Нечеткие методы в линейных системах и их применение при обработке и управлении в условиях неопределенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Хрисат Мохммад Слеман (Иордания)

• Хрисат Мохммад Слеман (Иордания)
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Хрисат Мохммад Слеман (Иордания)

СОДЕРЖАНИЕ

Список аббревиатур и обозначений

Введение

Глава 1. Нечеткие модели некоторых математических объектов

1.1 Классификация и методы решения НСЛАУ

1.2 Нечеткая начальная задача (задача Коши)

1.3 Постановка задачи исследования

Глава 2. Нечеткие системы линейных алгебраических уравнений

(НСЛАУ) [56]

2.1 Метод вложения Фридмана решения НСЛАУ

2.2 Сильные и слабые решения НСЛАУ и их взаимосвязь

2.3 Решение НСЛАУ для вырожденной расширенной СЛАУ

Глава 3. Применение теории НСЛАУ в задачах обработки информации

3.1 Нечеткая интерполяция [58-60]

3.2 Нечеткие сплайны

3.3 Оценивание параметров модели по нечетким случайным (гибридным) данным

3.4 Нечеткое минимаксное оценивание [71, 72]

Глава 4. Применение теории НСЛАУ в задачах оптимального управления

4.1 Нечеткая вариационная задача [65]

4.2 Нечеткое программное управление

4.3 Синтез нечеткого управления с полной обратной связью методом динамического программирования [89, 90]

4.4 Нечеткая оптимизационная задача о быстродействии

4.5 Нечеткие дифференциальные игры [93]

Общие выводы по диссертации и Заключение

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Основные положения теории нечетких множеств

П.1.1 Нечеткие логические операции и вычисления

Приложение 2. Моделирование динамики нечеткой системы

автоматической оптимизации (САО)

П.2.1 Постановка задачи

П.2.2 Метод решения

П.2.3. Многократная нечеткая САО

П.2.4. Моделирование нечеткой САО

Приложение П.2.А. Текст программы по моделированию динамика нечеткой САО

Приложение П.3 Результаты

диссертации(акт о внедрении)

Рисунки и таблицы

экономической

эффективности

СПИСОК АББРЕВИАТУР И ОБОЗНАЧЕНИЙ

НСЛАУ - нечеткая система линейных алгебраических уравнений ЧСЛАУ - четкая система линейных алгебраических уравнений ИСУ - интегрированная система управления

АСУ ТП - автоматизированная система управления технологическими процессами

АСУ - автоматизированная система управления

ТНМ - теория нечетких множеств

ТАР - теория автоматического регулирования

НЛР - нечеткий логический регулятор

БЗ - база данных

ПО - программное обеспечение

ПК - персональный компьютер

ОПО - объектовое программное обеспечение

ЛП - лингвистические переменные

ЛПУ - лингвистические правила управления

НМНК - нечеткий метод наименьших квадратов

ВЧМНК - взвешенный четкий метод наименьших квадратов

ЧМНК - четкий метод наименьших квадратов

хп - нечеткий (нижний индекс «н») элемент

Фн ) - нечеткая функция одной переменной «1»

Фн (?, х,..., £) - нечеткая функция многих переменных

фн () - нечеткая производная

ГД - гибридные данные

МО - модель объекта

ФК - функционал качества

М - модель

НГУ - нечеткие граничные условия

САО - система автоматической оптимизации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нечеткие методы в линейных системах и их применение при обработке и управлении в условиях неопределенности»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы.Наличие неопределенной или нечеткой информации, которая не может быть интерпретирована в детерминированных или вероятностно-статистических терминах, приводит к тому, что традиционные количественные методы, используемые в теории автоматического управления, являются недостаточно адекватными.В результате появляются трудности в формировании законов управления. Их преодоление обычно происходит в двух направлениях. Одно из них состоит в использовании нечетких понятий и знаний, оперировании над ними с применением нечетких логических правил и в получении на их основе нечетких выводов, на базе которых формируется закон логического управления.В этих случаях используется математическая теория нечетких множеств, которая была предложена Л.Заде (L.Zadeh) (США) [1], алогику, которая построена на основе этой теории, принято называть нечеткой логикой (fuzzylogic). Управление, которое основано на нечеткой логике, обычно называют нечетким логическим управлением (fuzzylogiccontrol) [2]. Это направление в настоящей работе не рассматривается.

Другим направлением, котороерассматривается в диссертации является, развитие теории нечетких множеств применительно к нечетким задачам обработки информации и управления, разработка нечетких методов решения различных прикладных задач управления при наличии неопределенностей, представляемых в нечетких терминах. К ним можно отнести задачи нечеткого оптимального управления, нечеткого робастного управления,

методов решения нечеткой начальной задачи (задачи Коши), нечетких стохастических дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, исследование нечетких гауссовских и марковских случайных процессов и т.д. Во всех этих задачах появляется проблема решения

нечеткихсистем линейных алгебраических уравнений(НСЛАУ). Поэтому логично разработка, исследование и применение методов решения НСЛАУ является одной из центральных и актуальных тем в современной теории систем управления. Применение результатов рассмотрения и решение задач по этой теме позволит в конечном итоге обеспечить выпуск готовой продукции с более высокими показателями качества за счет учета влияния в динамических моделях различного рода неопределенностей.

Работа проводилась на кафедре Кибернетики и мехатроники инженерного факультета Российского университета дружбы народов (РУДН) г. Москвы в соответствии с тематическим планом аспирантской деятельности в рамках международной образовательной деятельности между Иорданией и Россией.

Актуальность темы подтверждается решениями заседаний кафедры Кибернетики и мехатроники, ученого совета РУДН, утвердивших тему диссертации в 2012 г.

Целью диссертационной работы является примененныематематической теории решения НСЛАУ к разработке нечетких моделей управления и обработки нечеткой информации,атакже применение полученных научных результатов к разработке методов, созданию алгоритмов исоответствующих компьютерных программ оценивания параметров математических моделей объектов управления при воздействии возмущений, представляемых различными нечеткими моделями.

Научные положения, выносимые на защиту:

- методы решения задач нечеткой интерполяции, сглаживания нечеткими сплайнами, простейших задач нечеткого вариационного исчисления и нечеткого статического оцениваниякак эквивалентные

задачи решения НСЛАУ, возникающих при обработке нечеткой информации;

- результаты решения нечеткой начальной задачи первого порядка (задачи Коши) при моделировании нечеткой системы автоматической оптимизации.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, состоит в следующем:

- разработан общий метод решения задачи нечеткого оценивания путем эквивалентного ее представления в виде решения соответствующей НСЛАУ;

- получены новые модели нечетких оценок в виде «сильных» и «слабых» нечетких переменных;

- разработаны нечеткие модели оптимального управления с нечеткими граничными условиями как решения НСЛАУ различных типов («сильный»/ «слабый»), таких какпрограммное управление, управление с полный обратной связью,быстродействия, дифференциальных игр.

- разработана динамическая модель системы автоматической оптимизации, представленная в Приложении (П2).

Объект исследования представляется в виде нечетких динамических систем, которые описывают различные типы объектов: нечеткие модели двигателей, спутников, системы связи и их надежности и других.

Методы исследования. В диссертационной работе использовались методы алгебры матриц, математической статистики, нечетких вычислений, аппарат решения дифференциальных уравнений различных типов, компьютерное моделирование.

Исследования проводились на математических и программных моделях.

Достоверность научных положений определялась сопоставлением результатов исследований для нечетких переменных с результатами соответствующих четких аналогов. Как известно, четкие переменные являются частным случаем нечетких переменных.

Обоснованность и достоверность использования нечетких методов проверялась на типовых примерах, которые были опубликованы зарубежными авторами в журнале «FuzzySetsandSystems», который является ведущим в мире в области теории и практики нечетких методов.

Практическая ценность связана с адекватностью описания возмущений и простотой методов оценки наилучшего и наихудшего состояний системы. Таким образом, адекватность и простота составляют основную практическую ценность результатов диссертации по сравнению с общепринятыми методами, например, гарантированного, робастного, стохастического и др.

Реализация результатов работы.Смоделированы динамика нечеткой системы автоматической оптимизации. Приложение П2, приведен акт о внедрении результатов работы. Приложение П3.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, в том числе в ведущих научно-технических изданиях России, включенных в перечень ВАК: «Информационные технологии»; электронные журналы «Наука и инновации», «Современные проблемы науки и образования».

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических мероприятиях.

- VI Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы - 2013», М., 24-26 апреля 2013 г., РУДН.

- Международный симпозиум «Интеллектуальные системы -INTELS'2014», М., 30 июня - 4 июля 2014 г., РУДН.

- Международный симпозиум «Надежность и качество», май - июнь 2013, 2014 гг., г. Пенза, ПГУ.

- Международная научная конференция «Современные наукоемкие технологии», 8-15 июня 2014 г., г. Акаба, Иордания.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложенийП1, П2, П3 и списка литературы из 98 наименований, 13 рисунков, 1 таблиц.

Примечание. В совместных публикациях личный вклад авторов распределяется в равных долях.

ГЛАВА 1. НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

ОБЪЕКТОВ.

Интегрированные системы управления (ИСУ) промышленными предприятиями, оборонными комплексами, информационными и вычислительными процессами в сетях ЭВМ, экономическими и экологическими процессами имеют, как правило, распределенную и иерархическую структуру. Пример такой многообъектной системы управления приведен на рис. 1.1. Каждый иерархический уровень ее характеризуется перечнем функций, который реализуются разнообразными техническими средствами.

Уровень 1 выполняет функции управления исполнительными органами (электроприводами) и первичной обработки показаний датчиков (фильтрация, интерполяция, сглаживание сплайнами, сжатие информации и т.д.).

Уровень 2 реализует функции логического управления отдельными частями объекта управления, решения оптимизационных задач управления, идентификации, адаптивного управления в одном темпе с технологическим процессом (on-line) и другие функции.

