Некоторые вопросы теории алгебр Клиффорда, возникающие в теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Широков, Дмитрий Сергеевич

• Широков, Дмитрий Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Широков, Дмитрий Сергеевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Некоторые свойства алгебр Клиффорда

1.1 Понятие алгебры Клиффорда с фиксированным базисом

1.2 Классификации элементов алгебр Клиффорда по рангам, четности и кватернионным типам

1.3 Операции сопряжения и взятия следа от элемента алгебры Клиффорда

1.4 Структура унитарного (евклидова) пространства на алгебре Клиффорда

1.5 Периодичность Картана-Ботта, матричные представления алгебр Клиффорда

1.6 Метод задания матричного представления алгебр Клиффорда с помощью эрмитова идемпотента и левого идеала

Глава 2. Техника сверток в алгебрах Клиффорда

2.1 Теорема о свертке элементов базиса фиксированного ранга

2.2 Свертки по всем элементам базиса

2.3 Свертки по четным или нечетным элементам базиса

2.4 Свертки по элементам базиса фиксированного кватернионного типа

2.5 Метод усреднения в теории представлений конечных групп

2.6 Теоремы о коммутировании элементов базиса алгебры Клиффорда

2.7 Второй базис в алгебре Клиффорда

2.8 Обобщенные свертки в алгебре Клиффорда

2.9 Обобщенные свертки по мультииндексам с четной и нечетной длиной

Глава 3. Обобщение теоремы Паули на случай вещественных и

комплексных алгебр Клиффорда

3.1 Теорема Паули в случае размерности 4

3.2 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда четной размерности в общей постановке

3.3 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда четной размерности в случае наборов нечетных элементов

3.4 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда нечетной размерности в случае наборов нечетных элементов

3.5 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда нечетной размерности в общей постановке

3.6 Обобщенная теорема Паули в терминах матриц

3.7 Локальная обобщенная теорема Паули

3.8 Обобщенная теорема Паули и след от элемента алгебры Клиффорда

3.9 Обобщенная теорема Паули и определитель от элемента алгебры Клиффорда

Глава 4. Применение обобщенной теоремы Паули при описании

связи спинорных и ортогональных групп

4.1 Псевдоортогональная группа и ее подгруппы

4.2 Применение обобщенной теоремы Паули для изучения группы Липшица и группы Клиффорда

4.3 Спинорные группы как подгруппы группы Липшица

4.4 Теоремы о норме элементов спинорных групп

4.5 Сюръективные отображения спинорных групп на ортогональные

4.6 Двулистные накрытия ортогональных групп спинорными, связность и односвязность спинорных групп

4.7 Вычисление элементов спинорных групп по элементам ортогональных групп

Глава 5. Применение обобщенной теоремы Паули при изучении

n-мерного уравнения Дирака и описании n-мерных спиноров

5.1 n-мерное уравнение Дирака в матричном формализме и в формализме алгебр Клиффорда

5.2 Спиноры Дирака в формализме алгебр Клиффорда

5.3 Инвариантность уравнения Дирака при ортогональных преобразованиях

5.4 Спиноры Вейля в формализме алгебр Клиффорда

5.5 Согласованность матричных операций и операций в алгебрах Клиффорда

5.6 Дополнительные сигнатуры алгебры Клиффорда

5.7 Обобщение дираковского сопряжения

5.8 Обобщение майорановского сопряжения и теорема о дополнительной сигнатуре алгебры Клиффорда

5.9 Обобщение зарядового сопряжение, спиноры Майорана и Майорана-Вейля в формализме алгебр Клиффорда

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы теории алгебр Клиффорда, возникающие в теории поля»

Введение

Актуальность темы.

В настоящее время алгебры Клиффорда [17] активно используются во многих разделах математической физики. Алгебры Клиффорда применяются в теории поля, робототехнике, обработке сигналов и изображений, механике, космической динамике, электродинамике, геометрии, химии. Алгебры Клиффорда претендуют на роль некоторого универсального математического аппарата для математической физики [30], [29].

В науке разработан ряд математических понятий и моделей, которые широко используются в геометрии и физике: комплексные числа, кватернионы, векторная алгебра, матричная алгебра, тензорная алгебра, алгебра дифференциальных форм.

Каждая из этих моделей имеет прямую связь с алгебрами Клиффорда. Например, комплексные числа и кватернионы являются частными случаями вещественной алгебры Клиффорда С£ш(р,д) (имеют место изоморфизмы алгебр С£ш(0,1) ~ С и ал(0,2) ~ И). Алгебры Клиффорда в случае разных сигнатур изоморфны различным матричным алгебрам над полем вещественных чисел, комплексных чисел, либо над телом кватернионов. Внешняя алгебра (или алгебра Грассмана) является вырожденным случаем алгебры Клиффорда (ей соответствует нулевая квадратичная форма). Кроме того, рассматривается обобщение алгебр Клиффорда - алгебры Атьи-Келера [31], [33], которые являются также и обобщением алгебры дифференциальных форм. Таким образом, алгебры Клиффорда представляются содержательным алгебраическим объектом, который может быть полезен в различных областях математической физики.

