Негамильтонова динамика тонкого стержня в поле внешних сил тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Рабаданов, Рамазан Газимагомедович

• Рабаданов, Рамазан Газимагомедович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Рабаданов, Рамазан Газимагомедович

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ СОСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ И НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ

1.1. Вариационный подход

1.2. Обобщение уравнения Эйлера - Лагранжа

1.3. Уравнения Гамильтона

1.4. Уравнения теории упругости

1.5. Применение феноменологического подхода для составления уравнений движения

Глава 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА ПРОИЗВОЛЬНО ДВИЖУЩЙСЯ В НЕЙ ОЧЕНЬ ГИБКИЙ СТЕРЖЕНЬ

2.1. Физические аспекты криволинейного движения

2.2. Постановка задачи и цели работы

2.3. Вычисление силы сопротивления, отнесенной к единице длины цилиндрического тела при малых числах Рейнольдса

2.4. Сила сопротивления вязкой среды, действующая на произвольно изгибающийся при движении стержень

Глава 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ С УЧЕТОМ ВНУТРЕННИХ ДЕФОРМАЦИОННЫХ ИЗМЕНЕНИЙ

3.1. Вывод основных нелинейных уравнений динамики с учетом деформационных изменений структуры стержня

3.2. Анализ уравнений

3.3. Движение растяжимого стержня (вывод уравнений динамики)

86

3.4. Решение уравнений

3.5. Движение в вязкой среде массивного стержня 94 Глава 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

ДВИЖЕНИЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Негамильтонова динамика тонкого стержня в поле внешних сил»

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время на передний план исследований начали выходить задачи, решение которых в большинстве своем связано с применением различных численных методов анализа. Это, однако, вовсе не означает, что не существует задач, которые могли бы решаться с помощью разнообразных аналитических методов (типа разложений в интеграл Фурье или в интеграл Лапласа и т.п.). Хотя, конечно, время классических задач из области теоретической физики постепенно отходит на второй план. Наиболее яркий расцвет «линейной» науки приходится на прошлый век, о чем свидетельствует масса литературных источников, из которых можно выбрать лишь некоторые, например, [1 - 30], где в качестве примеров и анализа получаемых методами вариационного исчисления или с помощью гамильтонова подхода (в случае консервативных систем) уравнений, приводится аналитическое решение только линейных задач.

Современная физическая (да и математическая) наука постепенно становится нелинейной, если судить хотя бы по работам [31 - 55], в которых ставятся и решаются существенно нелинейные проблемы из различных областей физики, биофизики, химии, биологии. Это следует признать, как уже свершившийся факт, хотя, безусловно, существует еще и масса оригинальных проблем, которые можно решить чисто аналитическими методами.

Исследование любых нелинейных явлений (пусть даже в каком-то смысле и абстрактных!) уже само по себе представляется интересным и вдвойне интересным, если удается не только получать нелинейные уравнения динамики, но и проводить хотя бы приблизительный анализ их решений в отдельных частных случаях с предсказанием каких-либо новых свойств материалов.

Цель работы.

При описании динамических изгибов очень гибкого нерастяжимого стержня в реальной диссипативной среде используется метод наименьшего действия, связанный с построением функции Лагранжа. При этом возникает ряд проблем, которые ставят перед нами несколько важных целей:

1. Исследование сильных механических изгибов тонкого стержня с помощью функции Лагранжа и диссипативной функции при учете, как собственной силы тяжести, так и силы сопротивления со стороны вязкого континуума;

2. Вывод и анализ нелинейного уравнения движения и уравнения трансверсальности, описывающих форму стержня с учетом перечисленных сил и уравнение траектории движения его свободного конца.

Научная новизна.

В диссертации развита теория и проведено исследование общих закономерностей нелинейной динамики сильно неравновесной системы. Благодаря принципу наименьшего действия поставлена и решена чисто теоретическая проблема, связанная с описанием формы изгибающегося под действием внешних сил тонкого стержня. Формально ее решение сводится к выводу общего нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, описывающего в общем случае сложную траекторию движения каждого элемента стержня. Показано, что соответствующее нелинейное движение определяет в начальный момент времени его сильный механический изгиб. Эта форма стержня является начальным условием нелинейной задачи и определяется некоторым внешним воздействием, что, в результате, приводит к увеличению его механической энергии [1, 2]. Вся последующая эволюция, связанная с выяснением формы стержня в каждый фиксированный момент времени и в каждой точке плоского двухмерного пространства приводит к естественному затуханию колебаний и установлению равновесного положения, которое представляет собой вертикально висящий стержень с максимальной энтропией и минимальной энергией [3,4]. В подобной постановке задача не решалась и этим она

отличается от известных классических работ [5 - 7], что и определяет ее новизну.

Достоверность полученных результатов

Проведенные вычисления указывают на правильный вид уравнений, поскольку в предельных случаях они переходят в классические результаты. Достоверность полученных результатов обеспечивается также

использованием апробированных математических и физических методов, а также возможностью экспериментальной проверки полученных решений. Практическая ценность работы может быть сформулирована в следующих двух пунктах:

- Разработан метод решения нелинейных задач движения протяженных нежестких объектов в вязких средах, например, в условиях переноса вертолетом различных грузов на гибком стальном тросе, форма которого в зависимости от внешних условий становится совершенно произвольной. Решение этой задачи имеет важное практическое значение также и в условиях космических экспериментов, сопровождающихся выходом космонавтов в открытый космос на страховочном гибком канате.

- Полученные уравнение движения и условие трансверсальности могут быть использованы для решения различных теоретических и прикладных задач, а также для постановки соответствующих экспериментов.

Актуальность темы.

В большинстве задач теоретической физики, как правило, охватывается спектр линейных проблем, для которых разработана масса аналитических методов, позволяющих адекватно описывать самые разнообразные явления. В последнее время на передний план исследований стали выходить чисто нелинейные задачи из различных областей теоретической физики в том числе и из механики. Именно к последнему типу проблем относится и наша задача, связанная с развитием теории и исследования общих свойств и закономерностей дииамики сильно неравновесных систем, связанная с

построением негамильтоновой динамики произвольным образом изгибающегося тонкого нерастяжимого стержня типа троса в поле внешних сил. Решаемая в диссертации задача является существенно нелинейной, что и определяет ее актуальность.

- Содержание диссертации

Первая Глава диссертации посвящена выводу различного типа уравнений, необходимых для описания широкого класса неравновесных явлений в консервативных и неконсервативных системах с помощью нескольких основных принципов их составления. К ним мы отнесли:

- метод наименьшего действия;

- уравнения Гамильтона;

- феноменологический подход к составлению уравнений движения.

- не гамильтоновы уравнения.

Большое внимание в первой Главе уделено такому важному и весьма актуальному и перспективному в настоящее время математическому направлению, как общие принципы вывода нелинейных дифференциальных уравнений не только обыкновенных, но и в частных производных с переменными параметрами.

В этой же Главе проведено исследование некоторых основных типов уравнений с их предварительным выводом с помощью упомянутых методов.

Вторая Глава диссертации содержит в себе подробный аналитический вывод части классического действия Д5 (представляющий собой диссипативную добавку к основному действию), обязанной учету силы сопротивления вязкой среды.

В третьей Глава составляется полное классическое действие в случае произвольного хаотического движения незакрепленного конца стержня с учетом полученной во второй Главе силы сопротивления.

Выводится нелинейное уравнение динамики тонкого стержня с учетом возможных деформационных напряжений, и анализируются различные частные случаи.

В этой же Главе приведено решение задачи о растяжимом стержне и составлено (при некоторых упрощающих предположениях) уравнение движения, анализ которого оказалось возможным провести до конца.

