Глобальная полулагранжева модель среднесрочного и краткосрочного прогноза погоды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.29, доктор физико-математических наук Толстых, Михаил Андреевич

• Толстых, Михаил Андреевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Толстых, Михаил Андреевич

Введение

1 Трехмерные уравнения гидротермодинамики атмосферы и методы их решения

1.1 Уравнения гидротермодинамики атмосферы.

1.2 Методы решения уравнения переноса (адвекции).

1.2.1 Одномерное уравнения переноса.

1.2.2 Двумерное уравнение переноса на сфере.

1.3 Восстановление скорости ветра из завихренности и дивергенции

1.3.1 Дискретизация дифференциальных операторов на несмещен ной сетке.

1.3.2 Решение уравнений Пуассона на сфере.

1.4 Решение уравнения горизонтальной диффузии четвертого порядка

1.5 Переменное разрешение по широте.

2 Двумерная модель мелкой воды на сфере

2.1 Формулировка уравнений.

2.2 Дискретизация двумерной модели.

2.2.1 Дискретизация по времени.

2.2.2 Дискретизация по пространству.

2.2.3 Алгоритм решения системы дискретных уравнений

2.3 Результаты тестирования модели.

2.4 Версия с переменным разрешением по широте.

2.4.1 Реализация горизонтальной диффузии с переменным коэффициентом по широте.

2.4.2 Тестирование двумерной модели с переменным разрешением

2.5 Оценка эффективности модели.

3 Трехмерная глобальная модель гидротермодинамики атмосферы

3.1 Формулировка и дискретизация модели.

3.1.1 Дискретизация по времени.

3.1.2 Дискретизация по пространству.

3.2 Проверка динамического блока модели при долгопериодном интегрировании

3.3 Реализация поворота полюсов в модели.

3.4 Параметризации процессов подсеточного масштаба.

3.4.1 Крупномасштабные осадки.

3.4.2 Глубокая конвекция.

3.4.3 Мелкая конвекция.

3.4.4 Облачность и облачное влагосодержание.

3.4.5 Радиация.

3.4.6 Гравитационно-волновое сопротивление.

3.4.7 Турбулентные потоки и процессы в пограничном слое.

3.4.8 Процессы на поверхности.

4 Результаты прогнозов с использованием модели

4.1 Результаты прогнозов по данным ЕЦСПП.

4.2 Система усвоения данных на основе модели.

4.3 Адаптация модели для работы в системе усвоения данных.

4.3.1 Инициализация начальных данных на основе цифрового фильтра

4.3.2 Постпроцессинг.

4.4 Результаты испытаний системы усвоения данных.

4.5 Прогнозы с переменным разрешением

5 Параллельная реализация модели

5.1 Подходы к распараллеливанию модели.

5.2 Результаты распараллеливания.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Глобальная полулагранжева модель среднесрочного и краткосрочного прогноза погоды»

Повышение качества прогноза погоды - важная задача, имеющая большое практическое значение.

Модель прогноза должна адекватно описывать атмосферные процессы синоптического масштаба с периодами от нескольких часов до нескольких дней, особенно процессы цикло- и фронтогенеза. Модель краткосрочного прогноза погоды должна также описывать часть процессов мезометеорологического масштаба с характерными периодами от десятков минут до нескольких часов.

Точность прогноза фактически является точностью предсказания траектории модельной атмосферы в фазовом пространстве, имеющем размерность 107 и выше. В этом состоит отличие гидродинамического прогноза погоды от моделирования климата, где главным является описание статистики атмосферных процессов.

Основными общепринятыми путями решения задачи повышения качества прогноза являются:

• Повышение пространственного разрешения численных моделей. Это позволяет явно описывать процессы все более мелкого масштаба, особенно взаимодействие с неоднородной подстилающей поверхностью и передачу энергии по спектру. Численный прогноз погоды с пространственным разрешением, необходимым для адекватного описания процессов синоптического и мезо-масштаба, является задачей, требующей больших вычислительных ресурсов. Кроме того, оперативный прогноз налагает ограничение на допустимое время счета модели. Поэтому разрешение модели можно повысить только за счет применения эффективных численных методов решения уравнений гидротермодинамики атмосферы и эффективного использования современных компьютеров параллельной архитектуры. Эффективность численного метода здесь понимается как затрачиваемое одним процессором время, необходимое для интегрирования системы уравнений модели на один час модельного времени при заданном уровне ошибки воспроизведения атмосферной циркуляции.

• Более детализированное описание и учет новых процессов под-сеточного масштаба (т.е. процессов, имеющих характерный пространственный масштаб меньше разрешения модели). Примерами таких процессов являются солнечная радиация, процессы конвекции, микрофизические процессы (коагуляции, автоконверсии) в ходе образования облачности и осадков.

• Улучшение систем усвоения атмосферных данных наблюдений. Здесь основным является увеличение количества и качества использования новых типов данных наблюдений, в частности, использование косвенных данных наблюдений с искусственных спутников Земли. Для этого необходима разработка сложных схем четырехмерного усвоения данных наблюдений. Подробный обзор работ по этому направлению приведен в [25].

Отметим, что все три направления взаимосвязаны. Например, при горизонтальном разрешении модели порядка 2,5 км становится ненужным параметрическое описание процессов глубокой конвекции, вместе с тем, необходимо описывать процессы в приземном пограничном слое как трехмерные. В свою очередь, реализация современных схем усвоения данных на основе вариационного подхода или приближенного фильтра Калмана требует многократного интегрирования модели атмосферы, что накладывает жесткие требования на ее вычислительную эффективность.

Российская научная школа традиционно сильна разработками эффективных численных методов для задач прогноза погоды [11], [12]. Разработанные Г.И.Марчуком в 60-х годах методы расщепления для задач метеорологии затем привели к созданию А.Робером полунеявного метода [16], который позволяет повысить шаг по времени в пять раз по сравнению с явными схемами интегрирования по времени. Этот метод до сих пор используется в большинстве моделей атмосферы.

Автор старается следовать этим традициям. Данная работа посвящена решению первой задачи - повышению разрешения моделей прогноза на основе использования высокоэффективных численных методов. При этом используется набор параметризаций процессов подсеточного масштаба, разработанных в Метео-Франс и используемых для численного прогноза погоды и моделирования климата в диапазоне горизонтальных разрешений 10-200 км при вертикальном разрешении 27-60 уровней [55].

Для реализации глобальной модели с локально высоким разрешением в условиях ограниченных вычислительных ресурсов необходимо применение эффективных численных методов. Эффективность здесь понимается как затрачиваемое одним процессором время, необходимое для интегрирования системы уравнений модели на один час модельного времени при заданном уровне ошибки воспроизведения атмосферной циркуляции. При этом желательно, чтобы используемые алгоритмы обладали дополнительными свойствами, проистекающими из свойств исходных уравнений (например, положительность влаги в процессе переноса). Кроме того, используемые методы должны обладать внутренним параллелизмом, допускающим эффективную реализацию на современных параллельных компьютерах.

В конце восьмидесятых годов модели численного прогноза погоды использовали конечно-разностные методы второго порядка либо спектральные эйлеровы методы решения уравнений гидротермодинамики атмосферы. Под спектральным методом мы будем понимать дискретизацию полных уравнений гидротермодинамики по долготе и широте на основе разложения всех переменных по сферическим функциям в сочетании с разностной дискретизацией по времени и вертикальной координате.

