Нелинейные топологические модели элементарных частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Умнияти Юнита

• Умнияти Юнита
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Умнияти Юнита

Оглавление

Введение

1 Спинорная реализация киральной 52 модели

1.1 Описание лептонов как топологических солитонов в спинор-

ной модели Фаддеева

1.1.1 п—поле Фаддеева

1.1.2 Топологический заряд (индекс Хопфа)

1.1.3 Спинорная реализация киральных моделей

1.1.4 Нелинейная спинорная модель

1.1.5 Оценки энергии снизу

1.2 Эффективная 8-спинорная модель лептонов

1.2.1 Эффективная нелинейная модель 8-спинорного поля

1.2.2 Масса солитонов

1.3 Выводы

2 Структура струнного приближения в 8-спинорной модели (для лептонного случая)

2.1 Тороидальная структура

2.2 Группы симметрии

2.2.1 Дискретная группа

2.2.2 Теорема симметрии (Коулмена — Пале)

2.3 Спинорная связность

2.4 Выводы

3 Некоторые оценки наблюдаемых и исследование структуры

солитонной конфигурации с единичным индексом Хопфа

3.1 Действие на малых и больших расстояниях

3.1.1 Действие на малых расстояниях

3.1.2 Действие на больших расстояниях

3.2 Характеристики солитона

3.2.1 Масса

3.2.2 Спин

3.2.3 Магнитный момент

3.3 Киральная 8-спинорная модель с псевдовекторным взаимодействием

3.4 Выводы

Заключение

Приложение А. Касательный базис 7-матриц Дирака в сферических координатах

Приложение Б. Касательный базис 7-матриц Дирака в рима-новом пространстве

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные топологические модели элементарных частиц»

Введение

В современной теоретической физике большой интерес представляет изучение киральных моделей, для которых поле принимает значения в некоторых компактных многообразиях. Киральные модели представляют собой модели теории поля, в которых взаимодействие вводится не путём добавления к лагранжиану свободного поля лагранжиана взаимодействия, а чисто геометрическим путём. Именно, лагранжиан в таких моделях остаётся тем же, что и в случае свободного поля, но на само поле накладывается связь. При описании таких моделей применяются современные алгебраические и геометрические методы, позволяющие описывать частицы как топологические солитоны.

Солитон - это существенно нелинейное локализованное образование, сконцентрированный сгусток энергии [1]. Исторически солитоны впервые набдюдались и описаны в 1835 г. английским физиком и инженером Джоном Скоттом Расселом как волны на воде. Солитоны и мульти-солитоны устойчивы потому что они несут топологический заряд ТУ, который является целым числом [2]. Надо иметь в виду, что сохранение N не связано с теоремой Нетер, но с топологической структурой полевого многообразия. Солитон описывается его коллективными координатами, задающими положение его центра и ориентацию. Пространство коллективных координат называется пространством модулей. Если один солитон имеет к коллективных координат, то для N солитонов используются к N мерных пространств модулей. Это /сА^-мерное многообразие имеет метрическую структуру, которая позволяет вводить взаимодействие между солитонами. Динамика многих солитонов сложна, но интересна. Обычно происходит слияние

солитонов, когда они приближаются друг к другу, и это отличает их от точечного характера взаимодействия между частицами. Если строить адиабатическую динамику солитонов на пространстве модулей, то классическое движение в пространстве модулей осуществляется вдоль геодезической. Таким образом, сила взаимодействия между движущимися солитонами естественно возникает вследствие искривленности пространства модулей. Нас будут интересовать топологические солитоны.

Топологический солитон - солитон с нетривиальной топологической характеристикой (типа степени отображения, инварианта Хопфа и т.д.) - топологическим зарядом. Термин "топологический солитон "принято использовать как для обозначения топологических нетривиальных решений с конечными динамическими характеристиками в теории поля (кинков в одном измерении, двумерных вихрей в калибровочных теориях с полем Хиггса [3], монополей в трехмерном мирей [4,5], инстантонов в чистой калибровочной теории размерности четыре [6], скирмионов [7,8] и т.д.), так и для модельного описания устойчивых неоднородных состояний (локализованных структур) в конденсированных средах: вихрей, дислокаций, дисклинаций, доменных стенок, точечных дефектов и т. п.. Другими словами, топологические заряды (инварианты) - это величины, сохраняющиеся тождественно, т.е. независимо от уравнений движения, не меняющиеся при непрерывной деформации поля и принимающие целочисленные значения. Для вычисления топологических зарядов используется аппарат гомотопических групп, методы дифференциальной топологии. Топологический заряд может возникнуть либо за счёт нетривиальных граничных условий на бесконечности (вырожденный вакуум, т.е. по разным направлениям вакуум разный), либо за счет внутренней структуры поля (при тривиальном вакууме).

Существуют два различных типа топологических солитонов: киральные солитоны, характерные для физических полей, и Хигсовские солитоны, характерные для полей с нетривиальными и различными асимптотиками на бесконечности и вырожденным классическим вакуумом [9].

Имеется еще одна возможность — использовать нетривиальную тополо-

гию самого пространста - времени, но мы не будем ее рассматривать.

Известны модели, допускающие существование топологических солито-нов, наблюдаемых на практике. Например, это вихри в сверхпроводниках [10]. Скирмионы представляют собой топологические солитоны в модели Скирма, которые могут описать форму ядер. Суперсимметричные теории поля также допускают существование солитонов. Солитоны в теории суперструн известны как "браны". Кроме того, значительный интерес представляет теорема Деррика [11], которая запрещает существование солитонов в некоторых простых теориях поля, например, в чисто калибровочных теориях в 3-х измерениях.