Последняя четвертая Глава диссертации целиком посвящена численному эксперименту и анализу, полученного в третьей Главе нелинейного дифференциального уравнения в частных производных. Численное решение приводится для заданного начального условия, накладываемого на форму гибкого стержня в начальный момент времени. Расчет осуществлен с помощью программы Maple 12. Сравнение полученных численным методом кривых с теоретическим решением, которое изложено в третьей Главе диссертации, показывает их вполне удовлетворительное качественное совпадение в некоторых предельных частных случаях. На защиту выносятся следующие основные положения диссертации.

1. Феноменологическое выражение для силы сопротивления, действующей на единицу длины тонкого гибкого стержня, закрепленного на одном конце;

2. Нелинейное уравнение движения и условие трансверсальности свободного конца стержня с учетом вязкой силы и силы тяжести;

3. Анализ и решение полученного уравнения движения в частных случаях;

4. Численное решение полученного уравнения. Структура и объем диссертации.

Объем диссертации составляет 141 страницы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка. Список литературы насчитывает 215 наименований. Апробация работы. Результаты, выносимые на защиту были доложены на

1. XIII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред им. А.А. Горшкова» МАИ. 2007. Москва. С. 93 - 98.

2. Четвертой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». ММ - 2007. Самара. С. 122 - 126.

3. VI Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» 2007. Новосибирск. С. 55 - 57.

4. Международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, вычислительная математика», посвященная памяти А.Ф. Леонтьева. 2007. Уфа. С. 33 — 36.

5. Международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 110 — легию со дня рождения И.Н. Векуа. 2007. Новосибирск С. 77- 81.

6. Второй Международной конференция "Деформация и разрушение материалов и наноматериалов". Москва, 2007. С. 640 - 641.

7. 10 Международной конференции «Актуальные проблемы современной науки». Естественные науки. Физика, астрономия, естественные науки. Самара 2009. Ч. 4 - 6. С. 48 - 55

н опубликованы в трех печатных работах из перечня ВАК:

1. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. Синергетика нелинейных колебаний струны. Вестник МГОУ. Серия - Физика и маематика. 2007. В. 1. С. 23-27.

2. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «О динамике движения тонкой струны в реальной среде». //Нелинейный мир, 2008. Т. 6. В.7. С. 394-400.

3. Гладков С.О., Рабаданов Р.Г. «К вопросу о нелинейной динамике нежесткого длинного тонкого стержня в вязкой среде». // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные науки. 2010. № 2. С. 10-17,

а также в статье

4. Gladkov S.O., Rabadanov R.G. On non-linear vibrations of a thin elastic rod with the account of gravity and viscosity of media. Advancement and Development in Modern Physics. 2013. V. 2. N1,2. PP. 17 - 32.

ГЛАВА 1.

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ СОСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ И НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ

1.1. Вариационный подход

При выводе уравнений движения, которым посвящена масса публикаций, с отдельными из которых можно познакомиться, например, по работам [56 -81], и которые позволяют решать конкретные проблемы (из биологии, геофизики, химии, физики и пр.), следует придерживаться некоторых общих принципов и правил.

Главное из них - правильное феноменологическое составление Гамильтониана изучаемой системы, когда речь идет о консервативной системе.

Зная Гамильтониан [82, 83], можно в статическом случае получить дифференциальные уравнения в частных производных, которые будут описывать неоднородное распределение исследуемого параметра.

В самом деле, пусть Гамильтониан имеет вид

где подынтегральная функция представляет собой объемную плотность энергии (по размерности соответствующей давлению), р- некоторая характеристика системы, а Vp = gradp- ее неоднородный вектор в пространстве.

Поскольку энергия консервативной системы должна сохраняться, то изменение (вариация) 5Н должна быть равна нулю. Из этого требования немедленно получаются уравнения на экстремали параметра р. В самом деле, найдем вариацию от выражения (1.1). Имеем

V

(1.1)

(1.2)

Производную -, фигурирующую здесь, следует понимать таким образом.

дУр

Если формально ввести вектор А = Ур с компонентами Л, = —, то для

дх[

некоторой функции /, зависящей от А, можно записать производную по

компонентам вектора А, в виде —, что и отражено в (1.2).

дА,

Поскольку знаки вариации и производной можно менять местами, то есть 3Ур = Уф, то имеем

СУ У5р=У

дУр дУр

дУр

др

-фУ

¥ дУр

(1.3)

Если теперь (1.3) подставить в (1.2), найдем

V

д1_. др

-V

Ж-

дУр

8р(1У+\У V

д/ дУр

ф

(1.4)

Последний интеграл в (1.4) может быть преобразован в поверхностный интеграл с помощью теоремы Остроградского - Гаусса [84 - 88]. Действительно, так как |с1^Ас1У = | Ас&, где Е - поверхность, охватывающая

V I

область интегрирования V, а «Е = йа£, где п - единичный вектор нормали к внешней стороне поверхности Е, ¿К- элемент этой поверхности, то

V

дЧр

др

Ввиду того, что на поверхности Е вариация функции р равна нулю (поверхность не смещается, в силу чего ф = 0) и последний интеграл в (1.4) исчезает.

Заметим, кстати, что если поверхность подвижна, то так просто нельзя отбросить последнее слагаемое в (1.4) и задача значительно усложнится с появлением дополнительных уравнений трансверсальности. С учетом сказанного, приравнивая выражение (1.4) к нулю, находим

ёН=\

[<3/ -V "8/11

ф

дрдУ = 0.

Согласно основной Лемме вариационного исчисления, ввиду произвольности вариации ф, получаем искомое уравнение, описывающее неоднородное

распределение параметра р в пространстве:

5/

др

-V

дЧр

=0.

(1.5)

Заметим здесь, что это же уравнение получится и в результате дифференцирования общего выражения для гамильтониана (1.1) по времени

благодаря условию сохранения энергии = 0.

В самом простом случае это уравнение можно свести к уравнению Лапласа Др = 0, в немного более сложном варианте оно сводится к уравнению Пуассона Др = и(х,у,г), где и(х,у,г) заданная функция. Если подынтегральная функция / зависит явно от степеней параметра р и его градиента, то есть в

а В

простейшем случае / = —р2-^(Ур)2, где а,р - в общем случае некоторые функции координат, уравнение (1.5) дает нам уравнение

У(]ЗЧр)+ар=0. (1.6)

Если функции а и (3 являются константами, уравнение (1.6) сводится к однородному уравнению Гельмгольца, то есть

Ар+к2р=0, (1.7)

, 2 а где к = — .

Р

Надо отметить, что с помощью общего уравнения (1.5) можно получить и неоднородное уравнение Гельмгольца

9

Ар+к p=u(x,y,z), (1.8)

где u(x,y,z) - заданная функция.

Ситуация усложняется, если функции а и ¡3 могут зависеть от времени. Если это так, то для вывода соответствующих уравнений эволюции на параметр р следует считать, что и р- p(t,r), где t- время, а радиус - вектор г имеет координаты x,y,z. Последнее означает, что для получения уравнений «движения» в Гамильтониане системы надо считать подынтегральную функцию /, зависящей еще и от «скорости» р, где «точка» над переменной традиционно означает дифференцирование по времени (и везде далее). Тогда плотность энергии

f=Ap,P>Vp)- (1-9)

Если использовать для вывода уравнений «движения» описанный выше подход, это будет некорректно, поскольку при введении еще одной переменной - времени - интегрирование следует вести и по t (речь идет уже о формальном четырехмерном пространстве!).

<1

В силу того факта, что интеграл jHdt должен быть связан с функцией

'о

дН

Лагранжа L [24] в силу соотношения L = р--Я, экстремум следует искать

др

уже не для Гамильтониана системы, а для классического действия S, которое определяется, как S = ^Ldt. Вариация S по параметру р приведет к

'о

обобщенному уравнению Лагранжа.

1.2. Обобщение уравнения Эйлера - Лагранжа.

