Полулагранжева модель динамики атмосферы мезомасштабного разрешения с использованием метода конечных объемов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Шашкин, Владимир Валерьевич

• Шашкин, Владимир Валерьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Шашкин, Владимир Валерьевич

Содержание

Введение

1 Конечно-объемные полулагранжев алгоритм численного решения уравнения переноса на сфере

1.1 Конечно-объемный полулагранжев подход к решению одномерного уравнения переноса

1.2 Конечно-объемный полулагранжев алгоритм численного решения двумерного уравнения переноса на сфере на редуцированной широтно-долготной сетке

1.2.1 Описание алгоритма

1.2.2 Результаты численного решения двумерного уравнения переноса на сфере

1.3 Конечно-объемный полулагранжев алгоритм численного решения уравнения переноса на сфере в трехмерном случае

1.3.1 Описание алгоритма

1.3.2 Результаты численного решения трехмерного уравнения переноса на сфере

1.4 Основные результаты главы

2 Полулагранжева полунеявная модель мелкой воды на сфере с использованием метода конечных объемов

2.1 Уравнения мелкой воды на вращающейся сфере

2.2 Полулагранжева полунеявная дискретизация уравнений мелкой воды

2.3 Численные эксперименты

2.3.1 Геострофическое равновесие

2.3.2 Зональный поток над изолированной горой

2.3.3 Квази-реальные данные

2.3.4 Баротропная неустойчивость

2.4 Основные результаты главы

3 Полунеявная полулагранжева модель динамики атмосферы с конечно-объемной дискретизацией уравнений неразрывности и переноса водяного пара

3.1 Формулировка уравнений модели атмосферы ПЛАВ

3.2 Дискретизация уравнений динамики атмосферы в модели ПЛАВ

3.3 Версия динамического блока модели ПЛАВ с конечно-объемной полулагранжевой дискретизацией уравнения неразрывности и переноса водяного пара

3.4 Реализация модели на параллельных вычислительных системах

3.5 Численные эксперименты

3.5.1 Эксперимент «Орографически возбужденные волны Россби»

3.5.2 Эксперимент «Бароклинная неустойчивость»

3.5.3 Эксперимент «Моделирование циркуляции атмосферы на длительный промежуток времени»

3.5.4 Эксперимент «Моделирование атмосферной циркуляции на 72 часа»

3.6 Основные результаты главы

Заключение

А Конечно-объемная аппроксимация горизонтальной дивергенции и оператора Лапласа

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полулагранжева модель динамики атмосферы мезомасштабного разрешения с использованием метода конечных объемов»

Введение

Долгосрочный прогноз погоды, изучение глобальных климатических процессов и прогнозирование изменений климата невозможны без вычислительных экспериментов с математическими моделями климатической системы Земли. Модель климатической системы Земли современного уровня включает в себя модели общей циркуляции атмосферы и океана, модели динамики биосферы, морского и наземного льда, модели процессов на поверхности суши и в почве, а также модели взаимодействия на границах раздела всех перечисленных сред. Модели атмосферы и океана занимают центральное место в этом комплексе, так как процессы, формирующие климат, определяются, в основном, циркуляцией системы атмосфера, океан, почва, в то время как остальные компоненты климатической системы (биосфера, лед, поверхность суши, почва) влияют на эти процессы опосредованно, через взаимодействие с атмосферой и океаном.

Развитие моделей климатической системы земли преследует главную цель - повышение точности прогноза и уменьшение неопределенности моделирования климата. Важное направление работы для достижения этой цели - совершенствование методов, используемых для моделирования отдельных компонентов климатической системы, в том числе для моделирования общей циркуляции атмосферы.

Общая циркуляция атмосферы описывается системой уравнений, представляющей собой дифференциальную формулировку законов сохранения. Одна из возможных форм системы уравнений динамики атмосферы:

• Уравнения движения (закон сохранения импульса)

— + / - к х V = -УРФ +

(1)

• Уравнения притока тепла (первое начало термодинамики)

й% _ ИдТу Ы _

(И Срй[ 1 + (5 - 1)д] р

= Рт-

(2)

• Уравнение неразрывности (закон сохранения массы)

(3)

• Уравнение переноса водяного пара (сохранение массы водяного пара)

Данная система дополняется уравнениями гидростатики (используется гидростатическое приближение):

др = рдФ (5)

и уравнением состояния идеального газа

р = PRdTv. (6)

Здесь используются следующие обозначения V — (и, v) - горизонтальная скорость ветра, /

- параметр Кориолиса, р - давление, Vp - горизонтальный оператор набла при р = const, Ф

- геопотенциал (высота умноженная на g), ш - вертикальная скорость в р-системе координат, Tv = (1 4- [5 — 1 ]q)T - виртуальная температура, Т - температура, q - удельная влажность, 5 -отношение теплоемкостей сухого и влажного воздуха, Rd - газовая постоянная сухого воздуха, Cpd - теплоемкость сухого воздуха при постоянном давлении, F$, FT, Fq - источники и стоки физических величин вследствие процессов подсеточного масштаба.

Численные модели общей циркуляции атмосферы, как правило, состоят из двух блоков: динамическое ядро отвечает за решение системы уравнений (1-6), в блоке параметризованного описания физических процессов подсеточного масштаба рассчитываются источники (стоки) Ft, Fq. Параметризованное описание процессов подсеточного масштаба (конвекция, осадки, испарение, облака и др.) является одним из главных источников неопределенности моделирования и ошибок прогноза. При повышении разрешения некоторые процессы подсеточного масштаба начинают разрешаться на модельной сетке и становятся доступными для прямого моделирования. Естественным результатом является увеличение точности воспроизведения этих процессов.

На данный момент, перспективные версии ведущих моделей общей циркуляции, применяемых для климатических исследований и долгосрочного прогноза погоды (например, [1-4] и других) имеют разрешение 25-50 км, т.е. разрешают на сетке процессы масштабом 100-200 км (здесь учтено, что модель может эффективно разрешать процессы масштабом не менее 4 шагов сетки). Таким образом, современные модели климата имеют возможность прямого моделирования атмосферных процессов а-мезомасштаба (200 - 2000 км), таких, как фронты и ураганы [5], и вплотную подошли к моделированию явлений /3-мезомасштаба (20 - 200 км), таких, как бризы и тропические циклоны. Наибольшего успеха достигла японская группа разработчиков модели NICAM [3], достигшей горизонтального разрешения 3,5 км и способной разрешать на сетке крупные облачные скопления.

