Негидростатическое моделирование атмосферной динамики на основе полулагранжевого метода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.29, кандидат физико-математических наук Фадеев, Ростислав Юрьевич

• Фадеев, Ростислав Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фадеев, Ростислав Юрьевич

Введение

Глава 1. Двумерная негидростатическая модель адиабатической атмосферы

1.1 Уравнения гидротермодинамики атмосферы.

1.2 Методы решения негидростатических уравнений атмосферы в задаче мезомасштабного моделирования

1.3 Уравнения модели в аналитической форме.

1.4 Фоновое состояние атмосферы и линейный оператор модели

1.5 Численный алгоритм модели.

1.6 Граничные условия модели.

1.7 Выводы.

Глава 2. Численное моделирование орографических волн

2.1 Метод задания начального состояния модельной атмосферы

2.2 Эксперимент «теплый пузырек»

2.3 Взаимодействие воздушных потоков с неоднородностями земного рельефа и орографические волны.

2.4 Основные параметры, характеризующие процесс обтекания изолированной горы.

2.5 Моделирование гидростатических волн.

2.6 Моделирование негидростатических волн.

2.7 Выводы.

Глава 3. Редуцированная широтно-долготная сетка для глобальной модели атмосферы

3.1 Сетки для глобальной полулагранжевой конечно-разностной модели атмосферы.

3.2 Уравнение двумерной адвекции на сфере.

3.3 Алгоритм построения редуцированной сетки.

3.4 Сравнение редуцированных сеток.

3.5 Исследование точности решения уравнения переноса на оптимальных сетках

3.6 Численные эксперименты с моделью мелкой воды на сфере

3.7 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Негидростатическое моделирование атмосферной динамики на основе полулагранжевого метода»

Изменение климата является глобальным процессом, тогда как его последствия - подъем уровня моря, уменьшение размеров ледников, изменение ареалов распространения растений и животных, оттаивание вечной мерзлоты - носят региональный и местный характер. В последние годы некоторые из этих последствий стали вполне ощутимы. Научное мнение, выраженное Межгосударственной группой экспертов по изменению климата 1 (МГЭИК) ООН, заключается в том, что средняя интегральная температура по Земле поднялась на 0,7° С по сравнению со временем начала промышленной революции (т. е. со второй половины XVIII века) [129]. В частности, значительная доля потепления, наблюдавшегося в последние 50 лет, вызвана деятельностью человека и, в первую очередь, выбросом газов, вызывающих парниковый эффект, таких как углекислый газ (СО2) и метан (СН4).

Научные исследования, мониторинг и предсказание климата, по мнению Всемирной Метеорологической Организации (ВМО), являются ключевыми элементами смягчения влияния последствий изменения климата на жизнедеятельность человека. Согласно резолюции международного саммита по моделированию климата в XXI веке [128], состоявшемся в 2008 году, основная задача научного сообщества заключается в консолидации усилий по созданию системы численного прогнозирования климата с высоким пространственным разрешением. Развитие высокопроизводительных компьютеров с параллельной

Фоль группы экспертов МГЭИК, учрежденной Всемирной Метеорологической Организацией (ВМО) и Программой Организации Объединенных Наций по окружающей среде (ЮНЕП), состоит в сбалансированном представлении существующих точек зрения на основе научно-технической и социально-экономической информации об изменении климата, полученной со всего мира. архитектурой позволяет уже сейчас разрабатывать модели климата с горизонтальным разрешением в несколько километров.

Уравнения гидротермодинамики модельной атмосферы должны быть согласованы с выбранным разрешением. До недавнего времени в большинстве моделей атмосферы использовалось гидростатическое приближение («приближение длинных волн») [9, 4], которое предполагает малость вертикальных ускорений по сравнению с ускорением свободного падения. Подобное допущение может нарушаться при шаге сетки по горизонтали 10 км и менее. Более детализированное представление орографии в численной модели (за счет увеличения разрешения) может приводить в существенному росту значения вертикального ускорения, развиваемого в процессе обтекания гор с крутыми склонами. Гидростатическое приближение в таком случае может нарушаться.

Другим важным процессом в атмосфере является конвекция. В тропиках нагретая поверхность воды приводит к значительному вертикальному перемешиванию воздуха сопровождающимся формированием кучево-дождевых облаков с высоким содержанием влаги. Такие образования с характерным горизонтальным масштабом порядка 10-20 км могут перемещаться под воздействием атмосферных потоков на большие расстояния вплоть до средних широт. Учитывая важную роль кучево-дождевых облаков в глобальной циркуляции влаги в резолюции, принятой на WMP (WCRP Modelling Panel) в 2008 году, рекомендуется описывать осадки конвективного характера на основе явного алгоритма, не прибегая к параметризациям.

Первым примером климатической модели с описанием отдельных кучево-дождевых образований является разработанная в Японии модель NIC AM [104]. Негидростатические уравнения гидротермодинамики атмосферы в этой модели разрешаются на основе явной схемы по времени с расщеплением по пространству и физическим процессам. Высокое пространственное разрешение NIC AM (3,5 км по горизонтали) практически стирает границу между блоком климатической модели, ответственным за воспроизведение динамики атмосферы, и динамическим блоком 2 современной системы численного прогноза погоды. Поэтому создание блока, воспроизводящего динамику атмосферы, является актуальной задачей для моделирования климата и прогноза погоды. Подробный обзор некоторых современных моделей численного прогноза погоды приводится в разделе 1.2.

Впервые решение задачи воспроизведения атмосферной циркуляции на основе двухслойной, квазигеострофической, полусферной модели [86] было предложено в 1956 году, а уже в начале 1960-х годов появилась первая 9-уровенная модель, основанная на полных (без приближения квазигеострофичности) уравнениях атмосферы [109]. Результаты экспериментов с первой совместной моделью общей циркуляции атмосферы и океана были представлены в 1969 году [73].

В России создание гидродинамических климатических моделей началось в 1970-х годах. По инициативе Г.И. Марчука Отделением океанологии, физики атмосферы и географии АН СССР в 1973 году было принято решение о разработке математических моделей климата, основанных на моделях общей циркуляции атмосферы и океана. Такая модель, базирующаяся на использовании законов сохранения и методов расщепления, была построена в Вычислительном центре СО АН СССР [12]. С тех пор модель (ныне модель климатической системы ИВМ РАН [5]) значительно усложнилась и в настоящее время участвует в международном проекте по сравнению климатических моделей CMIP (Coupled Model Intercomparison Project). Отметим, что в этом

23десь и далее под динамическим блоком мы будем понимать блок модели, ответственный за воспроизведение динамики атмосферы. проекте принимают участие около 30 климатических моделей, созданных в разных странах.

