Равномерные гомеоморфизмы пространств непрерывных функций и многозначные отображения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Арбит, Александр Владимирович

• Арбит, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Арбит, Александр Владимирович

Введение

Терминология и обозначения

Глава 1. Многозначные отображения, порождаемые равномерными гомеоморфизмами пространств непрерывных функций

§ 1. Понятие носителя

§2. Свойства носителя

Глава 2. Коммутативные семейства ретракций

§1. Аналог спектральной теоремы Щепина

§2. РПРЕ на компактах. Пространства D 2 и exp D*

§3. РПРЕ на пространствах Ср(Х)

Глава 3. Равномерно гомеоморфное разложение пространств функций в произведение

§1. Декартовы ретракции

1.1. Конечная тихоновская степень

1.2. Пространство ехриХ

§2. Равномерно гомеоморфное разложение пространств функций в произведение

§3. Пространства функций над аГ и его конечными степенями

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равномерные гомеоморфизмы пространств непрерывных функций и многозначные отображения»

Предмет нашего рассмотрения - пространство Ср(Х) всех непрерывных вещественных функций на топологическом пространстве X, наделённое топологией поточечной сходимости. Этот объект можно рассматривать либо как топологическое пространство, либо как равномерное топологическое пространство, либо как линейное топологическое пространство. Естественным образом возникает следующая задача.

Пусть Ср(Х) и Cp(Y) одинаковы в том или ином смысле: как топологические пространства, как равномерные топологические пространства или как линейные топологические пространства. Какие свойства пространствуй Убудут тогда общими?

Сформулируем данную задачу на языке эквивалентностей. Назовем пространства X и У t

-эквивалентными (/-эквивалентными, «-эквивалентными) и будем писать X-Y

1 и соответственно, X ~Y, X~Y), если пространства Ср(Х) и Cp(Y) гомеоморфны соответственно, линейно гомеоморфны, равномерно гомеоморфны). Если X и Y гомеоморфны, h то пишем X~Y.

Очевидны следующие импликации h I и t

X~Y^X~Y=>X~Y=> X~Y.

Данные отношения являются отношениями эквивалентности, а свойства пространств X и Y, которые сохраняются отношением /-, /- или «-эквивалентности, будем называть соответственно t-, I- или м-инвариантами.

В данной терминологии вышеназванная задача формулируется следующим образом: какие свойства топологических пространств Xи У являются t-, I- или «-инвариантами?

Для доказательства инвариантности тех или иных топологических свойств часто привлекается следующая конструкция. Непрерывное отображение пространства Cp(Y) в

Ср(Х) порождает семейство многозначных отображений из X в Y, которые являются основным инструментом в доказательстве теорем об инвариантности.

Такого типа конечнозначные отображения были определены О.Г.Окуневым [17] для доказательства /-инвариантности спрэда, наследственной плотности и наследственного числа Линделёфа. Используя различные варианты таких отображений, С.П.Гулько [4] доказал и-инвариантность размерности, а Н.В.Величко [19] доказал /-инвариантность свойства Линделёфа.

Первая глава диссертации посвящена дальнейшему изучению многозначных отображений, возникающих при равномерном гомеоморфизме пространств функций Ср(Х) и Ср(У). В первом параграфе вводится понятие е-носителя, многозначного отображения пространства X в Y для каждого г > 0, которое мы обозначаем supp£. Это отображение строится аналогично построенному О.Г.Окуневым [17] для случая /-эквивалентности, обозначение было введено им же. Значениями этого отображения являются непустые конечные множества suppEx, где х € X, причём, если е < 5, то suppgX czsuppcx. Далее строится отображение supp: X —» 2Г, определённое формулой supp х = [J suppex, значениями которого являются счётные (в общем 0 случае) множества. Во втором параграфе исследуются свойства вышеупомянутых отображений и то, как эти отображения соотносятся с другими, в частности, с отображением х I—» К(х), введённым С.П.Гулько [4]. Главным результатом этой главы является следующая

Теорема 1.2.5. Многозначное отображение supp: X -» 2Y полунепрерывно снизу.