В России для целей моделирования климата применяется модель общей циркуляции атмосферы ИВМ РАН с горизонтальным разрешением около 150-200км [6], а для целей долгосрочного прогноза - модель ПЛАВ [7] с разрешением 100-150 км. Данные модели способны разрешать на сетке явления синоптического масштаба.

Повышение горизонтального разрешения моделей требует решения определенного количества проблем физического, математического и вычислительного плана. С точки зрения физики, основные проблемы - это переход от формулировки уравнений динамики атмосферы в гидростатическом приближении (1-6) к негидростатическим уравнениям, а также настройка блока описания процессов подсеточного масштаба с учетом того, что часть атмосферных процессов

начинает разрешаться на модельной сетке. Математические вопросы касаются выбора вычислительных сеток и методов дискретизации уравнений динамики атмосферы и отчасти взаимосвязаны с вопросами вычислительной эффективности и параллельной реализации моделей.

В данной диссертации рассматривается задача создания динамического блока модели общей циркуляции атмосферы (модели динамики атмосферы), способной разрешать а-мезомасштабные процессы и предназначенной для долгосрочного прогноза погоды и моделирования изменений климата. Проблемы перехода к негидростатическому моделированию атмосферы естественным образом выпадают из поля зрения данной работы, так как негидростатические эффекты начинают проявляться только на горизонтальных масштабах менее 10 км. Однако, следует заметить, что большинство подходов, развитых в этой диссертации, могут применяться и при дальнейшем повышении разрешения, после перехода к негидростатической формулировке уравнений.

Одним из главных вопросов построения динамических блоков моделей общей циркуляции атмосферы является выбор вычислительной сетки на сфере. В настоящее время, наиболее распространены регулярные широтно-долготные сетки (см. Рисунок 1), состоящие из точек, лежащих на пересечениях меридианов и параллелей, взятых с постоянными шагами по широте и долготе. Популярность подобных сеток объясняется простой прямоугольной структурой в сферических координатах и, как следствие, простотой реализации горизонтальных дискретизаций. Недостатком регулярных сеток является сходимость меридианов к полюсам, вследствие чего, шаг сетки по долготе, выраженный в единицах длины, прогрессивно уменьшается в высоких широтах. Например, при разрешении по долготе около 10 км на экваторе, шаг по долготе около полюса будет в 100 раз меньше и составит 100 м, а при шаге на экваторе около 1 км, к полюсу шаг уменьшиться уже в 1000 раз (и составит всего лишь 1 м).

Рисунок 1: Сетки на сфере, слева направо: регулярная широтно-долготная сетка, редуцированная широтно-долготная сетка, треугольная икосаэдральная сетка, сетка «кубическая сфера». Рисунки взяты из [8]

Уменьшение шага регулярной сетки у полюсов сильно ограничивает шаг по времени в явных конечно-разностных моделях (вследствие условия Куранта около полюсов). При любом разумно малом, с точки зрения вычислительных затрат, шаге по времени подобные модели неустойчивы без применения полярных фильтров, удаляющих самые быстрые волны, уменьшая при этом точность решения. Кроме того, с точки зрения точности, увеличение разрешения около полюсов является излишним и приводит к неоправданным вычислительным затратам.

Интерес к моделированию атмосферы на сетках с квазиравномерным разрешением на сфере возник в 1960-х годах из-за нехватки вычислительных ресурсов для моделирования на регулярной сетке с достаточно малыми шагами по времени. К середине 1970-х годов, вследствие роста возможностей ЭВМ и совершенствования численных методов, этот интерес постепенно угас. В последнее время вопрос о моделировании атмосферы на сетках с квази-равномерным разрешением на сфере снова приобрел актуальность, так как модели атмосферы вплотную подошли к горизонтальному разрешению (порядка 1-10 км), при котором расчеты на регулярной сетке, из-за уменьшения шага по долготе у полюса, теряют смысл. Существует большое количество сеток с квазиравномерным разрешением на сфере, наиболее полный обзор которых приведен в [9], здесь же рассмотрены только основные варианты.

Самой простой сеткой с квази-равномерным разрешением является редуцированная широтно-долготная сетка [10], в которой, точки лежат на параллелях, взятых с постоянным шагом по широте (как в регулярной сетке), а шаг по долготе в угловых единицах растет при приближении к полюсам (см. Рисунок 1). Благодаря этому, в единицах длины, шаг по долготе уменьшается не так быстро или не уменьшается вовсе. Редуцированная сетка, в силу конструкции, в основном сохраняет все преимущества регулярной.

Редуцированные сетки активно применяются в спектральных моделях [11,12], так как, в силу свойств сферических функций, позволяют сократить вычислительные затраты (за счет уменьшения количества точек) без потери точности. Применение редуцированных сеток в конечно-разностных моделях было сочтено бесперспективным [9] из-за неудовлетворительной точности решения в высоких широтах. Данный вывод был поставлен под сомнение в работах [13], [14], показавших, что, при использовании специальным образом построенной редуцированной сетки [15], рост ошибок численного решения уравнения переноса и уравнений мелкой воды на сфере, при увеличении редукции до 20% (уменьшение количества узлов в редуцированной сетке относительно регулярной, с аналогичным разрешением на экваторе) остается незначительным.

Недостатком редуцированных широтно-долготных сеток является недостаточная равномерность разрешения (скачкообразное изменение разрешения от широты к широте) и анизотропность распределения точек, что отрицательно влияет на распространение волн. Более изотропное и равномерное распределение точек достигается в геодезических или икосаэдральных сетках (см. Рисунок 1). Подобные сетки основаны на делении треугольных граней икосаэдра, вписанного в сферу, на более мелкие треугольники и последующем гномоническом проецировании полученных треугольников на поверхность сферы. Существует так же вариант икосаэдральных сеток, основанный на делении граней икосаэдра на шестиугольники. Любая икосаэдральная сетка, основанная на шестиугольниках, содержит 12 пятиугольников.

