Разработка методики анализа регулярной и хаотической динамики космических аппаратов как тел переменного состава тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.09, кандидат наук Крикунов, Михаил Михайлович

• Крикунов, Михаил Михайлович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Крикунов, Михаил Михайлович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ И МЕТОДЫ

ЕЁ РЕШЕНИЯ

1.1 Формализм Гамильтона

1.2 Общий вид канонических уравнений

1.3 Канонические уравнения в переменных Андуайе-Депри

1.4 Уравнения движения

1.4.1 Линейное изменение моментов инерции

1.4.2 Полиномиальное изменение моментов инерции

1.4.3 Изменение моментов инерции по гармоническому закону

1.5 Метод Мельникова

1.6 Метод Пуанкаре построения фазовых сечений

1.7 Выводы по главе 1

2 АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ

2.1 Постановка задачи и математическая модель

2.2 Космический аппарат с ракетным двигателем твёрдого топлива

2.2.1 Заряд цилиндрической формы

2.2.2 Заряды конической и сферической формы

2.3 Космический аппарат с жидкостным ракетным двигателем

2.3.1 Системы координат и моменты инерции

2.3.2 Способ вытеснения «наружу»

2.3.3 Способ вытеснения «вниз»

2.4 Методика анализа регулярной динамики космического аппарата переменного состава

2.5 Выводы по главе 2

3 АНАЛИЗ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

3.1 Система уравнений возмущённого движения

3.1.1 Изменение одного момента инерции

3.1.2 Синхронное изменение трёх моментов инерции

йу

3.2 Метод Пуанкаре-Мельникова для космического аппарата постоянной массы с упругими свойствами конструкции

3.2.1 Построение и анализ функции Мельникова

3.2.2 Построение и анализ сечений Пуанкаре

3.3 Метод Пуанкаре-Мельникова для космического аппарата переменной массы с упругими свойствами конструкции

3.4 Методика анализа хаотической динамики космического аппарата переменного состава

3.5 Выводы по главе 3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методики анализа регулярной и хаотической динамики космических аппаратов как тел переменного состава»

ВВЕДЕНИЕ

При создании новых изделий космической техники необходимо решать задачи, связанные с обеспечением требуемой ориентации космических аппаратов (КА) на различных этапах полёта.

Одной из задач является выявление таких возможных режимов возмущённого движения относительно центра масс, которые могут привести к недопустимому отклонению осей К А от требуемого положения.

Требование сокращения времени на выявление и анализ характеристик таких режимов пространственного движения на ранних этапах проектирования КА делает актуальным получение соответствующих аналитических и полу аналитических решений.

Получение аналитических решений с помощью известных методов математики и механики предполагает наличие достаточно простой математической модели движения КА относительно центра масс.

Хорошо изученным является движение относительно центра масс для наиболее простой модели КА как абсолютно твёрдого тела. Однако на отдельных участках полёта космические аппараты представляют собой тела переменного состава, и поэтому использование в таких случаях модели абсолютно твёрдого тела может привести к результатам, существенно отличающимся от реального пространственного движения КА.

Под телом переменного состава в общем случае понимается такое тело, масса и форма которого с течением времени могут изменяться.

Сложность строгого описания пространственного движения КА как тела переменного состава с упругими свойствами ограничивает возможности получения аналитических решений известными методами, и поэтому в диссертации ищется компромисс между сложностью и точностью получения решений.

Аналитические и полуаналитические решения хотя и не имеют универсального характера, но могут быть полезными, если условия, для которых они получены, применимы на определённом этапе изучения пространственного движения КА как тела переменного состава.

В диссертации предлагается рассматривать КА как твёрдое тело с известными изменяющимися инерционно-массовыми характеристиками.

Для неупругих КА предлагаемая модель соответствует регулярной динамике и позволяет проанализировать возмущённое движение, вызванное отклонениями начальных условий.

Для упругих КА при представлении в модели моментов инерции периодической функцией времени могут возникать хаотические режимы, что соответствует хаотической динамике, при которой конечное пространственное положение К А в некоторых случаях может быть непредсказуемым.

Степень разработанности. Анализ пространственного движения летательных аппаратов - изделий ракетно-космической техники является предметом многочисленных исследований.

Результаты многих из них нашли своё отражение в монографиях и учебниках отечественных авторов, например, К.С. Колесникова [12], A.A. Дмитриевского, JI.H. Лысенко [8], В.А. Ярошевского [30], Г.Л. Дегтярева, Т.К. Сиразетдинова [7], B.C. Асланова [3], Б.А. Титова [26] и в монографиях зарубежных авторов, например, А.Е. Bryson [37], A. Gray [44], P.C. Hughes [48], M.J. Sidi [58], W.E. Wiesel [60].

Близкие к тематике диссертации результаты получены, например, в статьях В.С.Асланова и др. [2], [32]- [36], A.B. Дорошина [41]- [43], C.D. Hall [45], [46], М. Iñarrea, V. Lanchares [49]- [51], [53].

Однако имеющиеся известные результаты не используются непосредственно при анализе регулярной и хаотической динамики космического аппарата как тела переменного состава для выше сформулированных условий.

Объектом исследования является угловое движение космического аппарата как твёрдого тела переменного состава.

Предметом исследования является регулярная и хаотическая динамика космического аппарата.

Цель работы состоит в сокращении затрат времени на анализ регулярной и хаотической динамики космического аппарата как тела переменного состава за

счёт развития подходов к исследованию моделей пространственного движения и использования аналитических и полу аналитических решений.

Для достижения сформулированной цели в работе решаются следующие основные задачи:

¡.Построение на основе формализма Гамильтона математической модели движения, описывающей регулярную динамику космического аппарата как тела переменного состава.

2. Построение математической модели движения для описания хаотической динамики космического аппарата как тела переменного состава.

3. Получение аналитического условия, позволяющего определить поведение годографа вектора тяги двигателя космического аппарата переменного состава.

4. Построение явного вида функции Мельникова для обнаружения возможных хаотических режимов движения космического аппарата с упругими свойствами конструкции.

5. Разработка методики анализа регулярной динамики космического аппарата переменного состава, основанной на использовании условия, определяющего поведение годографа вектора тяги двигателя.

6. Разработка методики анализа хаотической динамики космического аппарата переменного состава, основанной на использовании функции Мельникова и сечений Пуанкаре.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые получены следующие результаты:

1. Уравнения углового движения относительно центра масс тела переменного состава в векторной форме в виде, который позволяет записать уравнения движения в канонических переменных.

2. Уравнения движения тела переменного состава в переменных Андуайе-Депри в общем виде и при изменении моментов инерции по гармоническому закону.

3. Уравнения движения космического аппарата постоянной массы с трёхосным эллипсоидом инерции и упругими свойствами конструкции в переменных Андуайе-Депри.

4. Аналитическое условие, определяющее поведение годографа вектора тяги двигателя при прецессионном движении динамически симметричного космического аппарата.

5. Явный вид функции Мельникова для космического аппарата постоянной массы с трёхосным эллипсоидом инерции и упругими свойствами конструкции.

Теоретическая значимость.

1. Получены в векторной форме уравнения движения тела переменного состава, которые позволяют записать уравнения движения в канонических переменных и используются для получения уравнений движения в переменных Андуайе-Депри.

2. Получены уравнения движения тела переменного состава в переменных Андуайе-Депри в обобщённом виде и при изменении одного и трёх моментов инерции по гармоническому закону, которые используются для получения уравнений движения космического аппарата.

3. Получены уравнения движения космического аппарата постоянной массы с трёхосным эллипсоидом инерции с учётом упругих свойств конструкции, которые моделируются изменением одного и трёх моментов инерции и используются для построения в явном виде функции Мельникова и построения сечений Пуанкаре.

4. Для динамически симметричного космического аппарата переменной массы получено аналитическое условие, определяющее поведение годографа вектора тяги двигателя.

5. На основании полученной модели движения в переменных Андуайе-Депри построены в явном виде функции Мельникова для космического аппарата постоянной массы с трёхосным эллипсоидом инерции и упругими свойствами конструкции, которые моделируются изменением одного и трёх моментов инерции.

Практическая значимость. 1. Разработанная методика анализа регулярной динамики динамически симметричного космического аппарата позволяет для известных зависимостей изменения моментов инерции от времени при работе ракетного двигателя

твёрдого топлива или жидкостного ракетного двигателя определить характер поведения годографа вектора тяги без использования численного интегрирования уравнений пространственного движения. Это позволяет уменьшить затраты времени на оценку точности ориентации вектора тяги с точки зрения выполнения имеющихся требований.

