Некоторые вопросы математического анализа задач теории пластичности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Коробкин, Валерий Дмитриевич

• Коробкин, Валерий Дмитриевич
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Коробкин, Валерий Дмитриевич

Введение . .:.

Глава I. Состояние вопроса и задачи исследования.

Глава II. Статически определимые задачи осесимметричной деформации . .'.

1. Цилиндрические координаты.

2. Сферические координаты.

3. Тороидальные координаты.

Глава III. Построение кинематически допустимых полей скоростей по линиям тока.

1. Плоская деформация. а). Декартовы координаты б). Полярные координаты

2. Осесимметричная деформация. а). Цилиндрические координаты б). Сферические координаты в). Тороидальные координаты.

Глава IV. Математический анализ учета условий деформировани материала при решении задач теории пластичности

1. Учет упрочнения.

2. Влияние трения.

Глава V. Плоское и осесимметричное течение упрочняющегося материала.

1. Волочение, редуцирование и выдавливание через клиновую матрицу.

2. Волочение, редуцирование и выдавливание через коническую матрицу.

3. Обратное выдавливание.

4. Сравнение теоретических и экспериментальных данных а) Прямое выдавливание. б) Обратное выдавливание.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы математического анализа задач теории пластичности»

Развитие теории пластичности связано с вопросами оптимального проектирования конструкций, разработки прогрессивной технологии обработки металлов давлением, создания машин. Для решения этих вопросов необходимо знание напряженно-деформированного состояния конструкций, энергетических, силовых и кинематических параметров. Исследование задач теории пластичности находит применение не только при разработке процессов, имеющих непосредственное отношение к подобным задачам, но и в других отраслях науки и техники. Решение технологических задач теории пластичности, естественно, имеет непосредственное отношение к процессам обработки металлов давлением, но может быть использовано [49] при расчетах по укреплению горных откосов сваями, действие неравномерно распределенной нагрузки на пластическое полупространство [8, 9, 50] при исследовании прочности автомобильных дорог. Теоретические исследования подобных задач составляют предмет математической теории пластичности.

Вопросам математического анализа задач теории пластичности посвящены работы Б.Д. Аннина, Н.Х. Арутюняна, В.В. Астафьева, В.А. Баскакова, И.А. Биргера, П. Бриджмена, Г.И. Быковцева, Л.А. Галина,

A.A. Гвоздева, X. Гейрингер, Г.А. Гениева, Г. Генки, А.Г. Горшкова, С.И. Губкина, А.Н. Гузя, Д. Друккера, Б.А. Друянова, В. Джонсона, М.И. Ерхова, Л.В. Ершова, A.M. Жукова, М.А. Задояна, В.Г. Зубчани-нова, Д.Д. Ивлева, A.A. Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, Л.М. Качанова,

B.Д. Клюшникова, Ш. Кобаяши, В.Т. Койтера, X. Кудо, В.Д. Кулиева, Р.Ю. Лепика, Е.В Ломакина, М. Леви, Н.И. Малинина, H.H. Малинина, В.П. Малкова, A.A. Маркина, Н.М. Матченко, Р. Мизеса, М.Ш. Мике-ладзе, Н.Ф. Морозова, В.П. Мясникова, А. Надаи, Ю.В. Немировского,

Р.И. Непершина, В.В. Новожилова, В.В. Парцевского, Б.Е. Победри, И.Н. Поймушина, В. ГТрагера, Л. Прандтля, Ю.Н. Работнова, А.Р. Ржа-ницына, А.Ф. Ревуженко, Б. Сен-Венана, В.В. Соколовского, О.В. Со-снина, В.П. Тамужа, И.Г. Терегулова, Л.А. Толоконникова, Т. Томаса, А.Д. Томленова, Н.Треска, Е.П. Унксова, Р. Хилла, Ф. Ходжа, Г.П. Черепанова, Г.С. Шапиро, Н.Ю. Швайко, С.А. Шестерикова, Е.И. Шемякина, Р. Шилда, С.П. Яковлева, Ч. Янга и ряда других крупных отечественных и зарубежных ученых.

Данная работа посвящена развитию математических методов определения кинематически возможных решений и статически определимых задач теории пластичности, учету упрочнения и влиянию трения при пластическом деформировании.

