-temperature ion, magnetic field, and higher-order nonlinearity on the existence and stability of dust-

acoustic solitary waves in Saturn's F ring // Phys. Plasmas, V. 13, iss. 11, p. 082903 (2006). DOI: 10.1063/1.2372465

88. Kopnin S.I., Popel S.I., Yu M.Y. Phenomena associated with complex (dusty) plasmas in the ionosphere during high-speed meteor showers // Phys. Plasmas, V. 16, iss. 6, p. 063705 (2009). DOI: 10.1063/1.3147931

89. Scales W.A., Mahmoudian A. Charged dust phenomena in the near-Earth space environment // Rep. Prog. Phys., V. 79, iss. 10, p. 106902 (2016). DOI: 10.1088/0034-4885/79/10/106802

90. Tribeche M., Bacha M. Dust-acoustic shock waves in a charge varying electronegative magnetized dusty plasma with nonthermal ions: Application to Halley Comet plasma // Phys. Plasmas, V. 20, iss. 10, p. 103704 (2013). DOI: 10.1063/1.4825240

91. Gil'man O.L., Ostrovsky L.A., Feinstein S.M. Resonance Amplification of Ion-Acoustic Solitons in a Plasma-Beam System // IEEE Trans. Plasma Sci., V. 9, iss. 4, pp. 286-289 (1981). DOI: 10.1109/TPS.1981.4317438

92. Yashvir, Tiwari R.S., Sharma S.R. Dressed ion acoustic soliton in an ion-beam plasma system // Can. J. Phys., V. 66, iss. 9, pp. 824-829 (1988). DOI: 10.1139/p88-135

93. Nakamura Y., Ohtani K. Solitary waves in an ion-beam-plasma system // J. Plasma Phys., V. 53, iss. 2, pp. 235-243 (1995). DOI: 10.1017/S0022377800018146

94. El-Labany S.K. Propagation of ion-acoustic solitons in a warm ion-beam— plasma system // J. Plasma Phys., V. 54, iss. 3, pp. 285-293 (1995). DOI: 10.1017/S0022377800018511

95. Dubinin E., Sauer K., McKenzie J.F. Nonlinear stationary waves and solitons in ion beam-plasma configuration // J. Geophys. Res., V. 109, no. A2, p. A02208 (2004). DOI: 10.1029/2003JA010283

96. Bulychev S.V., Dubinov A.E., Zhdanov V.S., L'vov I.L., Mikheev K.E.,

Sadovoi S.A., Saikov S.K., Selemir V.D. Scattering of dust microparticles by

145

collective osvillations of a plasma // J. Appl. Mech. Techn. Phys., V. 42, pp. 942-948 (2001). DOI: 10.1023/A:1012597323877

97. Vyalykh D.V., Dubinov A.E., L'vov I.L., Sadovoi S.A., Selemir V.D. Experiments on the injection of dust jets into plasma // Technical Phys., V. 49, pp. 1521-1524 (2004). DOI: 10.1134/1.1826204

98. Grün E., Gustafson B.Ä.S., Dermott S., Fechtig H. Interplanetary Dust // Earth, Moon, and Planets, V. 91, pp. 255-255 (2002). DOI: 10.1023/A:1026223025084

99. Borisov N., Krüger H. Electrostatic lofting of dust grains from the surfaces of Thebe and Amalthea // Planet. Space Sci., V. 183, p. 104556 (2020). DOI: 10.1016/j.pss.2018.06.005

100. Ginzburg V.L. The Propagation of Electromagnetic Waves in Plasmas // London, U.K.: Pergamon, 535 p. (1964).

101. Meyer-Vernet N. Basics on the Solar Wind // Cambridge: Cambridge University Press, 463 p. (2007). DOI: 10.1017/CBQ9780511535765

102. Bohm D. The Characteristics of Electrical Discharges in Magnetic Fields // NY: McGraw-Hill, 376 p. (1949).

103. Allen J.E. A note on the generalized sheath criterion // J. Phys. D: Appl. Phys., V. 9, iss. 16, pp. 2331-2333 (1976). DOI: 10.1088/0022-3727/9/16/003

