Некоторые алгебро-геометрические методы в теории поля и других приложениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Широков Дмитрий Сергеевич

• Широков Дмитрий Сергеевич
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Широков Дмитрий Сергеевич

1.1 Уравнения Янга - Миллса

1.1.1 Система уравнений Янга - Миллса

1.1.2 Случай группы Ли Би(2)

1.1.3 Вопрос о постоянных решениях

1.2 Все постоянные решения уравнений Янга - Миллса с 8И(2) калибровочной симметрией с произвольным током в

1.2.1 Сингулярное разложение при изучении уравнений Янга - Миллса в

1.2.2 Результаты для потенциала, напряженности и инварианта поля Янга -Миллса

1.3 Гиперболическое сингулярное разложение (Н8УБ) и его вычисление

1.3.1 О стандартной формулировке Н8УБ с некоторыми замечаниями

1.3.2 О гиперобменных матрицах и Н8УБ

1.3.3 Новая формулировка Н8УБ

1.3.4 Вычисление ШУБ

1.4 Все постоянные решения уравнений Янга - Миллса с 8И(2) калибровочной симметрией с произвольным током в

1.4.1 Н8УБ при изучении уравнений Янга - Миллса в

1.4.2 Результаты для случая п = 2: К1'1

1.4.3 Итог для случая произвольного , р > 1, д >

1.5 Решения уравнений Янга - Миллса - Дирака с 8И(2) калибровочной симметрией

1.5.1 Уравнения Янга - Миллса - Дирака с 8И(2) калибровочной симметрией

1.5.2 Классификация и явный вид всех постоянных решений уравнений Янга -Миллса - Дирака с 8И(2) калибровочной симметрией

1.5.3 Непостоянные решения уравнений Янга - Миллса - Дирака с 8И(2) калибровочной симметрией в виде рядов теории возмущений

1.6 Решения уравнений Янга - Миллса - Прока в случае группы Ли 8И(2)

1.6.1 Уравнения Прока

1.6.2 Уравнения Янга - Миллса - Прока

1.6.3 Все постоянные решения уравнений Янга - Миллса - Прока в случае группы Ли Би(2)

1.6.4 Непостоянные решения уравнений Янга - Миллса - Прока в случае группы

Ли 8и(2) в виде рядов теории возмущений

1.7 Решения уравнений Янга - Миллса типа плоской волны

1.7.1 Решения уравнений Янга - Миллса типа плоской волны и в виде суммы волн

1.7.2 О системах уравнений, моделирующих уравнения Янга - Миллса

Глава 2 Некоторые прикладные задачи теории алгебр Клиффорда

2.1 Алгебры Клиффорда и смежные структуры

2.1.1 Понятие алгебры Клиффорда

2.1.2 Классификации элементов алгебры Клиффорда по четности, рангам и ква-тернионным типам

2.1.3 Операции сопряжения в алгебрах Клиффорда

2.2 Вычисление обратных элементов, определителя и других коэффициентов характеристического многочлена в алгебрах Клиффорда

2.2.1 Операции сопряжения специального типа в алгебрах Клиффорда и их свойства

2.2.2 Функционалы специального вида и обратные элементы в алгебрах Клиффорда С£р,д с п = р + д <

2.2.3 След, определитель и другие коэффициенты характеристического многочлена в алгебрах Клиффорда произвольной размерности

2.3 Безбазисные решения уравнений Сильвестра и Ляпунова в алгебрах Клиффорда

2.3.1 Случаи малых размерностей п <

2.3.2 Случай произвольного п

2.4 Вычисление элементов спинорных групп

2.4.1 Псевдоортогональная группа и алгебры Клиффорда

2.4.2 Полная картина связи ортогональных и спинорных групп

2.4.3 Метод Хестенеса

2.4.4 Обобщение метода Хестенеса

2.4.5 Вычисление роторов в геометрической алгебре

2.5 Спиновая связность общего вида

2.5.1 Тензорные поля со значениями в алгебре Клиффорда и полевое уравнение

для спиновой связности

2.5.2 Уравнение для спиновой связности общего вида

2.5.3 Связь между проекционными операторами и свертками в алгебрах Клиффорда

2.5.4 Общее решение уравнения для спиновой связности

2.5.5 Другие формы записи спиновой связности общего вида

2.6 Ковариантно-постоянные решения уравнений Янга - Миллса в алгебрах Клиффорда

2.6.1 Ковариантные производные и ковариантно постоянные тензорные поля со значениями в алгебре Клиффорда

2.6.2 Класс ковариантно постоянных решений уравнений Янга - Миллса

2.6.3 Утверждения в алгебре ^-форм

2.7 Локальная теорема Паули

2.7.1 Локальная обобщенная теорема Паули в окрестности точки евклидова пространства

2.7.2 Локальная теорема Паули во всем евклидовом пространстве и ее связь со спиновой связностью общего вида

2.8 Некоторые решения уравнений Янга - Миллса - Прока и Янга - Миллса в алгебре Клиффорда

2.8.1 Элементы алгебры Клиффорда как решения уравнений Янга - Миллса -Прока

2.8.2 Элементы алгебры Грассмана как решения уравнений Янга - Миллса

Глава 3 Группы и алгебры Ли специального типа в алгебрах Клиффорда

3.1 Классификация групп и алгебр Ли специального типа в алгебрах Клиффорда

3.1.1 Алгебры и группы Ли специального типа в алгебрах Клиффорда

3.1.2 Классические матричные группы и алгебры Ли

3.1.3 Рекурсивный метод построения матричных представлений алгебр Клиффорда

3.1.4 Линейные группы и алгебры Ли в алгебрах Клиффорда

3.1.5 Операция эрмитова сопряжения в алгебрах Клиффорда

3.1.6 Унитарные, псевдоунитарные и комплексные линейные группы и алгебры

Ли в алгебрах Клиффорда

3.1.7 Дополнительная сигнатура алгебры Клиффорда

3.1.8 Комплексные симплектические, ортогональные и линейные группы и алгебры Ли в алгебрах Клиффорда

3.1.9 Вещественные ортогональные, симплектические и линейные группы и алгебры Ли в алгебрах Клиффорда

3.1.10 Комплексные ортогональные, симплектические, унитарные и псевдоунитарные группы и алгебры Ли в алгебрах Клиффорда

3.1.11 Кватернионные ортогональные, симплектические и линейные группы и алгебры Ли в алгебрах Клиффорда

3.1.12 Связь со спинорными группами Ли

3.2 Группы Ли, определяющие внутренние автоморфизмы специального вида в алгебрах Клиффорда

3.2.1 Группы Ли, сохраняющие подпространства фиксированных рангов

3.2.2 Группы Ли, сохраняющие подпространства фиксированной четности

3.2.3 Группы Ли, сохраняющие прямые суммы подпространств кватернионных типов

3.2.4 Группы Ли, сохраняющие подпространства кватернионных типов

3.2.5 Связи между рассматриваемыми группами Ли

3.2.6 О соответствующих алгебрах Ли

3.2.7 Случаи малых размерностей п <

Заключение

Список публикаций автора

Список литературы

Приложения

А.1 Доказательство Леммы

А.2 Доказательство Леммы

А.3 Явные формулы для решений из параграфа

А.4 Доказательство Теоремы

А.5 Доказательство Теоремы

А.6 Явные формулы для коэффициентов из параграфа

А.7 Доказательство Теоремы

А.8 Доказательство Теоремы

Список обозначений

К %

С

н

К^х N С^хМ

ЫаЬ(п, К) ЫаЬ(п, С)

I = 1п = (6^) = diag(1,..., 1) О

поле вещественных чисел; мнимая единица; поле комплексных чисел; тело кватернионов;

множество вещественных матриц размера п х N; множество комплексных матриц размера п х N; алгебра вещественных матриц размера п х п; алгебра комплексных матриц размера п х п; евклидово пространство размерности п; единичная матрица размера п х п;

нулевая матрица или нулевой блок матрицы; псевдоевклидово пространство сигнатуры (р, д) и

размерности п = р + д; К1,3 пространство Минковского;

Ц = (Щь) = diag(1,..., 1, -1,..., -1) метрика пространства ;

р

Xм, д = 1,... ,п

о _ а

= д^

гра ТЬ

det(Л)

Ат А* О(р,(1) О(п)

и^ ^

и(п) Би(п)

50(п)

и(п)

зи(п)

гук _

^^ —

п к\(п-к)\

С1р,д,г, П = р + д + г

ар,д = С1М0, п = р + д

Лп = С1о,о,п

декартовы координаты пространства ;

частные производные;

поле реперов, тетрада;

множество тензорных полей типа (а,Ь);

множество тензорных полей типа (а, Ь) со значениями

в алгебре Ли 0; определитель матрицы А;

след матрицы А;

транспонированная матрица к матрице А;

эрмитово сопряженная матрица к матрице А;

псевдоортогональная группа Ли;

ортогональная группа Ли;

псевдоунитарная группа Ли;

унитарная группа Ли;

специальная унитарная группа Ли;

ортогональная алгебра Ли;

унитарная алгебра Ли;

специальная унитарная алгебра Ли;

биномиальный коэффициент;

вещественная алгебра Клиффорда;

невырожденная вещественная алгебра Клиффорда;

алгебра Грассмана (внешняя алгебра);

IV.

С1(£п)

С 0 СИр^г, п = р + q + г

е

еа, а = 1,..., п

еА, Л = 0,1, 2,..., 1 ...п

СРк

^ Р'Ч'Г

(и )к = ^ (^) а(0)

а

Р'Я'Г (1)

к = аг, к = 0,1, 2,3

Г'Ч'1 '

и и и и и t

Бе^) , & = 1, 2,3 , д = 0,1, 2,3 Р, У] = иУ - У и {и,У} = иу + уи

8рт(р, д) Рт(р,д) Сеп(Д) 0х

невырожденная комплексная алгебра Клиффорда; комплексифицированная алгебра Клиффорда; единичный элемент алгебры Клиффорда; порождающие алгебры Клиффорда; элементы базиса алгебры Клиффорда; подпространство ранга к алгебры О^р^г; проекция элемента и на ; четная подалгебра алгебры <Лр, д, г; нечетное подпространство алгебры <Лр, д, г; подпространство кватернионного типа к алгебры СЛ •

^ Р'Ч'Г?