Особый интерес представляет модель Фаддеева—Скирма [12]. Это самая простая (известная) трехмерная модель, в которой существуют топологические солитоны, и она выступает как предел некоторой более сложной реалистической модели [13]. В рамках модели Фаддеева—Скирма возможно объединение адронов в более сложные структуры, такие как ядра [14,15].

Киральные солитонные модели, предложенные Скирмом в 1961 г., дают возможность относительно простого описания барионных систем с различными свойствами, основанного на малом количестве исходных принципов. В рамках модели Скирма удается сравнительно простыми средствами удовлетворительно описать взаимодействие нуклонов, основные статические свойства барионов. Будучи относительно простой, эта модель в целом верно схватывает основные симметрийные и структурные свойства барионов. Согласно гипотезе Скирма, барион трактуется как киральный солитон, возникающий в результате коллективного возбуждения пионных полей, наделённый нетривиальным топологическим зарядом, интерпретируемым как барионное число. В рамках моделей с топологическим зарядом, в которых энергия оценивается снизу через топологический заряд, могут существовать абсолютно устойчивые солитонные решения, реализующие нижнюю грань функционала энергии.

В работе [16] было предложено упрощение модели Скирма, когда в качестве области определения рассматривалась сфера «Б13. В этом случае

в качестве точного решения выступало тождественное отображение «S3 в S3 [17-19].

В 1973 г. Фаддеев предположил, что в трехмерном пространстве сигма-модели на О(З), модифицированной добавочным членом типа Скирма, должны существовать замкнутые струноподобные топологические солито-ны, наделенные целочисленным индексом Хопфа. Модель Фаддеева обладает незначительным произволом, поскольку в соответствии с антисимметричным тензором на S"2, связанным с единичным вектором, можно построить лишь два независимых 0(3)/-инварианта. Для получения оценки энергии в модели Фаддеева снизу требуется достаточно рафинированная техника функциональных неравенств. В 1979 Вакуленко и Капитанский [20] получили нужную оценку для энергии в этой модели: Е > c|Q|a, где с - некоторая постоянная, a Q -заряд Хопфа. Улучшение оценки постоянной с было получено позднее Уордом [16]. Некоторые другие модели, допускающие конфигурации с ненулевым зарядом Хопфа, также были предложены: де Вега (1978) мХиггс-модели (абелевы и SU(2))" [21], Николь (1978) "£ = - [-К<ЭХ)2]3/2" [22], Кунду и Рыбаков (1982) "S2 нелинейная а-модель" [23], Аратин, Феррейра, Циммерман (1999) "£ = -[^¿,]3/4" [24].

За последние годы было предпринято несколько попыток получить точные солитонные решения в ряде моделей с масштабной симметрией [25]. В модели Фаддеева топологически нетривиальные конфигурации могут обладать, самое большее, аксиальной симметрией [23]. Таким образом, ситуация отличается от модели Скирма, с целевом пространством S3, где (Q = 1) солитон сферически-симметричен "hedgehog". В системе Скирма—Фаддева солитон с минимальной энергией при Q = 1 имеет тороидальную форму (замкнутая закрученная струна).

В диссертационной работе рассмотрены спинорные реализации, т. е. спи-норные обобщения модели Скирма—Фаддеева, цель которых — получить объединение моделей Скирма и Фаддеева. В работе рассмотренно так называемое струнное приближение, когда используются тороидальные координаты.

Целью данной работы является построение солитонных решений, описывающих конфигурации, наделённые единичным индексом Хопфа. Для достижения этой цели решались следующие основные задачи:

• Построение описания барионов и лептонов как топологических соли-тонов (в рамках спинорного обобщения моделей Скирма и Фаддеева).

• Изучение групп симметрии для конфигураций с нетривиальным леп-тонным зарядом (индексом Хопфа).

• Построение инвариантного спинорного поля путем использования тороидальных координат.

• Описание структуры решения на малых и больших расстояниях для случая единичного лептонного числа.

• Оценка массы, спина и магнитного момента солитонной конфигурации.

В первой главе дается изложение подхода к описанию барионов и лептонов как солитонов (модели Скирма и Фаддеева). Здесь предлагается объединить модели Скирма и Фаддеева с помощью эффективного 8-спинорного поля ф.

Вторая глава диссертации посвящена анализу структуры солитонов в струнном приближении для лептонного случая. Здесь использовались тороидальные координаты и спинорная связность.

Третья глава посвящена получению решения и некоторым оценкам наблюдаемых. Сначала получено действие на малых и больших расстояниях. В результате сшивки этих решений удвется получить характеристики солитонов (массу, спин, магнитный момент).

Основные результаты диссертации перечислены в Заключении.

Глава 1

Спинорная реализация киральной модели

1.1 Описание лептонов как топологических солитонов в спинорной модели Фаддеева

Интересен вопрос о роли спинорных полей во взаимодействии и образовании солитонов. Как известно [9], поскольку спинорное поле "чувству-ет"поворот на 27т, то его знак неопределен, и это приводит к неопределенности взаимодействия. Поэтому спинорные солитоны взаимодейству-юут случайно (случайная фаза). Однако если рассматривать стационарное (связанное) состояние двух спинорных солитонов, то их относительная фаза, определяющая взаимодействие, должна быть однозначной.

