Некоторые вопросы теории обратных задач для уравнений эллиптического и соболевского типов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Велисевич Александр Викторович

• Велисевич Александр Викторович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Велисевич Александр Викторович

Введение

Глава 1. Обратные задачи для линейных эллиптических уравнений

1.1 Обратная задача для эллиптического уравнения с граничным условием Дирихле

1.1.1 Постановка задачи и предварительные результаты

1.1.2 Теорема существования и единственности

1.1.3 Следствие и комментарии

1.2 Обратная задача для эллиптического уравнения со смешанным граничным условием

1.2.1 Постановка задачи и предварительные результаты

1.2.2 Теорема существования и единственности

1.2.3 Следствие и комментарии

Глава 2. Обратная задача для квазилинейного уравнения

2.1 Постановка задачи и предварительные результаты

2.2 Теорема существования и единственности

2.3 Следствие и комментарии

Глава 3. Асимптотическое поведение решения обратной задачи для уравнения соболевского типа

3.1 Постановка задач и теорема существования и единственности решения нестационарной задачи

3.2 Стабилизация

3.3 Оценки скорости стабилизации

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Данная диссертационная работа посвящена обратным задачам для дифференциальных уравнений эллиптического типа, а также некоторым смежным вопросам, связанным с асимптотическим поведением решений обратных задач для уравнений соболевского типа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы теории обратных задач для уравнений эллиптического и соболевского типов»

Актуальность темы исследования.

Актуальность исследования стационарных обратных задач обусловлена их многочисленными приложениями в моделировании процессов фильтрации и диффузии [1,2,14,25,41], теплопереноса [4], в акустике [3,31], нелинейной механике [43] и других областях, а также тем фактом, что многие физические процессы имеют тенденцию стабилизироваться со временем [8,12,42,45]. Так, установившееся течение жидкости в анизотропной пористой среде описывается стационарным уравнением

-&у(к(х,и)Чф1(и)) + 7 (х)^(и) = /, (1)

где и - давление жидкости, к(х,и) - матрица функций, зависящих от проницаемости и гидравлических свойств пористой среды и жидкости (коэффициент фильтрации), (и), ф2(и) - скалярные функции, 7(х) - коэффициент поглощения или абсорбции.

Коэффициенты уравнений характеризуют физические свойства среды, которые трудно определить экспериментально. Например, свойства и структура трещиноватой среды зависят от естественных условий залегания пласта, которые практически невозможно воссоздать в лабораторных условиях с необходимой точностью [6].

Таким образом, широкие приложения и трудности определения физических параметров сложных сред приводят к необходимости постановки и изучения различных обратных задач для эллиптических уравнений.

Степень разработанности темы исследования.

В настоящее время теория обратных задач математической физики предлагает различные подходы к исследованию таких задач и развивается представителями ряда отечественных математических школ, в том числе сибирской школой, основанной М.М. Лаврентьевым и В.Г. Романовым [7,11,19,20], и Московской, основанной А.Н. Тихоновым [35,36,62]. Для решения некорректных задач А.Н. Тихонов предложил подход [35], согласно которому для исходной некорректной задачи строится регуляризирующее семейство операторов, и ее приближенное решение ищется как элемент, доставляющий минимум некоторому стабилизирующиму функционалу (функционалу Тихонова). М.М. Лаврентьев на основе концепции А.Н. Тихонова [34] выделил класс условно-корректных задач, к которым относятся в том числе обратные задачи для дифференциальных уравнений. Согласно определению М.М.Лаврентьева [21] задача Aq = / называется корректной по Тихонову или условно-корректной на множестве М, если а) решение задачи существует и единственно на множестве М; б) оно непрерывно зависит от / на множестве М. Условия таких задач во многих случаях позволяют выразить неизвестные параметры через основную искомую функцию (например, с помощью преобразований Фурье и Лапласа) и исключить их из уравнений. Таким образом, обратную задачу можно свести к вспомогательной прямой задаче для нагруженного уравнения [38], либо к системе интегральных уравнений [19].

В работах А.И. Прилепко, Д.Г. Орловского [27], А.И. Прилепко, В.В. Соловьева [28] и А.И. Прилепко, Д.Г. Орловского, И.А. Васина [62] предложен другой подход, при котором обратная задача сводится к операторному уравнению второго рода, имеющему решение тогда и только тогда, когда разрешима исходная обратная задача. Подход, предложенный А.И.Прилепко, позволяет свести обратную задачу к операторному уравнению вида р = Аи (р), правая часть которого может зависеть явно как от искомой функции и, так и от параметра р, что дает более широкие возможности при построении операторного уравнения для неизвестного коэффициента. Этот подход использу-

ется в данной работе при доказательстве разрешимости обратных задач для эллиптических уравнений.

