Некоторые спектральные свойства задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Троицкая, Сауле Джумабековна

• Троицкая, Сауле Джумабековна
• кандидат физико-математических наук
• 1992

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Троицкая, Сауле Джумабековна

Введение

Глава I, О дифференциальшх свойствах решений краевых задач для уравнения С.Л.Соболева в областях с нере гулярной границей

§1.1. Постановка задач . Г

§1.2. О дифференциальных свойствах решений задач и ¿3.

Глава 2. О некоторых свойствах решений гиперболических уравнений.

§2.1. Спектр задачи <8&

§2.2. Переход к задаче с косой производной

§2.3. Некоторые свойства решений гиперболических уравнений

§2.4. Формула Римана

Глава 3. О структуре спектра задачи в случае конической области.

§3.1. О свойствах следов решений задач 1^ на границе области .*.

§3.2. Интегральное уравнение для решений задач

§3.3. Применение метода сжимающих отображений

§3.4. Основная теорема о структуре спектра задачи в случае конической области.

Глава 4. Об одном новом методе исследования спектра задачи с^

§4.1. О свойствах собственных функций задачи для областей с ребрами.

§4.2. О некотором классе областей, для которых существуют не почти-периодические решения задачи <£$

§4.3. Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые спектральные свойства задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости»

В 50-х годах С.Л.Соболев опубликовал две - ставшие впоследствии широко известными - работы ["!] , [2] , посвященные изучению динамики вращающейся жидкости. В этих работах исследованы смешанные задачи для системы уравнений, описывающих малые колебания идеальной жидкости, целиком заполняющей некоторую область бе. Я3 ■ и вращающейся вокруг оси 0х3 с постоянной угловой скоростью о) - 2* .

Ъи. - Эр н-^Я- г г г, Л

Т£=1Г~Щ> Ть—11 Щ, ъь- Щ в (0.1)

Щ + ^ " и в ф.2) с граничными условиями или

РЫ"0 (0.4) и начальным условием

Ч^О=и°' - ^ • Со.5)

Здесь ^ ^ гг/)

- вектор, скоростей частиц жидкости во вращающейся системе координат, ^ - гидродинамическое давление, Г1 - единичный вектор внешней нормали к .

Из полученных в результатов следует, что решение этих задач можно свести к решению смешанных задач для следующего уравнения: при выполнении граничных условий (0.4) или

ШУШ' 0 (о.7) и начальных условий

Рк-0=Р°> (О-в)

Качественному исследованию решений этих задач посвящены работы многих авторов. Обзор некоторых из них можно найти в £з] (см. также [4~29])>

Спектральные задачи для задач (о.б) , (о,4) , (о.в) и (о.б), (о. 7), (о.8) имеют вид: с граничными условиями или

0 (о.п) соответственно.

Задача отыскания естественных мод колебаний вращающейся жидкости, известная как проблема Пуанкаре, давно интересовала математиков. Однако до сих пор полностью она решена только для сферы (Ротсаге , 1885, 1910; ЬгуйП , 1889;

Са^ап , 1922; бгеепзрап. , 1964; ОЫпЛде

Шоотге , 1968) и прямого кругового цилиндра, ось симметрии которого совпадает с осью вращения {КвЫЬп , 1880; риШ , 1959) (см .[30]).

В работе ["31] Дж.В.Ральстон доказал, что спектром задачи (0.9), (о.II) всегда является весь отрезок {] . Почти дословно повторяя его рассуждения, удается показать (см. § 2.1 настоящей работы), что для любой области £ спектром задачи(0.э)-(о.то) также является отрезок [-1,1] . Однако качественная структура спектра сильно зависит от конфигурации области О .

Известно, что свойства решений начально-краевых задач (Ьл), (0.2) , (0.4), (о.б) и (0.1) , (о.2), (о.з) , (о.5) тесно связаны со структурой их спектров. Так, отсутствие собственных значений на некоторых подынтервалах отрезка [-i,iJ означает существование не почти-периодических решений этих задач.

Исследование структуры спектра задачи (Ь.э) - (о.ю) в модельном случае двух пространственных переменных впервые было проведено Р.А.Александряном (см. [32 -34]) . и помощью специальных автоморфизмов границы области им было дано качественное описание спектра самосопряженного оператора, соответствующего задаче (О.э) - (оДО) . В частности, было доказано существование области, для которой у этого оператора имеются интервалы непрерывного спектра, а значит, существуют не почти-периодические решения задачи (ОД), (0.2) , (0.4) , (о.б). Позже М.В.Фокиным (см.[35-3тфаналогичный результат был получен для трехмерной задачи (0.9) -(оДО) - с помощью той же техники автоморфизмов границы.