Дискретизации уравнений динамики атмосферы на икосаэдральных сетках посвящено множество работ, из которых стоит выделить [16], в которой представлена глобальная оперативная модель численного прогноза погоды немецкой метеослужбы, и два варианта модели ICON (на треугольниках [2] и шестиугольниках [17]). Недостатком икосаэдральных сеток является их неортогональность, затрудняющая построение конечно-разностных и конечно-объемных дискретизаций высокого порядка. Кроме того, в силу структуры сетки (неортогональность, несиммет-

ричность, отличие соседних треугольников/шестиугольников по форме и ориентации, отсутствие выделенных направлений), могут возникать нефизические решения дискретных уравнений (вычислительные моды), например, ложная циркуляция масштаба ячейки сетки, нарушения reo строфического баланса и даже формирование ложных крупномасштабных циклонов. Подобные проблемы обозначаются понятием «отпечаток сетки» (от англ.- «grid imprinting»), большинство из них было решено в работах [17], [18].

На сетках типа «кубическая сфера» (см. Рисунок 1), построенных путем гномонической или конформной проекции регулярно распределенных точек сетки с граней вписанного куба на сферу, распределение точек менее изотропное и равномерное, зато более структурированное, чем на икосаэдральных сетках. Лучшая структурированность сетки упрощает дискретизацию уравнений. В качестве примеров моделей на сетке «кубическая сфера» можно привести [1,19,20]. В численных решениях уравнений динамики атмосферы на «кубической сфере» могут содержаться отпечатки сетки (хотя и в меньшей степени, чем на икосаэдральных сетках). Причинами появления отпечатков сетки является резкое изменение формы ячейки при переходе через ребро, а так же сложность построения точной дискретизации уравнений около ребер и вершин куба. Как правило, проблема исчезает с увеличением разрешения.

Еще одним вариантом вычислительной сетки, который удалось реализовать в модели атмосферы, является сетка Инь-Янь (см. Рисунок 2), представляющая объединение области регулярной широтно-долготной сетки от 45° ю.ш. до 45° с.ш. и от 0° до 270° в.д. с аналогичной областью, повернутой на 90°. В каждой из областей сетки Инь-Янь уравнения динамики атмосферы дискретизуются так же удобно и просто, как на регулярной сетке, однако, постановка граничных условий и дискретизация уравнений в областях стыковки и перекрытия двух областей вызывает трудности. Сетка Инь-Янь используется в перспективной модели метеослужбы Канады [21].

Все варианты сеток с квази-равномерным разрешением на сфере имеют свои преимущества и недостатки, специфические проблемы, которые с той или иной степенью успеха решаются группами разработчиков моделей. Ни одна из используемых сеток не является идеальной, и все подходы имеют право на жизнь.

Вопрос выбора метода горизонтальной аппроксимации уравнений динамики атмосферы представляется не менее важным, чем выбор вычислительной сетки на сфере, однако, во многом определяется выбором сетки. В течение длительного периода времени (с конца 1970х до кон-

YIN GRID

YANG) GRID

YIN-YANG GRID

Рисунок 2: Сетка Инь-Янь на сфере (рисунок из [8])

ца 1990х годов) основным методом горизонтальной аппроксимации уравнений динамики атмосферы в моделях общей циркуляции был спектральный подход с использованием спектрально-сеточного преобразования для вычисления нелинейных слагаемых [22], [23]. В спектральном методе функции на сфере представляются в виде разложений по сферическим гармоникам. Линейные слагаемые уравнений вычисляются в спектральном пространстве сложением соответствующих спектральных коэффициентов. Значения нелинейных слагаемых уравнений вычисляются в точках сетки с использованием сеточных значений функций (полученных с помощью спектрально-сеточного преобразования) и затем раскладываются в сумму по сферическим гармоникам.

Использование спектрально-сеточного преобразования позволило значительно упростить вычисление нелинейных слагаемых в спектральных методах и сделало их вычислительно-эффективными. Еще большей вычислительной эффективности удалось достичь при использовании редуцированных широтно-долготных сеток [11,12]. Свойства сферических функций позволяют использовать редуцированные сетки, содержащие до 20% меньше точек, чем регулярная широтно-долготная сетка, без существенной потери точности [24], и таким образом позволяют сэкономить значительное количество процессорного времени.

При использовании спектрального метода адвекция функций, разрешимых при выбранном спектральном усечении, вычисляется с аналитической точностью, без вычислительной диффузии, что является недостижимым для конечно-разностных методов. Другое преимущество заключается в том, что при выборе треугольного усечения набора спектральных коэффициентов, спектральный метод обеспечивает изотропное представление функций на сфере, даже при использовании неизотропной регулярной широтно-долготной сетки. Благодаря этому свойству отпадает необходимость в полярных фильтрах для исключения из полей мелкомасштабных долготных структур, отрицательно влияющих на устойчивость.

Основным недостатком спектрального метода является отсутствие равномерной сходимости в случае негладких полей, что приводит к возникновению эффекта Гиббса - ложных мелкомасштабных колебаний. Эффект Гиббса сильнее всего искажает поля удельной влажности и концентрации различных составляющих атмосферы, которым свойственны большие значения градиента. Данная проблема усугубляется при уменьшении шага сетки, так как модели начинают разрешать все более мелкие масштабы и связанные с ними большие градиенты полей. Кроме того при высоком разрешении вычислительно эффективная массивно-параллельная реализация метода сопряжена со значительными трудностями и потерей точности.

В конце 1990-х годов появились прототипы моделей динамики атмосферы с горизонтальным разрешением, при котором применение спектрального подхода не оправдано (в плане точности и вычислительной эффективности), что стимулировало разработку альтернативных методов горизонтальной дискретизации уравнений динамики атмосферы. Был неявно сформулирован комплекс желательных свойств новых методов дискретизации:

1. Возможность реализации на сетках с квазиравномерным разрешением на сфере.

2. Высокий порядок аппроксимации (3-й и выше).