104. Альтеркоп Б.А., Дубинова И.Д., Дубинов А.Е. О структуре заряженного слоя на границе плазмы с заряженным телом // ЖЭТФ, Т. 129, вып. 1, с. 197-206 (2006). [Alterkop B.A., Dubinova I.D., Dubinov A.E. Structure of the charged sheath at the plasma-charged body boundary // JETP, V. 102, iss. 1, pp. 173-181 (2006). DOI: 10.1134/S10637761060102011

105. Dubinov A.E., Senilov L.A. New formulation of the Bohm sheath criterion in terms of ion sound waves // Tech. Phys. Lett., V. 37, iss. 10, pp. 900-903 (2011). DOI: 10.1134/S1063785011100038

106. Каплан С.А., Цытович В.Н. Плазменные механизмы излучения в астрофизике // УФН, Т. 97, вып. 1, с. 77-118 (1969). DOI: 10.3367/UFNr.0097.196901c.0077 [Kaplan S.A., Tsytovich V.N. Plasma radiation mechanisms in astrophysics // Sov. Phys. Usp., V. 12, iss. 1, pp. 42-63 (1969). DOI: 10.1070/PU1969v012n01ABEH003916]

107. Дубинов А.Е., Сазонкин М.А. Нелинейная теория ионно-звуковых волн в электрон - позитрон - ионной плазме // Физ. Плазмы, Т. 35, вып. 1, с. 18-28 (2009). [Dubinov A.E., Sazonkin M.A. Nonlinear theory of ion-acoustic waves in an electron-positron-ion plasma // Plasma Phys. Rep., V. 35, iss. 1, pp. 14-24 (2009). DOI: 10.1134/s1063780x09010024]

108. Dubinov A.E., Dubinova I.D. How can one solve exactly some problems in plasma theory // J. Plasma Phys., V. 71, iss. 5, pp. 715-728 (2005). DOI: 10.1017/S0022377805003788

109. Dubinova I.D. Application of the Lambert W-function in mathematical problems of plasma physics // Plasma Phys. Rep., V. 30, pp. 872-877 (2004). DOI: 10.1134/1.1809403

110. Gordienko V.A., Dubinova I.D., Dubinov A.E. Nonlinear theory of large-amplitude stationary solitary waves in symmetric unmagnetized e- e+ and C 60- C 60+ plasmas // Plasma Phys. Rep., V. 32., iss. 11, pp. 910-915 (2006). DOI: 10.1134/S1063780X06110043

111. Dubinov A.E. Gas-dynamic approach in the nonlinear theory of ion acoustic waves in a plasma: An exact solution // J. Appl. Mech. Techn. Phys., V. 48, pp. 621-628 (2007). DOI: 10.1007/s10808-007-0078-8

112. Konno K., Mitsuhashi T., Ichikawa Y.H. Propagation of ion acoustic cnoidal wave // J. Phys. Soc. Japan, V. 46, iss. 6, pp. 1907-1914, (1979). DOI: 10.1143/JPSJ.46.1907

113. Ur-Rehman H., Mahmood S. Dust-ion acoustic cnoidal waves and associated nonlinear ion flux in a nonthermal dusty plasma // Astrophys. & Space Sci., V. 361, pp.1-12 (2016). DOI: 10.1007/s10509-016-2882-1

114. Khalid M., Ata-ur-Rahman, Hadi F., Zeb A. Nonlinear ion flux caused by dust ion-acoustic nonlinear periodic waves in non-thermal plasmas // Pramana - J. Phys., V. 92, pp.1-7 (2019). DOI: 10.1007/s12043-019-1749-8

115. Сагдеев Р.З., Коллективные процессы ударные волны в разреженной плазме // Вопросы теории плазмы, под ред. М. А. Леонтовича, М.: Атомиздат, вып. 4, с. 20-80 (1964).

116. Dubinov A.E., Sazonkin M.A. Methods of mechanical analogy in gas-dynamic theories of nonlinear waves in plasma // in Handbook of Solitons: Research, Technology and Applications, Eds.: S. P. Lang, S. H. Bedore, NY: Nova Science Publishers, Inc., 779 (2009).