Уровень 3 осуществляет статистическую обработку данных о технологическом процессе, отображение ее на различных терминалах, документирование и представление на разнообразных носителях информации.

Уровень 4 реализует задачи численного решения разнообразных задач по математическим моделям процесса, представления решений по запросам оператора, а также передачу данных к системам более высокого уровня и другим параллельным структурам.

Рассмотренная структура не является универсальной и представляет собой, скорее всего, одну из возможных структур. Здесь уровни 1 -3 представляют собой различные АСУ ТП, а уровень 4 и его модификации

реализуются в различных организационных системах и, как правило, рассматриваются при проектировании АСУ.

Сегодня наблюдается широкое использование интеллектуальных систем на всех уровнях ИСУ. Одним из направлений в их интеллектуализации является применение теории нечетких множеств (ТНМ) к разработке и внедрению нечетких законов управления. Обычно выделяют разнообразные моделинечетких вычислений применительно к решению НСЛАУ и представлению нечетких производных в ТНМ.Это обусловлено тем, что во многих случаях нечеткие динамические системы в ТАР'е представляются, как правило, в виде нечеткой начальной задачи (задачи Коши), нечеткой краевой задачей и других математических объектов свыделением единственного нечеткогорешенияэтих задач путем решения во многих случаях соответствующей НСЛАУ.

Эти области не являются исчерпывающими и наблюдается дальнейшее проникновение ТНМ в ТАР.

Ниже на основании [4] даетсякраткий обзор некоторых методов, связанных с нечеткими моделями, в частности с ращением НСЛАУ и нечеткими начальными задачами, которые возникают в управлении.

1.1Классификация и методы решения НСЛАУ.

В ТНМ нечеткие линейные системы имеют следующий вид

АХ = У ,(1.1)

Где А-матрица, Y- вектор или матрица, X- неизвестное переменное. Полагается, что все элементы уравнения имеютсогласованную размерность. В

соответствии с [3] имеет место следующая классификация нечетких линейных систем;

(i)1A- матрица имеет четкие элементы, Y- вектор с нечеткими элементами с функциями принадлежностей в общем виде полиномиального типа (треугольного, параболического и других), X- вектор с нечеткими элементами, подлежащие определению, тогда такую систему принято называть НСЛАУ;

(i)2A- матрица с нечеткими элементами; Y-вектор содержит нечеткие элементы, X- вектор имеет нечеткие элементы, подлежащие определению, тогда системыпринято называть полной (ШП)НСЛАУ;

(^подобна системе ^)2типа, однако ищется вектор X с четкими элементами, тогда такую систему будем называть полной НСЛАУ с четким решением;

(i)4 А- матрица с нечеткими элементами; Y- матрица с нечеткими элементами, неизвестное X содержит нечеткие элементы, тогда такую систему называют нечетким матричным уравнением.

В настоящей работе далее будетиспользована НСЛАУ (^типа,примение которой будет обусловлено последующими постановками задач исследований.

Для решения НСЛАУ (i)1-4 типа с небольшим числом данных (dim A <(4 х 4)), как правило, применяют следующие методы "вложения"( embedding) :

- по Фридману (M.Friedman) [4];

- по Еззати (R.Ezzati) [5];

- по Аббасбанди (S.Abbasbandy) [6],

а также традиционный метод Гаусса приведениярасширенной матрицы S получаемой из А, к треугольному виду [7].

Идея метода Фридмана состоит в преобразовании по заданному правилу исходной НСЛАУ с матрицей А с (dim A <(n х n)), в расширенную ЧСЛАУ с матрицей S с (dim S <(2n х 2n)),

Si = Y, (1.2)

Поэтому можно считать, что НСЛАУ как бы "вложена " в ЧСЛАУ. Здесь S блочнаяматрица

S =

B СЛ

С B

B -состоит из положительны элементовА, С -состоит из

У (2n х 2n)

модулей отрицательных элементов А, поэтому А=В-С.

Далее, если единственно X = S где

det A ф 0 и det(B + С) ф 0 ^ решение X существует

и

S 1 =

(D EЛ D = 0,5 •

КЕ Dy

Е = 0,5 •

(B + с У + (в - с г \ (в+с)--(в - С)-1 ] '

(1.3)

Более подробно метод вложения по Фридману изложен в гл.2 диссертации.

Метод Еззати и Аббасбанди являются модификациями метода Фридмана, заменяющие исходную НСЛАУ на НСЛАУ.

В метод нечеткого центра исходная НСЛАУ преобразуется в ЧСЛАУ относительно центра (ядра) функций принадлежностей правой части исходной НСЛАУ. Далее ЧСЛАУ решается традиционным способом и полученное решение преобразуется в решение НСЛАУ.

При большомчисли данных (dim A > (4 х 4)), для решения НСЛАУ используется итерационные методы.

Для этого исходная НСЛАУ с матрицей А преобразуется методом вложения, как правило, по Фридману и далее для ЧСЛАУ сматрицей S применяются традиционные итерационные методы [8,9]. Во многих из них в

основе лежит Q,Т разложение матрицы S [10,11], где Q матрица с

диагональными элементами S,а Б = @ - Т. например, при

£ =

( 2 -Л

V-1 2 ,

(1.4)

получим Q =

(2

,0 2,

тогда Т = Q - Б =

(0 1 ^

V1

Очевидно, QX = (Q - £)Х + У .Это соотношение

проводит

к

итерационномупроцессу qxm+l - б)хт + у ^ хт+^-1 (2 - б)хт + q ~1у , которое является базовым и , задаёт различные типы итерационных методов . Некоторые из них приведены ниже

Метод Ричардсона задает Q = I -единичная матрица.

Метод Ричардсона экстраполяционный задает Q = а-1,а > 0 - параметр.

Метод Якоби задает Q = ёга^В.

Метод Якоби сверх релаксационный Q = co~ldiagD.

Метод Гаусса-Зейделяпрямой итерации задает Q = D + Ь где Ь -нижняя

треугольная, Б =

В 0 ^ С В

, D = diagD = diag

Ц + Ь 0 ^

С

D1 + Ь J

Метод Гаусса-Зейделя обратной итерации задает Q = D + и где и верхняя

(В С^ 0 В

треугольная матрица Б =

Метод Гаусса-Зейделя экстраполяционный задает Q = а 1 ф + Ь), где а -параметр.

Метод последовательный сверхрелаксационный прямой и обратной итерации соответственно задаются Q = с 1 ф + аЬ) ; Q = с 1 ф + си) ,гдес> 0

Метод ускоренный сверхрелаксационный прямой и обратной итерации соответственно Q = С ^ + аЬ), Q = С ф + аи).

Методэкстраполяционный последовательный сверхрелаксационный прямой и обратной итерации соответственно Q = (ca )-1 (d + aL),

Q = (coa)1 (D + aU).

Метод последовательный сверхрелаксационный симметричный и не симметричныйсоответственно

Q = [с (2-с)]"1 х (d + cL)D " (D + cU), Q = (с (P + cL )D 1 (D + a2U).

Метод Эйткина экстраполяционный модифицированный

Q = со- (D + coL)D- (D + cU).

Дальнейшая совокупность методов связана с введением различный переменных по итерациям параметров. Помимо Q,T разложения матрицы S широко используется метод её расщепления (Splitting-S) на Эрмитовскую (Hermitian-H) и скивскую (Skew—S) матрицы -метод HSS: S = H + D, где H, D -эрмитова и скивская матрица соответственно. В этом случае системаSX = Y, преобразуетсяв две ЧСЛАУ.

Обычно впрактической деятельности перечисленные методы сравниваются по тестовым задачам, имеющие точное решение по следующим критериям:

- ошибка решения по сравнению с точным решением;

- время решения;

- число требуемых итераций;

- спектр радиуса сходимости;

- скорость сходимости.

В [8]приведены результаты моделирования по перечисленным критериям и, например,показано, что по критериям спектр радиуса сходимости и скорости

сходимостилучшим методом является метод Гаусса-Зейделя обратной итерации.

Метод псевдообрацения при решении НСЛАУ с матрицей А, которая каким-то образом преобразована в ЧСЛАУ срасширенной матрицей S изложены в [7,12,13] наиболее популярными является следующие:

- скелетное разложение Б [12];

- последовательный метод Гревипля [12];

- блочный метод [12];

- сингулярного разложения [7];

- метод Отади (Otadi) [13].

В дальнейшем в диссертационной работе будетиспользована теория решения НСЛАУ. Тем не менее решение полных НСЛАУ представляет самостоятельный интерес для практической деятельности.

Это тема подробно изложена в [14-16]. В [17] решение полной НСЛАУ получается путём применения а- разрезов. В результате получается совокупность ЧСЛАУ, которые

решаетсятрадиционнымиитерационнымиметодами, изложенные выше, и далее путем применения дефазификации получаютрешение в вид с интервалов из четких чисел.

Из проведенного краткого обзора по методам решения НСЛАУ следует, что для систем с небольшойразмерностью,которые обычно встречаются при исследовании свойстврешений нечетких динамических систем, и возможностью иханализа, целесообразно использовать метод вложения Фридмана.

Очевидно при исследовании свойств решенийнелинейных нечетких динамических систем методами Галеркина, Канторвича и других, когда точность аппроксимации зависит от числа базисных функции, целесообразно применять нечеткие итерационные методы. Это позволяет увеличитьточность решения НСЛАУ.

1.2 Нечеткая начальнаязадача (задача Коши)

На всех уровнях ИСУ (рис. 1.1) в той или иной форме происходит обработка информации. Она в своем составе всегда имеет неопределенность. Это приводит к необходимости оценки точности управляющих алгоритмов. Задача оценки точности (погрешности) тесно связана с математическими моделями представления неопределенности. В традиционной форме для ее описания обычно используются детерминированные или вероятностно-статистические методы [18-21]. В последнее время в связи с интенсивным развитием теории нечетких множеств созданы новые математические модели неопределенностей. В детерминированном случае неиспользование нечеткостей [22], а в вероятностно-статическом - нечеткие вероятностно-статистические модели. Ниже приведен обзор по нечетким вероятностным методам в задачах управления [23].

