Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях плоскости Лобачевского тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Емцева, Елена Дмитриевна

• Емцева, Елена Дмитриевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Емцева, Елена Дмитриевна

Введение

I 1. Операторы преобразования

1.1. Операторы дробного порядка типа Лиувилля.

1.1.1. Операторы дробного порядка Лиувилля.

1.1.2. Операторы дробного порядка по гиперболическим косинусам типа Лиувилля.

1.2. Общая теория операторов преобразования

1.3. Операторы преобразования на гладких функциях.

1.4. Весовые следы гладких функций.

2. Функциональные пространства

2.1. О функциональных пространствах 1 Соболева-Никольского-Бесова.

2.1.1. Одномерный случай.

2.1.2. Двумерный случай.

2.2. Сингулярные функциональные пространства в одномерном случае.

2.2.1. Основные понятия.

2.2.2. Теорема о весовых следах.

2.3. Разложение гармонических функций по угловым гармоникам

2.4. Сингулярные функциональные пространства в двумерном случае

2.4.1. Основные определения.

2.4.2. Теоремы вложения.

2.4.3. Теоремы о следах.

2.5. Заключительное замечание.

Краевая задача для эллиптических уравнений с особенностью в изолированных граничных точках

3.1. Постановка краевой задачи.

3.2. Изолированные особые точки гармонических функций и единственность решения сингулярной краевой задачи.

3.3. Существование и оценка решения сингулярной краевой задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях плоскости Лобачевского»

К настоящему времени в основном построена теория краевых задач для эллиптических, параболических и гиперболических уравнений и систем, рассматриваемых в областях с гладкими границами. Нарушение условия гладкости границы в этих задачах приводит к появлению у решения особенностей в окрестности нерегулярных точек границы. Одно из первых исследований в этом направлении было сделано Т. Карлеманом [110]. Основополагающей в этой области можно считать известную работу М.В.Келдыша [46], в которой были указаны основные особенности постановки краевых условий для уравнения второго порядка со степенным вырождением. Было установлено, что при одних соотношениях между коэффициентами на характеристической части границы необходимо ставить условие Дирихле, при других соотношениях - условие ограниченности решения.

К изучению краевых задач для уравнений в частных производных в областях с нерегулярными точками на границе приводят многие важные прикладные задачи. Как известно, для правильной постановки задачи в области с негладкой границей необходимо подобрать подходящие функциональные пространства, в которых рассматриваются решения задачи, правые части уравнения и граничных условий. Во многих таких задачах удобно использовать функциональные пространства с весовой нормой, где вес -некоторая степень расстояния до множества нерегулярных точек границы. Такие пространства функций в этих задачах правильно описывают особенности решения и его производных в окрестности нерегулярных точек границы. Эти особенности в большинстве случаев являются степенными.

Изучению общих краевых задач в областях с особенностями на границе типа угловой или конической точки посвящены работы В.Г. Мазьи и Б.А. Пламеневского. Ими изучались решения эллиптических краевых задач в пространствах типа 1 < р < со, а также в пространстве Cfc'a(£2), состоящем из функций, у которых все производные порядка к в области Q удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а. Они получили коэрцитивные оценки решений и доказали теоремы о нормальной разрешимости [116], [74]. В работах [116], [70] В.Г. Мазья и Б. А. Пламеневский установили для решения однородного эллиптического уравнения справедливость принципа максимума Миранды - Агмона. В работах [71], [72], [115] ими получены формулы для коэффициентов в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе. Они выражаются через решения некоторых вспомогательных краевых задач для сопряженного уравнения. В работе [70] получены оценки и асимптотические формулы для функции Грина общих эллиптических краевых задач с коническими точками на границе. Эти же авторы в работе [69] впервые рассмотрели общие краевые задачи на многообразиях доовольно общей природы, подробные доказательства результатов этой работы изложены в статье [73]. Рассмотренный класс многообразий имеет многомерные особенности, например "ребра" различных размерностей и их всевозможные пересечения. Коэффициенты уравнений и граничных операторов могут иметь разрывы на некоторых многообразиях. В статьях [68], [69], [73] построена теория краевых задач для эллиптических по Дуглису-Ниренбергу систем уравнений на многообразиях такого рода.