Актуальность настоящей работы заключается в определении энергетических, силовых и кинематических параметров задач теории пластичности, знание которых необходимо при проектировании объектов, при конструировании новых машин и создании прогрессивной технологии пластического формоизменения.

В диссертации ставились следующие цели исследования:

- рассмотреть возможность получения статически определимых задач для осесимметричной деформации

- разработать общий метод получения кинематически возможных полей скоростей по линиям тока

- показать возможность учета упрочнения в кинематически возможных решениях

- рассмотреть влияние трения при решении конкретных задач

- сравнить теоретические и экспериментальные данные по усилию деформирования и оценить возможности исследования задач теории пластичности предложенным методом.

Новизна заключается в едином подходе получения кинематически допустимых полей скоростей для пластической области, ограниченной поверхностью, уравнение которой известно. Предложен метод, позволяющий приводить задачи осесимметричной теории идеальной пластичности к статически определимым задачам. Рассмотрен вопрос учета упрочнения для кинематически возможных разрывных полей скоростей. Получены результаты, позволяющие определить диссипацию мощности пластической деформации на поверхности разрыва. Предложен метод оценки влияния контактного трения для случая пропорциональности нормальному давлению в среднем.

Достоверность полученных результатов базируется на конкретной математической постановке задач, сопоставлением частных решений с результатами других авторов, сравнением теоретических результатов с экспериментальными данными.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты, позволяют решать новые задачи теории пластичности. Рассмотренные вопросы математического анализа задач теории пластичности открывают возможности решения задач сложной геометрии. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании объектов, разработке прогрессивной технологии пластического формоизменения, конструирования новых машин, расчетах по укреплению горных откосов, исследовании прочности автомобильных дорог.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: на заседаниях научно-технического совета ЭНИКМАШа (19621968 гг.) на научных сессиях Воронежского госуниверситета (1969-1974 гг.) 7 на научных конференциях Воронежской государственной архитектурно-строительной академии (1974-1999 гг.) на школах-симпозиумах по теоретической и прикладной механике и математике (1974-1996 гг.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работе.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Коробкин, Валерий Дмитриевич

Основные результаты и выводы.

1. Предложены зависимости напряжений от среднего давления и неизвестной функции, которые позволяют сделать статически определимыми задачи осесимметричной деформации теории пластичности. Исследования проведены в цилиндрических, сферических и тороидальных координатах. Получены уравнения характеристик и соотношения вдоль них. В цилиндрических координатах решены задачи обжатия бесконечного цилиндра жестким кольцом и волочение материала сквозь коническую матрицу. В сферических и тороидальных координатах определены поля характеристик, для которых соотношения вдоль характеристик интегрируются.

2. Для случая плоской и осесимметричной деформации предложен метод определения кинематически возможных полей скоростей по линиям тока. Случай плоской деформации рассмотрен в декартовых и полярных координатах, случай осесимметричной деформации - в цилиндрических, сферических и тороидальных координатах. В качестве примеров для плоского случая получено кинематически возможное поле скоростей при течении материала сквозь матрицу, профиль которой ограничен дугами окружности. Для случая осесимметричной деформации в цилиндрических координатах получено непрерывное кинематически возможное поле скоростей при течении материала в конической матрице с радиусными закруглениями и определена верхняя оценка усилия деформирования.

3. Рассмотрен вопрос учета упрочнения и влияния трения при пластическом течении материала. Для кинематически возможных разрывных полей скоростей определены скачки деформации на по

105 верхностях разрыва и мощность пластической деформации. Рассмотрены случаи линейного и степенного упрочнения. В качестве примера рассмотрено волочение полосы через клиновую матрицу из материала, подчиняющегося степенному закону упрочнения. Рассмотрен вопрос влияния трения для случая пропорциональности нормальному давлению в среднем. Показано, что для случая волочения полосы через клиновую матрицу усилие волочения для касательного напряжения пропорционального нормальному давлению в среднем всегда выше, чем при прандтлевском трении.

4. Проведен анализ плоского и осесимметричного течения упрочняющегося материала. Рассмотрены вопросы волочения, редуцирования и выдавливания линейно-упрочняющегося материала через клиновую и коническую матрицы. Приведена оценка учета неравномерности распределения деформации в пластической области. Решена задача обратного выдавливания. Сравнение теоретических и экспериментальных данных показало возможность применения предложенного метода для анализа подобных задач пластического формоизменения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Коробкин, Валерий Дмитриевич, 1999 год

1. Авицур Б. Влияние упрочнения и скорости деформации при пластическом течении через сходящиеся матрицы - Конструирование и технология машиностроения, М.: Мир, 1967, №3, С. 195-202.