Суть метода Лагранжа состоит в нахождении экстремума классического действия. В самом деле, так как вариация действия есть

и и

д5 = 8}мг = 8\ ¡1(р,р,Ур)с1УЖ,

г г V

где подынтегральная функция представляет собой объемную плотность функции Лагранжа и определена по правилу

1=\1(р,рУр)с1Г, V

легко найти эту вариацию. Что касается явного выражения для плотности функции Лагранжа, то ее построение основано на двух основных принципах: она должна быть инвариантной по отношению к операциям инверсии времени и координат. В самом деле, имеем тогда

и

ж=61/1{р,р??р)1УЖ = | 01" ы ~ 81

¡0у П

ф+—ф+-Уф

др др дЧр

(1.Ю)

где для сокращения записи использовано обозначение

<0г а

и введен четырехмерный «объем» сЮ. = Жс1У.

Будем опять - таки предполагать, что границы, как временные, так и пространственные, неподвижны, а потому вариация параметра р на этих границах должна быть положена равной нулю, то есть

ф|о=ф|) =0. (1.11)

о

Чтобы воспользоваться условием (1.11), нам в следует в общем выражении (1.10) выполнить интегрирование по частям, как по временному аргументу, так и по пространственному. Рассмотрим по отдельности второе и третье слагаемые и введем для них обозначения

Л / Л/

J, = J —fydQ., Л = J-SJpdCl.

адР advP

Имеем

J~ = J —¿pdCl= J —J — пдр пдр dt ñdt

di

др

тдр

d£l- J ф

а

d_ dt

di

кдР;

da.

Первое слагаемое в правой части можно частично проинтегрировать. В самом деле,

а

d dt

di

др

ГФ

da=\dV ¡ —

V tQdt

di

др

гФ

di

dt= $dV—Sp

V

dp

1

= 0.

0

Здесь мы воспользовались условиями (1.11) и явным выражением для дифференциала «объема» О.. Таким образом,

J2=-\Sp

а

d dt

'дГ

da

(1.12)

Аналогично

di

advP а

di

dVp

ф

da- \SpV a

r_dT

¿яр.

da.

Первое слагаемое здесь преобразуется с помощью теоремы Остроградского -Гаусса, то есть

п

д1

дУр

ф

<К1= \dt\W

'о у

81

дУр

др

1 81

„дЧр г0 л

в силу условий (1.11). Таким образом

Jъ=-\8pЧ

а

дУр

(1.13)

Подставляя (1.12)и(1.13)в общее выражение (1.10), находим для искомой вариации

8pd.il.

68 = 8 / 11(р,р,Ур)аГ(И= |

п

81 а Га/1 Г а/ Л

др ж V

Полагая Ж равным нулю и, учитывая, что во всей внутренней области г, х, у, г е. о. 8р * о, получаем уравнение

81 а (31} -V Г д1 Л

др йг 1 дР>

= 0.

(1.14)

Уравнение (1.14) представляет собой обобщение уравнений Лагранжа -Эйлера, поскольку учитывает еще и пространственное распределение параметра р.

В частном случае, если под р подразумевать декартовы координаты, например, р=х, последнее слагаемое в (1.14) исчезает и мы приходим к обычному уравнению Лагранжа - Эйлера

8Ь а {81?

у8х;

=0,

(1.15)

8х Ж

Заметим здесь, что при таком допущении вместо плотности / следует вводить в рассмотрение полную функцию Лагранжа

1 = ¡Ш¥ = 1¥. V

Рассмотрим теперь уравнение (1.14) в случае, если подынтегральная функция / может быть записана, скажем, в виде

7 а . ? Р 2 У т-7 2 /=—р ~р > (1.16)

2 2 2

где а,р,у- некоторые константы. Находя нужные частные производные от /,

31 0 д1 ■ д1 а получаем, что — = ~Рр,— = ар,-= и в соответствии с общим

др ар дУр

уравнением (1.14) имеем

/Зр+ар-уАр=0. (1.17)

Уравнение (1.17) является обобщением множества уравнений, с которыми оперирует линейная математическая физика. Если р < 0, а а = 0 мы приходим к уравнению Гельмгольца. Если <х = /3 = 0 - получаем уравнение Лапласа. Если р = 0, мы получим уравнение Даламбера

Ар-и2р = 0, (1.18)

где и2 =—, а по своему физическому смыслу и размерности и представляет а

собой скорость некоторого физического процесса.

Если под р подразумевать колебания плотности среды, то г< будет представлять собой скорость звука в веществе [116 - 118], а если же, допустим, р = {Ё, Н), где Ё и Н соответственно электрическое и магнитное поле, скорость и совпадет со скоростью света в вакууме с [119].

Самые же любопытные и наиболее интересные, как с физической, так и с математической точек зрения, результаты можно получить, исследуя нелинейные уравнения эволюции (см., оригинальные статьи [59 - 98]).

Здесь стоит заметить, что все они легко получаются с помощью приведенных выше принципов.

1.3. Уравнения Гамильтона.

Наиболее распространенным типом уравнений, которые описывают динамику механических систем, но только консервативных, являются уравнения Гамильтониана [24, 89 - 115]. С их помощью можно исследовать поведение любой, в том числе и нелинейной, системы, для которой легко найти соответствующий Гамильтониан Н. Как известно [24], уравнения Гамильтона выглядят так

дР

р ая (1Л9)

ае'

где Q - обобщенная координата, а Р - импульс исследуемой механической системы.

Как видно из уравнений (1.19), если первое из них продифференцировать по 0, а второе - по Р и сложить, то получим справа ноль, а слева сумму

ае др а —+-=0. (1.20)

ае эр

Важность уравнения (1.20) заключается в том, что вид левой части представляет собой дивергенцию от обобщенной скорости V с компонентами V = (£),Р) и равенство

сИУУ=0 (1.21)

формально представляет собой уравнение движения несжимаемой жидкости, для которой плотность р постоянна.

Такое свойство присуще только консервативным системам, для которых фазовый объем сохраняется. Если же речь идет о диссипативных структурах, для которых справа в уравнении (1.21) стоит не нуль, а величина, меньшая нуля, уравнения Гамильтона «не работают»!

В качестве примера этого утверждения можно привести две классические системы уравнений.

Одна система - это уравнения Реслера [120]

2Л

х=у

у=х

+№

(1.22)

¿=-2 г(у+ху\

где у,у- константы, а другая - система Лоренца [74], предложенная в работе Б. Зальцмана [121], которая получается из уравнений гидродинамики при решении задачи о тепловой конвекции в условиях подогрева снизу горизонтального слоя жидкости

х-оу~ох,

• у=гх-у-хг, (1.23)

т,=ху-Ьг,

где сг,г,Ь - параметры, большие нуля. Взяв дивергенцию от линеаризованных уравнений (1.22), (1.23), конкретно

от

X = -у + ух у = х + уу И ОТ г = -Ъя

х = ау-ох

у = гх- у , имеем для линейной системы Реслера г = —Ьг

т7 дх ду дг

дх ду дг

а для системы Лоренца

7 дх ду дг с(1УУ~—+—+—=-а-Ь-1. дх ду дг

Как видно из приведенных примеров, система Лоренца является чисто диссипативной (не консервативной!), поскольку для нее всегда с/п>Р<0.

Система же Реслера только в случае у <v будет описывать чисто диссипативную структуру.

Из приведенных примеров хорошо прослеживается узость уравнений Гамильтона, поскольку подавляющее большинство задач из биофизики, геофизики, технической физики, теоретической физики, математической физики и т. д. представляют собой нелинейные диссипативные задачи [122 -125], решение которых можно находить только с помощью сложных численных методов расчета.

Однако, эта сложность решения с лихвой компенсируется чрезвычайно богатыми результатами и красивыми графическими иллюстрациями, приведенными в упомянутых источниках.