Достоинствами конечно-разностных методов являются их локальность и линейный рост числа арифметических операций по мере увеличения разрешения (по одной координате). Однако, конечно-разностная модель атмосферы на регулярной широтно-долготной сетке, помимо вносимой фазовой ошибки, имеет целый ряд других недостатков. Из-за сходимости меридианов, вблизи полюсов эта сетка имеет большую неоднородность разрешения по долготе и широте (при разрешении по широте 10 км шаг сетки по долготе вблизи полюса составит около 150 м). Этот недостаток приводит к большому ограничению на число Куранта в эйлеровых моделях, проблемам в использовании параллельных итеративных алгоритмов, а также к неоправданным затратам на расчет "лишних" точек сетки (около 25 % от общих затрат).

По сравнению с традиционными конечно-разностными аппроксимациями второго порядка, в спектральном методе отсутствует фазовая ошибка и нелинейная неустойчивость. Другими достоинствами спектрального метода (реализованного на основе спектрально-сеточного преобразования) является однородность разрешения на сфере, тривиальность решения эллиптических уравнений на сфере, возможность использования редуцированной сетки (т.е. сетки с уменьшающимся числом узлов по долготе по мере приближения к полюсам) для расчета тенденций прогностических переменных вследствие процессов подсеточного масштаба. Основным недостатком спектрального метода является кубический рост числа операций по мере повышения разрешения. Кроме того, метод существенно нелокален, а при спектральном разрешении более 1000 гармоник на сфере возникают проблемы устойчивого вычисления базисных функций - присоединенных полиномов Лежандра. Следует отметить также, что при реализации переменного разрешения [44] невозможно бесконечно наращивать коэффициент растяжения сетки из-за некоторых ограничений метода преобразования координат [39]. Из-за обычно используемого треугольного усечения ряда, при реализации на параллельных компьютерах весьма сложной задачей является обеспечение баланса загрузки всех процессоров.

Помимо очевидных требований точности и вычислительной эффективности на современных параллельных компьютерах, блок динамики современной атмосферной модели должен быть пригоден для различных приложений в диапазоне от краткосрочного прогноза погоды с переменным разрешением по широте до многолетних интегрирований для моделирования климата. Таким образом, возможность иметь в модели переменное разрешение хотя бы по одной горизонтальной координате и сферическую систему координат с повернутыми полюсами представляется весьма необходимой характеристикой. Повернутая система координат не представляет проблем для любого численного метода, в то время как наиболее гибким и удобным путем реализации переменного разрешения в модели является конечно-разностный, конечно-элементный или конечно-объемный подходы.

Поэтому примерно с конца 80-х годов появляются работы, посвященные исследованию и применению в моделировании атмосферы численных методов для дискретизации в горизонтальной плоскости, хорошо зарекомендовавших себя в других областях вычислительной газовой динамики - схемы с ограниченной вариацией, эйлеровы разностные и полулагранжевы методы высокого порядка. Рассматривались также метод спектральных элементов [102], псевдоспектральный метод [97], двойные ряды Фурье [41], метод конечных элементов на икосаэдральных сетках [58].

Известно, что, начиная с некоторого разрешения, численные методы высокого порядка имеют заметно меньшую ошибку дискретизации при гладких начальных условиях. В частности, по мере повышения порядка численного метода аппроксимации частных производных по пространству фазовая ошибка метода сосредотачивается во все более узком диапазоне самых коротких волн, разрешимых сеткой. Для решаемой нами задачи численного прогноза погоды, требующей разрешения синоптических масштабов, условие минимального разрешения заведомо выполнено, а учитывая относительную гладкость атмосферных течений в гидростатическом приближении, у нас есть основания полагать, что эта высокая точность будет достигнута и на практике. Ряд тестов показал, что, например, полу-лагранжев подход (имеющий третий порядок точности) становится точнее эйлерового разностного (второго порядка) при разрешении глобальной сетки около двух градусов по долготе и широте.

Таким образом, с помощью метода высокого порядка оказывается возможным описать атмосферные процессы заданного масштаба, используя меньшее количество узлов сетки (т.е. более грубое разрешение). В результате, несмотря на большее количество арифметических операций, приходящихся на один узел расчетной области, метод высокого порядка оказывается более эффективным. Как правило, методы высокого порядка демонстрируют свое преимущество начиная лишь с некоторого пространственного разрешения, которое было достигнуто только в конце 80-х годов.

В последнее время большинство спектральных и конечно-разностных моделей численного прогноза погоды применяют сеточный полулагранжев метод для описания адвекции [98]. Предшественник этого метода - обратный метод характеристик - хорошо известен в вычислительной газовой динамике и метеорологии с начала 60-х годов прошлого века (см., например [67]). Однако обратный метод характеристик и его разновидности (например, сеточно-характеристический метод [10]), как правило, применялись только при числах Куранта меньше единицы и имели максимально второй порядок аппроксимации.

Отметим, что если в полулагранжевом методе применить линейную интерполяцию для нахождения значений функции в исходной точке траектории, то, при модуле числа Куранта меньше единицы, этот метод эквивалентен классической схеме направленных разностей.

Современные полулагранжевы схемы, как правило, используют кубическую интерполяцию для нахождения значений функции в исходной точке траектории. Полулагранжев метод при этом имеет ошибку аппроксимации 0((Дж)4/Д£) (при постоянной скорости ветра) [77]. Этот метод устраняет ограничение величины шага по времени условием Куранта, особенно жестким вблизи полюсов вследствие сходимости меридианов. Повышение шага по времени (в 3-5 раз) позволяет при заданном разрешении модели ускорить прогноз либо при заданном времени прогноза повысить горизонтальное разрешение. Такое повышение шага по времени не нарушает аппроксимации, так как ограничение по числу Куранта в атмосфере проявляется в основном при расчете достаточно гладких струйных течений в верхней тропосфере.

По сравнению с эйлеровыми конечно-разностными схемами второго порядка, полулагранжев метод дает значительно меньшую фазовую ошибку в решении, а по сравнению со спектральным методом, позволяет избежать эффекта Гиббса. Сущность полулагранже-ва метода состоит в дискретизации уравнения переноса вдоль траекторий, и, таким образом, они являются комбинацией дифференцирования по пространству и времени. Конечные точки траекторий всегда являются точками сетки, в то время как исходные точки чаще всего не совпадают с узлами сетки. Значения переменных в исходных точках получаются интерполяцией (как правило, кубической) с использованием значений в близлежащих точках сетки.

В то же время, в полулагранжевом методе адвекции формально отсутствует свойство сохранения нормы переносимой величины, теоретически необходимое для интегрирования модели на длительные (несколько десятилетий и больше) сроки. Практика показала, что это не сильно влияет на качество решения при использовании модели с разрешением порядка градуса и выше для среднесрочного прогноза погоды. В настоящее время полулагранжев подход широко применяется для моделей краткосрочного и среднесрочного прогноза погоды. Имеется и успешный опыт применения полулагран-жевых моделей для моделирования климата [119], [33]. При этом применяется восстановление массы атмосферы и влаги на каждом шаге по времени. Конечно, полулагранжев метод неприменим в задачах, требующих строгой консервативности, например, в задачах, имеющих разрывные решения (ударные волны).