Существование не почти-периодических решений для двумерного аналога задачи (о.1) , (0.2) , (о.з) , (0.5) было доказано Ральстоном (см. [31]) , затем в работе [38] А.А.Ляшенко доказал этот факт и для трехмерной задачи. В ["3 9] А.Фрагела описал некоторый класс областей, для которых спектр задачи (0.9), (о.II) содержит интервалы непрерывного спектра.

Настоящая работа посвящена, в-основном, изучению спектра задачи (о.9) - (О.ю) . Заметим, что, во-первых, указанный метод автоморфизмов границы, с помощью которого были получены все наиболее существенные результаты о спектре этой задачи, применим только к областям с выпуклой аналитической границей, а во-вторых, не дает конкретного примера области, для которой у спектра задачи (Ь.э) ~ (р*10) имеются подынтервалы, не содержащие собственных значений, так как условия, сформулированные в терминах автоморфизмов границы, для заданной конкретной области проверить представляется практически невозможным за исключением крута и, быть может, еще нескольких простых областей . Поэтоцу представляется актуальным поиск конкретных примеров таких областей, получение нового метода исследования задачи (Ь.э) - (Ь.10), а также изучение свойств решений этой задачи, ее спектра для областей с кусочно-гладкими,, не обязательно выпуклыми границами, содержащими ребра и, быть может, конические точки: именно это и является основной целью настоящей диссертации.

Основные новые результаты диссертации коротко можно сформулировать следующим образом.

I. При условии гладкости начальных данных доказана гладкость решений при любом ~Ь>0 обеих смешанных задач С.Л.Соболева о малых колебаниях вращающейся жидкости для областей с ребрами.

2. Получены конкретные примеры областей, для которых существуют участки чисто непрерывного спектра задачи С.I.Соболева с граничным условием Дирихле, в частности, предъявлена некоторая тороидальная область, для которой спектр этой задачи является непрерывным везде, кроме, может быть, пяти точек:

3. Установлен ряд общих свойств решений гиперболических уравнений на плоскости, не обладающих априорной традиционной гладкостью, в частности, при условии равенства нулю косой производной на границе области для таких решений получено представление, аналогичное формуле Римана.

4. Доказано, что если осесимметричная область ограничена коническими поверхностями, то независимо от взаимного расположения конусов и их углов раствора существуют не почти-периоди-ческие решения задачи С.Л.Соболева с условием Дирихле на границе области.

5. Получен некоторый новый метод исследования спектра указанной задачи для не обязательно выпуклых областей, границы которых содержат ребра и, быть может, конические точки.

6. Известно, что если область & является эллипсоидом вращения, то решения задачи С.Л.Соболева с граничным условием Дирихле обладают свойством почти-периодичности по времени. В диссертации доказано, что если поверхность эллипсоида изменить определенным образом на сколь угодно малом участке в окрестности "экватора", то для такой области обязательно появляются не почти-периодические решения этой задачи.

Диссертация состоит из четырех глав.

Если граница области £ и начальные данные ~

- (¿¿о, иС) , р0 , р± - бесконечно гладкие в ¿9 , то, как известно, (см. [31] , и решения задач (ол) , (0.2) , (Ь.З),

0.5) и (0.б),(0.4),(0.8) являются бесконечно гладкими в ь при любом ~Ь . Если же граница не является гладкой, то гладкость функций, входящих в начальные условия, вообще говоря, не гарантирует гладкости решений этих задач при О .В главе первой настоящей работы изучаются дифференциальные свойства решений задач (о.1) , (о.2) , (о.з) , (о.б) и (о.б) , (0.4), (о.ф для областей, границы которых содержат конечное число гладких непересекающихся одномерных ребер. Доказано,(см. теорему 1.2.1^) , что если функции Н0> р0 и р1 являются гладкими везде в О , кроме как, может быть, в точках, где имеет особенности, то и решения этцх -задач при любом ~Ь>0 являются гладкими везде в (5 , кроме, может быть,указанных точек. Следует отметить, что доказательство теоремы 1.2.1. проведено аналогично доказательству теоремы I работы [, что оказалось возможным благодаря использованию результатов ¡41-43).