Одним из основных направлений развития климатической модели ИВМ РАН [5] является существенное повышение разрешения. Один из возможных вариантов нового блока решения уравнений динамики атмосферы в новой модели - это усовершенствованный динамический блок глобальной модели прогноза ПЛАВ [18], использующий полу-лагранжево представление адвекции. Модель ПЛАВ разрабатывается в Институте вычислительной математики (ИВМ РАН) совместно с ГУ «Гидрометцентр России». Решением Центральной методической комиссии по гидрометеорологическим и гелиогеофизическим прогнозам Росгидромета от 29 ноября 2007 года модель ПЛАВ рекомендована к внедрению в оперативную практику.

Увеличение пространственного разрешения является одним из способов повышения качества прогноза. К 2012 году предполагается, что горизонтальное разрешение модели ПЛАВ над территорией России возрастет с 28 до 10 км, а число уровней по вертикали - с 28 до 50. Основу модели составляют уравнения гидротермодинамики атмосферы, записанные в гидростатическом приближении. Увеличение пространственного разрешения модели ПЛАВ приводит к необходимости создания нового негидростатического блока, ответственного за воспроизведение динамики атмосферы.

Реализация трехмерной модели атмосферы является сложной и трудоемкой задачей. Поэтому в качестве первого шага из общего числа задач, решение которых требуется для создания блока, ответственного за воспроизведение динамики атмосферы, мы выбрали две проблемы. Первая - физическая. Она заключается в:

• разработке негидростатической модели динамики атмосферы и воспроизведении с помощью ее двумерной в вертикальной плоскости версии процесса обтекания орографической неоднородности потоком невязкого газа при различных характеристиках земного рельефа, атмосферы и скорости потока.

Возникающие в результате обтекания возмущения являются одним из погодообразующих факторов. Поэтому описание взаимодействия воздушных потоков с неоднородностями земного рельефа является одним из важных этапов проверки разрабатываемой модели. Согласие численных расчетов по воспроизведению такого процесса в двумерном случае с работами других авторов позволяет надеяться на получение физически правильного результата при описании атмосферной динамики с помощью трехмерной версии модели.

Вторая проблема, решение которой обсуждается в диссертации, является математической. Это:

• разработка алгоритма построения покрывающей земной шар сетки с квазиоднородным разрешением. Исследование точности решения уравнения переноса и уравнений мелкой воды на сфере для таких сеток.

В качестве сетки для глобальной полулагранжевой модели динамики атмосферы в диссертации предлагается использовать редуцированную сетку, построенную по разработанному автором алгоритму. Число узлов по долготе в такой сетке зависит от широты, что позволяет избежать сгущения узлов в окрестности полюсов, вследствие сходимости меридианов. Предполагается, что редуцированная сетка будет использоваться в модели прогноза погоды ПЛАВ и, возможно, в новой версии модели климатической системы ИВМ РАН.

Рассмотрим более детально первую проблему, которая заключается в численном воспроизведении процесса обтекания воздушным потоком неоднородностей земного рельефа. В устойчиво стратифицированной атмосфере возникающие в потоке возмущения имеют волновой характер и описываются с использованием понятия «внутренние гравитационные волны». Термин «внутренний» указывает на непрерывную стратификацию среды. Такие колебания при определенных условиях могут распространяться вплоть до нижней границы стратосферы.

Внутренние гравитационные волны являются одним из погодооб-разующих факторов. Горы на пути воздушного потока со значительным содержанием водяного пара способствуют образованию облачности. Изменение температурного градиента атмосферы по вертикали может приводить к отражению 65-100% энергии волны (в зависимости от ее длины) обратно к поверхности Земли и усилению приземного ветра [59, 62].

Гравитационные волны являются дивергентными и могут оказывать локальное сопротивление тропосферным воздушным течениям, влияя на общую циркуляцию атмосферы [65, 3].

Интерес к внутренним гравитационным волнам усилился с распространением планеризма в начале 20-го века. Оказалось, что наибольшие высоты полетов на планерах (до 15 км) достигаются с подветренной стороны. Отметим, что в некоторых случаях такие колебания способствуют развитию сильной турбулентности, представляющей серьезную опасность для авиации [60].

Первые эксперименты по моделированию обтекания гор воздушным потоком проводились уже в 1949 году [10] в приближении несжимаемой атмосферы. Развитие идеи Н.Е. Кочина разделения атмосферы на слои, каждый из которых характеризуется индивидуальными значениями скорости, температуры, плотности и др., позволяет получать важные научные результаты и в настоящее время [13].

Первый аналитический спектральный анализ характеристик внутренних гравитационных волн на основе уравнений атмосферы в линейном приближении был выполнен в 1941 году [88, 72, 106]. Затем появились модели, в которых нелинейная система уравнений атмосферы для случая однородного по скорости набегающего потока сводится к линейному уравнению [67, 68]. В 1959 году были представлены [105] первые результаты исследований возмущений атмосферы, возникающих при больших числах Рейнольдса.

Появление компьютерной техники ознаменовало новый подход к описанию процесса обтекания на основе моделей циркуляции атмосферы. Первое численное моделирование нелинейных гравитационных волн было выполнено в 1967 году [40]. Исследование было продолжено [44, 41, 75, 35] с использованием двумерных версий трехмерной мезомасштабной модели прогноза погоды [123]. Амплитуда гравитационных волн расходилась с данными наблюдений, что являлось следствием упрощений уравнений гидротермодинамики атмосферы трехмерной модели. Позже, в [60], было указано на важную роль верхнего граничного условия в численном моделировании гравитационных волн.

Первые конечно-разностные модели общей циркуляции атмосферы использовали явные методы. В таком случае максимально допустимый шаг интегрирования по времени определяется частотой самой быстрой волны в системе. Поэтому с начала 1960-х годов широкое распространение получили модели квазисжимаемой атмосферы, в которых малозначимые с метеорологической точки зрения звуковые волны исключались из рассмотрения [84, 27, 66]. С помощью гидростатического приближения удалось существенно упростить численный алгоритм и отфильтровать распространяющиеся в вертикальном направлении коротковолновые колебания. Отметим, что гидростатические уравнения атмосферы включают также горизонтальные гравитационные волны, фазовая скорость которых сравнима со скоростью звуковых колебаний.