Задача Дирихле для эллиптического уравнения вида п п aij{X)UXiXj + (Lj(x)uXj + a(x)u = f(x), (0.1) ij=1 j=1 коэффициенты которого - достаточно гладкие функции, с граничным условием Дирихле и\ш = Ф, (0.2) рассматривалась в работах О.А. Олейник [91] и Г. Тауца [118]. Основной результат этих работ состоит в том, что если х) £ С3'А(Г2), aj(x) 6 С2'А(Г2), а(х) £ С1,А(Г2), то для регулярности по Винеру граничной точки Р для уравнения (0.1) необходимо и достаточно, чтобы точка была регулярной для уравнения Лапласа.

В последующие годы требования гладкости коэффициентов оператора L, обеспечивающие совпадение регулярности по Винеру точек уравнения (0.1) и уравнения Лапласа, были снижены. Например, в работе Р. Эрве [112] коэффициенты оператора L удовлетворяют условию Гёльдера, а в работе Н. В. Крылова [57] - условию Дини. В работе А.А. Новрузова [89] показано, что поточечное условие Дини не обеспечивает совпадение множества регулярных по Винеру точек для уравнения (0.1) и уравнения Лапласа. При некоторых предположениях относительно собственных значений матрицы а^(х) и ее элементов, допускающих разрывы коэффициентов уравнения (0.1), Е.М. Ландис указал достаточные условия регулярности граничной точки [60]. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для некоторых классов уравнений вида (0.1) получены И. Т. Мамедовым [75]. В

Точка а;0 € dft называется регулярной по Винеру для уравнения (0.1), если при любой непрерывной функции ф имеем lim иф{х) = ф(х°),х £ ft.

Х->1°

Опишем один из способов построения, указанный, например, в работе [55], обобщенного по Винеру решения иф в области ft задачи (0.1), (0.2). Пусть ftm - последовательность областей с бесконечно гладкими границами, которая аппроксимирует область ft, причем ftm С Пт+1 с ft. Пусть Ф(ж) -непрерывная в ft функция, совпадающая с ф на dft. Через ит(х) обозначено решение уравнения (0.1) в ftm) удовлетворяющее условию ?/т|ап = которое по предположению существует. Обобщенным по

Винеру решением задачи (0.1), (0.2) называется иф = lim ит(х),х £ ft, т—>оо если такой предел существует и не зависит от выбора последовательности областей ftm и от способа построения функции Ф(ж). этот класс могут входить некоторые уравнения с разрывными коэффициентами.

Вопрос о регулярности по Винеру граничных точек для вырождающихся эллиптических уравнений, для уравнений с неотрицательной характеристической формой и нелинейных уравнений изучался во многих работах, например в [92], [90], [56], [117]. Впервые оценки модуля непрерывности решения уравнения (0.1) в регулярной по Винеру точке границы даны в работах В.Г. Мазьи [65], [66]. В работе А.А. Новрузова [88] оценки модуля непрерывности решения доказаны при условии, что коэффициенты уравнения (0.1) удовлетворяют условию Дини.

Вопрос о регулярности граничной точки рассматривался и для уравнения п п

Lu=J2 (aij(x)uxj)xi + o-j{x)uXj + a(x)u = f(x). (0.3) i,j=l j-1

В работе В. Г. Мазья [67] установлены оценки модуля непрерывности обобщенного решения (0.3), (0.2) в регулярной граничной точке.

Большое число работ посвящено исследованию поведения в окрестности границы области решения задачи Дирихле для уравнений (0.1),(0.3) в кусочно-гладких двумерных областях. В работах С.М. Никольского [84], [85] установлены необходимые и достаточные условия принадлежности пространству Никольского решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в областях с угловыми точками. Е.А. Волков [13], [14], [16] определил необходимые и достаточные условия принадлежности пространству Ck,s решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона А и = / в случае, когда область Q - прямоугольник или параллелепипед. Дифференциальные свойства решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на многоугольниках установлены, например, в работе [15].

