Возбуждение высокочастотных электромагнитных и квазистатическх магнитных полей в релятивистской плазме в результате нелинейного взаимодействия волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Трубачев, Олег Олегович

• Трубачев, Олег Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Трубачев, Олег Олегович

Введение.

Глава I,Параметрическое резонансное возбуждение продольных колебаний в релятивистской плазме ВЧ электрическим полем.

§Г.Постановка задачи и основные уравнения.

§2.Сильное поле (ве^^е^)

§3. Слабое поле.

§4.Параметрическая неустойчивость в слабом ВЧ поле релятивистской электрон-позитронной плазмы

§5.Релятивистская плазма с одномерным тепловым 62 разбросом импульсов электронов

§6.0сновные выводы

Глава 2.Модуляционная неустойчивость самосогласованной продольной волны в релятивистской плазме

§1. Постановка задачи.

§2.Самосогласованная стационарная продольная волна

§3.Устойчивость продольной стационарной волны •

§4.Анализ нелинейного дисперсионного соотношения в пределе большой длины волны (Ко^Гф)

§5.Анализ нелинейного дисперсионного соотношения в случае конечной длины стационарной волны

Ко^»^

Глава 3.Модуляционная неустойчивость самосогласованного высокочастотного поля. Различные поляризации поля возмущения.

§1.Постановка задачи и метод многоиндексных тензоров

§2.Стационарная нелинейная волна в квадратичном приближении

§3.Устойчивость стационарной волны относительно произвольных возмущений электромагнитного

§4.Анализ различных случаев поляризации поля возмущения Е при К\\Е0.

§5.Анализ различных случаев поляризации поля возмущения Е. приК.А.Ео.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Возбуждение высокочастотных электромагнитных и квазистатическх магнитных полей в релятивистской плазме в результате нелинейного взаимодействия волн»

Одной из главных особенностей плазмы как сплошной среды является наличие большого числа собственных мод, В равновесной плазме амплитуды таких колебаний порядка амплитуд тепловых флуктуаций и поэтому малы. Существует однако множество факторов, выводящих плазму из состояния термодинамического равновесия. При этом возникают неустойчивости, приводящие к росту самосогласованных электромагнитных полей до уровня, существенно превышающего уровень равновесных флуктуаций. Такие неустойчивости возникают, в частности, при воздействии на плазму мощного высокочастотного излучения, лазерного и микроволнового. В этом случае плазму необходимо рассматривать как нелинейную среду, принимать во внимание взаимодействие волн различных типов между собой и с частицами плазмы.

Диссертация посвящена теоретическому анализу явлений в изотропной релятивистской плазме, возникающих при воздействии на нее внешнего высокочастотного поля. Актуальность последовательного релятивистского подхода состоит в следующем. Во-первых, растет мощность используемых в экспериментах источников лазерного излучения. В ряде экспериментов (например, - з|) плотность потоков излучения СС^-лазеров и лазеров на неодимовом стекле достигает Ю^^^Вт/см^. В таких полях оказывается возможной раскачка электронов плазмы до скоростей близких к скорости света , и динамика электрона в поле волны является релятивистской £4"], Во-вторых, в ряде случаев в лабораторных экспериментах температура электронов плазмы приближается к релятивистским значениям. Так, например, плазма с температурой порядка 200 кэв в состоянии близком к термодинамическому равновесию была получена в экспериментах Значительная доля сверхтепловых электронов, обладающих слаборелятивистской эффективной температурой ^ 50 кэв была зарегистрирована авторами работы £3] в результате воздействия СС^-лазера на плазму. Наряду с объяснением результатов лабораторных экспериментов необходимость развития теории нелинейного взаимодействия волн в релятивистской плазме возникает при изучении некоторых астрофизических объектов и, прежде всего, при интерпретации процессов, происходящих в магнитосфере пульсаров \16 - 9]. Наконец, в ряде случаев оказывается существенным учет возбуждения в плазме самосогласованных непотенциальных полей, для описания которых необходимо привлекать полную систему уравнений Максвелла, а не одно уравнение Пуассона. Такую систему уравнений корректно рассматривать совместно с релятивистски ковариантным кинетическим уравнением, учитывающим релятивистскую зависимость импульса электрона от скорости. Именно так, как мы покажем ниже,обстоит дело при исследовании генерации квазистатических магнитных полей при воздействии на плазму излучения лазера. Это явление, обнаруженное в работах £10 , II], позднее неоднократно изучалось в экспериментах ряда авторов (£2 , 12}).

Теоретическое исследование колебательных свойств релятивистской плазмы началось в конце 50-х - начале 60-х годов. В работах [13 - 15] были впервые рассмотрены линейные колебания плазмы с релятивистским тепловым разбросом импульсов электронов и получены основные асимптотики соответствующих дисперсионных соотношений. Уже в этих работах отмечены качественные особенности дисперсионных характеристик продольных колебаний релятивистской и нерелятивистской плазмы, состоящие в наличии областей спектра со сверхсвето-выщи досветовыми фазовыми скоростями. Обстоятельное исследование линейных дисперсионных свойств релятивистской плазмы, имеющих большое значение при рассмотрении также и нелинейных процессов,было в основном завершено уже значительно позже. В работе [16] дисперсш ленгмюровских волн для произвольных температур была исследована численными методами, а в работах [11 - 23} были уточнены аналитические свойства линейной дисперсии, в частности, была показана ошибочность утверждения (см.[241) о невозможности существования ленгмюровских волн с досветовыми фазовыми скоростями. В связи с астрофизическими приложениями в ряде исследований была рассмотрена плазма с одномерным тепловым разбросом импульсов электронов £ 8 , 25 , 26^, причем в последней работе была показана возможность существования в такой плазме волн с дисперсией близкой к звуку даже в приближении неподвижных ионов. При исследовании колебательных свойств плазмы с учетом некуло-новского характера взаимодействия зарядов в работах {27, 28] была показана важность учета радиационного затухания ленгмюровских волн, которое, как следует из работы ^293 в релятивистской плазме может превышать не только линейное затухание Ландау, но и затухание вследствие электрон-ионных столкновений. Значительное количество работ было посвящено также линейным дисперсионным свойствам релятивистской магнитоактивной плазмы (см.»например, ^30 - 32]). Не останавливаясь подробно на результатах этих работ, упомяним лишь результат работы [32] , где было показано, что в ряде случаев последовательное релятивистское рассмотрение приводит к качественно новым результатам даже в случае сравнительно низких температур (затухание Ландау циклотронных волн, распространяющихся поперек магнитного поля).

Что касается теории нелинейных колебаний и волн в плазме, то еще в 1956 г, в работе [33] на основании гидродинамики холодной плазмы были рассмотрены нелинейные волны релятивистской амплитуды и было показано, что нелинейный сдвиг частоты собственных колебаний в длинноволновом пределе имеет релятивистскую природу, в этой работе были выявлены основные типы нелинейных стационарных волн релятивистских амплитуд, которые могут распространяться в незамагниченной плазме. Позднее более обстоятельно такие стационарные волны были исследованы в работе ^34 Другим направлением изучения нелинейных волн в плазме является непосредственное использование уравнения Власова для получения решений в виде стационарных волн £ 35 Д и последующего исследования таких решений на устойчивость (см., например, [3б] и [37^), Применительно к случаю релятивистской плазмы с максвелловской функцией распределения электрона по импульсам стационарная нелинейная ленгмюровская волна была впервые рассмотрена в работе £.38^, однако, в этой работе при определении нелинейного сдвига частоты непоследовательно был отброшен вклад кубической поправки по амплитуде волны. Позже более корректно поправки к частоте для подобной волны получались в работе С391, но лишь для случая упрощенного прямоугольного распределения,

В конце 60-х годов в связи с необходимостью объяснения экспериментальных результатов воздействия лазерного излучения на плазму была разработана теория параметрического воздействия излучения на плазму. Подробное изложение теории и основных выводов содержится в обзорах£40-42]. Одним из важнейших результатов теории в случае однородной накачки является возникновение параметрической неустойчивости при приближении частотыСдо (или кратной ей частоты) к плазменной частоте. Эта неустойчивость в нерелятивистской плазме обусловлена относительным движением электронов и ионов, поэтому её инкремент обращается в нуль в пределе -^»о . Однако даже в случае нерелятивистской плазмы для