3. Свойства локального сохранения массы и монотонности (при численном решении не возникают новые максимумы и минимумы функции), особенно важные для расчета адвекции малых газовых составляющих атмосферы.

4. Высокая вычислительная эффективность, рассматриваемая в ключе реализации на вычислительных системах с 0(Ю4) - 0(Ю5) процессорами.

Свойство локального сохранения массы (или локальной консервативности) обусловило отказ от конечно-разностных методов (являющихся традиционной альтернативой спектральным методам), так как добиться сохранения массы в этих методах очень сложно, особенно на нерегулярных сетках.

В качестве основной альтернативы спектральному методу, в настоящий момент, рассматривается метод конечных объемов [25,26]. В методе конечных объемов прогностические величины представляются средними значениями по ячейкам сетки. Эволюция значения величины возникает как следствие наличия потоков через границу ячейки и внутренних источников. Преимуществами конечно-объемных методов являются локальная консервативность - прямое следствием формулировки метода и сравнительная легкость реализации монотонных фильтров, основанных на модификации потоков [27]. Существуют конечно-объемные дискретизации, которые сохраняют не только массу, но и моменты более высоких порядков. Например, конечно-объемная схема «Кабаре» сохраняет также квадратичный момент [28,29]. Данная схема успешно применяется для моделирования атмосферы в модели общей циркуляции атмосферы ИВМ РАН [30,31], а также для моделирования океана [32].

Конечно-объемный метод применяется для дискретизации уравнений динамики атмосферы в трех разных вариантах: классический конечно-объемный метод, основанный на вычислении потоков с помощью конечно-разностных формул, методы спектральных элементов и разрывный метод Галеркина, в которых потоки вычисляются с помощью метода конечных элементов [33].

В классических конечно-объемных методах для вычисления потоков применяется процедура восстановления распределения прогностической величины внутри ячейки. Первые конечно-объемные методы были основаны на использовании кусочно-постоянной (схема Годунова [34]) и кусочно-линейной (схема Ван Лира [35]) функций распределения переносимой величины. Однако, для достижения порядка аппроксимации выше второго необходимо применять другие функции распределения (например, кусочно-параболическую [36]), требующие интерполяции значений прогностической величины на границы ячейки сетки. Шаблон интерполяции тем больше, чем более высокий порядок аппроксимации требуется достичь. Порядок аппроксимации классических конечно-объемных методов, как правило, не выше третьего, так как широкие шаблоны интерполяции требуют нелокальной пересылки данных и уменьшают параллельную эффективность метода. Классический метод конечных объемов реализован в динамических блоках моделей атмосферы на сетке «кубическая сфера» [1,20] и на икосаэдральной сетке [17,18].

В разрывном методе Галеркина [37] и методе спектральных элементов [38] прогностическая величина в ячейке представляется суммой базисных функций. Основное различие двух методов заключается в представлении функции на границе ячейки: в разрывном методе Галеркина

функция может быть разрывна, в то время как в методе спектральных элементов функция гладкая. Метод спектральных элементов приводит к более простому выражению для потоков, чем разрывный метод Галеркина, однако, из-за ограничения на гладкость функции, в методе спектральных элементов сложнее реализовать монотонные фильтры. Результатом немонотонности метода спектральных элементов (называемого также спектральным методом в ячейке) является аналог эффекта Гиббса.

Преимуществом разрывного метода Галеркина и метода спектральных элементов является возможность достичь высокого порядка аппроксимации (в случае спектральных элементов - произвольно высокого) с сохранением локальности вычислений - для вычисления значения прогностической величины в ячейке сетки, требуются информации только о ячейках, непосредственно примыкающих к рассматриваемой. Локальность вычислений обуславливает высокую параллельную эффективность этих методов.

Метод спектральных элементов реализован в одном из динамических ядер модели САМ [19] на сетке «кубическая сфера». Метод может быть реализован также и на икосаэдральной сетке, однако, для этого потребуется раздробить треугольники сетки на четырехугольники, так как метод спектральных элементов применим только на ячейках четырехугольной формы. Разрывный метод Галеркина реализован в модели мелкой воды на сфере, на сетке «кубическая сфера» [39].

В целом, можно утверждать, что ни один из перечисленных методов не удовлетворяет требованиям из приведенного выше списка полностью, у каждого из них имеются свои достоинства и недостатки. Общий недостаток приведенных методов (конечно-объемного, спектральных элементов и разрывного метода Галеркина) - ограничение шага по времени условием Куранта [40] при использовании явной схемы по времени. В случае метода спектральных элементов и разрывного метода Галеркина шаг по времени ограничен условиями даже более жесткими, чем условия Куранта, причем, чем выше порядок аппроксимации, тем меньше шаг по времени. Использование малого шага по времени для интегрирования уравнений динамики атмосферы, особенно при необходимости расчета переноса большого количества составляющих атмосферы (малые газовые составляющие, химически активные компоненты, аэрозоли, всего порядка 100 в современной модели климатической системы Земли с блоком атмосферной химии), может ликвидировать преимущество, получаемое за счет высокой параллельной эффективности метода.

В моделировании атмосферной циркуляции, проблема ограничения шага по времени условием устойчивости была решена в 1980-х годах А. Робэром [41], предложившим сочетание по-лулагранжева представления адвекции с полунеявной схемой интегрирования по времени, основанной на методах расщепления Г.И. Марчука [42]. Подобное сочетание аппроксимаций по пространству и времени позволяет использовать шаг по времени в 3-5 раз больший, чем при использовании эйлерова представления адвекции и явных схем по времени.

Полулагранжев подход аналогичен сеточно-характеристическому методу [43], применяемому в газовой динамике. Основа полулагранжева подхода к численному решению уравнения переноса (адвекции) - сохранение концентрация переносимой величины в частице, перемещающейся вместе с воздухом (лагранжевой частице), при отсутствии источников. Полулагранжев алгоритм численного решения уравнения переноса устроен следующим образом [44]:

1. на каждом шаге по времени выбирается набор частиц, находящихся в узлах вычислительной сетки;

2. кинематическое уравнение интегрируется на шаг по времени назад для каждой из частиц, в результате определяется набор точек (исходные точки), где находились выбранные частицы на предыдущем шаге по времени;

3. находятся значения концентрации переносимой величины в каждой из исходных точек, так как исходные точки, как правило, не совпадают с узлами сетки, применяется интерполяция.