2. Разработанная методика анализа хаотической динамики космического аппарата с трёхосным эллипсоидом инерции и известными гармоническими зависимостями моментов позволяет установить наличие хаотических режимов движения и определить их характер без использования численного интегрирования уравнений пространственного движения. Это позволяет уменьшить затраты времени на оценку точности ориентации аппарата с точки зрения выполнения имеющихся требований.

Реализация результатов работы.

Результаты, полученные в работе, используются при проведении научно-исследовательской работы «Разработка проектного облика СУД КА с изменяющимися инерционными характеристиками СпА в трехосном подвесе» (договор от 01.10.2013 г. № 123/13) с ОАО «РКЦ «Прогресс» (г.Самара), в которой автор является ответственным исполнителем, и в учебном процессе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)»; включены в научно-технические отчёты по гранту Президента РФ МК-1497.2010.8 «Исследование регулярной и хаотической динамики движения неуравновешенных спутников-гиростатов и многороторных мультиосных космических аппаратов с силовыми гироскопическими комплексами» и в научно-технические отчёты по проекту Российского фонда фундаментальных исследований 11-08-00794 «Динамика и управление пространственным движением космических аппаратов и наноспутников с многороторными гироскопическими системами», в которых автор был ответственным исполнителем.

Методы исследования: методы теоретической механики, методы теории динамических систем, методы математического моделирования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое условие, которое используется для предсказания эволюции годографа вектора тяги двигателя динамически симметричного космического аппарата как тела переменного состава в методике анализа регулярной динамики.

2. Математическая модель пространственного движения космического аппарата как тела переменного состава с упругими свойствами конструкции, моделируемыми изменяющимися по гармоническому закону моментами инерции, которые используются для построения функции Мельникова и при построении сечений Пуанкаре в методике анализа хаотической динамики.

3. Вид функции Мельникова, построенной для космического аппарата как тела переменного состава с трёхосным эллипсоидом инерции и упругими свойствами конструкции, которая используется для обнаружения возможных хаотических режимов движения в методике анализа хаотической динамики.

Степень достоверности. Достоверность полученных результатов определяется использованием апробированных методов теоретической механики, теории динамических систем и математического моделирования, совпадением отдельных полученных результатов с известными, соответствием полученных результатов физическому смыслу изучаемых пространственных движений.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных и российских конференциях и семинарах: 52-я научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», г. Москва (2009 г.); Всероссийская молодёжная научная конференция с международным участием «X Королёвские чтения», г. Самара (2009 г.); Международная молодёжная научная конференция «Туполевские чтения», г. Казань (2009, 2010 гг.); Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов «Актуальные проблемы авиации и космонавтики», г. Красноярск (2010 г.); Всероссийская

школа-семинар аспирантов и молодых учёных «Актуальные проблемы науки и техники», г. Уфа (2010, 2011 гг.); Вторая международная конференция «Научные и технологические эксперименты на автоматических космических аппаратах и малых спутниках», г.Самара (2011г.); Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем», г. Нижний Новгород (2012 г.); Всероссийский семинар по управлению движением и навигации летательных аппаратов, г. Самара (2013, 2014 гг.).

Основные результаты исследований опубликованы в 12 печатных работах, из которых 3 статьи опубликованы в рецензируемых журналах, определённых ВАК Министерства образования и науки РФ.

В первой главе изложенные принципы формализма Гамильтона применяются к описанию движения космического аппарата как твёрдого тела постоянного состава и обобщению этих принципов для случая КА переменного состава. На основе формализма Гамильтона и гипотезы близкодействия получена математическая модель движения твёрдого тела переменного состава. Приведены сведения о методах Мельникова и Пуанкаре, которые используются при анализе хаотической динамики.

Во второй главе рассмотрена регулярная динамика динамически симметричного космического аппарата с работающим двигателем как тела переменного состава. Проведена постановка задачи, записана математическая модель и получено аналитическое условие, позволяющее определить поведение годографа вектора тяги двигателя. Для модельных примеров космического аппарата с ракетным двигателем твёрдого топлива и жидкостным ракетным двигателем показано использование полученного условия. Дано описание методики анализа регулярной динамики космического аппарата переменного состава.

В третьей главе рассмотрена хаотическая динамика космического аппарата как тела переменного состава. Получена система уравнений возмущённого движения КА. С использованием метода Пуанкаре-Мельникова исследовано движение КА постоянной массы с трёхосным эллипсоидом инерции с учётом упругих свойств конструкции. Рассмотрено применение

формализма Пуанкаре-Мельникова для исследования КА переменной массы с работающим жидкостным ракетным двигателем с учётом малой динамической асимметрии и упругих свойств конструкции. Дано описание методики анализа хаотической динамики космического аппарата переменного состава.

В приложениях А-Г приведено программное обеспечение для построения годографа вектора тяги в рассмотренных модельных примерах. В приложении Д приведено программное обеспечение для построений сечений Пуанкаре.

1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ И МЕТОДЫ ЕЁ РЕШЕНИЯ

В главе изложены принципы формализма Гамильтона, их применение к описанию движения космического аппарата как твёрдого тела постоянного состава и обобщение этих принципов для случая КА переменного состава.

С использованием формализма Гамильтона и гипотезы близкодействия разработана математическая модель движения твёрдого тела переменного состава и рассмотрены некоторые частные случаи. Приведены сведения о методах Мельникова и Пуанкаре, которые будут использованы при анализе хаотической динамики космических аппаратов как тел переменного состава. 1.1 Формализм Гамильтона

Применим формализм Гамильтона для получения уравнений движения тела переменного состава.

Рассмотрим уравнения Лагранжа второго рода [13]:

'й дТ дТ

дях

а дт дТ

Ж дя2

а дт дТ

= 0.+^ = 02+^

(1.1)

Ж

где Т - кинетическая энергия, - обобщённые координаты, - обобщённые скорости, - обобщённая внешняя сила, отнесённая к координате Р3 -обобщённая реактивная сила, отнесённая к координате .

Приведём систему (1.1) к каноническому виду. Вместо лагранжевых переменных ... , ^ и обобщённых скоростей ¿¡2, ... , ¿¡х введём в

рассмотрение новые, так называемые канонические переменные ^, , ... , ^, р{, р2, ... , р5. Переменные рх, р2, ... , рз называются обобщёнными импульсами и определяются из соотношений вида:

Рх

Рг

дТ ддх' дТ

дд2

(1.2)

дТ

Для того, чтобы можно было выразить обобщённые скорости дх, д2, ... , д5 через обобщённые импульсы из системы линейных алгебраических уравнений (1.2)необходимо, чтобы функциональный определитель был отличен от нуля:

д2Т

(1.3)

Так как Т - положительная квадратическая функция, то для динамических задач условие (1.3) выполняется. Возьмём вариацию функции Т, выраженной в переменных дх, д2, ... , дз, д19 д2, ... , д/.

5Т = ±^5д„ + ±^5д„ = +

* ( дТ . Л

— Яс

О

г дт\

сг=1

дд,

у

ИЛИ

£

/ г ^гп Л 5 ^

дт

ст=, дда ) а=х

Х^дТ я

Введём в рассмотрение новую функцию:

<т=1 ^

и выразим её как функцию канонических переменных. Вариация этой новой функции равна:

1 Легко проверить, что кинетическая энергия т является квадратической функций обобщённых скоростей и, следовательно, частные производные есть линейные функции обобщенных скоростей

ъ > ъ

* * дТ

(7 = 1 «7=1 ояа

.. <эг

причем-вычислено в предположении, что

Из уравнений (1.2) следует:

я-

ст -гсг <т г^-ст '

дда Ж ддс и поэтому

ЗН = ±даЗра-±{ра-Рст~0(т)5да. (1.4)

(7=1 (7 = 1

Вычислим вариацию функции Н, предполагая, что эта функция выражена через канонические переменные д}, д2, ... , д5, рх, р2, ... , р5 и время /. Будем иметь:

ЗН = ±^Зда+±^Зра. (1.5)

ст=1 дда ст=1 дра

Сравнивая правые части соотношений (1.4) и (1.5), получим вследствие независимости вариаций переменных следующую систему дифференциальных уравнений:

дН

Р1н (1'6)

дЧо

Запишем Ра и 0СТ из (1.6) согласно [13]:

(1-7)

,=1 Л дда

где ту - масса отбрасываемых частиц в предположении, что масса есть функция времени: ту = ту , йу - абсолютная скорость отбрасывания V -ой

л __ др

частицы; () = —-— обобщённая сила, отнесённая к координате да.