В связи с потребностями приложений продолжает расти интерес к сингулярным эллиптическим краевым задачам. Сингулярные краевые задачи для общих эллиптических уравнений были изучены многими авторами. Можно сослаться на работы С. М. Никольского [86], С. М. Никольского и П.И. Лизоркина [63], [64], И.А. Киприянова [48]. Одной из основных работ по этой тематике является монография С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского [82], в которой дано подробное изложение теории эллиптических задач в областях с кусочно гладкой границей. Фундаментальные результаты в исследовании асимптотических свойств решений линейных и нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем получены В. А. Кондратьевым, Ю. В. Егоровым, О. А. Олейник, В.А Никишиным [25], [113], [52], [53], [54]. Отметим также работы A.M. Ильина, Е.Ф. Леликовой [31], [32]. Эллиптическим уравнения второго порядка посвящены работы В.А. Кондратьева [50], Д. Гил-барга, Н.Трудингера [19], А.К.Гущина, В.П.Михайлова [24], Ю.А. Алхутова и В.А. Кондратьева [3]. Различные результаты, полученные при изучении вырождающихся дифференциальных уравнений, содержатся в обзорной работе В.П. Глушко и Ю.Б. Савченко [21]. В работе В.П. Глушко [20] была установлена коэрцитивная разрешимость общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в специальных весовых пространствах типа пространств Соболева. В случае сильного вырождения уравнение кроме ограниченных решений имеет и неограниченные (сингулярные) вблизи характеристической части границы решения. В этом случае в работах А. В. Бицадзе [7], [8] было предложено задавать на характеристической части не само решение или его производную, а их произведение с подобранной весовой функцией. Весовая краевая задача Коши для эллиптических уравнений изучалась Г.Н. Яковлевым [108], А.И Янушаускасом [119] и другими авторам.

В другой ситуации краевые задачи с сильным вырождением возникают в теории особых точек решений эллиптических уравнений. Исследованием таких задач посвящены работы А.А. Новрузова [89], И.А. Шишмарева [107], А.И. Ибрагимова [30]. Здесь, как правило, рассматривались вопросы, связанные с нахождением условий, обеспечивающих устранимость особенностей. Для уравнений математической физики соответствующие факты приведены в книге А.Н. Тихонова, А.А. Самарского [103]. Оригинальный подход исследования сингулярных эллиптических краевых задач, основанный на введении понятия R„ - обобщенного решения, был развит в работах В.А. Рукавишникова (см. [94]-[99] и ссылки там). Эллиптические уравнения с малым параметром при старших производных изучены в работах

A. М.Ильина, Т.Ю. Зыряновой, Б.И.Сулейманова [33], [34], [35].

Многие задачи физики и техники вызывают необходимость изучения краевых задач в областях с негладкой границей. К таким относятся области, которые имеют на границе угловые или конические точки, ребра и т. д. Теория эллиптических краевых задач в негладких областях изложена в работах В.А.Кондратьева [50], [51], В.Г Мазьи [114], М.В. Борсука [9]-[11], В.

B. Фуфаева [104], В. В. Катрахова [39], В.В. Катрахова и С.В. Киселевской [44], [45]. Более подробный список ссылок на работы в данной области можно найти в книге [2].

Данная диссертация посвящена исследованию сингулярной эллиптической краевой задачи, рассматриваемой на плоскости Лобачевского. Решения эллиптических задач могут терять гладкость в особых точках. Это обстоятельство играет важную роль: возникают вопросы о поведении решений вблизи особых точек, о выборе специальных функциональных пространств, в которых порождённый краевой задачей оператор оказывается непрерывным. Поэтому постановка и изучение новых краевых задач для уравнений с сильным вырождением в соответствующих им функциональных пространствах, а также создание методов их решения являются актуальными.

Цель работы состоит в изучении сингулярной эллиптической краевой задачи в областях плоскости Лобачевского, которые могут содержать изолированные граничные точки. Основным результатом является доказательство однозначной разрешимости поставленной сингулярной краевой задачи в специально введенных функциональных пространствах.

