Краевые задачи для нестационарных систем в областях с негладкой границей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Нгуен Мань Хунг

• Нгуен Мань Хунг
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Нгуен Мань Хунг

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава I. Первая начально-краевая задача для сильно гиперболических систем в областях с негладкой границей

§1.1. Постановка первой начально-краевой задачи

§1.2. Однозначная разрешимость первой начально-краевой задачи в ограниченных областях

§1.3. Гладкость обобщенного решения по временной переменной

§1.4. Гладкость обобщенного решения в областях с коническими точками на границе

§1.5. Асимптотика обобщенного решения вблизи конической точки

§1.6. Некоторые частные случаи

Глава II. Первая начально-краевая задача для сильно параболических систем в негладких областях

§2.1. Разрешимость первой начально-краевой задачи

§2.2. Гладкость обобщенного решения по времени

§2.3. Оценки производных обобщенного решения в областях с коническими точками на границе

§2.4. Асимптотика обобщенного решения в окрестности конической точки

Глава III. Первая начально-краевая задача для уравнения Шредингера в негладких областях

§3.1. Разрешимость первой начально-краевой задачи

§3.2. Оценки производных обобщенного решения по времен-

о о

нои переменной

§3.3. Гладкость обобщенного решения в областях с коническими точками на границе

§3.4. Асимптотика обобщенного решения в окрестности конической точки

Глава IV. Вторая начально-краевая задача для нестационарных систем в областях с коническими точками на границе

§4.1. Общие сведения о второй начально-краевой задаче для нестационарных систем в негладких областях

§4.2. Существование и единственность обобщенного решения

§4.3. Оценки производных обобщенного решения по временной переменной

§4.4. Вторая начально-краевая задача для нестационарных систем в областях с коническими точками

Глава V. Краевые задачи для уравнений математической физики в ограниченных областях с коническими точками на границе

§5.1. Вторая начально-краевая задача для нестационарных уравнений второго порядка в ограниченных областях с коническами точками на границе

§5.2. Краевые задачи для нестационарных систем в линейной теории упругости

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для нестационарных систем в областях с негладкой границей»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время хорошо развита теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем. Это относится к задачам как в гладких областях, так и в областях, граница которых имеет особенности. Общие эллиптические задачи в областях с конечным числом конических точек на границе подробно изучены В. А. Кондратьевым в работе [13], где были доказаны теоремы Нетера и найдена асимптотика решений в окрестности особых точек. Такие результаты для эллиптических систем были получены в работах [43,45,48] В. Г. Мазьи и Б.А.Пламеневского. В книге [66] С. А. Назаров и Б. А. Пламеневский изучили общие краевые задачи для эллиптических систем на многообразиях с особенностями. Обзор результатов такого типа был дан в работе [22] В. А. Кондратьева и О. А. Олейник.

Теория краевых задач для параболических и гиперболических уравнений и систем в гладких областях находится в завершенном состоянии. Один из центральных результатов этой теории состоит в том, что если коэффициенты уравнения и граничных операторов, их правые части, а также граница области являются достаточно гладкими, то решение задачи - гладкая функция [1,2,87,90,102]. Значительно меньше результатов имеется в случае, когда область не является гладкой. Краевые задачи для нестационарных уравнений и систем в областях с негладкой границей изучались во многих работах, при этом применялись методы исследования, близкие к тем, которые использовались при изучении эллиптических задач в негладких областях. Кроме того, в нестационарных задачах применяются результаты эллиптиче-

ской теории. Большинство из этих работ посвящено нестационарным уравнениям второго порядка. В работе [6] рассматривалась смешанная задача для параболического уравнения второго порядка в негладкой области. Получена асимптотика решения в окрестности угловой точки границы. Смешанная задача для гиперболических уравнений второго порядка в областях с кусочно гладкой границей рассматривается в работах [63], [57], где доказана теорема о гладкости обобщенного решения и найден главный член асимптотического представления. В работе [99] изучалась корректность задачи с наклонной производной для волнового уравнения в области типа двугранного угла. Для решения этой задачи получена асимптотика вблизи конических точек [3]. Б. А. Пламеневский [56] изучал волновое уравнение в цилиндрической области с ребрами. Установлено существование и единственность решения в соболевских пространствах с весовой нормой, а также его асимптотическое разложение в окрестности ребра. В работе [27] О. А. Ладыженская изучала сильно параболические и гиперболические системы в ограниченных областях. Доказана теорема существования и единственности обобщенного решения первой начально-краевой задачи для таких систем без каких-либо ограничений на границу области.

