Применение метода возмущений к решению краевых задач об ударном нагружении нелинейной упруглй среды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Шаруда, Владимир Алексеевич

• Шаруда, Владимир Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шаруда, Владимир Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОДНОМЕРНЫЕ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПЛОСКИМИ УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ

1.1. О системе уравнений, описывающей динамическое деформирование упругой среды

1.2. Ударные волны в упругой среде.

1.3. Нормальный удар по недеформированному упругому полупространству.

1.4. Влияние предварительных деформаций.

1.5. Одномерное отражение ударной волны

ГЛАВА 2. СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЕ УДАРНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ

УПРУГОЙ СРЕДЫ.

2.1. Об уравнениях динамического деформирования упругой среды при условии сферической симметрии

2.2. Динамическое деформирование среды сферическим поршнем, движущимся по произвольному закону

2.3. Динамическое сжатие сферической мишени.

ГЛАВА 3. НЕАВТОМОДЕЛЬНОЕ УДАРНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ УПРУГОГО

ПОЛУПРОСТРАНСТВА С УЧЕТОМ СДВИГОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

3.1. Вывод уравнений и постановка краевых задач

3.2. Задача о сдвиговом ударе.

3.3. Косой удар по упругому полупространству.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода возмущений к решению краевых задач об ударном нагружении нелинейной упруглй среды»

В отличие от других разделов механики сплошных сред (гидродинамика, газовая динамика, теория пластичности и т.д.) теория упругости до середины нашего столетия развивалась как линейная теория. И в настоящее время, когда уже имеется целый ряд монографий по нелинейной теории упругости Гх—140, в которых рассмотрены как общие вопросы теории нелинейного упругого континуума, так и частные проблемы его движения и равновесия, термин "теория упругости" относят к линеаризованной теории. В случае учета нелинейностей последнее чаще всего оговаривается уже в названии. Линеаризация уравнений теории упругости проводится для того, чтобы избежать математических трудностей, связанных с учетом нелинейностей, и воспользоваться хорошо развитой теорией линейных дифференциальных уравнений. Однако, современный уровень развития техники требует, во-первых, более точных количественных оценок, часто выходящих за пределы точности линеаризованной теории, во-вторых, что несомненно еще более важно, учета тех качественных особенностей, которые с самого начала исключаются при линеаризации системы уравнений. Это объясняется тем, что в результате линеаризации система дифференциальных уравнений настолько меняет свою структуру, что некоторые интересные явления не отражаются качественно. Примерами таких явлений могут служить потеря устойчивости равновесия упругих тел и конструкций, ударные волны в упругой среде. Таким образом, теория устойчивости и динамическая теория упругости заведомо связаны с нелинейными уравнениями, т.е. являются нелинейными теориями [9, Ю, 12,14,15].

У истоков нелинейной теории упругости стоят выдающиеся механики и математики прошлого века Г.Кирхгоф, О.Коши, И.Фингер, Л.Эйлер, однако интенсивное ее развитие связано с серединой нашего столетия, когда усилиями таких ученых, как В.В.Новожилов [I], Г.Д.Мурнаган [2], Л.И.Седов [3], В.Прагер [4], А.Э.Грин [5] и др., были достаточно развиты общие вопросы теории нелинейно-упругого тела. Отметим еще некоторые значительные работы советских исследователей И.И.Гольденблата А.Н.Гузя [151, С.К.Годунова [il], Д.Д.Ивлева [1б], А.й.Лурье [8], Л.А.Толоконникова [17], К.Ф.Черных fl8], Обзор этих и других работ отечественных исследователей по нелинейной теории упругости приводится в [19] .

Полученные результаты послужили базой для бурного развития основных приложений нелинейной теории упругости: теории устойчивости упругих тел и конструкций [15,20,21], механики эластомеров [22,23], динамической теории упругости [10,12,14].

Обзор первых работ по нелинейной динамической теории упругости содержится в [24]. Основным направлением этих работ являлось изучение волн напряжений в упругих стержнях с нелинейной связью напряжения-деформации. Первые же работы по динамике нелинейной упругой среды показали, что нелинейность вносит новые качественные результаты. Оказалось, что скорость распространения волн зависит от деформированного состояния, а волны, распространяющиеся по деформированной среде, могут, в отличие от линейного-случая, не быть чисто продольными и поперечными [25].