•V анализа возбуждения ленгмюровских волн в направлении, перпендикулярном ^ приходилось привлекать полную систему уравнений Максвелла (вместо уравнения Пуассона). В результате получалось выражение для инкремента ^43], содержащее квадрат скорости света в знаменателе. В 1970 г. в работе £44^ была впервые обнаружена возможность параметрического резонанса в чисто электронной плазме в рамках релятивистской динамики электронов. Б этой работе были использованы уравнения холодной гидродинамики в приближении неподвижности ионов. Затем в работах £45-503 было проложено изучение параметрической неустойчивости электронной плазмы на основе гидродинамики холодной плазмы. В работах ^513 и £52] в качестве внешней накачки рассматривается самосогласованная стационарная волна релятивистской амплитуды типа полученной в работах £33] и ^34^, что является более последовательным в случае, когда рассматривается однородная безграничная плазма. Однако, и в этих работах использовалось гидродинамическое-приближение. Наконец были пред- . приняты попытки обобщения результатов, полученных для холодной плазмы на релятивистскую область значений электронной температуры £53-57]. Но в работах £53-56] непоследовательно учитывался вклад за счет генерации квазистатических продольных полей. Это привело, в частности, к разделению эффектов вследствии относительного движения двух сортов частиц и релятивистской зависимости импульса электрона от скорости. На самом деле такого разделения нет в случае параметрической неустойчивости при релятивистских температурах электронов ^ГЛ^сЛ «В работе же £.57"] использовалось квадратичное по амплитуде поля приближение, которое позволяет корректно рассмотреть только процессы типа распада колебаний внешнего поля на две собственные моды.

К исследованиям по параметрическому воздействию высокочастотного излучения на плазму непосредственно примыкает развитая в эти же годы теория модуляционной неустойчивости ленгмюровских волн. Впервые возможность такого процесса была обоснована в работе £58], затем в работе £593 Для описания развития этого типа неустойчивости в нерелятивистской плазме была предложена сравнительно простая система уравнений, основанная на гидродинамике с учетом теплового давления, В последние годы теория модуляционной неустойчивости активно используется для объяснения нелинейных процессов, происходящих в плазме под воздействием внешнего излучения (см., например, £603). Отметим, что модуляционная неустойчивость, которая представляет собой распад второй гармоники исходного поля на две собственные моды плазмы, в рамках линейной стадии развития описывается теми же уравнениями, что и параметрическая неустойчивость под воздействием слабого высокочастотного поля ^61]. Поэтому результаты слаборелятивистской гидродинамической теории можно было изложить и на языке уравнений Захарова [62 , 63]. Недостатком приближения использованного в работах \$2\ и^бЗЦ является учет тепловых эффектов лишь в добавках описывающих линейную дисперсию ленгмюровских волн. Вклад за счет нелинейного взаимодействия таких волн учтен там лишь в приближении холодной плазмы. В таком приближении невозможно учесть нелинейные сдвиги частоты ленгмюровских волн за счет четырехволнового взаимодействия , 65].

Решение уравнений, описывающих модуляционную неустойчивость в рамках одномерной геометрии, приводит к существованию стационарных уединенных волн - солитонов, характеристики таких решений в случае релятивистской плазмы были рассмотрены в работах [66 ,

Дальнейшие исследования по воздействию мощного излучения, разгоняющего частицы плазмы до скоростей близких к скорости света на плазму привели к новым публикациям в этой области, В работах ^68^ и аналитически и численно рассмотрен ряд эффектов в ВЧ поле большой интенсивности. В работе рассмотрено образование ударных волн в результате такого воздействия. Релятивистская зависимость импульса электрона от скорости приводит к релятивистской самофокусировке лазерного луча в плазме [713 и влияет на проникновение волнового пучка в плазму [72]]. Большая серия работ посвящена теоретическому исследованию распространения продольно-поперечных и циркулярно-поляризованных волн релятивистской амплитуды как в незамагниченной [73-79^ , так и в магнитноактивной плазме [^80-86].

Дальнейшее развитие теории параметрического воздействия излучения на плазму позволило объяснить обнаруженный в ряде экспериментов эффект генерации магнитных полей в плазме в поле мощных лазерных пучков. В работах ^87-89] это явление объяснялось как эффект сопровождающий генерацию собственных продольных плазменных мод под углом к полю внешней накачки. Анализ в этих работах осуществлялся на основе нерелятивистской теории. Позднее в работах ^90-92^ был предложен другой механизм генерации квазистатического магнитного поля, являющийся по сути дела нерезонансным возбуждением поперечных пульсаций в поле внешней волны. Этот процесс однако дает инкремент кубический по внешнему полю, в то время как резонансный процесс модуляционного типа р7-89^} является квадратичным по исходному полю.

В процессах, связанных с воздействием внешнего высокочастотного поля на плазму, а также при эволюции спектра ленгмюровских волн, возбужденных в результате развития какой-либо неустойчивости, существенную роль играет нелинейное затухание Ландау. Это явление, представляющее собой взаимодействие резонансных частиц с низкочастотными биениями двух плазменных волн, было впервые изучено теоретически в работах рЗ , 94^ применительно к слаботурбулентной плазме, а затем в работах £95-99"Д на этой основе была развита нерелятивистская теория слабой турбулентности. Позднее были получены экспериментальные результаты по нелинейному затуханию Ландау ЦЮО, ЮЗЦ , позволившие говорить о количественном соответствии теории и эксперимента. Нелинейное затухание Ландау в слаботурбулентной релятивистской плазме, характеризующейся степенной функцией распределения, было рассмотрено в монографии £6], а в работе [^102^ был проанализирован случай одномерного теплового разброса импульсов электронов. Характерной особенностью нелинейного затухания Ландау в релятивистской плазме является отсутствие компенсации старших членов в разложении по степеням отношения дебаевского радиуса к длине ленгмюровской волны, вкладов от так называемых комптоновского рассеяния ленгмюровских волн и нелинейного рассеяния волн на дебаевской шубе электрона.

Основными задачами данной работы являются:

- анализ параметрического воздействия однородной накачки на изотропную незамагниченную плазму при различных (как слаборелятивистских, так и существенно релятивистских) температурах;

- последовательное рассмотрение линейной стадии развития модуляционной неустойчивости в рамках релятивистской кинетической теории бесстолкновательной плазмы на основе стационарных решений типа [35, 38^ , учитывающих конечность амплитуды рассматриваемых ленгмюровских волн;

- теоретический анализ процессов в релятивистской плазме типа модуляционной неустойчивости, сопровождающихся возбуждением колебаний в направлении, отличном от направления поляризации исходной волны, которые могут привести к генерации квазистатических магнитных полей;

- анализ особенностей процессов типа нелинейного затухания Ландау при слаборелятивистских и существенно релятивистских температурах, которые происходят как в поле фиксированной волны конечной амплитуды, так и при наличии широкого спектра турбулентных пульсаций.

Решению перечисленных задач соответствует структура диссертации, которая состоит из четырех глав.

- 12

В первой главе рассмотрена устойчивость плазмы в поле внешней однородной накачки относительно возбуждения потенциальных возмущений вдоль . Показано, что в области не*— о релятивистских значений температуры электронов сЛ поле Н0 входит в уравнения, описывающие потенциальные возмущения плазмы через два безразмерных параметра и У^/С * где £ Е й /тл^&о , * В ^^^ же Реляти~ вистской температуры электронов внешнее поле входит в соответствующие выражения через один безразмерный параметр У^сС/С, * ьС~ТУ\ * Этот Факт позволяет при сС >£> выделить два случая :

1. Сильное поле \/д>>\/-^ .

2. Слабое поле <<СЛ/у • Всюду в данной работе считаем, что где - импульс электрона, а усреднение ведется по равновесному распределению.

В случае сильного поля показано, что при У^/сУ ^^ значения инкремента апериодической неустойчивости совпадают с известными [40^, а в случае обратного неравенства

Г - ^ 4. ^ ^ &хп%*

К*.*- аь

Такое увеличение инкремента может быть существенно в случае тяжелых ионов. Если ^Х/^у^) ' то ПР0ИС~ ходит сглаживание резонансной зависимости инкремента от длины возбуждаемой волны. Также учет релятивистских поправок приводит к ослаблению периодической неустойчивости.

