Асимптотика решений динамических краевых задач в сингулярно возмущенных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Кориков, Дмитрий Владимирович

• Кориков, Дмитрий Владимирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Кориков, Дмитрий Владимирович

Оглавление

Введение

1 Асимптотика решений волнового уравнения

1.1 Краткое содержание главы

1.2 Главный член асимптотики

1.2.1 Доказательство оценок (1.16) и (1.17)

1.2.2 Главный член асимптотики решения задачи (1.4)

1.2.3 Главный член асимптотики решения задачи (1.1)

1.3 Полное асимптотическое разложение

1.3.1 Формальный асимптотический ряд для решения задачи (1.4)

1.3.2 Асимптотика решений уп(х,т), ) при |ж| ^ 0 и |£| ^ го

1.3.3 Оценка остатка в асимптотическом разложении решения задачи (1.4) с N членами

1.3.4 Асимптотическое разложение решения задачи (1.1)

1.4 Волновое уравнение в области со сглаженной конической точкой

1.4.1 Асимптотика решения задачи (1.119) при е ^ 0

1.4.2 Асимптотика решения задачи (1.118) при е ^ 0

2 Асимптотика решений стационарной системы Максвелла

2.1 Краткое содержание главы

2.2 Операторный пучок

2.3 Первая предельная задача

2.4 Вторая предельная задача

2.5 Главный член асимптотики

2.5.1 Главный член асимптотики решения задачи (2.7),(2.8)

2.5.2 Оценка остатка

2.5.3 Связь решений исходной и расширенной систем Максвелла

2.6 Полное асимптотическое разложение

2.6.1 Асимптотический ряд для решения задачи (2.7),(2.8)

2.6.2 Оценка остатка

2.6.3 Возвращение к исходной системе Максвелла

3 Асимптотика решений нестационарной системы Максвелла

3.1 Краткое содержание главы

3.2 Главный член асимптотики

3.2.1 План вывода главного члена асимптотики

3.2.2 Доказательство теоремы 3.2.1

3.2.3 Возвращение к исходной задаче (3.1),(3.2) при выполнении условий совместности

3.3 Полное асимптотическое разложение

3.3.1 Равномерные по параметру т оценки коэффициентов и остатков в разложениях (2.89), (2.90)

3.3.2 Равномерная по параметру г оценка остатка й^1(-,т,е) разложения (2.101)

3.3.3 Возвращение к нерасширенной системе Максвелла в разложении (2.101), (2.102) при выполнении условий совместности

3.3.4 Асимптотическое разложения решений задач (3.3), (3.4) и (3.1), (3.2)

4 Обобщения

4.1 Стационарная система уравнений Максвелла с импедансными граничными условиями

4.1.1 Главный член асимптотики решения задачи (4.3), (4.4)

4.1.2 Оценка остатка

4.1.3 Асимптотический ряд для решения задачи (4.3), (4.4)

4.1.4 Возвращение к нерасширенной системе Максвелла

4.2 Нестационарная система уравнений Максвелла с импедансными граничными условиями

4.3 Случай области с несколькими отверстиями

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотика решений динамических краевых задач в сингулярно возмущенных областях»

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многочисленные приложения механики сплошной среды и электродинамики приводят к исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными в сингулярно возмущенных областях (СВО). Примером СВО служит область с гладкой границей, которая зависит от малого параметра е и совпадает в пределе при е ^ 0 с областью, имеющей особенности на границе (выколотые точки, углы, ребра разных размерностей и т. п.). Эллиптические задачи в СВО хорошо изучены, для их исследования разработаны метод согласованных асимптотических разложений (см. [3-5]) и метод составных асимптотических разложений, описанный в монографии [6]. Эти методы опираются на результаты теории эллиптических задач в предельных областях, не зависящих от е, то есть в областях с особенностями на границе. Такая теория изложена в монографиях [7-9].

Можно ожидать, что метод составных разложений применим и для исследования нестационарных (гиперболических) задач в СВО. Как и в стационарном случае, такое исследование связано с изучением краевых задач в предельных областях с особенностями на границе, однако теперь среди них появляются нестационарные. Сравнительно недавно в работах [10-14] для таких нестационарных задач был получен ряд результатов, которые могут быть использованы для исследования динамических задач в СВО. Таким образом, построение теории нестационарных задач в СВО стало актуальной проблемой.