Традиционно конечно-разностные модели атмосферы были сформулированы на смещенной сетке типа С, предложенной Арака-вой [13]. Однако позднее было показано [83], [89], что для конечно-^ разностных моделей несмещенная сетка типа А в сочетании с использованием вихря и дивергенции в качестве прогностических переменных лучше описывает как процесс геострофического приспособления, так и распространение волн Россби по сравнению с традиционной формулировкой (использующей компоненты скорости ветра в качестве прогностических переменных) на сетках В и С. В полула-гранжевой модели несмещенная по горизонтали сетка также позволяет использовать единый набор траекторий для всех переменных модели (для смещенной сетки надо либо переинтерполировать горизонтальные компоненты вектора скорости либо использовать три набора траекторий).

В свою очередь, применение любых разностных схем высокого порядка на смещенной сетке требует интерполяций такого же порядка при переходе с одной сетки на другую (например, для расчета слагаемого Кориолиса на сетке типа С), что приводит к неоправданным усложнениям модели. Отличительными особенностями представленной в работе модели атмосферы являются применение компактных разностей четвертого порядка для аппроксимации неадвективных слагаемых и использование вертикальной компоненты абсолютного вихря и дивергенции в качестве прогностических переменных (что весьма редко встречается в разностных моделях).

Рассмотрим применяемые в мире модели численного прогноза погоды. Ведущие прогностические центры используют для глобального прогноза численные гидродинамические модели с разрешением 40-80 км. Подавляющее большинство моделей (исключение - американская и японская модели) использует полулагранжево представление адвекции и полунеявную схему интегрирования по времени (как правило, двухслойную). Это позволяет повысить величину шага по времени по сравнению со значением, задаваемым числом Куранта, в 3-5 раз. Для представления неадвективных слагаемых уравнений гидротермодинамики применяется либо спектральный метод (Европейский центр среднесрочных прогнозов погоды (ЕЦ-СПП), Метео-Франс, Национальный центр прогнозов окружающей среды (NCEP) США, Япония), либо конечно-разностный (Англия, Германия), либо конечно-элементный (Канада). Модели регионального прогноза имеют разрешение 5-25 км и, как правило, основаны на конечно-разностном подходе. Исключение - модель АЛАДИН (Франция, Марокко и Восточная Европа), основанная на спектральном представлении. Многие региональные модели используют по-лулагранжев подход, большинство основано на полунеявной схеме. Ниже приведены сведения по основным оперативным моделям.

Несомненным лидером среди глобальных моделей является модель Европейского центра среднесрочных прогнозов погоды. Эта модель - спектральная полулагранжева ARPEGE/IFS с двухслойной полунеявной схемой интегрирования по времени [64]. В работе [63] приводится оценки эффективности этой модели: если бы она осталась, как и 80-х годах прошлого века, эйлеровой полунеявной моделью с трехслойной схемой по времени, то прогноз на одни сутки выполнялся бы на той же вычислительной системе в 10 раз медленнее (коэффициент 5 - за счет большого шага по времени в полулагранжевом методе, коэффициент 2 - за счет применения двухслойной схемы по времени вместо трехслойной). В настоящее время эта модель имеет разрешение T¿519 (сеточное разрешение примерно 40 км) и 60 вертикальных уровней, а к 2005 году планируется повысить горизонтальное разрешение до 20 км. Отметим, что, тем не менее, существуют по крайней мере теоретические ограничения на возможность повышения разрешения в спектральном методе. Во-первых, с ростом разрешения растут затраты на преобразования Лежандра, во-вторых, при спектральном усечении более 1000 гармоник на сфере возникает проблема точности (устойчивости) расчета присоединенных полиномов Лежандра по рекуррентным формулам.

Модель ЕЦСПП реализована на вычислительной системе Fujitsu VPP5000 (128 процессоров, суммарная пиковая производительность - 960 ГФлопс), с конца 2002 г. осуществляется переход на IBM Cluster 1600 (к 2006 г. - 1500 процессоров, 5 ТФлопс (5 х 10° операций с плавающей точкой в секунду)).

В американском Национальном центре прогнозов окружающей среды (NCEP) применяется спектральная эйлерова модель GFS с полунеявной схемой интегрирования по времени. В настоящее время разрешение этой модели составляет примерно 75 км (Т170), 42 вертикальных уровня, скоро ожидается переход на спектральное разрешение Т240 и 64 уровня. Модель реализована на вычислительной системе IBM, которая имеет 1104 процессора Power 3/375. Пиковая производительность этой системы - 1656 Гфлопс (миллиардов операций с плавающей точкой в секунду).

В Канадском метеоцентре используется конечно-элементная полулагранжева модель GEM [43]. В этой модели применена двухслойная полунеявная схема по времени. Разрешение модели примерно 90 км (0,9 градуса), 28 вертикальных уровней. Модель также имеет конфигурацию с переменным разрешением для регионального прогноза. Используется вычислительная система NEC SX-5, 32 процессора, ее пиковая производительность - 256 Гфлопс. В ближайшее время канадская метеослужба планирует переход на систему IBM, аналогичную системе ЕЦСПП, но с меньшим числом процессоров.

Английская метеослужба (UK МО) применяет конечно-разностную полулагранжеву модель UM с двухслойной полунеявной схемой по времени [46]. Разрешение этой модели - примерно 60 км (0,83° по долготе, 0,5555° по широте). Эта же модель используется как региональная. В английской метеослужбе работают две массивно-параллельные вычислительные системы Cray ТЗЕ, 880 и 640 процессоров, их пиковая производительность 792 и 768 ГФлопс соответственно. В ближайшее время метеослужба осуществит переход на систему NEC SX-6.

Программный комплекс модели Метео-Франс в основном (кроме параметризаций процессов подсеточного масштаба и реализации переменного разрешения по широте) унифицирован с моделью ЕЦСПП ARPEGE/IFS (спектральная полулагранжева модель с двухслойной полунеявной схемой). Разрешение модели - примерно 80 км (Т^298) для конфигурации с постоянным разрешением, 20 км (Т£,298с3.5) - для конфигурации с повернутым полюсом и переменным разрешением), 41 вертикальный уровень. Прогнозы выполняются на Fujitsu VPP5000 (32 процессора, суммарная пиковая производительность - 31 ГФлопс) [53].

Германская метеослужба (DWD) применяет конечно-разностную эйлерову модель GME на икосаэдрально-гексагональной сетке с полунеявной схемой по времени [76]. Для переноса влаги используется полулагранжева схема. Разрешение модели составляет 60 км, 31 уровень. Компьютер - IBM Cluster, состоящий из 1280 процессоров Power 3/375 с пиковой производительностью 1920 Гфлопс.

В России с конца семидесятых годов прошлого века велись работы по созданию глобальной спектральной модели [23], сдерживаемые ограниченными возможностями имеющейся вычислительной техники. В настоящее время в России для среднесрочного прогноза применяется эйлерова спектральная модель с трехслойной полунеявной схемой по времени [8], [24]. Ее разрешение составляет в настоящий момент около 1,4° по долготе и широте (Т85), 31 вертикальный уровень. Модель реализована на вычислительной системе Cray YMP 8Е (8 процессоров, пиковая производительность 2,4 Гфлопс).