1.4. Уравнения теории упругости

Для вывода основных уравнений теории упругости обычно используется метод вычисления свободной энергии [28] и затем, из условия экстремума соответствующего функционала и следуют эти уравнения. Действительно, если через й{г, t) обозначить вектор смещения внутренних точек среды, то в

силу неоднородности материала появляются отличные от нуля частные

производные —, где индексы i,k = x,y,z. Величина 8хк

ди, ди.

\ дхк j

(1.24)

называется тензором деформации и, как видно из (1.24) он симметричен по индексам 1,к, то есть и,к = ик1.

Поскольку тензор деформации пропорционален первой производной по координатам, инвариантное выражение для плотности свободной энергии / должно содержать только квадраты тензора и1к.

Сказанное означает, что

/ = /0-аК(Т-Т0)и„+ц

К 2 + ум//>

(1.25)

где а- коэффициент объемного расширения, /л, К- коэффициенты Ламэ,

имеющие размерность давления.

Следовательно, полная свободная энергия будет

/о - "К{Т ~ Т0 К + М\ щк - ^ V'

К -+ — и,

(1.26)

Тензор напряжений а,к вводится как производная

Ж._

8и:.

= -аК{Т-Т0)д,к+Ки„д1к+2М

V

1 , 4

(1.27)

у

Если температура материала в результате деформаций не изменяется, в выражениях (1.25) - (1.27) можно положить, что Т = Т0 и тогда

г 1 л2

V

где Г0 = |/0(Г0>/К = сО«^.

А + м

1л

К 2 + — и,

¿Г,

(1.28)

Из условия экстремума функционала (1.28) по компонентам вектора смещений и, имеем для вариации свободной энергии

<5Р = |

2//

ди,.

— д,ьди

+ Ки„дии

с1У =

-!

2д

/„с. Л ^ Л

дди. ддиь

V-V

ах,, дх

1 дди.

дх.

+ Ки,

дди, дх,

с1У,

Применяя здесь далее интегрирование по частям благодаря использованию формулы Гаусса - Остроградского, получаем, что

(ди1к 1 с дии Л

М ---~о,к

удхк

дх

к У

„ (ди,к 1 ди„4 ди, + и —-~-ЬЛ—-

/ г Л. Л 1К -Л

дх, 3 дх,

V I

ди

I у

к "М*

дх, 3 >к дх,

ди,

- [К-^ди,(1Г = О

Ввиду произвольности ди, отсюда сразу же находим искомое уравнение

ди,, -1" „ ди,,

удхк

--д.

з '* &

к

+ = 0. дх.

Или

2ц

дх.

■ +

К-2-,

3

ди

дх,

— = 0.

(1.29)

Если в уравнении (1.29) воспользоваться явным видом тензора деформации (1.24), то найдем отсюда

М

Г д2 о и1

д2и ^ С ^ ^ 32

дх,дхк ]

+

К--ц . 3 ,

д2и,

Эх, Эх,

= 0

Группируя здесь подобные, имеем окончательно

Л Э2и,

5 ( гг М

М-Г+ ^ + —

дх2 I 3

Эх, Эх.

= 0.

Ч ^ у

В векторной форме уравнение (1.30) можно записать как

^га(1с1мй = 0.

//Дм +1 К + у

(1.30)

(1.31)

Как правило [28], уравнение (1.31) записывают несколько иначе с учетом связи коэффициентом Ламе с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона. В самом деле, так как

М = К =

2(1 + аУ

Е

3(1-2 а)'

где Е - модуль Юнга, асг- коэффициент Пуассона, то из (1.31) имеем

К +

М Е + £

з 3(1-2 а) б(1 + сг)_ (1 + Р-) Е

2(1 + сг)

Таким образом, вместо (1.31) будет

Ай + -

1-2сг

graddivй = 0 .

(1.32)

При условии, что смещение внутренних точек среды может быть переменным во времени, уравнение (1.32) легко модифицировать и на этот

случай. В самом деле, если ввести продольную скорость звука сч, то получаем

Дм н---— graddivu = \ . (1.33а)

1-2сг cs dt

Взяв от обеих частей этого уравнения операцию rot, получим в силу тождества rotgradcp - О

1 d2rotu

&rotu=-T-(1.336)

Cj2 dt2

Откуда видно, что cs действительно представляет собой продольную скорость звука.

Если теперь от обеих частей уравнения (1.33а) взять операцию dh>, то получим

2(l-сг) . ,. - 1 d2divu ,л ~~ ч

v - J-Adivu =—--— (1.33в)

1-2 £Т cz аг

! 1 2а

И, таким образом, скорость = 1—,—°-с5 представляет собой скорость

\ 2(1-о-)

поперечных звуковых волн.

Уравнения (1.32) и (1.33) будут использоваться далее по мере надобности в разделе 3.1 третьей Главы .

1.5. Применение феноменологического подхода для составления уравнений

движения

В этом разделе мы остановимся на весьма важной в современных исследованиях методике вывода уравнений эволюции диссипативной системы, позволяющие нам наметить решение и той важной в методическом смысле задачи, формулировке которой посвящен раздел 2.2 настоящей диссертации. Речь идет о методике получения нелинейных уравнений движения.

По большому счету сам по себе подобный подход еще до конца не изучен, а потому довольно часто на Семинарах, Конференциях, Симпозиумах вызывает вполне закономерные споры. Мы изложим сейчас свою точку зрения на этот подход и попробуем сформулировать общие положения, базируясь па которых можно будет решать весьма большой спектр проблем из самых разных областей (биология, механика, теория упругости, химия, генетика, геофизика, астрофизика и т. д.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рабаданов, Рамазан Газимагомедович, 2014 год

Литература

1. Kelvin D. Compendium of the Fourier mathematics for the conduction of heat in solids and the mathematically allied physical subjects of diffusion of fluids and transmission of electric signals through submarine cables / D.Kelvin. - Encycl. Britt. Math, and Phys. Papers. - 1880. - p. 41 -65.

2. Carslaw H.S. Introduction to the mathematical theory of the conduction of heat in solids / H.S. Carslaw. - Macmillan. - 1921. - 345 p.

3. Carslaw H.S. Fourier's series and integrals / H.S. Carslaw. - Macmillan, ed. 3. - 1930.-240 p.

4. Уиттекер Э. Курс современного анализа / Э. Уиттекер, Г. Ватсон. - М: ГТТИ.- 1933.-340 с.

5. Doetsch D. Theorie und anwendung der Laplace - transformation / D. Doetsch. -Springer.- 1937.-359 p.

6. Hunt F.V. Analysis of sound decay in rectangular rooms / F.V. Hunt, L.L. Beranek, D.Y. Maa // J. Acoust. Soc. Am. - 1939. - V. 11. - P. 80 - 94.

7. Watson A. Treatise on the theory of Bessel functions / A. Watson. -Cambridge. - ed. 2. - 1944. - 228 p.

8. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики / А. Зоммерфельд. - М.: ИЛ. - 1950.-450 с.

9. Левин В.И. Дифференциальные уравнения математической физики / В.И. Левин, О. Ю. Гросберг. - М.: Гостехиздат. - 1951. - 550 с.

10. Грей Э. Функции Бесселя и их применение в физике и механике / Э. Грей, Г. Мэттьюз. - М.: ИЛ. - 1953. - 432 с.

И. Гютнер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики / Н.М. Гютнер. - М.: Гостехиздат. - 1953. - 364 с.

12. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения / О.А. Ладыженская. - М.: Гостехтеориздат. - 1953. - 334 с.

13. Соболев С.Л. Уравнения математической физики / С.Л. Соболев. - М.: Гостехиздат. - 1954. - 382 с.

14. Бейтмен Г. Математическая теория распространения электромагнитных волн / Г. Бейтмен. - М.: Физматгиз. - 1958. - 420 с.

15. Кодцингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. - М.: ИЛ. - 1958. - 579 с.

16. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / O.A. Ладыженская. - М.: Физматгиз. - 1961. - 288 с.

17. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов / И.М. Глазман. - М.: Физматгиз.