четностное сопряжение элемента и € ;

реверс от элемента и € ^ , д , г;

клиффордово сопряжение элемента и € <ЛР, д , г;

комплексное сопряжение элемента и € С 0 ;

эрмитово сопряжение элемента и € С 0 ;

определитель элемента и € ;

матрицы Паули;

матрицы Дирака;

коммутатор двух элементов;

антикоммутатор двух элементов;

спинорная группа;

пинорная группа;

центр алгебры А;

подмножество обратимых элементов множества

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые алгебро-геометрические методы в теории поля и других приложениях»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования

1) В настоящее время законы физики элементарных частиц описываются квантовыми калибровочными теориями [38]. Теория Янга - Миллса [181] описывает три из четырех фундаментальных взаимодействий в природе (электромагнитное, электрослабое и сильное взаимодействия). Электромагнитное взаимодействие описывается уравнениями Максвелла, которые являются частным случаем уравнений Янга - Миллса с калибровочной (абелевой) группой Ли U(1). Электрослабое взаимодействие описывается уравнениями Янга - Миллса с калибровочной (неабелевой) группой Ли U(1) х SU(2), сильное взаимодействие - с калибровочной (неабелевой) группой Ли SU(3). Вопросы, связанные с уравнениями Янга - Миллса, находятся в центре внимания специалистов; есть надежда, что решение этих вопросов в перспективе может привести к ответам на такие фундаментальные проблемы математической физики, как проблемы дефекта масс, спектра масс, пониманию механизма конфайнмента.

Точные решения уравнений Янга - Миллса важны для развития калибровочной теории (в частности, для описания вакуумной структуры теории [95, 114] и более полного понимания калибровочной теории [141]). Сложность изучения уравнений Янга - Миллса связана с нелинейностью этих уравнений. Усилиями ряда исследователей были найдены некоторые нетривиальные классы частных решений уравнений Янга - Миллса: монополи [180, 172, 151], инстантоны [61, 179], мероны [78] и др. Отметим известную ADHM-конструкцию [55], которая позволяет полностью описать пространство модулей инстантонов с помощью алгебро-геометрических методов. Различные частные классы решений уравнений Янга - Миллса с SU(2) калибровочной группой представлены в обзоре [47]. Указанный обзор содержит ссылки на ряд других работ по точным решениям уравнений Янга - Миллса.

Постоянные (не зависящие от точки х евклидова Rn или псевдоевклидова пространства R' q) решения уравнений Янга - Миллса с нулевым током рассматриваются в работах R. Schimming и E. Mundt [162, 163], где авторы пишут: "The following problems concerning constant Yang-Mills fields are actual ones in our opinion: Is there a gauge- and coordinate-invariant characterization of those Yang-Mills fields which admit constant potentials with respect to some gauge and some coordinate system? Find as many as possible (in the ideal case: all) constant Yang-Mills fields and classify them!" 1. В своей работе мы даем полный ответ на поставленные вопросы в случае группы

1 Перевод: "На наш взгляд, актуальными являются следующие проблемы, касающиеся постоянных полей Янга - Миллса: существует ли калибровочно- и координатно-инвариантная характеризация тех полей Ян-

Ли SU(2). Наши результаты для произвольного тока согласуются с результатами упомянутых работ для нулевого тока. В частности, в работах [162, 163] доказано, что в случае нулевого тока J = 0 напряженность поля Янга - Миллса является нулевой F = 0 для всех постоянных потенциалов А, удовлетворяющих уравнениям Янга - Миллса в случае евклидовых и лоренце-вых сигнатур. Этот факт явно подтверждается в нашей работе для всех постоянных решений уравнений Янга - Миллса с SU(2) калибровочной симметрией, кроме этого в нашей работе приводятся решения с ненулевой напряженностью F = 0 и нулевым током J = 0 во всех остальных случаях р > 2 и q > 2.

Отметим, что постоянные решения уравнений Янга - Миллса являются существенно нелинейными решениями и, с этой точки зрения, особенно важны для приложений.

Почти все известные классы решений уравнений Янга - Миллса рассматриваются для нулевого тока и, чаще всего, только для частного случая евклидова пространства или пространства Минковского. Инстантоны являются решениями уравнений Янга - Миллса в евклидовом пространстве-времени (с мнимым временем).

Преимущество настоящей работы заключается в том, что предъявляются все постоянные решения не только для нулевого тока, а для произвольного ненулевого тока. Одним из основных результатов настоящей работы является представление всех постоянных решений уравнений Янга - Миллса с SU(2) калибровочной симметрией для произвольного неабелева тока в произвольном псевдоевклидовом (и евклидовом) пространстве размерности п. Используя алгебро-геометрические методы, мы представляем общее решение алгебраических систем специального вида из 3п кубических уравнений с 3п неизвестными и 3п параметрами. Данная задача решается с использованием метода сингулярного разложения (SVD, singular value decomposition) в случае евклидова пространства и гиперболического сингулярного разложения (HSVD, hyperbolic singular value decomposition) в случае псевдоевклидова пространства. Используя инвариантность уравнений Янга - Миллса по отношению к (псевдо)ортогональным заменам координат и калибровочную инвариантность, мы выбираем специальную систему координат и специальную фиксацию калибровки для каждого постоянного тока и получаем все постоянные решения уравнений Янга - Миллса в данной системе координат с данной фиксацией калибровки, а затем и в исходной системе координат с исходной фиксацией калибровки. В предложенном подходе существенным образом используется двулистное накрытие ортогональной группы SO(3) спинорной группой Spin(3) = SU(2).

Известны некоторые классы частных решений уравнений Янга - Миллса - Дирака [5i , 52, 51, 58, 130, 139, 155]. В данной работе мы представляем все постоянные решения этой системы уравнений в пространстве Минковского с помощью методов гиперболического сингулярного разложения и двулистного накрытия ортогональной группы спинорной группой. Также используется калибровочная инвариантность уравнения Дирака по отношению к псевдоунитарной группе

га - Миллса, которые допускают постоянные потенциалы относительно некоторой калибровки и некоторой системы координат? Найти как можно больше (в идеале, все) постоянные поля Янга - Миллса и классифицировать их!"

SU(2, 2) [131].

Уравнение Прока [153] является обобщением уравнений Максвелла. Оно не является калиб-ровочно инвариантным и описывает массивные частицы со спином 1. Уравнения Янга - Миллса - Прока рассматриваются, например, в работе [88]. Данные уравнения являются одновременно обобщением уравнений Янга - Миллса и уравнения Прока, они также не являются калибро-вочно инвариантными. Мы представляем все постоянные решения системы уравнений Янга -Миллса - Прока в случае группы Ли SU(2) в евклидовом и псевдоевклидовом пространстве произвольной размерности и сигнатуры.

Решения типа плоской волны уравнений Янга - Миллса рассматриваются в работах [73, 140, 57, 69, 143 , 144 , 173, 127]. Мы представляем все решения типа плоской волны уравнений Янга -Миллса с SU(2) калибровочной симметрией и нулевым током в евклидовом и псевдоевклидовом пространстве произвольной конечной размерности и сигнатуры.

2) Метод сингулярного разложения [89, 91] (SVD) был независимо предложен E. Beltrami [63] и C. Jordan [117, 118] в 1873 и 1874 годах соответственно. Этот метод широко используется в различных приложениях - компьютерных науках, инженерии, обработке сигналов и изображений, автоматизации производства, аппроксимации данных методом наименьших квадратов и др.

Метод гиперболического сингулярного разложения (HSVD) впервые был предложен R. Onn, A. O. Steinhardt и A. W. Bojanczyk в 1989 году [145] для частного случая комплексных матриц Апх^ с п > N, rank(A^A^) = rank(A) = N (здесь и далее обозначения соответствуют Теореме 1.6)2. В данном частном случае имеем d = 0, и матрица Е является диагональной со всеми положительными диагональными элементами. В следующей работе [146] этих же трех авторов сформулировано утверждение для чуть более общего случая - произвольных п и N, rank(AqÄ^) = rank(A) = min(n,N). В третьей работе этих авторов [66] представлено обобщение HSVD на случай rank(A^Ä^) < rank(A). В этом обобщении некоторые элементы матрицы Е оказываются комплексными. H. Zha в своей работе [182] указал, что данное обобщение выглядит неестественным, и предложил другое обобщение, используя только матрицу Е с вещественными элементами. B. C. Levy [125] представил утверждение результата H. Zha в другой форме, используя другое доказательство. В то же время, результат B. C. Levy является более слабым: присутствуют дополнительные произвольные диагональные блоки вместо единичных блоков в матрице Е; не представлен явный вид матрицы г}; рассмотрен только случай п > N. Отметим также интересные результаты S. Hassi [99], B. N. Parlett [148] и V. Sego [165, 166] по другим обобщениям SVD на гиперболический случай, а также мультилинейное сингулярное разложение [79]. Гиперболическое сингулярное разложение используется в обработке сигналов и изображений [67], инженерии [122], компьютерных науках [65, 150], физике [168] и др.

В данной работе мы представляем новую версию HSVD для произвольной комплексной (или вещественной) матрицы. Преимущество новой версии HSVD перед предыдущими версиями (из

2Для единообразия во всей работе мы обозначаем эрмитово сопряженную матрицу через At, как принято в теории уравнений Янга - Миллса и других физических приложениях; математики обозначают эрмитово сопряженную матрицу также через А* или Ан.

них наиболее полная версия дана H. Zha) заключается в том, что она не использует гиперобменные матрицы, которые не образуют группу. Вместо гиперобменных матриц мы используем матрицы из псевдоунитарных и псевдоортогональных групп, которые более естественны с теоретической и практической точек зрения. Другое преимущество новой версии заключается в том, что она содержит только три инвариантных параметра (d, х и у) и не содержит другие избыточные параметры (к и s) из результата H. Zha. Также новая версия HSVD естественным образом включает как частный случай обычное SVD и, таким образом, является более общим математическим аппаратом. Необходимость использования HSVD вместо SVD возникает, когда мы можем пользоваться только одним ортогональным и одним псевдоортогональным преобразованиями (вместо двух ортогональных), как это, например, происходит в случае уравнений Янга - Миллса в псевдоевклидовых пространствах. Другой результат нашей работы заключается в представлении связи между HSVD и обобщенной задачей на собственные значения. Новая версия HSVD позволяет свести задачу о вычислении HSVD к вычислению собственных чисел, собственных векторов и обобщенных собственных векторов (присоединенных векторов) некоторых вспомогательных матриц в общем случае. Эти результаты обобщают известные результаты о связи между SVD и задачей на собственные значения.