Исследования по обратным задачам восходят к работам М.М. Лаврентьева [16,17], посвященным некорректным задачам для эллиптических уравнений. В 1960-х годах он начал развивать новое направление — теорию и приложения многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений [18,19]. В частности, М.М. Лаврентьев [18] предложил метод доказательства единственности решения обратных задач для гиперболических уравнений в случае установившихся колебаний. Метод основан на сведении таких задач к обратным задачам восстановления неизвестного младшего коэффициента в эллиптических уравнениях. В дальнейшем различные теоретические аспекты и численные методы решения некорректных и обратных задач для дифференциальных уравнений, в том числе эллиптических, обсуждались в работах М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова и С.П. Шишатского [20], а также М.М. Лаврентьева и Л.Я. Савельева [21], А.Л. Бухгейма и М.В. Клибано-ва [7], М.В. Клибанова и А. Тимонова [49,50], В.М. Исакова [46,47], А.Б. Костина [15], В.Л. Камынина [12] и других.

Среди обратных задач для эллиптических уравнений наибольшую трудность представляют задачи восстановления старших коэффициентов по дополнительным данным на границе исследуемой области (или на части этой границы) в уравнении (1), в котором ф\(и) = и, 7(х) = 0, к(х,и) = к(х)Е, где Е - единичная матрица, а функция к неизвестна. Коэффициент к может зависеть от и, к = к(и) [5,61], или от х, к = к(х) [37,39,51,58,59], а также быть постоянным [13,54]. В качестве условия переопределения в работах [37,39,61] используется граничное условие

д n

= V (t, x)

дП

при краевом условии Дирихле. Пионерской в этом направлении является работа А.П. Кальдерона (A.P. Calderón) [39], в которой впервые обсуждалась об-

ратная задача проводимости (отыскания неизвестного к(х, и) = к(х)) с таким условием переопределения. В ней предложено приближенное представление неизвестного коэффициента к(х) на основе отображения Дирихле-Неймана. Кальдероном показано, что это представление тем точнее, чем ближе искомый коэффициент к константе. В настоящее время разрешимость задачи Кальдерона не доказана.

Аналогичный подход использовали Г. Эггер, Ж.-Ф. Питшманн и М. Шлотбом (Н. Е§§ег, Л.-Р. Р1е1эсЬшапп, М. БсЫоиЬош) [40], а также А.Г. Ха-санов и В.Г. Романов [44] при исследовании обратных задач для нелинейных стационарных уравнений. В [40] для обратной задачи одновременного восстановления коэффициентов фильтрации и абсорбции в нелинейном уравнении (1) с условиями Дирихле и нелинейным условием Неймана установлены условия единственности решения. А.Г. Хасанов и В.Г. Романов доказали обратимость отображения аналогичного оператору Дирихле-Неймана в случае обратной задачи для нелинейного стационарного уравнения упруго-пластичного кручения с краевым условием Дирихле и интегральным условием переопределения в области.

Задачи восстановления неизвестных младших коэффициентов и правой части в эллиптических уравнениях рассматривались многими авторами. В работах Г.В. Алексеева и Е.В. Калининой [1], Г.В. Алексеева и В.А.Левина [2] задача отыскания младшего члена в линейном эллиптическом уравнении сводится к решению экстремальной задачи при определенном выборе функционала качества. В [32, 33, 63] устанавливаются условия существования и единственности решения обратных задач в прямоугольных [48,57,63] и цилиндрических [26,32,33] областях. Неизвестные коэффициенты восстанавливаются по информации о значениях некоторого интегрального оператора по всей области, или о следе решения уравнения на каком-либо многообразии внутри цилиндра или части его границы [29,32].

Одними из наименее исследованных среди стационарных обратных за-

дач являются задачи с интегральными условиями переопределения на границе области. А.Ш. Любанова [54, 55] изучала обратные задачи отыскания неизвестного постоянного коэффициента к уравнения

кМФг(и) + 0(х)Ф2(и) = / (х),

с граничным условием Дирихле и интегральным условием переопределения на границе

, [ дФг(и)

к] дфЖ1 ^(Х)*8 = *, (2)

где М - сильно эллиптический дифференциальный оператор второго порядка, д= - производная по конормали, ш(х) - известная функция, * - некоторая постоянная. Рассматривалась обратная задача как для линейного уравнения [54] при Фх(и) = Ф2(и) = и, так и для квазилинейного уравнения [55]. При некоторых дополнительных ограничениях доказана однозначная разрешимость обратных задач в смысле сильного обобщенного решения. Для доказательства существования решения А.Ш.Любанова разработала новый подход, основанный на сведении обратной задачи к операторному уравнению второго рода с помощью продолжения функций, заданных на границе, внутрь области как решений соответствующих эллиптических задач. Обратные задачи восстановления неизвестного постоянного коэффициента в младших членах с условием переопределения (2) ранее не изучались.