117. Khachatryan A.G. Magnetic field of a relativistic nonlinear plasma wave // Phys. Plasmas, V. 7, iss. 12, pp. 5252-5254 (2000). DOI: 10.1063/1.1316765

118. Dubinov A.E. On a widespread inaccuracy in defining the Mach number of solitons in a plasma // Plasma Phys. Rep., V. 35, pp. 991-993 (2009). DOI: 10.1134/S1063780X09110105

119. Dubinov A.E., Dubinova I.D., Gordienko V.A. Solitary electrostatic waves are possible in unmagnetized symmetric pair plasmas // Phys. Plasmas, V. 13, iss. 8, p. 082111 (2006). DOI: 10.1063/1.2335819

120. Dubinov A.E., Kolotkov D.Yu. Ion-acoustic super solitary waves in dusty multispecies plasmas // IEEE Trans. Plasma Sci., V. 40, iss. 5, pp. 1429-1433 (2012). DOI: 10.1109/TPS.2012.2189026

121. Dubinov A.E., Suslova O.V. On the existence of hypersonic electrostatic solitons (estimation of limiting Mach numbers of ion-sound solitons in a warm plasma) // J. Exper. Theor. Phys., V. 131, iss. 5, pp. 844-852 (2020). DOI: 10.1134/S1063776120100040

122. Dawson J.M., Kim H.C., Arnush D., Fried B.D., Gould R.W., Heflinger L.O., Kennel C.F., Romesser T.E., Stenzel R.L., Wong A.Y., Wuerker R.F. Isotope separation in plasmas by use of ion cyclotron resonance // Phys. Rev. Lett., V. 37, iss. 23, pp. 1547-1550 (1976). DOI: 10.1103/PhysRevLett.37.1547

123. Dubinov A.E., Kornilova I.Yu., Selemir V.D. Isotope separation in plasma by ion-cyclotron resonance method // Phys. Part. Nucl., V. 32, iss. 4, pp. 828-845 (2001).

124. Dolgolenko D.A., Muromkin Yu.A. Plasma isotope separation based on ion cyclotron resonance // Phys. Usp., V. 52, iss. 4, pp. 345-357 (2009). DOI: 10.3367/UFNe.0179.200904c.0369

125. Dubinov A.E. Complete set of ion-sound modes velocities in plasma of multi-ion composition // Phys. Scripta, V. 80, iss. 3, p. 035504 (2009). DOI: 10.1088/0031-8949/80/03/035504

126. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны // М.: Физматлит, 272 с. (2000).

127. Дубинов А.Е., Колотков Д.Ю., Сазонкин М.А. Нелинейная теория ионно-звуковых волн в запыленной электрон-позитрон-ионной плазме // ЖТФ, Т. 82, № 5, с. 7-15 (2012).

128. Дубинов А.Е., Колотков Д.Ю., Сазонкин М.А. Сверхнелинейные волны в плазме // Физика Плазмы, Т. 38, № 10, с. 903-915 (2012).

129. Dubinov A.E., Lebedeva X.I., Ambiplasma separation into matter and antimatter by a train of baryon-acoustic solitons in the problem of the baryon asymmetry of the Universe // Chaos, Solitons & Fractals, V. 152, no. 1, p. 11139 (2021). DOI: 10.1016/j.chaos.2021.111391

130. Dubinov A.E. Mathematical tricks for pseudopotentials in the theories of nonlinear waves in plasmas // Phys. Plasmas, V. 29, no. 2, p. 020901 (2022). DOI: 10.1063/5.0078573

131. Eliasson B., Shukla P.K. Nonlinear aspects of quantum plasma physics: nanoplasmonics and nanostructures in dense plasmas // Plasma and Fusion Res., V. 4, p. 032 (2009). DOI: 10.1585/pfr.4.032

132. Шукла П.К., Элиассон Б. Нелинейные аспекты квантовой физики плазмы // УФН, Т. 180, вып. 1, стр. 55-82 (2010). DOI: 10.3367/UFNr.0180.201001b.0055 [Shukla P.K., Eliasson B. Nonlinear aspects of quantum plasma physics // Physics-Uspekhi, V. 53, iss. 1, pp. 51-76 (2010). DOI: 10.3367/UFNe.0180.201001b.0055].