В случае слабого поля сла^°Релятивистский вклад в нелинейное дисперсионное соотношение при В^^СТЛ С?" либо пренебрежимо мал, либо может быть учтен на основе формул, полученных для случая сильного поля, если в разложении функции Бесселя Т/ в ряд Тейлора взять только первый член. В случае же релятивистской температуры электронов максимальный инкремент неустойчивости апериодического типа оказывается равным Л

ЛЛО.Х X где коэффициент /\ в случае изотропного релятивистского максвеллов ского распределения задан соотношением

ГО,037 , К£<^со?0е2\^/с> X

0,096 , З^^/с?-«. 10,138 , ^^ ^ /с* 5 здесь - скорость ионного звука, а С0Р ~ релятивистская плазменная частота. Показано, что апериодическая неустойчивость существует лишь при значениях частоты внешнего поля С00 , удовлетворяющих неравенству б£>о 4 кт^^/^со^) в случае же выполнения обратного неравенства возможна (при ч ) периодическая неустойчивость, сопровождающаяся возбуждением ионного звука. Рассмотрены также пороги параметрических неустойчивостей в релятивистской плазме в области малых волновых чисел , которые обусловлены наличием радиационного и столкновительного затухания.

Существенное отличие от результатов работ ¡^53-56^ состоит в последовательном учете вкладов в нелинейные дисперсионные соотношения от нелинейного взаимодействия возбуждаемых продольных колебаний с дебаевскими шубами электронов в электронной и электрон-ионной плазме. В пределе (П • 00 такие вклады в работах

С* бЗ-бб^ вообще не учитывались. Показано также, что в релятивистской плазме изменение апериодического инкремента за счет учета конечности массы ионов не может быть больше 30% по сравнению с величиной, получаемой в пределе электронной плазмы. Это связано с отсутствием взаимной компенсации слагаемых, связанных с комптоновским рассеянием ленгмюровских волн и с нелинейным рассеянием этих волн на дебаевских шубах.

Рассмотрено также воздействие накачки на релятивистскую электрон-позитронную плазму, в которой возможна лишь апериодическая неустойчивость с инкрементом того же порядка, что и в электрон-ионной плазме (§4).

В § 5 рассмотрена плазма с одномерным разбросом импульсов электронов; показано, что при переходе от изотропного к одномерному максвелловскому распределению инкремент апериодической неустойчивости возрастает в (3* раз и в одномерном случае имеет порядок где СО^ - одномерная релятивистская плазменная частота. Инкремент же периодической неустойчивости остается неизменным.

Во второй главе на основе использования интеграла движения в поле волны получено стационарное самосогласованное решение в виде продольной еолны в плазме произвольной релятивистской температуры. Рассмотрен случай сверхсветовых фазовых скоростей такой волны, а также случай фазовых скоростей, существенно превышающих тепловые скорости электронов плазмы. Явное выражение для электрического поля волны, учитывающее гармоники основной частоты, а также выражение для нелинейного сдвига частоты получено с точностью до квадратичных вкладов по амплитуде поля. В формуле для нелинейного сдвига частоты Сд0 отношению к частоте линейных колебаний оО^(КсГ) в отличие от работы последовательно учтен не только вклад от квадратичного по полю слагаемого в нелинейное уравнение для потенциала ^коэффициент Д^ , но и вклад в это уравнение за счет куба потенциала (коэффициент /V) > что позволяет получить правильную асимптотику для нелинейного сдвига частоты. Так в случае п низкой температуры в результате разложения по

6 ъ лученного выражения для сдвига частоты были получены известные выражения для сдвига частоты вследствие релятивистской зависимости импульса электрона от его скорости ^331 и за счет четырехвол-нового взаимодействия ленгмюровских волн £64Д. Получено также выражение для нелинейного сдвига частоты стационарной волны при произвольной температуре плазмы через известные специальные функции, а также высокотемпературная асимптотика частоты 60 0 ^ СОо >' V с, ) ) ■

Существенной особенностью сдвига частоты в случае релятивистской температуры электронов ^ является его рост по абсос лютной величине с увеличением волнового вектора ленгмюровской волны . В то же время в нерелятивистской по температуре электронов плазме нелинейный сдвиг частоты убывает по абсолютной величине при увеличении ,что обусловлено разными знаками сдвигов частоты за счет релятивистской зависимости импульса электрона от его скорости СЗЗД и за счет четырехволнового взаимодействия ленгмюровских волн.

Затем в этой главе рассмотрена устойчивость полученного стационарного решения относительно продольных возмущений вдоль направления колебаний электрического поля исходной волны. При анализе исходного решения на устойчивость использовано преобразование импульсов электронов р , которое задается формулой и является фактически обобщением преобразования переменных использованного в £.40Д и называемого иногда "переходом в колеблющуюся систему отсчета" £103"} на случай конечной длины волны •

На этой основе получено нелинейное дисперсионное уравнение. Решение этого нелинейного дисперсионного уравнения в случае длинной исходной волны показывает возможность возникновения апериодической неустойчивости модуляционного типа, аналогичной неустойчивости, рассмотренным в главе I для случая фиксированной однородной накачки. Инкремент такой неустойчивости в случае 0 <<\ГГ\ С?" определяется в основном нерелятивистским механизмом, связанным с относительным движением электронов и ионов [40}, а в случае имеет порядок и определяется в основном чисто электронным вкладом.

В случае же конечной длины исходной стационарной волны к л/>>„¿14 показана возможность модуляционной неустойчивости квазипериодического типа, за счет распада второй гармоники исходной ленгмю-ровской волны на две другие ленгмюровские волны, которые имеют частоты (0о~(л) и волновые вектора К0±.К , причем со'/к = .

Такой процесс возможен и в сравнительно низкотемпературной плазме, достаточно выполнение неравенства

-- ЭеЛиС3- »(те/т.)

Б этом случае неустойчивость волн с волновым вектором , лежащем в интервале имеет место с инкрементом

Развитие этой неустойчивости приводит к модуляции поля исходной волны с пространственным периодом

-—I происходит также модуляция во времени с периодом

Б отличие от модуляционной неустойчивости нерелятивистского типа данный процесс не требует ограничения сверху

У/у величину волнового вектора исходной волны, связанного с амплитудой этой волны.

Рассмотрена также модуляционная неустойчивость данного типа применительно к случаю плазмы с существенно релятивистской температурой электронов и показано, что в такой плазме в отличие от слаборелятивистского предела происходит увеличение максимального инкремента с ростом абсолютной величины волнового вектора

V- м /^Т о мах ~ & ^30 + I СОо У ; с1- '

Б третьей главе снова рассмотрена устойчивость плазмы в поле собственных самосогласованных колебаний конечной амплитуды и большой длины волны. Однако в отличие от второй главы здесь рассмотрено возбуждение в релятивистской плазме колебаний различной поляризации и направлений пространственной модуляции. В пределе большой длины волны поляризация колебаний не определена и выводы, сделанные в третьей главе, одинаково применимы к анализу устойчивости плазмы в поле длинноволновых продольных и поперечных колебаний. Основным механизмом возбуждения поля возмущения, как и во второй главе, является модуляционная неустойчивость

К.-К^ + Кд.

При С1 и те/т4>\/£Ц-1 / с* преимущеетвенно возбуждается продольное поле вдоль Е ^ (Е0\\Ё\\К) по нерелятивистскому механизму \140Д. С инкрементом в С/х/у раз меньшим может возбуждаться поперечное поле, электрический вектор которого параллелен А,\0 * масштаб модуляции этого поля будет также в С/\/т раз большим (вследствие наличия скорости света в линейном дисперсионном соотношении для поперечного возмущения).