Обсудим подробнее развитие теории алгебры Клиффорда. В 1843 году Гамильтоном [28] были введены кватернионы, которые сразу же нашли применение в различных областях механики и физики. В 1844 году Грассман [27] ввел понятие внешней алгебры. В 1878 году Клиффорд объединил в своих исследованиях идеи Гамильтона и Грассмана и рассмотрел новые объекты - Геометрические алгебры, которые впоследствии стали называться алгебрами Клиффорда. В 1880-1886 алгебры Клиффорда были независимо переоткрыты Рудольфом Липшицем [37]. Липшиц также нашел первое применение алгебры Клиффорда в геометрии, описав вращения в евклидовом пространстве при помощи спинор-ной группы. Дальнейшее развитие алгебр Клиффорда связано с целым рядом

известных математиков и физиков - Т. Валеном, Э. Картаном [7], Э. Уиттом, К. Шевалле [16], М. Риссом [43] и другими. Отметим также известную работу Атьи, Ботта и Шапиро [13], которая внесла значительный вклад в развитие теории алгебр Клиффорда.

Существенное влияние на развитие алгебр Клиффорда оказало уравнение Дирака [20], [21] для электрона (1928), к которому алгебра Клиффорда имеет непосредственное отношение. Уравнение Дирака записывается с использованием 4 комплекснозначных матриц (гамма-матриц Дирака), которые удовлетворяют тем же определяющим соотношениям, что и генераторы алгебры Клиффорда Ci{ 1, 3). Связь алгебры Клиффорда со спинорами привлекла внимание к теории алгебр Клиффорда со стороны многих физиков и математиков [2], [10], [11], [6].

Современный период развития теории алгебр Клиффорда можно отнести к последним 30 годам. С 1985 года каждые три года проходит конференция по алгебрам Клиффорда и приложениям (ЮСА1). Кроме того, каждый год проходит ряд конференций по более узким областям, связанным с применением алгебр Клиффорда в математической физике. С 1990 года выходит журнал, посвященный алгебрам Клиффорда и их применениям (ААСА2), с 2012 года выходит журнал по Клиффордову анализу3.

В 1936 году В. Паули [41] доказал свою так называемую фундаментальную теорему о гамма-матрицах Дирака. Теорема утверждает, что два набора из четырех квадратных комплексных матриц четвертого порядка, которые антикомму тиру ют между собой и их квадраты равны либо единичной матрице, либо единичной матрице с обратным знаком, связаны преобразованием подобия, причем матрица подобия единственна с точностью до умножения на ненулевое комплексное число. Эта теорема играет важную роль при изучении различных вопросов, возникающих в теории поля [1]. Например, с помощью теоремы Паули доказывается лоренц-инвариантность уравнения Дирака, описывается связь спинорных и ортогональных групп, вводится понятие спиноров Майорана. Имеются общеизвестные утверждения, которые в некотором смысле обобщают теорему Паули на случай произвольной размерности. А именно, методами теории представлений можно показать, что алгебра Клиффорда имеет единственное (с точностью до эквивалентности) неприводимое представление в случае четной размерности и два неприводимых представления в случае нечетной размерности. Данные утверждения применяются в различных вопросах математической физики, в частности, в теории суперсимметрии.

В настоящей диссертации доказываются утверждения, обобщающие теорему Паули. А именно, дан ответ на более общий вопрос (который не всегда сводится

international Conference on Clifford Algebras, последняя конференция прошла в Bauhaus-University, Weimar, Germany, 2011.

2Advances in Applied Clifford Algebras, издается издательством Birkhausen http: //springer. com/birkhauser /physics/journal / б

3"Clifford Analysis, Clifford Algebras and their applications", http://www.cliffordanalysis.com

к рассмотрению представлений) о связи двух наборов элементов алгебр Клиффорда, удовлетворяющих определяющим антикоммутационным соотношениям. Сделаны обобщения на случай алгебр Клиффорда произвольных (четных и нечетных) размерностей над полем вещественных и комплексных чисел. Показано, что в нечетном вещественном случае существует 4 (а в комплексном 6) варианта связи между двумя наборами элементов, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям алгебры Клиффорда. В отличие от теоремы Паули, применяемой для 4-мерного пространства Минковского, где связь осуществляется преобразованием подобия, в случае произвольной нечетной размерности два набора связаны преобразованием подобия с точностью до умножения на элемент алгебры Клиффорда /З1 "71 п, который может принимать 4 (или 6 в комплексном случае) различных значения. Кроме того, во всех случаях (четной и нечетной размерностей) указаны явные алгоритмы для вычисления элемента алгебры Клиффорда, осуществляющего эту связь.

Отметим несколько направлений, связанных с применением обобщенной теоремы Паули (ОТП).

