Нелинейная рефракция относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Матутин, Александр Александрович

• Матутин, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Матутин, Александр Александрович

Введение.

Глава 1. Математическое моделирование процессов рефракции ударных волн в газах и газожидкостных средах.

1.1. Класс задач нелинейной рефракции ударных волн.

1.2. Математическая модель газожидкостной среды.

1.3. Современное состояние исследований проблем нелинейной рефракции ударных волн.

1.4. Проблемы математического моделирования нелинейной рефракции ударных волн.

1.5. Анализ применимости модели двухфазной ГЖС для описания ударно-волновых процессов.

1.6. Постановка краевых задач для описания взаимодействий ударных волн в газовых и газожидкостных средах.

1.6.1. Дифференциальные уравнения идеальной, сжимаемой газовой и газожидкостной среды.

1.6.2. Граничные условия для областей неоднородных течений при нелинейной рефракции УВ. Условия на фронтах УВ.

1.6.3. Постановка задач для потенциальных адиабатических течений газовых и газожидкостных сред.

1.7. Метод сращиваемых асимптотических разложений решения краевых задач взаимодействия ударных волн в идеальных средах.

1.7.1. Линейные решения для областей (I) малых градиентов.

1.7.2. Нелинейные решения в областях (III), прилегающих к фронтам ударных волн и линий слабого разрыва.

1.8. Краевые задачи для областей (II) в окрестности точек взаимодействия ударных волн, областей нелинейных взаимодействий.

1.8.1. Система уравнений коротких волн.

1.8.2. Граничные условия для областей коротких волн.

1.8.3. Решение в области разрежения.

1.8.4. Координаты тройной точки.

1.8.5. Преобразование нелинейной краевой задачи к первой краевой задаче

Выводы к главе 1.

Глава 2. Асимптотический анализ режимов нелинейной рефракции ударных волн.

2.1. Аналитическое исследование режимов рефракции ударных волн. Общий подход для относительно слабых ударных волн.

2.2. Асимптотический анализ постановки задач рефракции.

2.3. Регулярная рефракция с возникновением волны разрежения (RR).

2.4. Случай нерегулярной рефракции с волной разрежения (NR).

2.5. Случай регулярной рефракции с ударной волной (RRV), замыкающей область разрежения.

2.6. Случай рефракции с отраженной ударной волной.

2.7. Переход от рефракции с волной разрежения (RR, RRV) к рефракции с отраженной ударной волной (RV).

2.8. Анализ характерной интенсивности q+ преломленной ударной волны в пространстве параметров подобия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейная рефракция относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах»

Актуальность темы. Теоретическое исследование процессов нелинейной рефракции ударных волн (УВ) в газах и газожидкостных средах представляет одну из фундаментальных проблем современной механики жидкости и газа. Решение этой проблемы важно для понимания многих физических процессов; развития сверхзвуковой авиации; проектирования трубопроводов, для транспортировки топливных смесей; движения тел в газожидкостных средах, в которых скорость звука мала и др. Теоретическая важность проблемы обусловлена нелинейным характером основных уравнений и сложным разрывным характером решений, в силу чего методы и их применения при исследовании задач имеют универсальный характер и связаны с решением общих проблем выявления структуры обобщенных решений задач математической физики.

В работе исследуются процессы нелинейной рефракции ударной волны (УВ), возникающие при взаимодействии ударной волны, относительно малой интенсивности (абсолютная интенсивность волн может быть велика), со свободной поверхностью, разделяющей различные газожидкостные среды, когда за фронтами УВ возникают области резких изменений параметров -области коротких волн, и ударные нагрузки многократно возрастают. В этих областях процесс существенно нелинеен, что вызывает значительные трудности при анализе поставленной задачи. Особое внимание уделяется нахождению и исследованию различных режимов существования нелинейной рефракции УВ, а также численному анализу поставленной задачи.

Пристальное внимание к проблеме отечественных (С.А. Христианович, А.А. Гриб, Б.И. Заславский, Г.П. Шиндяпин, В.К. Кедринский и др.) и зарубежных исследователей (L.F. Henderson, A. Sakurai, К. Takayama, G. Ben-Dor и др.) на протяжении более 50 лет привело к появлению разнообразных альтернативных точек зрения на природу явления. Однако, в настоящее время все отчетливее вырисовывается необходимость исследования процессов рефракции в целом, для построения полной картины исследуемого явления.