3) В данной работе мы активно развиваем и пользуемся методами, связанными с алгебрами Клиффорда (или геометрическими алгебрами). Алгебры Клиффорда были предложены в 1878 году В. Клиффордом [72] как обобщение кватернионов Гамильтона [98] и внешней алгебры Грас-смана [94]. В настоящее время алгебры Клиффорда широко используются в различных науках -физике, теории поля, механике, космической динамике, геометрии, инженерии, робототехнике, компьютерных науках, компьютерном зрении, обработке сигналов и изображений, химии и др. Особую роль алгебры Клиффорда играют при изучении уравнения Дирака [81, 82], в которое входят так называемые 7-матрицы Дирака, порождающие алгебру Клиффорда сигнатуры (1,3). В настоящее время регулярно проходят крупные международные конференции по приложениям алгебр Клиффорда в различных науках - International Conference on Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics (последние конференции прошли в 2020, 2017, 2014, 2011 годах), International Conference on Applied Geometric Algebras in Computer Science and Engineering (2021, 2018, 2015, 2012 гг.), Alterman Conference on Geometric Algebra and Summer School on Kahler Calculus (2019, 2018, 2017, 2016 гг.), Empowering Novel Geometric Algebra for Graphics & Engineering Worksop at the International Conference Computer Graphics International (2022, 2021, 2020, 2019, 2018, 2017 гг.), International inference of Advanced Computational Applications of Geometric Algebra (2022 г.) и др. Отметим недавние обзоры [108, 68] по современным приложениям алгебр Клиффорда в различных науках, в которых обсуждаются 4 работы автора [4, 5, 7, 11].

Вещественные алгебры Клиффорда dPjq изоморфны матричным алгебрам над R, C, R 0 R, H или H 0 H в зависимости от р — q mod8 (так называемая периодичность Картана), комплек-сифицированные алгебры Клиффорда C 0 &P,q изоморфны матричным алгебрам над C или C 0 C в зависимости от п mod2. Преимущество использования алгебр Клиффорда в прило-

жениях вместо соответствующих матричных алгебр состоит в более богатом математическом аппарате, который позволяет естественным образом реализовать различные алгебраические и геометрические структуры, спинорные группы [124, 84], спиноры [30, 154, 35, 36, 29] и др. В связи с этим возникает задача о переложении известных матричных методов в формализм алгебр Клиффорда [41, 111, 160].

Вопрос о вычислении обратных элементов в алгебрах Клиффорда изучался во многих работах в случае малых размерностей [76, 109, 48, 110]. Характеристический многочлен в алгебрах Клиффорда рассматривался в работе [102]. Мы предложили явные формулы для всех коэффициентов характеристического многочлена в алгебрах Клиффорда в случае произвольной размерности и сигнатуры пространства. В частности, получены формулы для определителя, которые позволяют вычислять обратный элемент в алгебрах Клиффорда произвольной размерности и сигнатуры. Наши результаты уже активно используются другими учеными в символьном вычислении [49, 96]. Мы применили данные результаты для получения явного решения уравнений Сильвестра [171] и Ляпунова в алгебрах Клиффорда. Уравнение Сильвестра и его частный случай, уравнение Ляпунова, широко используются в теории управления, теории устойчивости, обработке изображений и сигналов, математическом моделировании.

Известен геометрический аналог (или обобщение) алгебр Клиффорда - алгебры Атьи - Ке-лера [120, 53, 93, 159, 113, 34]. В работе используется обобщение алгебр Атьи - Келера и алгебры дифференциальных форм, которое называется алгеброй ^-форм. Вместо дифференциалов ¿х^ используются клиффордовы полевые векторы № = ЬУ(х), удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям алгебры Клиффорда в каждой точке х € ' 4 (псевдо)евклидова пространства. Данная техника используется нами при изучении спиновой связности, предъявлении нового класса частных решений уравнений Янга - Миллса и доказательстве локальной теоремы Паули о связи двух наборов антикоммутирующих величин в евклидовом пространстве. Отметим, что спиновая связность [33] широко используется в теории уравнения Дирака на искривленных псевдоримановых многообразиях сигнатуры (1,3).

В работе исследуются различные группы и алгебры Ли в алгебрах Клиффорда. Отметим работы [152, 128] о связи классических матричных групп и алгебр Клиффорда и ряд других работ, в том числе, о применении унитарных, симплектических и псевдоунитарных групп в формализме алгебр Клиффорда в различных вопросах теории поля и физики [64, 170, 31, 132]. В нашей работе обобщается метод Хестенеса [103](который работает только в случае размерности 4) вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп при двулистном накрытии на случай произвольной размерности и сигнатуры пространства. Используется метод усреднения в алгебрах Клиффорда, который развивался в предыдущих работах автора.

Цель и задачи исследования

Целью работы является разработка новых алгебро-геометрических методов, связанных с сингулярным и гиперболическим сингулярным разложением, алгебрами Клиффорда и их обобщениями, группами и алгебрами Ли, и их применение при изучении различных прикладных

вопросов, связанных с уравнениями Янга - Миллса, Янга - Миллса - Дирака, Янга - Миллса - Прока, уравнениями Сильвестра и Ляпунова, спинорными группами, спиновой связностью, теоремой Паули и др.

Задачами исследования являются:

1. Найти все постоянные решения уравнений Янга - Миллса с 8И(2) калибровочной симметрией с произвольным неабелевым током в произвольном евклидовом пространстве Кп.

2. Обобщить метод гиперболического сингулярного разложения (Н8УБ) на произвольный случай с использованием псевдоортогональных и псевдоунитарных матриц. Найти метод вычисления Н8УБ в общей постановке.

3. Найти все постоянные решения системы уравнений Янга - Миллса - Прока в случае группы Ли 8И(2) в евклидовом и псевдоевклидовом пространстве произвольной размерности и сигнатуры.

4. Найти все решения типа плоской волны уравнений Янга - Миллса с 8И(2) калибровочной симметрией и нулевым током в евклидовом и псевдоевклидовом пространстве произвольной размерности и сигнатуры.

5. Решить проблему о вычислении обратных элементов, определителя и других коэффициентов характеристического многочлена в алгебрах Клиффорда произвольной размерности. Найти безбазисное решение уравнений Сильвестра и Ляпунова в алгебре Клиффорда произвольной размерности.

6. Найти метод вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп при двулистном накрытии в случае произвольной размерности и сигнатуры пространства.

7. Найти выражение для спиновой связности общего вида. Представить на основе данного выражения новый класс решений уравнений Янга - Миллса. Обобщить теорему Паули на локальный случай, когда два набора антикоммутирующих величин гладко зависят от точки евклидова пространства.

8. Дать классификацию всех групп и алгебр Ли специального типа (алгебры Ли являются прямыми суммами подпространств кватернионных типов) в алгебрах Клиффорда, найти изоморфизмы классическим матричным группам и алгебрам Ли в случае произвольной размерности и сигнатуры.

9. Дать полную классификация групп Ли, определяющих внутренние автоморфизмы, сохраняющие инвариантными фундаментальные подпространства алгебр Клиффорда, определяемые с помощью реверса и четностного сопряжения.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Представлены [9] классификация и явный вид всех постоянных решений уравнений Янга - Миллса с 8И(2) калибровочной симметрией с произвольным неабелевым током в произвольном евклидовом пространстве

2. Дана [6] формулировка гиперболического сингулярного разложения (Н8У0) на случай произвольной комплексной или вещественной матрицы без использования гиперобменных матриц и с использованием только псевдоунитарных или псевдоортогональных матриц. Вычисление Н8У0 сведено к вычислению собственных чисел, собственных векторов и присоединенных векторов некоторых вспомогательных матриц.

3. Представлены [1] все постоянные решения системы уравнений Янга - Миллса - Прока в случае группы Ли 8И(2) в евклидовом и псевдоевклидовом пространстве произвольной размерности и сигнатуры.

4. Представлен [8] явный вид всех решений типа плоской волны уравнений Янга - Миллса с 8И(2) калибровочной симметрией и нулевым током в евклидовом и псевдоевклидовом пространстве произвольной размерности и сигнатуры.

5. Решена [5, 3] проблема о вычислении обратных элементов, определителя и других коэффициентов характеристического многочлена в алгебрах Клиффорда произвольной размерности. На основе этих результатов представлено [4] безбазисное решение уравнений Сильвестра и Ляпунова в алгебре Клиффорда произвольной размерности.

6. На основе метода усреднения [14] в алгебрах Клиффорда дано [11] обобщение метода Хе-стенеса вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп при двулистном накрытии на случай произвольной размерности и сигнатуры пространства.

7. Найдено [17] выражение для спиновой связности общего вида. На основе данного выражения представлен [13] новый класс решений уравнений Янга - Миллса, а также дано [10] обобщение теоремы Паули о связи двух наборов антикоммутирующих величин на локальный случай, когда оба набора гладко зависят от точки евклидова пространства.

8. Дана [12, 16, 18] полная классификация групп и алгебр Ли специального типа (алгебры Ли являются прямыми суммами подпространств кватернионных типов) в алгебрах Клиффорда, доказаны изоморфизмы классическим матричным группам и алгебрам Ли в случае произвольной размерности и сигнатуры.

9. Дана [7, 2] полная классификация групп Ли, определяющих внутренние автоморфизмы, сохраняющие инвариантными фундаментальные подпространства алгебр Клиффорда, определяемые с помощью реверса и четностного сопряжения.

Научная новизна

Все перечисленные выше основные результаты диссертации получены лично автором и являются новыми.

Основные методы исследования

В диссертации используются различные методы алгебры, геометрии, математической физики, вычислительной математики, дифференциальной геометрии, теории представлений, теории групп и алгебр Ли. В частности, используются методы сингулярного разложения и гиперболического сингулярного разложения произвольной вещественной или комплексной матрицы, двулистные накрытия ортогональных групп спинорными группами в случае произвольной сигнатуры и размерности пространства, метод усреднения из теории представлений конечных групп, метод Леверрье - Фаддеева и метод полиномов Белла вычисления коэффициентов характеристического многочлена и др.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретическую и практическую значимость. Практическая ценность работы проявляется при использовании результатов в таких прикладных областях, как физика, инженерия, компьютерные науки, робототехника, теория управления, теория устойчивости, обработка сигналов и изображений, математическое моделирование, символьное вычисление. Результаты применяются при изучении вопросов, связанных с уравнениями Янга - Миллса, Янга - Миллса - Дирака, Янга - Миллса - Прока, спинорными группами, спиновой связностью, уравнениями Сильвестра и Ляпунова, теоремой Паули и др.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов диссертации подтверждается приведенными строгими математическими доказательствами соответствующих утверждений.

