Топологические группы и алгебраические оболочки топологических пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Пестов, Владимир Германович

• Пестов, Владимир Германович
• кандидат наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат наук Пестов, Владимир Германович

Оглавление

Введение

Терминология и обозначения

Глава I, Топологические группы счётного псевдохарактера

и подгруппы их произведений

§1. Х0-представимые топологические группы

§2.Фактор-группы топологических групп счётного

псевдохарактера

§3.0 непрерывных алгебраических изоморфизмах

топологических групп счётного псевдохарактера

Глава II. Подгруппы и подпространства

свободных: топологических групп

§1.Плотные подгруппы свободных топологических групп

§2.Строение пространства F(Х)^ и окрестности

единицы в свободных топологических группах

Глава III. Соотношения между свойствами t -эквивалентных

и М-эквивалентных топологических пространств

§1,Слабо ¿-эквивалентные топологические пространства

и слабой I -эквивалентности

§3.Факторизационная теорема и совпадение размерностей

Jim I -эквивалентных топологических пространств

§4.Соотношения между свойствами М-эквивалентных

топологических пространств

Библиография

Предметный указатель

- 3 -

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические группы и алгебраические оболочки топологических пространств»

Введение

В алгебре, топологии, дифференциальной геометрии, функциональном анализе заметную роль играют топологические группы, не являющиеся локально компактными. Примерами могут служить группы Ли-Банаха, топологические группы, являющиеся Q -многообразиями, линейно упорядоченные группы, группы гомеоморфизмов и т.д. Поэтому является актуальным изучение строения топологических групп, принадлежащих классам более широким, чем класс локально компактных групп.

Широкие возможности для исследования таких групп связаны с привлечением теории кардинальных инвариантов. Данная-тематика берёт своё начало в классических задачах общей топологии.

Очень полезным инструментом исследований топологических групп явилась теория свободных топологических групп, начатая работами А.А.Маркова [l6,I?J и М.И.Граева[9,10]и развитая затем в работах ряда авторов - в-частности, А.В.Архангельского [1,2,5,6,7] .

Методы теории свободных топологических групп оказались весьма полезными и при исследованиях строения линейных оболочек топологических пространств. Это показал Д.С.Павловский [l9]> В свою очередь, линейные оболочки топологических пространств занимают видное место в теории пространств непрерывных функций в слабой топологии.

В русле перечисленных выше направлений лежит и настоящая диссертационная работа: глава I посвящена изучению топологических групп в терминах кардинальных инвариантов, глава II - свободным топологическим группам, глава III -линейным оболочкам топологических пространств.

Среди кардинальных инвариантов топологических групп, которые изучаются в первой главе, основная роль принадлежит псевдохарактеру. Псевдохарактер у (Сг) группы С не превосходит Т , если единица группы С является пересечением семейства мощности своих открытых окрестностей. В главе I рассматриваются топологические группы, которые можно получить из групп счётного псевдохарактера с помощью естественных операций: прямого произведения с последующим переходом к подгруппе, перехода к топологической факторгруппе и перехода к образу при непрерывном алгебраическом изоморфизме.

Центральную роль в § I гл. I играет понятие Т -пред-ставимой топологической группы, возникшее в связи со следующей общей задачей. Пусть Р - класс топологических групп, обладающих некоторыми свойствами. Обозначим через Р класс групп, являющихся топологическими подгруппами прямых произведений групп из класса Р . Какие топологические группы принадлежат классу Р ? Изучение групп из класса Р* можно' в значительной мере свести к изучению групп из класса Р , которые, вообще говоря, более просто устроены, поскольку класс Р уже, чем Р . Хорошо изучены случаи, когда Р - класс групп Ли /здесь Р - класс вполне ограниченных групп/, когда Р - класс метризуемых групп /ему соответствует класс г Я0 -уравновешенных групп , именуемых также группами с квазиинвариантным базисом[14]/. Классу Р сепарабельных метризуемых групп отвечает класс Р* Я0-ограниченных групп [и].

Случай, когда Р - класс групп псевдохарактера ^ ,

был впервые рассмотрен А.В.Архангельским [з]. Соответствующие ему группы из класса г , т.е., подгруппы прямых произведений топологических групп, имеющих псевдохарактер , называются Т -представимыми. Определению границ,; этого класса групп и служат результаты §1.

Получено внутреннее описание Т -представимых групп. п

Через (¿г обозначается -модификация топологической группы С * т.е., топологическая группа, алгебраически изоморфная С , базу топологии которой образуют множества, имеющие в сг тип с «г .