Настоящая работа развивает и дополняет положения асимптотической теории коротких волн [47, 81], опирающейся на решение внутренних краевых задач для областей нелинейных взаимодействий (коротких волн), которые позволяют учесть влияние потока в целом на образующиеся ударно-волновые структуры, изучить характерные особенности, закономерности и особые точки процессов нелинейной рефракции УВ.

Цель и задачи исследования. Целью работы является аналитическое исследование различных режимов существования нелинейной рефракции относительно слабых УВ в газах и газожидкостных (пузырьковых) средах, разработка и применение численного метода решения краевых задач при исследовании нелинейной рефракции УВ.

Исходя из этого, в работе решались следующие задачи:

• разработка аналитических моделей нелинейной рефракции относительно слабых УВ;

• классификация режимов нелинейной рефракции УВ;

• анализ областей существования различных режимов нелинейной рефракции УВ;

• получение явных аналитических зависимостей для основных параметров, характеризующих возникающие ударно-волновые структуры;

• аналитическое описание границ областей существования различных режимов нелинейной рефракции УВ;

• численное решение краевых задач рефракции УВ, на основе построенных аналитических моделей;

• анализ полей давлений и скоростей при различных режимах нелинейной рефракции УВ.

Методика исследований основана на использовании асимптотической теории коротких волн при анализе режимов нелинейной рефракции УВ, постановке краевых задач для областей нелинейных взаимодействий (коротких волн), разработке и применении численного метода решения краевых задач подобного типа.

Основное внимание уделяется аналитическим методам анализа, основанным на выделении структурных особенностей течений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• развит новый аналитический метод исследования ударно-волновых структур и потоков при нелинейной рефракции относительно слабых УВ в газах и газожидкостных средах;

• исследованы различные режимы нелинейной рефракции УВ, найдены аналитические выражения для границ областей существования различных режимов нелинейной рефракции УВ;

• найдены области существования неклассических режимов рефракции УВ, которые расширяют физическое представление о процессах нелинейной рефракции УВ, позволяя исследовать случаи рефракции с невырожденным фронтом преломленной УВ;

• получил развитие численный метод решения краевых задач нелинейной рефракции УВ, позволяющий рассчитать поля давлений и скоростей, а также, структуры ударно-волновых процессов нелинейной рефракции УВ;

• исследованы ударно-волновые структуры и течения в областях нелинейных взаимодействий. Выявлены качественные закономерности и особенности процессов нелинейной рефракции УВ, показавшие физическую адекватность разработанных аналитических и численных подходов к решению поставленной задачи.

Достоверность результатов подтверждается непротиворечивостью полученных аналитических результатов с имеющимися физическими представлениями и экспериментальными данными; согласованностью результатов для рассчитанных ударно-волновых структур и полей давления и скоростей с известными результатами численного решения соответствующих краевых задач; обоснованностью используемых методов исследований.

Практическая ценность работы. Результаты исследований расширяют представления о физических процессах нелинейной рефракции УВ в газах и газожидкостных средах, развивают аналитические методы и методы численного расчета течений для относительно слабых УВ. Результаты исследований могут быть использованы в учебном процессе при подготовке учебных пособий и чтении специальных курсов по динамике ударных волн в газах и газожидкостных средах. k Апробация результатов и публикации. Результаты исследований докладывались и обсуждались на международных, всероссийских и вузовских конференциях и семинарах. Среди них:

• XX, XXI Международный семинар по струйным, отрывным и нестационарным течениям. Санкт-Петербург, 2004 г.; Новосибирск, 2007 г.;

• XXXIV Уральский семинар по механике и процессам управления. Миасс, 2004 г.;

• XXIV, XXVII Российская школа по проблемам науки и технологий. Миасс, 2004; 2007 гг.;

• XLII Международная научная конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2005 г.;

• IV, V Молодежные научные школы-конференции «Лобачевские чтения». Казань, 2005; 2006 гг.;

• Международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике». Ульяновск, 2005; 2006 гг.;

• Ежегодные научные конференции Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики». Саратов, СГУ: 2003; 2004; 2005; 2006; 2007 гг.;

I • Специальные семинары кафедры вычислительного эксперимента в механике

Саратовского государственного университета. 2003-2007 гг.

Результаты исследований опубликованы в пятнадцати печатных работах.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов по главам, заключения, списка использованной литературы, изложена с учетом рисунков k на 123 страницах. Работа содержит 19 рисунков. Список использованной

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Матутин, Александр Александрович

Выводы к главе III.