2. Авицур Б. Исследование процессов волочения проволоки и выдавливание через конические матрицы с большим углом конусности. Конструирование и машиностроение. Труды американского об-ва инженеров механиков, М.: Мир, 1964, №4, С. 29-34.

3. Авицур Б., Фуэйо И., Томпсон И. Исследование пластического течения между наклонными плоскостями при плоской деформации. Конструирование и технология машиностроения, М.: Мир, 1967, №2, С. 192-208.

4. Александров С.Е. Поле скорости вблизи поверхности их разрыва при произвольном течении идеально жесткопластического материала. Изв. АНСССР, МТТ, 1995, №5, С. 116-122.

5. Алюшин Ю.А. Связь линий тока и скоростей деформации в процессах развитого пластического формоизменения. Изв. вузов, Черная металлургия, 1970, №8, С. 28-34.

6. Артемов М.А., Ивлев Д.Д. О линеаризованных уравнениях кинематически определенных задач. Изв. АНСССР, МТТ, 1995, №6, С. 104-107.

7. Беломытцев В.П., Беломытцева И.В., Коробкин В.Д. Построение кинематически допустимых полей скоростей по линиям тока вкриволинейных координатах. Деп. в ВИНИТИ №2291-В95, 1996,10 с.

8. Беломытцев В.П., Еремин В.Г., Коробкин В.Д. К оценке устойчивости асфальтобетонных покрытий при динамическом воздействии транспортных средств. Деп. в ВИНИТИ №279-Д89, 1989,8с.

9. Беломытцев В.П., Коробкин В.Д. Действие косой неравномерно распределенной нагрузки на пластической полупространство. -Деп. в ВИНИТИ №260-83, 1983, 4с.

10. Беломытцев В.П., Коробкин В.Д. Пластическое напряженно-деформированное состояние материала при контактном касательном напряжении. В кн.: Современные методы статического и динамического расчета и конструкций. Вып. 1, Воронеж, 1993, С. 28-33.

11. Беломытцев В.П., Коробкин В.Д. Пластическое течение материала через плоские сходящиеся каналы при контактном касательном напряжении. В кн.: Материалы научно-технической конференции, посвященной 60-летию ВИСИ. Воронеж, 1991, С. 42-46.

12. Беломытцев В.П., Коробкин В.Д. Частный случай статически определимого поля напряжений осесимметричной задачи теории пластичности в цилиндрических координатах. Деп. в ВИНИТИ №1996-В97, 1997, 4с.

13. Быковцев Г.И., Мяснянкин Ю.М. К теории волочения жестко-пластической полосы через криволинейную матрицу. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, №3, 1964, С. 26-29.

14. Васильковский С.Н. Модификация метода Ритца и метода конечных элементов на основе факторизации для решения упруго-пластических задач. 5-й Всесоюз. съезд по теор. и приклад, механике, Алма-Ата, 27 мая-3 июня 1981.

15. Гейрингер X. Уравнения для скоростей деформаций вдоль линий скольжения. В сб.: Проблемы механики. М.: ИЛ, 1955, С. 245-258.

16. Генки Г.О. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах.//Теория пластичности. М.: ИЛ, 1948.-410 с.

17. Гофман О., Закс Г. Введение в теорию пластичности для инженеров. М.: Машгиз, 1957, - 279с.

18. Губкин С.И. Пластическая деформация металлов давлением (в 3-х томах). М.: Металлургиздат, 1960, Т. 1, 376 е., Т. 2, 416 е., Т. 3, 307 с.

19. Губкин С.И. Теория обработки металлов давлением. М.: Металлургиздат, 1947, - 532 с.

20. Гун Г.Я. К построению кинематически возможных полей скоростей при решении задач теории прессования. Изв. вузов, Черн. металлургия, 1976, №10, С. 100-102.

21. Гун Г.Я. Об общем представлении кинематически возможных полей скоростей.-Изв. вузов, Черн. металлургия, 1979, №9, С.46-48.

22. Гун Г.Я.-, Полухин П.И. Пластическое формоизменение металлов-М.: Металлургия, 1968, -416 с.