Диссертация посвящена изучению краевых задач для нестационарных систем в областях, граница которых содержит нерегулярные точки. В числе рассматриваемых вопросов - разрешимость, единственность и дифференцируемость по временной переменной решения в ограниченных областях. Также изучаются гладкость решения и его асимптотическое поведение в окрестности конических точек границы.

При изучении указанных вопросов использованы метод Галеркина, энергетический метод, а также методы и подходы, развивавшиеся в теории эллиптических краевых задач в нерегулярных областях.

Пусть О - область в Н" с границей <90. Введем необходимые обозначения: = 0х [а,6], = <90 х [а,6], 0о,& = Го;& = Г&. Всюду в дальнейшем функции - это комплекснозначные вектор-функции и(х^) = (мх(ж,/), ..., ж = (#1, ..., 6 О,

Будут использованы следующие функциональные пространства:

Н1(£1) - пространство функций и(х), имеющих обобщенные производные Оащ из £2(^)5 М < I, 1 < г < 5, такие, что

I » в

II||2 / ^ I |2 ,, __

1ги11я'т) = /о ¡^ <

|а|=0 ¿=1

где Оа = д^/дх®1-...дх%п, \а\ — ... + ага, йх — ¿х\..Яхп.

о

Н1({1) - подпространство Н1{О), плотным множеством в кото-

0 • •

ром являются функции из С°°(0).

Н1в(О) - пространство функций с нормой:

1/2

!«!1 я'(й)

V /' Гг^+И)!^,,!2^

Ы=0 ¿=1

где г = + ... + ж2)1'2.

н1'к{ Ог) - пространство функций г/(ж, таких, что £><4 £ Ь2(ПТ), £ 12{ПТ), Н < /, 1 < i < 1 < 3 < к, где

/ и

® л А/ л

|а|=0 т ,7=1 " т

Н1,к(£1т) ~ подпространство Н1,к(£1т)-> плотным множеством в котором являются бесконечно гладкие функции, равные нулю вблизи Гт-

Н^Пт) ~ пространство функций с нормой:

1/2

Е \ОыЩ^<1х<М

Нд(Пт) ~ пространство функций, снабженное нормой

Щнипт) -

[

^ Л Шт

ХР+'\<х\+1-1)\ п«

\Ваир\гйхШ

|а 1+5=0

1/2

Н1рк(£1т) ~~ пространство функций, в котором норма определена

следующим ооразом:

¡п \upfdxdt

Уд(Пт) ~ пространство функций с нормой:

= ± [ г2^+к+^\Орщк\2с1хМ+ [ \u\4xdt.

к+\р\=1тт Шт

Рассмотрим матричный дифференциальный оператор

га ш

Е + Е ар(х,Г)Вр + а(х,Г),

\рШЫ \рЫ

где ар9,ар,а - матрицы з х з, аР9 = (—1)Н+Ы Элементы

этих матриц будем считать ограниченными комплекснозначными

функциями в Оу.

Предполагается, что для любого действительного п-мерного

вектора £ ф 0, и для любого комплексного 5-мерного вектора

г] ф 0, справедливо неравенство:

Е мм)ет>о

(1)

при всех (ж, £ От

Диссертация состоит из введения и пяти глав. Глава I посвящена первой начально-краевой задаче для сильно гиперболических систем в областях с негладкой границей. Такая задача состоит в нахождении решения системы уравнений

(-1)т_1Дж, г, В)и - ии = /, (ж, /) 6 От, (2)

такого, что

и

и = щ = 0 при I — 0, х ь О (3)

^ -0, ] = 0,..., т — 1, (4)

Гт

где г/ - направление внешней нормали к О.