Диссертация состоит из двух частей. В первой части рассматривается задача Дирихле для волнового уравнения в ограниченной области с малой (диаметра е) полостью; выводятся и обосновываются полные асимптотические разложения решений. Рассмотренная ситуация представляет собой простейший содержательный пример гиперболической задачи, где выясняются некоторые ключевые приемы исследования нестационарных задач в СВО. Результаты обобщены на случай СВО, вырождающейся при е ^ 0 в область с конической точкой на границе. Во второй части исследуется нестационарная система Максвелла в ограниченной области с конечным числом малых полостей (диаметры полостей пропорциональны малому параметру е). На границе области заданы условия идеальной проводимости либо импедансные граничные условия. Во всех перечисленных задачах время £ пробегает всю вещественную ось, однако полученные результаты позволяют сделать нужные заключения и о начально-краевых задачах, рассматриваемых при временах £ € (0,Т).

Работа основывается на асимптотической теории гиперболических задач в областях с особенностями на границе. Методика исследования этих задач описана в работе [10] на примере волнового уравнения в конусе и в ограниченной области с коническими точками и ребрами на границе. Результат этой работы был обобщен в [12] на случай краевых задач для гиперболических уравнений с сильно эллиптической пространственной частью. В статьях [13,14] исследовались нестационарная система Максвелла и общие динамические задачи теории упругости в областях с коническими точками и ребрами на границе.

Результаты указанных работ позволили описать асимптотику решений волнового уравнения в ограниченной области с малой полостью методом составных асимптотических разложений. Приемы, использованные при выводе асимптотики, являются характерными для нестационарных задач в СВО.

Отметим, что хотя в диссертационной работе используется только метод составных разложений, предложенная процедура вывода асимптотики допускает также использование и метода согласованных разложений. В обоих методах асимптотика составляется из решений задач в предельных областях с особенностями на границе. В методе согласованных разложений функциональные пространства, в которых решаются предельные задачи, зависят от номера итерации так, что особенности решений увеличиваются с ростом числа итераций. В методе составных разложений функциональные пространства для решений предельных задач одни и те же независимо от номера итерации. Благодаря этому метод составных разложений более простой и применим к более широкому кругу задач. Кроме того, в методе составных разложений требуемая точность асимптотики обеспечивается за меньшее, чем в методе согласованных разложений, число итераций. Это имеет значение в тех случаях, когда возможное число итераций ограничено, например, гладкостью правой части.

Нестационарная система Максвелла является переопределенной, поэтому для ее исследования применяется расширение оператора Максвелла до оператора гиперболической краевой задачи. Такое расширение предложено в работе [15] и использовалось, например, в работе [16] при изучении спектра оператора Максвелла в областях с негладкой границей. Для построенной таким образом гиперболической задачи выводится и обосновывается асимптотика решений. Затем из сведений, полученных для гиперболической задачи, извлекается информация об асимптотике решений исходной (нерасширенной) системы Максвелла.

Целью диссертационной работы является развитие методики исследования нестационарных (гиперболических) краевых задач в сингулярно возмущенных областях. В соответствии с этой целью были поставлены следующие задачи:

1. Вывод асимптотики решений задачи Дирихле для волнового уравнения в ограниченной области с малой полостью. Обобщение результатов на случай СВО, вырождающейся при £ ^ 0 в область с конической точкой на границе;

2. Вывод асимптотики решений стационарной системы Максвелла в области с конечным числом малых полостей;

3. Вывод асимптотики решений нестационарной системы Максвелла в области с конечным числом малых полостей.

Научная новизна. Гиперболические задачи в СВО ранее не исследовались (вероятно, из-за того, что теория гиперболических задач в предельных областях с сингулярностями на границе была развита сравнительно недавно). В диссертации впервые расматриваются две динамические задачи в СВО: задача Дирихле для волнового уравнения и нестационарная система уравнений Максвелла (с условиями идеальной проводимости или импедансными условиями на границе). По-видимому, система Максвелла в СВО не исследовалась даже в стационарном варианте; в диссертации такое исследование проводится при подготовке к рассмотрению нестационарной системы Максвелла. Основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми:

1. В ограниченной области с малой полостью (диаметра е) рассмотрена задача Дирихле для волнового уравнения; выведены и обоснованы полные асимптотические разложения решений при е ^ 0. Время £ в задаче пробегает всю вещественную ось. Результаты (на уровне главного члена асимптотики) обобщены на случай СВО, вырождающейся при е ^ 0 в область с конической точкой на границе.

2. Исследована стационарная система Максвелла в ограниченной области с конечным числом малых полостей; диаметры полостей пропорциональны малому параметру е. Выведены и обоснованы полные асимптотические разложения решений при е ^ 0. На границе области заданы условия идеальной проводимости либо импедансные граничные условия. Спектральный параметр т в задаче может принимать любые значения, при которых окрестность г при всех е свободна от собственных значений системы Максвелла.