Получил развитие численный метод решения краевых задач нелинейной рефракции ударных волн. Разработана общая методика численного решения краевых задач нелинейной рефракции ударных волн, позволяющая построить поля давлений и скоростей в области нелинейных взаимодействий ударных волн. Построены картины течений для различных режимов рефракции ударных волн: нерегулярного, регулярного и регулярного с ударной волной, замыкающей волну разрешения.

Показано, что развитый численный метод решения краевых задач взаимодействия оказался весьма эффективным и экономичным при решении задач рефракции, позволяя получить результаты (поля давлений и положения фронтов УВ) с достаточной точностью при ограниченном числе итераций и серий краевых задач.

Результаты объясняют характерные особенности и свойства течений при различных режимах нелинейной рефракции ударных волн. Результаты численных исследований качественно и количественно подтверждаются известными результатами экспериментальных и аналитических исследований.

Заключение

В работе получены новые научные данные об ударно-волновых процессах нелинейной рефракции относительно слабых УВ в газах и газожидкостных средах. Развит аналитический подход, позволяющий получить количественные и качественные характеристики исследуемых нелинейных процессов; определить области существования параметров для различных режимов рефракции, когда интенсивность преломленной УВ сравнима с интенсивностью падающей УВ. Развита методика численного решения краевых задач нелинейной рефракции УВ, построены картины течений для различных режимов рефракции.

Основные научные результаты:

1. Развита аналитическая теория нелинейной рефракции ударных волн, использующая асимптотическую теорию коротких волн и модель равновесной газожидкостной среды.

2. Разработаны аналитические модели: нерегулярной; регулярной рефракции с волной разрежения; регулярной рефракции с ударной волной, замыкающей волну разрежения; с отраженной ударной волной, позволяющие исследовать ударно-волновые структуры течений различных режимов рефракции.

3. Проведен анализ основных параметров и границ областей существования решений в пространстве безразмерных параметров подобия для различных режимов нелинейной рефракции ударных волн.

4. Развита методика численного решения краевых задач нелинейной рефракции относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах. Построены картины течений для различных режимов рефракции: нерегулярного; регулярного с волной разрежения; регулярного с ударной волной, замыкающей волну разрежения.

5. Показана математическая и физическая адекватность аналитических и численных результатов путем их анализа и сравнения с известными экспериментальными и численными результатами исследований, позволяющая рекомендовать полученные результаты для практического использования при решении проблем современного естествознания и техники.

В целом приведенные результаты представляют совокупность завершенных исследований, развивающих перспективное направление - нелинейную теорию взаимодействий ударных волн в газах и газожидкостных средах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Матутин, Александр Александрович, 2007 год

1. Abd-El-Fattah A.M. Shock waves at a slow-fast gas interface. / Abd-El-Fattah A.M., Henderson L.F. // J. Fluid Mech. Vol. 89. 1978. part 1, pp. 79-85.

2. Adachi T. Mach reflection of a weak shock waves / Adachi Т., Suzuki Т., Kobayashi S. // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. B. 1994. V. 60. № 575. P. 2281-2286.

3. Ben-Dor G. Shock wave reflection phenomena. New-York: Springer Verlag. 1991.

4. Bleakney W. Interaction of shock waves. / Bleakney W., Taub A.H. // Rev. Mod. Phys. 21, 584. 1949.

5. Bleakney W., Taub A.H., Fletcher C.H. Rev. Mod. Phys. 23, 271. 1951.

6. Campbell I.J. Shock waves in a liquids containing gas bubbles / Campbell I.J. Pitcher A.S. //Proc. Roy. Soc. A. 243. 1958. № 1235.

7. Cole R.H. Underwater Explosions Dover, New York, 1948 and references therein.

8. Chester W. Q. J. Mech. Appl. Math. 6,440. 1953.

9. Falada A., Holt M. Phys. Fluids. 21. 1702. 1978.

10. Flores J. Shock wave interaction with the ocean surface. / Flores J., Holt M. // Phys. Fluids. 25(2). 1982. p. 238.

11. Griffith W.C. Shock waves / Griffith W.C. // J. Fluid Mech. 1981. Vol. 106. P. 81101.

12. Griffith W.C., Bleakney W. Am. J. Phys. 22, 597. 1954.

13. Gvozdeva L.G., Kazhenova T.V., Predvoditeleva O.H., Fokeev V.P. Astron. Acta. 1970.15. 503.

14. Henderson L.F. On the refraction of shock waves at a slow-fast gas interface. / Henderson L.F., Colella P., Puckett E.G. // J. Fluid Mech. Vol. 224. 1991. pp. 127.