1.1.3.Теорема. Топологическая группа С V -предста-

п<ху

вима, если и только если группа уравновешена /обла-

дает инвариантным базисом/.

С помощью этого критерия выясняются соотношения между классами почти метризуемых, проективно метризуемых и Х0-представимых топологических групп. Группа С почти метри-зуема /Б.А.Пасынков [20]/, если во всякой окрестности её единицы лежит компактная подгруппа, имеющая в С внешний характер . Группа Сг проективно метризуема /М.М.Чобан [25]/, если во всякой окрестности единицы лежит компактная нормальная подгруппа, имеющая в С внешний характер .

1.1.6.Теорема. Почти метризуемая группа проективно метризуема, если и только если она М0 -представима.

Л.Браун указал в [2?]на существование примера локально компактной паракомпактной топологической группы Н , которая не является проективно метризуемой. Из теоремы 1.1.6 следует, что группа Н не Яс -представима.

Чтобы указать топологическое пространство, свободная

- б -

топологическая группа которого не -представила, доказывается:

1.1.7.Теорема. Пусть С - топологическая группа. Если свободная топологическая группа Г Гс) X -представима, то и группа I Сг Т -представима.

Отсюда и из примера Л.Брауна следует существование локально компактного паракомпактного пространства /именно, пространства группы Н /, свободная топологическая группа которого не К0 -представима. Это отвечает на вопросы А.В. Аркан- . г^ркого: б, 8 и 9,6/ в [б], 4 и 5 в [?].

.Группа Сг всегда является топологической фактор-группой группы Р(Сг) [5,9]. Естественно спросить: не является ли теорема 1.1.7 следствием более общего результата, т.е., не сохраняется ли Т -представимость топологическими фактор-гомо-. морфизмами? Ответ оказывается отрицательным. Более того, на этом пути в §2 доказывается результат общего характера.

Топологическая группа С называется -группой

/группой без малых подгрупп/, если некоторая окрестность её единицы не содержит нетривиальных подгрупп 0 . Факторгруппа любой локально компактной Л/$5 -группы /т.е., группы Ли/ является локально компактной

-группой, что побудило И.Капланского задать вопрос о сохранении свойства быть -группой топологическими фактор-гомоморфизмами [Зб]. С.А.Моррис [37] получил отрицательный ответ и вместе с Г.Томпсоном сформулировал в [зв] задачу: охарактеризовать класс топологических групп, являющихся фактор-группами N5 5-групп. Полный ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

1.2.4.Теорема. Любая топологическая группа является топологической фактор-группой некоторой -группы.

В доказательстве этого результата свободные топологические группы играют центральную роль.

Так как псевдохарактер -группы счётен, получаем:

X.2.5.Следствие. Любая топологическая группа является топологической фактор-группой некоторой группы счётного псевдо-Чхарактера.

1 Этот результат указывает на широту класса групп счётного п!кевдохарактера. Например, счётность характера /т.е., метри-

I

зу^мость/ топологической группы сохраняется топологическими фактор-гомоморфизмами.

В-частности, из 1.2.5 следует, что любая топологическая группа является фактор-группой Н0 -представимой группы, что является положительным решением задачи 7 из статьи А.В.Архангельского [&].

Глава X завершается решением следующей задачи о непрерывных гомоморфизмах топологических групп счётного псевдохарактера. Известно, что любая такая группа уплотняется на метризуемое топологически однородное пространство [2]. А.В.Архангельский сформулировал следующий вопрос [3,б] : любая ли топологическая группа счётного псевдохарактера изоморфно и непрерывно отображается на некоторую метризуемую группу? Хорошо известно, что ответ положителен в классах ^ -уравновешенных групп [и»7] и свободных топологических групп [9,10]. В общем случае ответ оказывается отрицательным, как показывает построенный в §3 пример 1.3.1. Это исправляет замечание Е.В.Щепина в [42] /см. стр. 24, доказательство теоремы б/.

Понятие свободной топологической группы было введено А.А.Марковым в 1941 г. [iß]» Оно оказалось весьма эффективным средством построения разнообразных примеров топологических групп с заданными свойствами и тонким инструментом исследований в общей теории топологических групп. Укажем только на построенный А.А.Марковым пример вполне регулярной не нормальной топологической группы и на недавний результат A.B.Архангельского [б] о представимости произвольной топологической группы как топологической фактор-группы некоторой нульмерной в Смысле Jim топологической группы.

