Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Гамаюнова, Елена Николаевна

• Гамаюнова, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гамаюнова, Елена Николаевна

Введение.

ГЛАВА 1. Математические модели взаимодействий и отражений относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах.

4 1.1. Аналитические исследования нелинейных взаимодействий ударных волн.

1.1.1. Развитие аналитической теории коротких волн.

1.1.2. Исследование процессов взаимодействий УВ в условиях парадокса Неймана.

1.1.3. Проблемы взаимодействия ударных волн в газожидкостных пузырьковых средах.23.

1.1.4. Современное состояние исследований нелинейных взаимодействий ударных волн.

1.2. Ударно-волновые структуры и режимы отражения и * взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных пузырьковых средах.

1.3. Модель двухфазной газожидкостной среды и термодинамика газовых и газожидкостных пузырьковых сред.

1.4. Анализ применимости модели двухфазной ГЖС для описания ударно-волновых процессов.

1.5 Постановка краевых задач для описания взаимодействий ударных волн в газовых и газожидкостных средах.

1.5.1. Дифференциальные уравнения идеальной, сжимаемой газовой и газожидкостной среды.

1.5.2. Граничные условия для областей неоднородных течений при взаимодействиях УВ. Условия на фронтах УВ.

1.5.3. Постановка задач для потенциальных адиабатических течений газовых и газожидкостных сред.

1.6. Метод сращиваемых асимптотических разложений решения краевых задач взаимодействия ударных волн в идеальных средах.

1.6.1. Линейные решения для областей (I) малых градиентов.

1.6.2. Нелинейные решения в областях (III), прилегающих к фронтам ударных волн и линий слабого разрыва.

1.6.3. Задачи для областей (II) в окрестности точек взаимодействия ударных волн, областей нелинейных взаимодействий.

1.7. Краевые задачи для областей (II) коротких волн, областей нелинейных взаимодействий.

Выводы к главе 1.

ГЛАВА 2. Аналитические модели и классификация нелинейных ударно-волновых взаимодействий.

2.1. Разработка аналитических моделей нерегулярных взаимодействий для описания основных параметров взаимодействия.

2.1.1. Проблемы аналитического моделирования.

2.1.2. Разработка общей аналитической модели нерегулярных взаимодействий УВ. Построение замкнутой системы уравнений.

2.1.3. Анализ общей аналитической модели. Сведение исходной системы к системе двух уравнений. Идея параметрического метода решения.

2.1.4. Основные режимы отражений и взаимодействий относительно слабых ударных волн и возникающие ударно-волновые структуры.

2.1.5. Аналитические модели нерегулярных и регулярных взаимодействий и отражений ударных волн.73.

2.1.6. Определение границ областей существования нерегулярных и регулярных взаимодействий и отражений ударных волн.76.

2.2. Аналитическое описание основных параметров взаимодействия и отражения ударных волн.79.

2.2.1. Расчёт основных параметров взаимодействий, положения фронта Маха и распределения параметров на фронте Маха.

2.2.2. Расчёт параметров на фронтах отражённых ударных волн.

2.3. Анализ основных параметров взаимодействия ударных волн. Физическая адекватность развитых аналитических моделей.

W 2.3.1. Интерпретация аналитических решений методом ударных поляр. Сравнение аналитических результатов с результатами численных и экспериментальных исследований.

2.3.2. Аналитическое исследование параметров нерегулярных отражений ударных волн в условиях действия парадокса Неймана.

2.3.3. Анализ параметров нерегулярных взаимодействий ударных волн. Сравнение результатов аналитических исследований с известными экспериментальными результатами.89.

2.4. Анализ параметров, характеризующих ударно-волновые структуры взаимодействий. Анализ границ областей существования различных режимов нерегулярных взаимодействий. Физическая адекватность аналитических результатов.

Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. Аналитическое исследование полей давления и скоростей при нерегулярных взаимодействиях ударных волн.

3.1. Класс точных решений Заславского - Гриба уравнений коротких волн и основная система дифференциальных уравнений, определяющих параметры течения.

3.1.1. Различные формы записи основной системы

Ч' дифференциальных уравнений.

3.1.2. Сведение основной системы дифференциальных уравнений к двум уравнениям относительно Х\(я\ Xoifl).

3.1.3. Анализ начальных условий и особенностей решений основной системы дифференциальных уравнений.