15. Henderson L.F. Reflection of a shock wave at on air-water interface / Henderson L.F., Ma J.H., Sakurai A., Takayama K. // Fluid Dynam. Res. 1990. № 5. P. 337350.

16. Henderson L.F. On the irregular refraction of a plane shock wave at a Mach number interface. / Henderson L.F., Macpherson A.K. // J. Fluid Mech. Vol. 32. 1968. part. l.pp. 185-202.

17. Henderson L.F. Experiments on the diffraction of weak blast waves: the von Neumann paradox / Henderson L.F., Siegenthaler A. // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1980. Vol. 369. № 1739. P. 537-555.

18. Henderson L.F. The persistence of regular reflection during strong shock diffraction over rigid ramps. / Henderson L.F., Takayama K., Crutchfield W.Y. Itabashi S. //J. Fluid Mech. 2001. Vol. 431. pp. 273-296.

19. Henderson L.F. The wall-jetting effect in Mach reflection: theoretical consideration and numerical investigation. / Henderson L.F., Vasilev E.I., Ben-Dor G., Elperin T. // J. Fluid Mech. 2003. Vol. 479. pp. 259-286.

20. Holt M. Annual Reviews of Fluid Mechanics. / Holt M. //Annuals Reviews, Palo Alto. 1977. Vol. 9, p. 187.

21. Jahn R.G. The refraction of shock waves at a gaseous interface. / Jahn R.G. // J. Fluid Mech. 1.457. 1956.

22. Kameda M. Propagation of Shock Waves in Dilute Bubbly Liquids. / Kameda M., Matsumoto Y. // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. B. 1995. 61. № 584. P. 1236-1245.

23. Lighthill M.J. The shock strength in supersonic "conical fields". / Lighthill M.J. // Philos. Mag. 1949. Vol. 40, № 511. P. 1202-1223.

24. Neumann J. Collected Works. Oxford; London; New York; Paris: Pergamon Press. 1963.538 р.

25. Polachek H., Seeger R.J. In Fundamentals of Gas Dynamics, edited by H.W. Emmons. Princeton University Press. Princeton. NJ, 1958. 482 p.

26. Quirk J.J. On the dynamics of a shock-bubble interaction. / Quirk J.J., Kami S. // NASA Langley Research Center, Hampton. 1995.

27. Sakurai A. U.S. Army Engineering Waterways / Sakurai A. //Experiment Station

28. Technical Report. № 1-771. 1967. 28.Sasoh A. Characterization of disturbance propagation in weak shock-wave reflections. / Sasoh A, Takayama K. // J. Fluid Mech. 1994. Vol. 277. P. 331-345.

29. Smith W.R. Mutual reflection of two shock waves of arbitrary strengths. / Smith W.R. // Phys. Fluid. 1959. Vol. 2. № 5. P. 533-541.

30. Taub A.H. Phys. Rev. 72, 51. 1947.

31. White D. R. An experimental survei of the Mach reflection of shock waves /White D. R. // Proc. Second Midwestern Fluid Mech. 1952. P. 253-262.

32. Whitham G.B. A new approach to problem of Shock dynamics. Pt 1: Two dimantional problems / Whitham G.B. // J. Fluid Mech. 1957. Vol. 2. P. 145-171.

33. Багдоев А.Г. Пространственные нестационарные движения сплошной среды с ударными волнами. Ереван. Изд-во АН АрмССР. 1961. 276 с.

34. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г., Лагутов Ю.П. Нестационарные взаимодействия ударных и детонационных волн. М.: Наука, 1986. 207 с.

35. Булах Б.М. Нелинейные конические течения газа. М.: Наука. 1970.344 с.

36. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости / Пер. с англ.М.: Мир. 1967.310 с.

37. Вельмисов П.А. Асимптотические исследования нелинейных взаимодействий слабых ударных волн / Вельмисов П.А., Шиндяпин Г.П. // Аэродинамика. Межвуз. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1972. Вып. 1(4). С. 78-93.

38. Волошинов А.В. Влияние газосодержания при взаимодействии ударных волн различной интенсивности в двухфазной газожидкостной среде / Волошинов А.В., Ковалев А.Д., Шиндяпин Г.П. // Изв. АНССР. МЖГ. 1986. №6. С. 172-174.

