Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления: на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Засыпко, Вероника Владимировна

• Засыпко, Вероника Владимировна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Засыпко, Вероника Владимировна

Содержание

Введение

Глава 1. О некоторых аналитических и численных методах исследования задач оптимального управления

1.1 Общая постановка задачи оптимального управления и ее исследование

на основе принципа максимума

1.2 Численные методы решения задач оптимального управления

1.3 Аналитическое исследование задачи оптимального управления в одно-секторной экономической модели

Глава 2. Разработка алгоритма численного решения задачи оптимального управления

2.1 Классическая задача оптимального управления с фиксированным интервалом времени и закрепленным левым концом траектории

2.2 Общее описание численного алгоритма

Глава 3. Задача оптимального управления в закрытой динамической модели трехсекторной экономики. Постановка и аналитическое исследование

3.1 Основные характеристики и динамические соотношения, описывающие трехсекторную модель экономики

3.2 Разработка специальной версии динамической модели функционирования трехсекторной экономической системы

3.3 Формальная постановка задачи оптимального управления

3.4 Необходимые условия экстремума в задаче оптимального управления

в форме принципа максимума

3.5 Решение системы сопряженных уравнений для функции управления

без переключений и с одним переключением

3.6 Решение системы сопряженных уравнений для функций управления с произвольным конечным числом точек переключения

3.7 Решение системы уравнений дифференциальной связи для функции управления без переключений и с одним переключением

3.8 Решение системы уравнений дифференциальной связи для функций управления с произвольным конечным числом точек переключения

3.9 Аналитические представления для сопряженных переменных

3.10 Качественный анализ поведения состояний системы для вариантов управления без переключения и с одним переключением

Глава 4. Реализация построенного алгоритма численного исследования задачи оптимального управления инвестициями в трехсекторной

модели экономики

4.1 Описание алгоритма численного решения системы, состоящей из необходимых условий и ограничений в поставленной задаче оптимального управления

4.2 Формальное описание множества рассматриваемых функций управления

4.3 Блок-схема алгоритма численного решения

4.4 Программная реализация алгоритма

4.5 Задание исходных данных. Численные значения основных параметров модели

4.6 Представление результатов работы программного комплекса

Заключение

Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления: на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели»

Введение

Диссертационная работа посвящена проблемам, связанным с численным решением задачи оптимального управления. Под задачей оптимального управления понимается классическая экстремальная проблема на множестве пар функций (х(£),п(£)), £ € [¿0,^1], где х(£) - состояние системы в момент времени ¿, п(£) - управление в указанный момент времени. Целевой показатель представляет собой смешанный интегрально-терминальный функционал. Ограничения состоят из системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы и граничных условий на концах интервала времени [¿о, ¿1 ] и ограничений на допустимые управления. Общая математическая постановка таких задач приведена в начале главы 1, а более частная, с которой непосредственно связано диссертационное исследование - в начале главы 2.

Указанная математическая задача оптимального управления имеет приложения в различных областях техники и экономики. Такие приложения хорошо известны и описаны в научной литературе (см., например, [2],[6],[9],[12],[18]).

Основным математическим результатом используемым для решения такой задачи, является принцип максимума Понтрягина. По своему математическому содержанию этот результат представляет собой систему необходимых условий экстремума в рассматриваемой задаче.

К сожалению, метод, основанный на использовании принципа максимума, крайне редко позволяет получить аналитические решения задач оптимального управления. Непосредственное применение этого метода связано с необходимостью решения нескольких взаимосвязанных систем соотношений (необходимых условий экстремума и ограничений исходной задачи). Получить аналитические решения этой системы чаще всего невозможно. В связи с этим особое значение приобретает проблем разработки новых численно-аналитических и численных методов, позволяющих анализировать упомянутые системы соотношений, находить допустимые экстремали и оптимальные управляемые процессы. Данное исследование посвящено именно этой проблеме.

Содержанием диссертационного исследования является разработка нового метода численного решения системы соотношений, состоящей из необходимых условий и ограничений классической задачи оптимального управления, общая постановка которой приведена в начале главы 2. В целом этот метод позволяет исследовать

некоторый достаточно широкий класс допустимых функций управления и(£) и найти в нем функции управления и соответствующие траектории х(£), £ Е [¿0,^1], которые удовлетворяют указанной системе и представляют собой допустимые экстремали исходной задачи. Общее описание разработанного метода и его применения к исследованию классической задачи оптимального управления приведено в главе 2.

Дальнейшее исследование состоит в применении разработанного метода для решения конкретной задачи оптимального управления, сформулированной на основе так называемой трехсекторной динамической экономической модели.

В главе 3 приведена оригинальная постановка задачи управления и ее частичное исследование при помощи аналитических методов. В главе 4 исследование упомянутой конкретной задачи продолжается при помощи разработанного численного метода и соответствующего численного алгоритма. Приведем более подробное описание исследования конкретной экономико-математической проблемы, проведенного в главах 3 и 4.