Возбуждение же высокочастотного поля, электрический вектор которого ортогонален , всегда проходит по релятивистскому механизму и определяется в основном электронным вкладом в нелинейное дисперсионное соотношение. Как показано в третьей главе, при Ei.Ec и Т а масштаб модуляции

Г ~ оу/^Ц./с?, е* ж/* ~ '

В случае же продольного возмущения, промоделированного в направлении, ортогональном , все зависит от параметра При теСг)).9е^>т Ссохраняется оценка инкремента а масштаб модуляции будет меньше эс/к Р

ПРИ оценки е е С с/к ~сл/т/&ОрУЕ) совпадают с результатами, полученными в работах £43 , 88*1 для того же направления поляризации поля возмущения. Однако численные коэффициенты в соответствующих формулах, полученных в главе Ш, отличаются от приведенных в работах ^43 , 88], поскольку в настоящей работе последовательно учтен вклад, обусловленный релятивистским движением электронов в поле Ё. 0 СО о"Ь . При ЕЛ\\ч возбуждается квазистатическое магнитное поле ; только при ф ^чГП СЛ/р отношение и. /СГ имеет первый порядок ® ь с НЧ' к по амплитуде поля и вклад, обусловленный генерацией существенно влияет на выражение для инкремента ^ . В обратном пределе ( С\/г- ) учет такого вклада не влияет на величину ее инкремента модуляционной неустойчивости. Вклад в нелинейное дисперсионное соотношение за счет генерации квазистатического магнитного поля по порядку величины никогда не превосходит /сУ и всегда может быть опущен, когда отличен от нуля нерелятивистский вклад за счет генерации продольного ВЧ поля, что имеет место для всех углов между ^ и » КР0^ углов очень близких к . В то же время во всех случаях, кроме ^ , квазистатическое магнитное поле возбуждается за счет связи с продольным ВЧ полем. Таким образом, как впервые было показано в работе £ 89] .максимальный инкремент генерации квазистатического магнитного поля в случае нерелятивистской плазмы определяется обычным нерелятивистским дисперсионным уравнением, и генерация ^^ по такому механизму имеет место для промежуточных (между 0 иЯС/2,) углов между направлениями ^ и с. .

- 21

Важная особенность модуляционной неустойчивости в релятивистской плазме С т сЗ* ) состоит в том, что инкремент этой неустойчивости вне зависимости от угла между £ и Е, тлеет вид Л

В зависимости от углов между Е^ц и меняется только численный коэффициент —>

Л = 0,096 , при

Л = 0,025 , при

Характерный масштаб модуляции ^ЛС/^ также всегда имеет порядок С?Тн2и\/с оО вне зашсимости от углов между £ , и г с. ©Ч

К. (направление К определяет направление модуляции).

В релятивистской плазме вклад за счет генерации квазистатического поперечного поля в нелинейное дисперсионное уравнение всегда имеет порядок ^ и оказывается несущественным. Несущественна и роль ионов в возбуждении данной неустойчивости при

В четвертой главе рассмотрено нерезонансное взаимодействие ленгмюровских волн в релятивистской плазме, представляющее собой затухание Ландау биений, возникающих в результате взаимодействия таких волн. Этот процесс сначала рассмотрен в рамках постановки задачи использованной во второй и третьей главах, а именно, рассмотрено затухание или возбуждение продольных возмущений в поле стационарной ленгмюровской волны конечной амплитуды в результате взаимодействия возникающих биений с частицами плазмы. Показано, что такое взаимодействие в случае нерелятивист—> -> ской температуры и при К VIК характеризуется инкрементом с декрементом)

Здесь первое слагаемое в квадратных скобках сохраняется в нерелятивистском пределе Уу/с-*^ [64] , а второе определяет учет слаборелятивистского вклада и существенно в области длинных волн К^^Л » К о^-^^ч \ ' ^ Ростом температуры релятивистский вклад в ^ , не содержащий дополнительных малых коэффициентов, пропорциональных и СКо^^» становится определяющим, При

Из этих формул видно, что данный процесс приводит к перекачке энергии ленгмюровских волн в длинноволновую область спектра. Сравнение полученного в этой главе инкремента с инкрементом резонансной модуляционной неустойчивости приводит к выводу,что последний в раз ^ольше'

Далее в четвертой главе рассмотрен случай волн со случайными фазами. В используемом в настоящей работе (главы 2-4) кубическом по амплитуде поля приближении при усреднении по случайным фазам получается нелинейное уравнение для корреляционной функции ленгмюровского спектра ^ ' которое учитывает влияние распада ленгмюровской ^Ьолны с образованием ионно-звуковой и другой ленгмюровской волны, а также нелинеиное взаимодействие ленгмюровских волн типа нелинейного затухания Ландау,

Получено выражение для инкремента (декремента), описывающего нелинейное (индуцированное) рассеяние ленгмюровских волн в релятивистской плазме с максЕелловской функцией распределения электронов. В нерелятивистском пределе полученное выражение совпадает с известными результатами [96], а с учетом слаборелятивистского вклада имеет вид

К'' х

Ск^-к1). (к - 10l.Vr.

А ^ 8 С*

И Ск^кз1'V? где Х(К ) задается соотношениями

1(к) х с^)=Xх ^ ^^

В случае ^^С?* вместо этого выражения для ^ (у^) необходимо использовать высокотемпературную асимптотику

Г 2.4 с г к2-- кг Гг/.* X где

Кхка]*(к-к0]

Полученные формулы для в релятивистской плазме содержат качественно иную зависимость подынтегральных выражений —> от волновых векторов К и ^ по сравнению с нерелятивистской формулой [96] и со случаем одномерного теплового разброса импульсов электронов [102]. Так эти выражения не обращаются в ноль и К А-К^ • Анализ этих формул позволяет также утверждать, что верхней границей по 9е области, где справедливы нерелятивистские формулы Г 96] , являются значения й порядка -2

10 • Отмечено также, что кубическое по полю приближение не позволяет в рамках метода случайных фаз рассматривать процессы типа модуляционной неустойчивости.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [104 - 107,109,110] .

Нумерация формул в диссертации осуществляется по главам, а в случае ссылки из одной главы на формулу, приводящуюся в другой, указывается также номер главы. Например, (2.30) означает 30-ую формулу главы 2.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Трубачев, Олег Олегович

§ 6. Основные выводы.

Подводя итог, отметим, что при релятивистских температурах электронов изотропная плазма в присутствии самосогласованного V длинноволнового поля Ео&лб)©^ неустойчива относительно возбуждения ВЧ поля ^ той же частоты, прсмодулированного в продольном или поперечном направлениях. Важная особенность модуляционной неустойчивости в релятивистской плазме состоит в том, что инкремент этой неустойчивости вне зависимости от угла между ^ и имеет вид г^г оС/

85) где СОр^^СОр , СО^- релятивистская плазменная частота.

В зависимости от углов между ^ и меняется только численный коэффициент

X = 0,096, приЕ\\Ё0 , X = 0,025, при

Характерный масштаб модуляции^ также всегда имеет порядок С^сор Бне зависимости от углов между £ , и у^ (направление определяет направление модуляции). В релятивистской плазме вклад квазистатического поперечного поля всегда имеет порядок и оказывается несущественным в нелинейном дисперсионном соотношении. Несущественна и роль ионов в возбуждении данной неустойчивости при 9е ^ ГП С^* •

Более сложной является картина модуляционной неустойчивости в слаборелятивистской плазме. При ^ и преимущественно возбуждается продольно модулированное поле вдоль Ео СЕо\\Е\\к) по нерелятивистскому механизму. С инкрементом в С/\1Т раз меньшим может возбуждаться поперечное поле, электрический вектор которого параллелен» масштаб

- 141 модуляции этого поля будет также в СуД/р раз большим (вследствие наличия скорости света в линейном дисперсионном соотношении для поперечного возмущения). В отличие от случая возбуждение ВЧ поля, электрический вектор которого ортогонален £ , о юн Е0 всегда проходит по релятивистскому механизму и определяется в основном электронным вкладом. При £ 0 и К V Р.

Г-Слу/^-т/с*, (86) а масштаб модуляции

2,1С съ

Гчл

87)

В случае же продольного возмущения, промоделированного в направит Ве лении, ортогональном Ь0 . все зависит от параметра . о тс^

При]рГ\С сохраняется оценка инкремента (86), а масштаб модуляции будет меньше

2Ж сг

К о>?\/Е •

При Эе « ТПС

88) ----------------

Данное различие, как было отмечено выше, объясняется возрастанием относительного вклада возбуждаемого квазистатического поперечного магнитного поля е

Вен)

Е (О) (90)

- 142

Вообще, квазистатическое магнитное поле возбуждается всегда, если ССЕ><Е.о1>'К]^0 » но только при отношение £>С-0/Е(0) шеет первый порядок по амплитуде поля . Вклад в нелинейное дисперсионное соотношение за счет генерации ^ (-1) по порядку величины никогда не превосходит jqJ* и всегда может быть опущен, когда отличен от нуля нерелятивистский вклад за счет генерации продольного ВЧ поля, что имеет место для

-> —> всех углов между П и С , кроме углов очень близких к5[7, , гГ /«*

В то же время во Есех случаях, кроме h.^\\t0 * попеРечное ква~ зистатическое поле возбуждается за счет связи с продольным ВЧ полем. Таким образом, как впервые было показано в работе Ш], максимальный инкремент генерации квазистатического магнитного поля определяется в случае нерелятивистской плазмы обычным нерелятивистским дисперсионным уравнением и генерация ^ (-1) по такому механизму имеет место для ^промежуточных (между 0 и5У.Д) углов между направлениями Р и, .