При реализации различного рода АСУ ТП одними из основных типовых функций, как правило, являются следующие:

- оценка проектных показателей надежности и диагностика технических средств и технологического оборудования;

- управление различным технологическим оборудованием;

- фильтрация алгоритмическими методами неконтролируемых возмущений при обработке показаний датчиков;

- параметрическая и структурная идентификация параметров ТП с целью повышения точности и быстродействия управляющих алгоритмов.

При их реализации в виде алгоритмов с последующим созданием на их основе программных продуктов используются методы классических разделов математики и, в частности, достаточно широко применяются традиционные вероятностно-статистические методы. Эти методы позволяют учитывать различного рода неопределенности, которые всегда возникают при описании реальных процессов, в виде тех или иных математических моделей. Вероятностно-статистические методы сконструированы на основании аксиоматического подхода, при котором априори задаются некоторые ограничения на свойства изучаемых объектов. Поэтому при использовании этих методов для описания неопределенностей на них накладываются ограничения, которые необходимы в рамках аксиоматической теории.

Например, неопределенность может интерпретироваться в виде некоторого случайного события. При этом предполагается, что случайное событие является четким. Вероятностные законы распределения случайных величин также определяются для четкого случая, и на эти законы накладываются, как правило, различные ограничения: симметричность плотности распределения, наличие ограниченности числовых характеристик и т.д. Для случайных процессов, используемых при описании неопределенностей, также формулируют различного рода ограничения путем постулирования заданных свойств этих неопределенностей: некоррелированности, стационарности и т.п.

Наличие перечисленных ограничений в рамках традиционных вероятностно-статистических методов приводит к тому, что управляющие

алгоритмы, базирующиеся на этих методах, не всегда могут обеспечить высокие требования по быстродействию, точности, помехозащищенности, простоте реализации и другим параметрам. В некоторых случаях это может привести к невозможности получения готовой продукции с заданными высокими потребительскими свойствами.

Одним из направлений в решении указанной проблемы является путь снижения ограничений при описании неопределенностей. Для этих целей могут быть использованы нечеткие вероятностно-статистические методы, некоторые из которых в настоящее время уже разработаны, а другие находятся в стадии постановки задачи.

Ниже даются примеры использования детерминированной неопределенности (нечеткости) при решении нечеткой начальной задачи [2326].

Далее дается классификация (типы) нечетких производных, часть из которых используется для представления нечеткой начальной задачи первого порядка.

1.2.1. Типы нечетких производных. Пусть для простоты имеем нечеткую функцию одного переменного ун (x) = y(x,r), x,r e R1, r e [0;l], т.е. УН (x) = (y(x, r), у(x, r) | r e [0;l]), которая при любом x e I с R1 определяет

нечеткое треугольное число. Согласно общему подходу при определении производной от некоторой функции в заданном пространстве необходимо в нем задать операции «-» (вычитания), «х» (умножения) на константу и «lim » (предельный переход относительно заданной метрики). Применение этого общего подхода к различным метрическим пространствам приводит к разнообразным нечетким производным.

1.2.2. Производная Гостшела-Воксмана (Сое818Ье1-Уохта^епуа11уе)

обозначается уН (х). Для нее метрика задается по (П.1.4) и соответствующая производная в точке х = х0 равняется

y%V (х = x0 )= Mm Pi {уш> yjH

pi ^0

i-i t ,\= lim

Уш = h Ун (xo + h) h yjH =h 1 Ун (xo)

Ун (xo + h)- Уш (xo )

h

(1.5)

при условии, что соответствующий предел (lim) существует в заданной метрике.

Операция вычитания для элементов yiH (x0 + h) = [y (x0 + h, r), yi (x0 + h, r )) r e [0;l]), Угн (x0) = (y (x0,r),yi (x0,r)r e [0;l]),которые находятся под знаком «lim » задается в виде

Угн (xo + h) - Ун (xo) = (Уг (xo + Кr) - yi (xo, r),yi (xo + h,r) - У, (xo,r)

г _г (1.6)

r e

Это обусловлено тем, что первая разность задает « min », а вторая разность задает « max » в скобке справа от знака равенства. Заметим здесь, что стандартная операция вычитания согласно принципу расширения (п. П.1.1.5) задается в виде

Уш (xo + h) - Уш (xo) = (У (xo + h>r) - У (xo>r) У (xo + h>r) - У j (xo>r)

j ~г (1.7)

\r eio;L,

которая отличается от этой операции при определении GV производной. Если yH ^существует приx e I с R1, то yH' (x)=(y (x, r), yx (x, r)r e

однако yH (x = x*) не существует, если при x = x* соответствующее число не является нечетким, т.е. не выполняется хотя бы одно из свойств, перечисленных в п. П.1.1.2, или не определена операция вычитания под знаком «lim ».

1.2.3. Производная Сейккалы (Seikkaladerivative) обозначается символом yH (x) и определяется следующим образом. Если (y (x, r),yx(x,r)r e[0;l]),

задает нечеткое число для любого х, то yH (х) существует и равна

уН(х) = (yх(хr),Ух(хr)r е [0;1])-

1.2.4. Производная Дубоиса-Праде (Dubois-Pradederivative)

обозначается yD(х). Эта производная всегда существует для любого х, т.к., если х = х* соответствующее число не является четким, т.е. производная не существует, то путем соответствующей модификации его функции принадлежности оно превращается в «слабое» нечеткое число (п. П.1.1.2 (4)), и тогда в этой точке уже существует yН (х = х*). Функция принадлежностей задается в виде г^ор (х) = sup jr/х = y х (х, r ), х = у(х, r )|.

1.2.5. Производная Пури-Ралеску (Puri-Raleskuderivative)

обозначается yH (х). Метрика в этом случае задается по Хаусдорфу (1.6) и соответствующая производная в точке х = х0 равняется

yН(х = хо) =lim Рн ^о Рн (Уи , yjH), Ри (■) - метрика Хаусдорфа.

Операция вычитания под знаком «lim » задается посредством процедуры « * » Хукухары (Hukuhara) для нечетких множеств A, B: B*A = C, где C - нечеткое множество: C + A = B. Дифференцируемость в точке х = х0 е I с R нечеткой функции yH (х) по Пури-Ралеску определяется в виде

y Н(х = хо) =lim h + h _1 ■ [ун (хо + ЬЪи (хо)] =lim h + h _1 ■ [у и (хо )*Уи (хо + h)]. Оба предела взяты по метрике Хаусдорфа ри (■) (П.1.5).

1.2.6. Производная Кэндела-Фридмана-Минга (Kandel-Friedman-Mingderivative) обозначается символом уН™ (х). Метрика pP (■) задается по (П.1.6). Производная в точке х = х0 е I с R нечеткой функции определяется в

виде lim Pp (h_1 ■(уи (хо + h)~ У и (хо )), yWM (хо ))= 0, где операция вычитания задается в виде аналогичной операции для производной по GV.

Если производная Кэндела-Фридмана-Минга существует, то УГ (х )=(Ух (х, Г), У(х, г) г е[0;1]).

1.2.7. Взаимосвязь нечетких производных определяется следующей теоремой (без оказательства).

1.2.8. Если уН (х) существует и является нечетким числом для каждого х е I с Я1, то уНН (х) существует и справедливо равенство уН (х)= уН (х).

1.2.9. Если у™ (х) существует, то (х) существует и для них справедливо равенство: у™ (х) = уН (х).

1.2.10.Если у^ (х) существует, то у^ (х) существует и справедливо уГ (х)=у% (х).

1.2.11. Если у'Б (х) существует и если у (х, г), ух (х, г) обе непрерывны,

то « г » для Ух е I с Я1, то (х) = у^ (х).

Условие непрерывности.Если у , уН непрерывна на I х [0;1], то это

означает, что уН (х) непрерывна.

Теорема о взаимосвязи производных (без доказательства). Если выполнено условие непрерывности и уБ (х) существует, то имеет место цепочка равенства производных:

& (х) = у^Р (х) = у™ (х) = у™ (х)=у™ (х)= у Н (х), (1.8)

т.е. все введенные ранее производные равны между собой.

Пример.Имеем у Н (х) = (- х -V1 - г,х - V1 - г|г е [0;1])^

^ ун(х)= (|у(х,г),|у(х,г)г е [0;1])= (-1 - 4\~г,1 - л/1-7|г е [0;1]).

1.2.12. Нечеткая начальная задача. Рассматривается для производных типа уНК (х), уН (х), уНГ (х). Для нечетких производных уН (х), уНР (х) нечеткая начальная задача, как правило, не рассматривается. Это обусловлено

тем, что в последних двух случаях невозможна ситуация, когда эти производные для какого-то x = x* не выражаются нечеткими числами (п. П.1.1.2 (2)), т.е. один из углов их функций принадлежностей относительно основания больше 90°, и тогда эти производные не существуют. В трех предыдущих случаях эти производные всегда существуют, т.к. в случае, отмеченном ранее, используются нечеткие «слабые» числа.

1.2.13. Постановка задачи. Пусть имеем четкое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

— = f (x, y, к), y(x = 0) = c - const, (1.9)

dx

где к = (к1,..., кп) - вектор констант;

x е I - некоторый промежуток (закрытый и ограниченный), который также содержит константу, равную нулю.

Полагается, что f(•) удовлетворяет условиям, когда (1.9) имеет

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хрисат Мохммад Слеман (Иордания), 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Заде Л.А., Понятие лингвистической переменной и его применение к

принятию приближенных решений. - М.:Мир, 1976. - 165 с.