Глава вторая посвящена изучению спектра задачи (О.э) -(ОЛО), а также получению некоторых свойств решений гиперболических уравнений, необходимых в доказательстве основных результатов третьей и четвертой глав. А именно, доказано, что вне зависимости от конфигурации и гладкости границы области Q спектр задачи (0.9)-(0.10) - это весь отрезок [■'i,i] (рм. теорему 2.1.2^) . Подчеркнем, что доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы I в [31] , поэтому вполне возможно, что этот факт уже был опубликован ранее. Не найдя его в ли

-ю - . тературе, автор счел необходимым привести его доказательство в настоящей работе, ибо в последующих рассуждениях он играет важную роль.

Соотвествие между решениями задач (0.э),(0Л0) и (0.9),(0.11 впервые установил Т.И.Зеленяк. (см. [3]^) . Используя этот факт для осесимметричных областей, после введения цилиндрической системы координат и отделения угловой переменной осуществлен переход от задачи (0.9),(0.10) к задаче с косой производной, для решений которой получено представление, аналогичное формуле Рима-на использовать сразу метод Римана невозможно из-за отсутствия традиционной гладкости решений .

Глава третья посвящена изучению спектра задачи (Ъ.э),(0.10) для областей, ограниченных коническими поверхностями, оси симметрии которых совпадают с осью вращения. Доказано, что для таких областей задача (о.б), (0.4) , (о.в) обязательно имеет не почти-пе-риодические решения, ибо на отрезке £-1, обязательно существуют подынтервалы непрерывного спектра задачи (0.9),(0.10) какие именно - это зависит от конкретных растворов конусов .

В главе четвертой изложен некоторый новый метод исследования спектра задачи (0.9),(0.10) для областей с ребрами, позволяющий устанавливать отсутствие собственных значений на определенных его подынтервалах, с помощью которого класс областей, для которых существуют не почти-периодические решения задачи (о.б), (0.4) , (Ь. в) значительно расширен.

Суть его состоит в следующем. Пусть это осе симметричная область, которая получена вращением вокруг оси 0х3 плоской фигуры 2) , имеющей острый угол %)00 ненулевого раствора см. рис. а). г^с^-ьЬ

Рис. А.

Если значение спектрального параметра lj таково, что характеристики Z- Col4" tsCf¿-&¿, d1= X^/fl-^2-^ ¿>-1,2,., гиперболического уравнения, получающегося из уравнения (О.9) в результате перехода к цилиндрической системе координат и естественного отделения угловой переменной, "забиваются" в угол при , то собственные функции задачи (0.9) , p.io), отвечающие этому значению А (если они существуют), должны с необходимостью обращаться в тождественный ноль в А если при этом область ¿Z) такова, что при данном Л решения спектральной задачи, соответствующей указанному гиперболическому уравнению, продолжаются однозначно с íb0o на всю , то Л не является собственным значением задачи (о.э), (о.ю).

Наконец, если этими свойствами обладает всякое число то, очевидно, на интервале (А^ Аг) спектр этой задачи является непрерывным (в том смысле, что на (А^Аг) отсутствуют собственные значения), а следовательно, существуют не почти-периодические решения начально-краевой задачи (о.б), (0.4), (0.8).

В конце главы четвертой приведены примеры областей, для которых применим указанный метод. Одним из них является тороидальная область, заметаемая при вращений вокруг вертикальной оси прямоугольным треугольником, один из катетов которого параллелен оси, но не лежит на ней и образует с гипотенузой угол с£ (см, рис. 14). Оказывается, что для такой области спектр задачи (0.9),(0.10) является везде чисто непрерывным, за исключением, быть может, точек Л = 0, - 5(Л с£, - 1.

Рис. В

Интересным примером использования предложенного метода является также следующий результат. В 1959 г, Р.Т.Денчевым ([44-было доказано, что если область G имеет форму эллипсоида вращения, то спектр задачи (О.э), (0.10) состоит из счетного всюду плотного на [-1,1] множества собственных значений, а систее 4 \ ма собственных функций полна в 1/\Г2 (б) , поэтому решения задачи (о.б) , (о.4), (0.почти периодичны по времени. Из полученных же в настоящей работе результатов следует, что если эллипсоид имеет круговой выступ в виде острого ребра (см. рис. в) (причем, размеры этого выступа могут быть сколь угодно малы!) , то задача (о.б) , (0.4), (о.8) уже обязательно имеет не почти-периодические решения, ибо вблизи нуля обязательно появляются интервалы чисто непрерывного спектра задачи (о.э) , (одо) .

Предложенный в данной работе метод, по-видимому, может быть использован и для исследования спектра задачи (0.9) , (о.и) .