В силу уравнения переноса, значения концентрации в начальной и конечной точках траектории должны совпадать, таким образом находятся значения концентрации в узлах сетки на новом шаге по времени. При наличии источников концентрации переносимой величины, они могут быть учтены различными, довольно простыми способами. Например, можно к значению концентрации, найденному по приведенному выше алгоритму, прибавить значение интенсивности источника в средней точке траектории, умноженное на величину шага по времени. Применение полулагранжевых алгоритмов для решения уравнения переноса позволяет выбирать шаг по времени, исходя из соображений точности решения, а не устойчивости (при этом шаг по времени получается больше шага, определяемого условием Куранта).

Уравнения динамики атмосферы (1-3) можно представить в виде уравнений переноса (скорости ветра, температуры, давления и т.д.) с правыми частями, описывающими источники этих величин вследствие динамических процессов. Дискретизация этих уравнений на основе явного полулагранжева подхода не дает выигрыша в величине шага по времени, из-за неустойчивости волновых решений. Эта проблема была разрешена А. Робэром, предложившим полунеявную схему интегрирования по времени. Полунеявная схема состоит в разделении правых частей уравнений динамики атмосферы на большую по абсолютному значению линейную часть и малую нелинейную добавку, и интегрировании линейной части по неявной схеме, а нелинейной по явной. Таким образом, линейные слагаемые уравнений, описывающие самые быстрые и, следовательно, неустойчивые моды, интегрируются по абсолютно устойчивой неявной схеме.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шашкин, Владимир Валерьевич, 2013 год

Литература

1. Harris L. M., Lin S. J. A Two-Way Nested Global-Regional Dynamical Core on the Cubed-Sphere Grid // Mon. Wea. Rev. 2013. Vol. 141. P. 283-306.

2. The ICON-1.2 hydrostatic atmospheric dynamical core on triangular grids - Part 1: Formulation and performance of the baseline version / H. Wan, M. A. Giorgetta, G. Zangl et al. // Geosci. Model. Dev. 2013. Vol. 6. P. 735 - 763.

3. Nonhydrostatic Icosahedral Atmospheric Model (NICAM) for global cloud resolving simulations / M. Satoh, T. Matsuno, H. Tomita et al. // J. Сотр. Phys. 2008. Vol. 227. P. 3486-3514.

4. Walko R. L., Avissar R. The Ocean Land Model. Part II: Formulation and Tests of the Nonhydrostatic Dynamical Core // Mon. Wea. Rev. 2008. Vol. 136. P. 4045-4062.

5. Holton J. R. An introduction to dynamic meteorology. Fourth edition. Elsevier Academic Press, 2004. Vol. 88 of Int. Geophys. Ser.

6. Володин E.M., Дианский H.A., Гусев A.B. Воспроизведение современного климата с помощью совместной модели общей циркуляции атмосферы и океана INMCM 4.0 // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2010. Т. 46, № 4. С. 448—466.

7. Толстых М.А. Глобальная полулагранжева модель численного прогноза погоды. М.; Обнинск: ОАО ФОП, 2010. с. 111.

8. Williamson D. L. The Evolution of Dynamical Cores for Global Atmospheric Models // J. Mete-orol. Soc. Jap. 2007. Vol. 85B. P. 241-269.

9. Staniforth A., Thuburn J. Horizontal grids for global weather and climate prediction models: a review // Q. J. Royal. Meteorol. Soc. 2012. Vol. 138. P. 1 - 26.

10. Kurihara Y. Numerical Integration of the Primitive Equations on a Spherical Grid // Mon. Wea. Rev. 1965. Vol. 93. P. 399-415.

11. Hortal M., A.J.Simmons. Use of Reduced Gaussian grids in spectral models // Mon. Wea. Rev. 1991. Vol. 119. P. 1057-1074.

12. Courtier P., Naughton M. // Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 1994. Vol. 120. P. 1389-1407.

v

f." t

13. Фадеев P. Ю. Построение редуцированной широтно долготной сетки для задачи глобального численного прогноза погоды // Метеорология и гидрология. 2006. № 9. С. 5-20.

14. Tolstykh М., Shashkin V. Vorticity-divergence mass-conserving semi-Lagrangian shallow-water model using the reduced grid on the sphere // J. Comput. Phys. 2012. Vol. 231. P. 4205 - 4233.

15. Fadeev R. Y. Algorithm for Reduced Grid Generation on a Sphere for a Global Finite-Difference Atmospheric Model // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2013. Vol. 53, no. 2. P. 237-252.

16. The operational global icosahedral-hexagonal gridpoint model GME: Description and highresolution tests / D. Majewski, D. Liermann, P. Prohil et al. // Mon. Wea. Rev. 2002. Vol. 130.

17. Gassmann A. A global hexagonal C-grid non-hydrostatic dynamical core (ICON-IAP) designed for energetic consistency // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 2012. Vol. 139. P. 152-175.

18. A Multiscale Nonhydrostatic Atmospheric Model Using Centroidal Voronoi Tesselations and C-Grid Staggering / W. C. Skamarock, J. B. Klemp, M. G. Duda et al. // Mon. Wea. Rev. 2012. Vol. 140. P. 3090-3105.

19. Fournier A., Taylor M. A., Tribbia J. J. The spectral element atmospheric model: High-resolution parallel computation and response to regional forcing // Mon. Wea. Rev. 2004. Vol. 132. P. 726748.

20. Ulrich P. A., Jablonowski C. MCore: A nonhydrostatic atmospheric dynamical core utilizing high-order finite-volume methods // J. Сотр. Phys. 2012. Vol. 231. P. 5078 - 5108.

21. Quaddouri A., Lee V. The Canadian Global Environmental Multiscale model on the Yin-Yang grid system // Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 2011. Vol. 137. P. 1913-1926.

22. Eliasen E., Machenhauer В., Rasmussen E. On a numerical method for integration of the hydro-dynamical equations with a spectral representation of the horizontal fields // Report №2: Institute for Teoretisk Meteorology, University of Copenhagen. 1970.