1.1.1 п—поле Фаддеева

Рассмотрим изовекторное поле па, а — 1, 2, 3, принимающее значения на сфере 52 : п2 = 1. В качестве группы инвариантности выберем группу

С = с11аё[50(2)5(8)50(2)/],

отвечающую согласованным вращениям вокруг оси Z и третьей оси в изо-пространстве. Эта группа, появляющаяся в связи с граничным условием

на пространственной бесконечности

па( оо) = ¿3e,

является однопараметрической. Запишем условие инвариантности поля па

[u^n] — содфп = О, где ф - азимутальный угол, или в компонентах:

дфПз = 0; гдфП± ±п± = 0, где п± = (ni ± гп2)/л/2. На сфере S2 полярные координаты имеют вид

77-з = cos/3; f^i = sin/3 cos 7; п^ — sin /3 sin 7, т.е. n± = sin/3e±n. Тогда

дфр = 0, 507 = 1, с общим решением в цилиндрических координатах

Р = P(r, z); 7 = ф + ь(г, z).

1.1.2 Топологический заряд (индекс Хопфа)

Типичный пример топологического закона сохранения на плоскости это число, показывающее, сколько раз замкнутый путь обходит вокруг неподвижной точки. Это число сохраняется при любых деформациях, в которых путь не пересекает выбранной неподвижной точки. Точнее, мы должны рассматривать замкнутую кривую на проколотой плоскости / : S1 —> М2{(0,0)} ~ S1, и такие топологические карты могут быть классифицированы с помощью гомотопическич классов в соответствии с числом вращения 7Ti (51) = Z. Какие топологические законы сохранения мы можем иметь в М3?

Каждой точке в пространстве М3 мы соотносим ЗБ-единичные векто-

ры п. Эти ЗБ-единичные векторы могут быть представлены точками на поверхности сферы S2. Мы предполагаем, что векторы имеют заданное направление на пространственной бесконечности и, следовательно, пространственную бесконечность можно стянуть в точку, т.е. R3 ~ S3. Таким образом, единичный вектор даёт нам карту n : 53 —»• S2. Такие карты можно характеризовать топологическим зарядом Хопфа, т.е., гомотопическим классом 7T3(S2) = Z.

Инвариант Хопфа Q# классифирует отображения п : М3 —> S2, причем многообразие S2 задается единичным вектором п = -^у, где вектор v будет определен в следующем параграфе. Как известно, инвариант Хопфа появляется как генератор гомотопической группы tts{S2) и может быть представлен интегралом Уайтхеда:

QH = (8тг)~2 j d3x{с rot с), (1.1)

где вектор с определяется как:

diCk - дкСг = 2еаЬсдгпадкпьпс. (1.2)

Хопф предложил элегантный метод вычисления интеграла (1.1) с помощью обратного отображения Хопфа S3 S2. Для иллюстрации этого метода введем вспомогательный 2-спинор

X = col (cos А + г sin A cos В, sin A sin В ехр(гС)),

где А, В, С - угловые координаты на S3. Тогда справедливо следующее соотношение:

rote = -2г[ух+ VX], с = Im(x+ V х)> п = {х+^х)-

Подставляя эти выражения в (1.1), получаем следующее представление для инварианта Хопфа:

= —[ dsx sin2 Л sini?([v-4 у В] у С) = deg(53 53), (2тту J

причем последняя формула выражает тождественность гомотопических групп 7r^(S2) = ^(S"3) = Z. Если ввести новые переменные ¡3 и р, полагая

sin A sin В = sin(/3/2), tan A cos В = tan р,

то можно получить более компактное представление для инварианта Хопфа:

Qh = J dzx sin/3([V/? VP]V C).

С другой стороны, из условия п± = sin у0е±г7 вытекает соотношение

7 = С-р,

которое вместе со структурой аксиально-симметричного поля, найденного в предыдущем параграфе:

(3 = ¡3(r, z); -у = ф + у(г, z),

позволяет утверждать, что для аксиально-симметричных полей интеграл Уайтхеда (1.1) принимает вид:

Qh = ¿У d3*sin/?([V/?V7] • V</>) = n, n E Z. (1.3)

1.1.3 Спинорная реализация киральных моделей

Обсудим некоторые особенности спинорной реализации киральных моделей. Состояние, для которого поле имеет минимальную энергию, называется вакуумом. В вакууме поле не зависит от координат. Согласно обобщенному тождеству Фирца - Паули - Бриоски (детали будут обсуждены в следующем параграфе)

2j ^ = s2 + Р2 + V2 + а2 + Д2, (1.4)

в котором использованы обозначения:

s = ФФ, р = гФ75Ф, = а = гФ 75ЛФ.

Здесь Л - матрицы Паули в изопространстве,

= Ф7/ХФ,

(1.5)

где 8-спинорное поле представляет в виде:

Ф =

Рассмотрим потенциал Хиггса специального вида:

Vffiggs = Vo(f ~ er2)

,2\2

О) !

(1.6)

где Vo, (Jo - некоторые постоянные. В вакууме этот потенциал стремится к нулю. Поэтому можно писать, что при |ж| —У оо

f о\- (1.7)

Как видно из тождества Фирца - Паули - Бриоски, в зависимости от вакуумного граничного условия могут возникать многообразия либо »S2, либо S3, если гомотопическая группа нетривиальна. В последнем случае эта группа соответствует степени отображения Z = deg (S'3 —у S"3). Такая модель называется моделью Скирма, в которой скалярные поля в вакууме ФФ = ctq = const. Тогда инвариант

а2 + s2 = inv

(1.8)

называется киральным инвариантом.