- 1963.-332 с.

18. Положий Г.Н. Уравнения математической физики / Г.Н. Положий. - М.: Высшая школа. - 1964. - 476 с.

19. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел / Карслоу Г., Д. Егер. - М.: Наука. - 1964.-487 с.

20. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка / М.М. Смирнов. - М.: Наука, 1964. - 290 с.

21. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. - М.: Наука. - 1964. - 272 с.

22. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. - М.: Наука. - 1969. - 424 с.

23. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. - М.: Высшая школа. -1970.-710 с.

24. Ландау Л.Д. Механика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - Т. 1. - М.: Наука -1973.-208 с.

25. Ландау Л.Д. Теория поля / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - Т. 2. - М.: Наука.

- 1973.-502 с.

26. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. - М.: Наука. - 1981. - 860 с

27. Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - Т. 8. - М.: Наука. - 1982. - 502 с.

28. Ландау Л.Д. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - Т. 7. - М.: Наука. - 1987.-244 с.

29. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - Т. 6. - М.: Наука, - 1988.-733 с.

30. Chen Z. Numerical treatment of multiphase flows in porous media / Z. Chen, R.E. Ewing, Z. - C. Shi. - Springer. - 1999. - 445 p.

31. Kaviany M. Principles of heat transfer in porous media / V. Kaviany. -Springer. - 1999.-709 p.

32. Goodwin R. M. The non - linear accelerator and the persistence of business cycles/R.M. Goodwin. - 1951.-V. 19.-p. 1 - 17.

33. Atal B.S. Evaluation of acoustic properties of enclosures by means of digital computers/ B.S. Atal, M.S. Shroeder, G.M. Sessler, J.E. West // J. Acoust. Soc. Amer. - 1966. - V. 40. - PP. 428 - 433.

34. Жаботинский A.M. Колебательные процессы в биологических и химических системах / A.M. Жаботинский. - М.: Наука. - 1967. - С. 252 - 254.

35. Андронов А.А. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука. - 1967. -488 с.

36. Tanner J.T., The stability and intrinsic growth rate of prey and predator populations / J. T. Tanner. - Ecology. - 1968. - V. 56. - PP. 855 - 867.

37. Шеннон К. Предсказание и энтропия английского печатного текста. -Работы по теории информации и кибернетике / К. Шеннон. - М.: ИЛ. - 1968. -С. 669-686.

38. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы / С. Смейл // Успехи Математических наук. - 1970.-Т. 25. В. 1.-С. 113-185.

39. Lefever R. Chemical instabilities and sustained oscillations / R.Lefever, G. Nicolis // J. Theoretical Biology. - 1971. - V. 30, - pp. 267 - 284.

40. Неймарк Ю.И. Методы точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю.И. Неймарк. - М.: Наука. - 1972. - 471 с.

41. Maynard - Smith J. Models in Ecology / J. Maynard - Smith. - C.U.P. London. - 1974.-360 p.

42. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания / A.M. Жаботинский. - M.: Наука. - 1974. - 178 с.

43. Баутин Н. II. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. - М.: Наука.

- 1976.-336 с.

44. Agu М.А. Nonstationary time - dependence having у - type power spectrum /

M.A. Agu // Journal Phys. Soc. Japan. - 1976. - V. 40. - PP. 1510 - 1511.

45. Haberman R. Mathematical Models / R. Haberman. - Prentice - Hall, Englewood Cliffs, NJ. - 1977. - 386 p.

46. Jordan D. Non - linear ordinary differential equations / D.W. Jordan, P. Smith.

- Clarendon Press. Oxford. - 1977. - 460 p.

47. Purcell E.M. Life at low Reynolds number / E.M. Purcell. - Amer. J. Phys. -1977.-V. 45.-P.3- 11.

48. Балеску P. Равновесная и неравновесная статистическая механика / Р. Балеску. - Т. 1, 2. - М.: Мир. - 1978. - 400 с.

49. Иваницкий Г.Р. Математическая биофизика клетки / Г.Р. Иваницкий, В.И. Кринский, Е.Е. Сельков. - М.: Наука. - 1978. - 300 с.

50. Zeeman Е.С. Population dynamics from game theory. Int. Conference Global theory of dynamical systems / E.C. Zeeman. - Northwestern University. Evanston. IL.- 1979. P. 122.

51. Бунимович Л.А. Нелинейные волны / Л.А. Бунимович, Я.Г. Синай. - М.: Наука,-1979.-С. 212-226.

52. Rescigno A. Immune surveillance and neoplasia II / A. Rescigno, C. De Lisi. -Bull. Mathematical Biology. - 1979. - V. 9. - PP. 143 - 148.

53. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений / А.Д. Брюно. - М.: Наука. - 1979. - 456 с.

54. Feigenbaum M.J. The universal metric properties of nonlinear transformations /M.J. Feigenbaum//J. Statist. Phys. - 1979. - V.21. - PP. 669-706.

55. Синай Я.Г. Нелинейные волны / Я.Г. Синай. - М.: Наука. - 1979. - С. 192 -212.

56. Николис Г. Самоорганизация в неравновесных системах / Г. Николис, И. Пригожин. - Пер. с англ.. - М.: Мир. - 1979. - 309 с.

57. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела / В.В. Козлов. - М.: МГУ. - 1980. - 232 с.

58. Корнфельд И.П. Эргодическая теория / И.П. Корнфельд, Я.Г. Синай, С.В. Фомин. - М..: Наука. - 1980. - 383 с.

59. Хакен Г. Синергетика / Г. Хакен. - М.: Мир. - 1980. - 320 с.

60. Mandelbrot В.В. Fractal aspects of the iteration z^Az(l-z) for complex Л and z / B.B. Mandelbrot // In book: Helleman R. H.G. (ed.) Nonlinear dynamics. (Annals of the New York Academy of Sciences). - 1980. - V. 357. - P. 249 - 259.

61. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы / П.С. Ланда. - М.: Наука. - 1980. - 359 с.

62. Марсден Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. Мак-Кракен.-М.: Мир, - 1980.-368 с.

63. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца / Л.П. Шильников. - Кн.: Марсден Дж., Мак - Кракен. - М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Добавление II- М.: Мир. - 1980. - С. 317 - 335.

64. Collet P. Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems / P. Collet, J. -P. Eckmann. - Boston: Birhauser. - 1980. - 248 p.

65. Васильев B.A. Термодинамика биологических процессов / B.A. Васильев. - M.: Наука. - 1980. - С. 186 - 192.

66. Балкарей Ю.И. Проблемы современной радиотехники и электроники / Ю.И. Балкарей, М.И. Елинсон, М.Г. Никулин. - М.: Наука - 1980. - 431 с.

67. Newhouse S. Nonlinear dynamics (Ed. R.H.G. Helleman) / S. Newhouse. -N.Y.: Ann. N.Y. Acad. Sci. - 1980. - V. 357. - P. 292 - 299.

68. Newhouse S. Dynamical Systems / S. Newhouse. - Boston: Birkhauser. -

1980.-V. 8.-P. 2 - 114.

69. Йорке Дж. Странные аттракторы / Дж. Йорке, Е. Йорке. - М.: Мир. -

1981.-С. 193-212.

70. Балкарей Ю.И. Автоволновые процессы с диффузией / Ю.И. Балкарей, М.И. Елинсон, М.Г. Никулин. - Горький: ИПФ АН СССР. - 1981. - С. 117 -134.

71. Lauterborn W. Subharmonic route to chaos observed in acoustics / W. Lauterborn, E. Gramer. - Phys. Rev. Lett. - 1981. - V. 47. - P. 1445 - 1448.

72. Маркин B.C. Теория возбудимых сред / B.C. Маркин, В.Ф. Пастушенко, Ю.А. Чизмаджев. - М.: Наука - 1981.-273 с.

73. Ланфорд О.Е. Странные аттракторы / О. Е. Ланфорд. - М.: Мир. - С. 73,

74.