^ Сейчас свободные топологические группы занимают одно из центральных мест в общей теории топологических групп. В то же время с алгебраической точки зрения они устроены сравнительно правильно: каждая свободная топологическая группа алгебраически свободна. Это позволяет при изучении таких групп сосредоточить всё внимание на чисто топологических аспектах их строения.

Усилия многих математиков были направлены на исследование строения свободных топологических групп. Уже в фундаментальных работах М.Й.Граева [9,1о] можно отыскать истоки почти всей современной проблематики теории. В работах [l,2] 1968-69 гг. и в последние годы [5-7] A.B.Архангельский значительно прояснил строение свободных топологических групп. B-частности, он показал, что свободная топологическая группа произвольного метри-зуемого пространства паракомпактна.

Очень близки к свободным топологическим группам по свойствам и свободные топологические векторные пространства в слабой топологии, или - в другой терминологии - линейные оболочки

топологических пространств. Их роль связана с их особым местом в теории пространств непрерывных функций в топологии поточечной сходимости. Многие приёмы и методы, развитые в теории свободных топологических групп, без особых изменений приложи-мы к изучению линейных оболочек топологических пространств. Это продемонстрировал недавно Д.С.Павловский. [l9j.

Следующая естественная проблематика теории свободных топологических групп связана с таким вопросом: насколько далеко простирается аналогия между понятиями свободной топологической группы и свободной абстрактной /т.е., дискретной/ группы? B-частности, ^ля абстрактных групп хорошо известна теорема Нильсена-Шрайера: всякая подгруппа свободной группы свободна. Что можно сказать в случае топологических групп? Сформулируем конкретную задачу.

Для топологического пространства X пусть FfX) обозначает его свободную топологическую группу в смысле А.А.Маркова. Пусть X - подпространство пространства У , t - вложение X в У . Согласно определению группы F(X) » отображение X продолжается до непрерывного мономорфизма i< FOO-FM. Является ли i топологическим вложением? Известно, что в общем случае ответ отрицателен [зз]. Итак, аналог теоремы Нильсена-Шрайера не выполняется. Встаёт вопрос о выделении таких пар пространств (X, У) , где X - подпространство У , что соответствующий вложению I :

Х-У мономорфизм uF(XhF(Y) является топологическим вложением /или, другими словами, что алгебраическая оболочка Л в

Ffy) , наделенная индуцированной топологией, топологически свободна над X /•

- 10 -

В §1 главы II полностью охарактеризованы плотные в У подпространства X » обладающие этим свойством.

Через ^ X будем обозначать пополнение топологического пространства X в смысле Дьёдонне [30], а через рХ -стоун-чеховскую компактификацию пространства X

2.1.2.Теорема. Пусть X - плотное подпространство У , и пусть \:Х—► У. - топологическое вложение. Пусть непрерывный мономорфизм Т: Г(Х) - Р(У) является продолжением

* *

1 . Тогда I является топологическим вложением тогда и только тогда, когда существует топологическое вложение /'У—* -у* X * для которого г - гт^ , где - каноничес-

кое вложение X в уи X . *

2.1.3.Следствие. Пусть X - топологическое пространство, а : X ^Х - каноническое вложение. Следующие условия эквивалентны:

1. есть топологическое вложение:

2. Существуют компактное г пространство С и топологическое вложение I: X —* С , для которых

есть топологическое вложение.

3. X ~ псевдокомпактное топологическое пространство.

Следствие 2.1.3 является ответом на вопрос Дк.Харди,

С.Морриса и Г.Томпсона из [32].

Отметим, что результаты, аналогичные теореме 2.1.2 и следствию 2.1.3 одновременно с автором и независимо от него получил З.Нуммела [39].

В §2 главы II изучается строение подпространства Р(Х)^ группы Р(Х) » состоящего из слов,- имеющих приведённую

.длину ^ II относительно X ; точнее, рассматривается случай П - 2 .

Если подпространство устроено совсем просто -

оно канонически гомеоморфно свободной сумме X пространств X * X и Iе} /гДе X - топологическая копия X »

= *• ^СХ/ ^ то строение пространства РОО^

описано впервые, в связи с решением следующей задачи. Для П^Д/ пусть^ г^ обозначает естественное непрерывное отображение и3 X на Р(Х)п , задаваемое правилом: ...