Если -и2 = сгр, то это многообразие есть сфера S2. Если

ФА3Фуа£ = const, QH = тг3 (S2)

(1.9)

тогда -изvac = со, и возникает модель Фаддеева.

1.1.4 Нелинейная спинорная модель

Чтобы обеспечить выполнение условия (1.9), проще всего выбрать нелинейную спинорную модель с лагранжианом вида:

£ = А + £2 + £З, (1.10)

где

(1.11а)

¿2 = яЖФЯ/хФХФ&ФГ - (ф^ф)(ф^ф)*]2, (1.иь)

А = Аз^)-^о)]2. (1.11с)

Тензор энергии-импульса в этой модели определяется таким образом:

Г*1 = п£0„Ф + дЛЩ - (1-12)

где

г\ Л

П8 = о^щ = д^З» + - Ф(да-фф)6$, (1.13а)

ВС

Щ = = Уд^ + 29гоа%ф{фдаф) - д£ф(фдрф)\. (1.13Ь)

Нетрудно найти плотность энергии, которая получается на основании теоремы Эйлера об однородных функциях из (1.11):

= ФУ^Ф + (дгЫЛЮ, (1.14а)

и,2 = 2(а02г + аг2,). (1.14Ь)

Здесь - плотность энергии для и)2 - плотность энергии для £2- По теореме Нётер энергия находится в следующем виде:

Е

У Т^х. (1.15)

Тогда энергия оценивается следующим образом:

Е > J d3xuJi + J d?xco2

= J £x\hv3A + шад + J <?x\2(4 + 4)]. (1.16)

1.1.5 Оценки энергии снизу

Сначала определяется единичный вектор

- N

п = —, 1.17)

т

где N - голдстоуновское поле:

N = {фЩ. (1.18)

Можно показать, что энергия в этой модели оценивается снизу через индекс Хопфа:

E>a\QH\*, (1.19)

как и в модели Фаддеева.

Сначала отдельно оценивается энергия нашей модели для части cji, а затем для части

1. Для oji покажем, что:

и)\ > а{дг<па)2, (1.20)

где uji = (Ф71/7г/Ф + д^'у"jvdS>) и константа а положительна. Из (1.17) и (1.18):

N = (ФАФ) = \N\fi, и производные от N имеют вид:

diN = di\N\h + \N\dS-

17

Отсюда получается соотношение, которое совпадает с (1.20):

(дгй)2 = [дг\Ы\2п2 + |АП2(дгп)2] > \й\2(дгп)2. (1.21)

2. Слудующий шаг - оцениваем как:

(Фт^Ф+д^^ДФ) = (ФАФ+дгФАЭгФ) = ^^А^^Аг]. (1.22) Известно, что:

+ > Ашш!^ + "пЧ (1-23)

где А = л/Л^ = ^Дто ~ 32 " инвариантное собственное значение матрицы А.

3. Для о,2 покажем, что:

о/2 > ^[Уп^п2]2, (1.24)

где:

и;2 = 2 (о1 + о*к). Далее, величина а\г положительна, а агк оценивается как:

(Угк ~ [(Ф^Ф)(адФ) - (ЪдкЩдгЩ), (1.25)

где производные обозначим

<9гФ = дк* =

Тогда (1.25) принимает вид:

°гк ~ [(Ф&Х&Ф) - (Ф&К&Ф)] = 21т(ФШ*Ф)- (1-26)

Взяв квадрат этого выражения, получаем:

<4 ^ [Ш(Ш ~ (ФШ.Ф)]2 = (21тЛ)2. (1.27)

18

Далее рассматривается система отсчёта в которой: Фх ^ 0; Фг = 0. Матрица Ф будет выглядеть таким образом:

Фх 0

Это значит:

ы1 = о, м2 = о, ЛГ3 = Ф ^ °1) ( ^ ) = 0) ( ^ ' =

Соответствующие производные имеют вид: дгЫа=1'2 = 0,

«9глга=3 = ад^ФО = агФг - Ф1 + Фх ■ а,Ф1,

где

V1 о у V * 0 / V0-1

Далее,

{дг№дк^№еаЬс)2 = {2(Ф1Ф1)аг(Ф1Ф1)^(Ф1Ф1)}2 < |<ЭгФ|2|Ф|2|д,Ф|2| или иначе:

^Д < (2|1т(егФ)(Ф6)1)|Ф|4- (1-28)

В конце концов получается нужная оценка энергии снизу через индекс Хопфа:

Е(Ф, > а(упа? + /3/2 > соп^Зя!*, (1-29)

где использована известная оценка энергии для модели Фаддеева.

Полученный результат может быть аналогично работе [54] интерпретирован как основа для существования топологических солитонов. Модель для объединенного описания барионов и лептонов будем строить по аналогии с только что рассмотренной моделью.

1.2 Эффективная 8-спинорная модель лептонов

На основании специального тождества для 8-спиноров строится лагран-жева плотность в модели лептонов и барионов, содержащая слагаемые, аналогичные известным выражениям в моделях Скирма и Фаддеева.

Хорошо известен подход к описанию адронов (модель Скирма) и лептонов (модель Фаддеева) как топологических солитонов. Предлагается объединить эти модели с помощью эффективного 8-спинорного поля Ф. В основу можно положить замечательное тождество

2 з^ = в2 + р2 + ь2 +а2 + А2 (1.30)

в котором использованы обозначения: 5 _ р = гф75ф; |7 = фДФ, а = гФЛ75Ф, р = = Ф7^75Ф,

д2 = - \^2\2 + (хЫ(х2+х2) - \xtx2?} > 0.