Наибольшее количество работ посвящено решению динамических задач о распространении гармонических (как объемных, так и поверхностных) волн по однородно деформированному упругому материалу. Постановка и решение таких задач связана, во-первых, с использованием в технике ультразвукового неразрушающего метода определения напряжений в твердых телах [26], во-вторых, с определением упругих постоянных третьего порядка (коэффициентов Мурна-гана) по данным о скоростях распространения ультразвуковых волн

27] . Большое количество задач о распространении гармонических волн по однородно деформированной упругой среде в рамках линеаризованной теории рассмотрел А.Н.Гузь совместно со своими учениками С.Ю.Бабичем, Ф.Г.Махортом и др. Обзор этих работ, направленных на решение первой из отмеченных проблем, дан А.Н.Гузем в

28]. Имеются определенные успехи и при решении второй проблемы-решен целый ряд задач,на основе которых упругие модули третьего порядка определены для широкого класса материалов [29-33]. Распространению нелинейных волн по неоднородно деформированной упругой среде посвящена работа [34]. Поверхностные волны Релея в нелинейной упругой среде изучались в Г35] .

При постановке задач, связанных с началом процесса деформирования, необходимы сведения об условиях существования и закономерностях распространения поверхностей разрыва производных от компонент вектора перемещений.

Поверхности разрывов компонент градиента перемещений, а следовательно, и компонент вектора скорости частиц среды, тензоров напряжений и деформаций называют ударными волнами. Слабыми волнами (или волнами ускорений) называют поверхности разрывов вторБЕХ производных от вектора перемещений по координатам и по времени.

Задача о слабых волнах в нелинейной упругой среде, по существу, сводится к линейной, поэтому слабые волны в настоящее время достаточно полно изучены. Обзор работ, посвященных распространению слабых волн в нелинейных упругих средах,содержится в

13] , детальное обсуждение этой проблемы отметим в монографии

14]. Поверхностные волны (слабые разрывы на граничной поверхности упругой среды) изучались в [36-41] .

Сведения о закономерностях распространения и условиях существования ударных волн особенно необходимы при постановке динамических задач, связанных с началом процесса деформирования. Имеется большое количество работ, посвященных изучению ударных волн в нелинейной упругой среде [10,12,14,42-68], в которых с разных позиций получаются часто одни и те же результаты. Отметим наиболее существенные из них.

В [ю] изучаются плоские ударные волны, распространяющиеся по недеформированной упругой среде. Отмечено, что в этом случае возможны продольные ударные волны, а чисто поперечные - невозможны, т.е. учет нелинейностей приводит к тому, что на такой волне оказывается отличной от нуля нормальная к плоскости разрывов составляющая волнового вектора. Получены ограничения на существование ударных волн, вытекающие из законов термодинамики.

Возможность использования второго закона термодинамики для получения условий существования ударных волн в упругой среде отмечалась ранее в [42,43], где показано, что следствием необратимости данного процесса является некоторое ограничительное неравенство, включающее в себя разрывы параметров деформированного состояния на ударной волне. Это неравенство в [43] названо термодинамическим условием совместности. Строгий вывод этого неравенства содержится в [56], где рассмотрена задача о структуре ударной волны в упругой среде. Диссипативные процессы на ударной волне в [5б] связываются с проявлением, вследствие больших градиентов скоростей, вязкостных свойств среды. В случае квази-гуковской модели среды (геометрическая нелинейность) в [43] показывается аналог теоремы Цемплена для совершенного газа, т.е. термодинамически возможными оказываются только продольные волны, приводящие к сжатию среды. Если упругий материал и физически нелинеен, то термодинамическое условие совместности приводит к некоторым неравенствам [10,51,53,61], обобщающим вывод, содержащийся в работе [43]. В [53] для плоских и в [бЙ для пространственных ударных волн было показано, что в первом приближении (квадратичная теория упругости) производство энтропии на квазипродольной ударной волне не зависит от деформированного состояния перед поверхностью разрывов и принимает форму произведения куба нормальной компоненты волнового вектора на коэффициент, линейно выражающийся через параметры Ляме и упругие модули третьего порядка. Если использовать имеющиеся экспериментальные данные [15,541, то и в этом случае для абсолютного большинства реальных материалов в [6l] получен аналог теоремы Цемплена о существовании только квазипродольных ударных волн сжатия. В [6ll отмечается также, что производство энтропии на квазипоперечных ударных волнах имеет четвертый порядок малости по компонентам градиента перемещений, поэтому в рамках квадратичной теории упругости термодинамическое условие совместности обращается в тождество. Следовательно, для того, чтобы изучить ограничения, накладываемые вторым законом термодинамики на условия существования квазипоперечных ударных волн, необходимо учитывать все члены с четвертой степенью компонент градиента перемещений.

Изучению свойств ударных волн в несжимаемых упругих средах посвящены работы [46,47,60] , в которых определяется скорость ударной волны. При рассмотрении конкретного примера идеальной несжимаемой резины показано, что термодинамически возможными являются лишь ударные волны, приводящие к развитию имеющихся деформаций.