дда

Если внешние действующие силы имеют потенциал и абсолютная скорость отбрасываемых частиц равна нулю, то функцию Н можно определить в виде:

«7=1 дЧо

где Ь - функция Лагранжа, равная Т + 1/.

Потенциальная функция ..., ^) такова, что

д<1\ дЯ2

В рассматриваемом частном случае уравнения Лагранжа принимают форму:

дЬ дЬ , ч

----= 0, (<Т = 1,2,...,5)

и соотношение (1.4) будет иметь следующий вид:

5 5

5Н = Е Ч*8Р* ~ Е Р^Ча >

СТ=1 £7 = 1

причём для систем с консервативными внешними силами обобщённые импульсы определяются из соотношений:

дЬ дЬ дЬ

Рх = —> Рг ' ••• ' Р*

б«?, ОД,

При сделанных предположениях канонические уравнения (1.6) принимают следующий вид [13]:

дН

■ « Г 12 1 (1'8)

Таким образом, если внешние силы, действующие на тело переменной массы, имеют потенциал, и абсолютные скорости отбрасываемых частиц равны нулю, то канонические уравнения принимают форму уравнений Гамильтона для механической системы точек постоянной массы.

Существенно отметить, что функция Н для случая стационарных связей является явной функцией времени, и поэтому классические результаты первых

интегралов системы канонических уравнений имеют в задачах динамики тела переменной массы другой смысл.

1.2 Общий вид канонических уравнений

Далее будем рассматривать только движение, когда внешние силы, действующие на тело переменной массы, отсутствуют, но абсолютные скорости отбрасываемых частиц не равны нулю. Следовательно, в уравнениях (1.6):

а=о, (1.9)

Тогда (1.6) примет вид:

. дН Фа

дн _ ра=-—+ра.

(1.10)

Для получения канонических уравнений для тела переменного состава в явном виде необходимо выписать правые части (1.10)

Рассмотрим сначала частный случай, когда скорость отбрасываемых частиц есть линейная функция скорости:

(1-11)

Подставим (1.11) в (1.7)

г-| с1т,, _ ду.

с1т„ _ д\>

■и..

с1т.

V

Ж д„=1 Л дда „=1

Введём в рассмотрение функцию:

=

Ж 2

(1.12)

У = 1

Л 2

(1.13)

которая характеризует приток энергии к телу переменной массы вследствие процесса отбрасывания частиц. Тогда

Р = — дд/

Таким образом, если масса является известной функцией времени: т„ =т„(*),то задача сводится к отысканию вектора V,. Как известно [27]:

(1.14)

где ¿5 = (/? я г)т.

Теперь, если рассматривать данный частный случай (1.12), когда справедливо выражение (1.13), то задача об отыскании канонических уравнений Гамильтона сводится к отысканию квадрата длины вектора V,. Найдём производную в (1.12):

' Ж 2 £ 'Зд,

a (U5)

dt

ш /

V = 1

dt dqv

Так как масса тела не зависит от обобщённых скоростей, то:

XX (О—

^ vV Jdq

d (dm, Лп2

dt

^ = 0.

v—\ u4v V wt У

Подставляя (1.16) в (1.15), получим:

dm., _ dv„

■v..

V=1

¿/i dqv

(1.16)

(1.17)

Вычислим производные —- в (1.17), для чего продифференцируем (1.14)

по обобщённым скоростям:

8vv д , „ „ ч дед _ _ dpv

—- =-(a>xPv) =-XPV

(1.18)

В силу того, что радиус-вектор точки явно не зависит от обобщённой скорости, то со х —= 0. Следовательно

dv„ д / _ _ ч дед

—— =-(сох р ) =-х р .

dqa dqa " dqa

(1.19)

Подставим (1.19)в(1.17)и получим:

дсо

-х р

Подставим в (1.20) выражение для вектора скорости (1.14):

V=1

дсо

ч,

XPv

Л V11 iл dmv ( - - \{ да

-zm-jr^p.)^-

v=\

XPv

Запишем вспомогательные преобразования:

(1.20)

(1.21)

(ах с) xcj = (axc)-<i = [а, с, б/], d =bx с.

Так как в смешанном произведении операции векторного и скалярного произведения переставимы, то:

(axc)-^xcj = (axc)-J = а, с, Jj = а - ^с х Jj = а - х ^ х с jj. Распишем формулу для двойного векторного произведения:

а-(с x^xcjj = a - {b -с2 -с (с

Таким образом

(d х с) ■ (б х г) = 5 ■ (b ■ с2 - с (с • 6)). (1.22)

Используя вспомогательные вычисления (1.22), запишем:

^ дед

V

х

Pv

= &>

_ 2

. Pv Р v

dq<

дед

Pv dq

(1.23)

j j

Подставим (1.23) в (1.21):

dm,.

V—1

■ixw^-

V=1

г

XPv

дсо

- . Pv Pv

_ дед ^ Pv •

(1.24)

а

Распишем выражение а ■ [ъ-д2 -с(с-Ь)) по компонентам в предположении, что

к

I— I2 9 2'

М

c-b=cxbx + cyby+czbz, а -Ъ = + ауЬу + azb:,

а 'с = + SS +

= («А + ауЪу + аА )(сл + с] +с])- [ахсх + аусу + а2сг )(С;Д + суЪу + сД ) =

= аАс1 + * Ас* + ЙАА + «Ас>2 + + аАс1 + аАс1 + ауЪус] + а2Ъ2с] -

~аАС1 - ауЪ,С,Су - аАС,Сг - аАС*СУ - аАС1 - агЬуСуСг ~

~аАС,Сг - аАСуС: ~ аАС1 Приведём подобные:

ж=(«А+аА У;+(«А + аА)с1+(аА + «А К -

-{ауЬХ+аА)СхСу -{аА+аА)СХСг~{аА+аУЬг)СуСг-Перегруппируем слагаемые:

IV = а А (с; + с:) + ауЪу (с; + с:) + а Д (сл2

-(°Л + а>Ьу)С*Су - (аА + аА )СхСг ~ (аА + ауЬг )С УС г-Восстановим соответствия:

а ^ со = [ р д г)Т,

Ъ

дсо

К

др дд дг Л дЯа дЯа

Тогда

со-

\\

дед - [ -

- Ру Ру \ Ру . Ч* V дciaJJ

= аА [У: + к)+аА [х1+4)+ал (к+У1)~ -(«А + аА )хуУУ ~ (аА + а А ~ (аА + аА)Уугу

Подставим (1.25) в (1.24):

а ^ уК } сН

У=1

дсо . Ру РУ

Ру

дед

У У

= Ёл, (х2 + )+«А (*2 + ) + «А (г2 + л) -

А + ахЪу)ХуУу - (аА + аА)Хугу - {аА + ауЬ;)Уу2у ) =

(1.25)

«AÎX +Ф

v=\

-("А - ("А + "

П-26)

v=i at

Запишем вспомогательные преобразования:

\ srdm ^ d(Xvxvyv)

ut y-j Cil ui

v/=l Clt v-\ ut V=1 ut

(1.27)

Так как рассматривается только твёрдое тело, то есть внутренние точки тела никуда не перетекают сами по себе, то

= (1.28)

dt

Поставляя (1.28) в (1.27) и меняя местами операции суммирования и дифференцирования, получим:

у=\ м ш у=\ ,,=1 СИ

Пусть

Уу = (1,Л), (1.30)

и тогда (1.29) будет иметь вид:

V"1 dm d , d А, ^ > —-Л XV = —Л У 1т х у--> m х у =

tr A " dt tr " ^ dt h v уУу

Аналогично (1.31) выпишем другие суммы из (1.26):

(1.31)

(1-32)

V=1

У = 1

у=1 иГ

XX'

у-] Ш

Подставляя (1.31)-(1.36) в (1.26), получим:

ра = аА^хх + «А^п- + яД^а -

Запишем (1.37) в матричной форме:

К = аРЛАх + я АЯАт + «А^ --(«А + йА)ЯАг -(аА +аА)МХ1 -(а2Ьу+ауЬ2)Л1у1=Лат1Ь.

Возвращаясь к введённым переменным, запишем:

Р=Лат1Ь=ЯЗт1-д&

(1.33)

(1.34)

(1.35)

(1.36)

(1.37)

(1.38)

дд0

(1.39)

Заметим, что если главные оси инерции остаются неизменными, то

Р„= а ЬМуу + а Ь Л1уу + а Ъ Л177.