39. Волошинов А.В. К теории регулярного и маховского отражения ударных волн в двухфазной газожидкостной среде / Волошинов А.В., Ковалев А.Д., Шиндяпин Г.П. // Изв. АНСССР. МЖГ. 1985. № 2. С. 188-190.t

40. Гамаюнова E.H. Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. 2004.

41. Гельфанд Б.Е. Преломление плоских ударных волн при взаимодействии со слоем пузырьки газа-жидкость. / Гельфанд Б.Е., Губанов А.В., Тимофеев Е.И. // Изв. АНСССР. МЖГ. 1981. №2. С. 173-176.

42. Гельфанд Б.Е. Расчет параметров нестационарных ударных волн в двухфазной среде / Гельфанд Б.Е., Губанов А.В., Тимофеев Е.И. // ФГВ. 1981. №5. С. 139-143.

43. Гриб А.А. Нерегулярное отражение плоской ударной волны в воде от свободной поверхности. / Гриб А.А., Березин А.Г. // ПМТФ. 1960. № 2. С. 34-39.

44. Гриб А.А. Теория коротких волн / Гриб А.А., Рыжов О.С., Христианович С.А. // ПМТФ. 1960. № 1. С. 63-74.

45. Гриб А.А. Об отражении плоской ударной волны от свободной поверхности. / Гриб А.А., Рябинин А.Г., Христианович С.А. // ПММ, 1956. Том. 20. Вып. 4.

46. Губайдулин А.А. Волны в жидкостях с пузырьками / Губайдулин А.А., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И., Хабеев И.С. // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. ВИНИТИ М. 1982. Т. 17. С. 16-249.

47. Кедринский В.К. Усиление ударных волн при столкновении и фокусировке в пузырьковых средах / Кедринский В.К., Вшиков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И. // ДАН, 1998. Т. 361, № 1. С. 41-44 .

48. Кедринский В.К. Взаимодействие и усиление волн в жидких средах с пузырьками свободного и химически активного газа / Кедринский В.К. // Информационный бюллетень РФФИ. Новосибирск. Изд-во РФФИ, 1998. Том 6. № 2. 773 с.

49. Кедринский В.К. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели-Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2000,-435 с.

50. Клейнер Б.Г. Об одном классе точных частных решений уравнений коротких волн. / Клейнер Б.Г., Шиндяпин Г.П. // ПММ. Т. 34. Вып. 6. 1970. С. 11501158.

51. Ковалев А.Д. Исследование структур зон взаимодействия ударных волн. Дисс. на соиск. уч. степ, к.ф.м.н. Саратов: Сарат. ун-т. 1987.

52. Ковалев А.Д. О начальной стадии взаимодействия слабых ударных волн / Ковалев А.Д., Шиндяпин Г.П. // Аэродинамика: Межвуз. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1979. Вып. 7(10). С. 116-122.

53. Ковалев А.Д. К теории гидроудара в двухфазной газожидкостной смеси. / Ковалев А.Д., Шиндяпин Г.П. // Изв. АНССР. МЖГ. 1985. № 5. С. 188-190.

54. Ковалев А.Д. Идентификация режимов течения газожидкостных смесей в горизонтальных трубопроводах / Ковалев А.Д., Терентьев С.А., Шиндяпин Г.П. // Сб. науч. тр. Исследование и измерение параметров криогенных потоков. ВНИИФТРИ. М: 1981. С. 3-12.

55. Ляхов В.И., Подлубный В.В., Титаренко В.В. Воздействие ударных волн и струй на элементы конструкций. М.: Машиностроение. 1989. 392 с.

56. Маркушин А.Г. О максимальном давлении и асимптотическом законе подобия при переходе от регулярного к маховскому взаимодействию ударных волн в газожидкостных средах /Маркушин А.Г., Шиндяпин Г.П. //

57. Аэродинамика: Межвуз. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1993. Вып. 13(16). С.14-27.

58. Маркушин А.Г. Рефракция ударной волны на свободной поверхности в газожидкостной среде с образованием волны разрежения / Маркушин А.Г., Шиндяпин Г.П. // Аэродинамика: Межвуз. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 12(15). С. 24 -39.

59. Накоряков В.Е. Экспериментальное исследование ударных волн в жидкости с пузырьками газа / Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р., Кузнецов В.В., Малых Н.В. // Волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск, 1975. С. 54-97.