Обратные задачи с интегральными условиями переопределения другого типа исследовались в работах А.И. Кожанова и Т.Н. Шипиной [13,52], а также М. Слодички и Д. Лесника (М. 81о^ека, Э. Ьевше) [66]. М. Слодичка и Д. Лесник установили условия существования обобщенного решения обратной задачи отыскания неизвестного постоянного коэффициента теплообмена Л для уравнения Гельмгольца в прямоугольнике со смешанным граничным условием нелинейного теплообмена и интегральным условием переопределе-

ния на границе прямоугольника Г:

ди [

и — Аи = /, —= ^д(и)1Г, д(и)и<1в = Е,

д(и) - функция степенного роста, д(0) = 0, д' > 0.

А.И.Кожанов и Т.Н.Шипина рассматривали многомерные обратные задачи для эллиптических уравнений в цилиндрической области. А.И.Кожанов [13] изучал разрешимость обратных задач нахождения вместе с решением и(х,Ь) постоянного положительного старшего коэффициента в линейных эллиптических уравнениях. В работе А.И. Кожанова и Т.Н. Шипиной [52] рассматривается задача нахождения младшего коэффициента, зависящего от переменной £. В качестве дополнения к соответствующим краевым условиям, определяющим корректные краевые задачи для данных уравнений, используется условие интегрального переопределения

!и(1,х)к (х)Лх=*

51

где в задачах отыскания старшего коэффициента Б - верхнее основание цилиндра при £ = Т и * - постоянная, а в задаче восстановления младшего коэффициента Б - боковая поверхность цилиндра и * = N(х) - заданная функция. Для всех задач доказаны теоремы существования и единственности регулярных обобщенных решений.

Краевые задачи для эллиптических уравнений тесно связаны с асимптотическим поведением решений соответствующих задач для уравнений соболевского типа [53,60,65].

(и + + Ь2и = ¡, (3)

где Ь\,Ь2 - линейные сильно эллиптические дифференциальные операторы второго порядка по пространственным переменным. Одними из первых исследовали асимптотическое поведение решений прямых начально-краевых задач

для уравнения соболевского типа Р.Е. Шоуолтер и Т. Тинг (R.E. Showalter, T. Ting) [65]. Они показали, что решение прямой начально-краевой задачи для уравнения (3) с граничным условием Дирихле стабилизируется к решению краевой задачи Дирихле для соответствующего эллиптического уравнения при t ^ в смысле нормы в W21(^). С. Кунду, А.К. Пани и М. Кебчарон (S. Kundu, A. K. Pani, M. Khebchareon) [53] доказали сходимость решения уравнения Бенжамина - Бона - Махони - Бюргерса к решению ассоциированной стационарной задачи при t ^ при условии, что минимальное среди собственных значений линеаризованной стационарной задачи является положительным. В работе Л.Т.П. Нгок, Т.Т. Нан, Т.М. Туе и Н.Т. Лонг (L.T.P. Ngoc, T.T. Nhan, T.M. Thuyet, N.T. Long) [60] обсуждались условия стабилизации решения начально - краевой задачи для уравнения соболевского типа с нелинейностью степенного роста в младшем члене.

Для обратных задач известен один результат, полученный А.Ш. Люба-новой и А. Тани (A.Tani) [56]. В своей статье А.Ш.Любанова и А.Тани исследовали асимптотическое поведение решения обратной задачи восстановления неизвестного коэффициента, зависящего от времени, в члене второго порядка линейного уравнения фильтрации соболевского типа. Они установили достаточные условия, при которых решение обратной задачи для уравнения соболевского типа стабилизируется к решению соответствующей стационарной задачи при t ^

В 1969 году Т. Тингом (T. Ting) [67] для линейного уравнения (3) впервые был введен термин «псевдопараболическое уравнение». В 1997 году Г.В.Демиденко и С.В.Успенский [10] предложили классификацию линейных уравнений с постоянными коэффициентами, неразрешенных относительно старшей производной по времени, согласно которой линейные уравнения вида (3) относятся к классу простых уравнений соболевского типа. В настоящее время в литературе встречаются оба названия уравнений (3). В данной диссертационной работе для них используется термин «уравнение соболев-

ского типа».

Обратные задачи для эллиптических уравнений представляют большой интерес как с теоретической, так и прикладной точки зрения. Вместе с тем, многие практически значимые задачи мало изучены. В частности, многомерные обратные задачи отыскания младших коэффициентов эллиптического уравнения с условиями переопределения типа (2) в областях произвольной геометрии ранее не изучались.