23. Деордиев Н.Т, Коробкин В.Д., Филимонов Ю.Ф. Пластическое течение упрочняющегося материала в клиновой матрице. Куз-нечно-прессовое машиностроение, НИИМАШ, 1975, вып. 1, С. 15-20.

24. Деордиев Н.Т., Чудаков П.Д., Коробкин В.Д. Пластическое течение упрочняющегося материала в конической матрице. Куз-нечно-штамповочное производство, 1970, №1, С. 8-10.

25. Джонсон В., Кудо X. Механика процесса выдавливания металла. М.: Металлургия, 1965, - 174 с.

26. Друянов Б.А. Вдавливание шероховатого штампа в толстую пластически неоднородную полосу. Изв. АНСССР, ОТН, 1960, №6, С. 29-34.

27. Друянов Б.А. Вдавливание штампа в толстую неоднородную полосу. Изв. АНСССР, ОТН, 1956, №3, С. 35-41.

28. Друянов Б.А. Волочение через криволинейную матрицу. -ПМТФ,№1, 1962, С. 12-16.

29. Друянов Б.А. Кинематически определимые задачи теории плоского течения идеально пластических тел. В кн.: Исследование процессов пластической деформации металлов. М.: Наука, 1965, С. 134-153.

30. Друянов Б.А. О полных решениях некоторых задач деформации полосы. Изв. АНСССР, Инж. журнал, МТТ, 1968 32, С. 171173.

31. Друянов Б.А., Пирумов А.Р. Оптимальная форма матрицы при динамическом прессовании упрочняющегося материала. Изв. вузов, Машиностроение, 1979, №6, С. 117-121.

32. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966, -232 с.

33. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971, - 232 с.

34. Ивлев Д.Д., Ершов JI.B. Метод возмущений в теории упругопла-стического тела. М.: Наука, 1978, - 208 с.

35. Ильюшин A.A. Деформация вязкопластического тела. Уч. записки МГУ, 1940, вып. 39, С. 18-32.

36. Исаченков Е.И. Контактное трение и смазки при обработке металлов давлением. М.: Машиностроение, 1978, - 208 с.

37. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения круглой пластинки. ПММ, 1943, Т. 7, вып. 6, С. 38-49.

38. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута. ПММ, 1943, Т. 7, вып. 3, С. 25-39.

39. Ишлинский А.Ю. Осесимметричная задача пластичности и проба Бринеля. ПММ, Т. 8, вып. 3, 1944, С. 201-223.

40. Качанов JIM. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

41. Качанов J1.M. Пластическое кручение круглых стержней переменного диаметра. ПММ, 1948, Т. 12, вып. 4, С. 45-61.

42. Качанов JI.M. Ползучесть овальных и равностенных труб. Изв. АНСССР, ОТН, 1956, №9, С. 28-32.

43. Кобаяши Ш. Верхние границы давления в осесимметричных задачах штамповки. Конструирование и технология машиностроения, М.: Мир, 1964, №4, С. 112-116.

44. Колмогоров В.Л., Федотов В.П. Неклассическая задача теории пластического течения и ее решение вариационным методом. Пластическая деформация легких и спец. сплавов. М., 1982, №2, С. 71-80.

45. Коробкин В.Д. Верхняя оценка усилия деформирования при контактном трении. Тезисы докладов школы-симпозиума, ВГУ, 1994, С. 57.

46. Коробкин В.Д. Построение кинематически допустимых полей скоростей по линиям тока. -Сб. трудов НИИМ ВГУ, 1973, С. 1012.

47. Коробкин В.Д. Построение непрерывных полей скоростей по линиям тока. Изв. вузов, Машиностроение, 1973, №9, С. 28-31.

48. Коробкин В.Д. Статически определимые задачи осесимметрич-ной деформации теории идеальной пластичности. Деп. в ВИНИТИ №3363-В98, 1998, 12 с.

49. Коробкин В.Д., Иванова С.А., Певзнер М.Е. Укрепление песча-но-глинистых откосов сваями. Труды института горнохимического сырья, М. 1973, №4, С. 22-24.

50. Коробкин В.Д., Плютин И.В. Действие неравномерной нормальной нагрузки на пластическое полупространство. Деп. в ВИНИТИ №2686-82, 1982, 2с.