- щ

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Троицкая, Сауле Джумабековна

Основные результаты диссертации содержатся в работах [50-53] , докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа МГУ под руководством профессора А.Г.Костюченко, профессора Б.М.Левитана и профессора А.А.Шкаликова.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю - Анатолию Гордеевичу Костюченко за постоянное внимание к работе и поддержку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Троицкая, Сауле Джумабековна, 1992 год

1. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. матем.-1954.-Т. 18, № Г.- С. 3 - 50.

2. Соболев С.Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью // Журнал прикл. мех. и техн. физ.- 1960.-№ 3.- С. 20 55.

3. Зеленяк Т.И., Капитонов Б.В., Сказка В.В., Фокин М.В. О проблеме С.Л.Соболева в теории малых колебаний вращающейся жидкости // Препринт ВЦ СО АН СССР, № 471.- Новосибирск, 1983.

4. Зеленяк Т.Н. Об асимптотике решений одной смешанной задачи // Диф. уравнения.- 1966.- Т. 2, № I.- С. 47"- 64.

5. Зеленяк Т.И. Об обобщенных собственных функциях оператора, связанного с одной задачей Соболева // Сиб, матем. журнал.- 1968.-Т. 9, № 5.- С. 1075 1092.

6. Зеленяк Т.И., Фокин М.В. О некоторых качественных свойствах решений уравнения С.Л.Соболева // Теория квадратурных формул и их приложения,- Новосибирск, 1973.

7. Масленникова В.Н. Явные представления и априорные оценки решений граничных задач для систем Соболева // Сиб. матем. журнал. -1968.- Т. 9, № 5.- С. 1182 1198.

8. Масленникова В.Н. Оценки в Ьр и асимптотика при 00 решения задачи Коши для системы Соболева // Труды МИАН СССР.-1968.- Т. 103.- С. 117 141.

9. Копачевский Н.Д. Задача Коши для малых движений идеальной капиллярной вращающейся жидкости // ДАН СССР.- 1974.- Т. 219,6.- С. 1310 1313.

10. Бабский В.Г., Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д., Слобожанин Л.А.,

11. Тюпцов А.Д. Гидромеханика невесомости.- М., "Наука", 1976.

12. П.Копачевский Н.Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике.- М., "Наука", Г989.

13. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения.- М.; Гостехиздат, 1953.

14. Ладыженекая O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.- М.: Наука, 1970.14,Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость.- М.; Изд-во ВЦ АН СССР, 1968.

15. Кожевников А.Н. Об асимптотике собственных значений эллиптической краевой задачи с в уравнении и в граничном условии // Успехи матем. наук.- 1976.- Т. 31, вып. 4.- С. 265 -266.

16. Копачевский Н.Д. Применения метода С.Л.Соболева в задаче о колебаниях идеальной капиллярной вращающейся жидкости // Журнал вычисл. матем» и матем. физ.~ 1976.- Т. 16, Л 2.- С. 426-439.

17. Габов С.А. О спектре одной задачи С.Л.Соболева // ДАН СССР.-1980.- Т. 253, № 3.- С. 521 524.

18. Гараджаев А. Спектральная теория задачи о малых колебаниях идеальной жидкости во вращающемся упругом сосуде // Диф. уравнения.- 1987.- Т. 23, № I.- С. 38 47.

19. Гомилко А.М. О непрерывном спектре одной задачи гидромеханики // Успехи матем. наук.- 1981.- Т. 6, вып. 5.- С. 169 170.

20. Трубачев A.B. Об устойчивости колебаний вязкой жидкости в подвижном сосуде // Вестн. Моск. ун-та. Сер I. Матем., мех.-1989.- № 6.- С. 24 29.

21. Ишлинский А.Ю., Темченко М.Е. О малых колебаниях вертикальной оси волчка, имеющего полость, целиком наполненную идеальной несжимаемой жидкостью // Журнал прикл. мех. и техн. физ.-1960.- Ii» 3.- С. 65 75.

22. Скляр С.Н. 0 базисе из собственных функций оператора, связанного с одной задачей С.Л.Соболева // Динамика сплошной среды. Вып. 17.- Новосибирск: Изд-во ин~та гидродинамики СО АН СССР, 1974.- С. 81 88.

23. Александрии P.A., Березанский Ю.М., Ильин В.А., Костюченко А.Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными // Труды симпозиума, посвященного 60-летию акад. С.Л. Соболева.- М.: Наука, 1970.- С. 3 35.