Как уже отмечалось, в главе 3 рассматривается задача оптимального управления некоторой динамической экономической системой. Такая экономическая система в теории называется закрытой. По своему содержанию эта система представляет собой национальную экономику или экономическую систему отдельного государства, рассматриваемую без учета внешнеэкономических связей. Для описания такой системы используется динамическая модель трехсекторной экономики, в которой основные отрасли объединены в укрупненные подразделения, называемые секторами. В рамках этой модели сформулирована и исследована математическая проблема оптимального управления с непрерывным временным параметром, рассматриваемая на заданном конечном интервале времени. В поставленной задаче оптимального управления состояниями системы являются величины удельного капитала в каждом из секторов, а параметром управления является величина удельных инвестиций в сектор, производящий средства производства (так называемый фондосоздающий сектор).

Отметим, что в математической проблеме управления экономической системой параметр, характеризующий объем инвестиций, естественно рассматривать как параметр управления. В то же время, в многосекторной экономической модели ключевую роль будут играть инвестиции в сектор, производящий средства производства, поскольку средства производства определяют технологический уровень производства во всех секторах.

Заметим также, что целевой функционал в рассматриваемой задаче оптимального управления имеет смешанный характер. Интегральная часть этого функционала представляет собой интегрированное удельное потребление за данный период времени, а терминальная часть зависит от значений параметров удельного капитала в конечный момент времени, то есть отражает достигнутый уровень технологического развития в каждом из секторов.

Математически поставленная задача относится к классическим задачам оптимального управления на заданном конечном интервале времени со смешанным целевым функционалом, ограничениями в форме дифференциальной связи, закрепленным левым концом траектории и ограничениями на управление.

Теперь отметим некоторые принципиальные аналитические особенности рассматриваемой проблемы оптимального управления. Для решения этой проблемы используется метод, основанный на принципе максимума Понтрягина. В ходе реализации этого метода используется общая система соотношений, состоящая из необходимых условий экстремума и ограничений исходной задачи. Аналитическое исследование указанной системы представляет собой достаточно сложную математическую проблему. Действительно, в соответствии с условием максимума, структура функции, задающей оптимальное управление, зависит от некоторой вспомогательной функции, которая определяется сопряженными переменными. Система дифференциальных уравнений относительно сопряженных переменных (сопряженные уравнения) зависит от функций, выражающих состояния в рассматриваемой задаче оптимального управления, то есть от функций удельного капитала в каждом из секторов. В свою очередь, система дифференциальных уравнений относительно функций состояний или функций удельного капитала ( в теории оптимального управления эта система называется дифференциальной связью) зависит от функции параметра управления.

При помощи условия максимума определяется общая структура оптимальных управлений. Для функций управления, имеющих данную структуру с произвольным конечным числом переключений, находятся аналитические представления для функций состояний и так называемых сопряженных переменных, которые по своему теоретическому содержанию представляют собой множители Лагранжа в исходной экстремальной задаче с ограничениями. На этом возможности аналитического исследования поставленной задачи оптимального управления исчерпываются.

В завершающей четвертой главе диссертации проводится реализация разра-

ботанного в главе 2 метода численного решения задачи оптимального управления в трехсекторной модели экономики. Именно, строится алгоритм и создается его программная реализация, позволяющие численно определить допустимые экстремали в поставленной задаче. При этом используются найденные в главе 3 аналитические представления для функций состояний и сопряженных переменных. В результате создается возможность численно определить те функции управления и соответствующие им функции состояний, которые удовлетворяют общей системе соотношений, состоящей из необходимых условий экстремума и ограничений исходной задачи оптимального управления. Построенный алгоритм реализован в наборе программ. Созданный программный продукт позволяет по заданным исходным параметрам модели численно проанализировать достаточно широкий класс теоретически возможных функций управления и определить управляемые процессы, удовлетворяющие необходимым условиям и ограничениям.

Анализ задачи оптимального управления в трехсекторной динамической экономической модели позволяет продемонстрировать особенности и возможности разработанного метода исследования общей классической задачи оптимального управления. Этот метод можно усугублять и развивать, однако в настоящем виде он позволяет получать существенные результаты для решения соответствующих конкретных задач в различных областях приложений.

Отметим, в главах 3 и 4 используются результаты и тексты работ, опубликованных соискателем [35],[36],[37].

В диссертационной работе принята следующая система нумерации: формулы нумеруются тремя цифрами. Первая цифра обозначает номер главы, вторая - номер раздела, третья - номер формулы или утверждения.

Глава 1. О некоторых аналитических и численных методах исследования задач оптимального управления

1.1 Общая постановка задачи оптимального управления и ее исследование на основе принципа максимума

В пятидесятых годах потребности прикладных дисциплин (техники, экономики и др.) стимулировали постановку и рассмотрение нового класса задач, получивших название задач оптимального управления. Необходимое условие экстремума для задач этого класса -Принцип максимума, - сформулированное Л.С. Понтрягиным в 1956 г, было доказано и развито впоследствии им, его учениками и сотрудниками.

Задача оптимального управления будет рассматриваться в стандартной форме как экстремальная задача на максимум. Необходимые условия оптимальности называются принципом максимума Понтрягина. В данной работе они будут сформулированы в лагранжевой форме.