Здесь использовано представление 8-спиноров в виде столбцов:

Ф = СО\(ф1,ф2), фг = С01(<рг,Хг), 2 = 1, 2,

где (рг, Хг суть 2-спиноры. Кроме того, здесь использованы матрицы Дирака 7м и матрицы Паули Л.

Если применить известный принцип Хиггса спонтанного нарушения симметрии, то можно предложить потенциал Хиггса вида V = {¿цЗ^ — кр)2, где некоторая постоянная, задающая плотность энергии конденсата. Если гамильтониан модели оценивается снизу через некоторую положительную функцию от топологического заряда, то возможно доказать существование стационарных солитоных решений, наделённых топологическим зарядом и реализующих минимум энергии.

Заметим, что в зависимости от выбора граничного условия при г —> оо получаем различные многообразия, содержащиеся в сфере б18, задаваемой равенством (1.30).

Например, если в вакуумном состоянии Фо имеем й(Фо) т0 получаем конфигурации, задаваемые киральным инвариантом s2 + а2, определяющим сферу S3 в качестве полевого многообразия. Если же в вакуумном состоянии имеем г>з(Фо) Ф 0, то получаем конфигурации, задаваемые"инвариантом v2, определяющим сферу S2 в качестве полевого многообразия. В первом случае мы получаем модель типа Скирма, а во втором — типа Фаддеева, в которой топологическим зарядом является инвариант Хопфа для отображения S3 —> S2.

Будем строить лагранжеву плотность нашей модели по аналогии с моделями Скирма и Фаддеева. Для этого рассмотрим лагранжеву плотность вида

¿spin = ¿Щ&у^ф + £-f^r - У, (1.31)

где удлинённая производная Dм = — гво^4мГе, eg = const включает взаимодействие с электромагнитным полем, Ге - оператор электрического заряда со свойством ГеФ0 = 0, а соответствует антисимметричному тензору типа Фаддеева — Скирма:

/„„ = (Ф W) (Д^7аФ) ,

где V = (cr2/8)(j2 — Xq)2 - потенциал Хиггса, А,£, а - постоянные параметры модели.

Первое слагаемое в (1.31) аналогично а—модельному члену в модели Фаддеева и содержит проектор Р = 7°7vjv на состояния с положительной энергией, что обеспечивает устойчивость соответствующих конфигураций. Второе слагаемое в (1.31) аналогично скирмовскому члену в модели Скирма — Фаддеева. В дальнейшем предполагается исследовать существование стационарных топологических солитонов в данной модели.

1.2.1 Эффективная нелинейная модель 8-спинорного поля

Сначала мы грубо оценим структуру солитонной конфигурации с зарядом Qh = 1, пренебрегая электромагнитным полем. Воспользуемся сфериче-

скими координатами г = гоех, ф и учтем дискретную симметрию ср{ = х?;, г = 1, 2, выделяющую лептонный сектор [40]. Рассмотрим водородную подстановку вида:

</>11 = =

и + т соб$, <р\2 = гг/ 8т$ехр(г</>), / + гд, совт?, <^12 = г^, 8тг?ехр(г0),

где и, V, /, д - функции от радиальной переменной х. В этом случае удобно ввести новые поля вида [40]:

и = / =

\/Я8т©со8(£ + 77), г> = \/Я эт © эт (£ + 77), \/дсо8©со8(£ — 77), # = л/ясоэ © зт(£ — 77).

Функционал энергии £ (в единицах 87г) имеет такой вид:

-+оо

£ =

(1х

А2

г о

^Я'2 + Д2(©'2 + £'2 + г]'2 + 2£у с08 2© + 2 8ш2 ©)

4

+

+ 4—е~жЯ/2#2 эш2 ©(сое2 © соэ2 2т? + бш2 © соб2 2(£ - 77)) + го

+ г3а2е3х[Я

2

4

.2 \ 2'

(1.32)

Уравнение движения, соответствующее (1.32), допускает очевидный первый интегал:

С' + т/'соэг© = 0, (1.33)

который позволяет упростить функционал (1.32), считая £ г\\

Е =

/+оо -оо

¿X { г0 —

^Я'2 + Я2(©'2 + Г]'2 8Ш2 2© + 2 81п2 0)

+

+ ^£1 я'21? зт2 © соз2 277 + г3а2е3х (Я2 - ^ ) ¡>(.1.34)

.2\ 2

1.2.2 Масса солитонов

Для оценки энергии £ используем пробные функции:

Я = уиапЬ(аж) + В, © = 2 агсЛ;ап(е~ах), а « у/2, г) = 0, (1.35) где постоянные А и В определяются как:

Производные от Я и О:

В! = ^ = ЛаБесЬ2(а2;), ах

¿0 = —<1х, 9' = ^. совгцаж) ах

Функционал энергии принимает вид:

"+00

Е =

¿X { г0—

-Я'2 + В2 (О12 + 2 эт2 ©) 4

+ ^—В12В2 8Ш2 © + Го

+ гуе3х 1в2 -

.2 \ 2'

где граничные условия выглядят следующим образом:

Вг(+оо) = ^, Я'^-оо) - В\ < @(-оо) = 7г, 0(+оо) = О, ©(0) = ^ С учетом (1.36) и граничных условий функционал энергии имеет вид:

7г

"+СЮ

£ =

¿X < Го

А2

1 2а2

-Л2а2БесЬ4(о!а;) + (АгапЬ(аж) + В)2-т-

4 соэЬ (ах)

Н—е1е~хАгаЫеоЬь(ах){А^пЫах) + ВУ го

2'

+г30а2е3х

(^ап^ах) + В)

2 но

Интегрируем с помощью теоремы о среднем:

I.