Для случая квазигуковской модели упругой среды, когда учитывается только нелинейность, связанная с нелинейностью тензора деформаций, ударные волны изучались в [44,49,52]. Отметим, что в [49] впервые было показано, что на квазипоперечной ударной волне порядок нормальной компоненты волнового вектора является вторым, а порядок его поперечной компоненты - первым по компонентам градиента перемещений. Более того, оказалось, что квазипоперечная ударная волна всегда является волной расширения. В дальнейшем было неоднократно показано [54,55], что физическая и геометрическая нелинейности вносят вклад одного порядка при изучении неинтенсивных динамических процессов деформирования, поэтому эти исследования нельзя признать полными даже в случае ударных волн малой интенсивности, как и исследование [45], где изучены,ударные волны в упругих материалах Дцамара и Грина.

Одновременный учет геометрической и физической нелинейностей при изучении ударных волн малой интенсивности возможен в рамках так называемой квадратичной теории упругости, когда во всех уравнениях наряду с членами первого порядка малости по компонентам градиента перемещений сохраняются члены второго порядка. Иногда полученные таким образом соотношения называют пятиконстантной теорией упругости. Две постоянные материала отождествляются обычно с параметрами Ляме, а оставшиеся три называют коэффициентами Мурнагана или упругими модулями третьего порядка. Ударные волны при использовании уравнений квадратичной теории упругости исследовались в flO,53,6I,65]. В [53] изучалась характеристическая система уравнений в разрывах для случая плоского деформированного состояния, а в [61]- для случая изотропного деформированного упругого пространства. Были существенно обобщены результаты tio] о том, что при распространении ударных волн в недеформированную среду возможны или продольная ударная волна, или квазипоперечная. Оказалось, что продольная ударная волна может распространяться в среде, деформированной таким образом, что из компонент тензора градиента перемещений отличны от нуля только диагональные, когда одна из осей координат направлена по нормали к поверхности разрывов. С другой стороны, в этом случае невозможна поперечная ударная волна, как и в случае недеформированной среды. Это особенно важно при постановке краевых задач в связи с тем, что передний фронт сдвиговых возмущений не может распространяться по недеформированной среде. Даже в случае только сдвигового воздействия [б9,70] в среде наблюдается первоначально эффект Пойтинга, т.е. предварительное сжатие материала. Таким образом, передний фронт сдвиговых возмущений, если он ударный, является квазипоперечной волной. Показано, аналогично [49], что для реальных материалов [15,54] квазипоперечные ударные волны являются в то же время волнами расширения.

Изменение интенсивности ударных волн в процессе распространения изучались в [62,63], их устойчивость - в [l0,50]. Условия эволюционности ударных волн в зависимости от деформированного состояния получены в [б5,бв]. Отметим, что также, как и в газовой динамике, для квазипродольных волн выводы о возможности их распространения совпадают с аналогичными результатами, следующими из термодинамического условия совместности [54,6l]. В случае квазипоперечных волн, если оценивать по имеющимся частным результатам [io] , такого полного соответствия нет. Поэтому особенно важны при постановке краевых задач результаты, полученные в [65, 67], где, исходя из условий эволюционности, приведены ограничения на существование квазипоперечных ударных волн.

Решению краевых задач нелинейной динамической теории упругости с ударными волнами посвящено значительно меньше работ, при этом решены в основном автомодельные [?l] задачи [69,70,72-78]. Необходимо отметить малочисленность не только аналитических, но и численных ы решений. Последнее главным образом связано, в отличие от статических задач, не только с трудностями в выборе метода решения вследствие нелинейности таких задач, но и со сложностями при их постановке. Часть граничных условий приходится ставить на поверхностях разрывов, ударных и слабых волнах, т.е. необходимо заведомо знать, посредством каких волн исходное возмущение распространяется в среду. Имеющиеся теоретические исследования свойств ударных волн полного ответа на этот вопрос не дают.

Результаты работ [10,54,61,65] позволяют сделать вывод , что в случае, когда граничное воздействие приводит к сжатию среды, передним фронтом возмущения, распространяющегося в среду, является квазипродольная ударная волна. При этом предполагается, что упругие постоянные соответствуют измеренным для большинства материалов Г15,54]. Если перед ударной волной среда недеформирована, или равны нулю недиагональные компоненты градиента перемещений (одна из осей координат направлена по нормали к поверхности разрывов), то эта ударная волна будет продольной. В других случаях передним фронтом возмущений будет квазипродольная ударная волна, т.е. на ней будет также претерпевать разрыв хотя бы одна из касательных компонент волнового вектора.