Научная новизна. К настоящему времени построена теория общих и вырождающихся или сингулярных эллиптических краевых задач, в том числе и на областях многообразий общей природы. Однако в областях с выколотыми точками даже для простейших уравнений Лапласа (в евклидовом случае) и Лапласа-Бельтрами (для многообразий) значительных результатов до работы Катрахова и его учеников фактически не было по следующим двум причинам:

1) в полярных координатах рассматриваемое эллиптическое уравнение является сильно вырождающимся (сингулярным), поэтому для корректной постановки краевой задачи требуется введение нового нелокального по угловым переменным понятия следа, называемого сигма-следом;

2) отсутствовали функциональные пространства и операторы преобразования, служащие для теоретического анализа соответствующих сингулярных краевых задач.

В работе вводятся и изучаются новые функциональные пространства, которые вне особой точки совпадают с пространствами типа Соболева-Никольского-Бесова (см., например, работы С.ЛСоболева [101], В.П.Михайлова [79], О.А.Ладыженской [58]). Также вводится понятие сигма-следа в особой точке. В работе [37] изучены сингулярные эллиптические краевые задачи в областях евклидовых пространств с изолированными граничными точками, в которых решение может иметь особенности, которые нельзя даже отнести к степенным, поскольку они структурно совпадают с изолированными особенностями аналитических или гармонических функций. В работах [43]-[45] аналогичные задачи рассмотрены в областях с угловыми точками и в областях на конусе. В представленной диссертации такие задачи рассматриваются в областях плоскости Лобачевского (пространстве с постоянной отрицательной кривизной).

Практическая значимость работы. Эллиптические краевые задачи для уравнения Пуассона относятся к классическим математическим моделям. Например, в электростатике особая точка моделирует точечный заряженный объект или в общем случае бесконечную комбинацию мультиполей различных порядков; в гидродинамике особые точки - это истоки или стоки различных порядков и их комбинации; в задачах упругости и пластичности механики сплошных сред - сосредоточенные нагрузки и т.д. [1].

Методы исследования. В данной работе используются современные методы исследования эллиптических краевых задач в соответствующих функциональных пространствах, которые вводятся и изучаются базовым методом операторов преобразования. Основы этого метода были заложены в работах Ж. Дельсарта, Ж.Л. Лионса, Б.М. Левитана. Последний дал название операторов Сонина и Пуассона известному классу операторов преобразования. Почти одновременно с первыми работами Ж. Дельсарта X. Кобером и А. Эрдейи были введены другие операторы преобразования. История развития теории операторов преобразования достаточно полно изложена в работах С.Г. Самко, А.А. Килбаса, О.И. Маричева [100], А.А. Килбаса, С.А. Шлапакова [47]. Применение операторов Сонина и Пуассона в теории сингулярных гиперболических задач изучено Е.А. Ларионовым [61]. В работах В.В. Катрахова [36], [38], [37] введены новые операторы преобразования, которые использовались в теории сингулярных эллиптических уравнений, в теории псевдодифференциальных операторов, теории комплексных степеней сингулярных эллиптических операторов. В диссертации метод операторов преобразования получил дальнейшее развитие. Это связано с построением на их основе новых функциональных пространств типа пространств С.Л. Соболева. Ранее подобные конструкции операторов преобразования в евклидовом случае встречались в работах В.В. Катрахова и его учеников. В данной работе вводятся, изучаются и применяются операторы преобразования, построенные с применением гиперболических функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

1) систематически на семинаре кафедры математики и моделирования Владивостокского государственного университета экономики и сервиса под руководством д.э.н. доц. JI.C. Мазелиса;

2) Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (г.Владивосток, 2005, 2007);

3) "Понтрягинских чтениях-XVII", (г.Воронеж, 2006г.).

4) VIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Интеллектуальный потенциал вузов - на развитие Дальневосточного региона России", (г. Владивосток, 2006г.).

5) объединённом научном семинаре ИПМ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецова, чл.-корр. РАН В.Н. Дубинина, чл.-корр. РАН М.А. Гузева (г.Владивосток, 2007, 2009).