Первое направление заключается в изучении п-мерного уравнения Дирака, в частности, вопрос об инвариантности уравнения при псевдоортогональных (в частном случае, лоренцевых) преобразованиях. В настоящее время активно используется трехмерное уравнение Дирака для графена. Таким образом, уравнение Дирака представляет интерес не только в случае четных, но и в случае нечетных размерностей. Локальная обобщенная теорема Паули используется при изучении систем уравнений Дирака-Максвелла и Дирака-Янга-Миллса [52].

Второе применение относится к изучению связи спинорных и ортогональных групп. С помощью ОТП автором предложено альтернативное доказательство теоремы о двулистных накрытиях ортогональных групп спинорными в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства (без использования теоремы Картана-Дьедонне, как делается в стандартном изложении). Кроме того, с помощью обобщенной теоремы Паули предложен явный алгоритм для вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп при двулистном накрытии.

Третье применение возникает при изучении п-мерных спиноров.Дано описание элементов, осуществляющих обобщения дираковского, майорановского и зарядового сопряжений от спинора в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства. Отметим, что в случае четных размерностей рассмотрено по два аналога сопряжения каждого вида. Изучен вопрос о существовании спиноров Дирака, Вейля, Майорана и Майорана-Вейля в формализме алгебр Клиффорда в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства. В связи с этим вопросом возникает возможность применения ОТП в теории суперсимметрии. Отметим классические работы по суперсимметрии и супергравитации Шерка, Глиоззи, Оливе (1977) [26], Куго и Таундсена (1983) [34].

В настоящей работе при всех рассмотрениях используется аппарат алгебр Клиффорда. Рассматриваются алгебры Клиффорда над полем вещественных и

комплексных чисел произвольных размерностей и сигнатур. Этот аппарат представляется более естественным и удобным (например, по сравнению с матричным аппаратом) при рассмотрении перечисленных выше вопросов. При описании n-мерных спиноров существенную роль играет структура алгебр Клиффорда, которая подчиняется 8-периодичности Картана-Ботта (вещественные алгебры Клиффорда CiR(pi, gi), Ciu(p2, Я2) одной размерности п = pi qi = Р2 + Ч2 и сигнатур pi - qi = р2 — q2 mod 8 изоморфны).

Цель работы.

В данной диссертационной работе исследуются некоторые вопросы теории алгебр Клиффорда, возникающие в математической физике, в частности, в теории поля. Целью работы является установление связи между двумя наборами элементов алгебры Клиффорда, удовлетворяющих определяющим антикоммутационным соотношениям алгебры Клиффорда, и найти алгоритм для вычисления явного вида элемента, осуществляющего эту связь. Еще одна цель - применение полученных результатов для изучения связи спинорных и ортогональных групп, а именно, получить явные формулы для вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем:

• дано обобщение теоремы Паули для гамма-матриц Дирака на случай вещественных и комплексных алгебр Клиффорда произвольных (четных и нечетных) размерностей; получен явный алгоритм, который позволяет вычислить элемент, осуществляющий связь между двумя наборами антиком-мутирующих элементов;

• предложен метод вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам соответствующих ортогональных групп при двулистном накрытии;

• развит метод усреднения из теории представлений конечных групп для алгебр Клиффорда (сверток, построенных по двум наборам антикомму-тирующих элементов).

Основные методы исследования.

В диссертации используются различные методы из алгебры, теории представлений и дифференциальной геометрии. В частности, используется метод

усреднения из теории представлений конечных групп. Используется результат о введении структуры унитарного пространства (о введении эрмитова скалярного произведения) на алгебрах Клиффорда [1].

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты применяются при изучении n-мерных спиноров Вейля, Майорана, и Майорана-Вейля. Результаты используются при изучении связи спинорных и ортогональных групп, при изучении n-мерного уравнения Дирака.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• Ломоносовские чтения (2008), механико-математический факультет МГУ;

• Вторая Международная Конференция по Математической Физике и ее Приложениям (Самара, 2010);

• Девятая Международная Конференция по Алгебрам Клиффорда и Приложениям (ICCA 9) (Веймар, Германия, 2011);

• Восьмой Международный Конгресс ISAAC (The International Society for Analysis, its Applications and Computation), (Москва, 2011);

• The 5th conference on Applied Geometric Algebras in Computer Science and Engineering (AGACSE), (La Rochelle, France, July, 2012);

• Школа-семинар "Взаимодействие математики и физики: новые перспективы" для студентов, аспирантов и молодых исследователей, (Москва, август, 2012);

• Третья Международная Конференция по Математической Физике и ее Приложениям (Самара, 2012);

и семинарах:

• семинаре отдела математической физики МИАН (руководители: акад. В.С.Владимиров, член-корр. РАН И.В.Волович);

• семинаре отдела теоретической физики МИАН (руководитель: акад. А.А.Славнов);

• научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (руководители: профессора кафедры);

• спецсеминаре "Классическая и квантовая динамика в задачах математической физики" (при НОЦ МИАН) (руководители: акад. В.В.Козлов, член-корр. РАН И.В.Волович, д.ф.-м.н. С.В.Козырев, д.ф.-м.н. О.Г.Смолянов);

• семинаре под руководством проф. кафедры ТФФА О.Г. Смолянова на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.