Цель настоящей диссертационной работы состоит в определении условий корректности обратных задач восстановления постоянного младшего коэффициента в эллиптических уравнениях второго порядка с интегральными условиями переопределения на границе, а также условий стабилизации решений связанных с ними нестационарных задач для уравнений соболевского типа. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- установить условия существования, единственности, и устойчивости (в смысле непрерывной зависимости от исходных данных) решения обратных задач восстановления постоянного младшего коэффициента в линейном эллиптическом уравнении с интегральными условиями переопределения на границе области;

- доказать существование, единственность, и определить условия устойчивости решения обратной задачи восстановления постоянного младшего коэффициента в нелинейном эллиптическом уравнении с интегральным условием переопределения на границе области в случае граничного условия Дирихле;

- установить условия стабилизации решения обратной задачи восстановления коэффициента, зависящего от времени, в младшем члене линейного уравнения соболевского типа по интегральным данными переопределения на границе области в каждый момент времени к решению ассоциированной стационарной задачи при £ ^ в случае граничного условия Дирихле.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми и оригинальными. В работе впервые исследованы многомерные обратные задачи восстановления постоянного младшего коэффициента в эллиптических уравнениях по интегральным данным относительно потока (производной искомой функции по конормали) на границе ограниченной области. Для сведения обратных задач к операторным уравнениям второго рода найдены продолжения функций, заданных на границе, в виде решений вспомогательных эллиптических задач, отличных от построенных в работах А.Ш.Любановой.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные результаты носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: качественная теория уравнений в частных производных, теория обратных задач, математическое моделирование установившихся процессов. Они могут быть использованы при построении общей теории обратных задач.

Методология и методы исследования. Для достижения поставленной цели используются методы функционального анализа и теории уравнений в частных производных: теоремы вложения, теоремы о неподвижной точке, методы получения априорных оценок, принцип максимума для эллиптических уравнений. При доказательстве теорем существования и единственности для обратных задач используется метод сведения обратной задачи к операторному уравнению второго рода.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты:

- доказана однозначная разрешимость обратных задач восстановления постоянного младшего коэффициента в линейном эллиптическом уравнении с интегральными условиями переопределения на границе области в случае граничных условий первого и третьего рода;

- установлены достаточные условия существования и единственности

решения обратной задачи восстановления постоянного младшего коэффициента в нелинейном эллиптическом уравнении с интегральными условиями переопределения на границе области в случае граничного условия Дирихле;

- получены условия стабилизации решения обратной задачи отыскания неизвестного младшего коэффициента, зависящего от времени, в уравнении соболевского типа с интегральным условием переопределения на границе области к решению, ассоциированной с ней, стационарной обратной задачи для эллиптического уравнения.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается наличием строгих математических доказательств всех утверждений.

Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 18-31-00019, грант № 20-31-90053 Аспиранты), Российского научного фонда, правительства Красноярского края и Красноярского краевого фонда науки (грант № 22-21-20028).

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

- Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Проспект Свободный» в 2016 и 2022 г. (Красноярск, Россия);

- Международная научная студенческая конференция «МНСК-2017» в

2017 г. (Новосибирск, Россия);

- Международная научная студенческая конференция «МНСК-2018» в

2018 г. (Новосибирск, Россия);

- Международный молодежный форум «Л0М0Н0С0В-2018» в 2018 г. (Москва, Россия);

- Международная научно-практическая конференция «Advanced Science and Technology» в 2018 г. (Москва, Россия);

- Международная школа-конференция посвященная 110-летию со дня рождения С. Л. Соболева «Соболевские чтения» в 2018 г. (Новосибирск, Рос-

сия);

- Международная научно-практическая конференция «Наука и Образование: Сохраняя прошлое создаём будущее» в 2019 г. (Пенза, Россия);

- Международная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» в 2019 г. (Новосибирск, Россия);

- Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» в 2020 г. (Новосибирск, Россия);

- «Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам» в 2022 г. (Суздаль, Россия);

- «O.A. Ladyzhenskaya centennial conference on PDE's» (международная конференция, посвященная 100-летию О.А.Ладыженской) в 2022 г. (Санкт-Петербург, Россия);

- Российско-китайская конференция «Дифференциальные и разностные уравнения» в 2023 г. (Новосибирск, Россия);

- Международная научная конференция «Современные проблемы обратных задач», посвященная 85-летию академика РАН В.Г. Романова в 2023 г. (Новосибирск, Россия).

Работа также обсуждалась на научных семинарах:

- на межгородском научно-исследовательском семинаре «Неклассические задачи математической физики» под руководством профессора А. И. Кожанова, профессора И. Е. Егорова, профессора С. В. Попова, профессора В. Е. Федорова, профессора А. П. Солдатова, профессора С. Г. Пяткова;

- на объединённом научном семинаре Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, кафедры математических методов геофизики НГУ, МЦА «Математические проблемы геофизики» под руководством члена - корреспондента РАН С. И. Кабанихина, профессора М. А. Шишленина;

- на научно-исследовательском семинаре Института математики им.