133. Melrose D.B. Quantum plasmadynamics. Unmagnetized plasmas // New York: Springer, 486 p. (2008).

134. Bohm D.A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden" Variables. I // Phys. Rev., V. 85, iss. 2, pp. 166-179 (1952). DOI: 10.1103/PhysRev.85.166

135. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Методы теории волн в средах с дисперсией // М.: Физматлит, 270 c. (2007).

136. Maddox J.B., Bittner E.R. Estimating Bohm's quantum force using Bayesian statistics // J. Chem. Phys., V. 119, iss. 13, pp. 6465-6474 (2003). DOI: 10.1063/1.1604772

137. Dubinov A.E. Electron-Beam Two-Stream Instability in Quantum-Effect Structures // Russian Microelectronics, V. 30, pp. 339-341 (2001). DOI: 10.1023/A:1011901130794

138. Haas F., Manfredi G., Feix M. Multistream model for quantum plasmas // Phys. Rev. E, V. 62, iss. 2, pp. 2763-2772 (2000). DOI: 10.1103/PhysRevE.62.2763

139. Manfredi G., Haas F. Self-consistent fluid model for a quantum electron gas // Phys. Rev. B, V. 64, iss. 7, p. 075316 (2001). DOI: 10.1103/PhysRevB.64.075316

140. Владимиров С.В., Тышецкий Ю.А. Об описании бесстолкновительной квантовой плазмы // УФН, Т. 181, вып. 12, стр. 1313-1328 (2011). DOI: 10.3367/UFNr.0181.201112g.1313 [Vladimirov S.V., Tyshetskiy Yu.O. On description of a collisionless quantum plasma // Physics-Uspekhi, V. 54, iss. 12, pp. 1243-1256 (2011). DOI: 10.3367/UFNe.0181.201112g.13131.

141. Sahu B., Roychoudhury R. Cylindrical and spherical quantum ion acoustic waves // Phys. Plasmas, V. 14, iss. 1, p. 012304 (2007). DOI: 10.1063/1.2409527

142. Sahu B., Roychoudhury R. Quantum ion acoustic shock waves in planar and nonplanar geometry // Phys. Plasmas, V. 14, iss. 7, p. 072310 (2007). DOI : 10.1063/1.2753741

143. Ali S., Moslem W.M., Shukla P.K., Schlickeiser R. Linear and nonlinear ion-acoustic waves in an unmagnetized electron-positron-ion quantum plasma // Phys. Plasmas, V. 14, iss. 8, p. 082307 (2007). DOI: 10.1063/1.2750649

144. Masood W., Mushtaq A., Khan R. Linear and nonlinear dust ion acoustic waves using the two-fluid quantum hydrodynamic model // Phys. Plasmas, V. 14, iss. 12, p. 123702 (2007). DOI: 10.1063/1.2803775

145. Roy K., Chatterjee P. Ion-acoustic dressed soliton in electron-ion quantum plasma // Indian J. Phys., V. 85, pp. 1653-1665 (2011). DOI: 10.1007/s12648-011-0179-3

146. Mahmood S. Arbitrary amplitude dust ion acoustic solitary waves in dense Fermi plasmas // Phys. Plasmas, V. 15, iss. 1, p. 014502 (2008). DOI: 10.1063/1.2830649

147. Chatterjee P., Roy K., Muniandy S.V., Yap S.L., Wong C.S. Effect of ion temperature on arbitrary amplitude ion acoustic solitary waves in quantum electron-ion plasmas // Phys. Plasmas, V. 16, iss. 4, p. 042311 (2009). DOI: 10.1063/1.3117483

148. Akbari-Moghanjoughi M. Propagation of arbitrary-amplitude nonlinear quantum ion-acoustic waves in electron-ion plasmas: dimensionality effects //

IEEE Trans. Plasma Sci., V. 38, iss. 12, pp. 3336-3341 (2010). DOI: 10.1109/TPS.2010.2083700