На основе результатов диссертации автором был прочитан полугодовой курс в НОЦ при МИАН "Алгебры Клиффорда и спиноры".

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в 8 работах автора. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Объем диссертации — 151 страница , библиография включает 56 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дан краткий обзор результатов работы.

В главе 1 рассматриваются алгебры Клиффорда произвольной размерности над полем вещественных или комплексных чисел, вводятся необходимые для дальнейшего изложения понятия и фиксируются обозначения.

Алгебра Клиффорда (%F(p, q) рассматривается как линейное пространство над полем вещественных F = R или комплексных F = С чисел размерности 2™ с фиксированным базисом

{еА} = {е, еа, еа1"2, ....е1 "}, <ц < а2 < ...,

занумерованным упорядоченными мультииндексами А длины от 0 до п, с введенной операцией Клиффордова умножения, где е - единичный элемент, выполнены свойства дистрибутивности, ассоциативности, а также следующие правила для умножения генераторов еа:

еаеь + ebea = 2r)abe, а, Ъ = 1,... , п,

eai .. еак — eai ah. 1 < аг < ... ак < п,

где г) = ||r/a6|| = diag(l,..., 1, —1,... . —1) - диагональная матрица размера п, у которой на диагонали стоят р штук +1 и q штук — 1, р + q — п.

Глава также содержит несколько результатов автора. В частности, рассмотрен вопрос о введении структуры унитарного пространства (о введении эрмитова скалярного произведения) на алгебре Клиффорда [1]. Описан метод построения матричных представлений комплексных алгебр Клиффорда с помощью эрмитова идемпотента и связанного с ним левого идеала [1]. Введено понятие кватернионного типа элементов алгебры Клиффорда [2], [7], [8].

Произвольный элемент алгебры Клиффорда раскладывается по базису следующим образом

U = ие + иаеа + Y^ uaia2eaia2 + .. + щ У п, иА е F.

ai <аг

Векторные подпространства, натянутые на элементы eai ак, занумерованные упорядоченными мультииндексами длины к, обозначаются через C£wk{p, q) и называются подпространствами элементов ранга к. Алгебра Клиффорда является Z2 - градуированной алгеброй (супералгеброй), т.е. представима в виде прямой суммы

Cf(p, q) = alven(p, q) 0 Cf0dd(P, q) = 0 аЦр, q) ф 0 fl£(p, ч)

к —even к—odd

с соответствующими свойствами для перемножения четных и нечетных элементов.

Отметим, что центр алгебры Клиффорда C£r(p, q) совпадает с подпространством (p.q) в случае четного п и с подпространством С£¥(р, q) © Ci¥(p,q) в случае нечетного п.

Для элементов алгебры Клиффорда U <Е ŒF(p,q) вводятся операции проектирования на подпространства элементов ранга 0 и п, первая из которых называется операцией взятия следа

Тг(С7) = и, ir(U) = щ п

В главе 2 рассматриваются операции, которые назовем свертками (или усреднениями) в алгебрах Клиффорда. Рассмотрим алгебру Клиффорда С£¥(р, q), в которой имеем два различных набора элементов

7a, ß\ а =1.2, (0.1)

удовлетворяющих определяющим соотношениям

7а7Ь + 7Ь7а = 2т?аЧ ßaßb + ßbßa = 2 7]abe (0.2)

Рассмотрим свертки вида

Т = ßAFlA, Q = 7ЛGßA, (0.3)

где подразумевается суммирование по упорядоченному мультииндексу А длины от 0 до п и 7Л = 701 ак = уак 7ai, 7a = 77a67b = (7a)-1 Длина мультииндекса А обозначается через \А\.

Сформулированы и доказаны следующие утверждения, которые используются впоследствии при доказательстве обобщенной теоремы Паули. Приведем некоторые из этих утверждений

Теорема 0.1 1. В случае алгебры Клиффорда Ci¥(p,q) четной размерности п = р + q для элементов (0.3) имеем

QT = TQ = 2nTr(GT)e = 2nTr (TG)e = = 2nTY(FQ)e = 2nrTx(QF)e

2. В случае алгебры Клиффорда Cfw(p. q) нечетной размерности п — р + q для элементов (0.3) имеем

QT = TQ = 2n(Tr(GT)e + it{GT)el n),

где также имеем Tr(GT) = Tr(TG) = Tr(QF) = Tr(FQ) и tt(GT) = tt(TG) = тг (QF) = 1t{FQ).

Теорема 0.2 Рассмотрим алгебру Клиффорда (Xе (р, д) произвольной конечной размерности п = р + д и выражение вида

Т =

где .Р1 - произвольный элемент алгебры Клиффорда С£¥(р,я) и наборы (0.1) удовлетворяют соотношениям (0.2).

1. Если п - четно, то среди элементов 7Л всегда найдется такой элемент Р, что Т отличен от нулевого элемента.

Причем Р найдется среди { гуА, \А\ - четный }, если /З1 п ф —71 п и найдется среди { , \А\ - нечетный}, если /З1 п ф 71 п.