О АЛ ЛЛ V у 1 / ¿. а

Подставим (1.39) в (1.10) и получим уравнения движения для тела переменного состава для случая (1.11):

дН

Ф/

дН л • дед

(1.40)

+ Ш1-

д<1а

Рассмотрим более общий случай, когда скорость отбрасываемых частиц йу в (1.7) не является линейной функцией скорости, а имеет вид:

К=К+Гп„ (1-41)

где определяется согласно (1.14), У^ - относительная скорость

отбрасываемой частицы.

Подставим выражение (1.41) в (1.7) и получим:

А с/га, _ Зу„ ^ й?т„ /_ - \ <Зу,

Л дд йг х ' дд

На но

„=1 Л „=1 Л

где ^ будем считать заданными, поскольку известно, как именно отбрасываются частицы.

Введём обозначения:

(1-43)

0-44)

Тогда (1.42) примет вид:

Ра=Р*х+Кг- (1-45)

Выражение (1.43) является частным случаем (1.17) при ¿ = 1. Подставим Я = 1 в (1.39) и получим:

(1-46)

При ¥гу = Я1у1/ выражение (1.44) примет вид:

0-47)

и тогда уравнения движения будут иметь вид (1.40) при условии, что ¿ = 1 + 4.

Рассмотрим выражение (1.44). Обозначим компоненты вектора относительной скорости отбрасывания частиц Угу следующим образом:

V =(У! у2

ГУ ^ V V

Предположим, что все частицы отбрасываются в одном и том же направлении:

Это допущение впоследствии даст возможность моделировать движение таких космических аппаратов, на которых установлен реактивный двигатель. Положение сопла такого двигателя и будет задавать вектор отбрасывания частиц. Тогда (1.44) примет вид:

р =У

°2 Ь л Л

Г дед _ Л -х р

¿Г Л

^ део -х Р

л • гу

(1.48)

Внесём

с1т1,

Л

под векторное произведение, поскольку это просто число:

с1т

Р =у у^ £ Л

Заметим, что: й

део \дЯа

X

Ру

" ^ дед с!т„ _ Л

•х

■Ру

У

т? дсо = V--х

• (1-49)

at

^=1 ^

¿/га., аъ

-+ > га

у = 1 ^

К=1

аг

I А

ату аг

т.

Л

(1.50)

у = 1 V / Г=1

Поскольку тело твёрдое, то положения внутренних точек тела не зависят явно от времени:

¿Ру

X

га,.

= 0.

(1.51)

Вообще говоря, уравнения (1.58) позволяют моделировать движение тела переменного состава как систему материальных точек безотносительно к тому, является ли тело твёрдым или нет, и безотносительно к тому, как именно осуществляется переменность состава. Допущение (1.51) устанавливает ограничение на тот факт, что взаимное расположение точек тела остаётся неизменным, то есть позволяет говорить о системе материальных точек как о твёрдом теле.

Подставляя (1.51) в (1.50), получим:

Е А

у=\

ату аг

(1.52)

где М - масса тела в текущий момент времени, рс = (Хс, 7С, 7С)Г - радиус-

вектор центра масс в текущий момент времени в связанной СК ОХУ2.

23

Выражение (1.52) позволяет избавиться от суммирования в (1.49). Подставляя (1.52) в (1.49), получим:

а2 61 (¡г Ис}

Подставляя (1.46) и (1.53) в (1.45), получим:

(1.53)

р=ат1Ь = а>Чдё

дда дца Ж Если центр масс остаётся неподвижным, то

а

(1.54)

Л

(Мрс) = Мрс, и тогда (1.54) примет вид:

„ _тудсд ■ т7 дсо _ _т-дсд = а 1Ъ = со I-— + М -V--х рс =со I—

где

- дсо _

- смешанное произведение.

дЯс

■М

т7 дсо _

(1.55)

Подставляя (1.55) в (1.10), получим уравнения движения твёрдого тела переменного состава, полученные на основе формализма Гамильтона в общем виде:

Яе

дНп

Ра =

Ф/

дНп -т-дсо

+ сд'1-

М

Г/ дсо _ дЯа

(1.56)

1.3 Канонические уравнения в переменных Андуайе-Депри

Переменные Андуайе-Депри, описанные в [1], получили широкое применение при исследовании движения твёрдых тел вследствие того, что выражение для гамильтониана в этих переменных имеет лишь одну позиционную координату. Это позволит впоследствии получить аналитические решения для некоторых уравнений. В зарубежных источниках переменые Андуайе-Депри [31 ] называют также переменными Серре [57] или переменными Депри [39]. Договоримся для краткости далее использовать наименование переменных как переменные Депри.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Крикунов, Михаил Михайлович, 2014 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

1. Архангельский, Ю.А. Аналитическая динамика твёрдого тела [Текст] / Ю.А. Архангельский. —М.: Наука, 1977.

2. Асланов, B.C. Влияние возмущений на угловое движение космического аппарата на активном участке спуска [Текст] / B.C. Асланов, A.B. Доро-шин // Космические исследования, 2008. — №2. — Т. 46. — С. 168-173.

3. Асланов, В. С. Пространственное движение тела при спуске в атмосфере [Текст] / B.C. Асланов. — М.: Физматлит, 2004.

4. Балакин, В.Л. Анализ динамики пространственного движения космических аппаратов с ракетными двигателями твёрдого топлива на основе метода определения кривизны фазовых траекторий [Текст] / В.Л. Балакин,

A.B. Дорошин, М.М. Крикунов // Сборник трудов XVI Всероссийского семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. — Самара, 2013. — Часть II. — С. 51-55.

5. Балакин, В.Л. Синтез динамических режимов пространственного движения космического аппарата с твёдотопливным ракетным двигателем [Текст] /

B.Л. Балакин, A.B. Дорошин, М.М. Крикунов // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика

C.П.Королёва (национального исследовательского университета), 2012.— №5(36). —Т. 2. —С. 11-16.

6. Виницкий, A.M. Конструкция и отработка РДТТ [Текст] / A.M. Виницкий, В.Т. Волков, И.Г. Волковицкий, C.B. Холодилов. — М.: Машиностроение, 1980.

7. Дегтярев, Г.Л. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами [Текст] / Г.Л. Дегтярев, Т.К. Сиразетдинов. — М.: Машиностроение, 1986.

8. Дмитриевский, A.A. Внешняя баллистика [Текст] / A.A. Дмитриевский, Л.Н. Лысенко. — М.: Машиностроение, 2005.

9. Дорошин, A.B. О двух случаях возмущённого движения космического аппарата при наличии гармонических возмущений [Текст] / A.B. Дорошин, М.М. Крикунов // Актуальные проблемы науки и техники: Сборник трудов Шестой Всероссийской школы-семинара аспирантов и молодых учёных,

2011. — Т. 2. Машиностроение, электроника, приборостроение, управление и экономика. — С. 60-64.

10. Дорошин, A.B. Эволюции прецессионного движения неуравновешенных гиростатов переменного состава [Текст] / A.B. Дорошин // Прикладная математика и механика, 2008. — №3. —Т. 72. — С. 385-398.

11. Кирилин, А.Н. Проектирование, динамика и устойчивость движения ракет-носителей [Текст] / А.Н. Кирилин, Р.Н. Ахметов, A.B. Соллогуб. — М.: Машиностроение - Машиностроение-Полёт, 2013.

12. Колесников, КС. Динамика ракет [Текст] / К.С. Колесников.— М.: Машиностроение, 2003.

13. Космодемьянский, A.A. Курс теоретической механики [Текст] / А.А.Космодемьянский.— М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1955.

14. Крикунов, М.М. Возникновение хаотических режимов пространственного движения космических аппаратов при наличии малых упругих колебаний [Текст] / М.М. Крикунов // Сборник трудов XVI Всероссийского семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. — Самара, 2013. — Часть II. — С. 70-74.

15. Крикунов, М.М. Исследование динамики пространственного движения тел переменного состава [Электронный ресурс] / М.М. Крикунов // Электронный журнал «Труды МАИ», 2010. — № 41.

16. Крикунов, М.М. Исследование динамики твёрдого тела переменного состава в канонических переменных Андуайе-Депри [Текст] / М.М. Крикунов // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — М., 2009. — Ч. VII «Управление и прикладная математика». — Т. 3. — С. 149-153.

17. Крикунов, М.М. Исследование динамики твёрдого тела переменного состава в переменных Андуайе-Депри [Текст] / М.М. Крикунов // Тезисы Международной молодёжной научной конференции «XVII Туполевские чтения». — Казань, 2009. — Т. 2. — С. 266-267.