Если возмущение приводит к расширению среды, то передним фронтом такого возмущения будет слабая волна, а в случае автомо-дельности задачи изменение параметров деформированного состояния будет проходить в некотором слое, который по аналогии с газовой динамикой в [69] назван центрированной волной. Таким образом, существует, пусть не совсем полная, аналогия с газовой динамикой. Сделать столь определенные выводы о передаем фронте распространяющихся сдвиговых возмущений полученные до сих пор результаты [10,61,65,67] не позволяют. В этой связи можно отметить работу [70] , где рассмотрена автомодельная задача о чистом сдвиге и косом ударе по нелинейному упругому полупространству. Численный анализ показал, что в исследуемом интервале воздействия решение может быть получено без использования квазипоперечной ударной волны, т.е. передним фронтом сдвиговых возмущений является слабая волна. Однако переносить эти выводы на другие задачи, по-видимому, нельзя - требуется дополнительный анализ в каждом конкретном случае.

Важным методом анализа и получения приближенных решений, особенно интенсивно развивающимся и успешно применяющимся в последнее время в различных областях механики [80-83] является метод возмущений [84-8б]. Ниже предлагается использовать метод возмущений для решения краевых задач динамики нелинейной упругой среды с ударными волнами, при этом используется метод замены исходной нелинейной задачи последовательным интегрированием на каждом шаге линейных неоднородных волновых уравнений. Основы этого метода, его применимость к задачам нелинейной динамической теории упругости разработал У.К.Нигул. Содержание и различные аспекты применения данного метода можно найти в его работах [83, 87-96]. Отметим, что возможен и другой подход, также основанный на методе возмущений и получивший широкое распространение в нелинейной акустике. В основе такого подхода лежит замена исходного уравнения некоторым модельным нелинейным уравнением (квазипростых волн, Бюргерса, Кортвега-де Вриза-Бюргерса, Хохлова-За-болотской), решение которого уже удается найти. Отметим в этой связи работы [14,97-100]. Применение разработанного В.М.Бабичем [101,102] и его учениками лучевого метода к исследованию с помощью метода возмущений распространения волн в нелинейно-упругой и неупругой средах можно найти в [l4,I03l.

До сих пор в различных модификациях метода возмущений, применяемых для исследования динамических задач, предполагалось отсутствие ударных волн, т.е. требование непрерывности компонент градиента перемещений. Это главным образом связано с тем, что часть граничных условий необходимо ставить на ударных волнах. Скорость же ударной волны зависит от ее интенсивности, и, следовательно, ее положение определяется лишь в процессе решения.

Целью настоящей работы является изучение особенностей применения метода возмущений к решению динамических задач нелинейной теории упругости с ударными волнами и получение, таким образом, приближенных решений неавтомодельных задач об ударном нагру-жении нелинейно-упругой среды. До настоящего времени аналитических решений неавтомодельных динамических задач нелинейной теории упругости с ударными волнами не получено. По-видимому, единственным методом, который может привести к успеху в таких задачах, является метод возмущений.

Настоящая диссертационная работа состоит из введения,трех глав и заключения. Во введении дан краткий обзор исследований по нелинейной динамической теории упругости. При этом основное внимание уделено имеющимся результатам по условиям существования и закономерностям распространения ударных волн в упругой среде, а также использованию при решении динамических задач методов возмущений. Это определяется основной целью данной работы: применить метод возмущений к решению динамических задач нелинейной теории упругости с ударными волнами.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Шаруда, Владимир Алексеевич

Выводы

1. Предложенный метод решения динамических задач распространен на простейшие плоские задачи, когда наряду с объемной деформацией присутствует деформация сдвига.

2. Получены приближенные решения задач о динамическом сдвиге и косом ударе по нелинейно-упругому полупространству.

3. В качестве малого параметра выбрана величина E=-fV0/G0) 9 где Vq может быть начальной скоростью либо сдвигового, либо нормального движения граничной плоскости, G0 - скорость продольной ударной волны в соответствующей линейной упругой среде.

4. Процесс последовательных приближений построен так, что положение ударных волн уточняется на каждом шаге с помощью предыдущих приближений.

5. Показано, что в нелинейной упругой среде проявляется эффект Вейссенберга.

6. Вычислена интенсивность продольной ударю й волны, вызванной производимым сдвигом. Показано, что эта ударная волна является волной сжатия. Ее интенсивность имеет четвертый порядок малое-ти по £ (второй порадок малости по компонентам тензора града-ента перемещений).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Система уравнений в перемещениях, описывающая в переменных Эйлера движение нелинейной упругой среды в рамках квадратичной теории упругости, при переходе к безразмерным переменным естественным образом сведена к виду, удобному для применения метода возмущений. Преобразованные таким образом уравнения и граничные условия содержат малый параметр £ . В качестве £ выбрано либо отношение V0/G0 ,где V0 - начальная скорость движения граничных точек, Gq - скорость распространения продольных волн в соответствующей линейной упругой среде, либо, в тех задачах, где это удобнее, квадратный корень из этого отношения. Поскольку при решении линейной задачи, в рамках линейной теории упругости, ударная волна, созданная разрывом в начальных условиях, имеет постоянную интенсивность, равную & , рассматриваемые в настоящей работе ударные волны имеют малую интенсивность. Это позволяет взять за основу (нулевое приближение) решения -решение линейной задачи. Последующие приближения определяют влияние нелинейностей и получаются в результате решения краевых задач для системы линейных неоднородных волновых уравнений.