2. Если п - нечетно и ¡З1 п ф — 71 п, то среди элементов 7А всегда найдется такой элемент Р, что Т отличен от нулевого элемента.

Причем Р найдется среди { 7Л, |А| - четный} и среди { 7А, |Л| -нечетный}.

В главе 3 дается обобщение теоремы Паули на случай вещественных и комплексных алгебр Клиффорда произвольных размерностей и сигнатур. Приведем основные результаты этой главы.

Будем обозначать через I множество мультииндексов длины от 0 до п

1={0, 1, ..., п, 12, 13, ..., 1.. п},

где 0 - пустой мультииндекс. Также введем обозначения

^Буеп = {А е 1, \А\ - четно}, 1ом = {А 6 X, |Л| - нечетно}.

Теорема 0.3 Пусть С£¥(р,д) - вещественная (или комплексная) алгебра Клиффорда четной размерности п = р 4- ц. Пусть два набора элементов (0.1) алгебры Клиффорда С£¥(р, д) удовлетворяют соотношениям (0.2).

Тогда оба набора генерируют базисы алгебры Клиффорда и существует единственный, с точностью до умножения на ненулевое вещественное (соответственно комплексное) число, обратимый элемент алгебры Клиффорда Т € СЕ¥(р,д) такой, что

7а = Т~1раТ, У а = 1,..., г?

При этом, элемент Т имеет вид

Т =

где Р - такой элемент из множества . {7Д, А е ХЕтеп}, если Р1 пф -71

. {-yA,AeZodd}, если /З1 71,

что f3AF-yA ^ 0.

Заметим, что в случае четной размерности п из определяющих соотношений (0.2) следует, что набор (0.1) генерирует базис алгебры Клиффорда. В случае нечетного п это не всегда верно (см. Теоремы 0.4 и 0.5). Например, в случае алгебры Клиффорда С£Л(2.1) набор элементов 71 = е1, у2 = е2, 73 = е12 удовлетворяет соотношениям (0.2), но не генерирует базис в CiR(2,1).

Теорема 0.4 Пусть CiR(p,q) - вещественная алгебра Клиффорда нечетной размерности п = р + q. Пусть два набора элементов (0.1) алгебры Клиффорда Ciu(p,q) удовлетворяют соотношениям (0.2).

Тогда в случае алгебры Клиффорда С£ш(р, q) сигнатуры р — q = 1 mod 4 элементы 71 п и /51 71 либо принимают значения ie1 71 и тогда соответствующие наборы генерируют базис алгебры Клиффорда, либо принимают значения ±е и тогда наборы не генерируют базис. В этом случае реализуются случаи

1, 2, з, 4

В случае алгебры Клиффорда С£Л (р, q) сигнатуры р — q = 3 mod 4 элементы 71 п и ¡З1 71 всегда принимают значения ie1 71 и соответствующие наборы всегда генерируют базис алгебры Клиффорда. В этом случае реализуются только случаи 1 и 2.

Утверждается, что существует единственный, с точностью до умножения на обратимый элемент центра алгебры Клиффорда, обратимый элемент алгебры Клиффорда Т такой, что

1) 7 а = Т~1/ЗаТ, Va = 1, .п

тогда и только тогда, когда /З1 п = 71 71 (в этом случае оба набора генерируют базисы, либо оба не генерируют);

2) 7a = -T"1/?aT, Va = 1, ,n

тогда и только тогда, когда (З1 71 = — 71 71 (в этом случае оба набора генерируют базисы, либо оба не генерируют);

3) 7 a = elnT~1paT. Va = 1, ,п

тогда и только тогда, когда /З1 " = е1 7171 71 (в этом случае один из наборов генерирует базис, а другой - нет);

4) 7a =-е1 "Г-^Т, Va = 1, п

тогда и только тогда, когда /3х 71 = — е1 nj1 71 (в этом случае один из наборов генерирует базис, а другой - нет)

Заметим, что все четыре случая имеют единую запись в виде

1а = (Р1 пъ п)Т~1(1аТ.

Кроме того, в случае вещественной алгебры Клиффорда сигнатуры р — q = 1 mod 4 элемент Т, о существовании которого говорится во всех четырех случаях теоремы, имеет вид

Т= y,

/teXgven

где в качестве F подойдет некоторый элемент из множества

{7Л + 7В, ЛВбЫ-

В случае вещественной алгебры Клиффорда сигнатуры p — q = 3 mod 4 элемент Т, о существовании которого говорится в 1-2 случаях теоремы, имеет вид

Т= Е pAf^>

^S^Even

где F - такой элемент из множества

{7Л А е IEven},

£лехЕтеп РР-ул Ф о.

Теорема 0.5 Пусть (Xе(р, д) - комплексная алгебра Клиффорда нечетной размерности п = р 4- q. Пусть два набора элементов (0.1) алгебры Клиффорда СР-"(р,д) удовлетворяют соотношениям (0.2).