Для краткосрочного прогноза в Дании, Финляндии, Исландии, Ирландии, Нидерландов, Норвегии, Испании и Швеции используется модель, сформулированная в ограниченной области, HIRLAM, являющаяся совместной разработкой метеослужб этих стран. Это конечно-разностная эйлерова модель с полунеявной схемой. Разрешение модели в зависимости от конфигурации составляет 5-25 км по горизонтали, 16-31 уровень по вертикали. Модель реализована на многих вычислительных платформах, в частности, на CRAY ТЗЕ, SGI Origin 2800, PC Linux.

В UK МО (английская метеослужба) для краткосрочного прогноза используется та же конечно-разностная полулагранжева модель UM, что и для среднесрочного прогноза, но в ограниченной области. Разрешение модели на Англией примерно 11 км (конфигурация с повернутым полюсом, 0,11° по долготе, 0,11° по широте).

Модель ALADIN, разработанная в Метео-Франс при участии стран Восточной Европы и Марокко - спектральная полулагранже-ва, во многом похожа на модель ARPEGE/IFS, но сформулирована в ограниченной области, где используется бипериодизация с последующим двойным разложением в ряд Фурье. Разрешение этой модели составляет 8-14 км в зависимости от конфигурации, 41 уровень.

В Германии, а также в Греции, Швейцарии, Италии для краткосрочного прогноза применяется конечно-разностная эйлерова модель LM. В отличие от большинства моделей, интегрирование по времени осуществляется по явно-неявной двухслойной схеме с расщеплением по времени. Горизонтальное разрешение модели в настоящее время 7-14 км в зависимости от конфигурации, 35 вертикальный уровень [100].

В Канадском метеоцентре используется та же конечно-элементная полулагранжева модель GEM, что и для среднесрочного прогноза, но в конфигурации с повернутым полюсом и переменным разрешением. Разрешение - примерно 24 км по горизонтали, 28 вертикальных уровней

В американском Национальном центре прогнозов окружающей среды конечно-разностная эйлерова модель с полунеявной схемой (ЕТА). Разрешение модели составляет 22 км при 50 уровнях.

В России проходят испытания две различные региональные модели [9], [15].

Таким образом, многие зарубежные метеоцентры применяют один и тот же программный комплекс модели численного прогноза для краткосрочного и среднесрочного прогноза погоды.

В данной работе для глобального прогноза на срок до пяти дней и регионального прогноза с более высоким разрешением на срок до двух-трех дней также используется одна и та же модель, сформулированная на регулярной широтно-долготной сетке. В первом случае разрешение по долготе и широте постоянно, во втором случае для достижения локально высокого разрешения в интересующем регионе (Россия) используется переменное разрешение по широте. Использование одной и той же модели для решения двух задач позволяет достичь существенной экономии при разработке, эксплуатации, сопровождении и дальнейшем развитии модели.

На практике существуют два подхода к формулировке моделей регионального прогноза:

• Модель с постоянно высоким разрешением, сформулированная в ограниченной области. В этом случае, как правило, боковые граничные условия берутся из другой модели, их необходимо интерполировать не только по пространству, но и по времени. При этом возникает плохо обусловленная задача. Методы разработки граничных условий для таких моделей исследуются в [79]. В качестве примера такой модели можно привести модель HIRLAM, используемую для оперативного прогноза погоды скандинавскими странами, Ирландией и Данией, а также разработанную совместно французской метеослужбой и метеослужбами стран Восточной Европы региональную версию модели ARPEGE-ALADIN. Отметим, что для такого подхода нужно иметь две модели - глобальную, с более грубым разрешением, и региональную, а также блок интерполяции боковых граничных условий.

• Глобальная модель с локально высоким разрешением. Такой подход самодостаточен, так как не требует постановки граничных условий на боковых границах, а также при этом упрощается задача построения системы усвоения данных наблюдений. Канадская модель среднесрочного прогноза GEM и французская модель ARPEGE/IFS основаны именно на таком подходе.

В условиях ограниченных ресурсов преимущество имеет второй подход, который принят за основу в данной работе.

Целями диссертационной работы являются:

• создание полулагранжевой глобальной модели общей циркуляции атмосферы на основе эффективных численных методов, включающей конфигурацию с переменным разрешением по широте; проверка такой модели с помощью общепринятых тестов, в том числе на кратко- и среднесрочных прогнозах погоды;

• разработка и выбор эффективных численных методов высокого порядка точности для решения системы уравнений гидротермодинамики атмосферы в гидростатическом приближении, в том числе на сетке с переменным разрешением по широте, проверка этих методов с помощью стандартных тестов;

• эффективная реализация программного комплекса модели на параллельных компьютерах;

• создание технологии глобального среднесрочного и регионального краткосрочного прогноза на основе единого программного комплекса полулагранжевой модели атмосферы.

Научная новизна результатов диссертационной работы.

Представленная модель общей циркуляции атмосферы, насколько нам известно, является первой трехмерной полулагранжевой моделью атмосферы, доведенной до уровня массовых прогнозов, в которой используется завихренность в качестве прогностической переменной. Ранее известная попытка создания спектральной полула-гранжевой модели с использованием завихренности и дивергенции в качестве переменных модели, описанная в [82], оказалась неудачной. На взгляд автора, причиной послужила неудачная дискретная формулировка нелинейных слагаемых уравнения абсолютного вихря, приводящая к потере точности и устойчивости.

В работе создан эффективный алгоритм для решения эллиптических уравнений на сфере с коэффициентами, не зависящими от долготы, имеющий глобально третий порядок точности. Такие уравнения возникают в задаче восстановления компонент скорости ветра из завихренности и дивергенции, а также при решении системы уравнений для инерционно-гравитационных волн полунеявным методом по времени.

Созданная в работе двумерная версия модели, основанная на уравнениях мелкой воды, превзошла по точности и эффективности эйлеровы спектральные и конечно-разностные модели.

В модели прогноза погоды впервые применены компактные конечные разности четвертого порядка для описания неадвективных слагаемых уравнений по горизонтали. Все отдельно взятые подходы к реализации нашей модели были известны ранее, новым является их сочетание в рамках трехмерной модели атмосферной циркуляции.

Две известные глобальные полулагранжевы модели с переменным разрешением имеют отличия от предлагаемой. Так, в Канаде для оперативных прогнозов, моделирования регионального климата и окружающей среды с 1997 года используется конечно-элементная полулагранжева модель в ЕМ (глобальная многомасштабная модель окружающей среды) [43], которая позволяет иметь переменное разрешение по долготе и широте, а также возможность поворота полюсов сферической системы координат. Однако для решения системы линейных уравнений, возникающих при применении полу неявной схемы интегрирования по времени, в этом случае приходится использовать сравнительно дорогой алгоритм (из-за зависимости коэффициентов дискретных уравнений от долготы нельзя применить быстрое преобразование Фурье по этой координате).