В 1976 году для негидростатической сжимаемой модели атмосферы был предложен метод численной фильтрации звуковых волн [118]. Ответственные за звуковые волны линейные слагаемые уравнений модели интегрировались по неявной схеме, а шаг по времени ограничивался быстрыми гравитационными волнами разрешаемыми явно. Работа предшествовала появлению полунеявного подхода [97], основанного на методе расщепления Г. И. Марчука [11].

Полунеявный поход предполагает интегрирование линейных слагаемых по неявной схеме, а нелинейных слагаемых и правых частей уравнений, описывающих стоки и источники соответствующих величин, - по явному алгоритму. Границы разрешаемых частот в таком случае определяются выбором линейного оператора модели. В сочетании с дискретизацией по времени на основе полулагранжева алгоритма [111] метод позволяет использовать достаточно большие шаги по времени по сравнению с явными конечно-разностными схемами. Эта особенность объясняет широкую распространенность полунеявного полулагранжевого подхода в задачах динамики атмосферы.

Применительно к задаче мезомасштабного моделирования в 1978 году в [108] было показано, что полунеявный метод может быть неустойчив при интегрировании высокочастотных гравитационных волн орографической природы с соответственно высоким разрешением по вертикали. Решение этой проблемы было предложено позже в 1981 году в работе Робера [97], после которой полунеявный метод получил широкое распространение. В [31] была продемонстрирована возможность одновременного описания гравитационных и звуковых волн на основе неявной схемы интегрирования по времени. Метод получил развитие в [117], где был успешно реализован полунеявный полулагранжев подход (SISL).

Эффективный метод решения двумерной негидростатической задачи обтекания на основе полунеявного подхода был впервые предложен в [110]. Здесь также указывалось на важность осреднения слагаемых, ответственных за стоки и источники энергии, вдоль лагран-жевых траекторий для случая трехслойной схемы по времени. Трехмерная полулагранжева полунеявная модель сжимаемой негидростатической атмосферы для численного моделирования орографических волн была представлена в [85]. В настоящее время полунеявный по-лулагранжев алгоритм успешно применяется при решении широкого круга физических задач, в том числе при моделировании климата и численного воспроизведения мезомасштабных процессов.

В представленной в диссертации двумерной (в вертикальной плоскости) негидростатической модели для воспроизведения динамики атмосферы применяется полунеявный конечно-разностный подход с по-лулагранжевым представлением адвекции. Алгоритм решения уравнений гидротермодинамики квазисжимаемой атмосферы [124] представляет собой существенно переработанный метод, предложенный в [101]. В качестве граничных условий здесь используются условия непротекания на верхней границе расчетной области и скольжения на поверхности Земли.

Преимущество конечно-разностного подхода, используемого в разработанной модели, заключается в локальности и линейном росте числа операций по мере увеличения разрешения по одной координате. Однако, конечно-разностная трехмерная модель атмосферы на регулярной широтно-долготной сетке, помимо вносимой фазовой ошибки, имеет существенный недостаток: неоднородность шага сетки по долготе. Например, при разрешении по широте 10 км шаг сетки по долготе в окрестности полюса составляет около 150 м. Этот недостаток приводит к существенному ограничению на шаг по времени в эйлеровых моделях (определяемый критерием Куранта), неоправданным затратам на расчет «лишних» узлов сетки (до 20 %). Для решения упомянутых проблем в настоящей диссертации предлагается использовать редуцированную сетку, в которой число узлов по долготе зависит от широты. Шаг сетки по долготе при этом постоянен для каждого значения широты.

Редуцированные сетки широко применяются в спектральных моделях атмосферы [51, 82, 127]. В конечно-разностных моделях в настоящее время используются регулярные широтно-долготные сетки, икосаэдральные сетки, сетки типа «кубическая сфера» и др. В данной работе представлен метод численного построения редуцированной сетки для полулагранжевой конечно-разностной модели атмосферы. Достоинство предлагаемого подхода заключается в возможности видоизменения критериев, используемых при построении сетки для учета особенностей модели атмосферы.

Редуцированная сетка характеризуется квазиоднородным разрешением, что позволяет использовать ее в задаче моделирования атмосферной циркуляции и численном прогнозе погоды.

Цель диссертационной работы состоит в решении двух взаимосвязанных проблем:

• Разработка негидростатической модели динамики атмосферы и воспроизведение с помощью ее двумерной в вертикальной плоскости версии процесса обтекания орографической неоднородности потоком невязкого газа при различных характеристиках земного рельефа, атмосферы и скорости потока.

• Разработка алгоритма построения редуцированной широтно-дол-готной сетки для полулагранжевой конечно-разностной модели атмосферы. Исследование точности решения уравнения переноса на сфере в зависимости от относительного уменьшения числа узлов сетки по сравнению с регулярной широтно-долготной сеткой. Сравнение точности решений уравнений мелкой воды на сфере на редуцированной и регулярной сетках.

Научная новизна результатов диссертационной работы.

• Предложен усовершенствованный метод численного решения негидростатических уравнений гидротермодинамики квазисжима-емой атмосферы, основанный на работе [101]. Обсуждаемый в диссертации алгоритм обладает большим запасом устойчивости по сравнению с [101] за счет использования двуслойной по времени полулагранжевой схемы SETTLS [50]. Метод расчета геопотенциала, предложенный в диссертации, имеет меньшую численную ошибку.

• Насколько известно автору, в работе выполнено наиболее полное сравнение характеристик орографически возбуждаемых волн, рассчитанных моделью квазисжимаемой атмосферы и моделями, основанными на уравнениях сжимаемой атмосферы. Показано, что процесс обтекания изолированной горы, отношение высоты которой к ее полуширине не превышает 0.25, с хорошей степенью точности может быть описан на основе негидростатических уравнений гидротермодинамики квазисжимаемой атмосферы.

• Разработан алгоритм построения оптимальной редуцированной широтно-долготной сетки для глобальной полулагранжевой конечно-разностной модели атмосферы.

• На основе численных экспериментов показано, что точность решения уравнения переноса (адвекции) на сфере, рассчитанного с помощью полулагранжевого метода, является монотонной функцией относительного уменьшения числа узлов оптимальной редуцированной сетки по сравнению с регулярной сеткой.