В качестве решения задачи (2) — (4) понимается обобщенное решение. Обобщенным решением задачи (1) — (3) называется функ-о

ция и(х, £) £ Нт,1(0,т)-, равная нулю при £ = 0 и удовлетворяющая тождеству

Шт

т , , то

£ (-1)|р|ам1)%1>77 + арВрщ + ащ + щщ(1х(Н = frjdxdt

dxdt

о

для любой 77(ж,г) е ДтД(От), г](х,Т) = 0.

Глава I состоит из шести параграфов. В §1.2 доказывается теорема существования и единственности обобщенного решения первой начально-краевой задачи для нестационарных систем методом Галеркина. В работе [30] О. А. Ладыженская применяла этот метод при гп — 1. В работе [27], где она рассматривала случай ш > 1, был применен другой метод, основанный на применении

теории дифференциальных уравнений для функций с значениями в гильбертовом пространстве. Этот метод требует значительно более сильных ограничений на гладкость коэффициентов.

В §1.3 исследуется гладкость по временной переменной обобщенного решения в ограниченных областях. Доказано, что гладкость обобщенного решения по времени зависит от правой части и коэффициентов системы и не зависит от структуры области.

В §1.4 и последующих параграфах предполагается, что коэффициенты оператора Ь - бесконечно дифференцируемые функции в От- Граница области О, предполагается бесконечно гладкой поверхностью вне начала координат, а в малой окрестности начала координат она является конической поверхностью, т.е. существует такое 6 > 0, что {ж : х £ О, \х\ < 6} = {ж : х £ К, \х\ < 6}, где К - конус в Ип, т.е. К = {ж : х/\х\ £ (?}, где С - гладкая область на единичной сфере 5"-1. Такая область называется областью с конической точкой на границе. Доказаны теоремы о повышении гладкости обобщенного решения в областях с коническими точками на границе.

В §§1.5, 1.6 получены формулы для асимптотического разложения обобщенного решения задачи (2)-(4) в окрестности конической точки.

В главе II изучается первая начально-краевая задача для сильно параболических систем

(-1 Г-1 Д ж, В)и = /, (ж, Г) £ пт. (5)

Назовем обобщенным решением первой начально-краевой зао

дачи для системы (5) функцию принадлежащую Нт>°(0,т)

и удовлетворяющую тождеству

т _ т

J2 (-1 yplapqDquDPr] + J2 apDpurj+aur}

\p\M\=i' bl=i

(-1)""1 к

+ / urüdxdt = / frjdxdt

JQt J

dxdt

I fiT JüT

0 __

при V?7 G ii'"'1 (0^), равной нулю при t — Т.

Одним из результатов этой главы является доказательство существования и принадлежности энергетическому пространству производной обобщенного решения по времени без каких-либо ограничений на структуру области.

Глава II содержит четыре параграфа. В §2.1 доказывается однозначная разрешимость первой начально-краевой задачи для сильно параболических систем в произвольных ограниченных областях. В §2.2 рассматривается гладкость обобщенного решения по временной переменной. В §2.3 установлены оценки производных обобщенного решения в случае, когда область содержит конические точки на границе. В §2.4 получен асимптотический ряд для обобщенного решения в окрестности конических точек границы.

В главе III рассматривается первая начально-краевая задача для системы

i{-l)m~lL{x, t, D)u -щ = /, (ж, t) € 0Т, (б)

которая содержит как частный случай уравнение Шредингера.

Обобщенное решение и(х, г) первой начально-краевой задачи

о

для системы (б) определяется как элемент Нгп'°(От), удовлетво-

ряющий тождеству

г L (-1 Г"1

J\iT ~

т

bl,kl=i * bl=i

dxdt

+ / ur}tdxdt — f frjdxdt J fif J

0

при Vi? G Ят,1(Пг), rj(x,T) = 0.

В главе III рассматривается первая начально-краевая задача для уравнения Шредингера в негладких областях. Изучение этого вопроса базируется на основе анализа эллиптической задачи, которая получается при почти всех значениях времени после переноса производной по i в правую часть уравнения. В §§3.1, 3.2 рассматривается первая начально-краевая задача для системы (6) в ограниченных областях. В §3.3, 4.4 исследуется такая задача в областях с коническими точками на границе. Установлены оценки производных обобщенного решения и его асимптотическое разложение в окрестности конических точек границы.