В Метео-Франс используется глобальная спектральная полу-лагранжева модель ARPEGE/IFS, в которой также применяется повернутая сферическая система координат, а переменное разрешение по широте получено за счет преобразования Шмидта [54]; разрешение по долготе постоянно на каждом круге псевдошироты. К недостаткам такого подхода, в частности, следует отнести невозможность постоянного разрешения по широте в области высокого разрешения из-за ограничений, налагаемых преобразованием Шмидта [44]. Потенциальные ограничения на увеличение разрешения накладывает и спектральный метод.

Предлагаемый подход позволяет иметь зону постоянного высокого разрешения по широте и вместе с тем использовать эффективный алгоритм решения систем линейных уравнений для полунеявной схемы интегрирования по времени на основе быстрого преобразования Фурье по долготе. Отсутствие переменного разрешения по долготе частично компенсируется возможностью поворота сферической системы координат.

Научная и практическая значимость. Задача улучшения качества прогноза имеет большое практическое значение. Высокая вычислительная эффективность и возможность использования современных параллельных компьютеров в созданной модели позволяют при тех же вычислительных ресурсах повысить разрешение модели, а значит, и качество прогноза.

Кроме того, наличие эффективной модели требуется и при разработке современных схем анализа данных атмосферных наблюдений, таких как четырехмерное вариационное усвоение и приближенный фильтр Калмана, где необходимо выполнять многократное интегрирование модели. Применение таких систем анализа данных, как свидетельствует мировой опыт, способствует дальнейшему повышению качества прогноза.

Эффективный прямой алгоритм третьего порядка точности для решения уравнений эллиптического типа на сфере с коэффициентами, не зависящими от долготы, представляет интерес не только для моделирования атмосферы, но и для других областей математического моделирования.

Материалы, вошедшие в диссертационную работу, обсуждались на семинарах ИВМ РАН, Гидрометцентра РФ, Национального центра метеорологических исследований (Тулуза, Франция), Университета Эли Картана (факультет математики университета) (Нан-си, Франция). Они докладывались на симпозиуме по высокопроизводительным вычислениям в науках о Земле NATO ASI "High Performance Computing in Geosciences" (Les Houches, France, 1993), международной конференции Advanced Mathematics: Computations and Applications (Новосибирск 1995), 3-й Европейской конференции по вычислительной газовой динамике ECCOMAS-96 (Париж, Франция), симпозиуме "Вычислительная математика в динамике погоды" (Кембридж, Англия, 1996), на 3-й и 4-й двусторонних франко-русских конференциях "Изменчивость и предсказуемость атмосферной и океанической циркуляций" (Нанси, Франция, 1997, Москва 1998), 25-й Ассамблее Европейского геофизического общества (ЕвЗ) (Ницца, Франция 2000), международной конференции "Вычислительная математика и математическое моделирование" (Москва 2000), международной конференции по моделированию, базам данных и информационным системам для атмосферных наук МОБА8-2001 (Иркутск), международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам как средствам снижения загрязнений на городском и региональном уровне Е1ЧУ11ЮМ18-2002 (Томск), симпозиумах европейской сети в области краткосрочного прогноза погоды (81Ш\УР) по численным методам (Братислава, Словакия 2001; Тулуза, Франция 2002) и по негидростатическим моделям (Бад-Орб, Германия 2001), международному симпозиуму европейской группы НЩЬАМ по мезомасштабному моделированию (Дублин, Ирландия 2002), международной конференции по параллельным вычислениям в вычислительной газовой динамике РагСРБОЗ (Москва, 2003).

Полностью диссертация докладывалась на семинарах Института вычислительной математики РАН и Гидрометцентра РФ. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 статьях ([106], [20], [26], [108], [112], [113], [114], [116]) в ведущих зарубежных и отечественных журналах, препринте французского национального исследовательского института по информатике и прикладной математике (ШША), 5 докладах в трудах международных и российских конференций, 6 расширенных абстрактах группы Всемирной метеорологической организации по численному моделированию (\yMOZWGNE), 6 тезисах докладов на международных конференциях.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержит 31 рисунок и 7 таблиц. Каждая глава разбита на разделы.

Заключение диссертации по теме «Физика атмосферы и гидросферы», Толстых, Михаил Андреевич

Заключение

В заключение приведем основные результаты работы, являющиеся одновременно и положениями, выносимыми на защиту:

1. Создана вычислительно эффективная трехмерная модель общей циркуляции атмосферы. Отличительными особенностями данной модели являются применение компактных разностей четвертого порядка на несмещенной сетке для аппроксимации неадвективных слагаемых и использование вертикальной компоненты абсолютного вихря и дивергенции в качестве прогностических переменных.

Результаты проверки модели в версиях с постоянным и переменным разрешениями по широте на пятидневных прогнозах по данным ЕЦСПП подтвердили высокую точность модели.

Динамический блок модели был успешно проверен с помощью долгопериодного интегрирования на срок 3,5 года с упрощенным аналитическим внешним воздействием.

Предложенная трехмерная модель требует больших вычислительных затрат по сравнению с классической полулагранжевой моделью, использующей стандартную и —у формулировку уравнений на смещенной сетке С, так как в нашем подходе необходимы дополнительные интерполяции величин в исходных точках траекторий, а также на каждом шаге по времени необходимо восстанавливать поле горизонтальной скорости ветра из завихренности и дивергенции. В рамках полной трехмерной модели атмосферы, включающей параметризации процессов подсеточ-ного масштаба, дополнительные вычислительные затраты составляют примерно 8 процентов. Эти затраты компенсируются большей точностью модели по сравнению с классическими конечно-разностными моделями второго порядка точности на смещенной сетке. С другой стороны, предложенная модель более эффективна, чем спектральные модели, где вычислительные затраты на преобразования Лежандра быстро растут по мере роста горизонтального разрешения.

2. Разработаны эффективные подходы для решения трехмерных уравнений гидротермодинамики атмосферы в гидростатическом приближении, в том числе на сетке с переменным разрешением по широте. Применяемые численные методы имеют высокий порядок точности.

Особое значение имеет разработанный автором прямой гибридный алгоритм для решения уравнений эллиптического типа на сфере с коэффициентами, не зависящими от долготы, на сетке с переменным разрешением по широте. Такие уравнения возникают в задаче восстановления компонент скорости ветра из завихренности и дивергенции, а также при решении системы уравнений для инерционно-гравитационных волн полунеявным методом по времени. В алгоритме применяется разложение в ряд Фурье по долготе и компактные разности четвертого порядка по широте. Этот алгоритм имеет третий порядок точности и как минимум в 2,6 раза более эффективен по сравнению со стандартным прямым гибридным алгоритмом второго порядка точности. Такой алгоритм может быть применен и в других областях науки для решения уравнений данного типа.

3. Разработана глобальная полулагранжева конечно-разностная модель, основанная на уравнениях мелкой воды на сфере. Ключевым моментом в таком подходе является точность и эффективность решения уравнений Пуассона на сфере, необходимых для восстановления поля скорости ветра из завихренности и дивергенции на каждом шаге по времени. Для решения этих уравнений применяется прямой гибридный алгоритм, имеющий третий порядок точности.

С помощью стандартного набора тестов для уравнений мелкой воды на сфере было показано, что модель, основанная на таком подходе, обеспечивает точность воспроизведения ба-ротропной атмосферной циркуляции, превосходящую как точность конечно-разностных модели второго порядка, так и точность спектральных эйлеровых моделей, считавшихся до сих пор эталоном.