Научная и практическая значимость.

• Повышение пространственного разрешения является одним из важных направлений развития климатических моделей. Трехмерная версия представленной в настоящей диссертации негидростатической модели высокого разрешения может быть использована в качестве блока, ответственного за воспроизведение динамики атмосферы, в новой версии климатической модели ИВМ РАН и модели прогноза погоды ПЛАВ.

• Орографические волны оказывают значительное влияние на глобальную циркуляцию в атмосфере, являются одним из погодооб-разующих факторов. Поэтому воспроизведение таких колебаний является важным элементом проверки разрабатываемых моделей динамики атмосферы.

• Создание модели климатической системы нового поколения с высоким пространственным разрешением приводит к необходимости использования сеток с квазиоднородным разрешением на сфере. В диссертации в качестве такой сетки предлагается использовать оптимальную редуцированную сетку, построенную по разработанному автором алгоритму.

Личный вклад автора.

• Разработка и реализация алгоритма численного решения негидростатических уравнений квазисжимаемой атмосферы на основе метода, предложенного в [101].

• Воспроизведение процесса обтекания изолированной горы потоком невязкого газа на основе реализованной модели. Сопоставление результатов численных расчетов с аналитическим решением и результатами других авторов.

• Разработка и реализация алгоритма построения редуцированной широтно-долготной сетки для полулагранжевой конечно-разностной модели атмосферы.

• Исследование точности решения уравнения переноса в зависимости от относительного уменьшения числа узлов оптимальной редуцированной сетки по сравнению с регулярной широтно-долготной сеткой.

• Расчет редуцированных сеток для проведения экспериментов на основе модели мелкой воды на сфере.

Апробация работы. Материалы, вошедшие в диссертационную работу, докладывались и обсуждались на научных семинарах Института вычислительной математики, ГУ «Гидрометцентр России». Они докладывались на Весеннем коллоквиуме по моделированию погоды и климата (Триест, Италия, 2005), Международной конференции по вычислительно-информационным технологиям для окружающей среды «CITES-2007» (Томск, 2007), Международной конференции по решению уравнений в частных прозводных на сфере (Экзетер, Англия, 2007), Семнадцатой международной конференции по негидростатическому моделированию (Бад-Орб, Германия, 2007), Международной конференции по наблюдению, моделированию и информационным системам для окружающей среды «ENVIROMIS-2008» (Томск, 2008), Научной школе-семинар «Современные технологии прогнозирования погоды» (Москва, 2008), 49, 50 и 51-й научной конференциях МФТИ (Москва, 2006-2008), Научной конференции посвященной 175-летию гидрометслужбы России (Москва, 2009), Международной конференции по вычислительно-информационным технологиям для окружающей среды «CITES-2009» (Красноярск, 2009).

Полностью диссертация докладывалась на семинарах ИВМ РАН и ГУ «Гидрометцентр России». По теме диссертации опубликовано 2 статьи в реферируемых журналах ([20, 21]), рекомендованых ВАК РФ, 1 статья в реферируемом журнале [19], б работ в сборниках тезисов.

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, Списка литературы и Приложения. Диссертация содержит 15 рисунков и 4 таблицы. Каждая глава разбита на разделы.

Заключение диссертации по теме «Физика атмосферы и гидросферы», Фадеев, Ростислав Юрьевич

3.7. Выводы

В главе 3 представлен разработанный автором метод построения оптимальной редуцированной широтно-долготной сетки для полулагранжевой конечно-разностной модели атмосферы. Такая сетка характеризуется квазиоднородным разрешением на сфере, что позволяет использовать ее в задаче моделирования атмосферной циркуляции и численном прогнозе погоды.

Метод построения редуцированной сетки использует критерии, основанные на среднеквадратической интегральной ошибке интерполяции некоторой наперед заданной функции. Сетку с минимальным числом узлов удовлетворяющая критериям мы называем оптимальной.

Сокращение числа узлов сетки сопровождается ухудшением точности численного решения уравнения переноса на сфере вследствие увеличения ошибки интерполяции. Приведённые в разделе 3.5 результаты расчётов показывают, что при использовании оптимальных сеток точность численного решения является монотонной функцией параметра вф критерия 1, однозначно определяющего редуцированную сетку. Таким образом, приведённые на рис. 3.1а-б зависимости позволяют определить сетку, отвечающую заданному соотношению между числом узлов и точностью приближённого решения уравнения переноса на сфере.

Результаты численных экспериментов, выполненных с помощью модели мелкой воды на сфере, демонстрируют возможность сокращения числа узлов регулярной сетки в приполярных областях вплоть до 20% без значительной потери в точности численного решения даже в случае сильно неоднородных полей скорости.

Наличие дополнительных источников погрешностей таких, как неадвективные слагаемые, операторы осреднения некоторых величин по долготе и прочее, наряду с ошибкой интерполяции может привести к тому, что сетка не будет удовлетворять заданному соотношению между точностью решения уравнений гидротермодинамики атмосферы и числом узлов. Однако, основной целью редукции является разрежение приполярных областей, необходимой для корректной работ параметризаций процессов подсеточного масштаба. В современных моделях прогноза погоды расчёт параметризаций занимает 60% — 75% всего времени вычислений. В климатических моделях - еще больше. Уменьшение общего числа ячеек при переходе на редуцированную сетку приведёт к сокращению вычислительных затрат и в блоке переноса и в блоке параметризаций, что скажется на общем времени интегрирования модели.

Полученные сетки предполагается использовать в климатической модели ИВМ РАН нового поколения и глобальной полулагранжевой модели прогноза погоды ПЛАВ [18], допускающих применение редуцированных сеток.

Заключение

В настоящей диссертации рассматривается задача негидростатического моделирования атмосферной динамики с помощью полулагражева метода. Для этих целей была реализована двумерная в вертикальной плоскости версия модели, основанная на уравнениях гидротермодинамики квазисжимаемой атмосферы [124]. Предложен усовершенствованный метод численного решения негидростатических уравнений квазисжимаемой атмосферы, в основу которого положен подход [101].

Модель проверялась на решении таких задач, как воспроизведение орографических волн и описание динамики поведения сферически-симметричного возмущения потенциальной температуры в изопотен-циальной атмосфере. Обсуждаемые в данной диссертации результаты расчетов находятся в хорошем согласии с работами других авторов, выполненных с помощью моделей сжимаемой атмосферы. Полученное согласие позволяет надеяться на получение физически правильного результата при моделировании атмосферной динамики.