3. Исследована нестационарная система Максвелла в ограниченной области с конечным числом малых полостей; диаметры полостей пропорциональны малому параметру е. Выведены и обоснованы полные асимптотические разложения решений при е ^ 0. На границе области заданы условия идеальной проводимости либо импедансные граничные условия; время £ в задаче пробегает всю вещественную ось.

Научная и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты демонстрируют ключевые приемы исследования нестационарных задач в СВО, которые могут быть использованы для дальнейшего развития метода описания асимптотики решений гиперболических задач в СВО.

Предлагаемая во второй задаче (система Максвелла) математическая модель может иметь приложение в диагностике плазмы: она описывает поведение электромагнитного поля плазмы, заключенной в проводящий резонатор и загрязненной частицами металла. Модель является корректной, если диаметры частиц металла много больше толщины скин-слоя в металле. Для упрощения выкладок электрическая и магнитная проницаемости в работе выбраны равными единице; однако методика естественно обобщается и на случай переменных комплексных электрических и магнитных проницаемостей.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры Высшей математики и математической физики, а также на конференциях:

1. International Conference DAYS on DIFFRACTION 2014, Russia, St. Petersburg, 2014 (устный доклад).

2. Конференция «Встреча поколений» фонда Дмитрия Зимина «Династия», Москва, 2015 (устный доклад).

3. 8th St.Petersburg Conference in Spectral Theory dedicated to the memory of M.Sh.Birman, Russia, St. Petersburg, 2016 (устный доклад).

Личный вклад. Результаты первой главы диссертации опубликованы в работе диссертанта [1]. Основные результаты второй, третьей и четвертой глав опубликованы в совместной работе диссертанта и Б.А. Пламеневского [2]; определяющий вклад в эту работу принадлежит диссертанту.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в двух печатных изданиях ( [1], ), рекомендованных ВАК для опубликования результатов кандидатских и докторских диссертаций. Обе публикации индексируются международной системой цитирования Web of Science.

[1] Кориков Д.В. Асимптотика решений волнового уравнения в области с малым отверстием // Алгебра и анализ 26 (2014), №5, 164-200.

[2] Кориков Д.В., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений стационарной и нестационарной систем Максвелла в области с малыми отверстиями // Алгебра и анализ 28 (2016), №4, 102-170.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации 121 страница текста. Список литературы содержит 20 наименований.

Здесь область П(е) с малой полостью ш(е) = [х Е R3 : £-1х Е ш} задана формулой П(е) = П\ш(е), где е > 0 - малый параметр, а Q,u С R3 - ограниченные области с гладкими границами, содержащие начало координат. Функция F определена в цилиндре [(x,t) : х Е Q,t Е R}. После комплексного преобразования Фурье Ft^r, где т = а — г7 (а Е R, 7 = const > 0), задача (1) переходит в семейство задач

Формулировка основных результатов

В первой главе рассматривается задача

- AX)U(x,t,e) = F(x,t), (x,t) Е ОД х R; U(x,t,e) = 0, (x,t) Е Ш(е) х R.

(1)

(Аж + т2)и(х,т,£) = f (х,т), х Е П(е); и(х,т,е) = 0, х Е дП(е),

(2)

зависящих от параметра т; здесь и = и и / = ^. Асимптотика функции и(^,т,е) при е ^ 0 находится методом составных разложений, главный член асимптотики имеет вид

щ(х,т,е) = Уо(х,т) + х{%)ыо{£-1х,т), (3)

где х ^ % = 1 вблизи нуля, ь0(^т) - решение первой предельной задачи

-(Лж + т2)у0(х,т) = f (х,т), х е П; ь0(х,т) = 0, х е дП, (4)

а £ ^ ) - решение второй предельной задачи

-Л^о(£,т) = 0, £ е ыо(£,т) = -зд(0,т), £ е дш,

убывающее при |£| ^ го. Функция х(%)ы0(£-1%,т~) компенсирует главный член г>0(0,т) невязки, вносимой решением у0(^,т) в граничное условие на дш(е). Заменяя и(^,т,е) на и(^т,е)—и0(^,т,е) и повторяя процедуру, мы строим второй член асимптотики и т.д. В результате получается асимптотическое разложение и(^,т,е) при е ^ 0 в форме

те

^£п(ьп(х,т)+ 'ып(е-1х,т)). (5)

п=0

Это разложение является двухмасштабным: оно составлено из функций, которые зависят либо от "медленной"переменной х, либо от "быстрой"переменной £ = е-1х. Функции ьп(^,т) являются решениями первых предельных, а функции и>п(^,т) - вторых предельных задач.