23. Orszag S. Transform method for calculation of vector coupled sums: Application to the spectral form of the vorticity equation // J. Atmos. Sci. 1970. Vol. 27. P. 890-895.

24. Williamson D. L., Rossinski J. M. accuracy of reduced grid calculations // Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 2000. Vol. 126. P. 1619-1640.

25. Hourdin F., Armengaud A. The use of finite-volume methods for atmospheric advection of trace species. Part I: Test of various formulation in a general circulation model // Mon. Wea., Rev. 1999. Vol. 127. P. 822-837.

26. Machenhauer В., Kaas E., Lauritzen P. H. Finite-Volume Methods in Meteorology // Computational Methods for the Atmosphere and the Oceans. ELSEVIER, 2009. Vol. 14.

27. Flux-Corrected Transport. Principles, Algorithms and Applications / Ed. by D. Kuzmin, R. Lohner, S. Turek. Scientific computations. Berlin: Springer, 2005. p. 300.

28. Головизнин B.M., Самарский A.A. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной // Матем. моделирование. 1998. Т. 10. С. 86-100.

29. Головизнин В.М., Самарский А.А. Некоторые свойства разностной схемы «кабаре» // Матем. моделирование. 1998. Т. 10. С. 101-116.

30. Кострыкин С.В. Об одном варианте многомерного обобщения схемы «Кабаре» // Матем. Моделирование. 2010. Т. 22. С. 69-82.

31. Кострыкин С.В. Модификация и внедрение схемы «кабаре» в совместную климатическую модель ИВМ РАН // Избранные труды школы-конференции СИТЕС-2011. Томск: ЦНТИ, 2011. С. 85-88.

32. Karabasov S., Berloff P., Goloviznin V. CABARET in the ocean gyres // Ocean Modelling. 2009. Vol. 30. P. 155-168.

33. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.:Наука, 1981.

34. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический Сборник. 1959. Т. 47. С. 271-306.

35. Van Leer В. Towards the ultimate conservative difference scheme V. A second order sequel to Godunov's method // J. Сотр. Phys. 1979. Vol. 32. P. 101-136.

36. Colella P., Woodward P. The Piecewise Parabolic Method (PPM) for Gas-Dynamical Simulations // J. Comput. Phys. 1984. Vol. 54. P. 174 - 201.

37. Cockburn В., Kamiadakis G. E., Shu C. Discontinuous Galerkin Methods. Theory, computation and applications, Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Springer-Verlag, Berlin, 2000. Vol. 11.

38. Patera A. T. A spectral element method in fluid dynamics - Laminar flow in a chanel expansion // J. Comput. Phys. 1984. Vol. 54. P. 468^88.

39. Nair R., Thomas S. J., Loft R. D. A Discontinuous Galerkin Global Shallow Water Model // Mon. Wea. Rev. 2005. Vol. 133. P. 876 - 888.

40. Bakhvalov N. S. Courant-Friedrichs-Lewy Condition in Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001.

41. Robert A., Yee Т., Ritchie H. A semi-Lagrangian and semi-implicit numerical integration scheme for multilevel atmospheric models // Mon. Wea. Rev. 1985. Vol. 113. P. 388 - 394.

42. Марчук Г. И. Численные методы в прогнозе погоды. Л.: Гидрометеоиздат, 1967. с. 367.

43. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988. с. 289.

44. Staniforth A., Côté J. Semi-Lagrangian integration schemes for atmospheric models - A review // Mon. Wea. Rev. 1991. Vol. 119. P. 2206-2223.

45. Hortal M. Aspects of the numerics of the ECMWF model // Procs. of the ECWMF Seminar, 7-11 September 1998. Reading, UK: 1999.

46. A new dynamical core for the Metoffice's global and regional modelling of the atmosphere / T. Davies, M. J. P. Cullen, A. Malcolm et al. // Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 2005. Vol. 131. P. 1759-1782.

47. The Operational CMC-MRB Global Environmental Multiscale (GEM) Model. Part I: Design Considerations and Formulation / J. Côté, S. Gravel, A.Méthot et al. // Mon. Wea. Rev. 1998. Vol. 126. p. 1373-1395.

48. Description of the NCAR Community Atmosphere Model (CAM3.0). NCAR Technical Note NCAR/TN-464+STR / W. D. Collins, P. J. Rasch, B. Boville et al. 2004.

49. Williamson D. L., Olson J. G. A Comparison of Semi-Lagrangian and Eulerian Polar Climate Simulations // Mon. Wea. Rev. 1998. Vol. 126. P. 991-1000.

50. Williamson D. L., Olson J. G., Boville B. A. A Comparison of Semi-Lagrangian and Eulerian Tropical Climate Simulations // Mon. Wea. Rev. 1998. Vol. 126. P. 1001-1012.

51. Jablonowski C., Williamson D. L. The Pros and Cons of Diffusion, Filters and Fixers in Atmospheric General Circulation Models // Numerical Techniques for Global Atmospheric Models: Lecture Notes in Computational Science and Engineering, Vol. 80. Springer, 2011. P. 381-493.

52. Lucarini V., Ragone F. Energetics of climate models: net energy balance and meridional enthalpy transport//Reviews of Geophysics. 2011. Vol. 49. p. 29.

53. Moorthi S., Higgins R., Bates J. A global multilevel atmospheric model using a vector semi-Lagrangian finite-difference scheme, part ii: Version with physics // Mon. Wea. Rev. 1995. Vol. 123. P. 1523-1541.

54. Priestley A. A quasi-conservative version of the semi-Lagrangian advection scheme // Mon. Wea. Rev. 1993. Vol. 121. P. 621 —629.

55. On a fundamental problem in implementing flux-form advection schemes for tracer transport in 3-dimensional general circulation and chemistry transport models / P. Jôckel, R. von Kuhlmann, M. G. Lawrence et al. // Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 2001. Vol. 127. P. 1035-1052.

56. Lauritzen P. H. An inherently mass-conservative semi-implicit semi-Lagrangian model. Ph.D. thesis : Department of geophysics, University of Copenhagen, Denmark. 2005.