Трехмерный вариант модели может быть использован в качестве блока, ответственного за воспроизведение динамики атмосферы, в рамках модели климатической системы ИВМ РАН [5] нового поколения и модели краткосрочного прогноза погоды ПЛАВ [18].

В настоящей диссертации представлен оригинальный алгоритм построения редуцированной широтно-долготной сетки на сфере. Такие сетки характеризуются относительно однородным разрешением по долготе и широте, что позволяет применять их в задаче моделирования климата и прогнозе погоды с высоким пространственным разрешением.

Проведенные эксперименты по моделированию динамики двумерных течений с сильно неоднородными полями скорости демонстрируют возможность сокращения числа узлов сетки по рассматриваемому в данной работе алгоритму на 15-20%. Точность численного решения уравнений мелкой воды и уравнения переноса (адвекции) на сфере при этом изменяется не существенно (менее 10%).

Приведем основные результаты работы, являющиеся одновременно и положениями, выносимыми на защиту:

1. Создана вычислительно эффективная двумерная в вертикальной плоскости негидростатическая модель квазисжимаемой атмосферы. Предложен усовершенствованный метод численного решения негидростатических уравнений гидротермодинамики квазисжимаемой атмосферы, основанный на работе [101]. Обсуждаемый в диссертации алгоритм обладает большим запасом устойчивости по сравнению с [101], за счет использования двуслойной по времени полулагранжевой схемы SETTLS [50]. Метод расчета геопотенциала, предложенный в диссертации, имеет меньшую численную ошибку.

2. Результаты численного воспроизведения орографических волн демонстрируют качественное и количественное согласие с работами других авторов, выполненных с использованием моделей сжимаемой атмосферы [53, 85, 130]. Шаг по времени рассматриваемой модели при этом выше используемого в указанных работах.

3. Разработан алгоритм построения оптимальной редуцированной широтно-долготной сетки на сфере для глобальной полулагранжевой конечно-разностной модели атмосферы. На основе численных экспериментов в диссертации показано, что точность решения уравнения переноса (адвекции) на сфере, рассчитанного с помощью полулагранжевого метода, является монотонной функцией относительного уменьшения числа узлов оптимальной редуцированной сетки по сравнению с регулярной сеткой. На основе общепринятых тестов сделан вывод о несущественном ухудшении точности (менее 10%) численного решения уравнений мелкой воды на сфере при сокращении числа узлов сетки на 15-20%.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фадеев, Ростислав Юрьевич, 2009 год

1. Бахвалов Н.С. Численные методы // М.: Наука, 1973. С. 632.

2. Вельтищев Н. Ф., Желнин А.А. Численная модель влажной глубокой конвекции // Труды Гидрометцентра СССР. 1981. Т. 238, С. 36-48.

3. Госсард Э., Хук У. Волны в атмосфере // М.: «Мир», 1978, С. 532.

4. Гутман Л. Н. Применение численного метода длинных волн в задаче обтекания гор // ДАН. СССР, 1957, N. 3 С. 115-124.

5. Дымников В.П., Лыкосов В.Н., Володин Е.М., Галин В.Я., Глазунов А.В., Грицун А.С., Дианский Н.А., Толстых М.А., Чавро А.И. Моделирование климата и его изменений // М.: Наука, 2005, Т. 2, С. 38 175.

6. Кожевников В.Н. Возмущения атмосферы при обтекании гор // М.: «Научный мир», 1999. С. 160

7. Кожевников В.Н. К одной нелинейной задаче об орографическом возмущении стратифицированного воздушного потока // Изв. АН СССР, сер. геофиз. 1963.

8. Кибель И.А. Приложение к метеорологии уравнений механики ба-роклинной жидкости // Изв. АН СССР. Сер. Геогр. и геофиз. 1940. N 5. С. 627-638.

9. Кибель И.А. Применение метода длинных волн в сжимаемой жидкости // ПММ. 1944. N 8.

10. Кочин Н.Е. О влиянии рельефа Земли на волны на поверхности раздела двух масс жидкости разной плотности. // Собрание сочинений. Т. 1. М-Л.: Изд-во АН СССР, 1949. С. 614

11. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды // Л.: Гидро-метеоиздат, 1967. С. 353

12. Марчук Г.И., Дымников В.П. Залесный В.В., Лыкосов В.Н., Галин В.Я. Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана // Л.: Гидрометеоиздат, 1984. С. 318

13. Моисеенко К.Б. Об учете смещений тропопаузы в задаче обтекания гор // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2007. Т. 43, N 43, С. 182-192.

14. Монин А.С. Прогноз погоды как задача физики // М.: Наука, 1967. С. 189

15. Пекелис Е.М., Прессман Д.Я., Кисельникова В.З., Дрофа О.В. Численные гидродинамические модели мезомасштабного прогноза Гидрометцентра России //70 лет Гидрометцентру России. Л.: Гидрометеоиздат, 1999. С. 80-89.

16. Прессман Д.Я., Пекелис Е.М., Кисельникова В.З., Зарипов Р.Б. Гидродинамический локальный прогноз в гидрометцентре России (технологические аспекты и вопросы численного моделирования) // Труды Гидрометцентра СССР. 2000. Т. 334, С. 91-107.

17. Толстых М.А. Полулагранжева модель атмосферы с высоким разрешением для численного прогноза погоды // Метеорология и гидрология. 2001. N 4. С. 5-16.

18. Толстых М.А., Фадеев Р.Ю. Полулагранжева модель прогноза погоды с переменным разрешением и ее дальнейшее развитие. // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11, ч. 1, С. 176-184.

19. Фадеев Р.Ю. Построение редуцированной широтно-долготной сетки для задачи глобального численного прогноза погоды // Метеорология и гидрология. 2006. N 9. С. 5-20.

20. Фадеев Р.Ю., Толстых М.А. Воспроизведение орографически возбуждаемых волн негидростатической моделью адиабатической атмосферы // Метеорология и гидрология, 2009, N9, С. 40-59.

21. B£nard P. On the use of a wider class of linear systems for the design of constant-coefficients semi-implicit time schemes in NWP // Mon. Wea. Rev. 2004. V. 132, P. 1319-1324.