= ОС1 * ... * ЭС^* • Для компактного пространства X все отображения , Л/ , замкнуты и, следовательно, факторны. Т.Фэй, Э.Ордман и Б.Смит-Томас показали [31], что уже для X ~ Ф отображение г$ не факторно, и поставили два вопроса: о факторности г^ для и о фактор-

ности всех , ^ £ /V , для локально компактных пространств X . Б §2 главы II получено описание топологического строения пространства Р^Х)^ /теорема 2.2.1 и следствие 2.2.2/, которое позволяет, в-частности, охарактеризовать те пространства X > для которых " факторное отображение:

2.2.3.Следствие. Отображение

V х2- Нх\ факторно,

если и только если каждая окрестность диагонали в X является элементом универсальной равномерной структуры на X •

Поэтому ответ на первый вопрос из [31] положителен, на второй - отрицателен.

В качестве следствия из описания топологического строения РОО^ также получено конструктивное описание базисной системы окрестностей единицы в свободной топологической

группе Р(Х) произвольного вполне регулярного топологического пространства X /теорема 2.2.8/.

В главе III изучаются отношения I -эквивалентности и М-эквивалентности между топологическими пространствами. Пространства X и У называются t -эквивалентными /А.В.Архангельский, £4,5}/, если пространства СрОО и СР(У) непрерывных функций над ними в топологии поточечной сходимости линейно гомеоморфны. Отношение I -эквивалентности является расширением отношения М-эквивалентности, введённого в работе М.Й.Граева [э]. Пространства X и У М-эквивалентны, если их свободные топологические группы Р(Х) и Р(У} топологически изоморфны. Из М-эквивалентности двух пространств следует их I -эквивалентность [б], но не наоборот: отрезок и окружность £ -эквивалентны [19], не будучи М-эквивалентными [э].

М.И.Граев показал [9] , что из М-эквивалентности метри-зуемых компактов следует совпадение их размерностей ¿гМ , Ч.Джойнер [34] распространил его результат на случай локально компактных метризуемых пространств. То же, но уже для

£ -эквивалентности и для случая, когда X и У либо локально компактные метризуемые, либо полные сепарабельные метрические пространства, показал Д.С.Павловский [19] . Равенство скеи X - У для £ -эквивалентных компактных пространств принадлежит А.В.Архангельскому [4,5] /отметим, что аналогичный результат для М-эквивалентных компактных пространств независимо получен Л.Г.Замбахидзе [12]/. В дальнейшем этот результат А.В.Архангельского был несколько обобщен В.М.ЕШовым и В.А.Пасынковым в [8] и Л.Г.Замбахидзе в[13].

- 13 -

Следующий, центральный в главе III, результат, содержащий все перечисленные выше в качестве частных случаев, является в рамках теории £ -эквивалентности наилучшим возможным и, тем самым, окончательным:

3.3,3.Теорема. Если вполне регулярные пространства X и У I -эквивалентны, то X ~ ^im У

Доказательство опирается на тот факт, что пространства X и У t -эквивалентны если и только если топологические векторные пространства и линейно гомеоморфны. Здесь Ш - слабое сопряжённое, к пространству Ср(Х) , именуемое линейной оболочкой пространства Л . Пространство

UX)

по строению и свойствам во многом близко к свободной топологической группе F(X) , и это сходство не случайно: оно следует из того, что Lp(X) является свободным топологическим векторным пространством топологического пространства X в многообразии всех топологических векторных пространств в слабой топологии. На эту близость между Lf>(X) и F(X) впервые обратил внимание Д.С.Павловский [19], он же первым начал применять к исследованию строения LpCX) методы, развитые в теории свободных топологических групп.

Общая схема доказательства теоремы 3.3.3 /ему посвящены §§1-3 главы III/ - та же, что и в работе А.Б.Архангельского [4]: сначала рассматривается случай пространств счётного веса, а затем проводится редукция общего случая к случаю пространств счётного веса с помощью техники обратных спектров. Однако, непосредственно доказательство А.В.Архангельского в рассматриваемую ситуацию не переносится - в его

рассуждении существенно используется компактность пространств и отказ от последней сразу воздвигает ряд существенных барьеров в рассуждениях. В главе III с целью преодоления возникающих трудностей вводится и изучается в § I вспомогательное понятие слабой I -эквивалентности топологических пространств и доказывается, что для слабо t -эквивалентных пространств X и У счётного сетевого веса Jim X Ä У /лемма 3.1.13/. Здесь используется /и, как нам кажется, существенно развивается/ техника Д.С.Павловского fl9], идущая от М.Й.Граева [9]. В § 2 изучаются соотношения ^гмежду