Приведем формулировку принципа максимума для весьма общей постановки задачи оптимального управления, следуя [2],[3],[13].

В отличии от задачи Лагранжа в задаче оптимального управления вводится управление и появляется дополнительное ограничение типа включения на управление: u Е U. Множество U определяет возможности человека влиять на происходящий процесс.

Принцип максимума Понтрягина. Постановка задачи.

Задачей оптимального управления (в понтрягинской форме) будем называть следующую задачу

Bo(£) min; Biß) < 0,i = 1,...,m',

Biß) = 0, i = m + l,..., m, (1.1.1)

X(t) - p(t,x(t),u(t)) = 0 Vt Е T, (1.1.2)

u(t) Е U Vt Е А (1.1.3)

где С = (x(-),u(-),t0,ti), x Е PCЧА, Rn), u Е PC(А, Rr), t0,ti Е А, t0 < tb А -заданный конечный отрезок, U С Rr - произвольное множество, T С А - множество

точек непрерывности управления u,

Вг(£) = Í fi(t,x(t),u(t))dt + li(to,x(to),ti,x(ti)), г = 0,1, ...,m.

Jto

Вектор-функция x = (xi,..., xn) называется фазовой переменной, вектор функция и = (ui,...,ur) называется управлением. Ограничение (1.1.2), являющееся дифференциальным уравнением, называется дифференциальным ограничением или дифференциальной связью. Оно должно выполняться во всех точках непрерывности управления и. В отличии от задачи Лагранжа имеется ограничение (1.1.3) типа включения, которое должно выполняться во всех точках t Е А, а фазовая переменная x = (xi,..., xn) может иметь меньшую гладкость. Частным случаем задачи оптимального управления (1.1.1) является задача, в которой один из концов или даже оба закреплены.

Элемент £, для которого выполнены указанные условия и ограничения задачи, называется допустимым управляемым процессом.

Допустимый управляемый процесс £ = (x(^),U(^),to,ti) называется (локально) оптимальным, если существует 5 > 0 такое, что B0(£) > B0(£) для любого допустимого управляемого процесса £ = (x(^),u(^),t0,ti), для которого ||x(• ) — x(-)||c(A) < 5, |to — to| < 5, |ti — ti | < 5.

Формулировка теоремы.

Теорема. Пусть £ = (x(^),u(^), t0, ti) - оптимальный процесс (в сильном смысле) процесс в задаче оптимального управления (1.1.1); функции fi, i = 0,1, ...,m, ф и их частные производные по x непрерывны в некоторой окрестности множества {(t0,x(t0),ti,x(ti)} (условие гладкости).

Тогда найдутся множители Лагранжа (A,p) Е Rm+1 x PCi(A, Rn), А = 0,

такие, что для функции Лагранжа

ftl

A(x(^),u(^),t0,ti) = (f (t,x,u) + p(t)(x — p(t,x,u)))dt + l(t0,x(t0),ti,x(ti )),

Jt 0

где

m m

f (t,x,u) = ^2 Aifi(t,x,u), l = ^2 Aili(t0,x(t0),ti,x(ti)) i=0 i=0 - терминант, выполнены условия:

а) стационарность по x - уравнение Эйлера для лагранжиана L(t,x,x,uu) — f (t, x, u) + p(x — p(t, x, u)) d

— JtL±(t) + Lx(t) = 0 yt Е T & —p(t) + f x(t) — p(t)0x(t) = 0;

b) трансверсальность по x

Lx (lo) = l x(to) ^ p(lo) = l x(to), L± (ll) = —1x(ti) ^ p(ll) = — lx(ti);

c) оптимальность по u

minL(t,X(t),xx(t),u(t)) ^

uEU

^ min{f(t,X(t),u) — p(t)p(t,X(t),u)} = / (t) — p(t)£(t) Vt Е T;

uEU

d) стационарность по подвижным концам (выписывается только для подвижных концов отрезка интегрирования)

Ato = 0 ^ — /(io) + lto + lx(to);X(io) = о,

Ati = 0 ^ / (ii) + iti + ix(ii);X(lli) = 0;

e) дополняющая нежесткость

AiBi(0 = 0, i =1,...,m';

f) неотрицательность

Ai > 0, i = 1,..., m'.

Утверждение теоремы находится в полном соответствии с принципом Лагран-жа. Функция Лагранжа Л = A(x(-),u(-), to, t1) является функцией трех аргументов: фазовой переменной x(-), управления u(-), концов отрезка интегрирования to,t1. Согласно общему принципу Лагранжа, надо рассмотреть задачи о минимуме функции Лагранжа, в которых фиксированы все аргументы, кроме одного, и выписать необходимые условия минимума функции Лагранжа:

A(x(-),u(-),io,i1) ^ min; (1.1.4)

A(X(-),u(-),io,i1) ^ min; (1.1.5)

A(X(-),u(-),to,ti) ^ min. (1.1.6)

Задача (1.1.4) является задачей Больца, необходимые условия экстремума в которой - уравнение Эйлера и условия трансверсальности. Задача (1.1.5) является элементарной задачей оптимального управления. Минимум интеграла достигается, если подынтегральная функция достигает своего минимума по выбору возможных

управлений - это и есть условие оптимальности по управлению. Задача (1.1.6) является задачей нахождения минимума функции двух переменных, необходимые условия в которой - теорема Ферма - равенство нулю в точке минимума частных производных по ¿0 и ¿1.