3.2. Построение аналитических решений системы дифференциальных уравнений Заславского-Гриба в задачах симметричного взаимодействия, отражения ударных волн.

3.2.1. Построение решений методом разложения по малому

4 параметру.

3.2.2. Начальные условия на фронте Маха.

3.3. Построение решений в окрестности тройных точек при неклассических условиях нерегулярных взаимодействий ударных волн.

3.3.1. Построение семейства кривых, содержащего фронты ударных волн.

3.3.2. Построение решения в окрестности тройной точки.

3.4. Построение полей давлений и скоростей с помощью аналитических решений. Сравнение результатов с известными результатами численных и экспериментальных исследований.117.

3.4.1. Начальные условия и интегрирование системы уравнений

Для хМ\ хМ).И

3.4.2. Анализ полей давлений и скоростей при нерегулярных отражениях и взаимодействиях ударных волн.

3.4.3. Сравнение результатов с результатами численного решения краевых задач для областей нелинейных взаимодействий.

3.4.4. Сравнение результатов с результатами известных экспериментальных исследований.

Выводы к главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах»

Актуальность темы. Теоретическое исследование процессов отражений и взаимодействия ударных волн (УВ) в газах и газожидкостных средах представляет одну из фундаментальных проблем современной механики жидкости и газа. Решение этой проблемы важно для развития сверхзвуковой «? авиации, космонавтики, проектирования трубопроводов для транспортировки топливных смесей и др. Теоретическая важность проблемы обусловлена нелинейным характером основных уравнений и сложным разрывным характером решений, в силу чего методы, возникающие при исследовании процессов взаимодействий, имеют универсальный характер и связаны с решением общих проблем выявления структуры обобщенных решений задач математической физики.

Исследуются процессы отражения и взаимодействия (взаимного проникновения УВ) относительно малой интенсивности (абсолютная интенсивность волн при этом может быть велика), когда за фронтами УВ Ф возникают области резких изменений параметров - области коротких волн, и ударные нагрузки возрастают. В этих областях процесс существенно нелинеен, что вызывает серьезные трудности при анализе. Особое внимание уделяется моделированию процессов отражения и взаимодействия в условиях возникновения парадокса Неймана, когда для относительно слабых УВ теоретические результаты для нерегулярных отражений УВ (локальные теории Неймана) не согласуются с экспериментом, в то время как для относительно сильных У В такое согласие наблюдается.

Неизменное внимание к проблеме отечественных (С.А. Христианович, А.А. Гриб, Б.И. Заславский, Г.П. Шиндяпин и др.) и зарубежных исследователей (А.Ф. Хендерсон, К. Такаяма, Г. Бен-Дор и др.) на протяжении более 50 лет привело к появлению разнообразных альтернативных точек зрения на природу противоречия. Известны многочисленные попытки подправить локальные теории Неймана. Однако все яснее вырисовывается необходимость построения теории взаимодействий, отражающей влияние потока в целом на образующиеся ударно-волновые структуры.

Настоящие исследования развивают положения асимптотической теории коротких волн, опирающейся на решения внутренних краевых задач для областей нелинейных взаимодействий (коротких волн), которая позволяет учесть влияние потока в целом на образующиеся ударно-волновые структуры, изучить характерные особенности и закономерности процессов отражений и взаимодействий УВ.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является разработка аналитического подхода к исследованию процессов нелинейных отражений и взаимодействий относительно слабых УВ в газах и газожидкостных пузырьковых средах при различных режимах нерегулярных взаимодействий, включая взаимодействия в условиях возникновения парадокса Неймана.

Исходя из этой цели, в работе решались следующие задачи:

- Разработка достаточно простых аналитических моделей нерегулярных отражений и взаимодействий относительно слабых УВ, допускающих как классические, так и неклассические (с разрывом поперечной составляющей скорости) условия в тройных точках.

- Классификация режимов нерегулярных отражений и взаимодействий УВ.

- Анализ областей существования различных режимов нерегулярных отражений и взаимодействий УВ.

- Получение явных аналитических зависимостей для основных параметров, характеризующих возникающие ударно-волновые структуры.

- Аналитическое описание границ областей существования различных режимов отражений и взаимодействий УВ.

- Анализ полей давлений и скоростей в областях нелинейных взаимодействий при различных режимах нерегулярных отражений и взаимодействий УВ.

Методика исследований основана на использовании асимптотической теории коротких волн при постановке краевых задач для областей нелинейных взаимодействий (коротких волн) и формировании аналитических моделей взаимодействий, соответствующих краевым задачам.