18. Крикунов, М.М. Исследование динамики твёрдых тел и их систем переменного состава [Текст] / М.М. Крикунов // Актуальные проблемы науки и техники: Сборник трудов Шестой Всероссийской школы-семинара

аспирантов и молодых учёных. — Уфа, 2011. — Т. 1. Информационные и инфокоммуникационные технологии, естественные науки. — С. 303-305.

19. Крикунов, М.М. Моделирование динамики твёрдых тел переменного состава с учётом упругих колебаний [Текст] / М.М. Крикунов // Актуальные проблемы авиации и космонавтики: метериалы Всерос. науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов в 2 т. — Красноярск, 2010. — Т. 1. Технические науки. Информационные технологии. - С. 94-95.

20. Крикунов, М.М. Нерегулярная динамика космического аппарата с переменными инерционно-массовыми параметрами [Текст] / М.М. Крикунов // Тезисы докладов второй международной конференции «Научные и технологические эксперименты на автоматических космических аппаратах и малых спутниках». — Самара, 2011. — С. 356-359.

21. Крикунов, М.М. Регулярные и хаотические режимы динамики космического аппарата переменной массы на активных участках орбитального движения [Текст] / М.М. Крикунов // Труды IX Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем». — Нижний Новгород, 2012. — С. 570-575.

22. Мельников, B.K. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях [Текст] / В.К. Мельников // Труды московского математического сообщества, 1963. —№3. — Т. 12. — С. 1-57.

23. Мишин, В.П. Основы проектирования летательных аппаратов (транспортные системы) [Текст] / В.П. Мишин, В.К. Безвербый, Б.М. Панкратов, Д.Н. Щеверов. — М.: Машиностроение, 1985.

24. Петренко, В.И. РДТТ с регулируемым модулем тяги [Текст] / В.И. Петренко, B.J1. Попов, A.M. Русак, В.И. Феофилактов. — Миасс: изд-во ГРЦ «КБ имени академика В.П. Макеева», 1994.

25. Пуанкаре, А. Новые методы небесной механики [Текст] / А. Пуанкаре. — М.: Наука, 1971.

26. Титов, Б.А. Модальный подход в динамике упругих космических аппаратов и ракет-носителей [Текст] / Б.А. Титов. — М.: Машиностроение, 2013.

27. Фахрутдинов, И.Х. Ракетные двигатели твёрдого топлива [Текст] / И.Х. Фахрутдинов. —М.: Машиностроение, 1981.

28. Шильников, JI.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике [Текст] / Л.П. Шильников, A.JI. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. — Москва-Ижевск: Инст. комп. иссл., 2004. — Т. 1.

29. Шильников, Л.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике [Текст] / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. — Москва-Ижевск: Инст. комп. иссл., 2009. — Т. 2.

30. Ярошевский, В.А. Движение неуправляемого тела в атмосфере [Текст] / В.А. Ярошевский. — М.: Машиностроение, 1978.

31.Andoyer, Н. Cours de Mecanique celeste [Text] / H. Andoyer.— Paris: Gauthier-Villars, 1923.

32. Aslanov, V.S. Chaotic dynamics of an unbalanced gyrostat [Text] / V.S. Aslanov, A.V. Doroshin // J. Appl. Math. Mech., 2010. — Vol. 74. — pp. 524-535.

33. Aslanov, V.S. Two cases of motion of an unbalanced gyrostat [Text] / V.S. Aslanov, A.V. Doroshin // Mech. Solids, 2006. — No. 4, Vol. 41. — pp. 29-39.

34. Aslanov, V.S. Dynamics and chaos control of gyrostat satellite [Text] / V.S. Aslanov, V.V. Yudintsev // Chaos, Solitons & Fractals, 2012. — Vol. 45. — pp. 1100-1107.

35. Aslanov, V.S. Dynamics and control of dual-spin gyrostat spacecraft with changing structure [Text] / V.S. Aslanov, V.V. Yudintsev // Celest. Mech. Dyn. Astron., 2013. — No. 1 — Vol. 115. — pp. 91-105.

36. Aslanov, V.S. The dynamics and control of axial satellite gyrostats of variable structure [Text] / V.S. Aslanov // Proceedings of 1st IAA Conference on Dynamics and Control of Space Systems. — Porto, 2012. — pp. 41-54.

37. Bryson, A.E. Control of Spacecraft and Aircraft [Text] / A.E. Bryson. — Princeton: Princeton University Press, 1994.

38. Delshams, A. Poincare-Melnikov-Arnold method for analytic planar maps [Text]/ A. Delshams, R. Ramirez-Ros // Nonlinearity, 1996,— Vol. 9. — pp. 1-26.

39. Deprit, A. A free rotation of a rigid body studied in the phase plane [Text] / A. Deprit // Am. J. Phys., 1967. — Vol. 35. — pp. 425-428.

40. Doroshin, A.V. Attitude dynamics of a spacecraft with variable structure [Text] / A.V. Doroshin, M.M. Krikunov // Applied Mathematical Modelling, 2014.— No. 7-8. —Vol. 38. — pp. 2073-2089.

41. Doroshin, A.V. Analysis of attitude motion evolutions of variable mass gyrostats and coaxial rigid bodies system [Text] / A.V. Doroshin // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2010. —Vol. 45. —pp. 193-205.

42. Doroshin, A.V. Heteroclinic dynamics and attitude motion chaotization of coaxial bodies and dual-spin spacecraft [Text] / A.V. Doroshin // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2012. — No. 3. — Vol. 17. — pp. 1460-1474.

43. Doroshin A.V. Synthesis of attitude motion of variable mass coaxial bodies [Text] / A.V. Doroshin // WSEAS Trans. Syst. Control, 2008.— No. 1.— Vol. 3.—pp. 50-61.

44. Gray, A.A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion [Text] / A.A. Gray. — New York: Dover, 1959.

45. Hall, C.D. Escape from gyrostat trap states [Text] / C.D. Hall // J. Guid. Control Dyn., 1998, —Vol. 21, —pp. 421-426.

46. Hall, C.D. Momentum transfer dynamics of a gyrostat with a discrete damper [Text] / C.D.Hall // J. Guid. Control Dyn., 1997,— No. 6,— Vol. 20,— pp. 1072-1075.

47. Holmes, P.J. Horseshoes and Arnold diffusion for Hamiltonian systems on Lie groups [Text] / P.J.Holmes, J.E. Marsden // Indiana Univ. Math. J., 1983.— No. 5. — Vol. 32. — pp. 273-309.

48. Hughes, P.C. Spacecraft Attitude Dynamics [Text] / P.C. Hughes. — NewYork: Wiley, 1986.

49. Inarrea, M. Chaotic rotations of an asymmetric body with time-dependent moments of inertia and viscous drag [Text] / M. Inarrea, V. Lanchares, V.M. Rothos, J.P. Salas // Int. J. Bifurcation Chaos, 2003. — No. 2. —Vol. 13. — pp. 393-409.

50. Inarrea, M. Chaos in the reorientation process of a dual-spin spacecraft with time-dependent moments of inertia [Text] / M. Inarrea, V. Lanchares // Int. J. Bifurcation Chaos, 2000. — No. 5. — Vol. 10. — pp. 997-1018.

51. Inarrea, M. Chaotic pitch motion of an asymmetric non-rigid spacecraft with viscous drag in circular orbit [Text] / M. Inarrea, V. Lanchares // Int. J. NonLinear Mech., 2006. —Vol. 41. —pp. 86-100.

52. Koiller, J. A mechanical system with a "wild" horseshoe [Text] / J. Koiller // J. Math. Phys, 1984. — No. 25. — pp. 1599-1604.

53. Lanchares, V. Spin rotor stabilization of a dual-spin spacecraft with time dependent moments of inertia [Text] / V. Lanchares, M. Inarrea, J.P. Salas // Int. J. Bifurcation Chaos, 1998. —No. 3, —Vol. 8. —pp. 609-617.

54. Marsden, J.E. Chaos in Dynamical Systems by the Poincaré-Melnikov-Arnold Method [Text] / J.E. Marsden // Chaos in Nonlinear Dynamical Systems, 1984, —pp. 19-31.

55. Peng, J Chaotic motion of a gyrostat with asymmetric rotor [Text] / J. Peng, Y. Liu // Int. J. Non-Linear Mech., 2000. — No. 35. — pp. 431-437.

56. Rebollo-Perdomo, S. Poincaré-Pontryagin-Melnikov Functions for a Class of Perturbed Planar Hamiltonian Equations [Text] / S. Rebollo-Perdomo // Centre de Recerca Matematica, 2014.—No. 1181 (Prepntrint).

57. Serret, J.A. Mémoire sur l'emploi de la méthode de la variation des arbitraires dans théorie des mouvements de rotations [Text] / J.A. Serret // Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, 1866. — Vol. 35. — pp. 585-616.