Проиллюстрируем применение принципа максимума на примере конкретной задачи оптимального управления [13].

Пример.

В(ж(-)) = [ (ж2 + х)^ ^ ех£г; |х|< 1, х(0) = 0. о

Приведем задачу к виду задач оптимального управления, введя управление / (и2 + ^ ех£г; х = и, и Е [— 1; 1], х(0) = 0.

u:

J0

Функция Лагранжа:

Л = f (A0(u2 + x) + p(x - u))dt + Aix(ü). Jo

Необходимые условия:

a) уравнение Эйлера для Лагранжиана L = A0(u2 + x) + p(x — u)

d

— —L± + Lx = ü ^ — p + Ao = ü; dt

b) трансверсальность по x для терминанта l = A1x(ü)

Lx(ü) = lx(0), Lxx(4) = —lx(4) ^ p(ü) = Ai, p(4) = ü;

c) оптимальность по u

min {A0u2 — pu} = A0U2 — pU;

u€[-1;1]

d) неотрицательность

A0 > ü в задаче на минимум, A0 < ü в задаче на максимум.

Если A0 = ü, то из a) p = ü и из b) p = A1 = ü - все множители Лагранжа оказались нулями.

В задаче на минимум положим A0 = 1. Тогда из a) p = 1 и из b) p = t — 4. Из условия c) следует, что

sign p, 121 > 1, | —1, ü < t < 2,

u = < ^ x =

2, Hl < 1, I 2 — 2, 2 < t < 4.

Интегрируя, получаем

-г + Съ 0 < г< 2,

х

4 - 2г + с2, 2 < г < 4.

Из начального условия х(0) = 0 выводим, что С = 0, а из условия непрерывности в точке г = 2 имеем -2 = 1 - 4 + С2 ^ С2 = 1. Таким образом,

х

-г, 0 < г< 2,

\ - 2г + 1, 2 < г < 4.

Докажем с помощью непосредственной проверки, что функция X доставляет абсолютный минимум в задаче. Возьмем функцию к Е РС^р, 4]) такую, чтобы X + к была допустимой в задаче. Для этого надо взять функцию к, для которой |Х + к| < 1, к(0) = 0. Имеем

г-4 ¡-4

2

2

В(X + к) - В(Х)= ((Х + к)2 + X + к)йг - (X + X)йг =

ио ио

п 4 п 4 п 4 п 4 п 4

= 2 Xмг + мг + к2м > 2 Xйк + мг.

ио ио ио ио ио

Интегрируя по частям в первом интеграле с учетом условий к(0) = 0, X(4) 0, получим

В (X + к) - В (X) > 2X0к

4 М г 4

+ (-2£ + 1)Мг = \ (-2£+1)Мг

о ио ¿о

Подставляя в последний интеграл найденную функцию X и разбивая отрезок интегрирования на два, имеем

г-2 г-4 п 2

В(X + к) - В(X) > (-2£ + 1)Мг + (-2£ + 1)Мг = \ кйг > 0,

о 2 о

к(г) > 0 при г Е [0; 2], так как к(0) = 0, и к > 0 при г Е [0; 2] (функция к возрастает на отрезке г Е [0; 2] и, следовательно, неотрицательна). Итак, X Е аЪзтги.

4

I (X + x)dг = / оо

24

(1 - г)йг + /

г - 2

2-

5Шт — В(Х)

= (г -1)"+[ (I- 4+0л=2 -2+(?- 2(2+Ы)

2 Г \

+ — - 2г + ^ йг

-41

3

4

В задаче на максимум положим Ао = — 1. Тогда из a) p = —1 и из b) p = 4 — t. Из условия c)

min {—u2 — puj = — u2 — pu ue[-1;1]

следует, что

u = X = sign p = sign(4 — t) = 1, 0 < t < 4.

Интегрируя, получаем X = t + C. Из начального условия x(0) = 0 вытекает, что C = 0. Таким образом, X = t.

Докажем с помощью непосредственной проверки, что функция X доставляет абсолютный максимум в задаче. Возьмем функцию h Е PC 1([0, 4]) такую, чтобы X+ h была допустимой в задаче. Для этого надо взять функцию h, для которой

|X + h |< 1 (^|1 + h |< 1 ^—2 < h < 0), h(0) = 0.

Как при проверке экстремали на минимум имеем

п 4 п 4 п 4 п 4 п 4

B(X + h) — B(X ) = 2 / Xhdt + / h2dt + / hdt = (2 + h)hdt + / hdt.