Ч / р \

Кроме того, при поперечной модуляции всегда возбуждается ВЧ магнитное поле. Именно возбуждение НЧ и ВЧ магнитных полей придает важность учету релятивистских эффектов в низкотемпературной плазме, в частности, этим объясняется появление в последнее время ряда статей по магнитомодуляци-онной неустойчивости, проанализированных нами выше. Еще одним важным следствием релятивистского анализа модуляционной неустойчивости в низкотемпературной плазме является наличие двух масштабов модуляции - меньшего в направлении вдоль р и большего в о ортогональном направлении, а также возможность возбуждения электрического поля, ортогонального £ .

- 143

Глава 4. НЕРЕЗОНАНСНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЕ. НЕЛИНЕЙНОЕ ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ.

§ I. Взаимодействие волн с фиксированными фазами.

Во второй и третьей главе мы рассмотрели резонансные процессы, связанные с нелинейным взаимодействием волн в релятивистской изотропной плазме, которые возбуждаются в присутствии продольной самосогласованной волны заданной конечной амплитуды. В рамках используемого всюду в данной работе приближения, когда учитываются вклады нелинейных токов вплоть до кубического порядка по самосогласованному полю, наряду с резонансными процессами типа распада исходной волны на ионный звук и другую ленгмюровскую волну

1= Ц ) + 0)^Ко-]<) и модуляционной неустойчивостью

I <л)ееГ0) = ) .-V С0е (2х.о - к) имеет место также нерезонансное взаимодействие, представляющее собой затухание Ландау биений, возникающих при взаимодействии первичной стационарной ленгмюровской волны с какой-либо ленгмюров-ской волной малой амплитуды. Такой процесс сводится к взаимодействию биений с электронами плазмы, имеющими скорость V , которая удовлетворяет условию

- сд^о) к.)?

Вклад такого процесса особенно существенен, если линейное затуха

- 144 - —>» ние Ландау ленгмюровских волн с волновыми векторами и мало или отсутствует совсем (при сверхсветовых фазовых скоростях).

В данном параграфе рассмотрим этот процесс в рамках постановки задачи, использованной во второй главе. То есть рассмотрим возбуждение в плазме продольных возмущений в присутствии стационарной ленгмюровской волны, заданной соотношениями (2.17)-(2.20). Однако, в отличие от второй главы, мы при анализе системы (2.39) будем считать

С01 —-з- 60^ (К) \ (2)

К- V* /у/* . (3)

Условия (2), (3) означают, что мы рассмотрим взаимодействие исходной волны конечной амплитуды с ленгмюровской волной, частота и волновой вектор которой имеют значения вне резонансной области, соответствующей возбуждению модуляционной неустойчивости. При этом вместо системы пяти уравнений (2.49) достаточно рассмотреть систему из трех уравнений:

О?о ^ с) - (4-1)

Уравнения (4-2) описывают возбуждение вынужденных колебаний на частотах 0Лс.(х)о » а уравнение (4-1) - влияние поля на дисперсию ленгмюровской волны с волновым вектором К непосредственно (второе слагаемое) и через промежуточные вынуж

4-2)

- 145 денные колебания на частотах СО :Ь.С0о (третье слагаемое левой части (4-1) ). Остальные С имеют более высокий порядок малости по степеням внешнего поля и не дают вклад в нелинейное дисперсионное соотношение. Решая теперь систему (4) так же, как мы это делали в третьем параграфе второй главы, получим нелинейное дисперсионное соотношение ,0

Д.г0 «с? £ I J Ас А±1 определяющее нелинейный сдвиг частоты СО по отношению к ее ;линейному значению Это выражение под знаком интеграла содержит знаменатели вида

- бк-КоУУ, о которые при интегрировании дают особенность даже для волн с фазовыми скоростями, значительно превышающими тепловую скорость электронов. Как и в линейной теории такие интегралы имеют смысл при £0-> СОчЛо » о—>0+0 • Тогда уравнение (5) дает комплексный нелинейный сдвиг частоты, причем мнимая добавка как раз и представляет собой вклад за счет затухания Ландау низкочастотных биений.

В случае нерелятивистской температуры электронов вычисление асимптотик интегралов, входящих в выражение (5), позволяет получить явную зависимость сдвига частоты возмущения СО от амплитуды внешнего поля^ Ц 0 и параметров плазмы

При выводе формулы (6) мы положим также

7) н1те/пн «Ко^«!.

Эти неравенства позволяют пренебречь вкладом ионов. В пределе

41 » гДе был получен сдвиг частоты за счет четырехволнового взаимодействия ленгмюровских волн и нелинейное затухание Ландау в случае фиксированных фаз в рамках нерелятивистской теории. Вследствие малости нерелятивистского вклада в нелинейное затухание Ландау учет слагаемых, определяющихся релятивистским движением электронов, может быть существенен и для сравнительно низкой температуры электронов

С ростом температуры в выражении для комплексного сдвига частоты становится определяющим вклад, не исчезающий в пределе длинных волн формула (6) согласуется с результатом работы

I .

И для вместо (6) будем иметь а. гпг\£<ё

ООгсЩ \5 с2- ё^Г сх х

Из формулы (6) и (8) видно, что взаимодействие возникающих в плазме низкочастотных биений с резонансными электронами приводит к перекачке энергии ленгмюровских волн в длинноволновую область. Сравнение мнимой части (8) с резонансным инкрементом модуляционной неустойчивости (2.87) приводит к выводу, что нерезонансный процесс идет с инкрементом ъ СО^ меньпшм' чем резонансный.

§ 2. Взаимодействие волн со случайными фазами.

Развитие неустойчивостей в плазме приводит к возникновению колебаний со случайными фазами, распределенных по широким областям спектра. Когда энергия возбужденных колебаний

V/ мала по сравнению с тепловой энергией электронов \л//\\ 0 , возможно использование теории слабой турбулентности. Эта теория была развита в работах [93 для нерелятивистской плазмы, а затем ее результаты обобщались применительно к случаям релятивистского теплового разброса электронов по энергиям - в работе СЬ] проанализированы нелинейные процессы для степенной функции распределения электронов, в С ЮН - в случае одномерного теплового разброса, а в работах [ЮЭ » АЛ03 соответствующие результаты получены на основе изотропного максвелловского распределения. Теория слабой турбулентности в данном случае также основывается на уравнении для самосогласованного поля с уче

- 148 том кубической нелинейности (3,8). В данном параграфе мы рассмотрим так же как и во второй главе только продольные возмущения, однако, в отличие от этой главы и от предыдущего параграфа не будем ограничиваться одномерной геометрией распространения ленгмю-ровских волн. По прежнему основное состояние плазмы будем считать однородным и изотропным»

Введем корреляционную функцию для поля возмущения Здесь усреднение ведется по случайным начальным фазам волн. Поле возмущения будем считать в среднем однородным и практически неизменяющимся во времени, тогда

Е^иУДОУ- (9)

Ввиду случайности начальных фаз колебаний с точностью, использованной при выводе уравнения (3.8), можно также записать

X Е г (Ц Д) ■ Е к Ц Л) £ =

Вследствие продольности возмущений - • ((О = Умножив (3.8) на К^) и УсРедниБ по случайным фазам, получим \ Г" / \\

Будем считать, что в результате взаимодействия возбужденных ленг-мюровских волн не происходит раскачка ионнозвуковых колебаний. Тогда в виду нераспадности ленгмюровского спектра получим, принимая во внимание соотношения (9) и (10)

-> } ¿¿сй-Ц,!?-'^)

12) х , = 0} где

-Г.у?^ ■ (13)

- 150

Записывая уравнение (12), мы опустили слагаемые, которые не дают вклада в мнимую часть этого уравнения, поскольку нас ниже будут интересовать лишь значения нелинейных добавок к инкрементам или декрементам, а не линейные сдвиги частоты. В линейном приближении

15) и при вычислении добавок к линейному дисперсионному соотношению на основании уравнения (12) можно использовать соотношение (15). С учетом нелинейности колебаний резонансная зависимость Т/? м )

-МЛ*) 1] от СО^ вообще говоря сглаживается. В общем случае /

X - ]Х(»ц, ьзО ¿ко*.

