О приближении многомерных объектов одномерными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Комаров, Андрей Валерьевич

• Комаров, Андрей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Комаров, Андрей Валерьевич

* t Введение

1 Спектр сеток с квадратными ячейками

1.1 Постановка задачи.

1.2 Вспомогательные сведения из теории графов.

1.3 Сведение задачи к задаче о спектре алгебраического графа

1.4 Спектр гиперкубической сетки.

1.4.1 Некоторые факты из спектральной теории алгебраических графов.

1.4.2 Общее уравнение.

1.4.3 Случай без масс.

1.4.4 Случай с массами f 1.5 Случай произвольной области

У ^ 2 Произвольные сетки

2.1 Постановка задачи.

2.2 Равномерное неравенство Пуанкаре.

2.3 Об аппроксимации многомерных задач одномерными

2.4 Условия близости спектров Л* и Ло

2.5 Связывающие операторы.

2.6 Некоторые оценки прямых и обратных операторов.

2.7 Сходимость операторов Д+ XI.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О приближении многомерных объектов одномерными»

Проблематика данной работы тесно примыкает с одной стороны к общей спектральной теории дифференциальных операторов на так называемых геометрических графах (Г. Люмер, Ю.В. Покорный, Б.С. Павлов и др.). С другой стороны имеется связь с теорией усреднения дифференциальных операторов на сингулярных структурах (В.В. Жиков, С.А. Назаров и др.), выросшей, в свою очередь, из теории усреднения в перфорированных областях (В.В. Жиков, С.М. Козлов, О.А. Олейник, Э.Санчес-Паленсия и др.).

Конкретно, в работе изучается низкочастотная часть спектра частот собственных колебаний сетки из струн, закрепленной на границе некоторой области и достаточно густо заполняющей эту область. К настоящему времени в решении подобных задач конкурируют два основных подхода. С одной стороны это метод усреднения, точнее его вариант недавно разработанный В.В. Жиковым, и метод асимптотических разложений. Следует заметить, что метод усреднения применялся исключительно к периодическим механическим системам. Более того, именно для таких систем он и разрабатывался. В конечном итоге он обеспечивает достаточно простое описание решений краевых задач, связанных с упомянутыми системами в терминах их близости к решениям аналогичных усредненных задач в классических областях. Метод асимптотических разложений более автономен (задача изучается вне ее связи с какой-либо усредненной задачей) и не предполагает наличие какой-либо периодичности. Однако, описание решения в достаточно сложных (непериодических) случаях получается трудно обозримым, в особенности когда речь идет о низкочастотной части спектра колебаний упомянутых систем.

В связи с этим представляется актуальным сохранив преимущества метода усреднения распространить его на непериодический случай. В общем объеме эта задача представляется сложной и вряд ли следует ожидать ее быстрого решения. Однако, для задачи, рассматриваемой в данной работе удалось получить продвижение в этом направлении на основе техники, близкой к разработанной Г.М. Вайникко в 70-х годах и относящейся к изучению сходимости проекционных методов (метод Га-леркина, Ритца и др.). В итоге нами найдены достаточно естественные физические условия при которых низкочастотная часть спектра сетки из струн, достаточно густо заполняющей область П С й" близка к аналогичной части спектра некоторого упругого континуума (при п = 2 мембраны), заполняющего ту же область. Ранее подобные результаты получались только для случая периодических систем.

Ключевые моменты этой работы, отличающие ее от работ, близких по тематике выделим в следующие несколько пунктов:

1 Показано, что низкочастотная часть спектра периодической сетки из однородных струн сходится к соответствующей части спектра однородной мембраны вместе с кратностями.

2 Найдены естественные физические условия близости спектров непериодических сеток из струн и спектра мембраны, заполняющих одну и ту же область.

Теперь перейдем к краткому описанию полученных результатов по главам этой работы.

В целом, в первой главе изучается спектр периодической сетки из струн с квадратными ячейками, заполняющей некоторую область в FC1.