74. Лоренц Э. Странные аттракторы / Э. Лоренц. - М.: Мир. - 1981. - С. 88 -116.

75. Grassberger P. On the Hausdorff dimension of fractal attractors / P. Grassberger. - J. Statist. Phys. - 1981. - V. 26. - P. 173 - 179.

76. Мандельброт Б. Странные аттракторы / Б. Мандельброт. - М.: Мир. -1981.-С. 47-57.

77. Arrowsmith D. К. Ordinary Differential Equations (a qualitative approach with applications) / D.K. Arrowsmith, C.M. Place. - Chapman and Hall. London, New York. - 1982.-243 p.

78. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии / Д. Марри.-Пер. с англ.-М.: Мир. - 1982.-212 с.

79. Васильев В.А. Математическая биология развития / В.А. Васильев, Ю.М. Романовский, Д.С. Чернавский. - М.: Наука. - 1982.-С. 82- 101.

80. Grossmann S. Diversity and universality. Spectral structure of discrete time evolution / S. Grossmann. - In book: Haken H (ed.) Evolution of order and chaos. Berlin: Springer. - 1982. - 476 p.

81. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем / М. Фейгенбаум // УФН. - 1983. - Т. 141. В. 2. - С. 343 - 374.

82. Гладков С.О. Об эффектах взаимодействия флуктуаций плотности и гравитационного потенциала на поверхности Планет / С.О. Гладков // Геофизика. - 2003. - № 4. - С. 56 - 59.

83. Гладков С.О. К вопросу синергетического описания поведения температуры в сильно неоднородных средах / С.О. Гладков // ЖТФ (письма). -2004. - Т. 30. - В. 17. - С. 55 - 60.

84. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. - Т. 3. - М.: Наука. - 1966. - 656 с.

85. Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. - Т.2. - М.: Наука. - 1967.-655 с.

86. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для ВТУЗов / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. - М.: Наука. - 1969. - 755 с.

87. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. -М.: Наука. - 1989.-735 с.

88. Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу / Г.Н. Яковлев. - Ч. 2. - М.: Физматлит. - 2001. - 479 с.

89. Йосс Ж.. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций / Ж. Йосс, Д. Джозеф. - М.: Мир. - 1983. - 301 с.

90. Pomeau Y. USMG NATO ASI. Les Nouches Session XXXVI on Chaotic Behaviour of Deterministic System / Y. Pomeau. - Amsterdam. - 1983. - P. 609 -619.

91. Guckenheimer J. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcation of vector fields / J. Guckenheimer, P. Holmes. - Berlin: Springer. - 1983. - 453 p.

92. Жаботинский A.M. Нелинейные волны. Самоорганизация / A.M. Жаботинский. - M.: Наука. - 1983. - С. 16 - 25.

93. Grassberger P. Generalized dimensions of strange attractors / P. Grassberger// Phys. Letters. - 1983. - V. 97 A. - P. 227 - 230.

94. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах / П.С. Ланда. - М.: Наука. - 1983.-320 с.

95. Hentschel H.G.E., Procaccia I. Fractal nature of turbulence as manifested in turbulent diffusion / H.G. Hentschel, I. Procaccia. - Phys. Rev. - 1983. - V. A27. -P. 1266- 1269.

96. Курдюмов С.П. Синергетика - теория самоорганизации. Идеи, методы, перспективы / С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий. - М.: Знание. - 1983. - 64 с.

97. Данилов Ю.А., Кадомцев Б.Б. Нелинейные волны. Самоорганизация / Ю.А. Данилов, Б.Б. Кадомцев. - М.: Наука. - 1983. - С. 5 - 16.

98. Grassberger P. Characterization of strange attractors / P. Grassberger, I. Procaccia. - Phys. Rev. Letters. - 1983. - V. 50. - P. 346 - 349.

99. Полак Л.С. Самоорганизация в неравновесных физико - химических системах / Л.С. Полак, А.С. Михайлов. - М.: Наука. - 1983. - 286 с.

100. Bohr Т. Transition to chaos by interaction of resonances in dissipative systems. II. Josephson junctions, charge - density, and standard maps / T. Bohr, P. Bak, M.H. Jensen // Phys. Rev. - 1984. - V. A30. - PP. 1970 - 1981.

101. Jensen M.H. Transition to chaos by interaction resonances in dissipative systems / M.H. Jensen, P. Bak, T. Bohr // Phys. Rev. - 1984. - V. A 30. - P. 1960 -1969.

102. Баутин II.Ii. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости / Н.Н. Баутин. - М.: Наука. - 1984. - 176 с.

103. Hentschel H.G.E. Relative diffusion in turbulent media: The fractal dimension of clouds / H.G.E. Hentschel, I. Procaccia // Phys. Rev. - 1984. - V. A29. - P. 1461 -1470.

104. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем / Г.М. Заславский. -М.: Наука. - 1984.-272 с.

105. Sano М. Chaos and Statistical Methods / M. Sano, Y. Savada. /Ed. Y. Kuramoto. - Berlin: Springer. - 1984. - P. 226 - 231.

106. Kuramoto Y. Chemical oscillations. Waves, and Turbulence / Y. Kuramoto. -Berlin: Springer. - 1984. - 424 p.

107. Ланфорд О.Е. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности / О.Е. Ланфорд. - М.: Мир. - 1984. - С. 22 - 46.

108. Лахтенберг А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лахтенберг, М. Либерман. - М.: Мир. - 1984. - 528 с.

109. Видаль К. Синергетика / К. Видаль. - М.: Мир. - 1984. - С. 109 - 125.

110. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф / Р. Гилмор. - Кн. 2. - М.: Мир. -1984.-285 с.

111. Schroder М. Fractal geometry of colloidal aggregates / M. Schroder, J.E. Martin, B.P. Wiltzius, D.S. Cannell // Phys. Rev. Lett. - 1984. - V. 52. P. - 2371 -2374.

112. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем / Г.М. Заславский. -М.: Наука. - 1984.-272 с.

113. Alstrom P. Fractal structure of the complete devil's staircase in dissipative systems described by a driven damped - pendulum equation with a distorted potential / P. Alstrom, M.T. Levinsen // Phys. Rev. - 1985. - V. B32. - PP. 1503 - 1511.

114. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах / Н. Хакен. - М.: Мир. - 1985. - 423 с.

115. Хэссард Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн. - М.: Мир. - 1985. - 423 с.

116. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел / Ч. Киттель. - М.: Наука. -1967.-382 с.

117. Займан Дж. Принципы теории твердого тела / Дж. Займан. - М.: Мир. -1974.-472 с.

118. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика / Ю.Л. Климонтович. - М.: Наука, - 1982.-608 с.

119. Савельев И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев. - Книга 2. - М.: Наука, - 1998.-336 с.

120. Рабинович М.И. Об исследовании уравнений Реслера / М.И. Рабинович, А.Л. Фабрикант // ЖЭТФ. - 1979. - Т. 77, - С. 617 - 629.

121. Saltzman В. About convective heat transfer in two - dimensional case / B. Saltzman// Journ. Atmos. Sei. - 1962. - V. 19.-P. 329-341.

122. Гладков С.О. О законе Дарен в условиях сохранения энтальпии / С.О. Гладков // ЖТФ (письма). - 2002. - Т. 28. - В. 20. - С. 50 - 57.

123. Гладков С.О. К вопросу вычислении модуля Юнга / С.О. Гладков // ИФЖ. - 2003. - Т. 76. - В. 5. - С. 144 - 147.

124. Гладков С.О. , Ковнеристый Ю.К. Математическое описание значительных тепловых деформаций упругих структур с памятью формы / С.О. Гладков, Ю.К. Ковнеристый // Деформация и разрушение материалов. - 2005. -

B. 2.-С. 44-48.

125. Гладков С.О. О конвективном движении газа в цилиндрическом объеме /

C.О. Гладков. - ЖТФ (письма). - 2005. - Т. 31. - В. 12. - С. 71 - 75.