Формально асимптотика решения и(•, • ,е) задачи (1) получается обратным преобразованием Фурье из формул (3), (5). Однако для обоснования асимптотики необходимы равномерные по т оценки остатка в асимптотике решения и(^,т,е) задачи (2). Для этого требуется, чтобы асимптотики решений х ^ Уп(х,т), £ ^ тп(^,т) предельных задач при |ж| ^ 0 и £ ^ го были равномерными по т. Оператор второй предельной задачи не зависит от т и является эллиптическим. В отличие от второй предельной задачи, оператор первой предельной задачи существенно зависит от т: он не является эллиптическим с учетом параметра т (в смысле Аграновича-Вишика, см. [17]). Другими словами, не существует глобальной оценки ее решений вместе с первыми производными, равномерной по параметру т, то есть оценки вида

£ |т|2(2-|Н) II ОУ0(;Т) |Ц2(П)< сО) II f (;т) ||^(п) .

Н<2

Метод, пригодный для описания асимптотики решения у0(^,т) первой предельной задачи, развит в работах [10-14] при исследовании гиперболических задач в областях с ребрами. В этом методе оценка решения у0(^,т) и его вторых производных получается только в окрестности начала координат, имеющей диаметр порядка |т |-1. Эта окрестность называется эллиптической зоной. В оставшейся части области П используется глобальная оценка решения и его первых

производных. При достаточно большом 7 = |1шг| > 70 эти две оценки склеиваются в промежуточной зоне и приводят к глобальной "комбинированной" оценке, равномерной по параметру т. Для ее описания потребуются специальные функциональные пространства. Определим нормы

11-11^(П) и II ■ (П,г) формулами

1/2 / \ 1/2

I * Ц(П)= ( Е /(^Г4-^^)1)2Лх ) , | « Ц(П,г)= ( Е 1т 12('-в) I * НУ|(П)

\н< П / ^

Обозначим через Т>У/(т) пополнение С,?о(П\{0}) по норме

/ \ 1/2

1 V Ьу?(г)= ХтV ^2^) +72 1 V Ну1(п>г)) , (6)

где Хт= х(!т!ж). Если носитель функции V Е Т>У/(т) лежит во внутренности виррхг, то норма (3.12) эквивалентна || V ||У|(П). Однако если носитель лежит в П^иррХт, то норма (3.12) эквивалентна || V ||яХ(П). В этом смысле Т>У/(т) представляет собой пространство функций переменной гладкости. Введем еще пространство ЯУ/ (т) с нормой

|| / нпу?(г)= ( || / ||у0(п) +7-2|Г|2(1-/) || / |Ц2(П) )1/2. (7)

В пространстве ЯУ/ (т) рассматривается замкнутый оператор С/ (т), ассоциированный с задачей (4). Область определения этого оператора является подмножеством Т>У/ (т). Комбинированные оценки доказаны при всех ¡3 < 1, 0 = 1/2 — I (I = 0,1,2,...) и имеют вид

Н V Уу?(г)< с Н (тн^уз(г) .

Постоянная с в этих оценках не зависит ни от V, ни от т. При ¡3 Е (1/2,1] оператор С/(г) является изоморфизмом. При убывании ¡3 размерность коядра этого оператора увеличивается (при переходе ¡3 через точки 1/2 — /), но остается конечной. Элементы базиса коядра однозначно определяются своей (растущей) асимптотикой вблизи начала координат. При ¡3 =1/2 — I (I = 0,1,2,... ) образ оператора С/(г) незамкнут в ЯУ/(т). Все это позволяет вывести асимптотику решения ь0(-,т) при |ж| ^ 0. Эта асимптотика, по существу, получена в работе [10] и имеет вид

I

Уо(х,т) = Хт(х) ЕМ + ), (8)

г=0

где х = |ж|-1 х, коэффициенты ^(-,т) являются гладкими функциями переменной х на единичной сфере Б2 и однозначно определяются правой частью f (-,т). Остаток г>0г+1)(-,т) удовлетворяет оценке

|| ^+1)(-,т) н^уз(г)< с(ф) || /(;Т) Нку?(Т) 7-1|г| (9)

в которой /3 G (-1/2 — / ,1/2 — /), постоянная с(0) не зависит от а и 7. Коэффициент v0o)(x,t) не зависит от х, поэтому для него удобно сохранить обозначение wo(0,t).