Основную роль выполняют аналитические методы анализа, основанные f' на выделении структурных особенностей течений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- получил развитие новый аналитический метод исследования ударно-волновых структур и потоков при отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах;

- разработаны оригинальные аналитические модели, допускающие как классические, так и неклассические условия в тройных точках;

- найдены аналитические выражения для границ областей существования различных режимов нерегулярных отражений и взаимодействий УВ;

- разработан параметрический метод решения модельных уравнений, позволяющий получить явные аналитические зависимости для основных параметров, характеризующих ударно-волновые структуры и течения при различных режимах нерегулярных отражений и взаимодействий УВ;

- разработана методика построения течений в областях нелинейных взаимодействий с помощью класса точных параметрических решений Заславского-Гриба и анализа течений в окрестности тройных точек при различных режимах нерегулярных отражений и взаимодействий УВ;

- исследованы ударно-волновые структуры и течения в областях нелинейных взаимодействий. Выявлены качественные закономерности и у особенности процессов взаимодействий, показавшие в условиях действия парадокса Неймана физическую адекватность разработанных аналитических моделей.

Достоверностьрезультатов работы подтверждается непротиворечивостью полученных аналитических результатов с имеющимися физическими представлениями и экспериментальными данными; согласованностью результатов для рассчитанных ударно-волновых структур и полей течений с известными результатами численного решения соответствующих краевых задач; обоснованностью используемых методов исследований.

Практическая ценность работы. Полученные результаты исследований углубляют представления о физических процессах отражений и взаимодействий УВ в газах и газожидкостных средах, развивают аналитические методы исследований и расчета течений с относительно слабыми УВ.

В частности, результаты исследований были использованы при выполнении программы Минобразования РФ «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники». Подпрограмма «Транспорт» (проект № 205 01.01.30 2001-2002 гг. Исп. СГУ) НИР «Разработка детонационных двигателей для воздушных транспортных средств на основе вычислительного и натурального экспериментов».

Результаты исследований могут быть использованы в учебном процессе при подготовке учебных пособий и чтении специальных курсов по динамике ударных волн в газах и газожидкостных средах.

Апробация результатов и публикации. Результаты исследований докладывались и обсуждались на международных, всероссийских и вузовских конференциях и семинарах. Среди них:

- IV Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ - 2002), Санкт-Петербург, 2002 г.;

- XIX и XX Международные семинары по струйным, отрывным и нестационарным течениям. Санкт-Петербург, 2002, 2004 гг.;

- Международная конференция «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении». Саратов, ИПТМУ РАН, 2002 г.;

- XII Международная конференция аспирантов и студентов. Новосибирск, СО РАН, 2004 г.;

- XXXIV и XXXV постоянно действующий научно-технический семинар «Проблемы теории, конструкции, проектирования и эксплуатации ракет и ракетных двигателей». Саратов. СФ ВАУ. 2002, 2003 гг.;

- Международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике». Ульяновск, УлГТУ, 2003 г.;

- XV Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика». Казань. КазФВАУ. 2003 г.;

- Ежегодные научные конференции Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики». Саратов. СГУ: 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 гг.;

- Специальные семинары кафедры вычислительного эксперимента в механике Саратовского государственного университета. 2001-2004 гг.

Результаты исследований опубликованы в тринадцати печатных работах.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов по главам, заключения, списка использованной литературы и приложений; изложена с учетом рисунков на 163 страницах. Работа содержит 21 рисунок, 12 приложений. Список использованной литературы включает 69 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Гамаюнова, Елена Николаевна

Выводы к главе 3

1. Развит аналитический подход к анализу нелинейных отражений и взаимодействий ударных волн, использующий класс точных частных решений Заславского-Гриба системы уравнений коротких волн и локальные решения в тройных точках при неклассических условиях взаимодействия.

2. Построены поля давления и скоростей для различных режимов нелинейных отражений и взаимодействий ударных волн в газах и газожидкостных средах, включая режим взаимодействий в условиях действия парадокса Неймана.

3. Проведено сравнение полученных результатов расчета полей давлений и скоростей с известными результатами численных и экспериментальных исследований, показавшее их хорошее соответствие. Это позволяет сделать вывод о математической корректности и физической достоверности результатов, полученных с помощью разработанных аналитических моделей.