Пункт 1.1 посвящен постановке задачи. Пусть в Rn натянута сетка Гл, состоящая из струн 7;, связанных между собой в виде графа с квадратными ячейками и "заполняющая" некоторую область £1 с кусочно гладкой границей. Предполагается, что сетка закреплена в узлах - их множество обозначим через дГ^, лежащих в д£1. Множество остальных узлов обозначим через J(Th) и будем называть внутренними вершинами графа Гд. Математической моделью собственных колебаний описанной сетки является следующий набор соотношений:

Thu"(x) + \hphu(x) = 0, х е ji (0.1)

Oh ui(x) + *hrnhu(x) = 0, X = dj e J(Th)

Ш(х) u(x) = 0, x = a,j G dTh.

0.2)

0.3)

Здесь дифференцирование производится по натуральному параметру на каждом ребре. В уравнении (0.2) под и[{х) понимается производная по направлению "от вершины" a,j. Через I(a,j) обозначается множество номеров ребер, примыкающих к a,j. Величины <т/», рь равны соответственно натяжению струны и ее плотности, а ть - величина массы, сосредоточенной в узле a,j. Предполагается, что сгь, ph постоянны, и на всех стру нах одинаковы. Также предполагается, что тн во всех узлах одинаковы. Рассматриваемые функции и : Гд —У R непрерывны во всех внутренних узлах.

Нас будет интересовать, при каких коэффициентах спектр данной задачи близок к спектру мембраны, описываемой системой уравнений

Здесь р(= const) - плотность распределения масс и сг(= const) - натяжение мембраны.

В пункте 1.2 приводятся некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений на геометрических графах.

В пункте 1.3 задача (0.1)-(0.3) сводится к задаче о спектре некоторого алгебраического графа. Откуда получается такое утверждение

ТЕОРЕМА 1 . Спектр Ah задачи (ОЛ)-(О.З) совпадает с объединением множества корней следующих уравнений jAu + Л ри = 0

0.4) вп = 0.

0.5)

0.6)

G - р/| = 0,

0.7) где Nc - количество ребер в графе Th, Nv - количество внутренних вершин в том же графе, р = 2ncos (h\lk*>h) — rrih\ ^h sin (h\[h*>h).

V (Th V Ph&h V (Th a G - матрица смежности алгебраического графа, полученного из Th выбрасыванием граничных вершин (аа Е дГл) и ребер, к ним примыкающих.

Пункт 1.4 посвящен изучению частного случая задачи (0.1)—(0.3). А именно случаю, когда область О, € является гиперкубом со стороной длины I. Следующее утверждение позволяет получить полное описание спектра в этом случае.

ТЕОРЕМА 2 . Спектр Л& задачи (ОЛ)-(О.З) с учетом уточнения в начале пункта 1.4 совпадает с объединением множества корней следующих уравнений sin(/iA/v^) = 0, (0.8)

V (Th

2 Т cos Ai) = 2n cos (h.[xA) - mhJ-^~ sin (h.fxA), (0.9) I \ (Th у Ph<Jh V ah

A = 1,N-1) где I - длина ребра гиперкуба, a N = - целое число, an - размерность h гиперкуба.

Замечание 0.1 . Решения уравнения (0.8) имеют кратность (N — l)n-\(n-l)N + l). п

Решения уравнений (0.9) при фиксированной сумме У^ Д? сливаются i=l при h —У 0, что опять же определяет кратность общего решения как точки спектра. Из (0.8) видно, что решения Ад этого уравнения при малых h как угодно далеки от нуля. Поэтому "начало спектра" Ад сетки Th определяется уравнениями (0.9).

W *6 z- (01°)

В пункте 1.4.3 в явном виде выписывается спектр исследуемой задачи в случае, когда т^ = 0, т.е. загрузка массами в узлах сетки отсутствует, а именно

Xhk= ± arccos (— V cos (~0i)) + 2я- к

71 I t=l

В пункте 1.4.4 рассматривается общий случай ненулевых тh. При этом приводится асимптотическая по h формула для собственных значений: тЙ^ + оС"2)- С-11)

Легко видеть, что выражение в правой части (0.11) в точности совпадает со спектром задачи (0.4), (0.5) в случае, когда Q = [0, I] х • • • х [0,I]. Т.е. в рассматриваемом нами случае

Ал = A + 0(/i2).