( -эквивалентными и слабо I -эквивалентными пространствами; в-частности, любые два i -эквивалентных пространства слабо I -эквивалентны /предложение 3.2.5/, но не наоборот /пример 3.2.8/. В § 3 произвольные t -эквивалентные пространства X и У раскладываются в обратные спектры специального вида; показывается, что эти спектры имеют кон-финальные части, состоящие из попарно слабо t -эквивалентных пространств /в отличие от результата А.В.Архангельского, при доказательстве этого утверждения спектральная теорема не используется - в столь широких предположениях она оказывается неприменимой/. Наконец, привлекается факторизационная теорема для размерности Jim , в одну сторону доказанная Б.А.Пасынковым [20], а в другую - диссертантом /теорема 3.3.2/

Заметим, что в доказательстве теоремы о совпадении размерностей dttti пространств X и У , для которых пространства QÖ0 и Ср(У) линейно гомеоморфны, весьма существенен тот факт, что топология на пространствах С(Х) и

- 15 -

С(У) - поточечной сходимости. Например, в случае, когда пространства С(Х) и С(У) наделены топологией компактной' сходимости, ничего похожего на теорему 3.3.3 доказать нельзя: для любой пары натуральных чисел Hi,И можно выбрать такие топологические пространства X и У /именно, метризуе-мые компакты/, что dim X * 0 , dim У* П и пространства С(Х) и С(У) в компактно-открытой топологии линейно гомеоморфны [iß].

Из теоремы 3.3.3 получаем:

3.3.4.Следствие. Если X и У - вполне регулярные М-эквивалентные топологические пространства, то У •

Следствие 3.3.4 положительно отвечает на вопрос 21 из обзора А.В.Архангельского ¡7].

В § 4 главы III некоторые методы изучения I -эквивалентных /точнее, слабо I -эквивалентных/ пространств, развитые в § I /именно, при доказательстве предложения 3.1.11/, прилагаются к исследованию М-эквивалентных пространств. В этом случае заключение предложения 3.1.II удаётся усилить:

3.4.2. Предложение. Если X и У " М-эквивалентные пространства, то У является объединением счётного семейства своих подпространств, каждое из которых гомеоморфно некоторому подпространству пространства X .

3.4.3.Следствие. Пусть - наследственное счётно-аддитивное топологическое свойство. Если пространства X и

У М-эквивалентны и X обладает свойством ^ , то У таково же.

B-частности, следствие 3.4.3 положительно отвечает на вопрос 15 из работы А.В.Архангельского [б] о сохранении М-эквивалентностью совершенной нормальности в классе компакт-

ных пространств.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Александру Владимировичу Архангельскому за постоянное внимание и поддержку.

- 17 -

Терминология и обозначения

На протяжении всей работы топологические пространства предполагаются вполне регулярными Tj-пространствами, а топологические группы и топологические векторные пространства /ТШ/ - отделимыми. Все рассматриваемые ТВП вещественны.

Всюду /V - множество всех неотрицательных целых чисел, ф - поле рациональных чисел, (R - поле вещественных чисел, рассматриваемые в их обычных топологиях; R* - R\ fo} .

Если X - подпространство пространства У , то In^yX» или просто X - внутренность множества X в пространстве У ; ciyX или X ~ замыкание множества X в пространстве У . Через |А| обозначается мощность множества А ,

Через

гМ

обозначается внешний псевдохарактер множества д в У , т.е., {т^Схлс/ ; существует семейство V открытых в У множеств, такое, что /у/ ^ ^ и Л у ~ X } . Множество X называется множеством типа

Cz /типа Cr / Б У , если у(Х,У) /у(Х,У) < К0/.

Если У »то - у(^КУ) -псевдоха-

рактер точки ^ в У . Псевдохарактер ^ (У) пространства У - это Aap У1* Внешний характер ^(Х,У) множества X в У - это Win J^^GluI : существует семейство ^ открытых в У множеств такое, что 1^1 ^ Т и для любого открытого в У множества V , объемлющего X , существует W € ^ t ддя которого X ^

с w С v}.

Уплотнением называется взаимно-однозначное непрерывное отображение.

Для топологического пространства X полагаем dim X -- dim р X , где Ц X - стоун-чеховская компактификация X .

Термин "компактность" используется в том же смысле, что и в монографиях [23,24,26,30] и является синонимом термина "бикомпактность".