Публикации

1)В.В. Катрахов, Е.Д. Емцева. Об одном классе операторов преобразования: Препринт №5. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2005. 8с.

2)В.В. Катрахов, Е.Д. Емцева. Сингулярная краевая задача в областях пространства Лобачевского // Докл. РАН. 2007. Т. 412, № 6. С. 736-738.

3)В.В. Катрахов, Е.Д. Емцева. Об одном классе операторов преобразования // Дальневосточный математический журнал. 2007. Т.7, № 1-2. С. 62-78.

4) Е.Д. Емцева. Сингулярные функциональные пространства: Препринт № 03. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2007. 35 с.

5)Е.Д. Емцева, В.В. Катрахов. Разрешимость сингулярной краевой задачи в областях плоскости Лобачевского // Сиб. жур.индустриальной математики. 2008. Т. XI, № 3(35). С. 71-85.

Объём и структура работы. Диссертация изложена на 113 страницах компьютерного текста (набранного в системе I^TgX) и состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 119 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Емцева, Елена Дмитриевна, 2009 год

1. Алексеев Г.В. Классические методы математической физики. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 2003. 416 с.

2. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008.364 с.

3. Алхутов Ю.А., Кондратьев В.А. Разрешимость задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в выпуклой области // Дифферент ур-я. 1992. т. С. 806-818.

4. Бейтемен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука,1973. Т.1. 294 с.

5. Бейтемен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука,1974. Т.2. 294 с.

6. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.

7. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

8. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд. АН СССР, 1959. 164 с.

9. Борсук М.В. О разрешимости задачи Дирихле для линейных эллиптических уравнений второго порядка в области с коническими точками // Успехи мат. наук. 1993. Т.48, №4. С. 176-177.

10. Борсук М.В. О разрешимости первой краевой задачи эллиптическихуравнений второго порядка в области с конической точкой // Мат. физ., анализ, геометрия. 1997. Т.4, №4. С. 428-452.

11. Борсук М.В. Вырождающиеся эллиптические краевые задачи второго порядка в негладких областях//Совр. мат. Фунд. напр. 2005. Т.13. С. 1-135.

12. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 400 с.

13. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике // Докл. АН. 1962. Т.147, № 1. С. 13-16.

14. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона на прямоугольнике // Тр. МИАН СССР. 1965. Т.77. С. 89-112.

15. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения Лапласа на многоугольниках // Тр. МИАН СССР. 1965. Т.77. С. 113-142.

16. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений уравнений Лапласа и Пуассона на параллелепипеде и эффективных оценках погрешности метода сеток //Тр. МИ им. В.А. Стеклова. 1969. Т. 105. С. 46-65.

17. Волков Е.А. Об одном свойстве решений уравнения Пуассона на многоугольниках // Матем. заметки. 1999. Т.66, № 2. С. 178-180.

18. Волков Е.А. О разрешимости в классе многочленов задачи Дирихле для уравнения Лапласа на произвольном многоугольнике // Тр. МИАН. 2001. Т.232. С. 102-114.

19. Гилбарг Д., Трудингер. Н Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат. лит., 1989. 464 с.

20. Глушко В.П. Коэрцитивность в общих граничных задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка // Функц. анализ и его прил. 1968. Т.2, № 3. С. 87-88.

21. Глушко В.П., Савченко Ю.Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи // Матем. анализ. 1985. Т.23. С. 125-218.

22. Глушко В.П., Ярцева Н.А. Об одной эллиптической периодической задаче с вырождением в Lp // Мат. заметки. 1998. Т. 63, №4. С. 628-632.

23. Гущин А.К., Михайлов В.П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения // Мат. сб. 1991. Т. 182, №6. С. 787-810.

24. Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Мат. сб. 1994. Т. 185, №1. С. 121 -160.

25. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А., Олейник О. А. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях // Мат. сб. 1998. Т.189, № 3. С. 45—68.