57. Lauritzen P. H., Ullrich P. A., Nair R. D. Atmospheric transport schemes: Desirable properties and a semi-Lagrangian view on finite-volume discretizations // Numerical Techniques for Global Atmospheric Models: Lecture Notes in Computational Science and Engineering, Vol. 80. Springer, 2011. P. 185-250.

58. Application of the piecewise parabolic method (PPM) to meteorological modeling / R. Carpenter, K. Droegemeier, P. Woodward et al. // Mon. Wea. Rev. 1990. Vol. 118. P. 586-612.

59. Lauritzen P. H., Nair R. D., Ullrich P. A. A conservative semi-Lagrangian multi-tracer transport scheme (CSLAM) on the cubed-sphere grid // J. Comput. Phys. 2010. Vol. 229. P. 1401 — 1424.

60. Integrating a scalable and efficient semi-Lagrangian multi-tracer transport scheme in HOMME / C. Erath, P. Lauritzen, J. H. Garcia et al. // Procedia Computer Science. 2012. Vol. 9. P. 994-1003.

61. Zerroukat M., Allen T. A three-dimensional monotone and conservative semi-Lagrangian scheme (SLICE-3D) for transport problems // Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 2012. Vol. 138. P. 1640 - 1651.

62. Шашкин В.В. Локально-консервативный полулагранжев алгоритм численного решения уравнения переноса на сфере в трехмерном случае, в z-системе координат по вертикали // Труды Гидрометцентра России. 2012. С. 64 - 82.

63. Lauritzen Р. Н., Kaas Е., Machenhauer В. A Mass-Conservative Semi-Implicit Semi-Lagrangian Limited-Area Shallow-Water Model on the Sphere // Mon. Wea. Rev. 2006. Vol. 134, no. 4. p. 1205-1221.

64. An inherently mass-conserving semi-implicit semi-Lagrangian discretisation of the shallow-water equations on the sphere / M. Zerroukat, N. Wood, A. Staniforth et al. // Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 2009. Vol. 135. P. 1104-1116.

65. Coupling a mass-conserving semi-Lagrangian scheme (SLICE) to a semi-implicit discretization of the shallow-water equations: minimizing the dependence on a reference atmosphere / J. Thuburn, M. Zerroukat, N. Wood et al. // Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 2010. Vol. 136. P. 146-154.

66. A Mass-Conservative Version of the Semi-Implicit Semi-Lagrangian HIRLAM / P. H. Lauritzen, E. Kaas, B. Machenhauer et al. // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 2008. Vol. 134. P. 1583 — 1595.

67. Shashkin V., Tolstykh M. Inherently mass-conservative version of the semi-Lagrangian SL-AV atmospheric model dynamical core // Geosci. Model. Dev. Discuss. 2013. Vol. 6. P. 4809-4832.

68. An inherently mass-conserving iterative semi-implicit semi-Lagrangian discretization of the non-hydrostatic vertical-slice equations / T. Melvin, M. Dubai, N. Wood et al. // Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 2010. Vol. 136. P. 799-814.

69. An inherently mass-conserving semi-implicit semi-Lagrangian discretisation of the deep-atmosphere global nonhydrostatic equations / N. Wood, A. Staniforth, A. White et al. // Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 2013.

70. J.B. White I., Dongarra J. High-performance high-resolution tracer transport on a sphere // J. Comput. Phys. 2011. Vol. 230. P. 6778 — 6799.

71. Miiller E., Scheichl R. Massively parallel solvers for elliptic PDEs in numerical weather- and climate prediction, submitted preprint. 2013. p. 24. URL: http://arxiv.org/abs/1307.2036vl.

72. A standard test set for numerical approximations to the shallow water equations in spherical geometry / D. Williamson, J. Drake, J. Hack et al. // J. Comput. Phys. 1992. Vol. 102. P. 211 — 224.

73. Held I. M., Suarez M. J. A proposal for the intercomparison of the dynamical cores of atmospheric general circulation models // Bull. Am. Meteorol.Soc. 1994. Vol. 75. P. 1825 — 1830.

74. Boer G., Dennis B. Numerical convergence of the dynamics of a GCM // Clim. Dyn. 1997. Vol. 13. P. 359-374.

75. Galewsky J., Scott R., Polvani L. An initial value problem for testing numerical models of the global shallow water equations // Tellus A. 2004. Vol. 56. P. 429 — 440.

76. A standard test case suite for two-dimensional linear transport on the sphere / P. H. Lauritzen, W. B. Skamarock, M. J. Prather et al. // Geosci. Model Dev. 2012. Vol. 5. P. 887-901.

77. Idealized test cases for the dynamical cores of Atmospheric General Circulation Models / C. Jablonowski, P. H. Lauritzen, M. Taylor et al. // A proposal for the NCAR ASP 2008 summer colloquium. 2008. URL: http://www.cgd.ucar.edu/cms/pel/asp2008/idealized_testcases.pdf.

78. Dynamical Core Model Intercomparison Project (DCMIP) Test Case Document / P. A. Ullrich, C. Jablonowski, J. Kent et al. 2012. URL: http://earthsystemcog.org/site_media/docs/DCMIP-TestCaseDocument_vL7.pdf.

79. Jablonowski C., Williamson D. L. A baroclinic instability test case for atmospheric model dynamical cores // Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 2006. Vol. 132. P. 2943 - 2975.

80. Reed K. A., Jablonowski C. Idealized Tropical Cyclone Simulations of Intermediate Complexity: A Test Case for AGCMs // J. Adv. Model. Earth Syst. 2012. Vol. 4.

81. Reed K. A., Jablonowski C. An analytic vortex initialization technique for idealized tropical cyclonex studies in AGCMs // Mon. Wea. Rev. 2011. Vol. 139. P. 689-710.

82. Reed K. A., Jablonowski C. Impact of physical parameterizations on idealized tropical cyclones in the Community Atmosphere Model // Geophys. Res. Lett. Vol. 38.

83. Шашкин В.В. Локально-консервативный полулагранжев алгоритм решения уравнения переноса на сфере // Труды 52-й научной конференции МФТИ. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть 8: Проблемы современной физики. М.: МФТИ, 2009. С. 269-271.