Если Л - топологическое пространство, то FOO обозначает свободную топологическую группу пространства X в смысле А.А.Маркова [l6,I7j, т.е., такую топологическую группу, что:

I/ X вложено в F(X) в качестве топологического подпространства;

2/ X топологически порождает F00 ,.... , алгебраическая оболочка множества X плотна в F(X) ;

3/ любое непрерывное отображение f пространства X в произвольную топологическую группу G продолжается до непрерывного гомоморфизма j * F~(X) * G

Группа F(X) со свойствами I/ - 3/ существует и единственна для любого топологического пространства X . При этом она отделима и алгебраически свободна над X [16,1?, 5,7,9,10].

Все остальные термины и понятия, не являющиеся общепринятыми или общеизвестными, разъясняются в тексте диссертации по мере их появления. Они занесены в предметный указатель.

Конец каждого доказательства обозначается знаком О . Такой же знак ставится в конце формулировок тех теорем, лемм и т.д., доказательства которых или очевидны, или были уже проведены выше.

Глава I. Топологические группы счётного псевдохарактера и подгруппы их произведений

В §1 изучаются -представимые топологические группы, т.е., подгруппы прямых произведений семейств групп счётного псевдохарактера. Дан критерий -представимости топологической группы /теорема 1.1.3/ и показано существование локально компактного паракомпактного топологического пространства, свободная топологическая группа которого не ffe -представима /пример 1.1.8/. В § 2 показывается, что любая топологическая группа является топологической фактор-группой некоторой группы без малых подгрупп. В §3 построен пример топологической группы счётного псевдохарактера, которая не может быть отображена алгебраически изоморфно и непрерывно ни на какую метри-зуемую топологическую группу.

§1. К0 -представимые топологические группы.

Напомним, что псевдохарактер

топологической группы G есть наименьший кардинал ЯГ , для которого множество {е} является пересечением семейства £ открытых в G множеств, имеющего мощность .В силу' однородности про-

странства группы О вместо е можно в определении псевдо-эдарактера взять любой элемент ß С G

I.I.I.Определение. /А.В.Архангельский [3,5,7]/. Пусть *t - бесконечный кардинал. Топологическая группа G называется Т -представимой, если С топологически изоморфна некоторой подгруппе прямого произведения семейства топологических групп, псевдохарактер которых не превосходит . /Под прямым произведением семейства топологических групп мы

понимаем, следуя {24], их декартово произведение с поточечно определёнными операциями и тихоновской топологией; в литературе используется также термин "полное прямое произведение"/.

Подмножество Н группы С называется инвариантным, если для всех имеем: ^ Н— Н . Топологичес-

кая группа С называется уравновешенной [?], если С обладает базисной системой окрестностей единицы, состоящей из инвариантных множеств3^. Для топологического пространства X и бесконечного кардинала Т через X мы обозначаем Т -модификацию пространства X »т.е., топологическое пространство, базу открытых множеств которого образуют всевозможные множества типа С, вХ.

1.1.2.Лемма. Пусть Сг - топологическая группа и Т -кардинал. Тогда - тоже топологическая группа.

Доказательство. Пусть £ С- , Н - множество типа С^ в С , Н * Тогда где каждое

открыто в Ц- и содержит . Ваберем для каждого

открытые в С- множества , для которых ,

и С V» • Положим

% = ()№ :с«т}. Очевидно, х€Н! , 1^2 , НД'^К

и множества , I » 1,2, открыты в С* . Это показывает

непрерывность групповой операции в С .О

В литературе по топологическим группам уравновешенные группы также именуются группами с инвариантным базисом ¡9,10], локально инвариантными группами [29], Б I А/ -группами [41].

- 21 -

1.1.3.Теорема. Пусть С - топологическая группа, Т -бесконечный кардинал. Следующие условия эквивалентны:

1. Группа С т -представима.

2. В любой окрестности единицы группы С лежит замкнутая нормальная подгруппа, имеющая в С тип С^ .

3. В любой окрестности единицы группы С лежит

инвариантное множество типа Сг , содержащее е . .

С Ос)

уравновешена.

Доказательство. I —»2. Пусть С - Т -представимая группа. Тогда С^ П : и€ А/, где у(Сы) < т

при с(€ А . Пусть Сс ^ и V- открытое множест-

во. Найдём элементарное открытое множество в 11 вида [Щ ; «¿С А [ > такое, что С ^ V ♦ Положим В ~

. {у ф ' 8 - конечное множество. Пусть

1ГВ - естественное проектирование из П на Р в

а вр - единица группы Р . Тогда множество Н^^МЛ С является замкнутой нормальной подгруппой группы 0 , лежащей в V и имеющей в С тип С г /последнее следует из того, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пестов, Владимир Германович, 1983 год

БИБЛИОГРАФИЯ

1. А.В.Архангельский. Об отображениях, связанных с топологическими группами. - ДАН СССР, 1968, т. 181, №6, с. 1303 -1306.