2. The fuzzy logic standard IEC 1131-7 - 1997.

3. Amirfakhrian M. Numerical solution of a system of polynomial parametric

from fuzzy liner equation. Department of mathematics, Islamic Azad University, Central Teheran Branch (IAUCTB), Iran,24, С. 434-4509.

4. Menahem Friedman, Ma Ming, Abraham Kandel, Fuzzy linear systems //

Fuzzy Sets and Systems. - 1998. - № 96. - С. 201-209.

5. Ezzati R. Solving fizzy liner system. Soft computing, 15(1) (2001),С. 193-

197.

6. Abbasbandy, S. & Alavi, M., A method for solving fuzzy linear system,

Iranian Journal of Fuzzy Systems, Vol. 2, (2005) С. 37-43.

7. Канатников А.Н., Крищенко А. П. Линейная алгебра, Изд-во МГТУ

им. Н.Э. Баумана, М. 2006.

8. Dehghan, M. & Hashemi, B. Iterative solution of fuzzy linear systems,

Applied Mathematics and Computations, Vol. 175(2006), С.645-674.

9. Hasanzadeh M.&Zareamoghaddam H. An iterative method for solving a symmetric system of fuzzy linear equations. The SIJ transactions on computer science engineering & its applications (CSEA), Vol.1 №.5. November-Descmber,2013,C.181-185.

10.Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. Наука, М., 1970.

11. Стренг Г. Линейная алгебра и её примения. Мир, М., 1980,

12.Гантмахер Ф.Р., Теория матриц. Наука, М. 1967.

13.Otadi M. & Mosleh, M. (2008). Minimal solution of a systems of fuzzy liner systems. Iranion Journal of Fuzzy Systems, Vol.12, №.1,2015, С. 1113-1124.

14.Muruganandam S. &Razak K.A. Matrix inversion method for solving fully fuzzy linear systems with triangular fuzzy numbers.International Journal of Computer Applications Vol.65- №.4, March 2013,С. 9-11.

15.Allahviranloo T.etc. General Solutions of Fully Fuzzy Linear Systems. Hindawi publishing corporation.Abstract and Applied Analysis, 2013, Article ID 593274, С. 1-9.

16.Mosleh M. & etc. Solution of fully fuzzy linear systems by ST method. Journal of Applied Mathematics,Vol.8,№.1(28), С. 23-31.

17.Минаев Ю.Н. и др. Методы и алгоритмы идентификации и прогнозирования в условиях неопределенности в нейросетевом логическом базисе.Горячая линия — Телеком, М,2003.

18.Иванова Е.Е., Дифференциальное исчисление функций одного переменного - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 408 с.

19. Печинкин А.В., Тескин О.И. и др., Теория вероятностей: учебник для

втузов - 2-е изд. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. - 455 с.

20.Горяинов В.Б., Павлов И.В. и др., Математическая статистика: учебник для втузов - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. -423 с.

21.Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М., Случайные процессы: учебник для втузов -М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 447 с.

22.Пупков К.А., Егупов Н.Д. и др., Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления: учебник для вузов - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. - 743 с.: ил.

23.Деменков Н.П., Мочалов И.А. и др., Нечеткие вероятностно-статистические методы в задачах управления производственными

процессами // Промышленные АСУ и контроллеры. - 2002. - № 4. -С. 8-14.

24.H. Ouyang, Y. Wu, Onfuzzydifferentialequations // FuzzySetsandSystems. - 1989. - № 32. - С. 321-325.

25.O. Kaleva, Fuzzydifferential equations // Fuzzy Sets andSystems. - 1987. -№ 24. - С. 301-317.

26.O. Kaleva, The Cauchy problem for fuzzy differentialequations // FuzzySets and Systems. - 1990. - № 35. -С.389-396.

27.Ming Ma, Menahem Friedman, Abraham Kandel, Numerical solutions of fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. - 1999. - № 105. -С. 133-138.

28.Zadeh L.A., Probability measures of fuzzy events // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1968. - № 23. - С. 421-427.

29.Kendel A., Byatt W.J. Fuzzy processes // Fuzzy Sets and Systems. - 1980. -№4. -С. 117-152.

30.Bhatacharyya M. Fuzzy markovian decision processes // FuzzySets and Systems. - 1998. - №99. -С.273-333.

31.Bernhard F. Arnold, Testing fuzzy hypotheses with crisp data // Fuzzy Sets and Systems. - 1998. - № 94. - С. 323-333.

32.МочаловИ.А., Редькин А.С., Цегельский С.В., Оценка состояния компрессорной системы с использованием нечеткого теста Гаусса // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». -2001. - Пенза.

33.Мочалов И.А., Петрунин Н.Г., Цегельский С.В., Вибродиагностика электрооборудования с использованием нечеткой последовательной процедуры А. Вальда // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». - 2001. - Пенза.

34.Деменков Н.П., Мочалов И.А., Адаптивная система автоматической оптимизации с нечеткой последовательной процедурой проверки статистических гипотез // Вестник Российского университета дружбы народов. Кибернетика. - 1999. - № 1. - С. 31-42.

35.S.M. Taheri, J. Behboodian, A Bayesian approach to fuzzy hypotheses testing // FuzzySets and Systems. - 2001. - №123. -С. 39-48.

36.Jean J. Saade, Extension of fuzzy hypothesis testing with hybrid data // FuzzySets and Systems. - 1994. - №63. -С. 57-71.

37.Тэрано, Т., Асаи, К., Сугэно, М., Прикладные нечеткие системы. - М.: Мир, 1993. - 368 с.

38.H. Tanaka, I. Hayashi, J. Watada, Possibilisticlinearregressionanalysisforfuzzydata // EuropeanJ. OperationalResearch. - 1989. - № 40. -С. 389-396.

39.Алиев Р.А., Церковный А.Э., Мамедова Г.А., Управление производством при нечеткой исходной информации -М.: Энергоатомиздат, 1991 - 240 с.

40.Dragan A. Savic, Witold Pedrycz, Evaluation of fuzzy linear regression models // FuzzySets and Systems. - 1991. - №39. -С. 51-63.

41.Byungjoon Kim, Ram R. Bishu, Evaluation of fuzzy linear regression models by comparing membership functions // FuzzySets and Systems. -1998. - №100. -С. 343-352.

42.Chunhai Yu, Correlation of fuzzy numbers // FuzzySets and Systems. -1993. - №55. -С. 303-307.

43.Dug Hun Hong, Seok Yoon Hwang, Correlation of intuitionistic fuzzy sets in probability spaces // FuzzySets and Systems. - 1995. - №75. -С. 77-81.

44.Ding-An Chiang, Nancy P. Lin, Correlation of fuzzy sets // FuzzySets and Systems. - 1999. - №102. - C. 221-226.

45.Volker Kratschmer, A unified approach to fuzzy random variables // FuzzySets and Systems. - 2001. - №123. - C. 1-9.

46.Yuhu Feng, Sums of independent fuzzy random variables // FuzzySets and Systems. - 2001. - №123. - C. 11-18.

47.X.Z. Wang, Y.D. Wang, X.F. Xu, W.D. Ling, D.S. Yeung, A new approach to fuzzy rule generation: fuzzy extension matrix // FuzzySets and Systems. - 2001. - №123. - C. 291-306.

48.Yuhu Feng, Liangjian Hu, Huisheng Shu, The variance and covariance of fuzzy random variables and their applications // Fuzzy Sets and Systems. -2001. - №120. - C. 487-497.

49.S.G. Cao, N.W. Rees, G. Feng, H ^ control of uncertain fuzzy continuous-

time systems // Fuzzy Sets and Systems. - 2000. - № 115. -C. 171-190.

50.J. Ma, G. Feng, An approach to H ^ control of fuzzy dynamic systems // Fuzzy Sets and Systems. - 2003. - № 137. - C. 367-386.

51.Kap Rai Lee, Eun Tae Jeung, Hong Bae Park, Robust fuzzy H ^ control for uncertain nonlinear systems via state feedback: an LMI approach // FuzzySets and Systems. -2001. - №120. - C.123-134.

52.Wei-Song Lin, Chih-Hsin Tsai, Jing-Sin Liu, Robust neuro-fuzzy control of multivariable systems by tuning consequent membership functions // FuzzySets and Systems. - 2001. - №124. - C. 181-195.

53.Zixing Cai, Shaoxian Tang, Controllability and robustness of T-fuzzy control systems under directional disturbance // Fuzzy Sets and Systems. -2000. - №115. - C. 279-285.

54.James J. Buckley, Thomas Feuring, Fuzzy differential equations // FuzzySets and Systems. - 2000. - №110. - C. 43-54.

55.Мочалов И.А., Петрунин Н.Г. и др., Нечеткие вероятностно-статистические методы // Информационные технологии. - 2003. -№ 4. - Приложение.

56.Мочалов И.А., ХрисатМ. С., Оценивание параметров модели по нечетким случайным данным // Информационные технологии. -2014. - № 2 (210). - С. 14-22.

57. Мишина А.П., Проскуряков И.В., Высшая алгебра. Линейная алгебра,

многочлены, общая алгебра - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. - 300 с.

58.Деменков Н.П., Мочалов И.А., Нечеткая интерполяция // Наука и образование. - 2012. - № 12. [Электронный ресурс] -URL:http://technomag.bmstu.ru/doc/308732.html

59.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики - Учеб. пособие. -Санкт-Петербург: Лань, 2009. -608 с.

60.Lizhen Li, Weiqun Wang, Fuzzy modeling and Hœ control for general 2D nonlinear systems// Fuzzy Sets and Systems. - 2012. - № 207. -С. 1-26.

61.Деменков Н.П., Мочалов И.А., Нечеткие сплайны // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. Приборостроение. -2012. - № 2. - С. 48-58.

62.RoyGoetschelJr., WilliamVoxman, Elementaryfuzzycalculus // FuzzySetsandSystems. - 1986. - № 18. - С. 31-43.