Апробация полученных результатов

Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях и симпозиумах:

1. Международная конференция "Computer Graphics International 2022", Empowering Novel Geometric Algebra for Graphics & Engineering Workshop (2022, Женева, Швейцария, онлайн), доклад "On Noncommutative Vieta Theorem in Geometric Algebras";

2. The 8th Conference on Applied Geometric Algebras in Computer Science and Engineering (2021, Брно, Чехия, онлайн), доклад "On Lie groups defining inner automorphisms that leave invariant fundamental subspaces of geometric algebra";

3. Международная конференция "Марчуковские научные чтения 2021" (2021, Академгородок, Новосибирск, Россия, онлайн), доклад "Hyperbolic SVD for obtaining solutions of SU(2) Yang-Mills equations";

4. Международная конференция "Математическая физика, динамические системы и бесконечномерный анализ 2021" (2021, Долгопрудный, Россия, онлайн), доклад "On constant solutions of the Yang-Mills-Dirac equations";

5. Международная конференция "Computer Graphics International 2020", Empowering Novel Geometric Algebra for Graphics & Engineering Workshop (2020, Женева, Швейцария, онлайн), доклад "On basis-free solution to Sylvester equation in geometric algebra";

6. Международная конференция по математической физике памяти академика В. С. Владимирова (2020, Москва, Россия, онлайн), доклад "On some equations modeling the Yang-Mills equations";

7. The 12th International Conference on Clifford Algebras and Their Applications in Mathematical Physics (2020, Хэфэй, Китай, онлайн), доклад "On determinant, other characteristic polynomial coefficients, and inverses in Clifford algebras";

8. IX Международная конференция по математическому моделированию (2020, Якутск, Россия, онлайн), доклад "On determinant and inverses in Clifford algebras";

9. International Bogolyubov Conference "Problems of theoretical and mathematical physics" (2019, Москва - Дубна, Россия), доклад "On constant solutions of SU(2) Yang-Mills equations";

10. IX-th International Conference "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives" (SCT-19) in honor of Vladimir Zakharov's 80th birthday (2019, Ярославль, Россия), постерный доклад "Classification of all constant solutions of SU(2) Yang-Mills equations with arbitrary current";

11. 4th Alterman Conference on Computational and Geometric Algebra-cum-Workshop on Kahler Calculus (2019, Манипал, Индия), пленарный доклад "Method of averaging in Clifford algebras and applications";

12. Международная конференция "Математическая физика, динамические системы, бесконечномерный анализ" (2019, Долгопрудный, Россия), доклад "On constant solutions of SU(2) Yang-Mills equations";

13. The 2nd JNMP Conference on Nonlinear Mathematical Physics (2019, Сантьяго, Чили), доклад "On constant solutions of SU(2) Yang-Mills equations";

14. International Symposium on Wen-Tsun Wu's Academic Thought and Mathematics Mechanization (2019, Пекин, Китай), доклад "SVD and hyperbolic SVD for obtaining solutions of SU(2) Yang-Mills equations";

15. International Conference on Mathematical Methods in Physics (2019, Марракеш, Марокко), доклад "Method of averaging in Clifford algebras and applications";

16. Международная конференция "Современная математическая физика. Владимиров - 95" (2018, Москва, Россия), доклад "On some solutions of Yang-Mills equations with SU(2) gauge symmetry";

17. The 7th Conference on Applied Geometric Algebras in Computer Science and Engineering (2018, Кампинас, Бразилия), доклад "Calculation of elements of spin groups using method of averaging in Clifford's geometric algebra";

18. Operators, Functions, and Systems of Mathematical Physics Conference (2018, Баку, Азербайджан), доклад "On some solutions of Yang-Mills equations with SU(2) gauge symmetry";

19. The 11th International Conference on Clifford Algebras and Their Applications in Mathematical Physics (2017, Гент, Бельгия), доклад "Yang-Mills equations and Clifford algebras";

20. Международная конференция по математическому моделированию (2017, Якутск, Россия), доклад "Local generalized Pauli's theorem and one field equation";

21. The 2nd French-Russian Conference "Random Geometry and Physics" (2016, Париж, Франция), доклад "On connection between two sets of higher-dimensional gamma matrices and a primitive field equation";

22. International Conference "New trends in Mathematical and Theoretical Physics" (2016, Москва, Россия), доклад "Covariantly constant solutions of the Yang-Mills equations";

23. VI Российско-Армянское совещание по математическому анализу, математической физике и аналитической механике (2016, Ростов-на-Дону, Россия), доклад "Covariantly constant solutions of the Yang-Mills equations";

24. Alterman Conference on Geometric Algebra and Summer School on Kahler Calculus (2016, Брашов, Румыния), доклад "On some Lie groups containing Spin groups in Clifford algebra";

25. Physical and Mathematical Problems of Advanced Technology Development, devoted to the 50th Anniversary of the Scientific and Educational Division "Fundamental Sciences" of the Bauman Moscow State Technical University (2014, Москва, Россия), доклад "New class of gauge invariant solutions of Yang-Mills equations";

26. Четвертая международная конференция "Математическая физика и ее приложения" (2014, Самара, Россия), доклад "Method of contractions in Clifford algebras with applications to the field theory equations";

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Широков Дмитрий Сергеевич, 2023 год

Используя

E cn + E = 2n-T, E cn + E cn = 2n-T

k=0 mod4 k=2 mod4 k=T mod4 k=3 mod4

получаем

dim a0 = ^ dim ak = ^ cn = 2n-2 + 2 2-2 cos ™

k=0 mod4 k=0 mod4

и аналогичные формулы для других подпространств. □

Рассматриваемые 4 подпространства имеют важные свойства, которые мы докажем в следующем параграфе, используя операции сопряжения (см. Теорему 2.1).

2.1.3 Операции сопряжения в алгебрах Клиффорда

Рассмотрим операцию четностного сопряжения в алгебре Клиффорда С1

и :=и | еа, и еа.

Данная операция является инволюцией, имеем

п п

и = £(и)к = £(-1)к (и Н, (2.5)

к=0 к=0

и = и, цу = 77, (ХиГ+рУ) = \и + д7, еа, е К. (2.6)

Рассмотрим операцию реверса в а

и := и и ^е ...е , и еа.

Данная операция является антиинволюцией, имеем

U = £(U)k = £(-1) 2

fc(fc-1)

(и )k,

k=0

k=0

и = и, UV = VU, (Ли + ßV) = XU + ßV, U,V eŒ, Х,ц е R.

(2.7)

(2.8)

Суперпозиция четностного сопряжения и реверса называется клиффордовым сопряжением. Мы не будем использовать для клиффордова сопряжения отдельное обозначение и будем использовать комбинацию двух знаков ^ и ~ в любом порядке. Данная операция также является антиинволюцией, имеем

U = £(U)k = £(-1) 2

fc(fc+i)

(U )k,

k=0

k=0

U = U, UV = VU, (XU + ßV) = XU7 + ßV, U, V е a, X,ß е R.

(2.9)

(2.10)

Заметим, что четностное сопряжение однозначно определяет четное и нечетное подпространства алгебры Клиффорда:

Cl{]) = {U еС11 U = (-1)jU}, j = 0,1. (2.11)

Точно также четностное сопряжение и реверс однозначно определяют четыре подпространства кватернионных типов:

as = {u е а | u = (-i)su, и = (-i)^u}, s = о, i, 2,3.

(2.12)

Теорема 2.1. Алгебра Клиффорда С1 является Z2 х Z2-градуированной алгеброй по отношению к операциям взятия коммутатора [ и, У] := иУ-Уи и антикоммутатора {и, У} := иУ+Уи, а именно

а = о° ®аТ 0 а2 0 а3,

причем

[cik, ak] cci2, [dk, a2] çak, k = 0,1,2,3; [a°, aT] ç ci3, [dïï, a3] ç dT, [dT, ci3] ç d0,

(2.13)

и

{dk, ak }ça0, {ak, a0}çak, k = 0,1,2,3; {aT,a2} ç cf, {a2,ci3} ç aT, {a1, cf} ç a2.

(2.14)

Доказательство. Докажем [d0,Cl1 ] С d3. Пусть U G Cl0, V G Cl1. Пользуясь свойствами (2.6) и (2.10), получаем

[UV] = U7V> - yU = -uv + vu = -[u, v ],

[ и, у] = Уи - иу = уи -иу = -[и, у].

Пользуясь определением (2.12), получаем, что [ и, У] е С13.

Остальные утверждения доказываются аналогично. □

Все рассмотрения этого и предыдущего параграфов можно провести также в комплексифи-цированной алгебре Клиффорда С . Помимо операций четностного сопряжения, реверса

и клиффордова сопряжения будем рассматривать в С£рл^г операцию комплексного сопряжения

и := и 1иА^, и е с ®ар^г.

Легко проверить

и = и, иУ = ии, Ш+ТУ = Ай + ду, уи,у е С ®С£Р^Г, Х,т е С,

где черта над скалярами обозначает взятие обычного комплексного сопряжения.

Для удобства в дальнейшем будем обозначать подпространства кватернионных типов вещественной алгебры Клиффорда С1Р}Ч через

я := (Гаг, 5 = 0,1, 2,3.

р, ,

Условия (2.13) и (2.14) перепишутся в компактном виде

[к, к] С 2, [к, 2] С к, к = 0,1,2,3; (2.15)

[О, I] С 3, [0, 3] С I, [I, 3] С О,

{к, к} С 0, {к, 0} С к, к = 0,1,2,3; (2.16)

{1, 2} С 3, {1, 3} С 2, {2, 3} С I.

Для вещественной алгебры Клиффорда имеем

= 0 0 I 0 2 0 3. (2.17)

Комплексифицированную алгебру Клиффорда С 0 (%Р,д,г можно представить в виде прямой суммы 8 подпространств:

с 0 арЛ1г = 0 0 I 0 2 0 3 0 Ю 0 а 0 ¿2 0 Ш. (2.18)

Метод, основанный на разложениях (2.17) и (2.18) и формулах (2.15) и (2.16), мы называем методом кватернионной типизации элементов алгебры Клиффорда (подробнее, см. работы автора [188, 193, 194], мы не останавливаемся подробно на этих работах в настоящем изложении).