Глава IV посвящена второй начально-краевой задаче для нестационарных систем.

Обобщенным решением второй начально-краевой задачи для системы (2) назовем функцию и{х. t). принадлежащую Нт [ (Ur). равную нулю при i = 0 и удовлетворяющую тождеству

(-1Г"1 £

+ I щ7n¡dxdt = / ¿'пЛ.хсИ

для любой Г]{х,1) е Ят,1(Пт), ц{х,Т) = 0.

Аналогично определим обобщенное решение второй начально-краевой задачи для систем (5) и (6).

га

Л К

Е (-1 yPlapqDquDPr) + Y. арВРЩ + аЩ ЬЬкИ bl=i

dxdt

Эта глава состоит из четырех параграфов. В §§4.1 приведены общие сведения о второй начально-краевой задаче для нестационарных систем в ограниченных областях с липшицевой границей. В §4.2, 4.3 изложены вопросы о существовании и единственности обобщенного решения. Доказано, что если коэффициенты систем и их правые части являются гладкими по времени, то обобщенное решение также гладкое по времени. В §4.4 вторая начально-краевая задача для нестационарных систем исследована в областях с коническими точками на границе. Получены теоремы о гладкости обобщенного решения, а также теоремы об асимптотике обобщенного решения в окрестности конических точек. Эти асимптотические формулы содержат линейные комбинации специальных решений однородной задачи в конусе, которые вполне определяются поведением границы области и коэффициентов исходной задачи вблизи конических точек границы.

Общие результаты предыдущих глав применяются к некоторым конкретным задачам. В I лаве V рассматриваются краевые задачи для уравнений математической физики в ограниченных областях с коническими точками на границе. Глава V содержит два параграфа. В §5.1 рассмотрена вторая начально-краевая задача для нестационарых уравнений второго порядка. В случае двумерной плоскости, асимптотику обобщенного решения можно построить явным образом в окрестности конической точки. Там же установлено, что если граница в некоторой окрестности конической точки совпадает с прямолинейными отрезками, пересекающимися под углом /3, то гладкость обобщенного решения зависит от величины ¡3.

В параграфе §5.2 рассмотрены краевые задачи для нестацио-

нарных систем линейной теории упругости в негладких областях. Из результатов предыдущих глав получаются теоремы существования и единственности обобщенного решения, а также его асимптотические формулы в окрестности конических точек границы. В частности, эти результаты применимы к системе Ламэ.

Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова по уравнениям с частными производными под руководством профессора В. А. Кондратьева

и профессора Е. М. Ландиса , под руководством академика РАН О. А. Олейник, на научно-исследовательском семинаре факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством член-корреспондента РАН Е. И. Моисеева, на семинаре факультета прикладной математики МАИ им. С. Орджоникидзе по качественной теории дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений под руководством профессора Г. А. Каменского и профессора А. Л. Скубачевского и на семинаре лаборатории Математического института им. В. А. Стеклова РАН по уравнениям с частными производными под руководством профессора А. К. Гущина, профессора A.A. Дезина и профессора В. П. Михайлова.

По теме диссертации опубликованы работы [67-77, 105].

В заключение автор приносит глубокую благодарность своему Учителю, доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Александровичу Кондратьеву за поддержку и многочисленные ценные указания, без которых настоящая работа не могла бы быть выполнена.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Нгуен Мань Хунг, 1999 год

Литература

[1] С. Агмон, А. Дуглис, Л. Ниренберг. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. I. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.

[2] М. С. Агранович, М. И. Вишик. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. — УМЫ, 1964, т. 19, вып. 3(117), 53-161.

[3] А. М. Блохин, Д. Л. Ткачев. Смешанная задача для волнового уравнения в области с углом (скалярный случай). — Сиб. мат. журн., 1989, т. 15, №3, 16-23.

[4] Д. Гилбарг, Н. Трудингер. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.— М.: Наука, 1989.

[5] О. В. Гусева. О краевых задачах для сильно эллиптических систем. — ДАН СССР, т. 102, №6(1955), 1069-1072.

[6] Доан Ван Нгок. Асимптотика решений смешанной задачи для параболических уравнений второго порядка в окрестности угловой точки границы. Вестн. МГУ, сер. матем. механика, N0 1, 1984.