24. Докучаев Л.В., Рвалов Р.В. Бо устойчивости стационарного вращения твердого тела с полостью, содержащей жидкость // Изв. АН СССР. Мех. тв. тела.- 1973.- № 2.- С. 6 14.

25. Фрагела А. Некоторые вопросы спектральной теории операторных пучков и связанные с ними задачи гидроупругости и вращающейся жидкости.- Дисс. . доктора физ.-мат. наук.- М.: МГУ, 1991.

26. Григорьев Ю.Н. 0 спектре пучка операторов задачи С.Л.Соболева // Динамика сплошной среды / Под ред. Л.В.Овсянникова.-Новосибирск, 1974.- Т. 17.- С. 12-18.

27. Гринспэн 1. Теория вращающихся жидкостей.- Л.: Гидрометеоиз-дат, 1975.

28. Greenspan H. P. On-the invUcid tfieory o<f- rotating fluids H Stud. iß CLppt. 77Ш&-13£9-У.ЦВ, tf*1. Р. 19-28.

29. SoêoBev S.L, Sut иле с Basse des pzoß-ßem.es depAysL^ue matfte/TicitL^ue . Huinlone' defécL. S ocieto. J-tcL&QTia. рег ¿£ p zog tes so Scle/?£e.~toma,, 19CS. P. 192- 208.

30. Bar Моя V äse i symmetric inertia в osc¿€Ba.tío/?s of a rot&tim ruiq of f£uid//7¡7a-tfie/??¿it¿;g¿L,--l968. -У, IS. - p. 93-102.

31. RaBsto/i J. У. O/i statlomru moc/e£s ¿л vis cid •zotatCnß f¿u¿c(s /J X of TflatA. fané. and Of>/>€. 197-31. Д 3CC-382.

32. Александрии P.A. Об одной задаче Соболева для специальных уравнений с частными производными четвертого порядка,// ДАН СССР.- 1950.- Т. 73, № 5.- С. 63Г 634.

33. Александрии P.A. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С.Л.Соболева // Труды Моск. матем. о-ва.- I960,- Т. 9.- С. 455 505.

34. Александрии P.A. К вопросу о зависимости почти периодичности решений дифференциальных уравнений от вида области.- Дисс. . канд. физ-гмат. наук.- М.: МГУ, 1949.

35. Фокин М.В. 0 спектре одного оператора // Диф. уравнения.-1971.- Т. 7, № I.- С. 135 141.

36. Фокин М.В. 0 характере спектра одного оператора // Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1973.- Т. 15.- С. 170 174.

37. Фокин М.В. 0 спектре одного оператора // Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1974.- Т. 16.- С. 107 III.

38. Ляшенко A.A. 0 не почти-периодичноети решений уравнения С.Л. Соболева // ДАН СССР.- 1984.- Т. 278, № 4.- С. 803 806.

39. Фрагела А. Достаточные условия не почти-периодичноети решенийуравнения С.Л.Соболева // Функц. анализ и его прилож.-1991.-Т. 25, № 3.- С. 92 94.40.3еленяк Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными,- Новосибирск, 1970.

40. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Моск. матем. о-ва.- 1967.- Т. 16.- С. 209 292.

41. Денчев Р.Т. 0 спектре одного оператора // ДАН СССР.- 1959.-Т. 126, tè 2.- С. 256 262.

42. Денчев Р.Т. 0 спектре одного оператора // ДАН СССР.- 1959.-Т. 127, № 3.- С. 501 504.

43. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.- М.: Мир, 1977.

44. Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека.-М.: Наука, 1972.

45. Соболев С.Л. Уравнения математической физики.- М.: Наука,1966.

46. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа.- М.: Наука, 1959.

47. Троицкая С.Д. 0 спектре оператора, порожденного задачей С.Л. Соболева в случае конической области // Алгебра, Геометрия и дискретная математика ;в нелинейных задачах.- М-;.: МГУ, I99T.-1. С. 185 197.

48. Троицкая С.Д. 0 зависимости спектра задачи С.Л.Соболева от геометрии области // Избранные вопросы алгебры, геометрии и дискретной математики.- М.; МГУ, 1992.

49. Троицкая С.Д. К вопросу о дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения С.Л.Соболева // Избранные вопросы алгебры, геометрии и дискретной математики.- М.; МГУ, 1992.

50. Троицкая С.Д. 0 спектре одной задачи С.Л.Соболева // Успехи матем. наук. 1992. - Т. 47, Вып. 5.