26. Емцева Е.Д., Катрахов В.В. Об одном классе операторов преобразования // Дальневосточный математ. журнал. 2007. Т.7, № 1-2. С. 62-78.

27. Емцева Е.Д. Сингулярные функциональные пространства: Препринт № 03. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2007. 35 с.

28. Емцева Е.Д., Катрахов В.В. Разрешимость сингулярной краевой задачи в областях плоскости Лобачевского J J Сиб. журн. индустр. матем. 2008. Т. 11, № 3 С. 71-85.

29. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 584 с.

30. Ибрагимов А.И. О поведении в окрестности граничных точек и теоремы об устранимых множествах для эллиптических уравнений второго порядка с непрерывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1980. Т. 250, №1. С. 25-28.

31. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Асимптотика решений некоторых эллиптических уравнений в неограниченных областях // Мат. сб. 1982. Т. 119, № 3. С. 307-324.

32. Ильин A.M., Леликова Е.Ф. Асимптотика решений некоторых эллиптических уравнений высокого порядка в конических областях // Мат. сб. 1984.Т. 125, т. С. 88-116.

33. Ильин A.M., Зырянова Т.Ю. Асимптотика решения эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных, вырождающиеся на границе области // Дифференц. ур-я. 1997. Т.34, № 8. С 1092-1099.

34. Ильин A.M., Ялышева Т.Ю.Эллиптическое уравнение с малым параметром при старших производных, вырождающиеся на границе области // Дифференц. ур-я. 1997. Т.ЗЗ, № 6. С. 847-848.

35. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Мат. сб. 1980. Т. 112, №3 С. 354-379.

36. Катрахов В.В. Об одной сингулярной краевой задаче для уравнения Пуассона // Мат. сб. 1991. Т. 182, №6 С.849-876.

37. Катрахов В.В. Краевая задача для уравнения Пуассона с особенностями произвольного порядка в граничных точках // Коррект. краев, задачи для некласс, ур-ий АН СССР. Ин-т мат. 1990. С. 109-123.

38. Катрахов В.В. Сингулярные краевые задачи для некоторых эллиптических уравнений в областях с угловыми точками // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316, №5. С. 1047-1050.

39. Катрахов В.В., Мазелис JT.C. Непрерывность, пополнение, замыкание в метрических пространствах. Владивосток: ДВГУ, 2000. 112 с.

40. Катрахов В.В., Емцева Е.Д. Об одном классе операторов преобразования: Препринт №5. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2005. 8с.

41. Катрахов В.В., Емцева Е.Д. Сингулярная краевая задача в областях пространства Лобачевского // Докл. АН. 2007. Т. 412, № 6. С. 736-738.

42. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками. Функциональные пространства // Дифференц. ур-я. 2006. Т. 42, №3. С. 422-430.

43. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками. Краевая задача // Дифференц. ур-я. 2006. Т. 42, т. С. 548-555.

44. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Эллиптическая краевая задача в областях на конусе: Препринт №7. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 2004. 32с.

45. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. 1951. Т.77. С. 181 -183.

46. Килбас А.А., Шлапаков С.А. Об интегральном преобразовании типа Бесселя и его композиции с интегральными и дифференциальными операторами // Докл. АН Беларусии. 1993. Т. 37, №4. С. 10-14.

47. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: ФИЗМАТЛИТ, Наука, 1997. 208с.

48. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624с.

49. Кондратьев В.А. Граничная задача для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат. общества. 1967.16. С.227-313.

50. Кондратьев В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в кусочно-гладкой области // Дифференц. ур-я. 1970. Т.6, №10. С. 1831-1843.

51. Кондратьев В.А.Об асимптотических свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 2006.25. С. 98-111.

52. Кондратьев В.А., Никишин В. А. Об асимптотическом поведении вблизи границы решений сингулярной краевой задачи для полулинейного эллиптического уравнения // Дифференц. ур-я. 1990. Т.26, № 3. С.465-468.

53. Кондратьев В.А., Никишин В. А. Об асимптотике вблизи кусочно-гладкой границы сингулярных решений полулинейных эллиптических уравнений // Мат. заметки. 1994. Т.56, № 1.С.50-56.

54. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи мат. наук. 1983. Т.38, №2. С. 3-76.

55. Крупская Д.А. О регулярности граничных точек для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дифференц. ур-я. 1977. № 4. С.654-667.

56. Крылов Н.В. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений // Дифференц. ур-я. 1967. Т. 3, № 2. С.315-325.

57. Ладынежская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576с.

58. Ладынежская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.408с.

59. Ландис Е.М. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для задачи Дирихле для уравнения теплопроводности // Докл. АН. 1969. Т 185, № 3. С.517-520.

60. Ларионов Е.А. Дифференциальные уравнения гиперболического типа // Дифференц. ур-я. 1992. №1. С.91-96.

61. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи матем.наук.1951. Т. 6, №2.С.102-143.

62. Лизоркип П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением (случай обобщенных решений) // Тр. МИАН. 1981. Т.157. С. 90-118.

63. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью // Тр. МИАН. 1983. Т.161. С. 157-183.

64. МазьяВ.Г. О регулярности на границе решений эллиптическихуравнений и конформного отображения //Докл. АН. 1963. Т.152, №6. С. 1297-1300.

65. Мазья В.Г. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле вблизи нерегулярной границы // Проблемы математического анализа. Изд-во ЛГУ. 1966. С. 45-58.

66. Мазья В.Г. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме // Матем. заметки. 1967. Т.2, № 2. С. 209-220.

67. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Об эллиптических краевых задачах в области с кусочно-гладкой границей // Труды Симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси. 1973. № 1. С. 171-181.

68. Мазья В.Г., Пламеневский В.А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями // Докл. АН. 1973. Т.210, №3. С. 529-532.

69. Мазья В.Г., Пламеневский В.А. О фундаментальных решениях эллиптических краевых задач и принцип максимума Миранда-Агмона в областях с коническими точками // Сообщ. АН Груз. ССР. 1974. Т. 73, № 2. С. 277-280.

70. Мазья В.Г., Пламеневский В.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе // Докл. АН. 1974. Т.219, Ш. С. 296-290.

71. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1975. Т. 52. С. 110-127.

72. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с особенностями // Проблемы математического анализа. ЛГУ. 1977. № 6. С. 85-145.

73. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Весовые пространства с неоднородными нормами и краевые задачи в областях с коническими точками // Elliptische Differential-Gleichungen, Vortrage der Tagung in Rostok. 1977. № 10. C. 161-190.

74. Мамедов И.Т. О граничных свойствах решений задачи Дирихле для эллиптических и параболических уравнений 2-го порядка // Докл. АН УССР, сер. А. 1981. №2. С.18-22.

75. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977. 331с.

76. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. 504с.

77. Мирошин Н.В. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического оператора // Дифференц. ур-я. 1988. Т.24, № 3. С. 455-464.

78. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392с.

79. Михайлов А.Г. О ргекоторых сингулярных уравнениях с частными производными // Докл. АН СССР. 1991. Т. 319, т. С. 46-52.

80. Михлин С.Г. Курс матеметической физики. С-Пб.: изд-во Лань, 2002. 576с.

81. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991. 336с.

82. Назайкинский В.Е., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е., Б. В. Шульце. Спектральные краевые задачи и эллиптические уравнения на многообразиях с особенностями // Докл. АН. 1999.Т.367, №5. С.597-599.

83. Никольский С.М. Задача Дирихле в областях с углами // Докл. АН. 1956. Т. 109, Ш. С. 33-35.

84. Никольский С.М. Граничные свойства функций, определенных на областях с угловыми точками // Мат. сб. 1957. Т. 43, № 1. С.127-144.

85. Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением па границе // Тр. МИ им. В.А. Стеклова. 1979. Т. 150. С. 212-238.

86. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциопальные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений / / Известия высших учебных заведений. Математика. 1988. № 8. С. 3-30.

87. Новрузов А.А. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле в регулярной граничной точке // Матем. заметки. 1972. Т.12, № 1. С. 67-72.