2.2 Вычисление обратных элементов, определителя и других коэффициентов характеристического многочлена в алгебрах Клиффорда

В этом параграфе мы решаем проблему вычисления обратных элементов в алгебрах Клиффорда произвольной размерности. Представлены безбазисные формулы разных типов (явные и рекурсивные) для определителя, других коэффициентов характеристического многочлена, присоединенного элемента и обратных элементов в вещественных алгебрах Клиффорда (или, геометрических алгебрах) произвольной размерности. В формулах используются только операции умножения, сложения и операции сопряжения и не используются соответствующие матричные представления. Мы используем вычислительные методы теории матриц (метод Леверрье - Фаддеева, основанный на теореме Гамильтона - Кэли; метод вычисления коэффициентов характеристического многочлена с помощью полиномов Белла). С помощью безбазисных формул для обратных элементов можно получить безбазисные формулы для решений линейных алгебраических уравнений, которые широко применяются в компьютерных науках, обработке сигналов и изображений, инженерии, физике, теории управления и др. Результаты этой работы используются в символьных вычислениях.

Проблема вычисления определителя и обратных элементов в алгебрах Клиффорда (или геометрических алгебрах, [128]) СИ Рл, р+д = п важна с теоретической и практической точек зрения. Явные (символьные, безбазисные) формулы для обратных элементов дают явные формулы для решения линейных алгебраических уравнений АХ В = С для известных А, В, С е и неизвестного X е . Результаты этой работы дают безбазисные формулы для решения уравнения Сильвестра АХ — ХВ = С в случае произвольной размерности п = р + д (см. [4, 23]). Заметим, что уравнение Сильвестра и его частный случай, уравнения Ляпунова (с В = — А^), широко используются в различных приложениях - обработке изображений, теории управления, теории устойчивости, обработке сигналов, математическом моделировании и др.

За последние годы было получено несколько результатов, касающихся проблемы вычисления определителя и обратных элементов в алгебрах Клиффорда. Безбазисные формулы для обратных элементов в алгебрах Клиффорда для случаев п < 5 получены в [129, 76, 198, 109], используя разные методы. Для случая п = 6 явная формула представлена впервые в [48]. В [110] представлен метод получения алгебраического выражения для обратного элемента в случае произвольного нечетного п, если известно соответствующее выражение для случая предыдущего четного п — 1. В настоящей работе мы обобщаем эти результаты на случай произвольного п, используя другие методы. Представлены безбазисные формулы разных типов (явные и рекурсивные) для определителя, других коэффициентов характеристического многочлена, присоединенного элемента и обратных элементов в случае произвольного п с использованием только операций умножения, сложения и операции сопряжения, и без использования соответствующих матричных представлений. Результаты могут применяться в символьных вычисле-

ниях [42, 161, 96].

2.2.1 Операции сопряжения специального типа в алгебрах Клиффорда и их свойства

Рассмотрим вещественную алгебру Клиффорда С1Рл, р+д = п. Элементы ранга 0 отождествляем со скалярами = К, е = 1.

Будем обозначать проекцию элемента и Е С1РЛ на подпространство С1р(} через (и)к или иногда просто ик для упрощения обозначений. Операции проецирования линейны:

( и + V)к = (и)к + (V)к, (\и)к = Х(и)к, Л Е К, и,У Е С1р,д. (2.19)

Обозначим проекцию элемента и Е на центр алгебры Клиффорда

Сеп(0>м) = { ^' ^П Че™°' (2.20)

ар, п 0 Сх" , если п нечетно,

Р, Р,

через ( и)Сеп. Если п четно, то (и)Сеп = (и)о. Если п нечетно, то (и)Сеп = (и)о + (и)п. Лемма 2.9. Имеем следующие свойства

( UV)0 = ^и)0, для произвольного п; (2.21)

( UV)п = (уи)п, для нечетного п. (2.22)

Как следствие, получаем

( UVW)о = (VWU)о = (WUV)о, (Т-1ит)о = (и)о, для произвольного п; (2.23) ( UVW)п = (VWU)п = (WUV)п, (Т-1иТ)п = (и)п, для нечетного п, (2.24)

для произвольных и^^ Е С1РЛ иТ Е С1* , где через обозначена группа всех обратимых элементов алгебры Клиффорда С1РЛ.

Доказательство. Можно найти доказательство фактов о том, что ([ и^])о = 0 в случае произвольного п и ([и, V])n = 0 в случае нечетного п для коммутатора [и, V] := UV — VU двух произвольных элементов, например, в [189]. Инвариантность относительно циклической перестановки элементов получаем как следствие предыдущих фактов. Инвариантность относительно преобразования подобия есть следствие инвариантности относительно циклической перестановки. □

Операция ( и)о также называется операцией взятия скалярной части элемента и Е . Эта операция связана с взятием следа от матрицы (см. параграф 2.2.2). Заметим, что операция ( )о имеет такие же свойства (2.19), (2.21), (2.23) как операция взятия следа.

Назовем любую операцию вида

п п

и ^ ^Лк(и)к, Хк = ±1, и = ^(и)к, (и)к еС1крл, (2.25)

к=0 к=0

операцией сопряжения в алгебрах Клиффорда. Операции сопряжения коммутируют друг с другом по определению. Операция сопряжения является инволюцией - квадрат этой операции совпадает с тождественной операцией id (которая является также операцией сопряжения со всеми Лк, равными 1). В теории алгебр Клиффорда есть три классические операции сопряжения: четностное сопряжение ^ , реверс ~ и суперпозиция этих двух операций ~ , которая называется клиффордовым сопряжением:

п п п

и = £(-1)к(и)к, и = £(-1)^(и)к, и = £(-1)^ (и)к, (2.26)

к=0 к=0 к=0

иу = ил>, иу = уи, иу = уи, уи,у еарл. (2.27)

Рассмотрим следующие 4 подпространства кватернионных типов г = 0,1, 2,3 в алгебре С1Рл, которые определяются с помощью четностного сопряжения и реверса:

^ = 0 С1км = {и\и = (-1Ги, и = (-1)^и}, г = о, 1,2,3.

к=г шс>(14

Мы обозначаем проекцию произвольного элемента и € С1Рл на подпространство кватернионного типа к через (и)к, к = 0,1, 2,3. Используя следующие 4 линейных уравнения

и = (и)о + (и)т + (и)2 + (и)з, и = (и)о - (и)т + (и)2 - (и)з, (2.28)

и = (и)о + (и)т - (и)2 - (и)з, и/ = (и)о - (и)т - (и)2 + (и)з,

получаем

( и )о = 4( и + и + и + и), (и )т =1(и - и + и - г/), ( и >2 = 1( и + и - и - и/), (и )з = 1(и - и - и + и).

Таким образом, операции проецирования на подпространства кватернионных типов к = 0,1, 2,3 могут быть определены с помощью операций id, ~ , ^, и ~ .В алгебрах Клиффорда С1Р; д с п = р + д < 3 мы можем аналогично реализовать операции проецирования на подпространства фиксированных рангов ( и)к = ( и)к, к = 0,1, 2,3, используя только операции (2.26), т.к. понятия рангов и кватернионных типов совпадают в этих случаях: = С1рЯ, к = 0,1, 2,3.13 Если мы хотим реализовать операции проецирования на подпространства фиксированных рангов

13Как следствие, выражения для определителя, других коэффициентов характеристического многочлена и обратных элементов могут быть реализованы только с помощью трех классических операций сопряжения (2.26) в случаях п < 3 (см. параграфы 2.2.2 и 2.2.3).

к = 0,1,...,п в случаях п > 4, нам потребуется больше операций сопряжения. Например, в случае п = 4 имеем С^ц = С1рЧ 0С^Рд, (и)о = (и)0 + (и)4, и мы не можем отдельно реализовать операции проецирования ( и)0 и ( и)4, используя только операции (2.26).

Рассмотрим следующие14 операции сопряжения специального типа Д1, Д2, ..., Дт, ш := [1^2п] + 1:

иД = Е(—(и )к = Е (и )к — Е (и )к, (2.29)

к=0 к=0,..., 2-?-1-1 шаа2-? к=2-?-1,..., 2-1 шаа2-?

где Сгк := ^(к-^, есть биномиальный коэффициент (для г > к имеем Сгк = 0 по определению) и [^2 п] есть целая часть числа log2 п. В частных случаях получаем

п п

гД1 —

иД1 = Е(—1^ (и)к 1)к(и)к = и, п > 1; (2.30)

к=о к=о

п п

иД2 = Е(—(и)к = Е(—1)^ (и)к = и, п > 2; (2.31)

к=о к=о

п

иД3 = Е(—(и)к = Е (и)к — Е (и)к, п > 4; (2.32)

к=0 к=0,1,2,3 шаа8 к=4,5,6,7 шаа8

п

иД4 = Е(—1^(и)к = Е (и)к — Е (и)к, п > 8. (2.33)

к=0 к=0,1,...,7 шаа16 к=8,9,...,15 шаа16

Мы видим, что первые две операции совпадают с двумя классическими операциями - четност-ным сопряжением Д1 = ^ и реверсом Д2 = ~. Обозначим суперпозицию операций Дк и Д; через ДкД1. Определения операций (2.29) и их суперпозиций проиллюстрированы в Таблице 2.10 (мы ставим знак " +", если ( и)к ^ ( и)к при действии соответствующей операции, и ставим знак " —", если ( и)к ^ —( и)к при действии соответствующей операции для каждого ранга к = 0,1,... ,п). В случае п = 1 можем реализовать операции проецирования на подпространства фиксированных рангов 0 и 1, используя только тождественную операцию и четностное сопряжение (потому что матрица размера 2 х 2 в левом верхнем углу Таблицы 2.10 обратима; интерпретируем " +" как 1 и " —" как —1). В случаях п = 2,3 нам потребуется также операция ~ (см. на обратимую матрицу размера 4 х 4 в левом верхнем углу Таблицы 2.10; эта матрица соответствует системе уравнений (2.28)). В случаях п = 4, 5,6, 7 мы можем сделать это, используя первые три операции ^, ~ , Д3 и их суперпозиции (см. на обратимую матрицу размера 8 х 8 в левом верхнем углу Таблицы 2.10). В случаях п = 8,..., 15 нам потребуется также четвертая операция Д4 (см. на обратимую матрица размера 16 х 16, которая соответствует всей Таблице 2.10) и т.д. Как мы увидим далее, явные формулы для определителя, других коэффициентов характеристического многочлена и обратимых элементов могут быть написаны, используя только представленные здесь операции сопряжения. Мы используем далее для удобства обозначение Д:=Д3.