63.Бахвалов Н.С., Численные методы - М.: Наука, 2001. - 632 с. 64.Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление - М.: ЛКИ, 2008. - 205 с. 65.Асмолова Ю.Е., Мочалов И.А. Элементы нечеткого вариационного

исчисления // Вестник РУДН. Серия Инженерные исследования.-2010. - № 4. - С. 37-43.

66.Мочалов И.А., Хрисат М.С., Интерполяция со сглаживанием нечетким кубическим сплайном // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». - 2013. - Т. 1. - Пенза. - С. 203.

67.Мочалов И.А., Хрисат М.С., Нечеткая сглаживающая аппроксимация // Труды международного симпозиума «Интеллектуальные системы». -2014. - Москва. - С. 148-151.

68. Мочалов И.А., Хрисат М.С., Идентификация параметров нечетких

случайных данных // Современные проблемы науки и образования. -2014. - № 6.[Электронный ресурс] -URL: www. science-education. ru/12016180

69.Jiuxiang Dong, Youyi Wang, Guang-Hong Yang, H ж and mixed H 2/ H ж control of discrete-time T-S fuzzy systems with local nonlinear models// Fuzzy Sets and Systems. - 2011. - № 164. - С. 1-24.

70.Chen Peng, Qing-Long Han, Dong Yue, Engang Tian, Sampled-data robust Hж control for T-S fuzzy systems with time delay and uncertainties// Fuzzy Sets and Systems. - 2011. - № 179. - С. 20-33.

71.Hongyan Chu, Shumin Fei, Dong Yue, Chen Peng, Jitao Sun, H ж quantized control for nonlinear networked control systems// Fuzzy Sets and Systems. - 2011. - № 174. - С. 99-113.

72.Мочалов И.А., Хрисат М.С., Нечеткое минимаксное оценивание // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 6.[Электронный ресурс] -URL: http://www. science-education.ru/120-16039

73.Эльясберг П.Е., Определение движения по результатам измерений -М.: Наука, 1976. - 416 с.

74.Эльясберг П.Е., Измерительная информация: сколько ее нужно? как ее обрабатывать? - М.: Наука, 1980. - 208 с.

75.Бахтин Б.Ц., Назыров Р.Р. и др. Определение и коррекция движения.Гарантирующий подход - М.: Наука, 1980. - 360 с.

76.Xiao-Heng Chang, Guang-Hong Yang, A descriptor representation approach to observer-based H ж control synthesis for discrete-time fuzzy systems// Fuzzy Sets and Systems. - 2011. - № 185. - С. 38-51.

77.Yi-Shao Huang, Dong-Sheng Xiao, Xiao-Xin Chen, Qi-Xin Zhu, Zheng-Wu Wang, Hж tracking-based decentralized hybrid adaptive output feedback fuzzy control for a class of large-scale nonlinear systems// Fuzzy Sets and Systems. - 2011. - № 171. - С. 72-92.

78.PhilDiamond, Brief note on the variation of constants formula for fuzzy differential equations// Fuzzy Sets and Systems. -2002. - № 129. -С. 65-71.

79.Jong Yeoul Park, Jae Ug Jeong, On the existence and uniqueness of solutions of fuzzy Volterra-Fredholm integral equations// Fuzzy Sets and Systems. -2000. - № 115. - С. 425-431.

80.Konstantin E. Avrachenkov, Elie Sanchez, Fuzzy Markov Chains and Decision-Making // Fuzzy Optimization and Decision Making. - June, 2002. - Vol. 1, Issue 2.- С. 143-159.

81.Jun Yoneyama, Robust H ж control of uncertain fuzzy systems under time-varying sampling// Fuzzy Sets and Systems. - 2010. - № 161. -С. 859-871.

82.Мочалов И.А., о профилактике технических средств при нечетких отказах и восстановлениях // Вестник РУДН. Серия Инженерные исследования. - 2007. - № 4. - С. 20-27.

83.Yuhu Feng, Fuzzy stochastic differential systems // Fuzzy Sets and Systems. -2000. - № 115. - С. 351-363.

84.Yuhu Feng, The solutions of linear fuzzy stochastic differential systems // Fuzzy Sets and Systems. -2003. - № 140. - С. 541-554.

85.Jun Yoneyama, Robust control of uncertain fuzzy systems under time-varying sampling// Fuzzy Sets and Systems. - 2010. - № 161. -С. 859-871.

86. Сю, Д., Мейер, А., Современная теория автоматического управления и

ее применение - М.: Машиностроение, 1972. - 552 с.

87.Xinrui Liu, Huaguang Zhang, Jing Dai, Delay-dependent robust and reliable image fuzzy hyperbolic decentralized control for uncertain nonlinear interconnected systems// Fuzzy Sets and Systems. - 2010. - № 161. - С. 872-892.

88.Пантелеев А.В., Вариационное исчисление в примерах и задачах -Высшая школа, 2006. - 272 с.

89.Бамбышева Д.А., Мочалов И.А., Моделирование нечеткого программного управления // Труды 10-го Международного симпозиума «Интеллектуальные системы». - 2012. - Вологда. -С. 89-93.

90.Мочалов И.А., Хрисат М.С., Синтез нечеткого управления с полной обратной связью методом динамического программирования // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». -2014. - Пенза. - С. 232.

91. Мочалов И.А., Хрисат М.С., Нечеткая оптимизационная задача о быстродействии

// Инженерный журнал: наука и инновации. - 2013. - № 10 (22). [Электронный ресурс] - URL: http://engjournal.ru/catalog/it/hidderi/1092.html

92.Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р., Математическая теория конструирования систем управления - М.: Высшая школа, 2003. - 614 с.

93.Мочалов И.А., Хрисат М.С., Нечеткие дифференциальные игры // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». -2014. - Пенза. - С. 231.

94.Rufus Isaacs, Differential games - New York:John Wiley & Sons, Inc., 1965.

95.Пантелеев А.В., Бортаковский А.С., Теория управления в примерах и задачах - Учеб. пособие. -М.: Высш. шк., 2003. - 583 с.: ил.

96.Engang Tian, Dong Yue, Zhou GU, RobustHж control for nonlinear

systems over network: A piecewise analysis method // Fuzzy Sets and Systems. - 2010. - № 161. - С. 2731-2745. 97.Shaocheng Tong, Xianglei He, Yongming Li, Huaguang Zhang, Adaptive fuzzy backstepping robust control for uncertain nonlinear systems based on small-gain approach // Fuzzy Sets and Systems. - 2010. - № 161. -С. 771-796.

98.Engang Tian, Dong Yue, Zhou Gu, Robust Hж control for nonlinear

systems over network: A piecewise analysis method // Fuzzy Sets and Systems. - 2010. - № 161. - С. 2731-2745.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ

МНОЖЕСТВ

П. 1.1 Нечеткие логические операции и вычисления

П. 1.1.1 Функция принадлежностей.В теории нечетких множеств одним из базовых понятий является определение принадлежности элемента х некоторому множеству X(х е X с Я1). В зависимости от типа множества (четкое или нечеткое) обозначение х е X формализуется с помощью характеристической функции принадлежностей г * (х), х е X с Ях, г е {0;1} для четкого элемента х и функции принадлежностей г(х), х = хН е X, г е [0;1] для нечеткого элемента хН . Они определяются следующим образом:

, ч Г1, х е X Гг(х)е[0;1]

г * (х) = [ ; г(х) = Г / \ ; , (П. 1.1)

4 7 [0, х £ X' 4 ' [г (х)е [0;1] ( )

где г(х) - многозначная функция с г(х), г (х) - «левой» и «правой» однозначными функциями (ветвями) соответственно относительно г (х = хН) = 1

. В уровневой форме с применением обратного отображения г_1 (х) используется представление:

хН = г_1 (х) = х(г) = (х(г), х (г) | г е [0;1]). (П.1.2)

В символической форме имеем:

г * (х) = {0;1}, х- четкий элемент X; х е X с яг*,, - - (П1-3)

С г(х) = [0;1] , х —нечеткий элемент X.

Совокупность нечетких элементов {хН } задает нечеткое множество XН . Для обозначения приняты представления:

Хн ^ r(x), r е [0;1] ^ (r (х) Г(х), r e [ü;l])^ (x(r), x(r) | r e [0;l]), (П.1.4) где x('), x (•) - обратные отображения соответственно для r (x), r (x).

П. 1.1.2 Нечеткие числа. В зависимости от формы r(x) различают следующие типы нечетких чисел:

1. нечеткое «треугольное» число xН;

2. нечеткое «обобщенное» число yН ;

3. нечеткое «сильное» (strong - англ.) число uН ;

4. нечеткое «слабое» (weak - англ.) число 5Н;

5. нечеткое «одиночное» (singleton - англ.) число zH.

Нечеткое «треугольное» число хН определяется посредством трех чисел a1 < a2 < a3, a, e R,, i = 1,3. График r(x) для xН в координатной плоскости (х, r) имеет форму треугольника с основанием sup хН = [a1, a3 ], а высота его исходит из точки с координатами (х = a2, r = ü). Для хН в этом случае приняты следующие эквивалентные обозначения:

л

х - a -t \ - х + a3

хН =(a11 a2 | a3 r(х )=-—, r (х)=-31 r е [ü;1]

(х )=-—, r (х

a2 — a1 a3 — a2 у

(П.1.5)

^ (х(г)= (а2 ~ а1)" г + а1>х(г) = (а2~аъ)" г + а3 | г е [0;1]), т.е. зависимости г (•), г (•), х('), х (•) являются линейными. Полагают, что, если а1 > 0, то хН > 0 ; если а3 < 0, то хН < 0 .

Нечеткое «обобщенное» число уН определяет аналогично числу хН, но отличается от него кусочно-нелинейным типом зависимости г (у). Относительно г (у) полагается выполнение следующих свойств:

- г (у) полунепрерывна сверху;

- г (у) монотонно возрастает;

- г (у) монотонно убывает;

- для обратных отображений у(г)< у(г).