4. Созданный программный комплекс модели был успешно реализован на параллельных вычислительных системах с распределенной памятью. Это дает возможность повысить разрешение модели, а значит, улучшить качество прогнозов погоды.

Совместно с сотрудниками Гидрометцентра создана единая технология среднесрочного и краткосрочного прогноза на основе трехмерной модели с постоянным и переменным разрешением соответственно. Технология опирается на использование объективного анализа Гидрометцентра РФ, основанного на алгоритме оптимальной интерполяции. Результаты авторских испытаний в Гидрометцентре показали вполне удовлетворительное качество работы системы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Толстых, Михаил Андреевич, 2003 год

1. Багров А.Н., Шиляев В.Б., Локтионова Е.А. Оперативная схема объективного анализа метеорологических полей для численногогидродинамического прогноза погоды // Труды Гидрометцентра

2. СССР. 1986. Вып. 280. С. 25-55.

3. Багров А.Н., Цырульников М.Д. Оперативная схема объективного анализа Гидрометцентра России // Труды Гидрометцентра России. 1999. Вып. 334. С. 59-69.

4. Багров А.Н., Локтионова Е.А., Цырульников М.Д. Развитие оперативного объективного анализа в Гидрометцентре России // Труды Гидрометцентра России. 2000. Вып. 335. С. 19-30.

5. Важник А.И. Схема вертикальной интерполяции для дискретной четырехмерной системы усвоения данных наблюдений // Метеорология и гидрология. 1996. N 10. С. 15-27.

6. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М.: Наука, 1987. С. 86.

7. Кострыкин С.В., Эзау И.Н. Динамико-стохастическая схема расчета крупномасштабных осадков и облачности // Метеорология и гидрология. 2001. N 7. С. 23-39.

8. Курбаткин Г.П., Дегтярев А.И., Фролов A.B. Спектральная модель атмосферы, инициализация и база данных для численного прогноза погоды. СПб.: Гидрометеоиздат, 1994. - 184 с.

9. Лосев В.М. Гидродинамическая конечно-разностная модель регионального прогноза на ЭВМ CRAY // Труды Гидрометцентра России. Вып. 334. 2000. С. 69-90.

10. Магомедов K.M., Холодов A.C. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988. - 287 с.

11. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. Л.: Гидрометеоиздат, 1967. - 353 с.

12. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.В., Лыкосов В.Н., Галин В.Я. Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1984. - 318 с.

13. Мезингер Ф., Аракава А. Численные методы, используемые в атмосферных моделях. Т. 1. Л.: Гидрометеоиздат, 1979. - 89 с.

14. Монин A.C. Прогноз погоды как задача физики. М.: Наука, 1969. - 189 с.

15. Прессман Д.Я., Пекелис Е.М., Кисельникова В.З., Зарипов Р.Б. Гидродинамический локальный прогноз погоды в Гидрометцентре России (технологические аспекты и вопросы численного моделирования) // Труды Гидрометцентра России. Вып. 334. 2000. С. 91-106.

16. Робер А. Полунеявный метод // Численные методы используемые в атмосферных моделях /Пер. с англ. под ред. В.П.Садокова. Д.: Гидрометеоиздат, 1982. С. 302-315.

17. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 589 с.

18. Толстых А.И. Об одном классе нецентрированных компактных разностных схем пятого порядка, основанных на аппроксимациях Падэ // Доклады АН СССР. 1991. Т. 319, N 1. С. 72-77.

19. Толстых М.А. Разностные методы высокого порядка по пространству и времени для уравнения переноса влаги в модели общей циркуляции атмосферы / / Вычислительные процессы и системы. Вып. 10. М.: Наука, 1993. С. 217-231.

20. Толстых М.А. Полулагранжева модель атмосферы с высоким разрешением для численного прогноза погоды // Метеорология и гидрология. 2001. N 4. С. 5-16.

21. Толстых М.А., Глухов В.Н. Реализация моделей атмосферы на параллельных компьютерах // Сибирская школа-семинар по параллельным вычислениям (Томск 17-20 декабря 2001 г.) /Под ред. А.В.Старченко. Томск: Изд-во ТГУ, 2002. С. 82-93.

22. Толстых М.А. Особенности использования MPI для распараллеливания задач математической физики на вычислительных системах с невысокой скоростью обменов между процессорами

23. Сибирская школа-семинар по параллельным вычислениям (Томск 17-20 декабря 2001 г.) / Под ред. А.В.Старченко. Томск: Изд-во ТГУ, 2002. С. 94-112.

24. Тросников И.В. Модель общей циркуляции атмосферы Гидрометцентра СССР // Метеорология и гидрология. 1980. N11. С. 16-26.

25. Фролов А.В., Важник А.И., Цветков В.И., Астахова Е.Д. Глобальная спектральная модель атмосферы с высоким разрешением по вертикали // Метеорология и гидрология. 2000. N 2. С. 12-20.

26. Фролов А.В., Важник А.И., Свиренко П.И., Цветков В.И. Глобальная система усвоения данных наблюдений о состоянии атмосферы. СПб.: Гидрометеоиздат, 2000. - 187 с.

27. Цырульников М.Д., Толстых М.А., Багров А.Н., Зарипов Р.Б., Развитие глобальной системы усвоения данных с переменным разрешением // Метеорология и гидрология. 2003. N 4. С. 5-24.

28. Baines P.G. and Palmer T.N. Rationale for a new physically based parameterization of subgrid-scale orographic effects. ECMWF Technical Memorandum N 2. - Reading, UK, 1990.

29. Baker G.A., Jr. and Graves-Morris P. Pade approximants, Parts I, II. Reading (Massachusets): Addison-Wesley 1981.

30. Barros S.R.M. Multigrid methods for two- and three-dimensional Poisson-type equations on the sphere // J. Comput. Phys. 1991. V. 92. P. 313-348.

31. Bates J.R., Semazzi F.H.M., Higgins R.W., and Barros S.R.M. Integration of the shallow water equations on the sphere using a vector semi-Lagrangian scheme with a multigrid solver // Mon. Weather Rev. 1990. V. 118. P. 1615-1627.

32. Bates J.R., Moorthi S., Higgins R.W. A global multilevel atmospheric model using a vector semi-Lagrangian finite-difference scheme // Mon. Weather Rev. 1993. V. 121. P. 244-263.

33. Bates J.R., Yong Li, Brandt A., McCormick S.F., and Ruge J. A global shallow-water numerical model based on the semi-Lagrangian advection of potential vorticity // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1995. V. 121. P. 1981-2006.

34. Bates J.R., and Chen M. A comparison of climate simulations from a semi-Lagrangian and an Eulerian GCM // J. of Climate. 1996. V. 9. P. 1126-1149.

35. Benard P., Marki A., Neytchev P.N., and Prtenjak M.T. Stabilization of non-linear vertical diffusion schemes in the context of NWP models // Mon. Weather Rev. 2000. V. 128. P. 1937-1948.

36. Bermejo R., and Staniforth A. The conversion of demi-Lagrangian advection schemes to quasi-monotone schemes // Mon. Weather Rev. 1992. V. 120. P. 2622-2632.