126. Цедерберг Н.В. Теплопроводность газов и жидкостей / Н.В. Цедерберг. -Госэнергоиздат. - 1963. - 280 с.

127. Ахиезер А.И. Спиновые волны / А.И. Ахиезер, В.Г. Барьяхтар, C.B. Пелетминский. - М.: Наука. - 1967. - 368 с.

128. Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их композиций / А. Миснар. - М.: Мир. - 1968. - 456 с.

129. Морс Ф. Теплофизика / Ф. Морс. - М.: Наука. - 1968. - 416 с.

130. Могилевский Б.М. Теплопроводность полупроводников / Б.М. Могилевский, А.Ф. Чудновский. - М.: Наука. - 1972. - 536 с.

131. Лифшиц Е.М. Физическая кинетика / Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. -Т. 10. - М.: Наука. - 1979. - 527 с.

132. Гершензон Е.М. Курс общей физики. Молекулярная физика / Е.М. Гершензон, H.H. Малов, А.Н. Мансуров, B.C. Эткин. - М.: Просвещение. -1982.-207 с.

133. Вонсовский C.B. Квантовая теория твердого тела / C.B. Вонсовский, М.И. Канцельсон. - М.: Наука. - 1983.-236 с.

134. Савельев И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев. - Книга 3. - М.: Наука.- 1998.-208 с.

135. Гладков С. О. К теории теплопроводности кристаллических диэлектриков в условиях связи с термостатом / С.О. Гладков, И.В. Гладышев // ФТТ. - 2004. -Т. 46.-В. 7.-С. 1194- 1202.

136. Гладков С.О. Газокинетическая модель теплопроводности огнеупоров / С.О. Гладков, H.H. Гришин, В.Т. Калинников, O.A. Белогурова // Огнеупоры и техническая керамика. - 2005. - В. 8. - С. 26 - 34.

137. Гладков С.О. О колебательных волновых процессах на поверхности массивных и неоднородных по составу тел / С.О. Гладков // ЖТФ. - 2003. - Т. 73.-В. 8.-С. 19-24.

138. Гладков С.О. Об особенностях внутренних деформационных изменений массивных тел под действием собственного гравитационного поля / С.О. Гладков//ЖТФ.-2003.-Т. 73.-В. 1.-С. 131 - 133.

139. Гладков С.О. О феноменологическом описании процесса кристаллизации расплавов / С.О. Гладков // Доклады РАН. - 2003. - Т. 391. - В. 5. - С. 610 -613.

140. Гладков С.О. Модельное описание роста кристаллов из неоднородных субстанций / С.О. Гладков // Доклады РАН. - 2004. - Т. 394. - В. 4. - С. 469 -472.

141. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский. - М.: Гостехиздат. - 1953. - 440 с.

142. Гладков С.О. К теории роста поверхности кристалла вблизи точки кристаллизации / С.О. Гладков // Доклады РАН. - 2004. - Т. 399. - В. 1. - С. 34 -37.

143. Курант Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. - Т. 1,2.- М.: Гостехиздат. - 1957. - 488 с.

144. Курант Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. - М.: Мир. -1964.-560 с.

145. Будак Б.М. Сборник задач по математической физике / Б.М. Будак, A.A. Самарский, А.Н. Тихонов. - М.: ГИТТЛ. - 1956. - 683 с.

146. Stauffer D. Introduction to Percolation Theory / D. Stauffer. - London: Taylor & Francis. - 1985.-288 p.

147. Dress A.W.M. Some proposal concerning the mathematical modeling of oscillating heterogeneous catalytic reactions on metal surface / A.W.M. Dress, M. Gerhardt, N.I. Jaeder, P.J. Plath, H. Schuster. - In book: Rensing L., Jaeder N.I. (eds.). Temporal order. Berlin: Springer. - 1985. - PP. 67 - 74.

148. Четаев A.H. Нейронные сети и цепи Маркова / А.Н. Четаев. - М.: Наука. -1985. - 128 с.

149. Farmer J.D. Sensitive dependence on parameters in nonlinear dynamics / J.D. Farmer // Phys. Rev. Lett. - 1985. - V.55. - PP. 351 - 354.

150. Афраймович B.C. Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике / B.C. Афрфймович. - Киев: Наукова думка. - 1985. - Ч. 2. - С. 21 - 24.

151. Fein А.Р. Physical scaling at the transition from quasiperiodicity to chaos in a hydrodynamic system / A.P. Fein, M.S. Heutmaker, J. P. Gollub // Physica Scripta. -1985.-V. T9.-P.79-84.

152. Бунимович JI.А. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления / Л.А. Бунимович, Я.Б. Песин, Я.Г. Синай, М.В. Якобсон. - Т. 2. -М.: Издательство ВИНИТИ. - 1985. - С. 113 - 321.

153. Thompson J.M.T. Nonlinear dynamics and chaos / J.M.T Thompson, H.B. Stewart. - N.Y.: Wiley. - 1986. - 444 p.

154. Гарел Д. Колебательные химические реакции / Д. Гарел, О. Гарел. - М.: Мир. - 1986.-148 с.

155. Кестен X. Теория просачивания для математиков / X: Кестен. - М.: Мир. - 1986. - 310 с.

156. Halsey Т.С. Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets / T.C. Halsey, M.H. Jensen, L.P. Kadanoff, I. Procaccia, B.I. Shraiman. -Phys. Rev.- 1986.-V. A33.-P. 1141-1151.

157. Бонч - Бруевич В.Л. Стохастические автоколебания в конденсированной среде / В.Л. Бонч - Бруевич. - Часть 1. - М.: Издательство МГУ. - 1986. - 68 с.

158. Ахромеева Т.С. Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах / Т.С. Ахромеева, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий, А.А. Самарский. -М.: Наука. - 1986. - С. 7 - 59.

159. Шарковский А.Н. Разностные уравнения и их приложения / А.Н. Шарковский, Ю.А. Майстренко, ЕЛО. Романенко. - Киев: Наукова думка. -1986.-280 с.

160. Эрроусмит Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями / Д. Эрроусмит, К. Плейс. - М.: Мир. -1986.-243 с.

161. Stokes S.S. Interfacial stability of immiscible displacement in a porous medium / S.S. Stokes, D.A. Weitz, J.P. Gollub, A. Dougherty, M.O. Robbins, P.M. Chaikin, H.M. Lindsay//Phys. Rev. Lett. - 1986.-V. 57. - P. 1718 - 1721.

162. Vichniac G. Y. Cellular automata models of disorder and organization. In book: Bienenstock, Fogelman Soulie F., Weisbuch G. (eds.) Disordered Systems and Biological Organization / G.Y. Vichniac. - Berlin: Springer. - 1986. - P. 1 - 20.

163. Vichniac G.Y. Disordered systems and biological organization (Eds. E. Bienenstock et al.) / G.Y. Vichniac - Berlin: Springer. - 1986. - P. 3 - 20.

164. Hasinger G. Quasi - periodic oscillations in X - ray flux of Cyg X - 2 / G. Hasinger, A. Lagmeier, M. Sztajno, J. Trumper, W.H.G. Lewien, N.E. White // Nature. - 1986.-V. 319.-P. 469-471.

165. Афраймович B.C. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / B.C. Афраймович. -М.: Наука. - 1987.-С. 189-213.

166. Гапонов - Грехов А.В. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / А.В. Гапонов - Грехов, М.И. Рабинович. - М.: Наука. - 1987. - С. 37 - 44.

167. Chiavalo D.R. Nonlinear dynamics of cardiac excitation 'and impulse propagation / D.R. Chiavalo, J. Jalife // Nature. - 1987. - V. 330. - PP. 749 - 752.