Для нечеткого «треугольного» числа все эти свойства выполняются, т.к. г(х) является кусочно-линейной зависимостью, поэтому очевидно, что г(у)

является обобщением

X

Н •

Если хотя бы одно из перечисленных выше свойств относительно r (у) не выполняется, то уН не является нечетким числом. В частности, если r(у) имеет в основании один из углов больше90°,то такое уН не является нечетким числом.

Нечеткое «сильное» число uН имеет функцию приналежностей r(u) всегда с острыми углами при ее основании. В этом случае оно совпадает с хН или у н •

Нечеткое «слабое» число 8Н появляется в случае, когда один из углов в основании функции принадлежностей r(з) больше 90°. В этом случае 5Н формально не является нечетким числом,т.к. относительно r (з) не выполняется свойство 3(r)<3(г). Тогда используется следующая модификация нечеткого числа:

3Н = (min {3(r),3(r),3(r = l)}max{3(r),3(r),3(r = l)}| r e [ü;l]), (П.1.6)

которую принято называть «слабое» нечеткое число. Возникновение этих чисел связано с различными нелинейными преобразованиями над «сильными» числами. Эта ситуация возникает при решении нечетких линейных систем алгебраических уравнений [4], нечетких нелинейных дифференциальных уравнений [54] и т.д.

Нечеткое «одиночное» число zH возникает в случае необходимости представления четкого числа в нечетких терминах. Функция принадлежностей r (z) имеет вид:

r(Z)= singl (t - ZH1 ^^^, t,Z e Ri (П.1.7)

или возможно эквивалентное представление

7н =Ш = 2(т)\т е[0;1]). (П.1.8)

П. 1.1.3 Нечеткая функция (отображение) уН (х) - это отображение нечеткой области (множества) X в нечеткую область (множество) значений У с функцией принадлежности гу (х)

X э х (х) ) у е У, (П.1.9)

где х = (хь... хп ), у = ( уь--уп ).

Отображение уН (х) определяет нечеткую вектор-функцию векторного аргумента. При х = (хь... хп), у = у1 отображение определяет нечеткую функцию многих переменных, а при х = хх, у = у1 отображение уН (х) определяет нечеткую функцию одного переменного. На рис. П.1.1 изображена нечеткая функция уН (х) с функцией принадлежностей гу (х = г(х, у)).

П.1.1.4 Нечеткие логические операции. Операция «И» в общей форме является Т или триангулярной нормой, или Бконормой. Она определяется как отображение

гА (х)Т га2 (х) ^ гА3 (х)> (П.1.10)

для которого выполняются соответствующие аксиомы.

Операция «ИЛИ» в общей форме является Б нормой или Т конормой и определяется как отображение

гАх (х)Б гА2 (х) ^ гА3 (х). (П.1.11)

с выполнением соответствующих аксиом.

Операция «НЕ» определяется отображением -с соответствующими аксиомами

©: га(хтА^(х), (П.1.12)

где0 , -i - «НЕ».

Существует бесконечно много операций «И», «ИЛИ», «НЕ». Наиболее часто в задачах нечеткого логического управления используются соответствующие операции по Заде:

- rA1 na2 = min (rA1 (4rA2 (х)) - нечеткое «И»;

- rA^a2 = max(r^ (x),r^ (х)) - нечеткое «ИЛИ»;

- rA-(x) = 1 - rA(х) - нечеткое «НЕ».

Нечеткие импликации (локальный вывод) S и T типов:

- у = I(u1,u2)= u- uu2 = (l- u1 )uu2 - S тип;

- у = I (u1, u2 )= u1 n u2 = min (u1, u2 ) - T тип (Мамдани), где u1 = rA^ (х),

u2 = rA2 (х),

I - символ импликации.

П.1.1.5 Арифметические операции *=(« + »;«-»;«x »;«^ ») трактуются как специальный тип нечеткой функции f над нечеткими множествами

Ab..., An с многомерной функцией принадлежностей rA (хь..., хп ) - принцип

расширения:

f:A = A1 x...xAn га(Xl,•••,Xn) >B«rB(у) = ffefo,...,Xn)) = = sUp rAXn )= sUP min (rA (x1 rAn (хп )) (П.1.13)

у =f (хl,•, хп) у=!'(х1,.--,хп )

.A — -A1 x...x -An

В частности для двух треугольных нечетких чисел х1Н, х2Н имеем

Ун = Х1Н * Х2Н ^ rB (У) = max yH = хш * x2Н min (rA1 (x1), rA2 (x2 )) ^ rB (У) =

S ^ (x1i ) I rB Су) = rA (x1i) * rA2 (x2i), A1, A2 - дискретные нечеткие ' (П.1.14)

множества; v у J rA (X1) | Гв (y) = rA (X1) * rAi (x2), Ab A2 - непрерывные нечеткие

множества,

где ^,J- символы представления нечеткого числа rB(y) в виде объединения

пар К (x1)1 rB (y)|.

При задании нечетких треугольных чисел в форме х1Н = (an| a12 | a13), x2Н = (a211 a22 | a23) арифметические операции «*» для них определяется в следующем виде:

ХН = Х1н * Х2Н = (a1 = a11 * a21 | a2 = a12 * a22| a3 = a13 * a23 ). (П.1.15)

Пример П.1.1 Имеем:

x1H = rAi =5(x) = max(1 -0.51 x-5|;0)^x1H = (a11 = 3| a12 = 5| a13 = 7),

Х2Н = rA2 =2 (x)= max (1- | Х - 2|;0)^ x2H =(a21 = 1| a22 = 2| a23 = 3),

тогда в соответствии с (П.1.15), например, для операции « + » получим

ХН =(a1 | a2 | a3 ) =

= (a1 = a11 + a21 = 3 +1 = 41 a2 = a12 + a22 = 5 + 2 = 71 a3 = a13 + a23 = 7 + 3 = 10).

П.1.1.6 Отношения порядка (операции сравнения « >», « <») следуют из определения [4]: имеем нечеткие числа x1H, x2 Н такие, что

xiH = (Xi (r), Xi (r) | r e [0;1]), i = 1,2, тогда x1H Щ x2H , если

T (x1H )= J0lr • [X1(r )+ x1(r )]dr ^ J0lr • [X2 (r)+ X2 (r)]dr = T(x2H ).

П.1.1.7 Векторное пространство нечетких чисел [19]. Помимо принципа расширения, который был применен для определенной операции в п. П.1.1.5, в теории нечетких множеств широко используется подход, принятый в

к х х»н —

функциональном анализе при введении банахового пространства [20]. Для этого в совокупности {хн }— X нечетких чисел задаются следующие операции:

- сложение (+) элементов хн е X и х]н е X в виде

х1н + х)Н — (х»(г)+х]-(г), х(г)+х](г) Iг е [0;1]);

- умножение (х) элемента хн е X на скаляр к е Я1 по правилу

(к х х1 (г), к х х (г) | г е [0;1]), к > 0 (к х х (г), к х х» (г) | г е [0;1]), к < 0;

- существование у хн обратного элемента хкн такого, что хн + хкн = 0 ^ гк (х) — г (- х). Здесь «0» - четкий нуль, имеющий одиночную функцию принадлежностей (п. П.1.1.2(5)).

Очевидно, что относительно «+» и «х» выполняются следующие аксиомы (свойства):

- коммутативность « + », т.е. хнн + х]н — х]н + хнн;

- ассоциативность « + », т.е. (хн + х]н) + хкн — хнн + (х]н + хкн);

- дистрибутивность «х », т.е. (кх + к2 )х хн — кх х хн + к2 х хн, к х (х»н ^ х^н ) — к х х»н ^ к х х]н.

Совокупность {хн }е X нечетких чисел с операциями «+» и «х» для нечетких чисел и существование обратного элемента в X образуют векторное (линейное) пространство X.

В векторном пространстве X определим метрику р1

А(хн,хн)— 8ирг{тах[| %(г)-х](г) 1,1 х»(г)-х]-(г)|]}. (П.1.16)

между элементами хнн, х]н е X, которая является некоторой скалярной функцией, удовлетворяющая очевидным свойствам:

- А(хн,х]н)— 0 ^ хн — х]н;

- А (хн, х]н ) — А (х]н, хн );

- А (хн, хн )—А (-хн , хкн ) + А (хкн , хн ) •

Введенная метрика а1 (■) превращает векторное пространство X в метрическое векторное пространство. Определим норму в виде

хн - хн = А1 (хн, хн ) • (П1 17)

Затем вводится понятие сходимости нечеткой последовательности хпН (предельный переход) из нечетких чисел со свойствами для последовательности нечеткой фундаментальности и нечеткой полноты: А1(хпН, хтН) ^ хпН - нечеткая фундаментальная последовательность

(нечеткая последовательность Коши); хпН п ^ дах: х е X - нечеткое полное метрическое пространство.

Таким образом, в результате имеем нечеткое пространство {хн }е X с операциями «+ », «х », «-» в нем, метрикой а1 (■) и существованием нечетких фундаментальной и полной последовательности хпН е X. Это приводит к банаховому пространству нечетких переменных (X, А1) •

В теории нечетких множеств при введении нечетких пространств используются различные типы метрик Хаусдорфа (Hausdorff): - верхняя полуметрика Хаусдорфа:

АН(хн>хн)= ^Р-Нп хш\х1 (г)- х](г12 = ^Р^(г)- ■(г)]2^}=

х, (г) - X , (г )2 = sup {1|х , (г)- х, (г)12

(П.1.18)

. Г )- X,- (Г [12

= £Ь(г)- ■ (г )]2 аг;

- нижняя полуметрика Хаусдорфа:

РН (хн , хн ) = suР хн п х]н I■(г) - х] (г12 = ^Р {[01 [xj(г) - XI(г)]2 аг}=

9 Хда (П.1.19)

{^х,(г)- XI(г )]2^г; - метрика Хаусдорфа:

2 хш

Рн (хш, хун ) = тах (рН (•), рН О) = рН (')'+ Р1Н (■)}= = (г)-х- (г )]2 ¿г +йф)-х- (г )]2 ¿г]

(П.1.20)

^ ^ -- ^о^(г)-х-(г

Последняя формула обычно преобразуется путем возведения в квадрат и группировки членов к виду:

рн (хш , хун ) = (х-(г),х-(г))- 2 ■ (хI(г),х у (г^ + (х у (г),х у (г^, (П.1.21) где (хг (•), х- (•)) = £ [х2 (•) + % фг,

{хг О, х7 0} = [х- [>Д, () + х () • ху (%г,

х (), ОН0[х2 (•)+хУ (Ж.