14г

Эквивалентность двух определений следует аз следующего факта: биномиальный коэффициент С^ является нечетным тогда и только тогда, когда нет единиц в двоичной записи числа I в тех разрядах, в которых есть число ноль в двоичной записи числа к.

Таблица 2.10: Тождественная операция id и операция Д1 для п < 1; операции id, Д1, Д2, Д1Д2 для п < 3; операции Дт, Д2, Д3 и их суперпозиции для п < 7; операции Д1, Д2, Д3, Д4 и их суперпозиции для п < 15. Таблица может быть продолжена.

ранг к 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

id + + + + + + + + + + + + + + + +

Дт = " + - + - + - + - + - + - + - + -

Д2 = ~ + + - - + + - - + + - - + + - -

Дт Д2 + - - + + - - + + - - + + - - +

Дз + + + + - - - - + + + + - - - -

Д1 Дз + - + - - + - + + - + - - + - +

Д2 Дз + + - - - - + + + + - - - - + +

Д1Д2Дз + - - + - + + - + - - + - + + -

Д4 + + + + + + + +

Д1Д4 + - + - + - + - - + - + - + - +

Д2 Д4 + + - - + + - - - - + + - - + +

Д1Д2Д4 + - - + + - - + - + + - - + + -

Дз Д4 + + + + + + + +

Д1 Дз Д4 + - + - - + - + - + - + + - + -

Д2ДзД4 + + - - - - + + - - + + + + - -

Д1Д2ДзД4 + - - + - + + - - + + - + - - +

В следующей теореме мы предъявляем явные формулы для операции ( )0, используя только операции Дт, ..., Дт и их суперпозиции. Различные явные формулы для проекции на подпространство ранга 0 соответствуют различным явным формулам для следа, определителя и других коэффициентов характеристического многочлена элемента алгебры Клиффорда (см. параграф 2.2.3).

Теорема 2.2. Можно реализовать операцию ( )о, используя операции Дт, Д2, ... Дт, в следующем виде:

( и )о = ± ( и + иД1 + иД2 + • • • + и Д1-Дт), т = [^2п] + 1, (2.34)

2

в частности,

( и )о = 1( и + &), п = 1; (2.35)

( и )о = 1( и + и + и + [7), п = 2,3; (2.36)

( и)о = и + и7 + и7 + и7 + иД + и7Д + иД + и7Д), п = 4, 5,6, 7. (2.37)

8

В некоторых случаях операция ( )о может быть реализована в следующей более простой форме:

(и )о = 1(и + и ) = + и), п = 2; (2.38)

1 1 ^ _ ^ △ (и)о = -(и + и + ил + ил) = ^(и + и + + и ), П = 4, 5,6; (2.39)

1 ^ ~ ^л ^ (^)о = -(и + и + ил + и ) = -(^ + и + ил + ил), п = 4, 5; (2.40)

1 ~ ^ лл 1 ^ л ( и)о = и + и + ил + и ) = -(^ + ^ + ^л + ^л), и = 4. (2.41)

Эти же выражения совпадают с проекцией на центр Сеп(С£рл) в случаях:

(и) Сеп = ( ^ )о + ( ^ )п = 1( и + й), п = 3; (2.42)

( и) Сеп = -( ^ + ^ + &л + ^л), п = 7; (2.43)

1 ~ ^ ^л ( и)Сеп = -( и + и + ил + С7 ), п = 5. (2.44)

Доказательство. Получаем формулу (2.34), используя следующий факт. Мы имеем одинаковое число плюсов и минусов в каждом столбце, кроме первого столбца, в каждой из рассматриваемых квадратных матриц (размера 2, 4, 8, 16, ..., 2^п]+1) в левом верхнем угле Таблицы . Это может быть доказано по индукции: это верно для первой матрицы размера 2; каждая из рассматриваемых матриц является блочно-диагональной матрицей вида

(А Л )■

где А есть предыдущая квадратная матрица (по определению операций л1, ..., лт). Все остальные формулы для ( )о и ( )Сеп получаем, используя определения операций л^, ] = 1,... ,т в частных случаях п < 7. □

Заметим, что для фиксированного п существует 2П+1 различных операций сопряжения (2.25). Рангово-отрицательные операции

Щ := и - 2(и)к, к = 0,1,... ,п,

которые используются в [76, 48, 109, 110], являются частными случаями операций сопряжения (2.25). Можно рассмотреть п +1 рангово-отрицательных операций и реализовать остальные операции сопряжения как суперпозиции этих операций. Мы предпочитаем рассматривать т = [1о§2 п\ + 1 (что меньше, чем п + 1) операций сопряжения специального типа л1, ..., лт и реализовывать другие операции сопряжения как линейные комбинации суперпозиций этих

операций (например, мы имеем различные реализации операции сопряжения (2.47) с помощью операций А1,... , Ат, см. Лемму 2.10)15.

Заметим, что для операций А^, ] = 3,4,... (мы называем их дополнительными операциями сопряжения) в общем случае имеем (иУ)А:> = иАУА и (иУ)А:> = УАиА. Далее представим некоторые нетривиальные свойства операции А:=А3. Мы используем эти свойства в параграфах 2.2.2 и 2.2.3.

Теорема 2.3. Имеем

и (И и )А и (ии )А и (и 0 )А и (О и )А

(и и )Аи, (и и )Аи, (О и )Аи, (и 0 )Аи,

и (и и )А и (0 и )А О (и и )А и (ии )А

(ии )А и, (и 0 )Аи, (ии )А 0, (и и )Аи,

п< 7;

п < 5.

(2.45)

(2.46)

Доказательство. В случаях п < 6, используя (2.39), (2.34) и подставляя У = и, получаем

1

1

4(иу + иУ + (иУ)А + (иУ)А) = (иУ>0 = (Уи)0 = 4(уи + уи + (Уи)А + (Уи)А) е С11ч, ии + ии + (и и )А + (и и )А = и и + и и + (и и )А + (и и )А е СРр(..

Выражения в левой части и в правой части являются скалярами. Умножим левую часть на и справа и правую часть на и слева и получим (и и )А и = и (и и )А. Возьмем четностное сопряжение, реверс или суперпозицию этих двух операций и получим другие формулы (2.45). Получаем то же самое в случае п = 7, используя (2.43) и свойство (иУ)Сеп = (Уи)сеп.

В случаях п < 4, используя (2.41), (2.34) и подставляя У = и, получаем

^(иУ + цу + (цу)А + (цу)А) = (иУ>0 = (Уи>0 = 4(Уи + уи + уи)А + (уи)А) е а0д, ии + ии + (и и )А + (и и )А = и и + и и + (и и )А + (и и )А е С1°р Л.

Умножим левую часть на и справа и левую часть на и слева и получим (и и )А и = и (и и )А. Возьмем четностное сопряжение, реверс или суперпозицию этих двух операций и получим другие формулы (2.46). Получаем то же самое в случае п = 5, используя (2.44) и свойство

(иУ >Сеп = (Уи )сеп. □

Рассмотрим еще одну операцию сопряжения, которая будет полезна для целей этой работы:

и := (и>0 - ь, и еа

Р > Я-

(2.47)

к=1

15Может быть доказано, что все операции (и)к, к = 1,.. ., п (аналогично случаю с операцией (и)о, см. Теорему 2.2) могут быть реализованы как линейные комбинации операций А1, ..., ат, а± А2, ..., А1 ••• ат. Как следствие получаем, что все операции сопряжения (2.25) могут быть реализованы как линейные комбинации операций А1, ..., ат, А1А2, ..., А1 • • • ат. Мы не используем эти факт в настоящей работе.

Мы обозначаем эту операцию " " ", т.к. она является аналогом операции комплексного сопряжения в случае С1о,1 = С (и совпадает с четностным сопряжением и = и) и является аналогом операции кватернионного сопряжения в случае С1о,2 = Н (и совпадает с клиффордовым сопряжением и = и )16.

Лемма 2.10. Можем реализовать операцию " , используя операции л1, л2, ... лт, в следующем виде:

и = ((1 - 2т-1)и + ил1 + ил + • • • + ил1 ...л™), т = [1оё2 п] + 1,

в частности,

и = и,

п = 1:

1

и = -(и + и + и -и), 2

п = 2, 3;

(2.48)

(2.49)

п = 4, 5,6, 7. (2.50)

В некоторых случаях операция " может быть реализована в следующей более простой форме:

и = 1(и + и + и + ил + ил + ил + ил - зи),

и

и

и и

и, п = 2;

1( ил + ил + [7 -и), 2

1 ^ ~ лл

-(и + ил + и -и),

2

1 ^ - лл

-(ил + и + и -и),

2

п = 4, 5, 6; п = 4, 5; п = 4.

(2.51)

(2.52)

(2.53)

(2.54)

Доказательство. Мы используем и = 2(^)о - и и различные реализации операции ( )о из Теоремы 2.2. Например, используя (2.34), получаем

и =

( и)о - и)к = 2(и)о - и = — (^ + ил1 + ил + • • • + ил1 ...л™) - и

к=1

2Т

_((1 - 2т-1 + ил 1 + ил2 + • • • + ил1...л™)

для 2те-1 - 1 < п < 2те - 1. Остальные формулы получаем аналогично.

Операция " имеет следующее свойство в случае произвольного п. Лемма 2.11. Имеем

□

иуи = иуи, Уи,У еС1Ра.

В частном случае, ии = ии, Уи Е С£р„.

(2.55)

р, т

16Заметим, что некоторые авторы [128] обозначают через " " " операцию клиффордова сопряжения. Мы обозначаем операцию клиффордова сопряжения двумя символами " ^ " в данной работе, чтобы не было путаницы с обозначениями.