Вернемся к описанию асимптотики решения и(^,т,е) задачи (1) при е ^ 0. Из формул (8), (9) следует, что асимптотика функции v0(^,r) строится только в эллиптической зоне диаметра 0(|т|-1). При е|т| < р0 (где р0 > 0 достаточно малое число, такое что Хр01дш = 1) асимптотика решения и(^т,е) находится методом составных разложений; формула (8) применяется для описания асимптотики невязки и(х,т,е) — v0(x,r) на границе дш(е) малой полости при е ^ 0. При е|т| > const эллиптическая зона находится внутри малой полости ш(е) и описать поведение невязки на дш(е) невозможно. Это означает, что при е|т| > const (иначе говоря, для описания поведения волн, длина которых меньше, чем диаметр малой полости) метод составных разложений неприменим. Поэтому на правую часть F волнового уравнения накладывается дополнительное условие гладкости по времени, благодаря которому вклад коротких волн оказывается пренебрежимо малым при е ^ 0. При сделанных предположениях удается получить равномерную по т оценку остатка в асимптотике решения и(^,т,е). Обратное преобразование Фурье доставляет асимптотику решения исходной нестационарной задачи. Опишем главный член асимптотики. Введем норму

II U ||у(е,7) =

( \

^ J J e-2^(lxl-2lU(x,t)l2 + lV(x,t)U(x,t)l2)dxdt

\\а1<1-ж хеП(£)

1/2

Теорема 0.0.1. Решение задачи (1) с правой частью, подчиненной условию

I I \т\6\&^г^(х,т)\2dxdo^ < го

допускает асимптотическое разложение

и (х,г,е) = Уо(х,г) + х(х)Шо(£-1х) + (У1(х,г,£) (10)

с остатком 111(х,Ь,£), таким что

|| ■ ,Е) ||у(е>7)= 0(£1-)

при всех 5 € (0,1/2]. Функции У0, в (10) определяются, как обратные преобразования Фурье от функций ь0,

В первой главе выведены полные асимптотические разложения решений задачи (1) с оценками остатков, результат сформулирован в следующем утверждении.

Теорема 0.0.2. Решение задачи (1) с правой частью, удовлетворяющей условию

I I \гГ^)-9^!2^) + \тГ^(х,т)\2йхйа <

а=—<х х€П

допускает разложение

N -1

и (х,г,£) = Е £п{Уп(х,г) + х(ж)Жга(е-1ж,^)) + ^ 0М,е)

п=0

с остатком UN(х,Ь,е), таким, что

II ^(■, ■ ,е) ||у(е>7)= 0(е?—)

при всех 5 Е (0,1/2]. Функции Уп (п Е М) и Шп (п > 0) определяются, как обратные преобразования Фурье от функций т ^ ьп(^,т) € Сго(П\{0}), т ^ ,шп(^,т) € допускающих разложения в асимптотические ряды

го ( . ) те ( . )

Ьп(х,т) - Е уПП) (х,т)\х\г, \ж\ У 0, Ып(£,т) - Е ™п(ж,т)\£\ —, |£ =0 =1

с гладкими по переменной х = \ж\-1ж € в2 коэффициентами ь^п^^), и4г)0,т). Функция ьп(^,т) является решением задачи

п

— (△ + т2)Уп(х,т) = [Ах,Х] Е И-< "О— ) + г2х(^) Е \ж\-"^—к(^), X Е П,

г=1 к=1,2

уп(х,т) = 0, х Е дП.

Функция тп(^,т) является решением задачи

= г2.ипз)2(е,г), е е кз\^, = - Е \е\ЧР-Р(£,т), е е дШ.

р=0

Полученные для задачи (1) результаты обобщены (на уровне главного члена асимптотики) на случай ограниченной области 2(е) С К3 с гладкой границей, вырождающуюся при е ^ 0 в область 2 с конической точкой (начало координат) на границе. Более точно, в окрестности начала координат область 2 совпадает с открытым конусом К, вне вершины конуса граница д2 гладкая. Область 2(е) задается формулой 2(е) = 2\(К\Л(е)), где Л(е) = {х Е К3 : е-1 х Е Л}, область Л С К имеет гладкую границу и совпадает с К в окрестности бесконечности. Во второй главе рассматривается стационарная система уравнений Максвелла в П(е)

жоЫ2(х,т,е) + ти1(х,т,е) = / 1(х), — г&уи1 (х,т ,е) = д1(х), —иоЫ1^^^) + ти2(х,т,е) = /2 (х), —г&1уи2(х,т,£) = д2(х).