Тогда в случае алгебры Клиффорда С£с(р, q) сигнатуры р — g = 1 mod 4 элементы 71 " и /51 п либо принимают значения ie1 п и тогда соответствующие наборы генерируют базисы алгебры Клиффорда, либо принимают значения ±е и тогда наборы не генерируют базис. В этом случае реализуются 1, 2, 3 и 4 случаи теоремы.

В алгебре Клиффорда q) сигнатуры р — q = 3 mod 4 элементы j1 п и

(б1 п либо принимают значения ie1 п и тогда соответствующие наборы генерируют базисы алгебры Клиффорда, либо принимают значения ±ге и тогда наборы не генерируют базис. В этом случае реализуются 1, 2, 5 и 6 случаи теоремы.

Утверждается, что существует единственный, с точностью до умножения на обратимый элемент центра алгебры Клиффорда, обратимый элемент алгебры Клиффорда Т такой, что

1) 7 a = T~1paTi Va=l, ,п

тогда и только тогда, когда ¡З1 п = 71 п (в этом случае оба набора генерируют базисы, либо оба не генерируют);

\

2) 7° = —Т~10аТ, Уа = 1, ,п

тогда и только тогда, когда ¡З1 п = -71 п (в этом случае оба набора генерируют базисы, либо оба не генерируют);

3) 7 а = е1пТ~1раТ, Уа = 1, ,п

тогда и только тогда, когда р1 71 = е1 "71 п (в этом случае один из наборов генерирует базис, а другой - нет),

4) 7° = —е1 пТ~г раТ, Уа=1, ,т?

тогда и только тогда, когда ¡З1 п = — е1 Пг)г п (в этом случае один из наборов генерирует ¡базис, а другой - нет);

5) 7а = ге1 пТ~1/ЗаТ, Уа = 1, ,п

тогда и только тогда, когда ¡З1 п = ге1 Т171 п ('в этом случае один из наборов генерирует базис, а другой - нет);

6) 7а = —ге1 пТ~1!ЗаТ, Уа = 1, ,п

тогда и только тогда, когда (З1 п = —ге1 "71 п ('в этом случае один из наборов генерирует базис, а другой - нет).

Заметим, что все шесть случаев имеют единую запись в виде

Г = св1 п->! п)Т-1!Зат

Кроме того, элемент Т, о существовании которого говорится во всех шести случаях теоремы, имеет вид

где в качестве Р подойдет некоторый элемент из множества

{7Л + 7В, ДВеЫ

В главе 4 говорится о применении обобщенной теоремы Паули при изучении связи спинорных и ортогональных групп Рассмотрена псевдоортогональная группа

О(р, д) = {А е Mat(п, К) | АТг/А = г?}

и ее подгруппы (специальная, ортохронная, ортохорная и специальная орто-хронная)

i

so (р, д)/= {А е О (р, 9) I deU = 1}, Ot(p, = 0(р, g) I Ai £ > 1}, 0;(р,д) = {А€0(р,9)К1 S0n(plg) = {A6S0(p,g)Mi J > 1},

где A^ ¡°г - минор (определитель матрицы, составленной из элементов матрицы А, стоящих на пересечении строк с номерами к1у.. ,кг и столбцов с номерами li, .. 1г).

Также рассмотрено 5 спинорных групп

Pin(p, q) = {Т€Г±|Т~Т-±е} = {ТеГ±|Т~ЛТ = ±е},

Pi щ(р,д) = {ТеГ±|Т~Т = +е})

Pin t(p,g) = {Т€Г±\Т^Т = +е},

Spin(p, q) = {Т еГ+\Т~Т = ±е} = {Т еТ+\Т~хТ = ±е},

Spinn(p,g) = {ТеГ+|Т~Т = +е} = {ТеГ+|Т~ЛТ = +е},

являющиеся, подгруппами группы Липшица

i

г±(р, g)/= {т Е al*en(p, д) U al*dd(p, д)\Чх е af(p, g), TxT~l £ О» (р, д)},

где знаком х, стоящим у различных множеств, означает взятие подмножества из обратимых элементов, и Г+ = {Т 6 C^EvenÍP'?) О Г±(р, д)}.

Здесь используются следующие линейные операции четностного сопряжения и реверса в алгебрах Клиффорда

Рассмотрим гомоморфизм (называемый измененным присоединенным действием)

аЛ: CiRx (р, д) —EndC^R(p, д), Т ^adr, adT U = TXUT~\ UeCÍR(p;q)

В настоящей главе предложено альтернативное (без использования теоремы Картана-Дьедонне, как делается в стандартном доказательстве) доказательство о двулистных накрытиях 5 ортогональных групп соответствующими спинорны-ми группами в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства (го-

X

моморфизмом, осуществляющим накрытие, является ad). При этом основном инструментом при доказательстве выступают доказанные в главе 3 обобщения теоремы Паули.

Кроме того, с помощью обобщений теоремы Паули получен явный алгоритм для вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп при двулистном накрытии. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 0.6 1) Рассмотрим вещественную алгебру Клиффорда CiR(p,q) четной размерности п и ортогональную матрицу Р £ 0(р,q). Предъявим алгол

ритм для вычисления элементов ±Т 6 Pin(p, q): ad (±Т) = Р.