Отображение носителя, построенное О.Г.Окуневым для случая /-эквивалентности, вообще говоря, не является полунепрерывным снизу, хотя и обладает некоторой более слабой формой полунепрерывности. Таким образом, и-экви валентность пространств порождает многозначное отображение, обладающее рядом замечательных свойств, которые могут отсутствовать в случае /-эквивалентности.

Результаты второй главы навеяны спектральной теоремой Е.В.Щепина [9,10], которая утверждает, что если предельные пространства двух регулярных спектров одинаковой длины гомеоморфны, то они содержат изоморфные подспектры. Одно из применений этой теоремы -доказательство того факта, что компакты D*2 и exp DHl не гомеоморфны. В связи с этим возникает вопрос: будут ли пространства функций на этих компактах гомеоморфны и если будут, то какая это будет гомеоморфность (линейная, равномерная)? Напрямую применить спектральную теорему к пространствам Сp(D*2) и С р(expD*2) нельзя, так как пространства непрерывных функций не разлагаются в регулярные обратные спектры, однако оказалось возможным использовать общую схему рассуждений, связанную со спектральной теоремой и доказать её аналог (теорема 2.1.4), применимый к пространствам функций Ср(Х) и Cp(Y) над некоторыми пространствами специального вида. Эта теорема является главным результатом первого параграфа. В этом параграфе мы рассматриваем пространства X, на которых существует семейство {га : а < оо(х)} попарно различных ретракций, где со(х) - первый ординал регулярной несчётной мощности х, удовлетворяющее условиям

R1) га о Гр = Гр о га = га для любых а < р < со(т) (коммутативность); (R2) mv(ra[x]) < т для всех а < со(т);

R3) lim га(х) = для любого предельного ординала а<оо(х) и для любого х е X поточечная непрерывность). В теории банаховых пространств такие трансфинитные последовательности линейных непрерывных проекторов называются проекционными разложениями единицы (ПРЕ). Мы распространяем это название и на тот случай, когда га - просто непрерывные ретракции в топологическом пространстве X, удовлетворяющие условиям (Rl), (R2), (R3). Многие результаты, касающиеся проекционных разложений единицы на топологических пространствах, были получены в работах С.П.Гулько [5,15]. Из этого же источника заимствованы некоторые понятия, используемые в этом параграфе, адаптированные для нашего случая.

Проекционное разложение единицы Г = [ra : a < со(х)} на пространстве X будем называть разделяющим, если для любых двух различных точек х\х" е X существует ординал a < со(х), такой, что га(х') Ф ra(jc") . Наряду с семейством ретракций Г = {ra : a < ю(х)| на пространстве X мы также будем рассматривать порождаемое им сопряжённое семейство ретракций Г* = [г* :а< оо(т)j на пространстве Ср(Х), где г*: Ср(X) -> Ср(X) - двойственное отображение к отображению га, определённое формулой r*(f) = f°ra, feCp(X). В случае, когда ретракты r^\ср(X)] покрывают собой всё пространство Ср(Х), мы называем семейство Г расслаивающим проекционным разложением единицы (РПРЕ).

Теорема 2.1.4 (аналог спектральной теоремы Щепина). Пусть {ра : а < со(т)}, [qa: а < со(т)} - РПРЕ на пространствах X и Y соответственно, и пусть h:X —» Г — гомеоморфизм. Тогда множество B{h) тех а, что отображение ga = qa oh° р"1: Xa Ya является гомеоморфизмом, замкнуто в [1, со(т)) и конфинально со(х).

Во втором параграфе рассматриваются условия существования РПРЕ на компактах. В итоге получен следующий результат. Следствие 2.2.3. Каждое разделяющее ПРЕ на компакте является РПРЕ. Далее доказывается, что естественным образом возникающие ретракции на пространствах и и

D 2 и expD 2 образуют РПРЕ на этих пространствах, и следовательно, к ним применима теорема 2.1.4. Применяя далее те же рассуждения, что и в доказательстве Е.В.Щепина [10], получаем, что пространства Dи exp D*2 не гомеоморфны. Итак, мы видим, что теорема 2.1.4 может применяться, как и спектральная теорема Щепина, для установления топологической неодинаковости (негомеоморфности) пространств, причём, в отличие от последней, её можно использовать для пространств функций.