Параметр т = а — фиксирован, о € К и ^ > 0. Трехкомпонентные вектор-функции и1 ,и2 подчинены краевому условию

V(х) х и1(х,т,е) = 0, (и(х),и2(х,т,£)) = 0, х € Ш(е), (12)

отвечающему идеально проводящей границе; и - единичный вектор внешней нормали, обозначает скалярное произведение векторов € С. Система (11) переопределенная (восемь уравнений для шести скалярных функций); для разрешимости задачи (11), (12) необходимы условия совместности

div/к(ж) — гтдк(х) = 0, х € П(е),к = 1,2; (/2(х),и(х)) = 0, ж € дОД. (13)

Добавлением двух неизвестных скалярных функций а1 и а2 задача (11), (12) расширяется до эллиптической задачи

(А(БХ) + т)и(х,т,е) = f(х), х € ОД; Ги(ж,т,е) = 0, х € дП(е), (14)

(см., например, [15]). Здесь и = (и1 ,и2,а1 ,а2)т, f = (/1,/2,д1 ,д2)т - вектор-столбцы, и

А(БХ)(и1 ,и2 ,а1 ,а2)т = (1т1и2 — %ЧХ а1, —1т1и1 — %ЧХа2, — г&уи1, —^уи2 )т;

граничный оператор Г задан соотношением

Г(и1,и2,а1,а2)т =(—(и1,12),(и1М), (и2,и),а1)т, (15)

где 11,12 - единичные касательные векторы, такие что 11,12,и образуют правую тройку ортонорми-рованных векторов. Асимптотика решения и(-,т,е) описывается методом составных разложений. Особенностью применения метода является то, что оператор второй предельной задачи имеет нетривиальные ядро и коядро. Сформулируем основной результат для задачи (14).

Теорема 0.0.3. При f € решение задачи (14) при всяком N = 0,1,2,... допускает асимп-

тотическое разложение

N

и(х,т,е) = £-1х(х)а(т )я (е-1ж) + ^ £п(уп(х,т )+х(х)™п(£-1х,т +1у^+1(х,т) + йк+1(ж,г,е)

п=0

(16)

с остатком ^+1(-,т,е), удовлетворяющим оценке

II йк+1(^,г,в) ||ВДе)) = 0(^+3/2-)

при всех 5 > 0. Здесь Уп = (г£,ьПК,ЬП)т, Wn = (шП,тП,вП,вП)т> где ь3п(^,т) € С~(П\{0}), тПп(^т) € - трехкомпонентные вектор-функции, а ЪПп(^,т) € Сте(П\{0}), оПп(^,т) €

Сго(Е3\ш) - скалярные функции, ] = 1,2. Для vn(■,т), wn(■,r) справедливы асимптотики

Vn(x,r) = ^Vn(€)(x)т)\x\г, N ^ 0; Wn(e,r) = £ Wn(l»(í)r)\е\ —, \е\ ^ ~

=0

=1

коэффициенты Vn(г)(■,т) = (^п^'1,^'2,^'1,^'2)Т и Wn(,)(■,r) = (w<О^'1 ,w<О^'2,gО^'2)т в которых являются гладкими функциями переменной х = \ж\-1ж = \£\-1£ Е Б2. Функция я является решением однородной задачи

= 0 в К3\й; Г^ = 0 на дш

и имеет вид (У0О,0,0,0)Т, где 0 = (0,0,0)т, а ф0 Е С- гармоническая в К3\ш функция, такая что ф0 = 1 на дш, ф0(£) = 0(\£\-1) при \£\ ^ то. При этом

те

*(£) * Е*(к)(^\-к, К к=2

где я( к) Е С 2). Функция vo(■,т) Е С является решением первой предельной задачи

(А(Бх) + т)vo(х,т) = f (х), х Е П; ^о(х,т) = 0, ж Е дП,

(17)

а функция w0(■,r) - второй предельной задачи

А(ИС^о(£,т) = — а(т)тя(£), С Е К3\й; ^о(£,т) = — ^о(0,т), £ Е дш. (18)

Из условия разрешимости последней задачи находится коэффициент а(т) = (гт)-1Ь^(0,г). Функции vn(■,r) (п > 1) являются решениями первых предельных задач

(А(Бх) + Т) Vn (х,т) = — Х(х^п-1(1)(х,т )\ж\-1 —

^п-ь

( к) (

к=1

(х,т )\ж\-к + а(т )я (п+1)(ж)\е\-(п+1)

Гvn(ж,r) = 0,

ж Е П\{0}; хе дП.

Функции wn(■,т )(п > 1) являются решениями вторых предельных задач

а(Ис ^п(£,т ) = — тwn2- х(е,г), е е к3

п

^^т) = —Г Б vn-k(к)(х,т)\е\к, е е дш. к=0

Р3\Т7Т.

Условия разрешимости этих задач

/п

£ ь«-'1(х,т Ж|к ЖЖо ¿в.

к=0

аш

однозначно фиксируют функции ) при п = 0,1,...

На последнем шаге из теоремы 0.0.3 извлекается информация об асимптотике решения исходной, нерасширенной, системы Максвелла.