1

Доказательство. Имеем

^ + ^ = {иу )о = {Уи )о = ™ + ™

2 х /0 х /0 2 Выражения в левой части и правой части равенства являются скалярами. Умножим левую

часть на 2 и справа и правую часть на 2 и слева и получим иУи = иУи. Подставляя V = е, получаем ии = ии. □

2.2.2 Функционалы специального вида и обратные элементы в алгебрах Клиффорда С1Рд с п = р + д < 6

Будем называть произвольную функцию N (и) : С1РЛ ^ С^ = К со значениями в подпространстве ранга 0 функционалом17 в алгебре Клиффорда (заметим, что он может быть нелинейным). В большей степени мы заинтересованы в изучении функционалов специального вида N (и) = иГ (и), где нетривиальная функция Р (и) : С1РЛ ^ С1РЛ содержит только операции сложения умножения и операции сопряжения (2.25). Такие функционалы дают нам явные формулы для обратных элементов в алгебрах Клиффорда и-1 = , где мы отождествляем элементы ранга 0 со скалярами С10 = К, е = 1. Заметим, что N (и) = иР (и) = Р (и )и, т.к. в алгебрах Клиффорда правый обратный элемент всегда совпадает с левым обратным элементом. В параграфе 2.2.3 мы показываем, что все рассматриваемые в данном параграфе функционалы N (и) совпадают с определителем Бе^ и) от элемента алгебры Клиффорда и Е С1РЛ (обобщение понятия определителя матрицы) и соответствующие функции Р(и) совпадают с присоединенным элементом Аф(и).

Ниже мы приводим явные выражения для функционалов специального вида в случаях п < 6. Формулы для случаев п = 1, 2,3 известны. Представленные новые формулы для случаев п = 4, 5,6 используют стандартные операции сопряжения ^, ~ и одну дополнительную операцию сопряжения Д (они не содержат рангово-отрицательных операций, сравните с известными формулами для случаев п = 4, 5,6 в работах [76, 129, 198, 109, 48]). Мы представляем аналитическое доказательство всех формул, используя свойства дополнительной операции сопряжения Д (см. предыдущий параграф) и метод кватернионной типизации. Мы не используем внешнее умножение, левые и правые свертки (см. [76, 109, 129]) в наших рассмотрениях.

Одним из ключевых моментов метода кватернионной типизации (см. работы [188, 193, 194]) является тот факт, что алгебра Клиффорда есть Z2 х Z2-градуированная алгебра по отношению к 4 пространствам (2.28) и операциям взятия коммутатора [ и, V] = UV — VU и антикоммутатора {и^} = UV + VU:

[С1р^, С£р (]] с (2р (], [С^д, (%р,д] С С£р (], к = 0,1,2,3,

[С1р,ч, С1р ч] с &р,д, , ] с , , ] с ^Р,Ч' (2.5б)

17В литературе [76, 48, 109, 129] такие выражения или частные случаи таких выражений также называются нормирующими функциями, нормами в алгебрах Клиффорда и др.

{(Жpq, Clp q} с dp, q, , &p,q} С G!.p q, к — O, 1, 2,

{dp,q, dp q} с dp q, {dp q, q} с q, {dp q, dp,q} с fflp,q.

Как частный случай, получаем U2 — 1{U,U} G G¡^p для произвольного элемента U G , к — 0,1, 2,3. Также мы используем некоторые другие простые факты о рангах различных выражений в алгебрах Клиффорда, см. [189]. Например, произведение двух элементов рангов к и I, к > I, есть сумма элементов рангов к — I, к — I +2, к — I + 4, ..., к + I.

Лемма 2.12. Для произвольного элемента алгебры Клиффорда U G <ЛРЛ имеем

ии ealq @а\Л, и и еС$Л @а\Л, UU eapq , и и еСРРЛ .

Доказательство. Используя (2.27), получаем

ии — и и — ии, и и — и и — и и, ии — и и — ии, и и — и и — и и.

Таким образом, рассматриваемые выражения не меняются под действием реверса или клиффор-дова сопряжения, а значит, принадлежат соответствующим подпространствам кватернионных типов по определению (2.28). □

Заметим, что в случае произвольного п существуют функционалы N : ^ C¿Qp)q специального вида N(U) — UF(U), где нетривиальная функция F(U) содержит только операции умножения, сложения и т — [log2 п]+1 операций сопряжения Ai, Д2, ..., Ат. В Теореме 2.4 мы представляем явный вид таких функционалов для случаев п < 5 (и операция сложения не нужна в этих случаях). В Лемме 2.13 мы представляем явный вид выражения N(U) для случаях п — 6. Для случаев п > 7 существование таких функционалов (которые к тому же равняются Det(U)) следует из результатов параграфа 2.2.3. Метод построения таких функционалов (и явные формулы) в случае произвольного п также представлен в параграфе 2.2.3.

Будем использовать следующее обозначение для выражений Н :— UU и J :— UU. Мы опускаем скобки Uk :— {U)k G ^pq для упрощения обозначений для проекционных операторов на подпространства фиксированных рангов в данном параграфе. Например, {UU)p обозначается через Hp.

В следующей теореме мы используем операцию Д (см. детали в параграфе 2.2.1)

UД :— UДз — Up + Ux + U2 + Up — U4 — U5 — U6 — U7 + U8 + •••

Теорема 2.4. В случаях п < 5 существуют следующие функционалы N : <ЛРЛ ^ :

N (U) :— UU — U U, п — 1; N (U) :— UU — U U — U U — U U, п — 2;

N (U) :— UU U U — UU U U — UU U U — UU U U — U U UU — U U U U — U UU U

= ииии = ииии = ииии = ииии = ииии = ииии = ииии

= иоти = [7[7и?и, п = 3;

N (и) := ии фи )Д = ии фи )Д = и (гш )Ди = и фи )Ди = (ш/)Дии = ( и/и )Дии = и/и (ии )Д = и (ии )Ди = (ии )ДШ7 = с?и (ии )Д

= ( ии )Дии = и {ии )Ди = и (111} )Ди = и фи)Ди = (ии )Ди7и = ( ии )Ди7и = ии (111} )Д = ии (111} )Д = и фи )Ди = (и7и )Ди7и7

= ии фи )Д = и фи )Ди = ([7и )Д[Д/ = ^и (и7и )Д, п = 4;

N (и) := ии фи )Д (ии (и?и7 )Д)Д = ииии (ииии )Д,18 п = 5.

Как следствие, если N (и) = 0, то существует и-1 со следующим явным видом

и-1=, (2.57)

и, если п = 1,

и, если п = 2,

Р(и) := 4 и7и?[7 = иии = иШ = иии, если п = 3, (2.58)

и фи )Д = и (ид7 )Д = (с7и )Ди7 = (и7и7 )Ди7, если п = 4,

[7 (и/и/ )Д(ии фи )Д )Д = иии (ииии )Д,19 если п = 5.

Доказательство. В случае п = 1 имеем ии = ии Е по Лемме . Имеем

ии = ии, т.к. левый обратный элемент совпадает с правым обратным элементом. В случае п = 2 имеем аналогично ии Е Сц, а

по Лемме . Берем четностное

сопряжение и получаем ии = ии.

В случае п = 3 выражение ии инвариантно относительно взятия клиффордова сопряжения

и и = 1111 (используем свойства (2.27)), значит лежит в С10,д ф С^рч = С1°рд ф (Жрч = Сеп(С1м),

таким образом ииии = ииии. Используя (2.27), заключаем, что это выражение инвариантно относительно реверса и клиффордова сопряжения

( ииии) ~ = ииии, (ииии) ~ = ииии,

18И более 400 других формул, полученных из представленных здесь двух формул: мы можем брать реверс, четностное сопряжение или клиффордово сопряжение скаляра N (и); можем делать циклическую перестановку множителей в полученных произведения, т.к. левый обратный элемент совпадает с правым обратным элементом; можем пользоваться свойствами операции Д (2.45) и (2.46); можем использовать N (и) = N(II) = N (II), что доказано в параграфе 2.2.3. Мы не представляем здесь все эти формулы из-за их большого количества.

19И другие формулы для Р(и) в случае п = 5 из-за большого количества разных эквивалентных формул для N (и), см. выше.

таким образом оно лежит в ар по (2.28), что совпадает с .20 Получаем все остальные

формулы, используя и и = и б е д ф а^ д = Сеи{ар , д) и иб = б б = б б = б и е Сеи{ар , д). В случае п = 4, используя Лемму 2.12 и (2.56), получаем

ии (б и )л = НН л = (Но + + Нр )(Н0 - - н4)

= (Но)2 - (Н\)2 - (Нр)2 - [Но, Нх + Н4] - [Н1 ,Нр} = (Но)2 - (Н\)2 - (Н4)2 е а°р,ч,

где {Н\,НА} = 0. т.к. е12з...п антикоммутирует с нечетными элементами в случае четного п. Получаем вторую формулу, используя

ии (б и )л = 33л = (Зо + Зз + Зр )(3о - -Л - Зр)

= (ЗоУ - (Зз)2 - (За)2 - [Зо, З3 + За] - {Зз, За} = (Зо)2 - (З3)2 - (За)2 е Срм,

где (З3)2 е а0р , т.к. З3 = е1233АWl для некоторого элемента Wl е Ор д. Получаем остальные формулы, взяв реверс, четностное сопряжение или клиффордово сопряжение скаляра N (и), делая циклическую перестановку множителей в полученных произведениях (можем делать это, т.к. левый обратный элемент совпадает с правым обратным элементом) и используя свойства (2.45) и (2.46).

В случае п = 5 имеем

У := ий(би)л = ННл = (Но + Нх + На + Н5)(Щ - Нх - На + Н5)

= (Но)2 - (Н1)2 - (На)2 + (Н5)2 - [Но, Н\ + На] + {Но, Н5} - {Н1,На} + [Нх + На, Н5] = (Но)2 - (Н1)2 - (На)2 + (ЩУ + 2НоНъ - {Н1,На} е д ф О.^д,

где {Н\, НА} е (Жр , т.к. он лежит в (Лр по (2.56) и ранг может принимать только значения 3 и 5. В итоге

= (¥о + У5)(Уо - у5) = (Уо)2 - (У5)2 - [УЪ, У5] = (Го)2 - (У5)2 еарл. Получаем вторую формулу, используя

г := ии б б = 33 = (Зо + Зз + За )(3о - З3 + За )

= (Зо)2 - (Зз)2 + (За)2 - [Зо, Зз] + {Зо, За} + [Зз, За] = (Зо)2 - (Зз)2 + (За)2 + 23оЗа + [Зз, За] е ар^ ф д ф ар}Ч,

т.к. (Зз)2 = 2{Зз, Зз} е д = ч ф ар^9 и [Зз, За] е ар, д по (2.56). В итоге

= (го + г1 + ^)(го - ^ - )

20Дадим альтернативное доказательство: ииии = НН = (Н0 + Нх)(Н0 - Н{) = (Н0)2 - [Н0,Н\\ - (Н\)2 = (Но)2 - ( Нх)2 е С1рд• Еще одно альтернативное доказательство: ииии = 77 = (^ + 7з- 73) = (30)2 -[ 7о,7з] - (7з)2 = (7о)2 - (7з)2 еС£°ря.