58. Sidi, M.J. Spacecraft Dynamics and Control [Text] / M J. Sidi. — New York: Cambridge University Press, 1997.

59. Tong, X. Chaotic motion of an asymmetric gyrostat in the gravitation field [Text] / X. Tong, B. Tabarrok, F.P.J. Rimrott // Int. J. Non-Linear Mech., 1995, —No. 30,—pp. 191-203.

60. Wiesel, W.E. Spaceflight Dynamics [Text] / W.E.Wiesel.— New York: McGraw-Hill, 1997.

61. Wiggins, S. Global Bifurcations and Chaos: Analytical Methods [Text] / S. Wiggins. — New York: Springer-Verlag, 1988.

Листинг программы расчёта КА с вытеснением «наружу» для БТБ с элементами сферической формы

> restart;

> with(plots) :

> го:=780; # плотность топлива и радиус элемента баков

> а:=2; # выстота куба #ТТ:=20;Т:=ТТ*1.052;

> R:=a/2;

>

>GO:=1.5;F0:=0;r0:=2;gam0:=0.05;psi0:=0.05; # начальные условия

для дифференциальных уравнений

>

>m0:=4/3*Pi*RA3*ro; # масса баков в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки)

>10:=2/5*mO*RA2; # момент инерции элемента бака в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки) >АО:=4*I0+4*m0*RA2; # момент инерции группы баков относительно осей х и у в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки)

>СО:=4*l0+8*m0*RA2;# момент инерции группы баков относительно оси z в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки) >evalf (СО) ;

>#А0_Ьака:=86000; # Момент инерции пустого бака относительно оси х (его лучше посчитать в соответствии с формой баков и определенной толщины баков)

>#С0_Ьака:=150000; # Момент инерции пустого бака относительно оси z (его лучше посчитать в соответствии с формой баков и определенной толщины баков) >h0:=-a/2; hi:=0.05;

> h: = (t)->h0+hl*t;TK:= (a/2-h0)/hi;

>m_topliva: = (t)->Pi*ro* (R-h(t) ) A2* (2/3*R+l/3*h(t) ) ; # масса баков в текущий момент времени

> d:=а;

>A_korp:=8600; # момент инерции корпуса космического аппарата относительно оси х (в начале взято с потолка)

>C_korp:=18600; # момент инерции корпуса КА относительно оси z

>m_korp:=100; # масса корпуса КА (постоянная величина)

>

> Func_I_xx: = (t)->Pi*ro/10*(8/3*RA5+h(t)A5/4-

15/4*RA4*h(t)+5/6*RA2*h(t)A3); # Момент инерции элемента топлива в баке относительно оси х

>Func_I_zz:=(t)->Pi*ro/10*(8/3*RA5-h(t)A5-

5*RA4*h(t)+10/3*RA2*h(t)A3); # Момент инерции элемента топлива в баке относительно оси z

> rr:=(t)->3/4*(RA2-h(t)А2)А2/(2*RA3-3*RA2*h(t)+h(t)А3); #для сфер

> #rrl:=(t)->R-rr(t); # расстояние от дна бака до ц.м. бака для сфер

> ll:=(t)->R*sqrt(2)+rr(t); # для сфер

>#rr:=(t)->a/2-l/2*(a/2-h(t));# для кубов и цилиндров >#ll:=(t)->3/2*а-1/2*(a/2-h(t)); # для кубов и цилиндров >A_topliva: = (t) ->2*Func_I_xx (t) +2*m_topliva(t) * (11 (t) A2-rr(t)A2)+2*Func_I_zz(t); # Момент инерции всего топлива относительно оси х

>C_topliva:=(t)->4*Func_I_xx(t)+4*m_topliva(t)*(11(t)A2-rr(t)A2);

# Момент инерции всего топлива относительно оси z

>

>М:=(t)->m_topliva(t)+m_korp; # масса всей стстемы топливо-КА в

текущий момент времени

>

> Н:=2; # высота корпуса КА

> Z_k_ot_dna:=а+Н/2;

> #Z_t_ot_dna: = (t)->а/2-h(t)/2; # для цилиндрических баков

> Z_t_ot_dna:=(t)->R-rr(t); # для сферических баков

>

> Zc_ot_dna: = (t)-

> (Z_k_ot_dna*m_korp+Z_t_ot_dna (0) *m_topliva (t) ) /M(t) ;

>

>Z_t:=Zc_ot_dna(0)-Z_t_ot_dna(0); # расстояние от центра масс всей системы в начальный момент времени до центра масс баков с топливом в начальный момент времени

>Z_k:=Zc_ot_dna(0)-Z_k_ot_dna; # расстояние от центра масс

корпуса КА до центра масс системы в начальный момент времени

>

> A_s_volnoj: = (t)-

>A_topliva(t)+m_topliva(t)*Z_tA2+A_korp+m_korp*Z_kA2;

> C_s_volnoj: = (t)->C_topliva(t)+C_korp;

>

>Zc:=(t)->Zc_ot_dna(0)-Zc_ot_dna(t);# величина Zc из дополнения к статье

>A: = (t) ->A_s_volnoj (t) ; #+M(t) *Zc (t) A2 ; С: = (t)->C_s_vo1no j(t) ;

> evalf(A(t)) : evalf(AO): evalf(C(t)): evalf(CO):

> evalf(A_topliva(t)) :

>

>

plot([A(t),C(t),A0+A_korp+m_topliva(0)*Z_tA2+m_korp*Z_kA2,C0+C_kor

p],t=0..40,color=[yellow,red,blue,green]);

>

plot([A(t),A0+A_korp+m_topliva(0)*Z_tA2+m_korp*Z_kA2],t=0..40,colo r=[red,blue]);

> # plot([A_topliva(t)],t=0. .10,color=[red]) ; #

,С(t),A0+A_korp+m_topliva(0)*Z_tA2+m_korp*Z_kA2,C0+C_korp

>

>plot( [M(t) *Zc (t) A2] ,t=0. . 40 , color= [red] ) ;

> P: = (t) ->A(t) *diff (C(t) ,t) -

diff (A (t) ,t)*C(t) : expand (P(t) ,t) : solve (P(t) , t) :

>

plot(P(t) ,t=0..TK,color=blue,thicknes s=2) ;#plot(P(t) ,t=4. .20,color =blue,thickness=2);

> evalf(P(t));

>urG:=diff (G(t) , t) =0 :

>

> urF : =dif f (F (t) , t) =-(C (t)-A (t) ) *r (t)/A (t) :

> urr:=diff(r(t) ,t)=0 :

>

>urFi:=diff (ffi (t) , t) =- (C (t) -A(t) *r (t) ) /A(t) -r (t) :

> urgam: =diff (gam(t) , t)=G(t) *cos (ffi (t) ) :

> urpsi:=diff(psi(t) ,t)=G(t)*sin(ffi(t)) :

>

resh:=dsolve([urG,urF,urr,urFi,urgam,urpsi,G(0)=G0,F(0)=F0,r(0)=r0 ,ffi(0)=0, gam (0) =gam0 ,psi (0) =psi0] , [G(t) ,F(t) ,r(t) ,ffi(t) ,gam(t) ,p

si(t) ] ,type=numeric,output=listprocedure) ;

>

> >

pic_curve :=odeplot (resh, [gam(t) ,psi(t)] ,0. .TK,numpoints=1000 , thick

ness=l):

>

>

pic_startdot:=PLOT(POINTS([gamO,psi0],SYMBOL(CIRCLE,11)),COLOR(RGB , 0.0, 0.0, 1.0),STYLE(PATCH)):

> display([pic_curve,pic_startdot]) ;

>

>10:=0.1: L0:=0.1 : G0:=1;

>

>A_s_tochkoj : = (t) ->diff (A(t) , t) :

> C_s_tochkoj: = (t)->diff(C(t) ,t) :

>

>url2 :=diff (1 (t) ,t)=L(t) * (1/C(t) -1/A(t) ) : >urL2 :=diff (L(t) , t)=L(t) / (A(t) -C(t) ) * (-A_s_tochkoj(t)*C(t)/A(t)+C_s_tochkoj(t)*A(t)/C(t)):

>urG2 :=diff (G(t) ,t)=(G(t)/A(t))*A_s_tochkoj(t) :

>

> resh2:=dsolve([url2,urL2,urG2,1(0)=10,L(0)=L0,

G(0)=G0],[l(t),L(t), G(t)],type=numeric,output=listprocedure);