37. Boer G.J., McFarlane N.A., Laprise R., Henderson J.D., and Blanchet J.-P. The Canadian Climate Centre spectral atmospheric general circulation model // Atmosphere-Ocean. 1984. V. 22. P. 397429.

38. Bougeault P. A simple parameterization of the large-scale effects of cumulus convection // Mon. Weather Rev. 1985. V. 113. P. 21082121.

39. Businger J.A., Wyngaard J.C., Izumi Y. and Bradley E.F. Flux-profile relationship in the atmospheric surface layer //J. Atmos. Sci. 1971. V. 28. P. 181-189.

40. Caian M., Geleyn J.-F. Some limits to the variable-mesh solution and comparison with the nested-LAM solution // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1997. V. 123. P. 743-766.

41. Carpenter R.L., Droegemeier K.K., Woodward P.R. and Hane C.E. Application of the Piecewise Parabolic Method (PPM) to meteorological modelling // Mon. Weather Rev. 1990. V. 118. P. 586-612.

42. Cheong H.-B. Application of double Fourier series to the shallow water equations on a sphere //J. Comput. Phys. 2000. V. 165. P. 261-287.

43. Clark T.L. and Peltier W.R. Critical level re and the resonant growth of nonlinear mountain waves //J. Atmos. Sci. 1984. V. 41. P. 31223134.

44. Cohn S.E., Da Silva A., Sienkiewicz M., Lamich D. Assessing the effects of data selection with the DAO physical-space statistical analysis system // Mon. Weather Rev. 1998. V. 126. P. 2913-2926.

45. Côté J., Gravel S., Methot A., Patoine A., Roch M., and Staniforth A. The operational CMC-MRB global environmentalmultiscale (GEM) model. Part I: Design considerations and formulation // Mon. Weather Rev. 1998. V. 126. P. 1373-1395.

46. Courtier P., Geleyn J.-F. A global numerical weather prediction model with variable resolution // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1988. V. 114. P. 1321-1346.

47. Courtier P., Freydier C., Geleyn J.-F., Rabier F. and Rochas M. The ARPEGE project at Météo-France // Procs. of ECMWF seminar on numerical methods in atmospheric models 9-13/09/1991. Reading, UK: ECMWF. 1992. Vol. 2. P. 192-208.

48. Cullen M.J.P. A simple finite-element method for meteorological problems // J. Inst. Math. Applications. 1973. V. 11. P. 15-31.

49. Delbourgo R. and Gregory J.A. Shape preserving piecewise rational interpolation // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1985. V. 6. P. 386-400.

50. Ducrocq V. and Bougeault P. Simulation of an observed squall line with a meso-beta-scale hydrostatic model // Mon. Weather Rev. 1995. V. 123. P. 380-399.

51. Geleyn J.-F., and Hollingsworth A. An economical analytical method for the computation of the interaction between scattering and line absorption of radiation // Beitr. Phys. Atmos. 1979. V. 52. P. 1-16.

52. Geleyn J.-F. On a simple, parameter-free partition between moistening and precipitation in the Kuo scheme // Mon. Weather Rev. 1985. V. 113. P. 405-407.

53. Geleyn J.-F. Use of a modified Richardson number for parameterizing the effect of shallow convection // J. Met. Soc. Japan. 1987. Special 1986 NWP Symposium Issue. P. 141-149.

54. Geleyn J.-F. Interpolation of wind, temperature and humidity values from model levels to the height of measurement // Tellus. 1988. V. 40A. P. 347-351.

55. Geleyn J.-F. Adaptation of spectral methods to non-uniform mapping (global and local) // Procs. of ECMWF Seminar on Recent developments in numerical methods for atmospheric modelling 711/09/1998. Reading, UK: ECMWF. 1999. P. 226-265.

56. Girard C., Delage Y. Stable schemes for nonlinear vertical diffusion in atmospheric circulation models // Mon. Weather Rev. 1990. V. 119. P. 737-745.

57. Giraldo F.X. Lagrange-Galerkin methods on spherical geodesic grids: the shallow water equations // J. Comput. Phys. 2000. V. 160. P. 336-368.

58. Gospodinov I.G., Spirodonov V.G., Benard P., and Geleyn J.-F. A refined semi-Lagrangian vertical trajectory scheme applied to a hydrostatic atmospheric model // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 2002. V. 128. P. 323-336.

59. Gravel S., Staniforth A., Côté J. A stability analysis of a family of baroclinic semi-Lagrangian forecast models // Mon. Weather Rev. 1993. V. 121. P. 815-824.

60. Gregory D., Kershaw R., and Inness P.M. Parameterization of momentum transport by convection II: Tests in single-column and general circulation models // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1997. V. 123. P. 1153-1183.

61. Held I.M. and Suarez M.J. A proposal for the intercomparison of the dry dynamical cores of atmospheric general circulation models // Bull. Amer. Meteor. Soc. 1994. V. 75. P. 1825-1830.

62. Hortal M., and Simmons A. Use of reduced Gaussian grids in spectral models // Mon. Weather Rev. 1991. V. 119. P. 1057-1074.

63. Hortal M. Aspects of the numerics of the ECMWF model // Procs. of the ECMWF Seminar on Recent developments in numerical methods for atmospheric modelling, 7-11 September 1998. -Reading, UK: ECMWF. 1999. P. 127-143.

64. Hortal M. The development and testing of a new two-time-level semi-Lagrangian scheme (SETTLS) in the ECMWF forecast model // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 2002. V. 128. P. 1671-1688.

65. Jakob-Chien R., Hack J.J., and Williamson D.L. Spectral transform solutions to the shallow water test set //J. Comput. Phys. 1995. V. 119. P. 164-187.

66. Kessler E. On the distribution and continuity of water substance in atmospheric circulation // Meteorological Monographs, Vol. 32, American Meteorological Society. Boston, MA (USA), 1969. 84 p.

67. Lele S.K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution //J. Comput. Phys. 1992. V. 103. P. 16-42.

68. Li Yong and Bates J.R. A study of the behavior of semi-Lagrangian models in the presence of orography // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1996. V. 122. P. 1675-1700.

69. Louis J.-F. A parametric model of vertical eddy in the atmosphere // Boundary Layer Meteorology. 1979. V. 17. P. 187-202.

70. Louis J.-F., Tiedtke M., and Geleyn J.-F. A short history of the operational PBL parameterization at ECMWF // Procs. of

71. ECMWF Workshop on planetary boundary layer parameterization 25-27 November 1981. Reading, UK: ECMWF. 1982. P. 59-80.

72. Lynch P. and Huang X.-Y. Initialization of the HIRLAM model using a digital filter // Mon. Weather Rev. 1992. V. 120. P. 10191034.

73. Lynch P., Giard D., Ivanovici V. Improving the efficiency of a digital filtering scheme for diabatic initialization // Mon. Weather Rev. 1997. V. 125. P. 1976-1982.

74. McDonald A. Accuracy of multiply-upstream, semi-Lagrangian advective schemes // Mon. Weather Rev. 1984. V. 112. P. 12671275.

75. McDonald A. The origin of noise in semi-Lagrangian integrations // Procs. of the ECMWF Seminar on Recent developments in numerical methods for atmospheric modelling. 7-11 September 1998. Reading, UK: ECMWF. 1999. P. 308-334.