+оо —оо

"+00

(ix

ех 1

г0—-(АазесЪ2(ах))2 А/ 4

г0аА2

Ц™ &х г0— [(Л 1апЬ(аж) + В)22а2зесЪ2(ах)]

I

-(-оо

—оо

с1х

е

А2 А2а2е2 го

3 2„3х

е х8есЪ6(ах)(АЫпЪ(ах) + В)'

16А2ае2 ( А2 ^ В2'

(АЪапЦах) + В)

2 ко

го

Г°а За

\105 15, А2

— + (А + 2 В)2

5

В конце концов получается энергия £:

.2 ,А2

гоа,г л2 , „02> 64А2ае"

7 За

5

Варьируя функционал энергии по А при условии А + В = хо/2 и предполагая, что щ 1 и стА2 «С 1, находим

л 2 п 5

9 ' 18

Далее, варьируя £ по гд, получаем оценки вида:

г0 ~ 0, ЗхоАе, £

уагкарра^е 6Л '

1.3 Выводы

1. Выписаны функционалы энергии и топологического заряда в спинор-ной реализации киральной модели Фаддеева.

2. Показано что энергия в спинорной реализации модели Фаддеева оценивается снизу через индекс Хопфа в степени

3. Выписан функционал энергии для эффективной нелинейной модели 8-спинорного поля, найдена грубая численная оценка массы и размера солитона с единичным индексом Хопфа.

Глава 2

Структура струнного приближения в 8-спинорной модели (для лептонного случая)

2.1 Тороидальная структура

В нашей работе принимается фя = 1- Это дает нам самую простую тороидальную структуру. Выберем касательный базис для 7—матриц Дирака. Касательный базис в тороидальных координатах строится аналогично сферическому касательному базису( как в приложении А) 3.4. Тогда в тороидальных координатах имеем:

1 л о

х — х, х = х' = ф.

Исходим из связи тороидальных и цилиндрических координат:

Рис 1 Тороидальная координата

втЬя;

собЬ х — сое £

где а - масштаб системы координат. Поверхности постоянной координаты ж суть торы с большими радиусами р = tan° х и малыми радиусами г = При р = а, х = оо, а на бесконечности г = оо, х = 0. Координата ж3 является азимутальным углом и изменяется от 0 до 2п. Эта система является ортогональной. Используется правило косинуса, получаем соотношения между а и г в таком виде:

г\ = а2 + г2 - 2аг cos + = а2 + г2 + 2аг sin в

г2 = а2 4- г2 — 2аг cos — = а2 + г2 — 2аг sin 9

, ri г? а2 + г2 4- 2аг sin 0

ж = In — е = — =-

т2' а2 + г2 — 2аг sin 0

2 2 2 2 2 2 rz — а г — az rz — а

cos< = - = -7-7- — -Т-7Т

^2 [(г2 + а2)2 _ 4а2г2 sin2 fl] 1/2 _ а2)2 + 4а2г2 cog2 д^П

Параметры Ламе:

Hi

н? -

(cosh ж — cos£)2' 2

^ (совЬж — соэ^)2'

Н2Ф = 1.

Тогда соотношение между цилиндрическими и тороидальными координатами имеет вид:

в!2 = (1р2 + (1г2 + р2(1ф2

2 2 2 а , 2 а а

->dx¿ + 7—--^ + 7—i-sinh xd4>

(cosh ж — cos £)2 (cosh ж — cos £)2 (cosh ж — cos £)2

(¿ж2 + dt? + sinh2 хйф2) .

а2

(cosh ж — cos£)2 Метрика в тороидальных координатах имеет вид:

ds2 = e24t2 - a2(e2adx2 + е2Ч? + е2Чф2).

В плоском случае г} = 0, поэтому можно писать метрику как:

ds2 = dt2 - a2(e2adx2 + + е2Чф2),

где

еа = е13 —----, е7 = еа sinh х.

cosh х — cos £

dr — aeadxex + ae^d^e^ + aëfdфëф. (2.1)

Чтобы найти ex и используем их связь с ег и для сферического базиса. Здесь ех - нормаль к поверхности х = const, так что получается следующее:

4й sin 6(а2 — г2) _ 4а cos #(а2 + г2) = er, 0 , 0 \-+

В итоге:

где:

(а2 + г2 — 2аг sin #)2 (а2 + г2 — 2ат sin 9)*

ех = [er sin #(а2 — г2) + е<? cos #(а2 + г2)]

TV2 = sin2 9(а2 — г2)2 + cos2 9(а2 + г2)2 = а4 + г4 + 2а2г2 cos 29 = (г2 — а2)2 + 4а2г2 cos2 9

Аналогично находим е^ как нормаль к поверхности £ = const

N& = ^ (J; cos^) + cos2

/ 8a2r cos2 9{г2 — а2) \ | f 4а2г sin20(r2 - а2)2

.[(г2 - а2)2 + 4а2г2cos29}2) V[(r2 - а2)2 + 4а2г2cos2 9]2, В итоге:

е^ = — [ег cos #(а2 + г2) + ее sin 9(г2 - а2)]