В пункте 1.5 рассматривается случай произвольной области с кусочно гладкой границей. Основным утверждением этого пункта является следующая

ТЕОРЕМА 3 . Спектр Л/, задачи (ОЛ)-(О.З) совпадает с объединением множества корней следующих уравнений

I—— \ nc-Nv sm(hJ\h^)j =0, (0.12)

2 п - ЛА2 = 2n cos - mhJ-^- sin (0.13)

0 \(?h у Ph(Th V cr/t где Nc - количество ребер в графе Гд, Nv - количество внутренних вершин в том же графе, а \спробегает спектр Лс дискретизированного (по сетке Th) варианта задачи (0.4), (0.5).

Используя теорему (3) мы получаем следующий результат:

ТЕОРЕМА 4 . 1. Для любого A G Л существует последовательность {Ал : Ад 6 Лл} такая, что А л —>■ А, причем А = Ал + 0(h2).

2. Если А л А, Ал € Лл, |А| < оо mo А е Л, причем А = Ал 4- 0(h2).

Во второй главе рассматривается непериодическая сетка из струн с переменными коэффициентами.

Пункт 2.1 посвящен постановке задачи. Пусть С R2 - ограниченная область. Пусть далее задана конечная совокупность точек щ € П. Через Г обозначим связный геометрический граф, имеющий щ своими вершинами. Вершины, лежащие в Г = Г П Г2 назовем внутренними и их совокупность обозначим J{Y). Остальные вершины (т.е. лежащие в dQ) будем называть граничными вершинами графа Г и их совокупность обозначим дТ. Ребра графа Г, обозначаемые далее через упредполагаются прямолинейными интервалами, соединяющими некоторые вершины.

Задача о спектре частот собственных колебаний сетки из струн описывается следующим набором дифференциальных соотношений: ъи')'(х) + Apiu(x) = О, х G л С Г, (0.14)

Пи'ъ(аз) + = 0, aj е *7(Г), (0.15) u(afc) = 0, ак£дГ. (0.16)

Здесь <7j - натяжение, pi - плотность струны у£, rrij = m(a,j) - точечная масса в узле aj.

Задаче (0.14)-(0.16) удобно придать «классический» вид, подчеркивающий ее аналогию с задачей о спектре частот собственных колебаний мембраны:

V(<j°Vu) + А р°и = 0, и =0. д(1

С этой целью определим на Г меру р,, договорившись мерой р(Г) фрагмента Г С Г считать сумму р(Г) = ]Г ^(Г П 7,) + £><,(? П щ), (0.17)

7< <h в которой fj,i(t fl7i) - одномерная мера Лебега части 7*, попавшей в Г, а Ho(a,i) = 1 (нульмерная мера Лебега точки полагается равной единице).

Определим оператор дивергенции V^ на векторном поле, касательном к Г. Можно показать, что

VF(x) = <

F'(x), хе уi

Е F Ы, ajejp). iel(aj)

Векторные поля, для которых существует дивергенция естественно назвать гладкими. Задача (0.14)-(0.16) может быть представлена в виде

А^и + \и = iv(trVu) + \и = 0, (0.18) и 0, (0.19) аг v '

Здесь через р обозначена функция на Г, равная pi на 7* и равная m(a,j) в вершинах a,j. Она предполагается непрерывной на каждом 7,- (множество таких функций обозначается С7(Г)) и положительной. В уравнении (0.18) поле aVu должно быть гладким (чтобы выражение V/t(crVn) имело смысл). Для этого достаточно потребовать, чтобы <т допускала продолжение по непрерывности во внутренние вершины вдоль каждого ребра и была непрерывно дифференцируемой внутри каждого ребра. Легко заметить, что значения а в вершинах не используются в уравнении (0.18). Для определенности можно считать a{a.j) = 0. Внутри каждого ребра о предполагается строго положительной (а > а > 0).