>

>

pic_curvel:=odeplot(resh2,[t,G(t)],0..TK,numpoints=1000,thickness=

1) :

>

pic_curve2:=odeplot(resh2,[t,L(t)/G(t)],0..TK,numpoints=1000,thick ness=l):

> display([pic_curvel]);

> display([pic_curve2]) ;

Листинг программы расчёта КА с вытеснением «наружу» для БТБ с элементами цилиндрической формы

> restart;

> with(plots) :

> го:=780;R:=1; # плотность топлива и радиус элемента баков

> Н:=2;

> а:=Н; # выстота куба #ТТ:=20;Т:=ТТ*1.052;

>

>

> GO:=1.5;F0:=0;r0:=2;gam0:=0.05;psi0:=0.05; # начальные условия для дифференциальных уравнений

> d:=H/2+R;

>

>

>m0:=Pi*ro*RA2*H; # масса баков в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки) >Ix:=l/12*m0*(3*RA2+HA2); # момент инерции элемента бака в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки) >Iz:=l/2*mO*RA2;

># 10:=l/6*mO*aA2; # момент инерции элемента бака в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки)

>АО:=2*Ix+2*Iz+2*mO*dA2; # момент инерции группы баков относительно осей х и у в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки)

>СО:=4*Ix+4*mO*dA2; # момент инерции группы баков относительно оси z в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки) >evalf (СО) ;

>#A0_baka:=86000; # Момент инерции пустого бака относительно оси х (его лучше посчитать в соответствии с формой баков и определенной толщины баков)

>#C0_baka:=150000; # Момент инерции пустого бака относительно оси

z (его лучше посчитать в соответствии с формой баков и

определенной толщины баков)

>h0:=-a/2; hi:=0.05;

>h:=(t)->h0+hl*t;ТК:=(a/2-hO)/hi;

>m_topliva:=(t)->Pi*ro*RA2*(H/2-h(t)); # масса баков в текущий момент времени

> # d:=а; для кубов

>A_korp:=8600; # момент инерции корпуса космического аппарата относительно оси х (в начале взято с потолка)

>C_korp:=18600; # момент инерции корпуса КА относительно оси z

>m_korp:=100; # масса корпуса КА (постоянная величина)

>

>Func_I_xx:=(t)->Pi*ro*RA2/24*(3*H*RA2-6*RA2*h(t)+HA3-8*h(t)A3); # Момент инерции элемента топлива в баке относительно оси х

>Func_I_zz:=(t)->Pi*ro*RA4/4*(H-2*h(t)); # Момент инерции элемента топлива в баке относительно оси z

> rr:=(t)->а/2-1/2*(a/2-h(t)); # для цилиндров

> 11:=(t)->R+a-l/2*(a/2-h(t)); # для цилиндров

>plot([rr(t),ll(t),d],t=0..40,color=[red,blue,green]);

>

>A_topliva: = (t) ->2*Func_I_xx (t) +2*m_topliva (t) * (11 (t) A2-rr(t)A2)+2*Func_I_zz(t); # Момент инерции всего топлива относительно оси х

>C_topliva:=(t)->4*Func_I_xx(t)+4*m_topliva(t)*(11(t)A2-rr(t)A2);

# Момент инерции всего топлива относительно оси z

>

>plot([Func_I_xx(t),Ix],t=0..40,color=[red,blue]);

>

>M:=(t)->m_topliva(t)+m_korp; # масса всей стстемы топливо-КА в

текущий момент времени

>

> НН:=2 ; # высота корпуса КА

> Z_k_ot_dna:=а+НН/2;

>Z_t_ot_dna: = (t)->a/2-h(t)/2 ; # для цилиндрических баков

> # Z_t_ot_dna: = (t)->R-3/4*(RA2-h(t)A2) А2/(2*RA3-

3*RA2*h(t)+h(t)A3); # для сферических баков

>

> Zc_ot_dna: = (t)-

> (Z_k_ot_dna*m_korp+Z_t_ot_dna (0) *m_topliva (t) ) /M(t) ;

>

>Z_t:=Zc_ot_dna(0)-Z_t_ot_dna(0); # расстояние от центра масс всей системы в начальный момент времени до центра масс баков с топливом в начальный момент времени

> Z_k : =Zc_ot_dna ( 0 ) -Z_k_ot_dna ; # расстояние от центра масс

корпуса КА до центра масс системы в начальный момент времени

>

>

> A_s_volnoj: = (t)-

>A_topliva(t)+m_topliva(t)*Z_tA2+A_korp+m_korp*Z_kA2;

> C_s_volnoj: = (t)->C_topliva(t)+C_korp;

>

>Zc:=(t)->Zc_ot_dna(0)-Zc_ot_dna(t);# величина Zc из дополнения к статье

>A: = (t) ->A_s_volnoj (t) ; #+M(t) *Zc (t) A2 ; С : = (t)->C_s_volnoj(t) ;

> evalf(A(t)) : evalf(AO): evalf(C(t)): evalf(CO):

> evalf(A_topliva(t)) :

>

plot([A(t),C(t),A0+A_korp+m_topliva(0)*Z_tA2+m_korp*Z_kA2,C0+C_kor

p],t=0..40,color=[yellow,red,blue,green]);

>

plot([A(t),A0+A_korp+m_topliva(0)*Z_tA2+m_korp*Z_kA2],t=0..40,colo r=[red,blue]);

> # plot([A_topliva(t) ] ,t=0. . 10,color=[red]) ; #

, C (t) , AO+A_korp+m_topliva (0) *Z_tA2+m_korp*Z_kA2 , C0+C_korp

>

>plot( [M(t) *Zc (t) A2] , t=0. . 40 , color= [red] ) ;

>

> P : = (t) ->A (t) *diff (C(t) ,t)-

diff (A(t) ,t)*C(t) : expand (P (t) , t) : solve (P(t) , t) :

>

plot(P(t),t=0..TK,color=blue,thickness=2);#plot(P(t),t=4..20,color =blue,thickness=2);

> evalf(P(t)) :

>urG:=diff (G(t) , t) =0 :

>

>urF:=diff (F(t) , t) =- (C(t) -A(t) ) *r (t) /A(t) :

>urr:=diff (r (t) , t) =0 :

>

>urFi:=diff (ffi (t) ,t)=- (C(t) -A(t) *r (t) ) /A(t) -r (t) :

> urgam:=diff(gam(t) ,t)=G(t)*cos(ffi(t)) :

> urpsi : =diff (psi (t) , t)=G(t) *sin(ffi (t) ) :

>

resh:=dsolve([urG,urF,urr,urFi,urgam,urpsi,G(0)=G0,F(0)=F0,r(0)=r0 , ffi (0) =0 , gam (0) =gam0 ,psi (0) =psi0] , [G(t) ,F(t) ,r(t) ,ffi(t) ,gam(t) ,p

si(t)],type=numeric,output=listprocedure);

>

>

pic_curve:=odeplot(resh,[gam(t),psi(t)],0..TK,numpoints=1000,thick

ness=l):

>

>

pic_startdot:=PLOT(POINTS([gam0,psi0],SYMBOL(CIRCLE,11)),COLOR(RGB , 0.0, 0.0, 1.0),STYLE(PATCH)):

> display([pic_curve,pic_startdot]) ; >10:=0.1: L0:=0.1 : G0:=1;

>A_s_tochkoj:=(t)->diff(A(t),t):

> C_s_tochkoj: = (t)->diff(C(t) ,t) :

>

> ur 12 : =diff ( 1 (t) ,t)=L(t) * (1/C(t)-1/A(t) ) :

> urL2 :=diff (L (t) , t) =L (t) / (A(t) -C (t) ) * (-A_s_tochkoj(t)*C(t)/A(t)+C_s_tochkoj(t)*A(t)/C(t)):

>urG2 :=diff (G(t) , t) = (G (t)/A(t) ) *A_s_tochkoj (t) :

>

> resh2:=dsolve([url2,urL2,urG2,1(0)=10,L(0)=L0,

G(0)=G0] , [l(t) ,L(t) , G(t) ] ,type=numeric,output=listprocedure) ;

■< >

pic_curvel:=odeplot(resh2,[t,G(t)],0..TK,numpoints=1000,thickness=

1) :

>

pic_curve2:=odeplot(resh2,[t,L(t)/G(t)],0..TK,numpoints=1000,thick ness=l):

> display([pic_curvel]);

> display([pic curve2]) ;

Листинг программы расчёта КА с вытеснением «вниз» для БТБ с элементами сферической формы

> restart;

> with(plots) :