Перейдём к матричному базису:

1

тг = ах

N N

[ar sin 9(а2 - г2) + ав cos 0(а2 + г2)]

-г2 sin 26» (а2 + г2 cos 29)е~г^ (а2 + г2 cos 20ег<^ г2 sin 20)

т2 = — <7£ = — — [<7r cos 0(а2 + г2) + ctq sin в (г2 — а2)]

'N

а2 + г2 cos 20) (г2 sin 20)e_t* (г2 sin 29)егф -а2 - г2 cos 20

cos£ =

2 2 — а

а2 + г2 + 2аг sin 0 TV

г =

2 , 2 Р Z —

а , . . о . 2 л 2 coshх + cos £

----— (sinh х + sin i)=a —---

(cosha; — cos£)z cosh a: — cos£

9 9 / cosh x + cos £ \

~a = a [ —г-7 - 1 =

\ cosh ж —cos £ J

a

2cos£

cosh x — cos £ 1 cos £ cosh x — cos £

N r2 — a2

2 a2

sin 20 cos 20

2a2 sinh ж sin £

2sin0cos0 = 2(^) (-) =

\r/ Vr/ rz (совГ1Ж — cos£)z

z2-p2

1

(7r =

<7ф =

cosh x — cos £ 1

cosh a; — cos £ 0

0

ге

— sinh x sin £ (1 — cosh x cos £)e 1<?i (1 — cosh x cos £) e^ sinh x sin £

1 — cosh x cos £ (sinh x sin £)e~1^ (sinh x sin £) e^ cosh a; cos £ — 1

= T3

T2

Производные т\\

д\тх d2ri

дзП

sin£

Т2

(cosh а: — cos£) sinh а; (cosh а: — cos£) 1 — cosh x cos £

T2

(cosh x — cos£)

t"3

Производные т2:

di т2 д2т2 д$т2

__sin£

(cosh ж — cos£) sinh a; (cosh a; — cos£)Tl sinh x sin £ (cosh a; — cos£)

П

Производные 73

дщ = О д2т3 = О дзтз

sinh х sin £ 1 — cosh х cos £

(cosha; — cos£) 2 (cosha; — cos £) 1

Обозначим:

sinh x sin £ . ^ 1 sm0,

cosh xcos £

cosh x — cos £

cosh x — cos £

= cos 0

Тогда:

т\

r2

— sin © cos ©e cos &егф sin ©

- cos 0 - sin ее~гф

— sin ©егф cos ©

0

тз =

ге

гф

-ге О

p-2r? _JLp-2C* _ ^ -2/3__-27

0 ) 9 е- 7 о ° J О

a¿ a¿ a¿

и их производные:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Умнияти Юнита, 2013 год

Литература

1] Рыбаков Ю. П. Структура частиц в нелинейной теории поля: Учеб. пособие.-М.: Изд-во УДН, 1985.

2] Nicholas Manton. Topological Solitons. Lecture notes for the XIII Saalburg summer school. 2007.

3] A. A. Abrikosov. On the magnetic properties of superconductors of the second group // Sov. Phys. JETP 5. - 1957. - P. 1174.

4] G. 't Hooft. Magnetic monopoles in unified gauge theories // Nucl. Phys. B79. - 1974. - P. 556.

5] A. M. Polyakov. Particle spectrum in quantum field theory // JETP Lett. 20. - 1974. - P. 194.

6] A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Schwarz and Yu. S. Tyupkin. Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations // Phys. Lett. B59. - 1975. - P. 85.

7] Т. H. R. Skyrme. A nonlinear field theory // Proc. R. Soc. Lond. A260. -

1961. - P. 127.

8] Т. H. R. Skyrme. A unified field theory of mesons and baryons. Nucl.Phys.,

1962, vol.31, n4, p. 556-569.

9] Рыбаков Ю. П, Санюк В. И. Многомерные солитоны.-М.: Издательство РУДН, 2001.

10] J. В. Ketterson and S. N. Song: Superconductivity, Cambridge University Press, 1999.

[11] G. H. Derrick. Comments on nonlinear wave equations as models for elementary particles //J. Math. Phys. 5. - 1964. - P. 1252.

[12] L. D. Faddeev. Quantization of solitons. preprint IAS print-75-QS70, 1975.

[13] M. Hindmarsh. Semilocal topological defects. // Nucl. Phys. B392. - 1993. - Pp. 461-492.

[14] L. D. Faddeev and A. J. Niemi. Partially dual variables in SU(2) Yang-Mills theory. // Phys. Rev. Lett. 82. - 1999. - Pp. 1624-1627.

[15] E. Langmann and A. J. Niemi. Towards a string representation of infrared SU(2) Yang-Mills theory. // Phys. Lett. B463. - 1999. - Pp. 252-256.

[16] R. S. Ward. Hopf solitons on S3 and R3 // Nonlinearity 12. -1999. - Pp. 241-246.

[17] Manton N. S. and Ruback P. J. // Phys. Let. B 181. - 1986. - Pp. 137-140.

[18] Manton N. S. // Comm. Math. Phys. 111. - 1987. - Pp. 469-478.

[19] Jackson A. D., Manton N. S., Wirzba A. // Nucl. Phys. A 495. - 1989. -Pp.499-522.

[20] A. F. Vakulenko, L. V. Kapitanski. Stability of solitons in S2 nonlinear cr-model // Sov. Phys. Dokl. 24. - 1979. - p. 433.