4. Полученные результаты расчета полей давлений и скоростей подчёркивают преимущество аналитического подхода к анализу нелинейных взаимодействий; выявляют закономерности и особенности поведения параметров в зонах больших градиентов, иллюстрируют возникновение различных режимов взаимодействий и переход от одних режимов к другим. Результаты объясняют и устраняют несоответствия, возникающие при нерегулярных отражениях относительно слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены новые научные данные об ударно-волновых процессах, возникающих при нерегулярных отражениях и взаимодействиях относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах. Развит аналитический подход, позволяющий получить количественные и качественные характеристики исследуемых нелинейных процессов, объяснить и устранить несоответствия теории, связанные с парадоксом Неймана. Результаты способствуют развитию теории нелинейных взаимодействий ударных волн в газах и газожидкостных средах, имеющей важное теоретическое и прикладное значение.

Основные научные результаты работы:

1. Развиты аналитические модели нерегулярных взаимодействий и отражений относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах. Получены новые аналитические результаты по классификации режимов взаимодействий, аналитические выражения для границ областей существования различных режимов взаимодействий.

2. Разработан параметрический метод построения аналитических решений для основных модельных уравнений, позволяющий определить базовые параметры взаимодействий, геометрию возникающих ударно-волновых структур при различных режимах нерегулярных взаимодействий и отражений.

3. Развит аналитический подход для анализа течений в областях нелинейных взаимодействий (коротких волн), использующий класс точных частных решений Заславского-Гриба и анализ течений в окрестности тройных точек при неклассических условиях взаимодействий.

4. Проведен систематический анализ поведения основных параметров на ударно-волновых фронтах, а также полей давлений и скоростей при различных режимах нерегулярных отражений и взаимодействий ударных волн, показавший хорошее соответствие результатов известным результатам численных и экспериментальных исследований.

5. Выявлены качественные и количественные закономерности и особенности нерегулярных отражений и взаимодействий ударных волн, показавшие в условиях действия парадокса Неймана физическую адекватность аналитических моделей и преимущества развитого аналитического подхода.

Г'

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гамаюнова, Елена Николаевна, 2005 год

1. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г., Лагутов Ю.П. Нестационарные взаимодействия ударных и детонационных волн в газах. М.: Наука, 1986. 207 с.

2. Griffith W.C. Shock waves // J. Fluid Mech. 1981. Vol. 106. P. 81-101.

3. Шиндяпин Г.П., Ковалев А.Д. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред. ч. 2. Краевые задачи взаимодействия ударных волн. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. 108 с.

4. Шиндяпин Г.П. Маховское отражение и взаимодействие слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 2. С. 183-190.

5. Шиндяпин Г.П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных средах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1997. 104 с.

6. Гриб А.А., Рыжов О.С., Христианович С.А. Теория коротких волн //

7. ПМТФ. 1960. № 1. С. 63-74.

8. Христианович С.А. Механика сплошной среды. М.: Наука. 1981. 484 с.

9. Гриб. А.А., Березин А.Г. Нерегулярное отражение плоской ударной волны в воде от свободной поверхности // ПМТФ. 1960. № 2. С. 34-39.

10. Заславский Б.И. О нелинейном взаимодействии сферической ударной волны, возникающей в результате взрыва заглубленного заряда, со свободной поверхностью воды // ПМТФ. 1964. № 4. С. 57-65.

11. Шиндяпин Г.П. О нерегулярном отражении слабых ударных волн от жесткой стенки // ПМТФ. 1964. № 2. С. 22-28.

12. Заславский Б.И. Некоторые частные решения уравнений коротких волн // ПМТФ. 1962. № 2. С. 63-69.

13. Клейнер Б.Г., Шиндяпин Г.П. Об одном классе точных частных решений уравнений коротких волн // ПММ. Т. 34. вып. 6. 1970. С. 1150-1158.

14. White D. R. An experimental survei of the Mach reflection of shock waves // Proc. Second Midwestern Fluid Mech. 1952. P. 253-262.

15. Smith W.R. Mutual reflection of two shock waves of arbitrary strengths // Phys. Fluid. 1959. Vol. 2. № 5. p. 533-541.

16. Вельмисов П.А., Шиндяпин Г.П. Асимптотические исследования нелинейных взаимодействий слабых ударных волн // Аэродинамика. Межвуз. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1972. Вып. 1(4). С. 78-93.