Рассмотрим набор элементов алгебры Клиффорда /За = р%еь, Р — Сначала находим элемент Т € Г^ (единственный с точностью до умножения на ненулевую/ вещественную константу) среди элементов вида

• Т = ¡3AFeA, если ¡31 п = е1 п,

/

• Т =í-l)MpAFeA, если/31 п =-е1 п, где F - такой элемент из множества

• {еА,А е lEve„}, если ¡31 п = е1 п,

• {еА, A G 2odd}, если /З1 п = -е1 п,

что построенный по нему Т отличен от нуля.

Далее принимаем во внимание условия Т~Т = ±е (или Т~АТ — ±ej и находим два элемента ±Т из группы Pin(p,q), соответствующие матрице Р при двулистном накрытии.

2) В случае нечетного п действуем аналогичным образом. Находим элемент Т е Г* среди элементов

/ г= ]Г (3AFeA.

j ^exEven

где F такой элемент из

i

• {еА, А е XEven}, если /31 " = е1

• {ел, Л е X0dd}, если (З1 п = -е1

Далее накладываем условия Т~Т = ±е /шш Т~АТ = ы получаем два элемента ±Т из группы Pin(p, q), соответствующие матрице Р при двулистном накрытии.

В главе 5 рассматривается применение обобщенной теоремы Паули при рассмотрении n-мерных спиноров в формализме алгебр Клиффорда, в частности, при рассмотрении аналогов дираковского, майорановского и зарядового сопряжений в случае произвольных размерностей и сигнатур.

Изучен вопрос об инвариантности n-мерного уравнения Дирака относительно произвольных ортогональных преобразований. С помощью обобщенной теоремы Паули показано, что n-мерное уравнение Дирака инвариантно относительно преобразований из группы О(р, q) в случае четного п и относительно преобразований из группы S0(p,q) в случае нечетного п.

/

Дано описание элементов, осуществляющих обобщения дираковского, зарядового и майорановского сопряжений в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства. Доказываются утверждения о реализации п-мерных спиноров Майорана, псевдо-Майорановских спиноров и спиноров Майорана-Вейля в формализме алгебр Клиффорда различных сигнатур.

Отметим, что некоторые аспекты, связанные с п-мерными спинорами, представлены (иногда в другом формализме) в литературе. Дано более полное математическое описание теории п-мерных спиноров Вейля, Майорана и Майорана-Вейля в случае произвольных размерностей и сигнатур. Излагается альтернативная точка ^зрения на поставленные вопросы, представлено несколько новых результатов и обобщений известных результатов. При этом ключевую роль в рассмотрениях играют обобщенные теоремы Паули, с помощью которых связываются операции над матрицами с операциями над элементами алгебры Клиффорда.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Широков, Дмитрий Сергеевич, 2012 год

Литература

[1] Н.Н. Боголюбов, А.А. Логунов, А.И. Оксак, И.Т. Тодоров, Общие принципы квантовой теории поля, Наука, М., 1987.

[2] Б.Л. Ван-дер-Варден, Метод теории групп в квантовой механике, Издательский дом "Удмурдский университет", Ижевск, 1938.

[3] А.В. Галажинский, Введение в суперсимметрию, Изд-во Томск, политехи, унив-та, Томск, 2008.

[4] Ф.Р. Гантмахер, Теория матриц, ГИТТЛ, Москва, 1953.

[5] В.А. Желнорович, Теория спиноров и ее примененение в физике и механике, Наука, Москва, 1982.

[6] Г. Казанова, Векторная алгебра, Мир, М., 1979.

[7] Э. Картан, Теория спиноров, ИЛ, М., 1947.

[8] Н.Г. Марчук, Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда, РХД, Ижевск, 2009.

[9] М.М. Постников, Группы и алгебры Ли, Наука, М., 1982.

[10] П.К. Рашевский, "Теория спиноров", УМН, 10:2 (1955), 3-110.

[11] Ю.Б. Румер, Спинорный анализ, ОНТИ, М.-Л., 1936.

[12] Ж.-П. Серр, Линейные представления конечных групп, М., 1970.

[13] M.F. Atiyah, R. Bott, A. Shapiro, "Clifford modules", Topology 3, suppl.l (1964), 3-38.

[14] L. Babai, K. Friedl, "Approximate representation theory of finite groups", Proc. 32nd Annual Symposium on Foundations of Computer Science, (1991), 733-742.

[15] I.M. Benn, R.W. Tucker, An introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics, Adam Hilger, Bristol, 1987.

16] C. Chevalley, Collected works, Vol.2: The algebraic theory of Spinors and Clifford algebras, Springer-Verlag, 1997.

17] W.K. Clifford, "Application of Grassmann's Extensive Algebra", American Journal of Mathematics, 1:4 (1878), 350-358.

18] B. DeWitt, Supermanifolds, CUP, Cambridge, 1984.