Уравнение (12) можно рассматривать как нелинейное дисперсионное соотношение, определяющее нелинейный сдвиг частоты ленг-мюровской волны малой амплитуды в присутствии турбулентных пульсаций. В этом случае к)=бЗе(к) + А а)(к), к)

- 151

В случае слабой зависимости поля турбулентных пульсаций от времени и пространственных координат соотношение (16) для коэффициента нелинейного рассеяния волн позволяет записать уравнение, описывающее пространственно-временную эволюцию коррелятора

963 ;

Рассмотрим теперь асимптотические выражения для в случае низких и высоких температур. Будем все время также считать, что (^^«^(»С^К« • При в пределе ^ обращается в ноль, поэтому необходимо вычислять асимптотики функций и с точностью до величин второго порядка в разложении по малому параметру , . к! \ т и • ая- ~ а VIУт 0 /со-со (и Ч и\ (20) где

- нерелятивистская функция распределения Максвелла, Учитывая также, что при ГО С?" получим, подставив (18)—(21) в (16) ; По'тсо р) \ех ол-ю • (1--4 1 ' у 8 02: (22)

1. X

2Л У-г

При формула (22) дает нерелятивистское выражение для « Чтобы оценить вклад релятивистских поправок будем считать, что соот:ветстБУет Узкому волновому пакету со средним волновым вектором ^ таким, что угол между и близок к ЯС/^ и С случай наиболее эффективной перекачки энергии ^.Д ), тогда

- плотность энергии турбулентных пульсаций. Итак, из формулы (23) видно, что с повышением температуры плазмы релятивистская поправка становится по порядку величины равной нерелятивистскому выражению для уже при (КГ2 * КГ1)!*^ (Ю7 * Ю8Ц(), то есть именно начиная с таких значений температуры, нерелятивистская формула для становится неприменимой. Важно отметить, что температура ~ КГ^ГЛС*" определяет (в соответствии с результатами глав 2 и 3) и границу применимости нерелятивистских формул для модуляционной неустойчивости и в этом смысле имеет универсальный характер.

При более высоких температурах ^е^Г^сЗ" в формуле (16) для вклады от первого и второго слагаемого в пределе

0 не сокРа[ЦаЕ0ТСЯ* Поэтому, в отличие от не релятивистского случая, не требуется вычислять поправки к функциям^ и порядка СКЛ^. Тогда для произвольной температуры

Х) выражается через известные специальные функции от параметра г х[(А/г -к^вчу

Эое^)1 здесь г- Т-А ^ а коэффициенты и

Г г< г< определяют линейный закон дисперсии ленгмюроЕских волн в длинноволновой области 63е(Ю « (С0+ С1 кгсг/Ц.).

Формула (24) весьма громоздка и потому неудобна для дальнейшего использования, но анализ температурной зависимости входящих в (24) специальных функций позволяет прийти к выводу, что уже при ^ Р1 С?* вместо (24) можно использогать выражение

- 155 -Л »Л полученное из формулы (24) путем замены специальных функций

ЗрС (оС), К-т и Елб^О на соответствующие высокотемпе

П у у ратурные асимптотики.

Формулы (24) и (25) для в релятивистской плазме содержат качественно иную зависимость подинтегральных выражений от волновых векторов £ и п0 сравнению с нерелятивистской формулой и случаем одномерного разброса С №2.1« Так выра —> —». —> жения (24) и (25) не обращаются в ноль при К\\ К>\ и » как это происходит в нерелятивистской плазме. Если в качестве взять коррелятор, описывающий одну монохроматическую ленгмюровскую волну с волновым вектором УС о и амплитудой Нс , а также считать, что , то коэффициент нелинейного рассеяния » рассчитанный по формуле (25) совпадает с мнимой частью нелинейного сдвига частоты (8), полученного в результате непосредственного анализа устойчивости такой монохроматической волны без усреднения по случайным фазам.

Отметим, наконец, что используемая в теории слабой турбулентности процедура усреднения по случайным фазам при учете кубической нелинейности по самосогласованному полю позволяет рассматривать процессы типа распада ленгмюровской волны на ленгмюровскую и ионно-звуковую, а также типа нелинейного затухания Ландау низкочастотных биений, возникающих при взаимодействии двух ленгмю-ровских волн, но не дает возможности рассматривать модуляционную неустойчивость, для которой важны фазовые соотношения.

- 156

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим кратко основные результаты диссертации:

1. Показано изменение роли ионов в процессах типа параметрической неустойчивости с ростом температуры электронов до релятивистских значений. Получены выражения для инкрементов такой неустойчивости, учитывающие взаимодействие высокочастотной накачки с дебаевской шубой электронов, для изотропной плазмы, элек-трон-позитронной плазмы и плазмы с одномерным тепловым разбросом импульсов.

2. Найдены инкременты возбуждения по модуляционному механизму квазистатических магнитных полей и высокочастотных полей различной поляризации в релятивистской плазме.

3. Получено и исследовано на устойчивость решение в виде нелинейной стационарной продольной волны. Модуляционная неустойчивость такой волны релятивистского типа имеет место в области длин волн, устойчивых по нерелятивистскому механизму.

4. Получены формулы для нелинейного затухания Ландау ленгмюровских волн в слаботурбулентной релятивистской плазме и в г\ ч —2» 2. случае фиксированных фаз. При / ГГ\ С релятивистские эф

С» фекты оказываются преобладающими.

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору А.А.Соколову за руководство работой и Л.С.Кузьменкову за постоянную помощь и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Трубачев, Олег Олегович, 1984 год

1. Strocio M.A., Lee К., landman E.L, Relativistic derivation of laser-induced plasma profiles,- Phys.Fluids,1978,v.21, ETo.9»p«1.09-I5I2.

2. Sakagami Y., Kawakami H., Nagao S., Yamanaka C. Two-dimensional distribution of self-generated magnetic fields near the laser-plasma resonant interaction region,- Phys.Rev.Lett., 1979, v. 42 ,Ifo. 13, p. 839-842.

3. Walsh C.J., Baldis H.A.,Evans R.G. Plasma fluctuations at critical density in a COg laser plasma interaction.- Phys.

4. Fluids,1982,v.25,No.12,p.2326-2333.

5. Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон.- M.: Наука, 1974,392 с.

6. Закатов Л.П., Иванов А.А., Плахов А.Г., Шашшн В.В. Получение релятивистской плазмы адиабатическим сжатием в системе плазма-пучок.- Письма в Журн. эксперим. и теорет. физ.,1972,т.15, ЖЕ,с.16-20.

7. Каплан С.А., Цытович В.Н. Плазменная астрофизика.- М.: Наука, 1972,440 с.

8. Ruderman M.A., Sutherland P.G. Theory of pulsars: polar gaps, sparks, and coherent microwave radiation.- Astrophys.Journ., 1975,v.196,Ko I,p.51-72.

9. Михайловский А.Б. Об иерархии неустойчивостей пульсарной плазмы.- Письма в Астрон. журнал, 1979,т.5,ЖЕ1,с.604-606.

10. Гедалин М.Э., Мачабели Г.З. Распространение косых волн в релятивистской электрон-позитронной плазме,- Астрофизика,1983, т. 19, Ж, с. 153-159.

11. Divergilio W.E., Wong А.Х., Kim Н.С. ,LeeY.C. Self-generated magnetic fields in the microwave plasma resonant interaction. Phys.Rev.Lett.,1977,v.38,HoIO,p.541-544.

12. Силин В.П. Об электромагнитных свойствах релятивистской плазмы. Журн. эксперим. и теорет. физ.,1960,т.38,$5,с.1577-1583.

13. Силин В.П., Рухадзе А.А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред.- М.: Госатомиздат,1961, §13.

14. Цытович В.Н. 0 пространственной дисперсии в релятивистской плазме,- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1961,т.40,Л6,с.1775-1787.

15. Godfrey В.В., Newberger B.S., Taggart К.A. Relativistic linear theory in the absence of external fields.- IEEE Trans. Plasma Sci.,1975,v.PS-3,p.68-75.

16. Ломинадзе Д.Г., Михайловский А.Б. Продольные волны и пучковая неустойчивость в релятивистской плазме.- Журн. эксперим. и теорет. физ.» 1979,т.76,ЛЗ,с.959-970.

17. Кузьменков Л.С., Поляков П.А., Ситнов М.И., Трубачев 0.0. Асимптотические формулы для функии диэлектрического отклика релятивистской плазмы.- Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ.,астрон.,1982,т.23,№4,с.48-53.