Мы будем рассматривать последовательность сеток Г*. Обозначим через Н(Гк) максимум длин ребер, входящих в Г*. Данная последовательность Гл порождает семейство задач Штурма - Лиувилля:

-p-V(akVu) + Хи = 0, (0.20) 0. (0.21) и дгк

В предположении, что дТк С дО, и /г,(Г*) 0 (к —> оо), нас будет интересовать вопрос о сходимости спектра А к задачи (0.20),(0.21) к спектру

Ло задачи iv(<r°Vu) + Ли = 0, (0.22) где р° - некоторая положительная плотность, внешний значок V - обычный оператор дивергенции в М2, а внутренний - градиент скалярной функции и. Под сходимостью Ajfc к Ло мы будем понимать следующее: i. для любого Ло £ Ло найдется последовательность {Л*} (Хк € Л*), сходящаяся к Ло; ii. если последовательность {Л*} (Лд- £ Л*) имеет конечный предел Ло при к —У оо, то Ло 6 ЛоВ пункте 2.3 приводится некоторая абстрактная схема из спектральной теории линейных операторов в банаховых пространствах. Задача, рассматриваемая нами укладывается в следующую абстрактную схему, описанную, например, в [12]. Пусть рассматривается задача о спектре или, например, задача на собственные значения

U{\)u = (А - \1)и = 0, (0.24) где U(Л) - линейный ограниченный оператор, действующий из банахова пространства Е в банахово пространство F (разумеется Е должно быть вложено в F). Наряду с задачей (0.24) рассмотрим последовательность задач вида

Uk{X)uk = СА* - Л/К = 0, (0.25) где оператор Uk(X) действует из банахова пространства Ек в банахово пространство Fk. При определенных условиях задачу (0.25) можно считать близкой задаче (0.24). Один из вариантов описания такой близости состоит в задании диаграммы вида

Е F

Л 1"

EkmFk в которой {рк} - семейство так называемых связывающих операторов, позволяющих придать смысл сходимости (р-сходимости) последовательности {и*} (ujfc G Ек) к элементу и € Е\ мы пишем щ —^ и, если — PkV>\\Ek —>• 0 при к —)> оо. От операторов требуется выполнения следующих двух условий

• Рк~ аддитивный и однородный оператор;

• Ibik^lUk —* |Н|# при к оо при любом и 6 Е.

Аналогично, с помощью семейства {<&}, определяется ^-сходимость последовательности Vk Е Fk к v £ F. Теперь можно определить понятие так называемой до-сходимости семейства операторов (А) к оператору U(А). А именно, мы пишем Uk(\) U(\), если из р-сходимости к и последовательности {г**} следует g-сходимость к U(X)u последовательности {Uk(\)uk}. Иными словами:

IK - рки\\Ек 0 =► - qkU{\)u\\Fk 0 (0.26)

Сама по себе до-сходимость мало что дает; для приложений требуются дальнейшие ее уточнения. Для наших целей важную роль будет играть так называемая устойчивая сходимость семейства {£/*(А)} к U{\). Это, помимо до-сходимости, предполагает обратимость всех операторов Uk(А) и ограниченность в совокупности норм операторов С/^"1(Л) (резольвент операторов Ак) начиная с некоторого номера. Разумеется об устойчивой сходимости можно говорить лишь при А, принадлежащих всем резольвентным множествам ^Я(Ак) операторов Ак, начиная с некоторого номера (своего для каждого А). Мы потребуем устойчивой сходимости последовательности Uk(А) к U(А) при всех A G 91(Л).

Устойчивая сходимость при некоторых дополнительных требованиях на операторы £/*(А),?7(А) обеспечивает близость (в указанном выше смысле) спектра Ак оператора Uk(X) к спектру Ло оператора U(А). А именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема 0.1 Пусть А и Ак фредгольмовы с нулевым индексом и на любом компакте К € С при всех к £ N имеет место неравенство ты\\ик(\)\\<С = С{К),

Тогда, если последовательность Uk(X) устойчиво сходится к U(А) при X е ЩА), то At Ло

Нами будет использоваться ослабленный вариант pg-сходимости. А именно, вместо (0.26) будем требовать выполнения условия uk-Pku\\Ek \\Uk(X)uk\\Fk (0.27)

Это избавит нас от необходимости вводить связывающие операторы qk : F Fk. Рассуждения, проведенные выше справедливы и в случае такой сходимости. Следует отметить, что именно это ослабление pg-сходи мости лишает нас возможности обсуждать близость собственных функций.