17. Могилевич Л.И., Шиндяпин Г.П. О нелинейной дифракции слабых ударных волн // ПММ. 1971. Т. 35, вып. 3. С. 492-498.

18. Багдоев А.Г. Пространственные нестационарные движения сплошной среды с ударными волнами. Ереван. Изд-во АН АрмССР. 1961. 276 с.

19. Титаренко В.В., Шиндяпин Г.П. Исследования взаимодействий ударных волн в идеальных газожидкостных средах асимптотическими методами // Нестационарные течения с ударными волнами. Л.: ФТИ АН СССР. 1990. С. 199-215.

20. Шиндяпин Г.П. Нерегулярное взаимодействие слабых ударных волн разной интенсивности // ПММ 1974. Т. 38. Вып. 1. С. 105-114.

21. Шиндяпин Г.П. Численное решение задачи нерегулярного отражения слабой ударной волны от жесткой стенки в идеальном газе // ЖВМ и МФ. 1980. № 1.С. 249-254.

22. Шиндяпин Г.П. К теории дифракции слабых ударных волн // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 6. С. 176-178.

23. Whitham G.B. A new approach to problem of Shock dynamics. Pt 1: Two dimantional problems // J. Fluid Mech. 1957. Vol. 2. P. 145-171.

24. Henderson L.F., Siegenthaler A. Experiments on the diffraction of weak blast waves: the von Neumann paradox // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1980. Vol. 369. № 1739. P. 537-555.

25. Семенов A.H. Разновидности отражения ударных волн от клина // Нестационарные течения газов с ударными волнами. Л.: ФТИ АН СССР. 1990.1. С. 162-172.

26. Lighthill M.J. The shock strength in supersonic "conical fields" // Philos. Mag. 1949. Vol. 40, №511. P. 1202-1223.

27. Kuo Y.H. A similarity rule for the interaction between a conical field and a plane shock // J. Aero. Sci. 1955. Vol. 22, № 7.щ 29. Булах Б.М. Нелинейные конические течения газа. М.: Наука. 1970. 344 с.

28. Дулов В.Г. О движении тройной конфигурации ударных волн с образованием следа за точкой ветвления // ПМТФ. 1973. № 6. С. 67-75.

29. У сков В.Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов // Сверхзвуковые газовые струи. Новосибирск: Наука. 1983. С. 22-46.

30. Фонарев А.С., Подлубный В.В. Распространение взрывных волн при частичном разрушении газонасыщенной цилиндрической оболочки// Труды ЦАГИ. 1977. Вып. 1834. 23 с.

31. Neumann J. Von. Collected Works. Oxford, London, New York; Paris: Pergamon Press. 1963. 538 p.

32. Kft: 34. Colella P., Henderson L.F. The von Neumann paradox for the diffraction ofweak shock waves // J. Fluid Mech. 1990. Vol. 213. p. 71-94.

33. Ковалев А.Д., Шиндяпин Г.П. О начальной стадии взаимодействия слабых ударных волн // Аэродинамика: Межвуз. сб. Саратов: Изд-во Сарат. унта. 1979. Вып. 7(10). С. 116-122.

34. Ковалев А.Д. Исследование структур зон взаимодействия ударных волн. Дисс. на соиск. уч. степ, к.ф.м.н. Саратов: Сарат. ун-т. 1987.

35. Сагомонян А.Я. Пространственные задачи неустановившегося движения сжимаемой жидкости. М.: Изд-во МГУ. 1962. 80 с.

36. Сагомонян А .Я., Поручинов В.Б. Пространственные задачинеустановившегося движения сжимаемой среды. М.: Изд-во МГУ. 1970. 120 с.

37. Shindyapin G. , Mylcin V. Shock wave structure in gases and fluids with gases medium in under the von Neumann paradox conditions // Fluxes and structures in fluid. Intern. Conf. St. Petersburg. Russia. 1999. p. 119-120.

38. Гельфанд Б.Е., Губанов A.B., Тимофеев Е.И. Расчет параметров щр нестационарных ударных волн в двухфазной среде // ФГВ. 1981. № 5. С. 139143.

39. Губайдулин А.А., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И., Хабеев И.С. Волны в жидкостях с пузырьками // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. ВИНИТИ М. 1982. Т. 17. С. 16-249.

40. Пархин Б.Р., Гилмор Ф.Р., Броуд Г.Л. Ударные волны в воде с пузырьками воздуха// Подводные и подземные взрывы. (Пер. с англ.) М.: Мир. 1974 С. 152-258.