= (Zo)2 - (Я )2 - (^4)2 - [ г0, Я + ] - {Я, ^4} = (Я)2 - (Я )2 - (Я)2 ЕС£0М, где {^4} = {[^3, 34], - ((Зз)2>4} = 2Jo{[Зз, 34], 34} - {[Зз, З4], ((Зз)2>4} = 0,

т.к. {[ Зз, 34], З4} = [Зз, З42] = 0, З42 Е С11ч, и

{[ Зз, З4], ((З3)2>4} = ({[Зз, З4], ((З3)2>4}>5 = -2<З4[Зз, ((Зз)2>4]>5 = -2<З4[Зз, (Зз)2 - ((Зз)2>о]>5 = 0,

где мы используем ( иУ>п = (Уи>п для нечетного п (см. Лемму 2.9). Получаем остальные формулы, взяв реверс, четностное сопряжение или клиффордово сопряжение скаляра N (и), делая циклическую перестановку множителей в полученных произведениях и используя свойства (2.45) и (2.46). □

В работе [48] представлено 92 формулы (20 формул в виде дуплетов и 72 формулы в виде триплетов, см. Таблицы 4 и 5 в [48]) для определителя в случае п = 6. Они были получены с помощью компьютерных вычислений. Представим аналитическое доказательство того факта, что все эти формулы совпадают с выражением (2.59), где мы используем только три операции сопряжения ^, ~ , Д, или с выражением (2.61), где мы используем две операции ~ и " .

Лемма 2.13. В случае п = 6 существует следующий функционал N : С1РЛ ^ :

N (и ) = 1(А + 2В),

где

А = нН (НН)д, В = Н (НД(НДНД )Д )Д = Н ((НДНД)ДНД)Д, Н = ии.

Подставляя А, В и Н, получаем

N (и) = \uUUU фиии )Д + ?ии ((и/и )Д((и7и )д (ии )Д )Д )Д, (2.59)

33

Если N (и) = 0, то существует

и-1 = —и) (1и^и фиии )Д + 2и (фи )Д ((ии )Д(ии )Д )Д )Д). (2.60)

Доказательство. Используем формулу из [48], полученную с помощью компьютерных вычислений:

12

^ННЬ5 (Н15Н)4 + 3Н(Н4 5 (Н4;5Н1;4)4)1;4 Е , Н = [1!,

где мы обозначаем рангово-отрицательные операции через21 ик := и - 2(и)к и := и -2(и>к - 2(и>1. По Лемме 2.12 получаем Н = Н Е ф аТрА = С10м ф ф ф . Таким образом

Н45 = НД, Н14 = НД, Н15 = Н.

21В данной работе мы обозначаем рангово-отрицательные операции через к (не через к как в работе [48]), чтобы не было путаницы с обозначением кватернионных типов.

Используя (2.27) и (2.28), получаем

л

(НН) ~ = НН = НН, (Нлнл) ~ = нлн = нлнл, нн, нл нл е ар, я ф ар , я = ар, я ф С£р, я ф ар, я,

(НН = (НН )л, (Нл Нл)а = (Нл Нл)л.

Используя Лемму 2.12, свойства (2.27), (2.45) и (2.28), получаем

(Н(НН)л) ~ = (НН)лН = Н(НН)л, ((Нл(НлНл)л)) ~ = (НлНл)лНл = Нл(НлНл)л, н(НН)л, нл(НлНл)л е сёрл ф ар}4 = а°р}4 ф а_м ф аАм ф арл, (н (нн )л)15 = ((н (нн )л) ~, (нл (нл нл)л)1Л = ((Нл(НлНл )л))

В итоге получаем (2.59). □

Лемма 2.14. В случае п = 6 существует следующий функционал N : ар„ ^ а(ра:

УЧ

N (и ) = 1(С + 2Б),

где

с = нн (нн), в = н (н(нн)) = н ((нн)н), н = ии.

Подставляя С, Б и Н, получаем

N (и) = 1 ии ии ии ии + 2 ии ((ии )(ии ии)). (2.61)

Если N (и) = 0, то существует

1 1 ~ ~—~—— 2 ~ ~ ———— ~ и-1 = Щ) ^ и ии ии ии + 3 и ((ии )(ии ии))). (2.62)

Доказательство. Используем другую формулу из [48], которая получена с помощью компьютерных вычислений:

12 о ~

3 нн (нн + з н (н±р5 (Нхр^н1руъ)\р5 )1,р,5 е а° ч, н := ии.

Т.к. н е 9 ф а19 = ар, 9 ф ар, 9 ф ар, 9 ф ар, 9, то н_Аб = н. Т.к.

Н = Н, НН = НН, ЙН = н н,

то

нн, йй е арч ф ар,д = ар ч ф ар ч ф ар ч ф ар

(Н2)1р5 = Н2, (НН)1_А5 = ~НН.

Используя Лемму 2.11, получаем

(Н(НН)) ~ — (НН)Н — Н(НН),

н{ нн ) е арч 0 ар (] — арч 0 ар ч 0 ар ч 0

(Н(НН))М5 — (Н(НН)).

Другие формулы из [48] (с дуплетами и триплетами) совпадают с (2.59) или (2.61) в силу свойств четностного сопряжения (2.27), свойств операции Д (2.45) и свойств операции " (см. Лемму 2.11). Например,

3Н (Н^ННа^б )4 + 3Н (( Н4Н4) 4 Нр,4,5 )р,4,5 + 3НН (НН

1 ^ ,7 1 „Т'^^ТТ^Г 1 „ 1 „ 2

— 3Н(Н(НН)) + 3Н((НН) ~Н) + 3НН(НН) — 3НН(НН) + 3Н(Н(НН)).

Из компьютерных вычислений [48] следует, что выражения (2.59) и (2.61) также совпадают. В наших терминах это означает, что если мы представим операцию " в (2.61) как линейную комбинацию других операций сопряжения, используя (2.52), то выражение (2.61) должно совпасть с выражением (2.59). Однако оказалось сложным дать аналитическое доказательство этого факта из-за громоздкости вычислений и нетривиальных свойств операций Д и " .

Заметим, что в случаях п < 5 формулы из Теоремы 2.4 могут быть переписаны в следующем виде, используя операцию " вместо операции Д:

N (и) — п — 1, 2;

N (и) — Л —НН, п — 3,4; (2.63)

N (и) — .17.1?, п — 5.

В Теореме 2.4 мы имеем 16 различных выражений для N (и) в случае п — 3. Все они являются произведениями 4 элементов и, и, и, и в разном порядке. Мы имеем 4! — 24 различных перестановок из 4 элементов. Может быть доказано, что 8 оставшихся выражений

ииии, ииии, ииии, ииии, ииии, ииии, ииии, ииии

не являются элементами ранга 0. Однако, их линейные комбинации есть элементы ранга 0 (см. следующую лемму).

Лемма 2.15. В случае п — 3 имеем

ииии + ииии — ииии + ииии — ииии + ииии — ииии + ииии е а°рч. (2.64)

Доказательство. Используя (2.27), можем проверить, что четностное сопряжение и реверс не меняют следующие два выражения

( ииии + ииии) ~ — ииии + ииии, (ииии + иит7) ~ — ииии + ииии7,

(и и ии + и и и и) ~ = и и ии + и и и и, (и и ии + и и и и) ~ = и и ии + и и и и,

Используя (2.28), заключаем, что ии V V + 0 ии V и V V VII + V V 0 V принадлежат ^ ц = 0°р , ц. Используя свойства (иУ)о = (Уи)о, (V + V)о = (V)о + (У)о, получаем

ии и и + и VII и = (ии и и + и VII и )о = (и и ии + и и и и )о = и и ии + и и и и.

Также можем проверить, что клиффордово сопряжение (суперпозиция четностного сопряжения и реверса) не меняет следующие два выражения

(ии и и + и ии и) ~= VII и и + и ии и, (и и и и + и и VII) ~= и и и и + и и VII.

Используя (2.28), заключаем, что VII V и + V VII V и и V V V + V и VII принадлежат центру О®^ ф ^рр,д = д ф Мзр,д = Сеп^р,д). Используя свойства (ИУ)сеп = (Уи)сеп, (V + У)сеп = (V)сеп + (У)сеп, получаем

VII и и + и ии и = (ии и и + и ии и )сеп = (и и ии + и и и и )сеп = и и ии + и и и и,

и и и и + и и VII = (и и V V + и V VII = (VI] и V + V VII и )сеп = ш7 и V + V VII и. В итоге все 4 выражения совпадают и лежат в (УЧр . □

Функционалы (2.64) не являются функционалами (специального) вида VF(V) (или Г(VУ), поэтому они не могут использоваться для вычисления обратных элементов, но могут быть полезны для других целей. Существуют также другие функционалы в ар,д, не являющиеся функционалами специального вида. Например, формулы для (V)о из Теоремы 2.2 являются такими функционалами. Они связаны со следом от элемента алгебры Клиффорда. В следующем параграфе мы рассматриваем другие функционалы, которые не являются функционалами вида VF(V) (или Г(V)и). Они будут соответствовать другим коэффициентам характеристического многочлена элемента алгебры Клиффорда.

2.2.3 След, определитель и другие коэффициенты характеристического многочлена в алгебрах Клиффорда произвольной размерности

Имеем следующие изоморфизмы между вещественными алгебрами Клиффорда и матричными алгебрами

Ма^2^, К), если р - д = 0, 2 шоа8,

ЫаЦ2^т, К) ф Ма1(2^, К), если р - д = 1 шоа8, Ма1(2, С), если р - д = 3,7 шоа8, (2.65)

п — 2

Ма^2 —, Н), если р - д = 4,6 шоа8,

^ МаЬ(2^^, Н) ф МаЬ(2^,Н), если р - д = 5 шоа8.

7 : (ЛрЛ ^ := <

Имеем точное представление 7 вещественной алгебры Клиффорда С1РА соответствующей (минимальной) размерности над К, К 0 К, С, Н или Н 0 Н в зависимости от р — д mod8.

Рассмотрим комплексифицированную алгебру Клиффорда и изоморфизмы матричным алгебрам

Р : С 0 арА ^ Мрл :=

= {