В пункте 2.4 описываются условия на коэффициенты в уравнении (0.20), обеспечивающие близость спектра Ак задачи (0.20),(0.21) к спектру Ло задачи (0.22),(0.23). Они легко усматриваются из физических соображений. Ясно, что масса мембраны, сосредоточенная на участке ш С Г2 должна быть близка к массе струнной сетки, сосредоточенной на Г* П со. Отсюда наше первое условие

J pkdfj, — j p°dx <Cih{Tk) f p°dx, (0.28)

Г/fcDu; и w

Наше второе условие связывает между собой ак и <т°. Требуется, чтобы для любого отрезка [а; 6], лежащего в Q (см. рисунок) и фиксированного направления V, ортогонального этому отрезку, выполнялось неравенство

TV?cos(i?,7i)- j a°dl <C2h(Tk) J <r° dl,

7< M [a;6j

0.29) где I - натуральный параметр на отрезке [a; b], а суммирование производится по всем ребрам, пересекающим этот отрезок. Данное условие означает, что сила, действующая на отрезок [а; 6] в направлении и со стороны мембраны, обусловленная ее натяжением, близка к силе, действующей в этом же направлении со стороны сетки.

Если, к примеру, £1 - квадрат на плоскости и все сетки Г^ имеют квадратные ячейки, и если при этом р° — const, <т° = const, то полагая все а, струны однородными можно взять их плотности и натяжения такими, что Ci = C2 = 0.

Функциональные пространства, используемые в главе 2 приводятся в пункте 2.5. Также в этом пункте описывается последовательность связывающих операторов.

Начиная с этого пункта мы приступаем к реализации схемы, намеченной в разделе 2.3. В первую очередь займемся построением связывающих операторов. Нам будет удобно (не меняя требований на гладкость коэффициентов) рассматривать оператор деления этих пространств аналогичны классическим. Сначала определяется пространство L^(Tk) как пополнение С(Г*) непрерывных на Г* функций по норме || • ||о,л (к - номер графа), определяемой скалярным произведением

Apia* = —V(<7*Vll)

Рк о 1 действующим из пространства Н^ак (Г^) в пространство Опрегде цк - мера, описанная в пункте 2.1. Аналогично определяется L^iQ) и норма || • ||о,о, определяемая скалярным произведением a где dfjp — dx- обычная мера Лебега в R2.

Определим также пространство Cq (Г*) как множество функций, непрерывных на Гл, непрерывно дифференцируемых на каждом ребре 7* и обращающихся в нуль в окрестностях точек из дГк- Предполагается также, что первые производные допускают продолжения по непрерывности во внутренние вершины графа Гк(вдоль каждого ребра по отдельности; при о этом пределы могут оказаться разными). Теперь H^^i^k) определяется как пополнение С^Г*) по норме о

Аналогично определяется пространство Н^ао и норма в нем IMIi,o=(ll<o + llv^V<o)*.

1 ° 1 Наконец, Hpk(jk(Г^) определяется как сопряженное к Н^^О^к) со стандартной нормой сопряженного пространства. Аналогично определяется и ноРма II ' 11-1,0

Через J€(u) обозначается сглаживание функции и по Соболеву-Фридрихсу. о о

Связывающий оператор рк : Н^^о —>• Нркак (Г*) определяется как сужение Тк на множество Г* функции

J%(u) = Jek(X2eku)(x) = J иек(х - у)Х2еки(у) dy, n где число €к фиксируется для каждого Тк по отдельности так, что ек 0 при к —)• оо, а Хе ~ характеристическая функция множества {х € Q : d(x, дП) > с}

- 1 ,Х—у у.

Сглаживающая функция ш€ = -) определяется стандартно.