Jo Jo Jo Jo Jo

Оба интеграла неположительны, поскольку в первом интеграле h < 0, а 2 + h > 0, а во втором интеграле h < 0, так как h(0) = 0 и h < 0 (т.е. функция h убывает). Следовательно,

B(X + h) — B(X) < 0,

т.е. X = t Е absmaX;

^ ,2 _ С4....... Л . ^

2

Smax = B (XO)= / (X2 + X)dt = (1+ t)dt = (t + -)

4

= 4 + 8 = 12.

o

oo

То, что X = t Е absmaX можно было бы получить и без непосредственной проверки из условия самой задачи. Разобьем исходный функционал на два интеграла. Максимум /o X2dt при |X| < 1 достигается на |X| = 1, а максимум Jo4 Xdt при |X| < 1, x(0) = 0, достигается при наибольшем возрастании функции X, т.е. при X = 1 (^ X = t). Ответ:

—t, 0 < t < 2, 2

Е absmin, Smin = — 4-; t Е absmaX, Smax = 12.

3

\ — 2t +1, 2 < t < 4

1.2 Численные методы решения задач оптимального управления

В теории оптимального управления существует специальное направление, связанное с использованием численных методов. Обзор имеющихся в этой области результатов требует отдельного изложения и не входит в рамки данной работы. Систематическое и достаточно полное изложение результатов исследований в этом направлении приведено в монографиях [30], [34]. Приведем здесь результаты только данной работы [11], дающее представление об уровне современных исследований в данной области. Указанная работа посвящена поиску оптимальных управлений и траекторий в модели управления региональной экономикой. Теоретическую основу решения задачи управления составляет принцип максимума.

Рассмотрим множество функций потребления региональной макроэкономики 'ш(г), удовлетворяющих неравенству

пгВ^г)) < т(г) < ъВ^г)) Уг е [0,т]. (1.2.1)

Где

В^(г)) = Ъ(1 - е-х) + (1 - Ъ^(1 - е-1) (1.2.2)

есть производственная В-функция, x(г) = Вд^щь) - фазовая переменная, 0 < Ъ < 1, В > 0 - постоянные В-функции, 0 < п\ < п2 - постоянные, 0 < Т < то - конечный горизонт планирования.

Введем функцию управления

и(г) = т(г)/В ^(г)), (1.2.3)

где функция В(X) строго вогнутая на полупрямой [0; то), имеет асимптотическое поведение В (X) ^ 1, X ^ то.

Начальное и конечное состояния фазовой переменной x(г) удовлетворяет неравенству 0 < XI < x2 < то. Для любого г Е [0,Т] имеем В^(г)) > 0. Обозначим через Ни множество значений и функции управления и(г) при 0 < г < Т; Ни - множество вещественных чисел отрезка [п\, п2]. Учитывая (1.2.1), (1.2.3), введем множество функций допустимых управлений

и = {и(г) Е С[0, Т]: Ни = Я}. (1.2.4)

При использовании управления и(г) уравнение для фазовой переменной x(г) имеет вид

dx

— = аоВ(X) - XX - рВ(X)и, (1.2.5)

где X(t) Е C 1[0,T]; ao, A,p - положительные постоянные.

Математическая постановка задачи оптимального управления имеет вид

max [ Ba(x(t))ua(t)dt, (1.2.6)

u(t)euJo

— = aoB(X) — Ax — pB (x)u, x(0) = x1, x(T) = x2. Заметим, что момент времени T заранее не задан.

Обозначим через "(t) сопряженную переменную к фазовой переменной x(t). Функция Гамильтона задачи (1.2.6) имеет вид

H (x,",u) = Ba(x)ua + "[aoB(x) — Ax — pB (x)u], (1.2.7)

а гамильтонова система уравнений - вид

^ = aoB(x) — Ax — pB (x)u, at

^ = —"[aoB '(x) — A] + ["pu — aBa-1(x)ua]B'(x), (1.2.8)

at

x(0) = x1, x(T) = x2.

где "(t) Е C 1[0,T].

Решение задачи (1.2.6) получим на основе принципа максимума Понтрягина, основным содержанием которого является следующий факт. Если u*(t) - оптимальное управление задачи (1.2.6), а x*(t), "*(t) - соответствующие ему оптимальные траектории системы (1.2.8), то функция Гамильтона (7) удовлетворяет равенству

H (x*(t),"*(t),u* (t)) = sup H (x*(t),"*(t),u). (1.2.9)

uER

Соотношение (1.2.9) представляет собой условие максимума. Исследуем функцию Гамильтона (1.2.7). Рассмотрим на положительном ор-танте R+ (ф, x) плоскости сопряженной и фазовой переменных область

x) x • "min < ф < Фтах,> xmin < x < xmai}-

Здесь отрезок [xmin,xmax] содержит все возможные реальные начальные и конечные состояния x1,x2 рассматриваемой задачи, а отрезок [фтт,фтах] - все значения переменной "(t) краевой задачи (1.2.8) при допустимых управлениях u(t) Е U. Отрезок [xmin,xmax] содержит все значения фазовой переменной x(t), определяемые краевой задачей (8) при u(t) Е U.

Рис. 1: Область ^(ф^).

ф

а 1

1

ри*1-а В1-а (X)

1.2.10)

Рассмотрим функции

^^ = -^а^л, ф2(х) = С1

В1-а(X)' а

С. =

Р(пг)

1а

В1-а(X)' , г =1, 2,

1.2.11)

на отрезке [xmin,xmax]. На рис.1 показана область ^(ф^) и расположенные на ней графики функции ф^),'^).