[7] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Элементы дифференциальной геометрии и топологии.— "Наука", М., 1987.

[8] В. М. Ени. Об устойчивости корневого числа аналитической оператор-функции и о возмущениях ее характеристических

чисел и собственных векторов. — ДАН СССР, 1967, т. 173, №6, 1251-1254.

[9] В. М. Ени. О кратности собственного вектора и кратности характеристического числа матричного пучка. — Известия

АН МССР, №, 1965, 94-97.

[10] В. Зайончковский, В. А. Солонников. О задаче Неймана для эллиптических уравнений второго порядка в области с ребрами на границе. — Зап. научн. семинаров ленингр. отд. Метем, ин-та АН СССР, 1983, т. 127, 7-48.

[11] Т. Като. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

[12] В. А. Кондратьев. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях. —Труды Моск. матем. о-ва, 1966, т. 15, 400-451.

[13] В. А. Кондратьев. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. — Труды Моск. матем. о-ва, т. 16, 1967, 209-292.

[14] В. А. Кондратьев. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности ребра. — Дифф. уравн., 1970, 6:10, 183Ы843.

[15] В. А. Кондратьев. Особенности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности ребра. — Дифф. уравн., 1977, 13:11.

[16] В. А. Кондратьев, С. Д. Эйдельман. Об условиях на граничную поверхность в теории эллиптических краевых задач. — ДАН, 1979, 246:4, 812-815.

[17] В. А. Кондратьев. Асимптотика решения уравнений Навье-Стокса в окрестности угловой точки границы. — ПММ, 1967, 31:1, с. 125-129.

[18] В. А. Кондратьев, И. Копачек, О. А. Олейник. Оценки решений эллиптических уравнений второго порядка и системы теории упругости в окрестности граничной точки. — УМН, 1981, 36:1, 211-212.

[19] В. А. Кондратьев. О разрешимости первой краевой задачи для сильно эллиптических уравнений.—Труды Моск. матем. о-ва, т. 16, 1967, 293-318.

[20] В. А. Кондратьев, О. А. Олейник. О поведении обобщенных решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений высокого порядка в окрестности границы. — Зап.научн.сем. ЛОМИ, 1982, 115, Л.: Наука, 114-125.

[21] В. А. Кондратьев, И. Копачек, О. А. Олейник. О поведении обобщенных решений эллиптических уравнений второго порядка и системы теории упругости в окрестности граничной точки. — Труды семинара им. И.Г.Петровского, 1982, 8, 135152.

[22] В. А. Кондратьев, О. А. Олейник. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях. — УНМ, т. 38, вып. 2(230), 1983, 3-76.

[23] М. В. Келдыш. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. — ДАН СССР, 77, №1, 1951, 11-14.

[24] В. А. Козлов. О спектре пучка, порожденного задачей Дирихле для эллиптического уравнения в угле. — СМЖ, 1991, 32:2, 74-87.

[25] В. А. Козлов, В. Г. Мазья. Оценки в Ьр-средних и асимптотика решений эллиптических краевых задач в конусе, II. Операторы с переменными коэффициентами. — Mach.Nachr., 1988, 137, S. 113-139.

[26] В. А. Козлов, В. Г. Мазья. О спектре операторного пучка, порожденного задачей Дирихле в конусе. — Матем. сб., 1991, т. 182, №5, 638-660.

[27] О. А. Ладыженская. О нестационарных операторных уравнениях и их приложениях к линейным задачам математической физики. Матем. сбор., т.45(87), №2, 1958, 123-158.

[28] О. А. Ладыженская. Смешанная задача для гиперболического уравнения — М.: Гостеориздат, 1953.

1/ [29] О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973.

[30] О. А. Ладыженская. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973.

[31] О. А. Ладыженская. О решении нестационарных операторных уравнений. — Матем. сб., 1956, т. 39(81), №4, 491-524.

[32] Е. М. Ландис. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. — М.: Наука, 1971.

[33] В. Г. Мазья, В. А. Козлов. Спектральные свойства операторных пучков, порожденных эллиптическими краевыми задачами в конусе. - Функд. анализ, 1988, т. 22, вып. 2, 38-46.