Теорема 0.0.4. Пусть функция f € Спри всех е € (0,е0) (^о > 0 ) удовлетворяет условиям (13). Тогда компоненты а1,а2 функции и(-,т,е), компоненты ЬП(^,г),Ь"П(^,т) функций Уп(-,т) и компоненты оП(^,т),дП(^,т) функций ) аннулируются в П(е), П\{0} и К3\ш, соответ-

ственно. Кроме того, аннулируются а(т), ,^(1)(-,т) и у1(^,г).

Теорема 0.0.4 означает, что при выполнении условий совместности (13) компоненты и1(^,т,е), и2(^,т,е) функции и(-,т,е) являются решением исходной, нерасширенной, системы Максвелла (11) в области П(е), а предельные задачи для Уп(^,т), ) в асимптотике и(^,т,е) переформу-

лируются в терминах нерасширенной системы Максвелла для компонент у3п(^т), чи3п(^т), ] = 1,2. Хотя в работе |1шг| = ^ > 0, полученные результаты справедливы и для вещественных т если —т не является собственным значением оператора {А(Д),Г} в области П и окрестность —т при всех е € (0,£о) (^о > 0) свободна от спектра оператора {А(Б),Г} в области П(е). В третьей главе рассматривается нестационарная система уравнений Максвелла

{

Шl(x,t,e) — rotW2(x,t,e) = Tl(x,t), divWl(x,t,e) = Ql(x,t),

dttt2(x,t,e) + rotWl(x,t,e) = T2(x,t), divW2(x,t,e) = Q2(x,t), (x,t) G ОД x R

(19)

с краевым условием

и(х) x Ыl(x,t,e) = 0, (и(x),U2(x,t,e)) = 0, (x,t) G дП(е) x R. (20)

Здесь , • , е) и T - трехкомпонентные вектор-функции, Q3 - скалярные функции, j = 1 , 2. Правая часть Т = (Tl,T2,Ql,Q2)т определена в цилиндре {(x,t) : x G Q,t G R}. Добавлением двух неизвестных функций л1 и Л2 задача (19),(20) расширяется до гиперболической задачи

(dt + A(dx))U(x,t,e) = Т(x,t), (x,t) G ОД x R; Ш(x,t,e) = 0, (x,t) G dQ(e) x R, (21)

где U = (Wl]U2,Al,A2)T и A(dx) = iA(Dx). После комплексного преобразования Фурье

u = Ft^rU, f = —iFt^TТ, т = a — i^f (a G R, j = const > 0)

задача (21) переходит в семейство задач (14) зависящих от параметра т. Формально асимптотика решения и(•, • ,е) при е ^ 0 получается обратным преобразованием Фурье из разложения (16).

Схема обоснования асимптотики та же, что и для задачи Дирихле для волнового уравнения в области П(е), однако ее реализация усложняется. Оператор второй предельной задачи (32) не зависит от параметра т и является эллиптическим; новым обстоятельством является то, что этот оператор имеет нетривиальные ядро и коядро. Оператор первой предельной задачи (17) существенно зависит от т: он не является эллиптическим с учетом параметра т. Поэтому не существует равномерной по т глобальной оценки решения vo(-,r) и его первых производных в П. Теперь такая оценка получается только в окрестности начала координат ("эллиптической зоне"), имеющей диаметр порядка |т|-1. В оставшейся части П используется глобальная оценка решения по L2-норме. Эти две оценки склеиваются в промежуточной зоне при достаточно большом 7 > 7о. В результате получается комбинированная оценка, которая позволяет вывести равномерную по т асимптотику решения первой предельной задачи в окрестности точки х = 0. Такая асимптотика, по существу, получена в работе [13] и имеет вид

-1

vo(x,r) = Xr(х) Е vo(p)(х,т+ v0l)(x,T), (22)

р=0

где коэффициенты v0(p)(^т) G C^(S2) однозначно определяются правой частью f(^т), причем v0(0)(;r,T) не зависит от х. Остаток v0')(^,т) при всяком 8 G (0,1) удовлетворяет неравенству

II v0°(-,r) bv+w+s(r)< с II fМ \\nv_l_1/2+s(r) 7-V|.

Здесь норма || • \\nVfi(r) дана формулой (7), однако пространство T>V^(г) функций переменной гладкости теперь представляет собой замыкание С^(П\{0}) не по норме (3.12), а по норме

/ \ 1/2

\\ V Wwp(r)= (J\ XrV \Vi(n,r) +72 \\ V \\^0(П)] .