22. Benjamin S.G., Grell G.A., Brown J.M., Smirnova T G., Bleck R. Mesoscale weather prediction with the RUC hybrid isentropic/terrain-following coordinate model // Mon. Wea. Rev. 2004. V. 132, P. 473-494.

23. Black T.L. The new NMC mesoscale ETA model: description and forecast examples // Wea. Forecasting. 1994. V. 9, P. 265-278.

24. Browning G.L., Hack J. J., Swarztrauber P.N. A comparison of three numerical methods for solving differential equations on the sphere // Mon. Wea. Rev. 1989. V. 117. P. 1058-1075.

25. Bubnovci R., Hello G., Benard P., Geleyn J.-F. Integration of the fully elastic equations cast in the hydrostatic pressure terrain-following coordinate in the framework of the ARPEGE/Aladin NWP system // Mon. Wea. Rev. 1995. V. 123. P. 515—535.

26. Clark J.P. A small-scale dynamic model using a terrain following coordinate information. // J. Comput. Phys. 1977. V. 24. P. 186-215.

27. Clark J.P., Peltier W.R. On the evolution and stability of finite amplitude mountain waves. //J. Atmos. Sci. 1977. V. 34. P. 1715-1730.

28. Collins W.D. Description of the NCAR Community Atmosphere Model (CAM3) // Technical documentation. June 2004. http: / / www. ccsm .ucar. edu/models / atm- cam /docs/des cription /

29. Cullen M.J.P. A test of a semi-implicit integration technique for a fully compressible nonhydrostatic model // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1990. V. 116. P. 1253-1258.

30. Davies H.C. A lateral boundary formulation for multi-level prediction models // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1976. V. 102. P. 405-418.

31. Davies Т., Cullen M.J.P., Malcolm A.J., Mawson M.H., Staniforth A., White A.A., Wood N. A new dynamical core for the Met Office's global and regional modelling of the atmosphere // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 2005. V. 131. P. 1759-1782.

32. Davies Т., Staniforth A., Wood N., Thuburn J. Validity of anelastic and other equation sets as inferred from normal-mode analysis // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 2003. V. 129. P. 2761-2775.

33. Deaven D.G. A solution for boundary problems in isentropic coordinate models. //J. Atmos. Sci. 1976. V. 33. P. 1702-1713.

34. Doswell S. A. A kinematic analysis of frontogenesis assosiated with a nondivergent vortex. //J. Atmos. Sci. 1984, V. 41. P. 1242-1248.

35. Drogemeier К. The numerical simulation of thunderstorm outflow dynamics // Ph.D. dissertation, University of Illinois at Urbana-Champaign, 695 P.

36. Durran D.R., Klemp J.B. Another look at downslope winds. Part II: nonlinear amplification beneath wave-overturning layers //J. Atmos. Sci. 1987. V. 44. P. 3402-3412.

37. Durran D.R., Klemp J.В., A compressible model for the simulation of moist mountain waves // Mon. Wea. Rev. 1983. V. 111. P. 2341-2361.

38. Foldvik A., Wurtele M.G. The computational of the transient gravity wave. // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1967. V. 13. P. 167-185.

39. Furukawa T. Numerical experiments of the airflow over mountains. 1. Uniform current with constant static stability. //J. Meteorol. Soc. Jpn. Soc. 1973 V. 51. P. 400.

40. Gallus W.A., Rancic M. A non-hydrostatic version of the NMG's regional Eta model // Q.J.R. Meteorol. Soc. V. 122. P. 495-513.

41. Girard C., Benoit R., Desgagne M. Finescale topography and the MC2 dynamics kernel // Mon. Wea. Rev. 2005. V. 133. P. 1463-1477.

42. Granberg I.G., Dikiy L.A. Steady state solution of a nonlinear problem of airflow over mountains. // Izv. Acad. Sci. USSR 1972. V. 8. P. 151153.

43. Gutman L.N., Khain A.P. Mesometerological processes in the free atmosphere governed by orography // Atmos. Oceanic. Phys. 1975. V. 11. P. 65-70.

44. Haltiner G.J., Williams R.T. Numerical prediction and dynamic meteorology. 2nd ed. // Wiley, New York, 1980.

45. Haurwitz B. The motion of atmospheric disturbances at the spherical earth // J. Mar. Res. 1940. V. 3. P. 254-267.

46. Holton J.J. An introduction to dynamic meteorology, 2ed ed. // Academic Press, New York. 1979.

47. Hoskins B.J. Stability of the Rossby-Haurwitz wave // Q.J.R. Meteorol. Soc. 1973. V. 99. P. 723-745.

48. Hortal M. The development and testing of a new two-time-level semi-Lagrangian scheme (SETTLS) in the ECMWF forecast model // Q.J.R. Meteorol. Soc. 2002. V. 128. P. 1671-1687.

49. Hortal M., Simmons A. J. Use of reduced Gaussian grids in spectral models. // Mon. Wea. Rev. 1991, V. 119. P. 1057-1074.

50. Jakob-Chien J.J., Hack J.J., Williamson D.L. Spectral transform solutions to the shallow water test set //J. Comput. Phys. 1995. V. 119. P. 164.

51. Janjic Z.I., Gerrity J.P., Nickovic S. An alternative approach to nonhydrostatic modeling // Mon. Wea. Rev. 2001. V. 129. N. 5. P. 11641178.

52. Jarraud M., Simmons A. J. The spectral technique. In: Proceedings of the 1983 ECMWF seminar on numerical methods for weather prediction. // Reading (UK). V. 2, P. 1-60.

53. Kageyama A., Sato T. The «Yin-Yang Grid»: An overset grid in spherical geometry // Geochem. Geophys. Geosyst. 2004. V.5. N 9.

54. Kasahara A. Various vertical coordinate systems used for numerical weather prediction // Mon. Wea. Rev. 1974. V. 102. P. 509-522.

55. Khatukayeva Zh.M., Gutman L.N. The influence of the Coriolis force in the passage of a cold air mass across a mountain ridge. // Bull. (Izv.) Acad. Sci. USSR Geophys. Ser. 1962. V. 6.

56. Klemp J.В., Durran D.R. An upper boundary condition permitting internal gravity wave radiation in numerical mesoscale models Mon. Wea. Rev. 1983. V. 111. P. 430-444.