2. В работе применяется метод сращиваемых асимптотических разложений, справедливых вблизи границы воздействия и в окрестности поверхностей разрывов.

3. Поскольку в граничных условиях присутствует малый параметр, это дает возможность уточнять положение нагружаемой границы среды и поверхностей разрывов на каждом шаге метода последовательных приближений при помощи предыдущих приближений.

4. Найдены приближенные решения краевых задач: о нормальном ударе по недсформированному, а также подверженному деформациям нелинейно-упругому полупространству; об одномерном отражении плоской продольной ударной волны от жесткой плоской стенки; о сферически симметричном движении поршня по произвольному закону и об ударе по сферической мишени; о сдвиговом ударе по упругому полупространству; о косом ударе по недеформированному нелинейно-упругому полупространству,

5. Для задачи о нормальном ударе по недеформированному упругому полупространству проведено сравнение полученного приближенного решения с точным решением автомодельной задачи о плоской продольной ударной волне постоянной интенсивности,

6. На примере задачи, поставленной в напряжениях, об ударе по сферической мишени показано, что в качестве Vq к CL могут быть выбраны любые характерные скорость и ускорение точек движущейся среды. В окончательные формулы эти величины не входят.

7. Для задач с плоскими волнами общая часть разложений решений вблизи границы воздействия и вблизи поверхностей разрывов, совпадает с первым из них, т.е. равномерно пригодное разложение определяется разложениями решений вблизи плоских поверхностей разрывов. В случае задач со сферической симметрией общая часть этих разложений существенно отличается от каждого из них.

8. Рассмотренные процедуры сращивания внешнего и внутреннего разложений на каждом шаге метода последовательных приближений и в один прием с рассматриваемой степенью точности дали для круга решенных задач одни и те же результаты. С другой стороны, меньшая громоздкость выкладок при использовании сращивания на каждом шаге делает этот способ более предпочтительным, особенно в задачах со сферической симметрией.

9. В отличие от остальных рассмотренных в работе задач, где сращивание внешнего и внутреннего разложений было осуществимо с точностью до любой степени £ , в задаче сдвиговом ударе сращиваются лишь разложения с точностью до нечетной степени £

Это связано с особенностью постановки задачи о сдвиговом ударе (нормальное напряжение на граничной плоскости равно нулю).

Другой характерной особенностью разложений решения задачи о сдвиговом ударе является отсутствие членов, содержащих и ^ в нормальной к плоскости нагружения компоненте вектора перемещений ii-f , а также отсутствие члена, содержащего £ - в поперечной компоненте LL2 вектора перемещений.

10. В отличие от решения линейной задачи о чистом сдвиге упругого полупространства, решение нелинейной задачи выявляет эффект Пойтинга - сжатие среды в зоне перед передним фронтом распространения сдвиговых деформаций, а также эффект Вейссенберга -расширение среды в зоне за передним фронтом сдвиговых деформаций и ее "выпучивание" на границе сдвигового воздействия.

11. Учет нелинейностей приводит к тому, что сдвиговые воздействия влияют на интенсивность объемных деформаций и наоборот, воздействие, приводящее к объемному деформированию, влияет на интенсивность сдвиговых деформаций. Это взаимное влияние сказывается в членах разложений решения, содержащих &2= VQ/G0 . Влияние сдвигового возмущения на интенсивность продольной ударной волны является более слабым и проявляется лишь в члене, содержащем .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шаруда, Владимир Алексеевич, 1984 год

1. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. -М.: Гос-техиздат, 1948. -211 с.

2. Murnagkan F.D. Finite deformation of an elastic solid.-NewУогк: Wllley; London;Chapman, 1351. -Mp

3. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. -М.: Физмат-гиз, 1962. -284 с.

4. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. -М.: Изд-во ИЛ, 1963. -311 с.

5. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. -М.: Мир, 1965. -455 с.

6. Каудерер Г. Нелинейная механика. -М.: Изд-во ИЛ, 1961. -777 с.

7. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. -М.: Наука, 1969. -336 с.

8. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. -М.: Наука, 1980. -512 с.

9. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. -Киев: Наукова думка, 1973. -270 с.

10. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. -М.: Мир, 1972. -183 с.

11. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1978. -304 с.

12. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации. -М.: Наука, 1981. -256 с.

13. Truesdell C.^NollW. The поп-linear field theories of mechanics. -New Уогк; Springer 1966.-602p.

14. Весоловский 3. Динамические задачи нелинейной теории упругости. -Киев: Наукова думка, 1981. -216 с.

15. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых сред. -Киев:

16. Наукова думка, 1971. -276 с.16. йвлев Д.Д. К построению теории упругости. -ДАН СССР, 1961, т. 138, Р 6, с. I321-1324.

17. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Высш. школа, 1979. -318 с.

18. Черных К.Ф. Обобщенная плоская деформация в нелинейной теории упругости. -Прикл. механика, 1977, т. 13, № I, с. 3-30.

19. Новожилов В.В., Толоконников Л.А., Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости. -В кн.: Механика в СССР за 50 лет. -М.: Наука, 1972, т. 3, с. 71-78.

20. Blot М.A. Mechanics of incremental deformations.-New Уогк : Wllley , 1965. -50Ь p.

21. Болотин B.B. Неконсервативные задачи упругой устойчивости. -М.: Физматгиз, 1961. -339 с.

22. Rivlin R.S., Saunders DM Large elastic deformations of isotropic materials. Experiments of the deformations of rubber -Phil. Trans. Roy. Soc. London} 1951, v.A2tt, p. 251-288.

23. Черных K.i., Шубина И.Н. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов. -В кн.: Механика эластомеров. Краснодар, 1977, т. I, с. 54-64.

24. Рахматулин Х.А., Шапиро Г.С. Распространение возмущений в нелинейно-упругой и неупругой среде. -Изв. АН СССР, 01Н, 1955, W 2, с. 68-89.

25. Бабич В.М. Об уравнениях движения нелинейно-упругой среды. -ДАН СССР, 1954, т. 97, Р I, с. 41-44.26. 1узь А.Н.,Махорт Ф.Г., Гуща О.И. Введение в акустоупругость. -Киев: Наукова думка, 1977. -152 с.

26. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустину. -М.: Наука, 1966. -519 с.

27. Гузь А.Н. О линеаризованной теории распространения упругих волн в телах с начальными напряжениями. -В кн.: Нелинейные волны деформации. Мат. симпозиума. Таллин, 1978, т. I,с. 49-91.

28. Авербах И.И., Буденкова Г.А., Лукаш П.А., Шаршукова Л.М. Вычисление упругих констант третьего порядка. -Науч. тр. / Кишинев. политехи, ин-т, 1969, вып. I, с. 69-77.

29. Савин Г.Н., Лукашев А.А., Лыско Е.М., и др. Распространение упругих волн в твердом теле в случае нелинейно-упругой модели сплошной среды. -Прикл. механика, 1970, т. 6, № 2, с. 3842.

30. ChadwicK P., Dgden R.W. On the definition of elastic moduli. -Arch. Rat. Mech. and Ana! 1971, v. Hi, p. 4/-£3.

31. Iwashimizu Уи. Ultrasonic wave propogetion in deformed isotropic elastic materials.-Int. J. Solidsand Structures. 1971, I/. 7, N p.WM29.

32. Iwcishimiiu Yu.} Kobory Osami. The Ray high wave in a finitely deformed isotropic elastic material.

33. Acoust. Soc. Amer} 1978, Vm N3, p. 910-916.36. 6oreji<o P. Odbicie i zalamanie fali pnyspies?enia wnieliniowym materiale sprezystum. -Prace Inst. Podsta wowych РгоЫетоw TechniKl PAN. Wanszawa, 1975.

34. ChadwLcK P, Smith G.D. Foundations of theory of surface waves in anisotropic elastic materials.-Aclv.

35. AppL Mech. New Уогк, /977, v. f7, p. 303-376.

36. Гринфельд M.A. Отражение-преломление волновых фронтов на границе нелинейно-упругих сред. -Изв. АН СССР, МТТ, 1978, № 5, с. I09-II5.

37. VesolowSKL I. Nonlinear dynamics of elastic bodies. ClSM Courses and Lectures, Wlen - New Уогк,1979, N227,

38. Бестужева Н.П., Быковцев Г.И., Дурова В.Н. К исследованию нестационарных поверхностных волн в нелинейно-упругих средах. -Прикл. механика, 1981, т. 17, № 12, с. 27-33.

39. Бестужева Н.П., Дурова В.Н. Волны разрывов при конечных деформациях упругих материалов. -Изв. АН GCCP, МТТ, 1983, № 2, с. 102-108.

40. Галин Г.Я. Об условиях на поверхностях сильных разрывов для упругих и пластических тел. -ПММ, 1955, т. 19, вып. 3,с. 368-370.

41. Черных Е.М. Термодинамические соотношения на поверхности сильного разрыва в упругой среде при конечных деформациях. -ДАН СССР, 1967, т. 177, № 3, с. 546-549.

42. Черных Е.М. О распространении волн в упругой среде с конечными деформациями. -Изв. АН СССР, МТТ, 1967, № 4, с. 74-79.