С.Л. Соболева СО РАН «Обратные задачи математической физики» под руководством профессора М. В. Нещадима;

- на научно-исследовательском семинаре Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН «Прикладная Гидродинамика» под руководством члена-корреспондента РАН В. В. Пухначёва, профессора Е. В. Ерманюка;

- на научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Сибирского федерального университета;

- на научном семинаре «Математические модели и методы интегрирования» Института вычислительного моделирования Красноярского научного центра СО РАН под руководством профессора О. В. Капцова;

- на научном семинаре «Математическое моделирование в механике» Института вычислительного моделирования Красноярского научного центра СО РАН под руководством профессора В. К. Андреева и В. Б. Бекежановой;

- на учебно-исследовательском семинаре механико-математического факультета Московского государственного университета «Обратные задачи анализа, математической физики и естествознания» под руководством академика РАН В.А.Садовничего и профессора А.И.Прилепко;

- на семинаре кафедры высшей математики Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» под руководством доктора физ.-мат. наук А. Б. Костина, доктора физ.-мат. наук О. В. Нагорнова и доктора физ.-мат. наук В. Б. Шерстюкова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ [68-84], четыре из которых - в журналах, входящих в Перечень периодических научных изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации. Три работы написаны и опубликованы в соавторстве. В статье [74] автору принадлежат результаты раздела 3 и лемма 2.2 раздела 2. В работах [82,83] вклад автора в доказательства основных результатов является решающим.

Структура и краткое содержание диссертационной работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы, включающего 67 наименований и списка работ автора по теме исследования, включающего 17 наименований. Объем работы составляет 98 страниц. Нумерация формул, утверждений (теорем, лемм и т.п.) и замечаний является сквозной в пределах одной главы, номера состоят из двух цифр: номер главы, порядковый номер формулы или утверждения.

В диссертации используются следующие обозначения:

О С И™ - ограниченная область с границей дО; || • ||д , (•, •)д - норма и скалярное произведение в Ип; || • || , (•, •) - норма и скалярное произведение в Ь2(0); || • ! - норма в (О),] = 1, 2; (•, - отношение двойствен-0 1 1

ности между \¥1(0) и соответственно; М - дифференциальный опе-

ратор вида М = —йт(М(х)V) + т(х)1, где М(х) = (т^(х)) - матрица функций т^(х), г,] = 1, 2,... ,п; т(х) - скалярная функция; (Му\,у2)м = ]п((М(х^у 1, VV2)R + т(х)У1У2)йх.

Первая глава включает в себя два параграфа. Основные результаты §1.1 данной главы опубликованы в [74], результаты §1.2 - в [79].

Под решением задач, которые изучаются в главах 1 и 2, будем понимать пару, которая состоит из функции и € W22(0) и постоянной к > 0 и удовлетворяет всем условиям этих задач.

§1.1 посвящен вопросам корректности обратной задачи определения неизвестного коэффициента к в линейном эллиптическом уравнении с граничными условиями первого рода.

Задача 1. Для заданных функций /(х), в(х), Н(х) и константы д найти пару из функции и(х) и константы к, удовлетворяющую уравнению

Ми + ки = ¡,

граничному условию

и |ш= в(х)1зп

и условию переопределения

J ^¡гШ* =,.

дП

Здесь dN = (nx, M(x)V)r, nx - единичный вектор внешней нормали к dü. Введем предположения относительно оператора M.

I. m¡j, ^mf ,m(x) G L™(ü), i,j,k = 1, 2,...,n., существуют положитель-

О 1

ные постоянные m1,m2 такие, что для любого v G Wl(ü)

mi^v^l < (Mv,v)1 < m2||v||i.

II. m¡j(x) = miji(x) для i,j = 1,..., n; m(x) > 0 в ü.

Основным результатом данного параграфа является теорема существования и единственности решения задачи 1. Для ее формулировки продолжим в и h внутрь области ü как решения задач:

Ma = f, a 1дп= в (x), (4)

Mb = 0, b |an = h(x), (5)

Maa + aaa = 0, aa |дп= в(x), v> 0. (6)

Теорема 0.1. Пусть dü G C2, и выполняются предположения I,II. Предположим также, что

(г) f (x) G L2(ü), в(x), h(x) G W?¡/2(dü)

(ii) f (x) > 0 почти всюду в ü, существует константа 5 > 0 такая, что в(x) > 5 > 0, h(x) > 5 > 0 для почти всех x G дü.

Тогда, если выполняются неравенства

m1(a, b)2

0 < м - Ф <

411 allllbll '

где Ф = (Ма,Ь)м — (1,Щ, то задача 1 имеет решение {и, к}. Более того, справедливы оценки

аа < и < а, 0 < к < а, ||и||2 < С||а|| + ||а||2.

при некотором а > 0 и константе С, зависящей от тввО, а, т1 и т2. Если

о < д — ф <т(У2,

" 4||а||||&||

то решение единственно.

В §1.2 исследуется корректность линейной обратной задачи определения неизвестного коэффициента к в эллиптическом уравнении, с граничным условием третьего рода.