[21] H. J. de Vega. Closed vortices and the Hopf index in classical field theory. // Phys. Rev. D 18. - 1977. - Pp. 2945.

[22] D. A. Nicole. Solitons with non-vanishing Hopf-index. //J. Phys. G 4. -1978. - P.1363.

[23] A. Kundu, Yu. P. Rybakov. Closed vortex type solitons with Hopf index // J. Phys. A 15. -1982. - Pp. 269-275.

[24] H. Aratyn, L. A. Ferreira, A. H. Zimerman. Exact static soliton solutions of 3+1 dimensional integrable theory with nonzero Hopf number // arXiv:hep-th/9905079vl. - 1999.

[25] A. Kundu // Phys. Lett. В 171. - 1986. - Pp.67-70

[26] Ченг, Та-Пей, Ли, Линг-Фонг. Калибровочные теории в физике.-М., «Наука», 1987.

[27] Картан Э. Теория спиноров.-М.: ИЛ, 1947.

[28] L. D. Faddeev, A. Niemi, Knots and particles, Nature ,387 (1997), 58.

[29] Juha Jaykka. On topological solitons in the Faddeev-Skyrme model and its extensions. Finland, 2009.

[30] D. Husemoller. Fiber Bundles. Mc Graw-Hill. New York, 1966.

[31] H. Whitney. Geometric Integration Theory. Princeton Univ. Press. Princeton, 1957.

[32] G. Mie. Ann. der Physik 17, p. 465, 1933.

[33] Иваненко Д. Д., Нелинейная квантовая теория поля, Сб. переводов под ред., М.: И.Л., 1959.

[34] Т. Н. R. Skyrme, Nonlinear theory of strong interactions, Proc. Roy. Soc. London, 1958.

[35] Раджараман P., Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля, М.: Мир, 1985.

[36] Шварц А. С., Квантовая теория поля и топология, М.: Наука, 1989.

[37] L. D. Faddeev, Some comments on the many dimensional solitons, Lett. Math. Phys. 1, 1976, p. 289-293.

[38] Yu. P. Rybakov, Problems of the theory of gravitation and elementary particles, vol. 12, Atomizdat, 1981, p. 147.

[39] K. Fujii, S. Otsuki, F. Toyoda, A soliton solution with baryon number B=0 and Skyrmion, Prog. Theor. Phys. vol. 73 No. 2, 1985, p. 524.

[40] Rybakov Y. P. Soliton Configurations in Generalized Mie Electrodynamics, Phys. of Nuclei Vol. 74 No 7, 2011, p. 1102-1105.

[41] Rybakov Y. P. Self-Gravitating Solitons and Nonlinear-Resonance Quantization Mechanism, Bulletin of People's Friendship University of Russia Ser. Physics Vol. 3(1), 1995, p. 130-137.

[42] L. Faddeev, A. J. Niemi. Toroidal Configurations as Stable Solitons // arXiv:hep-th/970516vl. - 1997.

[43] R. A. Battye, P. M. Sutcliffe. Solitons, Links and Knots // Proc. R. Soc. Lond A. - 1999. - Vol. 455 No 1992. - Pp. 4305-4331.

[44] J. Hietarinta, P. Salo. Ground State in the Faddeev-Skyrme Model // Phys. Rev. D. - 2000. - Vol. 62.

[45] Makhankov V. G., Rybakov Y. P., Sanyuk V. I. The Skyrme Model. Fundamentals, Methods, Applications. - Berlin: Springer Verlag, 1993. - P. 260.

[46] Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 2nd ed. - Orlando, Fl: Academic Press, 1970. - Pp. 112-115.

[47] Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. -New York: McGraw-Hill, 1953. - p. 666.

[48] C. Adam, C. Naya, J. Sanchez-Guillen, A. Wereszczynski. Nonlinear Field Theory with Topological Solitons // arXiv:hep-th/1301.5326vl. - 2013.

[49] Yu. P. Rybakov. 8-Spinors and Structure of Solitons in Generalized Mie Electrodynamics // Physics of Atomic Nuclei. - 2013. - Vol. 76 No 2. - Pp. 219-223.

[50] D. H. Delphenich. Nonlinear Electrodynamics and QED // arXiv:hep-th/0309108. - 2003.

[51] В. Г. Маханьков, Ю. П. Рыбаков, В. И. Санюк. Модель Скирмаи Сильные Взаимодействия //К 30-летию создания модели Скирма. - 1992. -Том 162 № 2.

[52] J. Hietarinta, J. Jaykka, P. Salo. Dynamics of vortices and knots in Faddeev's model //in Workshop on Integrable Theories, Solitons and Duality.- 2002.

[53] J. Gladikowski and M. Hellmund. Static solitons with non-zero Hopf number // Phys. Rev. D56. - 1997. - Pp. 5194-5199.

[54] F. Lin and Y. Yang. Existence of Energy Minimizers as Stable Knotted Solitons in the Faddeev Model // Communications in Mathematical Physics 249. - 2004. - Pp. 273-303.

[55] Paul Sutcliffe. Knots in the Skyrme-Faddeev model // Proc. Roy. Soc. Lond. A463. - 2007. - Pp. 3001-3020.

[56] E. Witten. Global Aspects of Current Algebra // Nucl. Phys. B223. - 1983. - Pp. 422-432.

[57] P. G. Tait. On Knots I, II, III Scientific Papers. // Cambridge University Press. - 1898.

[58] C. Rebbi and G. Soliani, Solitons and Particles. World Scientific. Singapore. 1984.