Из условия максимума (1.2.9) и структура рассматриваемых областей ф, ф]_, ф2 следует, что максимум функции Гамильтона Н(X, ф, и) имеет место при любых фиксированных (ф^) Е П досигается на управлениях

П2, (ф^) Е ф1,

и

< вЩпф, (ф^) Е ф, (1.2.12)

П1, (ф^) Е ф2.

Обозначим через и* (г), X* (г), ф* (г) траекторию оптимального управления задачи (1.2.6) и соответствующие ему оптимальные траектории фазовой и сопряженной переменной. Траектории X*(г), ф*(г) определяются краевой задачей

йт*

^ = аоВь*(г)) - Xx*(г) -рВ^(г^и), йг

йф* ~Ж

-ф*[аоВ'(X*(г)) - X] + [рф*(г)и*(г) - аВ0-1^*^*0(г^В'^*^)), (1.2.13

х*(0) = XI, х*(Т) = х2.

Соотношения (1.2.13) представляют собой систему, состоящую из необходимых условий и ограничений исходной задачи.

Из соотношения (1.2.12) для оптимальных траекторий м*(£), х*(£), ф*(£) следует, что

/

П2, Ф* (*) < ^1(Х*(^)), ^ Н ВСХ^С*)) Ф* 1-1"№, Ф1(х*(*)) < Ф*(*) < Ф2(х*(*)), (1.2.14)

П1, Ф* (*) > Ф2 (х* (¿)).

Таким образом, на основании принципа максимума Понтрягина (1.2.9) авторами работы [11] доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть м*(£) € ¿7 - оптимальное управление задачи (1.2.6), а х*(£), Ф*(£) - соответствующие ему решения гамильтоновой системы (1.2.13). Тогда между оптимальным управлением м*(£) и соответствующими ему оптимальными траекториями фазовой и сопряженных переменных х*(£), ф*(£) имеет место зависимость (1.2.14).

В оставшейся части статьи предложен численный алгоритм решения краевой задачи (1.2.13) с учетом структуры оптимальных управлений (1.2.14). Для подтверждения работоспособности алгоритма приведены результаты численных расчетов оптимального управления и соответствующих ему оптимальных траекторий.

Заметим дополнительно, что возможности использования методов оптимизации и оптимального управления для решения задачи управления сложной нестационарной экономической системой (на примере экономики Российской Федерации в переходный период) были реализованы в монографии В.Н.Лившица [28].

1.3 Аналитическое исследование задачи оптимального управления в односекторной экономической модели

Поскольку метод исследования задачи оптимального управления реализован в данной работе на примере задачи управления в динамической экономической модели, приведем здесь общую схему исследования классической односекторной экономической модели. Задача оптимального управления в этой модели была поставлена и решена в работе [43]. Решение этой классической задачи математической экономики

в различной форме излагалась во многих изданиях ([46],[50],[51]). В данной работе будем исследовать в основном монографию С.А.Ашманова [6]. Отметим также, что целый ряд специальных проблем, связанных с этой классической задачей оптимального управления, исследовался в работах Ю.И.Параева ([32],[33]).

Будем использовать стандартные обозначения для основных характеристик в исходной динамической модели:

К (г) - объем основных производственных фондов (капитал);

С(г) - объем фонда потребления;

Ь(г) - объем трудовых ресурсов (рабочая сила);

Г(К,Ь) - производственная функция (объем произведенного продукта);

Обозначим также

к(г) = - удельный объем производственных фондов (удельный капитал);

с(г) = Т(~) - удельное потребление;

f (к) = Р= Г(К, 1) - удельное производство на единицу рабочей силы (производительность труда).

Будем обозначать через в(г) долю произведенного продукта направленную на инвестирование и считать эту переменную величину функцией управления в рассматриваемой задаче.

Постановка классической задачи оптимального управления в односекторной динамической модели имеет вид

Г (1 - s(г))f (к(г))е-нйг (1.3.1)

о

при ограничениях

к(г) = s(г)f (к(г)) - ^к(г), (1.3.2)

к(0) = ко > 0, к(Т) > кт > 0, (1.3.3)

0 < s(г) < 1. (1.3.4)

Решение этой задачи проводится на основе принципа максимума Понтрягина. Обозначим через <р(г) сопряженную переменную в поставленной задаче управления. Гамильтониан этой задачи имеет вид

Н(V, к, г, s) = (1 - s)e-stf (к) + рМ(к) - »к).

Если уравнение s(г) оптимально, то согласно принципу максимума сопряженная переменная р(г) удовлетворяет дифференциальному уравнению

йН

Ф= -^ = -(1 - s)e-ëtf(k) - фГ(к) - »к), (1.3.5)

Соотношение (1.3.5) называется сопряженным уравнением. Кроме него, в систему необходимых условий входит соотношение

р(Т)(к(Т) - кт) = 0, (1.3.6)

которое представляет собой условие дополняющей нежесткости, соответствующее ограничению в форме неравенства для функции к(£) в точке £ = Т (см. соотношение (1.3.3)).