149. Sahu B., Roychoudhury R. Effect of finite ion temperature on arbitrary amplitude dust ion acoustic solitary waves in quantum plasma // Indian J. Phys., V. 86, pp. 401-405 (2012). DOI: 10.1007/s12648-012-0061-y

150. Watanabe K., Taniuti T. Electron-Acoustic Mode in a Plasma of Two-Temperature Electrons // J. Phys. Soc. Japan, V. 43, iss. 5, pp. 1819-1820 (1977). DOI: 10.1143/JPSJ.43.1819

151. Mannan A., Mamun A.A. Planar Electron-Acoustic Solitary Waves and Double Layers in a Two-Electron-Temperature Plasma with Nonthermal Ions // Astrophys. Space Sci., V. 340, iss. 1, pp. 109-115 (2012). DOI: 10.1007/s10509-012-1046-1

152. Sahu B., Poria S., Roychoudhury R. Solitonic, Quasi-Periodic and Periodic Pattern of Electron Acoustic Waves in Quantum Plasma // Astrophys. Space Sci., V. 341, iss. 2, pp. 567-572 (2012). DOI: 10.1007/s10509-012-1130-6

153. Ren H., Wu Z., Chu P.K. Dispersion of linear waves in quantum plasmas // Phys. Plasmas, V. 14, p. 062102 (2007). DOI: 10.1063/1.2738848

154. Jung Y.-D., Rhee H.-J. Effects of Ions on the Propagation of Langmuir Oscillations in Cold Quantum Electron-Ion Plasmas // Z. Naturforsch., V. 63a, pp. 400-404 (2008). DOI: 10.1515/zna-2008-7-803

155. Kuzelev M.V. On the theory of Langmuir waves in a quantum plasma // JETP, V. 110, pp. 710-721 (2010). DOI: 10.1134/S1063776110040187

156. Veklenko B.A. Quantum Character of Electromagnetic Langmuir Oscillations in Conventional Electron-Ion Plasma // Int. J. Optics, V. 2012, p. 648741 (2012). DOI: 10.1155/2012/648741

157. Dubinov A.E., Dubinova A.A. Nonlinear isothermal waves in a degenerate electron plasma // Plasma Phys. Rep., V. 34, pp. 403-412 (2008). DOI: 10.1134/S1063780X08050061

158. McKenzie J.F. The ion-acoustic soliton: A gas-dynamic viewpoint // Phys. Plasmas, V. 9, iss. 3, pp. 800-805 (2002). DOI: 10.1063/1.1445757

159. Dubinov A.E., Dubinova A.A. Nonlinear theory of ion-acoustic waves in an ideal plasma with degenerate electrons // Plasma Phys. Rep., V. 33, pp. 859-870 (2007). DOI: 10.1134/S1063780X07100078

160. Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердого тела // М.: Мир, 440 с. (1975).

161. Басс Ф.Г., Гуревич Ю.Г. Горячие электроны и сильные электромагнитные волны в плазме полупроводников и газового разряда // М.: Наука, Москва, 400 с. (1975).

162. Пожела Ю.К. Плазма и токовые неустойчивости в полупроводниках // М.: Наука, 368 с. (1977).

163. Белецкий Н.Н., Булгаков А.А., Ханкина С.И., Яковенко В.М. Плазменные неустойчивости и нелинейные явления в полупроводниках // Киев: Наукова Думка, 190 с. (1984).

164. Markowich P.A., Ringhofer C.A., Schmeiser C. Semiconductor equations // Wien and New York: Springer-Verlag, 248 p. (1990).

165. Zhou J.-R., Ferry D.K. Modeling of quantum effects in ultrasmall HEMT devices // IEEE Trans. Electron Devices, V. 40, iss. 2, pp. 421-427 (1993). DOI: 10.1109/16.182523

166. Gardner C.L. Quantum hydrodynamic model for semiconductor devices // SIAM J. Appl. Math., V. 54, iss. 2, pp. 409-427 (1994). DOI: 10.1137/S0036139992240425

167. Gasser I. Traveling wave solutions for a quantum hydrodynamic model // Appl. Math. Lett., V. 14, iss. 3, pp. 279-283 (2001). DOI: 10.1016/S0893-9659(00)00149-X