6 €

Лемма 0.1 Пусть v,g° £ C(ft), дк € С(Гк), g°(s) > 0, дк(х) > 0. Пусть w G £1 и выполнено неравенство

Г*Пы ш

J gkdfj,k - J g°diA° <С J </V, (0.30) ш тогда

J gkv dfj,k — J g°v

ГкПо; ш с f 9°V dp*

U) ш где osc(v; ш) - колебания функции v на из.

Назовем ft простой областью, если ее пересечение с любой прямой состоит из конечного числа компонент связности. В этом случае область ft допускает разбиение на сколь угодно малые части ., изп также являющиеся простыми. Нам также будет удобно переформулировать условие (0.29) следующим образом.

Лемма 0.2 Пусть из С ft - простая область и V - фиксированное направление. Тогда j ak{x)cos2{v^x)dnk - J<C2h(Tk) J(0.31) r*Dw и Ш где - ребро, содержащее точку х, пробегающую П из. Заметим, что поскольку во внутренних вершинах ак(х) = 0, то интегрирование поТкГ\из сводится к интегрированию только по участкам ребер графа Tk, лежащим в из.

Лемма 0.3 Пусть из такая же, как и выше, a v Е С(ft). Тогда

J orfe(a;)cos(i7,7x)sin(i7,7X)v{x) < C2h{Tk) J a°v dn°+ Ш osc{v,u3)(C2h(Tk) + l) J(7%°.

Г*Пи> w о

Теорема 0.2 Для любой функции и £ H^ift) выполняется равенство lim \\pk(u)\\i,k = |M|i,o. «->00

В пункте 2.6 доказываются некоторые оценки прямых и обратных операторов. Данный пункт является подготовительным к доказательству сходимости операторов АРк(Тк + XI к оператору Др,,^ + XI. о

Лемма 0.4 Пусть и Е Я^ЦГ*). Тогда

Аи||м < (1+ |А|)|М|м. (0.32)

То, что оценка зависит только от А, но не от Г* важно для дальнейшего. Следующая лемма дает оценку норм операторов, обратных к Аркак — /, также независящую от Г*. о

Лемма 0.5 Пусть и е Н^ак(Тк)- Тогда

ApkakU - ii||i)Jfc > |M|1>jfc. О

Также, в этом пункте показывается, что : Н1^ак (Г*;) —У (Г&) является изоморфизмом, а оператор Д^* + XI является фредгольмо-вым с нулевым индексом при каждом к и любом А. Хотя формально мы должны рассматривать и случай комплексных А, тем не менее можно ограничиться случаем вещественных и положительных А. Это следует из того, что оператор формально самосопряженный и положительно определенный, а потому его спектр лежит на положительной полуоси в BL Отметим также, что в силу упомянутой выше фредгольмовости спектр оператора — Др*ст* дискретен.

В пункте 2.7 доказывается дискретная, а потом и устойчивая сходимость операторов Др*а* + XI.

О О р

Теорема 0.3 Пусть щ € « € НрТогда из щ —> и следует, что lim \\ApkgkUk + Aufc||-i,jfe = ЦДроаои + Au||i)0 k—too

Теорема 0.4 Пусть выполняются условия (0.28), (0.29) и h(Tk) —0 при к оо. Тогда i. для любого Ао Е Ло найдется последовательность {Л*} (X к Е Л к), сходящаяся к Ло; гг. если последовательность {Л*} (Хк € Ак) имеет конечный предел Ло при к —У оо, то Ло G Ао

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности 15 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 81 стр. Библиография содержит 27 наименования. Текст иллюстрируют б рисунков.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Комаров, Андрей Валерьевич, 2003 год

1. Павлов B.C. Модель свободных электронов и задача рассеяния /Б.С. Павлов, М.Д. Фаддеев// Теоретическая и математическая физика.-1983.- Т. 55, № 2.- С. 257-269.

2. Покорный Ю.В. Теоремы Штурма для уравнений на графах /Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин//Докл. АН СССР- 1989 Т. 309, № 6-С. 1306-1309.

3. Покорный Ю.В. О теоремах сравнения для уравнений на графах /Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин//Дифференциальные уравнения,-1989.- Т. 25, № 7.- С. 1141-1150.