2. А.В.Архангельский. Топологические пространства и непрерывные отображения. Замечания о топологических группах. -Москва, изд-во МГУ, 1969.

3. А.В.Архангельский. Кардинальные инварианты топологических групп. Вяожения и уплотнения. - ДАН СССР, 1979, т. 247,

№ 4, с. 779-782.

4. А.В.Архангельский, Принцип Т -аппроксимации и признак равенства размерности бикомпактов. - ДАН СССР, 1980,

т.252, №4, с.777-780.

5. А.В.Архангельский. О соотношениях между инвариантами топологических групп и их подпространств. - УМН, 1980, т.35, №3, с.3-22.

6. А.В.Архангельский. Любая топологическая группа является факторгруппой нульмерной топологической группы. - ДАН СССР, 1981, т.258, №5, с.1037-1040.

7. А,В,Архангельский. Классы топологических групп. - УМН, 1981, т.36, №3, с.127-146.

8. В.М.Ейлов, Б.А,Пасынков. О свободных группах топологических пространств. - Докл. БАН, 1981, т.34, В°-8, с.1049-1052.

9. М.И.Граев. Свободные топологические группы. - ИАН, сер. матем., 1948, т.12, №3, с.279-324.

Ю.М.И.Граев. Теория топологических групп. - УМН, 1950, т.5, №2, с.3-56.

11. И.Й.Гуран. О топологических группах, близких к финально компактным. - ДАН СССР, 1981, т.256, №6, с.1035-1037.

12. Л.Г.Замбахидзе. О соотношениях между размерностями свободных базисов свободных топологических групп. -Сообщ. АН Груз.ССР, 1980, т.97, 153, с.569-572.

13. Л.Г.Замбахидзе. О соотношениях между размерностями и кардинальнозначными функциями пространств, погружаемых в пространства специального вида. - Сообщ. АН Груз.ССР, 1980, т.100, №3, с.557-600.

14. Г.И.Кац. Изоморфное отображение топологических групп в прямое произведение групп, удовлетворяющих первой аксиоме счётности. - УШ, 1953, т. 8, №6, с. 107-113.

15. Дж.Л.Келли. Общая топология. - Москва, Наука, 1981.

16. А.А.Марков. О свободных топологических группах. - ДАН СССР, 1941, т.31, №4, с.299-301.

17. А.А.Марков. О свободных топологических группах. -ЙАН, сер.матем., 1950, т.14, №4, с.343-354.

18. А.А.Милютин. Изоморфность пространств непрерывных функций над компактами континуальной мощности. - Теория функций, функциональный анализ и приложения, Харьков, 1966, т.2, с.150-156.

19. Д.С.Павловский. О пространствах непрерывных функций. -ДАН СССР, 1980,т253, 1Р1, с.38-41.

20. Б.А.Пасынков. Почти метризуемые топологические группы. -ДАН СССР, 1965, т.161, № 2, с. 281-284.

21. Б.А.Пасынков. О спектральной разложимости топологических пространств. - Мат. сборник, 1965, т.66, с.35-79.

г

»

22. Д.А.Райков. О пополнении топологических групп, - ИДЯ, сер.матем., 1946, т. 10,..№6, с,513-518.

23. В.А.Рохлин, Д.Б.Фукс. Начальный курс топологии. Геометрические главы. - Москва, Наука, 1975.

24. З.Хьюитт, К.А.Росс. Абстрактный гармонический анализ. Том I. - Москва, Наука, 1975.

25. М.М.Чобан. Топологическое строение подмножеств топологических групп и их фактор-пространств, - Топологические структуры и алгебраические системы, Кишинёв, Штиин-ца, Ï977, C.II7-I63.

26. Х.Шефер, Топологические векторные пространства. -Москва, Мир, 1971.

27 L С 6*own, Я/оро&угсл^ compte otou.f>% — * ftoc'AMS, 19il, v 35; ft553-COO.

28. E. Ùeclt, Sua (!a dimension d<s espaces pai^aif entent notmft"*, —

P Eh-tfo, sbuciu^s aJ squa« îoots m iopo£oyic«£

^oups. -4s.. J. Waft., *9tt>, v.i, Д f- 2S0-1SZ.