В третьем параграфе исследуется вопрос применения теоремы 2.1.4 для пространств Ср{Х) и Ср (7), то есть выясняются условия существования РПРЕ на этих пространствах. Результаты, полученные здесь, перекликаются с результатами С.П.Гулько [15], касающимися двойственных свойств проекционных разложений единицы пространствXи Ср(Х) .

Теорема 2.3.7. Пусть Г = {га : а < оз(х)} - порождающее топологию семейство ретракций на пространстве X, удовлетворяющем условию Суслина, и пусть /: X -> У - непрерывное отображение пространства X в пространство счётного веса Y. Тогда найдётся ординал а < со(т), такой, что / = f °га.

Теорема 2.3.7 является аналогом результата, известного как факторизационная лемма [2,16,18]. Сформулируем теперь главный результат этого параграфа. Теорема 2.3.10. Пусть Г = {га : а < со(г)} - ПРЕ на пространстве X. Порождаемое им сопряжённое семейство ретракций Г* = \г*: а < со(т)} на пространстве Ср(Х) является РПРЕ тогда и только тогда, когда семейство Г - покрывающее.

Третья глава посвящена доказательству м-эквивалентности пространств аГ и а ф(аГ)" где Г - дискретное пространство, аГ - его одноточечная компактификация. Нетрудно видеть, 00 Л [ , что в случае Г=N пространство а гомеоморфно отрезку ординалов |1,сою|. В работе

Vn=1

14] С.П.Гулько установил, что отрезки ординалов [1,ш] и [l,tom] «-эквивалентны. Этот результат явился ответом на вопрос о различении отношений /- и ^-эквивалентности, поставленный А.В.Архангельским в [12], поскольку эти отрезки ординалов не являются /эквивалентными (Бессага и Пелчинский, [13]). Другими словами, при счётном Г пространства аГ и а

Ф(аГ)" и-эквивалентны, но не /-эквивалентны. Мы обобщим результат, полученный v«=i у

С.П.Гулько, для случая дискретного пространства Г произвольной мощности.

Схема доказательства следующая. Пространство Ср ((аГ)") равномерно гомеоморфно раскладывается в конечное произведение пространств, которые можно линейно топологически, без изменения нормы, отождествить с пространством с0(г). Такое разложение возможно благодаря доказанной нами во втором параграфе теореме 3.2.2. Затем применяется та же схема, которую применил С.П.Гулько [14] при доказательстве м-эквивалентности счётных отрезков ординалов.

В первом параграфе главы 3 вводится в обращение такое новое понятие, как декартова ретракция, которое впоследствии будет использовано нами в формулировке теоремы 3.2.2, являющейся ключевым моментом в структуре нашего доказательства. Декартова ретракция -это многозначное, непрерывное в топологии Вьеториса отображение R : X —» FinF (где F -замкнутое подмножество пространства X), обладающее некоторыми специфическими свойствами, в частности, тем свойством, что при многократном применении оно «сжимает» пространство X в точку, называемую нами центром декартовой ретракции. Пространство, на котором задана декартова ретракция, будем называть декартовым пространством. Примером декартова пространства является конечная тихоновская степень (декартова степень), откуда и берёт начало этот термин.

Главным результатом второго параграфа является следующая

Теорема 3.2.2. Пусть X - компакт, F - замкнутое подмножество в X, 0 - точка из F, R : X —> Fin F — декартова ретракция порядка п с центром в точке 0. Тогда для любого 6 > О существует равномерный гомеоморфизм такой, что для всех / <= Ср(х|{о}) выполняется неравенство

1 + 5)i/||< I W)||< ll/ll, где символ Ср (X\F) означает пространство всех непрерывных функций на X, равных нулю на множестве F, наделённое топологией поточечной сходимости.