Условие максимума гамильтониана Н по в совместно с дифференциальным уравнением (1.3.5) и соотношением (1.3.6) представляет собой систему необходимых условий экстремума в рассматриваемой задаче (1.3.1)-(1.3.4).

Введем новую переменную q = б-Л. Из условия максимума гамильтониана Н следует, что структура оптимального управления в рассматриваемой задаче имеет следующий вид

/

1 если д > 1, вС0 ={ 0, если д< 1, (1.3.7)

в(£), если д = 1,

где в(£) - некоторая функция, 0 < 3(£) < 1, которая определяет так называемое особое управление. Уравнение (1.3.5) при переходе к новой переменной д принимает вид

т = (5 + - [(1 - в) + вд]/'(к). (1.3.8)

Таким образом, из принципа максимума следует, что оптимальное управление в исходной задаче (1.3.1)-(1.3.4) имеет вид (1.3.7) и при этом выполняются следующие соотношения, которые образуются из необходимых условий и ограничений исходной задачи

к(£) = в/(к) - ^к, д(£) = (5 + ^ - (1 - в + вд)/'(к) (1.3.9)

к(0) = ко, к(Т) > кт,

д(£)[к(Т) - кт] = 0

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Засыпко, Вероника Владимировна, 2018 год

Библиография

[1] Александров В.В. Оптимизация динамики управляемых систем / В.В. Александров, В.Г.Болтянский, С.С. Лемак, Н.А. Парусников, В.М. Тихомиров. - M: МГУ, 2000. - 302 с.

[2] Алексеев В.М. Оптимальное управление / В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. - М: Физматлит, 2007. - 408 с.

[3] Арутюнов А.А. Принцип максимума Понтрягина / А.А. Арутюнов, Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров. - М: Факториал, 2006. - 144 с.

[4] Асеев С.М. Задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени в экономике / С.М. Асеев, К.О. Бесов, А.В. Кряжимский // Успехи математических наук. - 2012. - Том 67, вып. 2 (404). - С. 3-64.

[5] Асеев С.М. Принципа максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста / С.М. Асеев, А.В. Кряжимский // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. - 2007. - Том 257. - С. 3-271.

[6] Ашманов С.А. Введение в математическую экономику / С.А. Ашманов. -М.: Наука, 1984. - 293 с.

[7] Ашманов С.А. Качественная теория многосекторных моделей экономической динамики: докторская диссертация физ.-мат. науки. - Москва, 1983. - 241 с.

[8] Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике / С.А. Ашманов. - М.: Изд-во Московского университета, 1980. - 199 с.

[9] В.З.Беленький Оптимизационные модели экономической динамики / Беленький В.З. - М: Наука, 2007. - 258 с.

[10] Беленький В.З. Теорема о стационарном решении обобщенной модели Рамсея-Касса-Купманса // Анализ и моделирование экономических процессов. - М.: ЦЭМИ РАН, 2004. - Вып. 1.

[11] Булгаков В.К. Об оптимальном управлении и оптимальных траекториях динамики региональной макроэкономики на основе принципа максимума Понтря-гина / В.К. Булгаков, В.В. Стринунов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2009. - №5(49). С. 776-790.

[12] Ванько В.И. Вариационное исчисление и оптимальное управление / В.И. Ванько, О.В. Ермошина, Г. Н. Кувыркин. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 488 с.

[13] Галеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры задачи / Э.М.Галеев , В.М.Тихомиров.

- М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 320 с.

[14] Ефросинин Д. В. Численное исследование оптимального управления системой с неоднородными приборами / Д. В. Ефросинин, В. В. Рыков // Автоматика и телемеханика. - 2003. - No 2. С.143-151.

[15] Зайцев В.Ф. Справочник. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. - М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

[16] Иванилов Ю.П. Математические модели в экономике / Ю.П. Иванилов, А.В. Лотов. - М.: Наука, 1979. - 304 с.

[17] Иглин С.П. Математические расчеты на базе Matlab / С.П. Иглин. - М.: BHV-Санкт-Петербург, 2005. - 640 с.

[18] Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / М. Интриллигатор. - М.: Айрис-Пресс, 2002. -553 с.

[19] Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач /А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров.

- М: Наука, 1974. - 481 с.

[20] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - М.: Наука, 1971. - 576с.

[21] Колемаев В.А. Математическая экономика / В.А. Колемаев. - М: Юнити-Дана, 2002. - 399 с.

[22] Колемаев В. А. Моделирование макроэкономических процессов и систем / В.А. Колемаев. - М.: Юнити, 2005. - 295 с.

[23] Колемаев В.А. Оптимальный сбалансированный рост открытой трехсек-торной экономики // Прикладная эконометрика. - 2008. - No. 3. С. 14-42.

[24] Колемаев В. А. Трехсекторная модель экономики / В.А. Колемаев // Сб. науч. тр. Международной академии информатизации. М.: Копия-Принт. - 1997.

[25] Кротов В.Ф. Итерационный метод решения задач оптимального управления / В.Ф. Кротов , И.Н. Фельдман // Изд. АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. - 1983. - Вып. 2. - С. 160-168.