19] J. Dieudonne, La geometrie des groupes classiques, Springer-Verlag, 1971.

20] P.A.M. Dirac, "The quantum theory of electron", Proc. Roy. Soc. London Ser. A 117 (1928), 610-624.

21] P.A.M. Dirac, "The quantum theory of electron. Part II", Proc. Roy. Soc. London Ser. A 118 (1928), 351-361.

22] J.D. Dixon, "Computing irreducible representations of groups", Math. Comp. 24 (1970), 707-712.

23] P. Freund, Introduction to Supersymmetry, CUP, Cambridge, 1986.

24] W. Fulton, Algebraic Topology, A first course, Springer Verlag, 1995.

25] J. Gilbert, M. Murray, Clifford algebras and Dirac operators in harmonic analysis, CUP, Cambridge, 1991.

26] F. Gliozzi, J. Sherk, , D. Olive, "Supersymmetry, supergravity theories and the dual spinor model", Nuclear Phys. B., 122:2 (1977), 253-290.

27] H. Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, Verlag von Otto Wigand, Leipzig, 1844.

28] W.R. Hamilton, "On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra", Phil. Mag. (3), 25 (1844), 489-495.

29] D. Hestenes, Space-Time Algebra, Gordon and Breach, New York, 1966.

30] D. Hestenes, G. Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus. A Unified Language for Mathematical Physics, Fund. Theor. Phys., D.Reidel Publ., Dordrecht, 1984.

31] D. Ivanenko D., L. Landau, "Zur theorie des magnetischen electrons" Z.Phys. (I), 48 (1928), 340-348.

32] G. Juvet, "Operateurs de Dirac et equations de Maxwell", Comment. Math. Helv., 2:1 (1930), 225-235.

33] E. Kahler, Randiconti di Mat. (Roma) ser. 5, 21 (1962), 425.

[34] Т. Kugo, P. Townsend, "Supersymmetry and the Division Algebras", Nuclear Phys. B, 221:2 (1983), 357-380.

[35] C. Lanczos, "Die tensoranalytischen Beziehungen der Diracschen Gleichung", Z.Phys. 57 (1929), 447-473.

[36] J.A. Lester, "Orthochronous subgroups of 0(p,q)", Linear and Multilinear Algebra, 36:2 (1993), 111-113.

[37] R. Lipschitz, Untersuchungen über die Summen von Quadraten, Max Cohen und Sohn, Bonn, 1886.

[38] P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 239, Cambridge Univ. Press, Oxford, 1997.

[39] D. Lundholm, L. Svensson, Clifford algebra, geometric algebra, and applications, 2009, arXiv:math-ph/0907.5356.

[40] M.A. Naimark, A.I. Stern, Theory of Group Representations, Springer-Verlag, Berlin, 1982.

[41] W. Pauli, "Contributions mathematiques a la theorie des matrices de Dirac", Ann. Inst. H. Poincare, 6:2 (1936), 109-136.

[42] I.R. Porteous, Clifford Algebras and the Classical Groups, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

[43] M. Riesz, Collected Papers, Springer-Verlag, Berlin, 1988.

[44] F. Sauter, "Losung der Diracschen Gleichungen ohne Spezialisierung der Diracschen Operatoren", Z. Phys., 63:11-12 (1930), 803-814.

[45] J. Snygg, Clifford Algebra. A computation tool for physicists, Oxford Univ. Press, Oxford, 1997.

[46] J. Strathdee, "Extended Poincare Supersymmetry", Int.J.Mod.Phys.A, 2:273 (1987), 273-300.

[47] P. West, Introduction to Supersymmetry and Supergravity, World Scientific, Singapore, 1990.

[48] Д.С. Широков, "Обобщение теоремы Паули на случай алгебр Клиффорда", ДАН, 440:5 (2011), 1-4.

[49] Д.С. Широков, "Теорема о норме элементов спинорных групп", Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 1(22) (2011), 165-171.

[50] Д.С. Широков, "Классификация элементов алгебр Клиффорда по кватер-нионным типам", ДАН, 427:6 (2009), 758-760.

[51] N.G. Marchuk, D.S. Shirokov, "Unitary spaces on Clifford algebras", Advances in Applied Clifford Algebras, 18:2 (2008), 237-254.

[52] N.G. Marchuk, D.S. Shirokov, "Local generalized Pauli's theorem", 2012, arXiv:math-ph/1201.4985.

[53] D.S. Shirokov, "Quaternion typification of Clifford algebra elements", Advances in Applied Clifford Algebras, 22:1 (2012), 243-256.

[54] D.S. Shirokov, "Development of the method of quaternion typification of Clifford algebra elements", Advances in Applied Clifford Algebras, 22:2 (2012), 483-497.

[55] D.S. Shirokov, "A classification of Lie algebras of pseudounitary groups in the techniques of Clifford algebras", Advances in Applied Clifford Algebras, 20:2 (2010), 411-425.

[56] D.S. Shirokov, "On some relations between spinor and orthogonal groups", p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 3:3 (2011), 212-218.