Задача 2. Для заданных функций /(х),а(х), в(х),Н(х) и константы д найти пару, состоящую из функции и(х) и константы к удовлетворяющие уравнению

—^у(М(х^и) + т(х)и + ки = ¡,

граничному условию

( ди

ш

и условию переопределения

Й+=в (х),

j иН(х)йв = д. дп

Предполагается, что оператор М удовлетворяет условию II и следующему ограничению.

I'. т^, ,т(х) € Ьж(0), г,], к = 1, 2,...,п., существуют положительные постоянные т1,т2 такие, что для любого V € W2>(0) справедливы неравенства

т^||2 <(Mv,v)M а(х)у2б,в < т211V||1.

дП

Введём функции а,ат и Ь как решения задач

(да \

+ а(х)а) = в (х); дМ / дп у ]

(дат \

—= + а(х)ат) = в (х);

д^ У дп { ]

МЬ = 0, + а(х)Ь) = Н(х), т> 0.

' ЧдМ / дп v

Основным результатом §1.2 является теорема существования и единственности решения задачи 2.

Теорема 0.2. Пусть дО € С2 и выполнены предположения I, II. Пусть также

(1) !(х) € Ь2(О), в(х), Н(х) € -ш1/2(дО), а(х) € С(дО);

(п) /(х) > 0 почти всюду в О, а(х) > 0 почти всюду на дО, существует константа 5 > 0 такая, что в(х) > 5 > 0, Н(х) > 5 > 0 для почти всех х € дО.

Тогда если выполняются неравенства

0 < д - ф < ,

\\а\\\\Ь\\

где Ф = /дП аН(в, то задача 2 имеет решение {и, к}. Более того, при некотором т > 0 справедливы оценки

ат < и < а, 0 < к < т, \\и\\2 < С(т + 1)\\а\\ + \\а\\2,

где константа С зависит от тввО,т,т1 и т2. Если

0 < Д - Ф <тгШ,

\\а\\\\Ь\\

то решение задачи 2 единственно.

Во второй главе исследуется корректность обратной задачи нахождения неизвестного коэффициента в младшем члене квазилинейного эллиптического уравнения с граничным условием Дирихле и интегральным условием переопределения.

Задача 3. При заданных функциях /(х),в(х),Н(х) и постоянной д требуется найти функцию и и постоянную к удовлетворяющие уравнению

—(т(М(хуЧи) + т(х)и + кг (и) = ¡, (7)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Велисевич Александр Викторович, 2024 год

- 68 с.

20. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики / - Москва: Наука, 1980. - 286с.

21. Лаврентьев М. М., Савельев Л. Я. Теория операторов и некорректные задачи: научное издание / - Новосибирск: Изд-во Института математики, 1999. - 702 с.

22. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа: научное издание / - Москва: Наука, 1973. -577с.

23. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения / - Москва: Мир, 1971. - 372 с.

24. Любанова А. Ш. Обратные задачи для нелинейных стационарных уравнений // Математические заметки СВФУ. - 2015. - Т. 23. - № 2. - 65 -77.

25. Полубаринова-Кочина П. Я., Фалькович С. В. Теория фильтрации жидкостей в пористых средах // Прикладная математика и механика, 1947.

- Т. 11. - № 6. - С. 629 - 674.

26. Прилепко А. И., Костин А. Б.,Соловьёв В. В. Обратные задачи нахождения источника и коэффициентов для эллиптических и параболических уравнений в пространствах Гёльдера и Соболева // Сибирский журнал чистой и прикладной математики. - 2017 - Т. 17. - Вып. 3. - С. 67 - 85.

27. Прилепко А. И., Орловский Д. Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики. I // Дифференциальные уравнения. - 1985. - Т. 21. - № 1. - С. 119-129.

28. Прилепко А. И. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения. - 1987. - Т. 23. - № 1. - С. 136 - 143.

29. Пятков С. Г. О некоторых обратных задачах для эллиптических уравнений и систем // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2010.

- Т. 13, №4. - С. 83 - 96.

30. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики / Москва: Наука.

- 1984. - 262 с.

31. Романов В. Г. Обратная задача дифракции для уравнений акустики // Доклады Академии наук. - 2010. - Т. 431. - №3. - С. 319 - 322.

32. Соловьев В.В. Обратные задачи для эллиптических уравнений в пространстве. II // Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т.47, №5. - С. 714 - 723.

33. Соловьев В. В. Коэффициентная обратная задача для уравнения Пуассона в цилиндре // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51. - № 10 - С. 1738 - 1745.

34. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады АН СССР.

- 1943. - Т. 39 № 5. - С. 195 - 198.

35. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач: учебное издание / Москва: Наука, 1979. - 288 с.

36. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач: научное издание / Москва: Наука, 1990. - 232 с.

37. Alessandrini G., Caburro R. The Local Calderon Problem and the Determination at the Boundary of the Conductivity // Communications in Partial Differential Equations. - 2009. - V.34 - №8. - P. 918 - 936.

38. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations / Inverse and ill-posed problems series. V. 32. - Utrecht: VSP, 2002. - 211 p.

39. Calderon A. P. On an inverse boundary value problems in Seminar // Numerical Analysis and its Applications to Continuum Physics. - Rio de Janeiro, 1980. - P. 65 - 73.

40. Egger H., Pietschmann J.-F., Schlottbom M. Simultaneous identification of diffusion and absorption coefficients in a quasilinear elliptic problem // Inverse Problems. - 2014. - V.30, - №3. - C.035009.

41. Franca M., Sfecci A. On a diffusion model with absorption and production // Nonlinear Analysis: Real World Applications. - 2017. - V. 34. - № 1. - P. 41 - 60.

42. Guidetti D. Asymptotic expansion of solutions to an inverse problem of parabolic type with non-homogeneous boundary conditions // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. - 2011. - V. 141A. - №4. - P. 777 - 817.

43. Hasanov A. Some new classes of inverse coefficient problems in non-linear mechanics and computational material science // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2011. V. 46. - №5. - P. 667 - 684.

44. Hasanov A., Romanov V. G. An inverse coefficient problem related to elastic-plastic torsion of a circular cross-section bar // Applied Mathematics Letters. - 2013. - V.26, №5. - P. 533 - 538.

45. Helmig R., Wiess A., Wohlmuth B. I. Dynamic capillary effects in heterogeneous porous media // Computational Geosciences. 2007. - V. 11.

- № 3. - P. 261 - 274.

46. Isakov V., Nachman A. Global uniqueness for a two-dimensional elliptic inverse problem // Transactions of American Mathematical Society. - 1995.

- V. 347. - № P. 3375-3391.

47. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations / Swizerland: Springer International Publishing, 2017. - 413 p.

48. Kanca F. Inverse coefficient problem for a second-order elliptic equation with nonlocal boundary conditions // Mathematical Methods in the Applied sciences. - 2016. - V. 39. - P. 3152 - 3158.

49. Klibanov M.V. Inverse problems and Carleman Estimates // Inverse Problems. - 1992. - V.8. - №3. - P. 575 - 596.

50. Klibanov M.V., Timonov A. A. Carleman Estimates for Coefficient Inverse Problems and Numerical Applications / Utrecht: VSP, 2004. - 282 p.

51. Kozhanov A.I. Nonlinear inverse problems for elliptic equations // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. - 2001. - V.9. - № 4. - P. 413 - 424.

52. Kozhanov A. I., Shipina T. N. Inverse Problems of Finding the Lowest Coefficient in the Elliptic Equation // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. - 2020. - V. 14. - №4. - P. 528 - 542.

53. Kundu S., Pani A. K., Khebchareon M. Asymptotic Analysis and Optimal Error estimates for Benjamin-Bona-Mahony-Burgers Type Equations //

Numerical Methods in Partial Differential Equations. - 2018. - V. 34. - P. 1053 - 1092.

54. Lyubanova A. Sh. Identification of a constant coefficient in an elliptic equation // Applicable Analysis. - 2008.- V. 87. - № 10-11. - P. 1121 - 1128.

55. Lyubanova A. Sh. On an inverse problem for quasi-linear elliptic equation // Журнал Сибирского Федерального Университета. - 2015. - Т.8. - №1. -С. 38 - 48.

56. Lyubanova A. Sh., Tani A. An inverse problem for pseudoparabolic equation of filtration. The stabilization // Applicable Analysis. - 2013. - V. 92. - № 3. - P. 573 - 585.

57. Mehraliyev Y. T., Kanca F. An Inverse Boundary Value Problem for a Second Order Elliptic Equation in a Rectangle // Mathematical Modelling and Analysis. 2014. - V. 19, №2. - P. 241 - 256.

58. Nachman A., Street B. Reconstruction in the Calderon Problem with Partial Data // Communications in Partial Differential Equations. - 2010. - V.35, №2. - P. 375 - 390.

59. Nakamura G., Tanuma K. A nonuniqueness Theorem for Inverse boundary Value Problem in Elasticity // SIAM Journal on Applied Mathematics. -1996. -V. 56. - P. 602 - 610.

60. Ngoc L. T. P., Nhan T. M., Thuyet T. M., Long N. T. On the nonlinear pseudoparabolic equation with the mixed inhomogeneous condition // Boundary Value Problems. - 2016. - V. 216. - №137. - 32 p.

61. Pilant M., Rundell W. A Uniqueness Theorem for Determining Conductivity from Overspecified Boundary Data // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1988. - V. 136. - № 1. - P. 20-28.

62. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics / New York: Marcel Dekker Inc, 2000. - 708 p.

63. Rundell W. Some Inverse Problems for Elliptic Equations // Appilcable Analysis. - 1988. - V. 28. - № 1. - P. 67 - 78.

64. Showalter R. E., Ting T. W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM Journal on Mathematical Analysis. - 1970. - V 1. - № 1. - P. 1-26.