[34] В. Г. Мазья. О задаче Неймана в областях с нерегулярными границами. — СМЖ, 1968, 9:6, 1322-1350.

[35] В. Г. Мазья. О слабых решениях задач Дирихле и Неймана. — Труды ММО, 1969, 20, 137-172.

[36] В. Г. Мазья, В. А. Козлов. О спектре операторного пучка, порожденного задачей Неймана в конусе. — Алгебра и анализ, т. 3 вып. 2, 1991, 111-131.

[37] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. Об эллиптических краевых задачах в области с кусочно-гладкой границей. — Труды Симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. — Тбилиси, 1971, 1, 171-181.

[38] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с особенностями. — Проблемы матем. анализа, ЛГУ, 1977, вып.6, 85-145.

[39] В. Г. Мазья, С. А. Назаров. Об особенностях решений задачи Неймана в конической точке. — СМЖ, 1989, т.ЗО, №3, 52-63.

[40] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями. — ДАН, 1973, 210:3, 529-532.

[41] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. Об асимптотике решений дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами. — ДАН, 1971, т. 196, №, 508-512.

[42] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. О задаче Неймана для эллиптических операторов произвольного порядка в областях с нерегулярными границами. —Вестн. ЛГУ, сер.матем., 1972, т, 26-33.

[43] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе. — Зап.научн.сем. ЛОМИ, 1975, 52, 110-127.

[44] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. О краевых задачах для эллиптического уравнения второго порядка в области с ребрами. — Вестн. ЛГУ, сер.матем., 1975, №1, 102-108.

[45] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи конических точек. — ДАН, 1974, т. 219, №2, 286-289.

[46] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи ребра. — ДАН, 1976, 229:1, 33-36.

[47] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. Об асимптотике решения задачи Дирихле вблизи изолированной особенности границы. — Вести.ЛГУ, сер.матем., мех., астр., 1977, 13:3, 60-66.

[48] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. — Math.Nachr., 1977, 76, S. 29-60.

[49] В. Г. Мазья. О поведении вблизи границы решений задачи Дирихле для бигармонического оператора. — ДАН, 1977, 235:6, 1263-1266.

[50] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. Lp- оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами. — Труды ММО, 1978, т.37, 49-93.

[51] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. Оценки в Lp и в классах Гельдера и принцип максимума Миранда-Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками границы. — Mach.Nachr., 1978, 81, S. 25-82.

[52] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. Об асимптотике фундаментальных решений эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. — Проблемы матем. анализа, 1979, выи.7, 100-145.

[53] В. Г. Мазья, Т. О. Шапошникова. О требованиях к границе в Lp теории эллиптических краевых задач. — ДАН, 1980, 251:5, 1055-1059.

[54] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. О принципе максимума для бигармонического уравнения в области с коническими точками. — Изв. вузов, сер. матем., 1981, №2, 52-59.

[55] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский. Об одном классе многообразий с особенностями. — Известия высших учебных заведений, матем., 1972, №11 (126), 46-52.

[56] Б. А. Пламеневский. О волновом уравнении в цилиндре с реб-

рами. — 1998, Функц. анализ и его предположения, т. 32, вып. 1, 81-84.

[57] И. И. Мельников. Особенности решения смешанной задачи для гиперболических уравнений второго порядка в областях с кусочно гладкой границей. — УМН, 1982, 37:1, 149-150.

[58] С. Мизохата. Теория уравнений с частными производными.

— М.: Мир, 1997.

[59] С. Г. Михлин. Линейные уравнения в частных производных.

— М.: Высшая школа, 1977.

[60] С. Г. Михлин. Проблема минимума квадратичного функционала. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952.

[61] В. А. Козлов. О спектре операторного пучка, порожденного задачей Дирихле для эллиптического уравнения в угле. — Мат. заметки, 1989, т. 45, вып. 5, 117-118.

[62] В. А. Козлов, В. Г. Мазья. Об одной асимптотической формуле для собственных функций задачи Дирихле в области с конической точкой. — Вестник ЛГУ, Сер. 1, 1988, вып. 4, №22, 30-33.