57. Klemp J.В., Lilly D.K. The dynamics of wave-induced downslope winds. //J. Atmos. Sci. 1975. V. 32. P. 320-339.

58. Klemp J.В., Lilly D.K. Numerical simulation of hydrostatic mountain waves //J. Atmos. Sci. 1978. V. 35. P. 78-107.

59. Klemp J.В., Skamarock W.C. Numerical consistency of metric terms in terrain-following coordinates // Mon. Wea. Rev. 2003. V. 131. P. 1229-1239.

60. Kumar P.M., Singh M.P., Natarajan A.N. An Analytical model for mountain wave in stratified atmosphere // MAUSAM. 1998. V. 49. P. 433-438.

61. Laprise R., Peltier W.R. On the structural characteristics of steady finite-amplitude mountain waves over bell-shaped topography // J. Atmos. Sci. 1989. V. 46. N 4. P. 586-595.

62. Lele K.S. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution //J. Comput. Phys. 1992. V. 103. P. 16-42.

63. Lilly D.K. Wave momentum flux a GARP problem. // Bull. Amer. Meteor. Soc. 1972. V. 53. P. 17-23.

64. Lipps F., Hemler R. A scale analysis of deep moist convection and some related numerical calculations. //J. Atmos. Sci. 1982. V. 39. P. 2129-2210.

65. Long R.R. Some aspects of the flow of stratified fluids. A theoretical investigation // Tellus. 1953. V. 5. P. 42-58.

66. Long R.R. Some aspects of the flow of stratified fluids. Experiments with two-fluid system // Tellus. 1954. V. 6. N. 2.

67. Long R.R. Some aspects of the flow of stratified fluids. Continuous density gradients // Tellus. 1955. V. 7. N. 3.

68. Lynch P., Huang X.-Y. Initialization of the HIRLAM model using a digital filter // Mon. Wea. Rev. 1992. V. 120. P. 1019-1034.

69. Lynch P., Giard D., Ivanovici V. Improving the efficiency of a digital filtering scheme for diabatic initialization // Mon. Wea. Rev. 1997 V. 125. P. 1976-1982.

70. Lyra G. Theory der stationare Leewellen-Stromung in freier atmosphere // Z. Angew. Math. Mech. 1943 V. 23. P. 1-28.

71. Manabe S., Bryan K. Climate and the ocean circulation // Mon. Wea. Rev. 1969 V. 97. P. 739-827.

72. Mahrer Y., Pielke R.A. A numerical study of the airflow over mountains using the two-dimensional version of the University of Virginia mesoscale model //J. Atmos. Sci., 1975, V. 32. P. 2144-2155.

73. Majewski D., Liermann D., Prohl P., Ritter В., Buchhold M., Hanisch Т., Paul G., Wergen W. The operational global icosahedral-hexagonal gridpoint model GME: description and high-resolution tests. // Mon. Wea. Rev. 2002, V. 130. P. 319-338.

74. McDonald A. Accuracy of multy-upstream, semi-Lagrangian advective schemes II. // Mon. Wea. Rev. 1987, V. 115. P. 1446-1449.

75. McDonald A. Alternative extrapolations to find the departure point in a «two time level» semi-Lagrangian integration // HIRLAM technical report 34. 1998. http://hirlam.org/

76. McDonald A. An examination of alternative extrapolations to fins the departure point position in a 'two time level' semi-Lagrangian integration // Mon. Wea. Rev. 1999. V. 127. P. 1985-1993

77. Nair R., Machenhauer B. The mass conservative cell-integrated semi-Lagrangian advection scheme on the sphere. // Mon. Wea. Rev. 2002, V. 130. P. 649-667.

78. Naughton M., Courtier P. A pole problem in the reduced Gaussian grid. // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1994. V. 120. P. 1389-1407.

79. Naughton M., Courtier P., Bourke W. Representation errors in various grid and spectral truncations for a symmetric feature on the sphere. // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1996. V. 122. P. 253-265.

80. Neta В., Williams R.T. Rossby wave frequencies and group velocities for finite element and finite difference approximations to the vorticity-divergence and primitive forms of the shallow water equations // Mon. Wea. Rev. 1989. V. 117. P. 1439-1457.

81. Ogura Y., Phillips N. Scale analysis of deep and shallow convection in the atmosphere. //J. Atmos. Sci. 1962. V. 19. P. 173-179.

82. Pinty J-P., Benoit R., Richard E., Laprise R. Simple tests of a semi-lagrangian model on 2D mountain wave problems. // Mon. Wea. Rev. 1995. V. 123. P. 3042-3058.

83. Phillips N.A. The general circulation of the atmosphere: a numerical experiment. // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1956. V. 82. P. 123-141.

84. Phillips N.A. Numerical integration of the primitive equations on the hemisphere // Mon. Wea. Rev. 1959. V. 87. P. 333-345.

85. Queney P. Ondes de gravite produites dans un courant aerien par une petite chaine de montagnes. // C.R.Acad. Sci. Paris. 1941. V. 213. P. 588.

86. Queney P. Synthese des travaux theorigues sur les pertubations de relief. 1 Partie //La Meteor. 1977. V. 6. P. 113-143. 2 Partie //La Meteor. 1977. V. 7. P. 111-163.

87. Ritchie H., Temperton C., Simmons A., Hortal M., Davies Т., Dent D., Hamrud M. Implementation of the semi-Lagrangian method in a high-resolution version of the ECMWF forecast model // Mon. Wea. Rev. 1995. V. 123. P. 489-514.

88. Randall D.A. Geostrophic adjustment and the finite-difference shallow water equations // Mon. Wea. Rev. 1994. V. 122. P. 1371-1377.

89. Ritchie H. Application of the semi-Lagrangian method to a spectral model of the shallow-water equations // Mon. Wea. Rev. 1988. V. 116. P. 1587-1598.

90. Ramenskiy A.U., Kononenko S.U., Gutman L.N. The stationary nonlinear one-dimensional mesoscale problem of the influence of orography on the motion of an air mass. // Atmos. Oceanic. Phys. 1976. V. 12. P. 534-535.

91. Richardson L.F. Weather prediction by numerical process. // Cambridge (UK): Cambridge University Press. 1922.

92. Ritchie H., Tanguay M. A comparison of spatially averaged Eurlerian and semi-Lagrangian treatments of mountains // Mon. Wea. Rev. 1996. V. 124. P. 167-181.

93. Rober A., Henderson J., Turnbull C. An implicit time integration scheme for baroclinic models of the atmosphere // Mon. Wea. Rev. 1972. V. 100. P. 329—335.