43. Carrie Pmj Hayes М. Lonyitidinal and transverse rnves in elastic strain Hcidamard ancL Green materials.-1 Inst Math. and AppL, 1969, y.5 /V23 p МЧ61.

44. Chu Boa-Teh. Finite amplitude waves in inco/npressible perfectly elastic materials. -1 Mech. Phys.

45. Solids, Шч, v./2, N1, p. 45-57.

46. Chu боа-Teh. Transverse, shocK wws in incompressible, elastic solids.-1 Mech.Phys.Solids,

47. Багдоев А.Г., Мовсисян JI.А. К вопросу определения ударной волны в нелинейных задачах теории упругости. -Изв. АН АрмССР, 1968, т. 21, вып. 3, с. 19-24.

48. Чернышов А.Д. О распространении ударных волн в упругом пространстве при конечных деформациях. -ПММ, 1970, т. 34, вып. 5, с. 885-890.

49. Филатов Г.Ф. Об устойчивости сильных разрывов в нелинейной теории упругости. -Науч. тр. / Воронежск. гос. ун-т, 1971, вып. I, с. 62-64.

50. Филатов Г.Ф. О распространении волн в нелинейной теории упругости. -Науч. тр. / Воронежск. гос. ун-т, 1971, вып. 2, с. 137-142.

51. Филатов Г.Ф. О распространении поперечных и продольных ударных волн в упругой среде. -ПМТФ, 1972, IP 3, с. 186-188.

52. Буренин А.А., Нгуен Хыу Тхань, Чернышов А.Д. О распространении ударных волн в упругой среде при плоской конечной деформации. -ПММ, 1973, т. 37, вып. 5, с. 900-904.

53. Нигул У.К., Энгельбрехт Ю.К. Возникновение ударных волн в упругом полупространстве при одномерных нелинейных волновых процессах, возбуждаемых непрерывным воздействием. -Изв. АН СССР, МТТ, 1973, № I, с. 69-82.

54. Нигул У.К., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные и линейные переходные волновые процессы деформации термоупругих и упругих тел, -Таллин, 1972. -174 с.

55. Чернышов А.Д. Об условиях распространения ударных волн всредах с упругими и пластическими свойствами. В кн.: Проблемные вопросы механики горных пород. -Алма-Ата: Наука, 1972, с. 183-193.

56. Ruggeri T. Onde cli discontinuda ed ec^uauom constitutive nei corpi elasUci isotropi a deforma-iioni finite. -Ann. mat. pum ed appl., 1377,p 3/5-332.60. \JesolowsKi Burger W ShocK waves in incompressible elastic solids. -RheoL Acta, №1 v. 16.

57. Буренин А.А., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве. -ПММ, 1978, т. 42, вып. 4, с. 7II-7I7.

58. Гринфельд М.А. Распространение слабых и ударных волн в нелинейно-упругой среде. -В кн.: Нелинейные волны деформации. Мат. симпозиума. Таллин, 1978, т. 2, с. 54-57.

59. Заварзина Н.А., Филатов Г.Ф. Об ударных волнах в деформированной упругой среде. -В кн.: Нелинейные волны деформации. Мат. симпозиума. Таллин, 1978, т. 2, с. 70-73.

60. Bland D.R. The rote of heat conduction in finiteelastodynamics. -В кн.: Нелинейные волны деформации. Мат. симпозиума. Таллин, 1978, т. I, с. 11-25.

61. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Об ударных волнах, распространяющихся по напряженному состоянию в изотропных нелинейно-упругих средах. -ПММ, 1980, т. 44, вып. 3, с. 523-534.

62. Свешникова Е.И. Простые волны в нелинейно-упругой среде. -ПММ, 1982, т. 46, вып. 4, с. 642-646.

63. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Исследование ударной адиабаты квазипоперечных ударных волн в предварительно напряженной упругой среде. -ПММ, 1982, т. 46, вып. 5, с. 831-840.

64. Свешникова Е.И. Квазипоперечные ударные волны в упругой среде при специальных видах начальной деформации. -ПММ, 1983,т. 47, вып. 4, с. 673-678.

65. Черных Е.М. Автомодельная задача об ударном нагружении нелинейно-упругого материала. -ПММ, 1967, т. 31, вып. 5, с. 877882.

66. Буренин А.А., Лапыгин В.В. Автомодельная задача об ударном нагружении упругого полупространства. -ПММ, 1979, т. 43, вып. 4, с. 722-729.

67. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. -М.: Наука, 1977. -440 с.

68. Буренин А.А. Движение ступенчатой нагрузки со сверхсейсмической скоростью по границе нелинейно-упругого полупространства. -Науч. тр. НИИМ / Воронежск. гос. ун-т, 1973, вып. 8, с. 1-5.