После аналогичных рассуждений, которые были проведены выше для (П.1.4), появляется банахово пространство нечетких переменных (X, рН) с метрикой Хаусдорфа рН (П.1.21).

Другой способ задания метрики, обозначаемой рр (уН, ууН), состоит в представлении ее соотношением:

Рр

(Уш, У ун )=

тах <

Ь(х'г)- Уу (x, г } ¿г р' Й Уi(x, г)- У у(х'г I ¿г

р

, (П.1.22)

где У , У-, У У у е Ьр [0;1], для Ух е I с Ях.

—1 —у ■'

Пара (X, рр) также задает банахово пространство.

Заметим, что, задавая различным способом метрики в векторном пространстве X нечетких переменных, можно получить нечеткие метрические пространства различной структуры. Например, можно задать

рх() = р() • [1 + р(-)]-1, где р() определяются по (П.1.4), (П.1.5), (П.1.6).

Покажем на примере задания р() по (П.1.4) выполнения для рх (■)

1

1

>

соответствующих аксиом. Выполнение первых двух аксиом для ах (■) очевидно. Для аксиомы неравенства треугольников имеем:

А (ч а( ) - а(-)+А ). А) , а( ) ^

А' 1 + А( ) 1 + А( ) 1 + а() 1 + а( ) (П.1.23)

^ АХ (хН , ХкН )- А- (хН , XjН )+ А- (xjН , ХкН )

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКА НЕЧЕТКОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Ниже решается задача исследования переходных процессов в координатах «вход-выход» для нечеткой САО с запоминанием экстремума, в которой возмущения динамических параметров объекта и начальных условий представляются нечеткими переменными. Исследуется модификация «кратностности» системы управления при наличии нечеткости. Приведены результаты моделирования и выводы.

Автору диссертации принадлежат результаты моделирования САО и представления переходных процессов в задаче исследования динамики нечеткой САО.

П.2.1 Постановка задачи

Рассматривается ОУ, который имеет нелинейную (Я) часть в виде четкой статистической характеристики f(x) и линейную (Л) часть, представляемую апериодическим звеном первого порядка с нечеткой постоянной времени Тн. Наличие нечеткости моделируют возмущения в задании Т. Для простоты рассмотрения будем полагать отсутствие каких-либо монотонных возмущений, воздействующих на объект, которые деформируют f(x) и перемещают ее в координатной плоскости (х,у). Обычно для нахождения точки (х*,у*) оптимума зависимости у = f(x) используется экстремальный регулятор (ЭР) непрерывного типа с различными алгоритмами поиска (х*, у*). Ниже будем рассматривать ЭР с дифференцированием; с запоминанием экстремума; с

времен.селекц и т.д. zmax. В соответствии с этим алгоритмом исполнительный механизм (ИМ) имеет постоянную скорость перемещения xt = +к1, что соответствует линейно-изменяющемуся во времени t управляющему сигналу x(t) = х0 ± k1t, где к1 =четкая константа скорости изменения входа; х1 -начальная координата входа; «+»характеризует направление скорости ИМ, определяемое реле (Р) с зоной нечувствительности zH. Структурная схема САО, состоящая из ОУ типа НЛ и поискового ЭР с запоминанием экстремума, представлена на рис.П.2.1. Функционирование четкой САО (Тн = T, zt = ziH) представлено в виде временных диаграмм (рис. П.2.2).

Цель настоящей работы состоит в исследовании нечеткой динамики (нечетких переходных процессов) в САО точными методами, когда Т = Тн, z1 = z1H являются нечеткими треугольными переменными и как следствие этого z = zH является нечетким отображением в координатах (х, z). Кроме этого необходимо интерпретировать области взаимного пересечения zH (х) друг с другом в нечетких терминах и сравнить их с четкими аналогами.

Новизна сформулированных задач состоит в обобщении классических результатов на нечеткий случай и новой их интерпретации. Для этого используются достижения в области теории решения нечеткой начальной задачи.

П.2.2 Метод решения

Для САО в соответствии со структурной схемой (рис.П.2.1) имеем нелинейную нечеткую систему обыкновенных дифференциальных уравнений в координатах (х, t)

Т •¿1 + = — модель ОУ типа НЛ

2(1 = ^) = г1Н ( " " }

и = к1 Б1дп(2 -1т + 1ц) — модель ЭР (П. 2.2)

хь = ±к1 — модель ИМ (п. 2.3)

Исключаем из (П. 2.1)-( П. 2.3) время t и положим для определенности у = /(х) = —кх2, хЕ [х0,хк], тогда в координатах (х,г) «вход-выход» ОУ получим нечеткую начальную задачу

±к1 Тн£нМ + 1н(х) = —кх2 (и 2

7 (х(I = = Х1) = , ( . . )

где ¿н(х)-некоторая нечеткая производная. В соответствии для (П. 2.4) необходимо определить тип его решения, разрешив для этого соответствующую четкую начальную задачу (Тн = Т; 2 = 2ц)

±к1 Тнгн(х) + гн(х) = —кх2,1(х(г = = (П. 2.5)

и далее определить BF или S тип решения имеет место для (П. 2.4) с построение нечеткой зависимости 2н(х)в заданном диапазоне х Е [х0, хк] с Я1. Исследования относительно BF и S типов нечетких решений проводим в несколько этапов. В дальнейшем будем отодждествлять номер этапа с номером переключения ИМ с помощью реле ЭР.

Этап 1 (кривые М1,М2,рис. П. 2.3). Находим решение (П. 2.5). Для этого допускаем, что ЭР включил ИМ на увеличение х(^ (рис.3 П. 2.), тогда в левой части (П. 2.5) будет знак «+» и оно будет иметь вид

+г1 = <р(1, х, Т) = —(к1 Т)—1 г1 — к(к1 Т)—1 х2; (х1) = (П.2.6)

где координаты (х1,71) точки (т.) М задают начальные условия уравнения.

Его решение равно

(х) = д(х, г, Т) = с1 е—(к1т)—1 х — к(х2 — 2^ Тх + 2^ Т2 ), (П.2.7)

где С1 = С1 = е(к1Т) х1 [21 + к(х2 — 2к1Тк1 + 2(к1Т)2)]-константа

интегрирования получаемая из начальных условий (х1 ,21) . Проверяем условия существования (х) относительно Т

^ =7^—к1Т)-1 21 — к(к1Т)—1х2] = —(к1Т)-1 \к1>0 < 0.

0^1 Т>0

Одно из условий (2.1) не выполняется, поэтому не зависимо от знаков остальных условий (х)не существует. Ищем S решение. Положим для простоты к = к1 = 1, тогда в правой части (П. 2.6) имеем:

ср() = —(к1Т)-121 — к(к1Т)—1х2\к=к1=1 = Т—1(—1)г1 + (—1)Т—1х2, где Т >0. Согласно свойствам арифметических операций в банаховом пространстве (умножение на отрицательную константу) имеем для 2н (х) нечеткую начальную задачу в виде системы дифференциальных уравнений

21 (х) = —т-1 21 (х) — Т—1х2 25н(х) = —Т-12щ(х) — ТЦ1х2 I ^ --1 --1

2(н(х = Х1) = С1н ю = —Т 2(х) — Т х

2 (х1) =£121 (х1) = С1

Где

или в матричной форме в соответствии

2{н (х) = А2{н (х) + Вх2,2{н (х = х1) = с1н, (П. 2.8)

21н(х) = (¿1,¿1) ;2[н = (21,2У;с1н(в^У; в =

( 1 —^ ( 0 —Т—1

(—ТТ , —Т ) ; А = ( _—1 -

4 у V—т 0

Решение (П. 2.8) равно

2?н(х) = 25св1н(х) + 2в1н(х), (П. 2.9)

%св 1н(х) = Ф(х)С1н;2в1н(х) = [ ф(х — т)Вт2йт

0

ф(х - С )В I2 '

0

г,л чЪ

Здесь 2ьсВ 1н(х), 2В1н (х)-свободная (св) и вынужденная (в) нечеткие (н) составляющие решения на этапе 1, ф(х)-переходная матрица. В результате

вычислений ф (х), ф (х — г) общее решение нечеткого матричного уравнения (П. 2.9) будет иметь вид

с (I.'ЛХУ

Чн(х) = I -1Я( )

= ( ^ —1^2 ) • Э ) —

V £ £ 2 ) (с1)

ф(х) С1Н

/ х2 — 2Тх + 2 (Т^Т)

уу/т) х2 — 21х + 2(Т • Т) J, (П. 2.10 )

^ ф(х—т)Вт2йт.

_ 1 /2 _ 1 /2

где Д1 = еЯх + е—Ях; Д2 = еЯх — Ях; Л = (Т^Т) ; £ = (Т/Т) ;

/ 21 + х1 — 2Тх1 + 2 (Т^Т)

© = *—1 (х = ь)

+ ( Ут )х! — 2Т_х1 + 2(Т-Т) |;Ф—1 (Х =

/ ^ _ £—1 ^ \

х1) = det_1 ф(х = х1 )•( ^ ^ 2 ); det ф(х = х1) = Д2 (х = х2) —

_ т

(х = х1) = 4; (х1,21Н), 21Н = 71) —координаты начальных условий (П. 2.8).