[63] Наваль Сайед Ахмед Шериф. Смешанная задача для гиперболических уравнений в областях с негладкой границей.

— Вестн.МГУ, сер.матем., мех., 1980, Л-З, 7-10.

[64] С. А. Назаров. Эллиптические краевые задачи, вырождающиеся в конической точке. — Вести.ЛГУ, 1980, №9, 108-109.

[65] М. Ш. Бирман, Г. Е. Скворцов. О квадратичной суммируемости старших производных решения задачи Дирихле в области с кусочно гладкой границей. — Известия высших учебных заведений, матем., 1962, №5 (30), 12-21.

[66] С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. — М.: Наука, 1991.

[67] Доан Ван Нгок, Нгуен Мань Хунг. О гладкости решения смешанной задачи для эллиптических уравнений второго порядка в областях с угловыми точками. — Мат. журнал, Ханой, 1988, т. 16, №4, 6-14.

[68] Нгуен Мань Хунг. О положительных решениях нелинейных эллиптических уравнений в конических областях. — Вестн. МГУ, сер.матем., мех., 1995, №1, 92-95.

[69] Нгуен Мань Хунг. Задача Неймана для нестационарных систем в цилиндрических областях. — Мат. заметки, т. 60, вып. 4, 1996, 631-634.

[70] Нгуен Мань Хунг. Первая начально-краевая задача для гиперболических систем в негладких областях. — УМН, 1997, т. 52, вып. 6, 189-190.

[71] Нгуен Мань Хунг. О положительных решениях задачи Неймана для нелинейных эллиптических уравнений в конических областях. — Вестн. МГУ, сер.матем., мех., 1997, №1, 73-74.

[72] Нгуен Мань Хунг. Начально-смешанная задача для нестационарных систем в областях с нерегулярными границами. — Вестн.МГУ, сер.матем., мех., 1997, №4, 49-51.

[73] Нгуен Мань Хунг. О глакости решения задачи Дирихле для гиперболических систем в области с кусочно-гладкой границей. — УМН, 1998, т. 53, вып. 2, 157-158.

[74] Нгуен Мань Хунг. Об отсутствии положительных решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в конических областях. — Дифф. уравн., 1998, т. 34, №4, 533-539.

[75] Нгуен Мань Хунг. Асимптотика решениий первой краевой задачи для сильно гиперболических систем вблизи конической точки границы. — Матем. сб., 1999, т. 190, №7, 103-126.

[76] Нгуен Мань Хунг. Первая начально-краевая задача для уравнения Шредингера в областях с негладкой границей. — Дифф. уравн., 1998, т.34, №11, 1546-1556.

[77] Нгуен Мань Хунг. О гладкости решения задачи Дирихле для гиперболических систем в областях с коническими или угловыми точками. — ДАН, 1998. т. 362, №2, 161-164.

[78] С. М. Никольский. Задача Дирихле в областях с углами. — ДАН, 1956, 109:1, 33-35.

[79] С. М. Никольский. Граничные свойства функций, определенных на области с угловыми точками. — Матем. сб., 1957, 43:1, 127-144.

[80] В. А. Никишкин. Особенности решения задачи Дирихле для уравнения второго порядка в окрестности ребра. — Труды Моск. матем. о-ва, 1981, т. 42, 243-253.

[81] О. А. Олейник. О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа. — Мат. сб., 1949, 24:1, 3-14.

[82] О. А. Олейник, Г. А. Иосифьян. Априорные оценки решений первой краевой задачи для системы уравнений теории упругости и их приложения. — УМН, 1977, 32:5, 191-192.

[83] О. А. Олейник. Асимптотические свойства решений уравнений с частными производными. — Труды Всесоюзный конференции по уравнениям с частными производными. В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными. — Новосибирск: Наука, 1980, 135-144.

[84] О. А. Олейник, Г. А. Иосифьян, И. Н. Тавхелидзе. Об асимптотике решений бигармонического уравнения в окрестности нерегулярных точек границы области и на бесконечности. — Труды ММО, 1981, 42, 160-175.

[85] В. 3. Партон, П. И. Перлин. Методы математической теории упругости. — М.: Наука, 1981.

[86] А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966.