18. Кузьменков Л.С., Поляков П.А,, Ситнов М.И., Трубачев 0.0. Представление продольной диэлектрической проницаемости сходящимся рядом в длинноволновой области.- Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ.,астрон.,1982,т.23,Ш,с.77-79.

19. Кузьменков Л.С., Ситнов М.И. Диэлектрическая проницаемость ультрарелятивистской плазмы.- Изв. вузов СССР.Физика,1982, т, с. 57-60.

20. Суворов Е.В., Чутунов Ю.В. Электромагнитные волны в релятивистской плазме с сильным магнитным полем.- Астрофизика, 1975,т.II,№2,с.305-318.

21. Михайловский А.Б., Оншценко О.Г., Смоляков А.И. Кинетическое описание релятивистской плазмы с одномерным распределением частиц по импульсам.- Ин-т космич. исслед. АН СССР,Препр.1983,$772,8 с.

22. Поляков П.А. Новый вид колебаний в релятивистской плазме Журн. эксперим. и теорет. физ.,1983,т.85,№-5,с.1585-1589.

23. Кузьменков Л.С. Цепочка уравнений Боголюбова для релятивистских систем. Радиационное затухание волн в плазме.- ДАН СССР, 1978,т.241,№2,с.322-325.

24. Кузьменков Л.С., Поляков П.А. Кинетическая теория волн в релятивистской плазме с учетом торможения излучением.- Вестн. Моск. ун-та.Сер. физ.,астрон.,1978,т. 19,J83,с.95-100.

25. Кузьменков I.C., Поляков П.А. Затухание волн в релятивистской плазме,- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1982,Н,с.139-144.

26. Иванов А.А., Юшманов П.Н. Диэлектрическая проницаемость релятивистской плазмы.- в сб.: "Численные методы в физике плазмы. Звенигород 1974 г."- М.: Наука, 1977,с.212-215.

27. Misra P.,Mohanty J.N. Dispersion formulae for waves in a magneto-active relativistic plasma.- J.Plasma Phys.,1980,v. 24,No 3,p.409-420.

28. Кузьменков Л.С., Ситнов М.И. Метод стационарной фазы в релятивистской кинетической теории магнитоактивной плазмы.-М.: Деп. в ВИНИТИ №2234-83Деп,1983,35 с.

29. Ахиезер А.И.,Половин Р.В. К теории волновых движений электронной плазмы.- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1956,т.ЗО, 1©,с.915-928.

30. Мах С.Е. Steady-state solution for relativistically strong electromagnetic waves in plasmas.- Phys.Fluids,1973,v.16, Ко 8,p.I277-I288.

31. Bernstein I.В., Greene J.M., Kruskal M.B. Exact nonlinear plasma oscillations.- Phys.Rev.,1957,v.108,Ho 3,p.546-550.

32. Wong M.V. Stability of Bernstein-Greene-Kruscal wave with small fraction of trapped electrons.- Phys.Fluids,1972,v.15, Ко 4,p.632-646.

33. Goldman M.V., Berk H.L. Stability of a trapped particle equilibrium.- Phys.Fluids,1971,v.14,Ko 4,p.801-804.

34. Wang H.S.C. Nonlinear stationary waves in relativistic plasmas Phys.Fluids,1963,v.6,Ко 8,p.III5-II23.

35. Janicke L.Nonlinear electromagnetic waves in a relativistic plasma.- Plasma Phys.,1977,v.19,Ко 3,p.209-228.

36. Силин В.П. Параметрическое воздействие излучения большой мощности на плазму.- М.: Наука,1973,288с.

37. Галеев A.A., Сагдеев Р.З. Нелинейная теория плазмы.- В сб. "Вопросы теории плазмы"- М.: Атомиздат, 1973,с.3-145.

38. Galeev A.A., Sagdeev R.Z. Parametric Phenomena in a plasma.-Nuclear Fusion,1973,v.13,No 4,p.603-621.

39. Горбунов Ü.M., Силин В.П. О неустойчивости плазмы в сильном высокочастотном поле.- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1965, т. 49, J£6, с.1973-1982.

40. Цинцадзе Н.Л. О возможности параметрического резонанса в электронной плазме.- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1970,т.59, МО, с. I25I-I253.

41. Цинцадзе Н.Л., Цхакая Д.Д. О колебаниях плазмы, помещенной в сильное переменное электрическое поле.-В кн. "Аннотации докладов 2-ой Международной конференции по теории плазмы"-К.: 1974, Ин-т теор. физ. АН УССР, с Л 87.

42. Цинцадзе Н.Л., Цхакая Д.Д., Хирсели Е.М. О колебаниях плазмы, помещенной в сильное переменное электрическое поле.

43. В сб. "Физика плазмы"- Тбилиси: Мецниереба,1975, с.5-44.

44. Tsintsadze K.L. Konlinear phenomenon due to electron mas oscillation.- "3rd Int. meet, theor. and experim. aspects heat.toroidal plasmas'1- Grenoble s.I.,1976,v.2,p.381-399.

45. Цинцадзе Н.Л. Параметрические явления в плазме в поле мощного электромагнитного излучения.- В сб."Проблемы теории плазмы" -К.: Наукова думка, 1976, с.334-339.

46. Мах С.Е., Arons J., Langdon A.B. Self-modulation and self-focusing of electromagnetic waves in plasmas.- Phys.Rev.Lett., 1974,v.33,Ho 4,p.209-212.

47. Ferrari A., Trussoni E., Zaninetti L. Parametric excitation of- 162 relativistic plasma oscillations by strong electromagnetic waves.- Phys.Lett,1975,v.54A,No 2,p.186-188.

48. Dobrowolny M., Ferrari A., Bosia G. Plasma instabilities of a relativistically strong electromagnetic wave.- Plasma Phys., 1976,v.18,p.441-452.

49. Lee M.A., Lerch I. On the stability of self-consistent large amplitude waves in a cold plasma II.Longitudinal waves in the absence of a large amplitude magnetic field.- J.Plasma Phys. 1979,v.2I,part I,p.27-42.

50. Цикаришвили Э.Г., Цинцадзе H.I. К теории параметрического возбуждения ленгмюровских колебаний в релятивистской электронной плазме.- В сб. "Физика плазмы"-Тбилиси:Мецниереба,1975,с.83-88.

51. Цинцадзе Н.Л. ,Цикаришвили Э.Г. Параметрические неустойчивое^ ти в релятивистской плазме.- Astrophys.and Space Science,1976,v.39,p.I8I-I90.

52. Arons J., Norman С.А., Max С.Е. Electromagnetic parametric instabilities in an ultrarelativistic plasma.- Phys.Fluids,1977,v.20,No 8,p.I302-I3I0.

53. Веденов А.А., Рудаков Л.И. 0 взаимодействии волн в сплошных средах.- ДАН СССР,1964,т.159,№4,с.767-770.

54. Андреев Н.Е., Кирий А.Ю., Силин В.П. Параметрическое возбуждение продольных колебаний в плазме слабым высокочастотным электрическим полем.- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1969,т.57, Ш, с.1024-1039.

55. Tsintsadze K.L., Tskhakaya D.D., Stenflo L. Modulation instabilities due to relativistic electron mass variation.-Phys.Lett.,1979,v.72A,No 2,p.II5-Il6.

56. Berezhiani V.l., Tsintsadze N.L.,Tskhakaya D.D. Nonlinear phenomena in plasma with relativistic high frequency electron motion.- J.Plasma Phys.,1980,v.24,No I,p.15-23.

57. Цытович В.Н., Хакимова М. Модуляционная неустойчивость и со-литоны в релятивистской плазме.- М.: Физ. ин-т АН СССР.,1978, Препринт ЖЕ6,48 с.

58. Меликидзе Г.И., Патарая А.Д. Релятивистский ленгмюровский солитон в магнитосфере пульсаров.- Астрофизика,1980,т.16, ЖЕ,с.161-167.

59. Цинцадзе Н.Л., Цхакая Д.Д. К теории электрозвуковых волн в плазме.- Журн. эксперим и теорет. физ.,1977,т.72,Ш,с.480-487.

60. Цивцивадзе Т.А., Цинцадзе Н.Л. Модуляционная неустойчивость ленгмюровских волн в плазме, обусловленная осцилляцией массы электронов.- Физ. плазмы, 1977,т.3,$2,с.277-279.- 164

61. Drake J.P., Lee Y.C., Nishikawa K., Tsintsadze N.L. Breaking Of large amplitude waves as a result of relativistic electron-mass variation.- Phys. Rev. bet t. ,I976,v.36,Ifo 4,p.196-200.