51. Коробкин В.Д., Филимонов Ю.Ф., Гусинский В.И. Верхняя оценка усилия выдавливания через коническую матрицу с радиусными закруглениями. В кн.: Совершенствование процессов и оборудования для холодного деформирования. Воронеж, 1978, С. 3-7.

52. Коробкин В.Д., Чудаков П.Д. Диссипация мощности на поверхностях разрыва скоростей в упрочняющемся материале. Изв. АНСССР, МТТ, 1969, №3, С. 158-161.

53. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе М.Н. Теоретическая гидромеханика. Часть 1. М.: Гостехиздат, 1948, - 680 с.

54. Крагельский И.В., Виноградова И.Э. Коэффициенты трения. -М.: Машгиз, 1955,- 188 с.

55. Кроха В.А. Влияние степени деформации на истинное сопротивление деформированию сталей в холодном состоянии. -Кузнечно-штамповочное производство, 1961, №7, С. 28-31.

56. Лаковок Р.Е., Денисов Ю.В. О построении кинематически возможных полей скоростей и вычислении функционалов в задачах ОМД. Изв. вузов черн. металлургии, 1982, №8, С. 54-58.

57. Леванов А.Н., Колмогоров В.Л. и др. Контактное трение в процессах обработки металлов давлением. М.: Металлургия, 1976, -416с.

58. Малинин Н.Н., Романов К.И. Решение задач горячего формоизменения методом конечных элементов. Изв. вузов, Машиностроение, 1977, №8, С. 127-131.

59. Михин Н.М. Внешнее трение твердых тел. М.: Наука, 1977, -222с.

60. Непершин Р.И. Оптимальный профиль матрицы для прессования. В кн.: Исследование процессов пластического течения ме-талов. М.:Наука, 1971, С. 46-53.

61. Непершин Р.И. Осесимметричное прессование с малыми и большими обжатиями. В кн.: Расчеты процессов пластического течения металлов. М.: Наука, 1973, С. 71-83.

62. Непершин Р.И. Пластическое течение при сжатии диска между параллельными штампами. Машиноведение, 1969, №1, С.97-100.

63. Непершин Р.И. Теоретические исследования осесимметричных процессов пластического течения металлов: Автореф. дисс. докт. техн. наук. Москва, 1973, - 44 с.

64. Новожилова Л.С., Ураждин C.B. Аналитическая реализация метода линий скольжения и расчет напряженного состояния. -Рост, ин-т автом. и технолог, машин, Р.-на-Д., Деп. в ВИНИТИ 24. 01. 1996, №296-В96, 16 с.

65. Онат Е., Прагер В. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца. М.: Сб. переводов, Механика, 1955, №4(32)

66. Перлин И.Л. Теория прессования металлов. М.: Металлургия, 1964,-344 с.

67. Покрас И.Б. Анализ контактного взаимодействия инструмента с заготовкой в процессах обработки металлов давлением. Куз-нечно-штамповочное производство, 1978, №4, С. 6-9.

68. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. М.: ИЛ, 1956,-338 с.

69. Прозоров Л.В. Прессование стали и тугоплавких сплавов. М.: Машиностроение, 1969, - 243 с.

70. Ренне И.П. Использование годографоф линий тока для определения интенсивности деформаций при стационарных процессах течения. Изв. вузов, Машиностроение, 1964, №6, С. 45-51.

71. Ренне И.П. Приближенное значение (верхняя оценка) величины давления при прессовании через коническую матрицу. Куз-нечно-штамповочное производство, 1965, №4, С. 29-34.

72. Ренне И.П. Удельное усилие при плоской осадке между шероховатыми плитами. Кузнечно-штамповочное производство, 1964, №9, С. 16-20.

73. Ренне И.П., Иванова Э.А., Бойко Э.А., Филигаров Ю.М. Неравномерность деформации при плоском пластическом течении. -Тула, 1971,- 158 с.

74. Репин С.И. Априорные оценки сходимости вариационно-разностных методов в задачах идеальной пластичности.// Зап. науч. семенар ПОМИ, 1995, 221, С. 226-234.

75. Сапр М., Циглир Г. К задаче Прандтля о штампе. М.: Механика (сб. переводов), 1969, №2, С. 117-128.

76. Сегал В.М. Технологические задачи теории пластичности. -Минск, Наука и техника, 1977, 256 с.

77. Сегал В.М., Свирид Г.П. Конечно-элементная аппроксимация поля скоростей жесткопластического течения. В. кн.: Пластичность и обработка металлов давлением. Минск, 1974, С. 157163.