[87] Р. Сакамото. Смешанные задачи для гиперболических уравнений. — Математика, 1972, 16:1, 62-80.

[88] В. М. У роев. О задаче Коши для уравнений типа Шрединге-ра. — Вестн.МГУ, сер.матем., мех., 1980, №6, 28-32.

[89] Я. С. Уфлянд. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. — Л.: Наука, 1967.

[90] Г. Фикера. Теоремы существования в теории упругости, часть 1. Изд. "Мир", 1974, 89 ст.

[91] В. П. Трофимов. О корневых подпространствах операторов, аналитически зависящих от параметра. — Матем. исследования Кишинев, 3:3(9), 1968, 117-125.

[92] Чан. Зуй. Хо, Г. И. Эскин. Краевые задачи для параболических систем псевдодифференциальных уравнений. — ДАН, 1971, 198:1, 50-53.

[93] И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов. — УМН, 1957, т. 12, вып. 2(74), 43-117.

[94] A. Azzam, Е. Kreyszig. On solutions of parabolic equations in regions with edges. — 1980, Bull. Austrral. Math. Soc., 22:2, 219-230.

[95] A. Azzam, E. Kreyszig. On parabolic equations in n space variables and their solutions in regions with edges. — 1980, Hoc. Math. J., 9, 140-154.

[96] M. Costabel, M. Dauge. General edge asymptotics of solutions of second-order elliptic boundary value problems I. — 1993, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 123A, 109-155.

[97] P. Donato, L. Migliaccio. Sobolev spaces with a weight and elliptic problems in a domain of R2 with corner points. — Rend. Circ. Mat. Palermo, 1978 (2), 27, 153-209.

[98] A. Douglis, L. Nirenberg. Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations. — 1955, Comm. Pure Appl., Math., 8:4, 503-538.

[99] G. Eskin. The wave equation in a wedge with general boundary conditions. — Commun. Partial Differ. Equations, 1992, Vol. 17, №1,2, 99-160.

[100] Y. Egorov, B. Kondratiev. On spectral theory of elliptic operators. — 1996, Basel, Boston, Berlin, Birkhauser.

[101] K. O. Friedrichs. Symmetric hyperbolic linear differential equations. — Commun. Pure Appl. Math., 1954, Vol. 7, №2, 345392.

[102] H. O. Kreiss. Initial boundary value problem for hyperbolic systems. — Commun. Pure Appl. Math., 1970, Vol. 3, 277-298.

[103] L. Kraus, L. Levin. Diffraction by an elliptic cone. — 1964, Comm. Pure Appl. Math., 14, 49-68.

[104] J. K. Kupka, S. J. Osher. On the wave equation in a multidimensional corner. — 1971, Comm. Pure Appl. Math., 24:3, 381393.

[105] Nguyen Manh Hung. On the smoothness of solution of the mixed boundary value problem for the second order hyperbolic equation in a neighbourhood of an edge. — ACTA Mathematica Vietnamica, 1989, №, Vol. 14, 99-113.

[106] S. Osher. Initial boundary value problems for hyperbolic systems in regions with corners. — 1973, Trans. Am. Math. Soc., 176, 141-164.

[107] S. Osher. An ill-posed problem for a strictly hyperbolic equation in two unknowns near a corner. — 1974, Bull. Am Math. Soc., 80, 701-708.

[108] A. S. Peter. Water waves over sloping beaches and the solution of a mixed boundary value problem for A<p — k2cp = 0 in a sector. — 1952, Comm. Pure Appl. Math., 5, 87-108.

[109] L. Sarason. Second order equations of fixed type in regions with corners. — 1980, Trans. Amer. Soc., 261:2, 387-416.

[110] P. Tolksdorf. On a quasilinear boundary value problem in a domain with corners or conical points. — 1982, Z. Angew. Math, und Mech., 62:5, 308-309.

[111] G. Peyser. On the identity of weak and strong solutions of differential equations with local boundary conditions. — 1965, Amer. J. Math., 87:2, 267-277.

[112] I. Witt. Non-linear hyperbolic equations in domains with conical points: existence and regularity of solutions. — Mathematical research, Vol. 84, Akad. Verl., Berlin, 1995.