168. Васильев B.A. Автоволновые процессы / B.A. Васильев, Ю.М. Романовский, В.Г. Яхно. - М.: Наука. - 1987. - 240 с.

169. Бутенин H.B. Введение в теорию нелинейных колебаний , Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. - М.: Наука. - 1987. - 384 с.

170. Schroder M. Statistical parameters of the frequency response curves of large rooms / M. Schrofer // J. Audio Eng. Soc. - 1987. - V. 35. - P. 299 - 306.

171. Давыдов B.A. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / В.А. Давыдов, А.С. Михайлов. - М.: Наука. - 1987. - С. 261 - 279.

172. Gwinn E.G. Scaling structure of attractors at the transition from quasiperiodicity to chaos in electronic transport in Ge / E.G. Gwinn, R.M. Westervelt // Phys. Rev. Letters. - 1987. -V. 59, P. - 157 - 160.

173. Неймарк Ю.И. Стохастические и хаотические колебания / Ю.И. Неймарк, П.С. Ланда. - М.: Наука. - 1987. - 424 с.

174. Кузнецов С.П. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / С.П. Кузнецов, А.С. Пиковский. - М.: Наука. - 1987. - С. 237 - 250.

175. Маломед Б.А. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / Б.А. Маломед. - М.: Наука. - 1987.-С. 251 -261.

176. Веденов А.А. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / А.А. Веденов, А.А. Ежов, Е.Б. Левченко. - под ред. А.В. Гапонова - Грехова и М.И. Рабиновича. - М.: Наука. - 1987. - С. 53 - 67.

177. Moon F.C. Chaotic Vibrations / F.C. Moon. - N.Y.: Wiley. - 1987. - 309 p.

178. Geisel T. Generic — noise in chaotic Hamiltonian sestems / T. Geisel, A.

/

Zacherl, G. Radons // Phys. Rev. Letters. - 1987. - V. 59. - P. 2503 - 2506.

179. Gleick J. Chaos: Making a new science / J. Gleick. - N.Y.: Viking. - 1987. -338 p.

180. Заславский Г.М. Введение в нелинейную физику / Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев. - М.: Наука. - 1988. - 340 с.

181. Stanley Н.Е. Multifractal phenomena in physics and chemistry / H.E. Stanley, P. Meakin. - Nature - 1988. - V. 335. - P. 405 - 409.

182. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение / Г. Шустер. - М.: Мир. -1988.-340 с.

183. Ruelle D. Chaotic Evolution and Strange Attractors / D. Ruelle. - London: Cambridge Univ. Press. - 1988. - 120 p.

184. Temam R. Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics / R. Temam. - Berlin: Springer. - 1988. - 615 p.

185. Grimmett G. Percolation / G. Grimmett. - N.Y.: Springer, -1989. - 450p.

186. Николис Г. Динамика иерархических систем / Г. Николис. - М.: Мир. -1989.-486 с.

187. Lascar J. A numerical experiment on the chaotic behavior of the solar system / J. Lascar // Nature. - 1989. - V. 338. - P. 237 - 238.

188. Хокинг С. От большого взрыва до черных дыр: Краткая история времени / С. Хокинг. - М.: Мир. - 1990. - 375 с.

189. Jekeli С. Tower gravity experiment: No evidence for non - Newtonian gravity / С/ Jekeli, D.H. Eckhardt, A.J. Romaides // Phys. Rev. Lett. - 1990. - V. 64. - P. 1204- 1206.

190. Babcock K.L. Avalanche and self - organization in cellular magnetic - domain patterns / K.L. Babcock, R.M. Westerverlt // Phys. Rev. Lett. - 1990. - V. 64. - PP. 2168-2171.

191. Лоскутов А. Ю. Введение в синергетику / А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов. - М.: Наука. - 1990. - 170 с.

192. Федер Е. Фракталы / Е. Федер. - М.: Мир. - 1991. - 290 с.

193. Гладков С.О. Динамика химического состава аэрозолей в условиях коагуляции / С.О. Гладков, А.В. Московченко // ДАН СССР. - 1993. - Т. 328. -В. З.-С. 325-329.

194. Гладков С.О. О воздействии лазерного излучения на фронт ударной волны / С.О. Гладков // ФГВ. - 1993. - Т. 29. - В. 5. - С. 81 - 85.

195. Гладков С.О. К теории магнитной восприимчивости композитов / С.О. Гладков//ФТТ.- 1997.-Т. 39.-В. 9. - С. 1622- 1627.

196. Гладков С.О. К теории одномерной и квазиодномерной теплопроводности / С.О. Гладков // ЖТФ. - 1997. - Т. 67. - В. 7. - С. 8 - 12.

197. Гладков С.О. К теории множественного образования микротрещин при механической нагрузке полимеров / С.О. Гладков, В.Г. Никольский // ЖТФ (письма). - 1997. - Т. 23. - В. 24. - С. 80 - 86.

198. Гладков С.О. К теории внутреннего теплового равновесия в неоднородных структурах / С.О. Гладков // ЖТФ (письма). - 1998. - Т. 24. - В. 10.-С. 29-36.

199. Гладков С.О. К кинетической теории фильтрации / С.О. Гладков // Известия ВУЗов. Серия физическая. - 1998. - Т. 41. - В. 10. - С. 19 - 24.

200. Гладков С.О. К теории поглощения электромагнитного излучения в сильно неоднородных двухкомпонентных системах / С.О. Гладков // ЖТФ. -1999. - Т. 69. - В. 7. - С. 89 - 94.

201. Гладков С.О. О флуктуациях в жидкостях и газах / С.О. Гладков, И.В. Гладышев // ЖТФ. - 2001. - Т. 71. - В. 3. - С. 1 - 8.

202. Гладков С.О. О неоднородных флуктуациях в жидкостях и газах / С.О. Гладков, И.В. Гладышев // ЖТФ. - 2001. - Т. 71. - В. 4. - С. 1 - 5.

203. Гладков С.О. К теории гидродинамических явлений в квазиодномерых системах/ С.О. Гладков//ЖТФ.-2001.-Т. 71.-В. 11.-С. 130- 132.

204. Гладков С.О. К теории теплопроводности металлов с металлическими добавками в виде кластеров / С.О. Гладков // ФММ. - 2002. - Т. 94. - В. 1. - С. 30-39.

205. Гладков С.О. К вопросу о вычислении модуля Юнга / С.О. Гладков // Инженерно - физический журнал. - 2003. - Т. 76. - В. 5. - С. 144 - 147.

206. Когарко Б.С. Об одной модели кавигирующей жидкости / Б.С. Когарко // ДАН СССР.-1961.-Т. 137.-В. 6.-С. 1331 - 1333.

207. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред / Л.И. Седов // УМН. - 1965. - Т. 20. - В. 5. - С. 5 - 90.

208. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука. - 1966. - 424 с.

209. Лурье А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука. - 1970. - 340 с.

210. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М.: Наука. - 1979. - 320 с.

211. Савельев И.В. Курс общей физики / И. В. Савельев. - Т. 1. - М. Наука. Физматлит. - 1998. - 336 с.

212. Гладков С. О. Сборник задач по теоретической и математической физике / С.О. Гладков. - М.: Физматлит. - 2010 (второе издание). - 456 с.

213. Shang-tarng Chen. Drag Force a String Fastened to a Sphere Moving in Viscous Fluid. / Shang-tarng Chen. // Chin. Phys. Lett. - 1996. - V.13. - P. 682 -686.

214. Pivovarchik V.N. On the Spectra of Small Vibrations of String with Viscous Friction at One End / Pivovarchik V.N. // Functional Analysis and its Applications. -1998.-V. 32.-N1. - P. 61-63.

215. Huberman B.A. Diffusion approach in chaos / B.A. Huberman, J.P. Orutchfield, N.H. Packard // Appl. Phys. Lett. - 1980. - V. 37. - P. 750 - 752.