При е|т | > const эллиптическая зона находится внутри ш(е) ив разложении (22) нельзя перейти к следу на дш(е). Поэтому при больших т становится невозможным описать поведение невязки от решения первой предельной задачи в граничном условии на дш(е) и метод составных разложений неприменим. Как и в случае волнового уравнения в области П(е), на правую часть Т накладывается дополнительное условие гладкости по t, которое позволяет пренебречь вкладом коротких волн и обосновывать асимптотику решения U(•, • ,е) при е ^ 0.

Теорема 0.0.5. Пусть j > 0, 8 G (0,1), и правая часть Т удовлетворяет условию

У У |ТГ(N-2W-3+2Й + |г|Б)|F^rT(x,T)l2dxda< то, (23)

в котором Р = 2N(N + 3) + 10 + 26, В = 2N + 5 - 26. Тогда решение U(■, ■ ,е) задачи (21) допускает асимптотическое разложение

N

и (x,t,e) = £-1x(x)A(t)s (е-1х) + ^ £п( Vn(x,t) + х(%) W n(e-1x,t)^J + (24)

п=0

+£N+1V n+i(x,t)+ Ü N+1(x,t,e)

с остатком Un+1 (■, ■ ,£), подчиненным оценке

J e-2jt\Ü^+1 (x,t,e)\2dxdt = 0(e2N+3-2S). (25)

t=—<x x^Q(e)

Слагаемые A, Vi, Wi в разложении (24) задаются равенствами

A(i) = F-ita, Vi = F-itVi, Wi = F-itwi,

где функции r ^ a(r), (ж,т) ^ vi(x,r), (£,r) ^ wi(^,r) - такие же, как в разложении (16).

Последний шаг - возвращение к исходной нерасширенной задаче (19),(20). При Т е C^(Q(e) х R) для существования гладкого решения (W1 ,Ы2)Т необходимы условия совместности

divTk - dtgk = 0 в ОД х R (к = 1,2), (Т2,и(х)} = 0 на дП(е) х R. (26)

Теперь пусть Т подчинена условию (33). Обозначим через Ш(е,т) замыкание множества

{(/ 1,f 2,91,92)Т е С~(ВД; C8) : div/k = гтдк в ОД (к = 1,2); (/V} = 0 на Ш(е)}

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кориков, Дмитрий Владимирович, 2016 год

Список литературы

1. Кориков Д.В. Асимптотика решений волнового уравнения в области с малым отверстием // Алгебра и анализ 26 (2014), №5, 164-200.

2. Кориков Д.В., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений стационарной и нестационарной систем Максвелла в области с малыми отверстиями // Алгебра и анализ 28 (2016), №4, 102170.

3. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач // Наука, М., 1989.

4. Nayfeh A.H. Perturbation methods // Wiley, New York, 1973.

5. Nayfeh A.H. Introduction to perturbation techniques // Wiley, New York, 1981.

6. Maz'ya V.G., Nazarov S.A., Plamenevskii B.A. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains, v. 1,2 // Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 2000.

7. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей//Наука, М., 1991.

8. Kozlov V., Maz'ya V., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities // American Mathematical Soc., 1997.

9. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains // Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2011.

10. Пламеневский Б.А. О задаче Дирихле для волнового уравнения в цилиндре с ребрами // Алгебра и анализ 10 (1998), №2, 197-228. (Поправка к ст.: 10 (1998), №3, 224).

11. Кокотов А.Ю., Пламеневский Б.А. О задаче Коши-Дирихле для гиперболических систем в клине // Алгебра и анализ, 11 (1999), №3 , 140-195.

12. Кокотов А.Ю., Пламеневский Б.А. Об асимптотике решений задачи Неймана для гиперболических систем в областях с коническими точками // Алгебра и анализ 16 (2004), №3, 56-98.

13. Матюкевич С.И. О нестационарной системе Максвелла в областях с ребрами // Алгебра и анализ 15 (2003), №6, 86-140.

14. Матюкевич С.И., Пламеневский Б.А. О динамических задачах теории упругости в областях с ребрами // Алгебра и анализ 18 (2006), №3, 158-233.

15. Гудович И.С., Крейн С.Г., Куликов И.М. Краевые задачи для уравнений Максвелла // Докл. АН СССР 207 (1972), №2, 321-324.

16. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Ь2-теория оператора Максвелла в произвольных областях // Успехи мат. наук 42 (1987), №6, 61-76.

17. Агранович М. С., Вишик М.И., Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида, УМН, 19:3(117) (1964), 53-161.

18. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г., Неравенства, ИЛ, М., 1948.

19. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А., Оценки в Lp ив классах Гельдера и принцип максимума Миранда-Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе, Math. Nachr. 81 (1978), 25-82.

20. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения, Издательство "Мир"., М., 1971.