> го:=780; # плотность топлива и радиус элемента баков

> а:=2; # выстота куба #ТТ:=20;Т:=ТТ*1.052;

> R:=a/2;

>

>GO:=1.5;F0:=0;r0:=2;gam0:=0.05;psi0:=0.05; # начальные условия

для дифференциальных уравнений

>

>m0:=4/3*Pi*RA3*ro; # масса баков в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки) >10:=2/5*mO*RA2; # момент инерции элемента бака в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки) >АО:=4*lO+4*mO*RA2; # момент инерции группы баков относительно осей х и у в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки)

>СО:=4*I0+8*m0*RA2;# момент инерции группы баков относительно оси z в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки)

>A0_baka:=86000; # Момент инерции пустого бака относительно оси х (его лучше посчитать в соответствии с формой баков и определенной толщины баков)

>C0_baka:=150000; # Момент инерции пустого бака относительно оси z (его лучше посчитать в соответствии с формой баков и определенной толщины баков)

>h0:=-a/2; hi:=0.05;

>h:=(t)->h0+hl*t;TK:=(a/2-hO)/hi;

>m_topliva:=(t)->Р1*го*(R-h(t))А2*(2/3*R+l/3*h(t)); # масса баков в текущий момент времени

>d:=R*sqrt(2); # или R*sqrt(2) для сферы и просто а для кубов и цилиндров

># а := 2;

>А_когр:=8600; # момент инерции корпуса космического аппарата относительно оси х (в начале взято с потолка)

>С_когр:=18600; # момент инерции корпуса КА относительно оси г

>т_когр:=100; # масса корпуса КА (постоянная величина)

>

>Еипс_1_хх:=(Ъ) ->Р±*го/10* (8/3*ИА5+Ь (А5/4-

15/4*ИА4*Ь (1:) +5/б*КА2*Ь (Ъ) А3) ; # Момент инерции элемента топлива в баке относительно оси х

> Еипс_1_гг: = (Ь)->Р±*го/10*(8/3*ИА5-Ь(Ъ)А5-

5*ИА4*Ь(Ь)+10/3*ИА2*Ь(Ъ)А3); # Момент инерции элемента топлива в баке относительно оси г

>A_topliva: = (t)->4*Func_I_xx(t)+2*m_topliva(t)*dA2; # Момент инерции всего топлива относительно оси х

>C_topliva:=(t)->4*Func_I_zz(t)+4*m_topliva(t)*dA2; # Момент

инерции всего топлива относительно оси z

>

>M:=(t)->m_topliva(t)+m_korp; # масса всей стстемы топливо-KA в

текущий момент времени

>

> H :=2 ; # высота корпуса КА

> Z_k_ot_dna:=а+Н/2;

># Z_t_ot_dna: = (t)->a/2-h(t)/2 ; # для цилиндрических баков

> Z_t_o t_dna: = (t)->R-3/4*(RA2-h(t)A2)A2/(2*RA3-3*RA2*h(t)+h(t)A3) ;

# для сферических баков

>

> Zc_ot_dna: = ( t) -

> (Z_k_ot_dna*m_korp+Z_t_ot_dna (0) *m_topliva (t) ) /M(t) ;

>

> Z_t: = (t)->Zc_ot_dna(0)-Z_t_ot_dna(t) ; # расстояние от центра масс всей системы в начальный момент времени до центра масс баков с топливом в текущий момент времени

> Z_k : =Zc_ot_dna (0) -Z_k_ot_dna; # расстояние от центра масс

корпуса КА до центра масс системы в начальный момент времени

>

>Zc:=(t)->Zc_ot_dna(0)-Zc_ot_dna(t);# величина Zc из дополнения к статье

> rr:=(t)->3/4*(RA2-h(t)А2)А2/(2*RA3-3*RA2*h(t)+h(t)А3); #для сфер

> #rrl:=(t)->R-rr(t); # расстояние от дна бака до ц.м. бака для сфер

> pp:=(t)->rr(t); # для сфер

>#rr:=(t)->а/2-1/2*(a/2-h(t));# для кубов и цилиндров

>#ll:=(t)->3/2*а-1/2*(a/2-h(t)); # для кубов и цилиндров

>

>#рр:=(t)->3/2*а-1/2*(a/2-h(t)); # расстояние от геометрического центра баков до центра масс топлива в текущий момент времени по оси z. В версии с вытеснением наружу это величина гг

> A_s_volnoj: = (t)->A_topliva(t)+m_topliva(t)*(Z_t(t)A2-pp(t)A2)+A_korp+m_korp*Z_kA2;

> C_s_volnoj: = (t)->C_topliva(t)+C_korp; >A: = (t) - >A_s_vo 1 no j (t) -M(t) *Zc(t) A2 ;

C : = (t)->C_s_volnoj(t);

> evalf(A(t)) : evalf(AO): evalf(C(t)): evalf(CO):

>

> plot( [A ( t) ,C(t) ,AO+A_korp+m_topliva(0)*(Z_t(0)A 2-

pp (0)A2)+m_korp*Z_kA2,C0+C_korp],t=0. .10,color=[yellow,red,blue,gr

een]);

>

>#plot([M(t)*Zc(t)A2],t=0..10,color=[red]);

>

> P: = (t)->A(t) *diff (C(t) ,t)-

diff (A (t) ,t) *C(t) : expand (P(t) , t) : solve (P(t) , t) :

>

plot(P(t),t=0..TK,color=blue,thickness=2);#plot(P(t),t=4..20,color. =blue,thickness=2);

>urG:=diff (G(t) , t) =0 :

> urF : =diff (F (t) , t) =-(C (t)-A(t) ) *r (t)/A(t) :

>urr:=diff (r (t) , t) =0 :

>

>urFi:=diff (ffi (t) ,t)=- (C(t) -A(t) *r (t) ) /A(t) -r (t) : >urgam:=diff (gam(t) , t)=G(t) *cos (ffi (t) ) :

> urpsi:=diff(psi(t) ,t)=G(t)*sin(ffi(t)) :

>

resh:=dsolve([urG,urF,urr,urFi,urgam,urpsi,G(0)=G0,F(0)=F0,r(0)=r0 ,ffi(0)=0,gam(0)=gam0,psi(0)=psi0] , [G(t) ,F(t) ,r(t) ,ffi(t) ,gam(t) ,p

si(t) ] ,type=numeric,output=listprocedure) ;

>

pic_curve:=odeplot(resh,[gam(t),psi(t)],0..TK, numpoints=1000,thick

ness=l):

>

pic_startdot:=PLOT(POINTS([gam0,psi0],SYMBOL(CIRCLE,11)),COLOR(RGB , 0.0, 0.0, 1.0),STYLE(PATCH)):

> display([pic_curve,pic_startdot]) ;

>10:=0.1: L0:=0.1 : G0:=1;

> A_s_tochkoj: = (t)->diff(A(t) ,t) : >C_s_tochkoj: = (t)->diff(C(t) ,t) : >url2:=diff (l(t) ,t)=L(t) * (1/C(t)-1/A(t) ) :

> urL2:=diff(L(t) ,t)=L(t)/(A(t)-C(t))*(-

A_s_to chko j(t)*C(t)/A(t)+C_s_tochko j(t)*A(t)/C(t)) : >urG2 :=diff (G(t) , t) = (G(t) /A(t) ) *A_s_tochkoj (t) :

> resh2:=dsolve([url2,urL2,urG2,1(0)=10,L(0)=L0,

G(0)=G0] , [l(t) ,L(t) , G(t) ] ,type=numeric,output=listprocedure) ;

>

pic_curvel:=odeplot(resh2,[t,G(t)],0..TK,numpoints=1000,thickness=

1) :

>

pic_curve2:=odeplot(resh2,[t,L(t)/G(t)],0..TK,numpoints=1000,thick ness=l):

> display([pic_curvel]);

> display([pic_curve2]) ;

Листинг программы расчёта КА с вытеснением «вниз» для БТБ с элементами цилиндрической формы

> restart;

>with(plots) :

> го:=780;R:=1; # плотность топлива и радиус элемента баков

> а:=2; # выстота куба #ТТ:=20;Т:=ТТ*1.052;

> Н:=а;

>

> GO:=1.5;F0:=0;r0:=2;gam0:=0.05;psi0:=0.05; # начальные условия для дифференциальных уравнений

> d:=R*sqrt(2) ;

>

>m0:=Pi*ro*RA2*H; # масса баков в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки) >Ix:=l/12*m0*(3*RA2+HA2); # момент инерции элемента бака в начальный момент времени (вводилась в программ для проверки на этапе отладки) >Iz:=1/2 *m0 *RA 2;