78. Седов Л.И. О перспективных направлениях и задачах механики сплошных сред. Вестник АНСССР, 1972, №2, С. 36-49.

79. Сен-Венан Б. Теория пластичности. М.: ИЛ, 1948, 410с.

80. Смир« нов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: Гостехиз-дат, 1953,-628 с.

81. Соколовский В.В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения. Инженерный журнал, Т.1, вып. 3, 1961, С. 49-58.

82. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969,-608 с.

83. Степанский Л.Г. К расчету усилий и деформаций при обработке металлов давлением. Кузнечно-штамповочное производство,1959, №3, С. 13-16.

84. Степанский Л.Г. Пластическое течение металла при двусторонней закрытой прошивке. Кузнечно-штамповочное производство, 1964, №3, С. 8-11.

85. Сторожев М.В. Развитие теории обработки металлов ковкой и штамповкой. Вестник машиностроения, 1967, №11, С. 70-73.

86. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. М.: Машиностроение, 1977, 423 с.

87. Тарновский В.Я. Теория обработки металлов давлением. М.: Металлургиздат, 1963, - 672 с.

88. Тарновский И.Я., Ганаго O.A., Вайсбурд P.A. Деформации и усилия при закрытой прошивке. Изв. вузов, Черная металлургия,1960, №4, С.74-79.

89. Томленов А.Д. Механика процессов обработки металлов давлением. М.: Машиностроение, 1963, - 235 с.

90. Томленов А.Д. Теория пластического деформирования металлов. М.: Металлургия, 1972, - 408 с.

91. Томсен Э., Янг Ч., Кобаяши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов. М.: Машиностроение, 1969, -504 с.

92. Тутышкин Н.Д. Анализ заключительной стадии высокоскоростной штамповки в открытом штампе. Изв. вузов, Машиностроение, 1977, №8, С. 132-136.

93. Унксов Е.П. Инженерная теория пластичности. М.: Машгиз, 1959,-328с.

94. Унксов Е.П. О развитии теории обработки металлов давлением. Кузнечно-штамповочное производство, 1978, №6, С. 1-5.

95. Унксов Е.П. Определение напряжений и усилий по приближенным уравнениям равновесия и пластичности. В кн.: Основы теории обработки металлов давлением. М.: Машгиз, 1959, С. 148240.

96. Ураджин В.И., Ураджина Л.С. Решение осесимметричной задачи теории пластического течения методом конечных элементов.- Изв. вузов, Черн. металлургия, 1982, №7, С. 46-48.

97. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиз-дат, 1956,-407 с.

98. Хилл Р. Общий метод анализа процессов металлообработки. -Механика, 1964, №3, С. 129-153.

99. Целиков А.И. Основы теории прокатки. М.: Металлургиздат, 1965,-247 с.

100. Чудаков П.Д. О методе двусторонних оценок при плоской деформации. В кн.: Прогрессивные методы штамповки. Исследования и расчет. М.: Машиностроение, 1971, С. 16-25.

101. Чудаков П.Д., Коробкин В.Д. Верхняя оценка усилия, необходимого для пластического течения в конической матрице.// Куз-нечно-штамповочное производство, 1968, №5, С. 3-6.

102. Чудаков П.Д., Коробкин В.Д. Обратное осесимметричное выдавливание упрочняющегося материала. В кн.: Прогрессивные методы штамповки. Исследование и расчет. - М: Машиностроение, 1971, С. 8-15.

103. Чудаков П.Д., Коробкин В.Д. Определение мощности пластической деформации на поверхностях разрыва в упрочняющемся материале. В кн.: Разработка и исследование технологических процессов обработки металлов давлением. - М.: Машиностроение, 1968, С. 57-62.

104. Чудаков П.Д., Коробкин В.Д. Расчет усилий при обратном выдавливании деталей типа втулок. Сб. прогрессивная технология обработки металлов давлением. М.: НИИМАШ, №12, 1965, С. 26-31.

105. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии. М.: Механика, 1957, №1, С. 102-122.

106. Шофман Л.А. Основы расчета процессов штамповки и прессования. М.: Машгиз, 1961, - 340 с.

107. Шофман JI.А. Теория и расчеты процессов холодной штамповки. М.: Машиностроение, 1964, - 375 с.