Применяя теорему 3.2.2 к конечной тихоновской степени компактаX, получаем

Следствие 3.2.20. Для любого 5 > 0 существует равномерный гомеоморфизм

Ср{х"| {о})-* fl{cp{xm\xM)) ' , m-i такой, что

1 + 6Г11|/|| < Щп)(Л\ < \\f\\, f е Ср(х"\ {о}), где 0 - некоторая фиксированная точка пространстваX, 0 = (о,.,о) - точка пространства X", каждая координата которой равна 0 , х(т,т-\) = е Хт : Л/(х) = 0 хотя бы для одного i elm}.

Таким образом, нам удалось равномерно гомеоморфно разложить пространство функций на X" в произведение его подпространств с более простой структурой, что позволит нам в следующем параграфе доказать м-эквивалентность пространства аГ и его конечных степеней.

Теорема 3.3.4. Для любого n<=N и любого £ > 0 существует равномерный гомеоморфизм такой, что для любой функции /еСр [хп ) выполняется неравенство

1+вг 41/11 <||^(/)||<||/||.

И, наконец, главным результатом третьей главы является

Теорема 3.3.5. Для любого е > 0 существует равномерный гомеоморфизм со аГ)" —> с0 (г), а и=1

V V j j такой, что для любой функции / еС a аГ)" п=I выполняется неравенство а+сгЧ/ц^^л/)^!

Итак, мы доказали, что пространства аГ и а Ф(аГ)" «-эквивалентны. В последней и=Г части параграфа (теорема 3.3.8) доказывается, что эти пространства не /-эквивалентны.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю С.П.Гулько за постановку задач и плодотворное обсуждение результатов.

ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Все рассматриваемые ниже топологические пространства предполагаются вполне регулярными. Гомеоморфность пространств X и Y мы обозначаем X = Y. Символом /\а\ будем обозначать образ множества А при отображении f, /"' [й] - прообраз множества В относительно отображения f. Если / - отображение с областью определения X и F с= X , то через J\f обозначается сужение / на F. Символом X" будем обозначать п-ю тихоновскую степень пространства X, где п - натуральное число; оператор проецирования точки на /-ю координату обозначаем щ. h* : Ср (Y) -» Ср (X) - двойственное отображение к отображению h: X Y, определённое формулой h*{g) = g oh, g e Cp(7) . Произведение отображений fa обозначаем <H> fa . Замыкание множества А в пространстве X обозначаем А . Символом |Х| аеА обозначаем мощность пространствах

Rx - пространство всех функций на X. Cp(X\F) - пространство всех непрерывных функций на X, равных нулю на множестве F, наделённое топологией поточечной сходимости, где F - некоторое подмножество пространства X. expX, ехр„Х, FinX, 2х — пространство всех замкнутых подмножеств, пространство всех не более чем и-точечных подмножеств, пространство всех конечных подмножеств и пространство всех подмножеств пространства X соответственно, с топологией Вьеториса. с0(Г) - пространство всех тех функций х на множестве Г, для которых множество {у е Г: |х(у)| > е} конечно для любого е > 0. аГ одноточечная александровская компактификация дискретного пространства Г, D -двухточечное дискретное пространство. Символ Ф Xs означает прямую сумму seS топологических пространств.

Символом х обозначается произвольный несчётный кардинал, fc^, - первый и второй несчётные кардиналы, со(х) - наименьший ординал мощности т, со — первый бесконечный ординал, соj - первый несчётный ординал и ш2 - первый ординал мощности . Произвольные ординалы обозначаются буквами а, р, у, X, ju. Натуральный ряд мы обозначаем через N.

В определении и обозначении кардинальных инвариантов мы везде следуем книге Р.Энгелькинга [11]. В частности, w{X) - вес, nw(X) - сетевой вес, с(Х) - число Суслина.