30. Rb^W Ç««** mi

31. TFa^, EC&JwAh, bMSmi(ti-Tho»*s.TU fl«e {орс&^сл^

jjïouji ovei

32. ХРНмА^ S A./Wis, H,8Thotof>soh. Арр&саЬонь "i/ie

Stone-Ôecli cowprtcit/ica^t'on fo Jï^e iopo^cQicaP fl^oups.—

Roc. A us, me, v. fî; *i>ff.ieo- ify,

33.

DC. НьЛ, S.A.H

Oints. Flee suiitoups of оёоОгСлё Jiioups. —fcj^ï ; Roc, j?hJ ^nf, ^Ïkoïu

{ s,,о.«, m,6

, in-38S. >10

notmftttu

29.

Îopo*

Cou-

pp.

\

34. С. JoCnei. Ft«e 'ÍopoíeQi<ux.¿ Qtoups ar\J dimension.—

ib««, арis, тб Д. lio, p. ¡ioi-w.

35. НД SiinicficLlyte. f>\e-iynajies of loe>oioQic<x$ spaces . ~ Jjtt : CcHoa. Упа-íh. Ooc. J. В о hat ЛЯБроАде, BuJyesí, ÍStB, p,. US-УОЗ. *

36. Kaliansku, c*-nJ loca.c-отрлcé JjloupS. — Chicago, litiiv. 0$ Chi сад o Re.ss> íSK

37. SA/Holies, QiA.O'líen't oio«Pi oj íopoUoatcai oioups t^dh

НО SIU^^ subjioupz„ - Roe,

/IMSji9?Í#v.3Í,A/2/ cJílS-Clü.

38. S.A'Mowís, H.B.TIiompson. Ree "íopo¿>9íca^ n0*ps *,¿{j, no

smttt sJ^oufs.-fUt-ANSjiíí.yAC*/

39. E-Aórnela, tíhí^mf*«« Íopoíoji<^¿ Qtoups A*J Scimae.£ COtopachficakcHS, - Ш2, W, f 3.

40. МАШе, í'jioups aj <L*tiL -Tüa*s >4AIS V, ^ííf-W. *

hi(o*m skuckus on íopo&-

^icoi ^oups anJ iUí* <|uoítenís. — NrY.r Í931.

42. Е.В.Щепин. Вещественные функции и канонические множества б тихоновских произведениях и топологических группах. -УШ, 1976, т.31, №6, с.17-27.

43. В.Г.Пестов. 0 вложениях и уплотнениях топологических групп, - Матем. заметки, 1982, т.31, с.443-446,

44. В.Г.Пестов. Соотношения между классами почти метризуемых, проективно метризуемых и Я0 -представимых топологических групп. - В сб. "Топологические пространства и их отображения", Рига, 1983, с. -86.

45. В.Г.Пестов. 0 строении и вложениях топологических групп. -Томск, Томск, ун-т, 1981. /Рукопись депонирована в ВИНИТИ

3 апр. 1981 г., IP 1495-81 Дел./ Мс.

46. В.Г.Пестов. Некоторые свойства свободных топологических групп. - Вестник МГУ. Серия мат.,мех., 1982, №1, с.35-37.

47. В.Г.Пестов. Совпадение размерностей Jim i -эквивалентных топологических пространств. - ДАН СССР, 1982,

т.266, №3, с.553-556.

48. В.Г.Пестов. О подпространствах свободных топологических групп. - Москва, Моск. ун-т, 1983. /рукопись депонирована в ВИНИТИ tH «си 1983 г., № ШЭ-ЯЗ^п./, 6 с.

■V

¥ %

■+

V

/

- 78 -

Предметный указатель

Инвариантное множество.......................20

Левая равномерная структура топологической группы......35

Линейная оболочка топологического пространства.......13

Т -модификация топологического пространства ..... .5,20

Отношение мелкости . ....................64

Пополнение топологического пространства по Дьёдонне.....30

Прямое произведение топологических групп . .........19

Псевдохарактер......................4,19

Равномерная структура топологической группы двусторонняя. . 30

- - —, левая.......................35

Свободная топологическая группа /в смысле А.А.Маркова/ . . ,18 Слабо £ -эквивалентные топологические пространства . . . .48

Слабый топологический базис ТВП .............. 46

Топологическая группа Т -представимая.........5,19

- полная в смысле Вейля.................35

- -, без малых подгрупп / -группа/.........6,25

- почти метризуемая..................5,23

- проективно метризуемая................5,23

- уравновешенная....................20

Универсальная равномерная структура топологического пространства ....................... .30

£ -эквивалентные топологические пространства ..... 12,57

М-эквивалентные топологические пространства.......12,69

Эквивалентные отображения................. .64

Ящичная топология ......... ............ 27