168. Akbari-Moghanjoughi M., Shukla P.K. Theory for large-amplitude electrostatic ion shocks in quantum plasmas // Phys. Rev. E, V. 86, iss. 6, p. 066401 (2012). DOI: 10.1103/PhysRevE.86.066401

169. Amin R.M. Modulation of electrostatic Langmuir waves in quantum electron-hole semiconductor plasmas // Physica Scripta, V. 90, iss. 1, p. 015601 (2015). DOI: 10.1088/0031-8949/90/1/015601

170. Bohm D. A Collective Description of Electron Interactions: III. Coulomb Interactions in a Degenerate Electron Gas // D. Pines, Phys. Rev., V. 92, iss. 3, pp. 609-625 (1953). DOI: 10.1103/PhysRev.92.609

171. Wallin E., Zamanian J., Brodin G. Three-wave interaction and Manley-Rowe relations in quantum hydrodynamics // J. Plasma Phys., V. 80, iss. 4, pp. 643-652 (2014). DOI: 10.1017/S0022377814000075

172. Eliasson B., Shukla P.K. Dispersion Properties of Electrostatic Oscillations in Quantum Plasmas // J. Plasma Phys., V. 76, iss. 1, pp. 7-17 (2010). DOI: 10.1017/S0022377809990316

173. Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны // М.: Физматлит, 466 с. (2001).

174. Milewski P.A., Wang Z. Transversally periodic solitary gravity-capillary waves // Proc. Royal. Soc. A., V. 470, iss. 2161, p. 20130537 (2014). DOI: 10.1098/rspa.2013.0537

175. Дубинов А.Е., Дубинова А.А. Нелинейные изотермические волны в вырожденной электронной плазме // Физика Плазмы, Т. 34, вып. 5, с. 442-452 (2008) [Dubinov A.E., Dubinova A.A. Nonlinear isothermal waves in a degenerate electron plasma // Plasma Physics reports, V. 34, iss. 5, pp. 403-412 (2008). DOI: 10.1134/S1063780X08050061].

176. Pavelle R. The Planck integral cannot be evaluated in terms of a finite series of elementary functions // J. Math. Phys., V. 21, iss. 1, p. 14 (1980). DOI: 10.1063/1.524339

177. Aguilera-Navarro V.C., Evtévez G.A., Kostecki A. A note on the Fermi-Dirac integral function // J. Appl. Phys., V. 63, iss. 8, pp. 2848-2850 (1988). DOI: 10.1063/1.340957

178. Dubinova A.A. Exact explicit barometric formula for a warm isothermal Fermi gas // Techn. Phys., V. 54, pp. 210-213 (2009). DOI: 10.1134/S106378420902008X

179. Dubinov A.E., Dubinova A.A., Sazonkin M.A. Nonlinear theory of the isothermal ion-acoustic waves in the warm degenerate plasma // J. Comm. Technol. Electronics, V. 55, pp. 907-920 (2010). DOI: 10.1134/S1064226910080097

180. Tanguay J., Gil M., Jeffrey D.J., Valluri S.R. D-dimensional Bose gases and the Lambert W function // J. Math. Phys., V. 51, p. 123303 (2010). DOI : 10.1063/1.3496906

181. Webb G.M., Burrows R.H., Ao X., Zank G.P. Ion Acoustic Traveling Waves // J. Plasma Phys., V. 80, no. 2, pp. 147-171 (2014). DOI: 10.1017/S0022377813001013

182. Dubinov A.E., Sazonkin M.A. Nonlinear Adiabatic Models of Ion-Acoustic Waves in Dust Plasma // Techn. Phys., V. 53, iss. 9, pp. 1129-1140 (2008). DOI: 10.1134/S1063784208090028

183. Саакян Г.С. Равновесные конфигурации вырожденных газовых масс // М.: Наука, 306 c. (1972).

184. Stern F., Sarma S.D. Electron energy levels in GaAs-Ga 1- x Al x As heterojunctions // Phys. Rev. B, V. 30, iss. 2, pp. 840-848 (1984). DOI: 10.1103/PhysRevB.30.840