108. Alexander J. On the complete solution for frictionless extrusion in plane strain. Quart. App. Maths 19, 1961, P. 31-37.

109. Avitzur В., Van Туne. С.J./Ring forming: an upper bound approach process analysis and characteristics//Trans ASME J. Eng. Jnd., 1982, №3, P. 231-237, 238-247.

110. Brigmann P.W. / Study in Large Plastic Flow and Fracture / M. c. Jrew. -Hill. N. Y., 1952.

111. Davis E.A.//Jour. Am. Mech., 1945, V. 13, P. 13-21.

112. Davis E.A.//Trans. Am. Soc., Mech. Eng., 1943, V. 65, P. 187-192.

113. Jwata K., Oskada K. Analysis of hydrostatic extrusion by the finite element method. J. Eng. Jnd., 1972, 5, P. 679-703.

114. Kobayashi S., Thomsen E.G. /Upper and lower bound solution to axisymmetric compression and extrusion problems. // Juternat. J. Mech. Soc., 1965, №2, P. 127-143.

115. Kobayshi S./ Metalworking process modeling and the finite element method.// SME Manuf. Eng. Trans, Vol. 9: 9-th North Amer. Manuf. Res. Conf. Proc., University Park, Pa, May 19-22, 1981.

116. Kudo H. / Studies on forming and extrusion processes,// II co-censcuho. Univ. Tokyo, 1, 1958, 131 (in Japan).

117. Kunogi M. / Plastic flow in the Picking Process, // Bull Japan, Soc.Mech. Eng., 22.04., 1956 , P. 429-438.

118. Lee C.H., Kobayashi S.N. Analysis of axialsymmetric upsetting and plane-strain side pressing of solid cylinders by the finite element method. J. Eng. Jnd., 1971, 5, P. 445-464.

119. Lesseis J.M., Mac Gredor C.W.//Journ. Franklin Jnst., 1940, V. 230, P. 163- 180.

120. Ludwik P. Elemente der technologischen Mechanik.// Berlin, Julins Sringer, 1909.

121. Musovic Mitar, Jacimovic Milojica/Numerical solutions of plasticity problems of some stationar processes//8 Conf. Appl. Math., Tivat, May 27-29, 1993, Podgorica, P. 161-167.

122. Nadai A. //Plastic behavior of metals in the strain hardening range. Pt. I, J. Appl. Phys., V.8, 1937, P. 205-216.

123. Odqust F. //Zeits and Math., Mech., 1933, V. 13, P. 360-363.

124. Palmer W.D., Oxley P.Z. Mechanics of orthogonal machining, Proc. Jnst. Mech. Eng., 1959, P. 623-631.

125. Ros M., A. Eichinger //Metalle Diskusiosbercht №34 der Eidgenossen Materialprüfungsanstall, Zürich, 1929, P. 254-263.

126. Samuelsson A., Froier M./ Numerical methods in elastic-plasticity-a comparative study.// Nonlinear finite elem., Anal. Struct., Mech.

127. Proc. Eur., U.S. Workshop, Bochum, 1980, Berlin e. a., 1981, P. 274-289.

128. Schmidt P.// Jngenieur Archiv, 1932. 7

129. Shield R.T./ The plastic indentation of layer by a flat punch., //Q. App. Math., 13, 1955,.P. 27-46.

130. Takahashi H., Shioho J. Kobayashi S. CoceS to KaKo.//J. Jap. Soc., Technology Plast., 1977, 18, №198, P. 558-565.

131. Taylor G.J., Quinney H.II Phil. Trans. Rou. Soc., 1931, V. 230, P. 323-335.

132. Taylor J.E. Global extremum principle in mixed form for equilibrium analysis with elastic/stiffening materials (a generalized minimum potential energy prinsiple)//Trans ASME, J. Appl. Mech., 1994, №4, P. 914-918.

133. Thomsen E.G. and Frisch J.T. / Stress and strain in Gold Extruding, //Trans ASME, 77, 1955, P. 1343-1358.

134. Van Rij H.M., Hodge P.C. A slip mode for finite element plasticity.// Trans ASME J. Appl. Mech., 1978, №3,.P. 527-532.

135. Veh Wei-Ching, Yang Yeon-Shend/A variational upper bound metod for plane strain problems.// Trans ASME J. Eng. Jnd., 1996, №3, P. 301-309.