[26] Кротов В.Ф. Основы теории оптимального управления / В.Ф.Кротов, Б.А.Лагоша, С.М. Лобанов. - М.: Высшая школа, 1990. - 430 с.

[27] Лившиц В.Н. Макроэкономические теории, реальные инвестиции и государственная российская экономическая политика / В.Н. Лившиц, С.В. Лившиц. -М.: URSS, 2008. - 245с.

[28] Лившиц В.Н. Системный анализ нестационарной экономики России (1992-

2009):рыночные реформы, кризис, инвестиционная политика / В.Н. Лившиц, С.В. Лившиц. - М.: Поли Принт Сервис, 2010. - 444с.

[29] Матвеенко В.Д. Структура оптимальных траекторий в моделях экономической динамики: Докт. дис. - М: ЦЭМИ РАН, 2004. - 261 с.

[30] Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем / Н.Н.Моисеев. -М.:Наука, 1975. - 528 с.

[31] Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.

B. Немыцкий, В. В. Степанов. - 3-е изд., испр . - М. : Эдиториал УРСС, 2004 . - 552 с.

[32] Параев Ю.И. Решение терминальной задачи оптимального управления односекторной экономики / Ю.И. Параев , Т.И. Грекова , А.В. Рощин // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2012. - №2(19). - С. 14-19.

[33] Параев Ю.И. Аналитическое решение терминальной задачи оптимального управления односекторной экономикой на конечном интервале времени / Ю.И. Параев , Т.И. Грекова , Е.Ю. Данилюк // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - №4(17). -

C. 5-15.

[34] Цисарь И.Ф. Компьютерное моделирование экономики / И.Ф. Цисарь , В.Г. Нейман. - М.: Диалог-МИФИ, 2008. - 384 с.

[35] Шнурков П. В. Аналитическое исследование задачи оптимального управления инвестициями в закрытой динамической модели трехсекторной экономики / П.В. Шнурков, В.В. Засыпко // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2014. - No. 4. С. 101-120.

[36] Шнурков П. В. Оптимальное управление инвестициями в закрытой динамической модели трехсекторной экономики: математическая постановка задачи и общий анализ на основе принципа максимума / П.В. Шнурков, В.В. Засыпко // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2014. - No. 2. С. 101-115.

[37] Шнурков П. В. Разработка алгоритма численного решения задачи оптимального управления инвестициями в закрытой динамической модели трехсекторной экономики / П. В. Шнурков , В. В. Засыпко, В. В. Белоусов, А. К. Горшенин // Информатика и ее применения. - 2016. - 10:1. С. 82 - 95.

[38] A. Arrow Handbook of Mathematical Economics / A. Arrow, M. D. Intriligator, W. Hildenbrand, H. Sonnenschein. - North Holland, 1987. -P. 693.

[39] Barro RJ Economic Growth / Barro RJ. , Sala-i-Martin // MIT Press. -2004.-2d Edition. P. 142.

[40] Chichilnisky G. Existence and characterization of optimal growth paths including models with non-convexities in utilities and technologies // Review of Economic Studies.

- 1981. -48. P. 51-61.

[41] Echevarria C. Changes in Sectoral Composition Associated with Economic Growth // International Economic Review. - 1997. -38 (2). P. 431-452.

[42] Kongsamut P. Beyond Balanced Growth / Kongsamut P., S. Rebelo, D. Xie // Review of Economic Studies. - 2001. - 68. P. 869-882.

[43] Koopmans T.C. On the concept of optimal economic growth // Ex Aedibus Academicis in Civitate Vaticana, 1965. - 28. P. 225-300.

[44] Kozyrev D. Mobility-Centric Analysis of Communication Offloading for Heterogeneous Internet of Thinks Devices / D. Kozyrev, A. Ometov, D. Moltchanov, V. Rykov, D. Efrosinin, // Hindavi. Wireless Communications and Mobile Computing. - 2018. - Vol.

2018. P. 1-11.

[45] Lee D. Intersectoral Labor Mobility and the Growth of the Service Sector / Lee D., Wolpin K.I // Econometrica. - 2006. - No 74 (1). P.1-46.

[46] Leonard D. Optimal control theory and static optimization in economics / Leonard D., Long N. Cambrige Univ. Press, 1992. P. 314.

[47] Mehlum H. A Closed Form Ramsey Saddle Path // Contributions to Macroeconomics.

- 2005. - Vol. 5, issue 1. P. 1-15.

[48] Ngai L. R. Structural Change in a Multi-Sector Model of Growth / Ngai, L. R., C. A. Pissarides // Structural Discussion Paper. Centre for Economic Policy Research

- 2004. - No. 4763. P. 1-25.

[49] Ramsey F. A Mathematical Theory of the Saving // Economic Newspaper. -1928. -38 (152). P. 543-559.

[50] Sethi S.P. Optimal control theory: applications to management science and economics / Sethi S.P., Thompson G.L. // Second edition, Springer. - 2000. P. 417-481.

[51] Turnovsky Stephen J. Metods of macroeconomic dynamics // The MIT Press, Cambridge, Massachusetts - 1996. - Second printing. P. 1-20.