4. Nicaise S. Estimees du Spectre de Laplacian sur une reseaux topologique fini/S. Nicaise//Comptes Rendus Acad. Sc. Paris 1986- t. 303, ser.8.- P. 343-346.

5. Олейник О.А., Соболева Т.С.//Успехи математических наук -1988.— Т. 43, № 4.- С. 185-186.

6. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения/О.А. Ладыженская М.: ГИТТЛ, 1953.-254с.

7. Цветкович Д. Спектры графов: Теория и применение/Д. Цветкович, М. Дуб, X. Захс Киев: Наукова думка, 1984.-348с.

8. Жиков В.В. Усреднение дифференциальных операторов/В.В. Жи-ков, С.М. Козлов, О.А. Олейник М.: Наука, 1993.-453с.

9. Жиков В.В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости/В.В. Жиков//Мат. сб.-1996 Т. 187, № 8 - С. 1109-1147.

10. Жиков В.В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах/В.В. Жиков//Изв. РАН 2002.- Т. 66, № 2 - С. 81-148.

11. Назаров С.А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размерностей/С.А. Назаров//Тр. семинара им. И.Г. Петровского 1995 - Вып. 18 - С. 3-78.

12. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов/Г.М. Вайникко.- Тарту: изд-во Тартуск. ун-та, 1976.- 160с.

13. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений/Г.М. Вайникко.- Тарту: изд-во Тартуск. ун-та, 1970 172с.

14. Комаров А.В. О спектре равномерной сетки из струн/А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Изв. ВУЗов. Математика.-2000 Л* 4.- С. 23-27.

15. Комаров А.В. О спектре тканной мембраны/ А.В. Комаров; Воронеж. гос. ун-т.-Воронеж, 2002.- 7с Деп. в ВИНИТИ 11.10.02, Я® 1720-В2002.

16. Комаров А.В. О равномерном неравенстве Пуанкаре/ А.В. Комаров; Воронеж, гос. ун-т.-Воронеж, 2002 5с - Деп. в ВИНИТИ 11.10.02, № 1719-В2002.

17. Комаров А.В. О частотном спектре многомерной сетки из струн/А.В. Комаров// Межвузовский сборник научных трудов. Дифференциальные уравнения и их приложения.- Самара, 2002.-Вып. 1.- С. 114-117.

18. Комаров А.В. О частотном спектре многомерного аналога тканой мембраны/А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Докл. РАН. Математика.- 2003.- Т. 390, № 2.- С. 151-154.

19. Комаров А.В. О приближении многомерных объектов одномерными/А.В. Комаров// Труды математического факультета. (Новая серия).- Воронеж, 2002 Вып. 7 - С. 53-58.

20. Nicaise S. Relationship between the lower frequence spectrum of plates and networks of beams/S. Nicaise, O. Penkin// Math. Meth. Appl. Sci.-2000.- V. 23 P. 1389-1399.

21. Penkin O. About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions/О. Penkin// F. Ali Mehmeti, J. von Belov and S. Nicaise eds., Partial differential equations on multistructures Marcel Dekker, 2001- P. 183-191.

22. Завгородний М.Г. О спектре краевых задач второго порядка на пространственных сетях/М.Г. Завгородний, Ю.В. Покорный// Успехи мат. наук 1989 - Т. 44, № 4 - С. 220-221.

23. Friedman A. Partial Differential Equations/А. Friedman- Holt, Rinehart and Winston, 1969.- 262p.

24. Пенкин O.M. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах/О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный//Дифференциальные уравнения.- 1998.- Т. 34, ДО 8.- С. 1107-1113.

25. Куляба В.В. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах/В.В. Куляба, О.М. Пенкин//Докл. РАН 2002 - Т. 386, ДО 4.- С. 453-456.

26. Nicaise S. Fundamental Inequalities on Firmly Stratified Sets and Some Applications/S. Nicaise, O. Penkin// Journal of inequalities pure and applied mathematics.- 2003 V. 4, is. 1, art. 9.

27. Като Т. Теория возмущения линейных операторов/Т. Като.- М.: Мир, 1972.- 740с.