60. Паркин Б.Р. Ударные волны в воде с пузырьками воздуха / Паркин Б.Р., Гилмор Ф.Р., Броуд Г.Л. // Подводные и подземные взрывы. (Пер. с англ.) М.: Мир. 1974 С. 152-258.

61. Рязанцев Ю.С. Об отражении ударной волны от граничной поверхности. / Рязанцев Ю.С. //ПМТФ. 1962. № 2. С. 122-123.

62. Сагомонян А.Я. Пространственные задачи неустановившегося движения сжимаемой жидкости. М.: Изд-во МГУ. 1962. 80 с.

63. Сагомонян А.Я., Поручинов В.Б. Пространственные задачи неустановившегося движения сжимаемой среды. М.: Изд-во МГУ. 1970. 120 с.

64. Семенов А.Н. Разновидности отражения ударных волн от клина / Семенов А.Н. // Нестационарные течения газов с ударными волнами. Л.: ФТИ АН СССР. 1990. С. 162-172.

65. Титаренко В.В. Исследования взаимодействий ударных волн в идеальных газожидкостных средах асимптотическими методами / Титаренко В.В., Шиндяпин Г.П. // Нестационарные течения с ударными волнами. Л.: ФТИ АН СССР. 1990. С. 199-215.

66. Усков В.Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов / Усков В.Н. // Сверхзвуковые газовые струи. Новосибирск: Наука. 1983. С. 22-46.

67. Фонарев A.C. Распространение взрывных волн при частичном разрушении газонасыщенной цилиндрической оболочки / Фонарев А.С., Подлубный В.В. // Труды ЦАРИ. 1977. Вып. 1834. 23 с.

68. Христианович С.А. Ударные волны на значительном расстоянии от места взрыва. / Христианович С.А. // ПММ. 1956. Том. 20. Вып. 5. С. 599-605.

69. Христианович С.А. Механика сплошной среды. М.: Наука. 1981. 484 с.

70. Христианович С.А., Заславский Б.И. Асимптотические методы в теории слабых ударных волн. XXI Международный конгресс по прикладной механике. Н. Gortler, ed. Springer-Verlag, Berlin, 1966.

71. Христианович С.А. О нелинейном отражении слабых ударных волн. / Христианович С.А., Рыжов О.С. // ПММ. 1958. Т. 22. Вып. 5.

72. Шиндяпин Г.П. Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражении и взаимодействии относительно слабых ударных волн / Шиндяпин Г.П. // Аэродинамика: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2001. Вып. 3. С. 31-44.

73. Шиндяпин Г.П. К теории дифракции слабых ударных волн / Шиндяпин Г.П. //Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 6. С. 176-178.

74. Шиндяпин Г.П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных средах Учеб. пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1997104 с.

75. Шиндяпин Г.П. Нерегулярное взаимодействие слабых ударных волн разной интенсивности / Шиндяпин Г.П. // ПММ 1974. Т. 38. Вып. 1. С. 105-114.

76. Шиндяпин Г.П. О режиме регулярного взаимодействия слабых ударных волн // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 6. С. 1128-1131.

77. Шиндяпин Г.П. О нерегулярном отражении слабых ударных волн от жесткой стенки / Шиндяпин Г.П. // ПМТФ. 1964. № 2. С. 22-28.

78. Шиндяпин Г.П. Исследование рефракции ударных волн на поверхности, разделяющей газовую и газожидкостную среды, асимптотическим методом / Шиндяпин Г.П. // Аэродинамика. Межвуз. сб. научн. тр Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1995. вып. 14 (17).

79. Шиндяпин Г.П. Численное решение задачи нерегулярного отражения слабой ударной волны от жесткой стенки в идеальном газе / Шиндяпин Г.П. // ЖВМ иМФ. 1980. № 1.С. 249-254.

80. Шиндяпин Г.П., Ковалев А.Д. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред. Учеб. пособие. Саратов. Изд-во Сарат. ун-та.1988.4.1.

81. Шиндяпин Г.П., Ковалев А.Д. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред. Учеб. пособие. Саратов. Изд-во Сарат. ун-та.1990.4.2.

82. Матутин А.А. Аналитическое и численное исследование процессов рефракции ударных волн / Матутин А.А.// Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 183-186.

83. Матутин А.А. Нелинейная рефракция ударной волны с образование ударной волны, замыкающей зону разрежения / Матутин А.А. // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 198202.