69. Буренин А.А., Лапыгин В.В., Чернышов А.Д. К решению автомодельных задач нелинейной динамической теории упругости. -В кн.: Нелинейные волны деформации. Мат. симпозиума. Таллин, 1978, т. 2, с. 25-28.

70. Сабодаш П.Ф., Тихомиров Н.А., Навал И.К. Автомодельные движения физически нелинейной упругой среды, вызванные локальным выделением энергии. -В кн.: Нелинейные волны деформации. Мат. симпозиума. Таллин, 1978, т. 2, с. 145-148.

71. Баскаков В.А., Чернышов А.Д., Чирко М.С. О динамическом нагру-жении упругих тел с центральной и осевой симметрией при конечных деформациях. -В кн.: Механика деформируемого твердого тела. -Куйбышев, 1976, вып. 2, с. 98-101.

72. Садыков Р.А. О распространении волн объемной деформации в физически нелинейных сплошных средах. -В кн.: Нелинейные волны деформации. Мат. симпозиума. Таллин, 1978, т. 2, с. 149-152.

73. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругоплас-тического тела. -М.: Наука, 1978. -208 с.81. 1узь А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. -Киев: Висща школа, 1982. -346 с.

74. Руденко О.В., Солуян С.й. Теоретические основы нелинейной акустики. -М.: Наука, 1975. -288 с.

75. Нигул У.К. Нелинейная акустодиагностика (одномерные задачи). -Л.: Судостроение, 1981. -252 с.

76. Ван Дайк. Методы возмущений в механике жидкости. -М.: Мир, 1967, -293 с.

77. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. -М.: Мир, 1972. -275 с.

78. Найфэ А. Методы возмущений. -М.: Мир, 1976. -455 с.

79. Нигул У.К. Аналитическое решение волнового уравнения, правая часть которого соответствует волне с переменной скоростью распространения. -Изв. АН СССР, МТТ, 1972, Р 2, с. I09-II8.

80. Нигул У.К. Отклонения решения квазилинейного волнового уравнения от решения линейного уравнения в области непрерывных первых производных. -ПММ, 1973, т. 37, вып. 3, с. 434-447.

81. Нигул У.К. Точные решения квазилинейного волнового уравнения и область применимости метода последовательного интегрирования линейных неоднородных волновых уравнений. -Изв. АН СССР, МТТ, 1975, № 3, с. 76-83.

82. Нигул У.К. Асимптотический анализ возможностей использования нелинейных эффектов в акустодиагностике упругого объекта "слой на полупространстве". Механика полимеров, 1977, вып. 2, с. 306-315.

83. Нигул У.К. Эхо-сигналы от упругих объектов. -Таллин: Валгус, 1976, т. I, 325 с.

84. Нигул У.К., Метсавээр Я.А., Векслер Н.Д., Кутеер М.Э. Эхо-сигналы от упругих объектов. -Таллин: Валгус, 1974, т. 2, 346 с.

85. Нигул У.К. Асимптотическое описание процесса формирования нелинейного искажения одномерных импульсов в слоистой среде. -ПММ, 1976, т. 40, вып. 6, с. I093-II03.

86. Нигул У.К., Равасоо А.А. Применение второго асимптотического приближения искажения импульса в акустодиагностике слоя на полупространстве. -ПММ, 1979, т. 43, вып. 5, с. 933-939.

87. Нигул У.К. Точные решения квазилинейного волнового уравнения для области отсутствия ударных волн при краевых воздействиях типа импульса продольной формы. -В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций. M.i Машиностроение, 1975, с. 334-341.

88. Заболотская Е.А., Хохлов P.M. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков. -Акустич. журнал, 1969, т. 15, вып. I, с. 40-47.

89. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А., Хохлов P.M. Нелинейное распространение звукового пучка в недиссипативной среде. -Акустич. журнал, 1976, т. 22, вып. 4, с. 487-491.

90. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. -М.: Наука, 1972. -456 с.

91. Алексеев А.С., Бабич В.М., Гельчинский Б.Я. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов. -В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1961, вып. 5, с. 3-25.

92. Гринфельд М.А. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов в нелинейно-упругом материале. -ПММ, 1978,т. 42, вып. 5, с. 883-898.

93. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. -М.: Мир, 1964. -308 с.

94. Шаруда В.А. Одномерная задача о плоской ударной волне в деформированном упругом теле. -Воронеж, 1983. -17 с. -Рукопись представлена Воронеж, технол. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 17.01. 1983. Р 262-83.

95. Шаруда В.А. Приближенное решение задачи о сферическом поршне в упругой среде. -Воронеж, 1983. -9 с. -Г^копись предст. Воронеж, технол. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 17.01Л983. Р 263-83.

96. Буренин А.А., Шаруда В.А. Одномерный переходный волновой процесс деформации при ударном нагружении упругого полупространства. -Изв. АН СССР, МТТ, 1984, Р I, с. 40-44.