88. Новрузов А.А. О задачах Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1979. Т.246, №1. С. 11-14.

89. Новрузов А.А. О необходимом и достаточном условии регулярности граничных точек для квазилинейных эллиптических уравнений 2-го порядка // Докл. АН. 1975. Т.223, № 6. С.1311-1313.

90. Олейник О.А. О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа // Мат. сб. 1949. Т. 24, № 1.С.З-14.

91. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Матем. анализ. 1969. Итоги науки. М.: ВИНИТИ. 1971.

92. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука. Гл. ред. ФИЗМАТЛИТ, 1987. 272 с.

93. Рукавишников В.А. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Докл. АН. 1994. Т. 337, №4. С. 447-449.

94. Рукавишников В.А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференц. ур-я. 1996.Т.32, № 3. С. 402-408.

95. Рукавишников В.А. О единственности Rv -обобщенного решения для краевых задач с несогласованным вырождением исходных данных // Докл. РАН. 2001. Т.376, № 4. С. 451-453.

96. Рукавишников В.А., Ереклинцев А.Г. О коэрцитивности Rv -обобщенного решения первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Дифференц. ур-я. 2005. Т.41, № 12. С. 1680-1689.

97. Рукавишников В.А.,Кузнецова Е.В. Коэрцитивная оценка для краевойзадачи с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференц. ур-я. 2007. Т.43, № 4. С. 533-543.

98. Рукавишников В.А.,Кузнецова Е.В. О принадлежности Rv обобщенного решения краевой задачи с сингулярностью пространству W2tlp/2+k+i№,S) // Дифференц. ур-я. 2009. Т.45, № 6. С. 894-898.

99. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688с.

100. Соболев C.JI. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808с.

101. Соболев C.JI. Уравнения математической физики. 5 изд.,испр. М.: Наука, 1992. 431с.

102. Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736с.

103. Фуфаев В.В. К задаче Дирихле для областей с углами // Докл. АН СССР. 1960. Т.131, Ж. С. 37-39.• 105. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987. 735с.

104. Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат. сб. 1993. Т. 184, №6. С. 99-150.

105. Шишмарев И.А. Введение в теорию эллиптических уравнений. М.: изд-во МГУ, 1979.184 с.

106. Яковлев Г.Н.Неограниченные решения вырождающихся эллиптических уравнений // Тр. МИАН. 1978. Т.117. С. 312-320.

107. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. Новосибирск: Наука, 1979. 190 с.

108. Т. Carleman. Uber das Neumann Poincaresche problem fur ein Gebiet mit Ecken.- Diss. Upsala, 1916.

109. Martin Costabel, Monique Dauge. Crack singularities for general elliptic systems // Math. Nachr. 2002. № 235. P. 29 49.

110. R.M. Herve. Recherches axiomatiques sur la theorie des fonctions surhar-moniques et du potentiel // Ann. Inst. Fourier. 1962. № 12. R 415-471.

111. Kondratiev V. A., Oleinik 0. A. Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains //J. Part. Different. Equations. 1993. V. 6, №1. P. 10-16.

112. Kozlov V. A., Maz'ya V. G.,Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities // Math. Surveys Monogr. 1997. V. 52.

113. Maz'ya V.G., Plamenevskii B.A. On the coeffitients in the asymptotics of solutions of elliptic boundary value problems in domains with conical points // Math. Nachr. 1977. № 76. P. 29-60.

114. Maz'ya V.G., Plamenevskii B.A. Estimates in Lp and in Holder classes and Miranda-Agmon maximum principle for solutions of elliptic boundary value problems in domains with singular points on the boundary // Math. Nachr. 1978. № 81. P. 59-82.

115. Oleinik O. A., Radkevich E.V. Second order equations with nonnegative characteristic form. New York London: AMS, Plenum Press. 1973.

116. G. Tautz. Zur Theorie der ersten Randwertaufgaben // Math. Nachr. 1949. № 2. P. 279-303.

117. Yan Zhimin. Differential operators and function spaces. //Several Complex Variables China-Providence(R.L). 1993. P.121-142.