84. Шашкин В.В., Толстых М.А. Полулагранжева модель мелкой воды на сфере на редуцированной сетке, сохраняющая массу // Избранные труды школы-конференции СИТЕС-2011. Томск: ЦНТИ, 2011. С. 57-60.

85. A standard test case suite for two-dimensional linear transport on the sphere: results from a collection of state-of-the-art schemes / P. Lauritzen, P. Ullrich, C. Jablonowski et al. // Geosci. Model. Dev. Discuss. 2013. Vol. 6. P. 4983-5076.

86. Welander P. Studies on the general development of motion in a two dimensional, ideal fluid // Tellus. 1955. Vol. 7. P. 141-156.

87. Fjortoft R. On a numerical method of integrating the barotropic vorticity equation // Tellus. 1952. Vol. 4. P. 179-194.

88. Fjortoft R. On the use of space-smoothing in physical weather forecasting // Tellus. 1955. Vol. 7. P. 462-480.

89. Wiin-Nielsen A. On the application of trajectory methods in numerical forecasting // Tellus. 1959. Vol. 11. P. 180-196.

90. Фадеев P. Ю. Негидростатическое моделирование атмосферной динамики на основе полулагранжева метода, дис. ... канд. физ-мат. наук: Учреждение российской академии наук, Институт вычислительной математики РАН. 2009.

91. McDonald A., Bates J. R. Semi-Lagrangian Integration of a Gridpoint Shallow Water Model on the Sphere//Mon. Wea. Rev. 1989. Vol. 117. P. 130-137.

92. Rochas M. ARPEGE Documentation, Part 2, Chapter 6. Météo-France, Toulouse, France, 1990.

93. Rancic M. Semi-Lagrangian piecewise biparabolic scheme for two-dimensional horizontal advec-tion of a passive scalar // Mon. Wea. Rev. 1992. Vol. 120. P. 1394 — 1406.

94. Laprise J. P. R., Plante A. A class of semi-Lagrangian integrated mass (SLIM) numerical transport algorithms // Mon. Wea. Rev. 1995. Vol. 123. P. 553 — 565.

95. Nair R. D., Machenhauer B. The mass-conservative cell-integrated semi-Lagrangian advection scheme on the sphere // Mon. Wea. Rev. 2002. Vol. 130. P. 649 —667.

96. Zerroukat M., Wood N., Staniforth A. A Semi-Lagrangian Inherently Conserving and Efficient scheme for transport problems on the Sphere // Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 2004. Vol. 130. P. 2649 — 2664.

97. Nair R., Scroggs J., Semazzi F. Efficient Conservative Global Transport Schemes for Climate and Atmospheric Chemistry Models // Mon. Wea. Rev. 2002. Vol. 130. P. 2059 - 2073.

98. Norman M., Nair R. D. Inherently Conservative Non-Polynomial Based Remapping Schemes: Application to Semi-Lagrangian Transport // Mon. Wea. Rev. 2008. Vol. 136. P. 5044-5061.

99. Barth T. J., Jespersen D. C. The Design and Application of Upwind Schemes on Unstructured Meshes // 27th Aerospace Sciences Meeting. 1989.

100. Tolstykh M. A. Vorticity-Divergence Semi-Lagrangian Shallow-Water Model of the Sphere Based on Compact Finite Differences // J. Comput. Phys. 2002. Vol. 179. P. 180-200.

101. Bates J., Moorthi S., Higgins R. A global multilevel atmospheric model using a vector semi-Lagrangian finite-difference scheme, part i: Adiabatic formulation // Mon. Wea. Rev. 1993. Vol. 121. P. 244-263.

102. Ritchie H., Tanguay M. A comparison of spatially averaged Eulerian and semi-Lagrangian treatments of mountains // Mon. Wea. Rev. 1996. T. 124. C. 167-181.

103. Integration of the shallow water equations on the sphere using a vector semi-Lagrangian scheme with a multigrid solver / J. R. Bates, F. H. M. Semazzi, R. W. Higgins et al. // Mon. Weather Rev. 1990. Vol. 118. p. 1615.

104. Jablonowski C., Oehmke R., Stout Q. F. Block-structured adaptive meshes and reduced grids for atmospheric general circulation models // Phil. Trans. R. Soc. 2009. Vol. A 367. P. 4497-4522.

105. Ullrich P., Jablonowski C., van Leer B. High-order finite-volume methods for the shallow-water equations on the sphere // J. Comput. Phys. 2010. Vol. 229. P. 6104-6134.

106. Jakob-Chien R., Hack J., Williamson D. Spectral transform solution to the shallow water test set//J. Comput. Phys. 1995. Vol. 119. P. 164-187.

107. Chen C., Xiao F. Shallow water model on cubed-sphere by multi-moment finite volume method // J. Comput. Phys.

108. Hortal M. The development and testing of a new two-time-level semi-Lagrangian scheme (SET-TLS) in the ECMWF forecast model // Q. J. Roy. Meteor. Soc. 2002. Vol. 128. P. 1671-1688.

109. Temperton C., Hortal M., Simmons A. A two-time-level semi-Lagrangian spectral global model // Q. J. Roy. Meteor. Soc. 2001. Vol. 127. P. 111-129.

110. Володин E.M., Толстых M.A. Параллельные вычисления в задачах моделирования климата и прогноза погоды // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8. С. 113-122.

111. Tolstykh М. Implementation of the fourth-order horizontal diffusion in Fourier space in the variable resolution spectral model // Research activities in atmospheric and oceanic modelling, WMO WGNE Rep. N 25.

112. Wan H., Giorgetta M., Bonaventura L. Ensemble Held-Suarez Test with a Spectral Transform Model: Variability, Sensitivity, and Convergence // Mon. Wea. Rev. 2008. Vol. 136. P. 10751092.

113. Jablonowski C. Test of the Dynamics of two global Weather Prediction Models of the German Weather Service: The Held-Suarez Test: Master's thesis: Metorological Institute of the University of Bonn, Germany. 1998. URL: http://www-personal.umich.edu/~cjablono/comparison.html.

114. Manual on the Global Data-processing and Forecasting System, Volume I: Global Aspects. WMO №485. 2010.