41. Волошинов А.В., Ковалев А.Д., Шиндяпин Г.П. К теории регулярного и маховского отражения ударных волн в двухфазной газожидкостной среде // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. № 2. С. 188-190.

42. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р., Кузнецов В.В., Малых Н.В. Экспериментальное исследование ударных волн в жидкости с пузырьками газа.//Волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск. 1975. С. 54-97.

43. Волошинов А.В., Ковалев А.Д., Шиндяпин Г.П. Влияние газосодержания при взаимодействии ударных волн различной интенсивности в двухфазной газожидкостной среде // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 6. С. 172174.

44. Sasoh A., Takayama К. Characterization of disturbance propagation in weak shock-wave reflections // J. Fluid Mech. 1994. Vol. 277. P. 331-345.

45. Ben-Dor G. Shock wave reflection phenomena. New-York: Springer Verlag. 1991.

46. Kobayashi S., Adachi Т., Suzuki T. Non-self-similar behavior of the von Neumann reflection// Physics of Fluids. Vol. 12, № 7. 2000. p. 1809-1877.

47. Takayama K., Ben-Dor G. State-of-the art in research on Mach reflection of shock waves// Sadhana. V. 18, Part 3,4. 1993. P. 695-710.

48. Adachi Т., Suzuki Т., Kobayashi S. Mach reflection of a weak shock waves // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. B. 1994. V. 60. № 575. C. 2281-2286.

49. Васильев Е.И. Четырехволновая схема слабого маховского взаимодействия ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изв. РАН. МЖГ. № 3. 1999. С. 144-152.

50. Zakharian A.R., Brio М., Hunter J.H., Webb G.M. The Von Neumannparadox in weak shock refection // J. Fluid Mech. Vol. 422. 2000. P. 193-205.

51. Henderson L.F., Menikoff R. Triple-shock entropy theorem and its consequences // J. Fluid Mech. Vol. 366. 1998. P. 179-210.

52. Шиндяпин Г.П. Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражении и взаимодействии относительно слабых ударных волн // Аэродинамика: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2001. Вып. 3. С. 31-44.

53. Шиндяпин Г.П., Гамаюнова Е.Н. Аналитическое исследование ударно-волновых структур и параметров при нелинейных взаимодействиях ударных волн // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2001. Вып. 3. с. 193-196.

54. Гамаюнова Е.Н. Аналитическое представление основных параметров Ф нерегулярных взаимодействий и отражений ударных волн // Математика.

55. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2002. Вып. 4. с. 178-181.

56. Шиндяпин Г.П., Гамаюнова Е.Н. Аналитическое исследование общего случая нерегулярного взаимодействия и отражения ударных волн //

57. Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2002. Вып. 4. с. 225-229.

58. Шиндяпин Г.П., Гамаюнова Е.Н. Анализ ударно-волновых структур и потоков при нелинейных взаимодействиях и отражениях ударных волн // АВН. Труды ПДНТС. Саратов: СФВАУ, 2002. Вып. 34. с. 42-45.

59. Гамаюнова Е.Н. Ударно-волновые структуры и потоки при нелинейных взаимодействиях ударных волн // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2003. Вып. 5. с. 153-156.

60. Гамаюнова Е.Н. Нелинейные особенности отражения и взаимодействия слабых ударных волн // АВН. Труды ПДНТС. Саратов: СФВАУ, 2003. Вып. 35. с. 15-18.

61. Изд-во Каз. ГУ. 2003. с. 50-52.

62. Гамаюнова Е.Н. К анализу результатов аналитического и численного решения задачи нерегулярного отражения ударных волн // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2004. Вып. 6. с. 179-182.

63. Шиндяпин Г.П., Гамаюнова Е.Н. К теории нелинейных взаимодействий ударных волн в условиях парадокса Неймана // Сб. науч. тр. «Прикладная математика и механика». Выпуск 6. Ульяновск. УлГТУ. 2004. С. 55-70.

64. Шиндяпин Г.П., Гамаюнова Е.Н. Анализ нелинейных взаимодействий ударных волн с помощью решений Заславского-Гриба // Тр. XX Юбилейного Между нар. семинара по струйным, отрывным и нестационарным течениям. Санкт-Петербург: ИПЦ СПб ГУТД, 2004. с. 249-250.