76. McDonald A. A step toward transparent boundary conditions for meteorological models // Mon. Weather Rev. 2002. V. 130. P. 140151.

77. Mlynarz Th. Parametrisation du frottement des ondes de gravite orographiques Hypothese de resonance: Rapport de stage, Meteo France, Centre de Recherches en Meteorologie Dynamique (CRMD),

78. Juin-Août 1990. Maitrise de Physique et Applications, Université P. Et M.Curie. Paris, 1990. - 26 p.

79. Moorthi S. and Higgins R.W. Application of fast Fourier transforms to the direct solution of a class of two-dimensional separable elliptic equations on the sphere // Mon. Weather Rev. 1993. V. 121. P. 290-296.

80. Naughton M., Bourke W. Experiments with the semi-Lagrangian version of the BMRC global spectral atmospheric model // Procs. of the ECMWF Seminar on Semi-Lagrangian methods 1995. -Reading, UK: ECMWF. 1996. P. 59-81.

81. Numerov B.V. // Astronom. Nachr. 1927. V. 230. P. 359-363.

82. Phillips D.S. Analytical surface pressure and drag for linear hydrostatic flow over three-dimensional elliptical mountains //J. Atmos. Sci. 1984. V. 41. P. 1073-1084.

83. Raymond W.H. High-order low-pass implicit tangent filters for use in finite area calculations // Mon. Weather Rev. 1988. V. 116. P. 2132-2141.

84. Randall D.A. Geostrophic adjustment and the finite-difference shallow water equations // Mon. Weather Rev. 1994. V. 122. P. 1371-1377.

85. Ritchie H. and Tanguay M. A comparison of spatially averaged Eulerian and semi-Lagrangian treatments of mountains // Mon. Weather Rev. 1996. V. 124. P. 167-181.

86. Ritter B. and Geleyn J.-F. A comprehensive radiation scheme of numerical weather prediction with potential application to climate simulations // Mon. Weather Rev. 1992. V. 120. P. 303-325.

87. Rochas M. ARPEGE Documentation, Part 2, Ch.6. Available from Météo-France, Toulouse, France, 1990. 18 p.

88. Row L.W., Hastings D.A., and Dunbar P.K. TerrainBase Worldwide Digital Terrain Data Documentation Manual, CD-ROM Release 1.0. - National Geophysical Data Center, Boulder, Colorado, USA. 1995.

89. Sardeshmukh P.D. and Hoskins B.J. Spatial smoothing on the sphere // Mon. Weather Rev. 1984. V. 112. P. 2524-2529.

90. Smolarkiewicz P.K. and Rasch P.J. Monotone advection on the sphere: an Eulerian versus semi-Lagrangian approach //J. Atmos. Sci. 1991. V. 48. P. 793-810.

91. Smolarkiewicz P.K. and Grell G.A. A class of monotone interpolation schemes // J. Comput. Phys. 1992. V. 101. P. 431440.

92. Smolarkiewicz P.K. and Pudykiewicz J. A class of semi-Lagrangian approximations for fluids // J. Atmos. Sci. 1992. V. 49. P. 2082-2096.

93. Spotz W.F., Taylor M.A., and Swarztrauber P.N. Fast shallow-water equations solvers in latitude-longitude coordinates // J. Comput. Phys. 1998. V. 145. P. 432-444.

94. Staniforth A. and Côté J. Semi-Lagrangian integration schemes for atmospheric models A review // Mon. Weather Rev. 1991. V. 119. P. 2206-2223.

95. Steger J.L., Warming R.F. Flux-vector splitting of the inviscid gasdynamics equations with application to finite difference methods // J. Comput. Phys. 1981. V. 40. P. 263-277.

96. Steppeler J., Doms G., Schattler U., Bitzer H.W., Gassmann A., Damrath U., Gregoric G. Meso-gamma scale forecasts using the nonhydrostatic model LM // Meteorology and Atmospheric Physics. 2003. V. 82, N 1-4. P. 75-96.

97. Taylor M., Tribbia J., Iskandarani M. The spectral element method for the shallow water equations on the sphere //J. Comput. Phys. 1997. V. 130. P. 92-108.

98. Temperton C. and Staniforth A. An efficient two-time-level semi-Lagrangian semi-implicit integration scheme // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1987. V. 113. P. 1025-1039.

99. Thuburn J. and Li Yong. Numerical simulations of Rossby-Haurwitz waves // Tellus. 2000. V. 52A. P. 181-189.

100. Tolstykh M.A. Application of fifth-order compact upwind differencing to moisture transport equation in atmosphere // J. Comput. Phys. 1994. V. 112. P. 394-403.

101. Tolstykh M. The response of a variable resolution semi-Lagrangian NWP model to changes in horizontal interpolation // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1996. V. 122. P. 765-778.

102. Tolstykh M. Global semi-Lagrangian model based on compact finite-differences // Proceedings of 3d ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference. Paris, 9-13/09/96. Wiley Interscience Inc. 1996. P. 14-19.

103. Tolstykh M. Global semi-Lagrangian atmospheric model based on compact finite-differences and its implementation on a parallel computer: Rapport de recherche INRIA N 3080. 1997. 26 p. (http: //www.inria.fr/rrrt / rr-3080.html)

104. Tolstykh M. Atmospheric circulation and weather prediction models using semi-Lagrangian approach and high-order compact finite-differences // Russian J. Num. An. к Math. Mod. 1998. V. 13, N6. P. 551-569.

105. Tolstykh M.A. Vorticity-divergence semi-Lagrangian shallow-water model on the sphere based on compact finite differences // J. Comput. Phys. 2002. V. 179. P. 180-200.

106. Tolstykh M.A., Gloukhov V.N. Implementation of global atmospheric models on parallel computers // Вычисл. технологии. 2002. T.7. Спец. вып. С. 101-109.

107. Tolstykh М. A. Implementation of global atmospheric models on parallel computers // Parallel Computational Fluid Dynamics, May 13-15, 2003, Moscow Russia (ParCFD03). Book of abstracts. -Moscow, Russia, 2003. P. 236-239.

108. Tolstykh M.A. Variable resolution global semi-Lagrangian atmospheric model // Russian J. Num. An. &; Math. Mod. 2003. V. 18, N4. P. 347-361.

109. Williamson D.L. and Rasch P.J. Two-dimensional semi-Lagrangian transport with shape-preserving interpolation // Mon. Weather Rev. 1989. V. 117. P. 102-129.

110. Williamson D.L., Drake J.В., Hack J.J., Jakob R., and Swarztrauber P.N. A standard test set for numerical approximations to the shallow water equations in spherical geometry //J. Comput. Phys. 1992. V. 102. P. 211-224.

111. Williamson D.L. and Olson J.G. A comparison of semi-Lagrangian and Eulerian polar climate simulation // Mon. Weather Rev. 1998. V. 126. P. 991-1000.

112. Yessad K. Semi-Lagrangian computations in the cycle Cyl6 of ARPEGE/IFS, Météo-France internal report. Toulouse (France), 1997. 102 p.

113. Zalesak S.T. Fully multidimensional flux-corrected transport algorithms for fluids // J. Comput. Phys. 1979. V. 31. P. 335-362.