65. Showalter R. E., Ting T. W. Asymptotic Behavior of Solutions of Pseudo-parabolic Partial Differential Equations // Annali di Matematica Pura ed Applicata. - 1971. - V 90. - №1. - P. 241 - 258.

66. Slodicka, M., Lesnic D. Determination of the Robin coefficient in a nonlinear boundary condition for a steady-state problem // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2009. - V. 32. - № 10. - P. 1311 - 1324.

67. Ting, T. W. Parabolic and Pseudoparabolic Partial Differential Equations // Journal of Mathematical Society of Japan. - 1969. - V. 21. - № 3. - P. 440 -453.

Список работ автора по теме диссертации

68. Велисевич А. В. Об одной обратной задаче для эллиптического уравнения с условием интегрального переопределения // Сборник материалов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Проспект Свободный-2016: Математика. Дифференциальные уравнения / Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2016. - С. 7 - 8.

69. Велисевич А. В. Некоторые обратные задачи для эллиптических уравнений // Материалы 55-й Международной научной студенческой конферен-

ции МНСК-2017: Математика / Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск: ИПЦ НГУ, 2017. - С. 16.

70. Велисевич А.В. Некоторые обратные задачи для эллиптических уравнений // Материалы 56-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2018: Математика / Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск: ИПЦ НГУ, 2018. - С. 60.

71. Велисевич А. В. Обратные задачи для эллиптических уравнений // Материалы Международного молодежного форума "ЛОМОНОСОВ-2018"[Электронный ресурс] - Москва: МАКС Пресс, 2018. - 1 электронный опт. диск (DVD-ROM).

72. Велисевич А.В. Обратная задача для эллиптического уравнения с интегральными условиями переопределения // Сборник статей XVII Международной научно-практической конференции "Advanced Science and Technology часть 1. Москва: Научно-исследовательский центр «Актуаль-ность.РФ», 2018. - С. 134 - 135.

73. Lyubanova A. Sh., Velisevich A. V. Inverse problems for the equations of diffusion // Тезисы докладов международной школы-конференции, посвященной 110-летию со дня рождения С.Л. Соболева "Соболевские чтения"/ Под редакцией Г. В. Демиденко. - Новосибирск: Издательство Института математики, 2018. - С. 227.

74. Lyubanova A. Sh., Velisevich A. V. Inverse problems for the stationary and pseudoparabolic equations of diffusion // Applicable Analysis. - 2019. - V. 98. - P. 1997 - 2010.

75. Велисевич А. В. Об одной линейной обратной задаче для эллиптического уравнения // Сборник статей XXII Международной научно-практической

конференции "Наука и Образование: Сохраняя прошлое создаём будущее часть 1. Пенза: МЦНС "Наука и просвещение". - 2019. - С. 15 - 17.

76. Lyubanova A. Sh., Velisevich A. V. The stabilization of the solution of an inverse problem for the pseudoparabolic equation // Сборник тезисов одиннадцатой международной научной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач Новосибирск, Академгородок. - 2019. - С. 18.

77. Velisevich A. V., Lyubanova A. Sh. On an inverse problem for the elliptic equation with the mixed boundary condition // Тезисы докладов IX международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике механике и физике Новосибирск. - 2020. - С. 39.

78. Lyubanova, A.Sh., Velisevich A. V. The stabilization of the solution of an inverse problem for the pseudoparabolic equation // Journal of Physics: Conference Series. - 2021. - V. 2092 - № 012009.

79. Velisevich A.V. On an Inverse Problem for the Stationary Equation with a Boundary Condition of the Third Kind // Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics. - 2021. - V. 14. - №5. - P. 659 - 666.

80. Velisevich A. V., Lyubanova A. Sh. Inverse Problems for the Nonlinear Stationary Equations // Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль. Издательство "Аркаим Владимир. - 2022. - С. 73.

81. Lyubanova A. Sh., Velisevich A. V. Coefficient Inverse Problems for the Filtration Equation // Book of Abstracts O.A. Ladyzhenskaya centennial conference of PDE's. St. Petersburg, - 2022. - P. 65.

82. Lyubanova A. Sh., Velisevich A. V. The Asymptotic Behavior of the Solution

of an Inverse Problem for the Pseudoparabolic Equation // Journal of Inverse and Ill-Posed problems. - 2023. - V. 31. - №3. - P. 327 - 336.

83. Lyubanova A. Sh., Velisevich A. V. An inverse problem for a quasilinear elliptic equation // Journal of Mathematical Sciences. - 2023. - V. 270. - P. 591 - 599.

84. Lyubanova A. Sh., Velisevich A. V. The Stability of the Solutions to Stationary Inverse Problem // Differential and Difference Equations. Russian - Chinese Conference. Abstracts / G. V. Demidenko (editor-in-chief). Novosibirsk: Novosibirsk State University. - 2023. - P. 97 - 98.