62. Jones D.A., Kane E.L., Lalousis P., Wiles P., Нога H. Density-modification and energetic ion production at relativistic self-focusing of laser beams in plasmas.- Phys.Fluids,1982, v.25,Ho 12,p.2295-2301.

63. Лошшадзе Д.Г., Моисеев С*С., Цикаришвили Э.Г. О влиянии релятивистских эффектов на проникновение волнового пучка в плотную плазму.- Письма в Журн. эксперим. и теорет. физ.,1983, т.38,№10,с.473-475.

64. Abraham Chian C.L. Relativistically strong coupled transverse-longitudinal waves in an electron-ion plasmas.- Phys.Rev.A, I98I,v.24,No 5,p.2773-2776.

65. Max C.E., Perkins P. Instability of a relativistically strong electromagnetic wave of circular polarization.- Phys.Rev.Lett. 1972,v.29,No 26,p.I73I-I734.

66. Ьее И.А., Lerche I. On the stability of self-consistent large amplitude waves in a cold plasma I. Transverse circulary polarized waves in the absence of a large scale magnetic field. J.Plasma Phys.,1978,v.20,part 3,p.313-328.

67. Давыдовский В.Я. Нелинейное дисперсионное уравнение для поперечных волн в релятивистской плазме.- Изв. вузов СССР.Радиофизика, 1979,т.22,№,с.1026-1027.

68. Han S.J. Stationary localized envelope waves in plasmas.-Phys.Fluids,1981,v.24,No 5,p.920-925.

69. Romeiras P.J. Stability of strong electromagnetic waves in overdense plasmas.- J.Plasma Phys.,1982,v.27,part 2,p.239-259.- 165

70. Рубцов В.Б. К теории слаборелятивистского параметрического резонанса.- В сб."Проблемы стат. и квант, физ."- М.: Ун-т дружбы народов, 1975,0.71-75.

71. Tsintsadze N.L., Papuashvili И.A., Tsikarishvili E.C., Stenflo L. Damping of electromagnetic waves of relativistic amplitudes.- Phys.Scripta,I980,v.2I,No 2,p. 183-184.

72. Paverman V.S., Svimonishvili I., Tskhakaya D.D., Falk L. The stability of a magnetized electron plasma in the field of a circulary polarized electromagnetic wave.- Phys.Scripta, 1980,v,22,No 2,p.147-150.

73. Гршаев В.И., Демченко В.В. Параметрическая неустойчивость нелинейных релятивистских продольных колебаний магнитоактив-ной плазмы.- Изв. вузов.Радиофизика, 1980, т.23,М, с.398-406.

74. Папуашвили Н.А., Цикаршвили Э.Г., Цинцадзе Н.Л. Роль релятивистских эффектов в возбуждении низкочастотной волны в маг-нитоактивной плазме.- Физика-плазмы, 1980,т.6,Ш,с.603-612.

75. Asseo Е., Llobet X., Schmidt G. Stability of large amplitude waves in plasmas.- Phys.Rev.A,1980,v.22,No 3,p.I293-I294.

76. Абдуллаев А.Ш., Алиев Ю.М., Быченков В.Ю. Самовозбуждение магнитных полей в лазерной плазме.- Письма в Журн. эксперим. и теорет. физ.,1978,т.28,$8,с.524-526.

77. Бельков С.А., Цытович В.Н. Модуляционное возбуждение магнитных полей.- Журн. эксперим. и теорет. физ.,1979,т.76,№4, с.1293-1302.

78. Алиев Ю.М., Быченков В.Ю. Параметрическая генерация магнитных полей при воздействии на плазму излучения большой мощности.-Журн. эксперим. и теорет. физ.,1979,т.76,$5,с.1586-1592.

79. Kudashev V.R., Mikhailovskii A.B., Suramlishvili G.I. Mag-netomodulational instability of a relativistic electron-positron plasma.- Phys.Lett,I983,v.A93,No 3,124-126.

80. Kudashev V.R. ,Mikhailovskii A.B., Suramlishvily G.I. Magne-tomodulational instability of monochromatic Langmuir wave.

81. Phys.Lett.,v.A93,Ho 8,p.409-410.

82. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Слаботурбулентная плазма в магнитном поле.- Журн. эксперим. и теорет. физ., 1962,т.43,1Ê6, с.2234-2244.

83. Карпман В.И. К теории слаботурбулентной плазмы.- ДАН СССР, 1963,т.152,m,с.587-590.

84. Кадомцев Б.Б. Турбулентность плазмы.- Веб. "Вопросы теории плазмы",вып.4- М.: Атомиздат,1964,с.188-339.

85. Галеев A.A., Карпман В.И., Сагдеев Р.З. Многочастичные аспекты теории турбулентной плазмы.- Ядерный синтез,1965,т.5,Ж, с.20-40.

86. Цытович В.Н. Теория турбулентной плазмы.- М.: Атомиздат, I97I,c.52-25I.

87. Цытович В.Н. Развитие представлений о плазменной турбулент- 167 ности.- Успехи физических наук,1972,т.108,№2,с.143-176.

88. O.Porcolab М., Chang R.P.H. Nonlinear wave effects in laboratory plasmas. A comparision between theory and experiment.-Rev.Mod.Phys.,1978,v.50,Ко 4,p.745-795.

89. I.Sugaya R., Sugawa M., Nomoto H. Observation of nonlinear Landau damping of electrostatic waves in an electron beam-plasma sistem.- J.Phys.Soc.Jap.,1978,v.45,Ho 5,p.I7l6-I724.

90. Ю2.Ломинадзе Д.Г.,-Михайловский А.Б., Сагдеев Р.З. Ленгмюровская турбулентность релятивистской плазмы в сильном магнитном поле.- Журн. эксперим. и теорет. физ., 1979,т.77,J65,о,1951-1961.

91. ЮЗ.Могеаи D. On the derivation of dispersion relations for parametric instabilities.- Plasma Phys.,1981,v.23,No I,p.15-21.

92. Ю4.Кузьменков Л.С., Соколов А.А., Трубачев 0.0. Параметрическое возбуждение ленгмюровских колебаний в релятивистской электронной плазме.- Изв. вузов СССР. Физика, 1982,$5,с.58-61.

93. Кузьменков Л.С., Трубачев 0.0. Параметрическое возбуждение колебаний в релятивистской плазме.- М.¡Физический факультет МГУ mi М.В.Ломоносова. Препринт Щ8,1983, 4с.

94. Юб.Кузьменков Л.С., Трубачев 0.0. Исследование на устойчивость ленгмюровских волн конечной амплитуда в релятивистской электронной плазме.- М.: Деп. в ВИНИТИ №2072-83Деп,1983,24 с.

95. Кузьменков Л.С., Соколов А.А., Трубачев 0.0. Нелинейные ленгмюровские волны в релятивистской плазме.- Изв.вузов СССР. Физика, 1983,Щ2, с.17-21.

96. Котов В.Б., Кузьменков Л.С., Трубачев 0.0. Возбуждение продольных и поперечных полей в релятивистской плазме высокочастотным электрическим полем.- М.: Деп. в ВИНИТИ $864-84Деп, 1984,44 с.

97. Кузьменков Л.С., Поляков П.А., Трубачев 0.0. Нелинейное затухание ленгмюровоких волн в слаботурбулентной релятивистской плазме.- Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ.,астрон.,1980, т.21,№6,с.94-97.

98. НО.Кузьменков Л.С., Трубачев 0.0.,Нелинейное рассеяние продольных волн в слаботурбулентной релятивистской плазме.- Изв.вузов СССР.Физика,1982,№2,с.53-56.

99. Ш.Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1974, с.42-137.

100. Справочник по специальным функциям. Под ред. М.Абрамович и И.Стиган.- М.: Наука, 1979, с. 297-312.

101. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе A.A. Основы электродинамики плазмы.- М.: Высшая школа, 1978, с.5-15.

102. И4.Пустовалов В.В., Силин В.П. Нелинейная теория взаимодействия волн в плазме .- Труды Физ. ин-та АН СССР.Теория плазмы, т.61.- М.: Наука, 1972,с.42-281.

103. Пб.Цытович В.Н. Нелинейные эффекты в плазме.- М.: Наука,1967, с.267.