Если (EjjI -|| ) и [е2 ; I -||2) - нормированные пространства, то их произведение Ех х Е2 мы наделяем нормой |(x,,x2)| = max(||x1||i,||x2||2). Если (/?rt;|| -||n) - нормированные пространства, пе N, то со-произведением Е = \ ГК пеМ мы будем называть множество всех

Со последовательностей х = (jcj,jc2,.), хпе.Еп, таких, что limlbtjl =0. Само со-произведение л-юо" " наделяется нормой ||д| = sup||x„||n. neN

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Арбит, Александр Владимирович, 2005 год

1. Архангельский А.В., Пономарёв В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. -М.: Наука, 1974.

2. Архангельский А.В. Непрерывные отображения, факторизационные теоремы и пространства функций // Тр. Моск. мат. о-ва. 1984. Т. 47. С. 3-21.

3. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.

4. Гулько С.П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Труды матем. ин-та им. В.А.Стеклова. АН СССР. 1992. Т. 193. С. 82-88.

5. Гулько С.П. Е-произведения и проблемы классификации в топологической теории пространств функций // Диссертация на соискание уч. степени доктора физ.-мат. наук. — М.: Изд-во МГУ, 1991.

6. Келли Дж. Общая топология. М.: Наука, 1981.

7. Куратовский К. Топология. Т.1 М.: Мир, 1966, Т.2 - М.: Мир, 1969.

8. Павловский Д.С. О пространствах, имеющих линейно гомеоморфные пространства непрерывных функций в топологии поточечной сходимости // УМН, 1982. Т.37, № 2. С. 185186.

9. Фсдорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные структуры. М.: Изд-во МГУ, 1988.

10. Щепин Е.В. Топология предельных пространств несчётных обратных спектров // УМН. 1976. Т. 31, №5. С.191-226.

11. Энгелькинг Р. Общая топология (Пер. с англ.). М.: Мир, 1986.

12. Archangelskij A.V. On relationship between topological properties of X and Cp(X) // Gen.Topol. and Relat. Mod. Anal, and Algebra. 5. Berlin, 1985. P. 24-36.

13. Bessaga C., Pelczynski A. Spaces of continuous functions (IV). On isomorphic classification of spaces of continuous functions // Studia math. 1960. V. 19. P. 53-62.

14. Gul'ko S.P. The space CP(X) for countable infinite compact X is uniformly homeomorphic to Co // Bull. Acad. Polon. sci. ser. Math. 1990.

15. Gul'ko S.P. Semilattice of retractions and the properties of continuous function spaces of partial maps // Quaderni di matematica. Recent progress in function spaces.1998. Vol 3. P. 93-155.

16. Mazur S. On continuous mappings on Cartesian products. Fund. Math. 39 (1952), 229-238.

17. Okunev O. Homeomorphisms of function spaces and hereditary cardinal invariants // Topol. and its Appl. 1997. Vol 80. P. 177-188.

18. Ross К.A., Stone A.H. Products of separable spaces. Amer. Math. Monthly 71(1964), 398 -403.

19. Velichko N.V. The Lindelof property is /-invariant // Topol. and its Appl. 1998. Vol 89. P. 277283.

20. Арбит A.B. О многозначных отображениях, порождаемых равномерными гомеоморфизмами пространств непрерывных функций // Международная конференция по математике и механике. г.Томск. 16-18 сентября 2003. Томск: ТГУ, 2003. С. 45-49.

21. Арбит А.В. Об одной модификации понятия м-эквивалентности топологических пространств // Вестн. Том. гос. ун-та. Сер. математика, кибернетика, информатика. 2004. Т.284. С.8-12.

22. Арбит А.В. Примеры разреженных компактов, различающие отношения /- и и-эквивалентности // Материалы XLIII Международной науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Математика — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2005. С.59.

23. Арбит А.В. Об одном аналоге спектральной теоремы Щепина // Том. гос. ун-т. Томск, 2005. - 27 с. - Библиогр.: 9 назв. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.05, № 1054-В2005.

24. Арбит А.В. Об одном примере разреженных компактов, различающем отношения /- и и-эквивалентности // Том. гос. ун-т. Томск, 2005. — 49 с. - Библиогр.: 5 назв. - Деп. в ВИНИТИ 20.07.05, № 1053-В2005.