94. Rober A. A stable numerical integration scheme for the primitive meteorological equations // Atmos.-Ocean. 1981. V. 19. P. 35—46.

95. Room R. Acoustic filtering in nonhydrostatic pressure coordinate dynamics: a variational approach //J. Atmos. Sci. 1998. V. 55. P. 654668.

96. Room R. Nonhydrostatic adiabatic kernel for HIRLAM. Part 1. Fundamentals of nonhydrostatic dynamics in pressure-related coordinates // Technical Report 48. February 2001. http://hirlam.org/

97. Room R., Mannik A. Non-hydrostatic Adiabatic Kernel for HIRLAM, Part IV: Semi-implicit semi-Lagrangian scheme // Technical Report 75. February 2006. http://hirlam.org/

98. Room R., Mannik A., Luhamaa A. Non-hydrostatic semi-elastic hybrid-coordinate SISL extension of HIRLAM. Part I: Numerical scheme // Tellus. 2007. V. 59A. P. 650-660

99. Salmon R., Smith L.M. Hamiltonian derivation of the nonhydrostatic pressure-coordinate model // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1994. V. 120. P. 1409-1413.

100. Sadourny R. Conservative finite-difference approximations of the shallow-water equations // Mon. Wea. Rev. 1972. V. 100. P. 136-144.

101. Satoh M., Matsunoa Т., Tomitaa H., Miuraa H., Nasunoa Т., Iga S. Nonhydrostatic icosahedral atmospheric model (NICAM) for global cloud resolving simulations //J. Comput. Phys. 2008. V. 227. P. 34863514.

102. Sawyer J.S. The introduction of the effects of topography into methods of numerical forecasting // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1959. V. 85. P. 31-43.

103. Scorer R.S. Theory of waves in the lee of mountains // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1949. V. 76. P. 41-56.

104. Scorer R.S., Klieforth H. Theory of mountain waves of large amplitude // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1959. V. 85. N. 364.

105. Simmons A.J., Hoskins B.J., Burridge D.M. Stability of the semi-implicit method of time integration. // Mon. Wea. Rev. 1978. V. 120. P. 2109-2126.

106. Smagorinsky J. General circulation experiment with the primitive equations. I. The basic experiment. //J. Atmos. Sci. 1989. V. 46. P. 1419-1427.

107. Smolarkiewicz P.K., Pudykiewicz A.J. A class of semi-Lagrangian approximations for fluids. //J. Atmos. Sci. 1992. V. 49. P. 2082-2096.

108. Staniforth A., Cote J. Semi-Lagrangian integration schemes for atmospheric models. A review // Mon. Wea. Rev. 1991. V. 119. P. 22062223.

109. Smith R.B. The steepening of hydrostatic mountain waves // J. Atmos. Sci. 1977. V. 34. P. 1634-1654.

110. Smith R.B. The influence of mountains on the atmosphere // Adv. in Geop. 1979. V. 21. P. 87-230.

111. Sokhov T.V., Gutman L.N. The use of the long-wave method in the nonlinear problem of the motion of a cold air mass over a mountain ridge. // Atmos. Oceanic Phys. 1968. V. 4. P. 11-16.

112. Steppeler J., Doms G., Schattler U., Bitzer H. W., Gassmann A., Damrath U., Gregoric G. Meso-gamma scale forecasts using the nonhydrostatic model LM // Meteor. Atmos. Phys. 2003. V. 82. N 1-4. P. 75-96.

113. Steppeler J., Hess R., Schattler U., Bonaventura L. Review of numerical methods for nonhydrostatic weather prediction models // Meteor. Atmos. Phys. 2003. V. 82. N 1-4. P. 287-301.

114. Tanguay M.A., Robert A., Laprise R. A semi-implicit semi-Lagrangian fully compressible regional forecast model // Mon. Wea. Rev. 1990. V. 118. P. 1970-1980.

115. Tapp M.C., White P.W. A nonhydrostatic mesoscale model // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1976. V. 102. P. 277-296.

116. Temperton C., Hortal M., Simmons A. A two-time-level semi-Lagrangian global spectral model // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 2001. V. 127. P. 111-129.

117. Temperton C., Staniforth A. An efficient two-time-level semi-Lagrangian semi-implicit integration scheme // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1987. V. 113. P. 1025-1039.

118. Tolstykh M.A. Vorticity-divergence semi-Lagrangian shallow-water model of the sphere based on compact finite differences //J- Comput. Phys. 2002. V. 179. P. 180-200.

119. Walko R.L., Avissar R. The Ocean-Land-Atmosphere Model (OLAM). Part II: Formulation and Tests of the Nonhydrostatic Dynamic Core // Mon. Wea. Rev. 2008. V. 136. P. 4045-4062.

120. Warner T.T., Anthes R.A., McNab A.L. Numerical simulations with a three-dimensional mesoscale model // Mon. Wea. Rev. 1978. V. 106. P. 1079-1099.

121. White A.A. An extended version of nonhydrostatic, pressure coordinate model // Q.J.R. Meteorol. Soc. 1989. V. 119. P. 1243-1251.

122. Williamson D. L., Browning G.L. Comparison of grids and difference approximations for numerical weather prediction over a sphere // J. Appl. Meteorol. 1973. V. 12. P. 264-274.

123. Williamson D. L., Drake J.В., Hack J.J., Jako R., Swarztrauber R.N. A standart test set for numerical approximations to the shallow water equations in spherical geometry //J. Comput. Phys. 1992. V. 102. P. 211-224.

124. Williamson D. L., Rosinski J. M. Accuracy of reduced-grid calculations. // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 2000. V. 126. P. 16191640.

125. World modelling summit for climate prediction. Reading, UK, 6-9 May 2008. // WCRP N 131. http://wcrp.wmo.int/documents/ WCRPWorldModellingSummitJan2009.pdf, 2009.

126. IPCC Third Assessment Report. Climate Change 2001. // http://www.ipcc.ch/publicationsanddata/ publicationsanddatareports.htm, 2001.

127. Zerroukat M, Wood N., Staniforth A. A semi-Lagrangian inherently conserving and efficient scheme for transport problems. // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 2002. V. 128. P. 221-224.

128. Zerroukat M, Wood N., Staniforth A. SLICE-S: a semi-Lagrangian inherently conserving and efficient scheme for transport problems on the sphere. // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 2004. V. 130. P. 2649-2664.