Качественный анализ зависимости 2н(х)(П. 2.10) позволяет выявить следующие ее свойства (рис. П. 2.3):

(0 нечеткая зависимость 2^(х) (П. 2.14) совпадает с четким ее аналогом

_ _ 1/2

г(х) (7) при Т = Т = Т, с1 = с1 = с1 (£ = £—1 = 1; )Я = (Т/Т) =1, что

косвенно указывает на корректность преобразований при получении (П. 2.10);

(и) вычисления показывают, что 5(х) = ¡^ (х) — ^1(х)| .

Эти свойства означают, что поведение нечеткой %1н(х) = (^1 (х)№1 (х)\^1(х)) можно характеризовать поведением четкой

Z1 (x), которая при фиксированном х окружена окрестностью 0.5S(х), увеличивающейся с увеличением х.

На рис. П. 2.3 представлена траектория движения нечеткой САО на фазовой плоскости «вход-выход» ОУ. На нем отмечены характерные точки (т.) М1, т.М2, т.М3 и т.д. Четкая траектория изображена на рисунке пунктирной кривой «—», методика построения. Характерные точки определяются моментами переключения Р. Знак «+» реле-этап 1 четкой траектории, знак «-» реле-этап 2 и т.д. Нечеткие траектории Z?H(x)соответствующего i-го этапа изображены в виде совокупностей \Zj(x,г),Zt(x,г) /г Е [0; 1]}. Для простоты обозначений индекс «i» на рисунке и далее в тексте опущен.

Этап 2 (кривые М2,М3,рис. П. 2.3). На этом этапе ЭР включает ИМ на уменьшение x(t) (реверс х), тогда в левой части (П. 2.5) будет знак «-» и оно будет иметь вид

-Z = ç(Z,x,T) = -(к1Т)-1 Z - к(к1Т)-1х2 (П.2.11) z(x = Х2) = Z2, Z2 > 0, где х2, Z2 координаты т. М2, определяемые из соответствующего решения уравнения (П. 2.9) предыдущего этапа 1. Как и ранее проверяем условие П. 2.1 существования BS решения на этапе 2. Для этого представляем (П.2.11) в эквивалентной стандартной форме при к = к1 = 1

Z = ç(Z,x,T) = T—1Z + Т—1х2,Z(x2) = Z2,T > 0,Z2 > 0, (П.2.12) а его решение в виде Z(x) = g(x, Z,T) = ZcB + ZB =

= Z2e—T~lx + (—x2 - 2T x — 2T2) ,c2>0 , (П. 2.13)

^--,__' ^--,__'

ZcB ZcB

и далее исследуем знаки (pZ,gZlw фт • дт. Имеем: фZ = — (T-1 Z + T-1x2) = T-1 > 0; (П. 2.14)

д _1 _1 9г2 = ^ %е~Т~ % + —2 — 2Гх — 2Г2) ] = 1

>0; (П. 2.15)

фт = г + Т—1 х 2)

= Т—2 •(! + х2) ; (П. 2.16)

дТ

дт = _ \г2е—т х + (—X2 — 2Тх — 2Т2)] = 72Т—2е—т х — 2х — 4Т =

^ г 1 х (—х2_-- --9---9 ~т—1

= х (г2 Т—2 е—т~1 х — 2) — 4Г,

х £ [х0, х1] , х0 >0, х1 > 0. (П. 2.17 )

Исследуем знаки (П. 2.16), (П. 2.17). Из (П. 2.16) очевидно, что зависимость 1 + х2 разбивает плоскость (х, Т) на две области: 1 + х2 > 0 -область 1 (о.1) и 1 + х2 < 0-область 2 (о.2), поэтому в о.1 имеем <рт <0 , а в о.2 соответственно фт > 0. (Рис. П. 2.3)

Для функции и(х) = дт(х) (П. 2.17) имеем следующие характерные точки: и(х) —> — 4Т <0; и(х = Т) = 12 • 0.37Г—1 — 6Т <0 для объекта

со значительной инерционностью, когда

Т > (0.0672)1/2; и(х1)-> — ж; и(х0)-> — ж; уравнения

Х1 X 0 ^ ж

и(х), и(х) не имеют корней при х £ [х0, х1], поэтому и(х) = дт <0.

Перечисленные свойства относительно функций (П. 2.14)-( П. 2.17) показывают, что в 0.1 фт • дт > 0, и фъ > 0, д12 > 0, поэтому в этой области существует BS решение и оно равно

_—1

гЦ5 (х) = (г(х, г) /г £ [0; 1] ), г(х, г) = ^ е—т х —х2 —Тх — 2Т_2; 1 (х, г) = 12е^-1 х —х2 — Тх — 2Т_2. (П. 2.18)

В координатах (х, Т) (рис. П. 2.3, кривая М2М3) зависимость 2нБ(х)изображается при г£ [0; 1] совокупностью кривых равно удаленных относительно кривой при г = 1.

В о.2 дт < 0, т.е. условие П. 2.1 не выполняется, поэтому BS решение не существует, однако существует S решение и оно находится из системы уравнений

.с , , 9 (1(х) = Т-11(х) + Т-1х2

гн(х) = тц1 гн(х) + тц х2 Ц ~-1-г л ^ 2

или в матричной форме в соответствии с (4) по аналогии с (П. 2.8) имеем

Ц(х) = Аг5н(х) + Вх2, гн(х)(х = х2) = г2н, (п. 2.19)

где г5н(х) = (г, 1); г5н(х) = (г,1)"; г2н = 12У; В (т-1, Т-) ,А = Т-1 0 \

0 т-1)

Решение матричного уравнения на этапе 2 будет иметь вид подобный (П. 2.10), которое изображено в о.2 в виде совокупностей кривых М3М4 (рис. П. 2.3).

На этапе 3 (кривые М4М5,рис. П. 2.3) снова происходит очередное переключение ИМ, в левой части (П. 2.5) по аналогии с этапом 1 будет знак «-», далее появится этап 4 («-») и т.д.

Таким образом имеем следующий результат. На этапе 1, когда ИМ увеличивает вход хЮ ОУ (знак «+») переходной процесс описывается совокупностью «^»кривых. На этапе 2, когда ЭР переключает ИМ (знак «-»), тогда переходной процесс содержит совокупности BSи S кривых. На этапе 3 снова происходит переключение ИМ (знак «+») и переходной процесс определяется совокупностью кривых и т.д., т.е. на четном этапе-

совокупности BSи S решений, на нечетном-только совокупность S решений.

П.2.3. Многократная нечеткая САО

При исследовании переходных процессов в линейных и нелинейных динамических системах, описываемых четкими дифференциальными уравнениями или системами, часто используется метод фазового пространства, который в 2-х мерном случае представляется соответственно фазовой плоскостью, а переходный процесс в ней изображается соответственно фазовой траекторией. Между состоянием динамической системой и фазовой траекторией существует взаимно-однозначное соответствие. В нечетком случае по аналогии с четким случаем будем полагать, что между нечетким состоянием и нечеткой фазовой траекторией также существует взаимно-однозначное соответствие. Это означает что на фазовой плоскости переходной процесс изображается соответствующей нечеткой функцией. Например, применительной к нечеткой САО с запоминанием экстремума на фазовой плоскости (х, Z) нечеткие фазовые траектории изображаются нечеткой кривой Мг М2 (рис.П.2.3).

В случае, когда нарушается условие однозначного соответствия, как в четком так и нечетком случае, возникают многократные системы . В двухмерном случае это 2-х кратная нечеткая система. Например, на рис.3 области D2 являются пересечениями двух нечетких фазовых траекторий, поэтому для них не выполняется условие однозначного соответствия. В этом случае фазовая плоскость-двулистная, на каждом листе изображается движение нечеткой САО при одном из состояний ИМ и далее эти листы «склеиваются».

П.2.4. Моделирование нечеткой САО

Цели моделирования определялась из решения следующих задач:

(i) нахождение численного решения Sили BF типов уравнений, определяемых номером этапов, которые связаны с направлением перемещения ИМ нечеткой САО;

(ii) определение граничных условий соответствующего типа уравнения при переходе от одного этапа расчетов к другому;

(iii) графическое представление нечетких фазовых траекторий на различных этапах, определение областей D1, D2 и их параметров для неоднозначных фазовых траекторий нечеткой САО.

Для этапа 1, когда ЭР включил ИМ на увеличение входа х(t) и в левой части (П.2.5) будет знак «+», задаются следующие исходные данные: к = к1 = 1; хЕ [-8,10] ; Ах = х2 - х1 = 0.1; Тн = (Т = 95с; Т = 105с); (хъ Z1) = (-7,15) ; ZH = 1. Для них соответствующая S нечеткая фазовая траектория Zh = (х, г), г Е [0; 1] этапа 1 представлена на рис. Сплошными кривыми

(Zs(х, г) = Z (х, г))), а четкая фазовая траектория (zf (х, г) = Z (х, г) =

Z(x, г = 1) ) пунктирной зависимостью.

На этапе 2 из условия sign (Z(х, г = 1) = Zmax (х, г = 1) + ZH) определяется величина х2 переключения ЭР-знак «-» в (9) из этапа 1 и соответственно Z2H = (Z2, Z2) из уравнений Z2 ( х = х2, г = 0) , Z2 ( х = х2, г = 0 первого этапа и далее находится BF решение

/ BF \

ZBHF(x, г) = ( Z_BF(x, г), Z (х, г) J , из (П.2.18), принадлежащее области 1 (о.1). Находятся граничные точуи М3, и М3 из решения уравнений ZBF (х, г) = х2 ^

/ BF \

( Z_BF(x, г = 0) = х2; Z (х, г) = х2 J, которые являются нечеткими начальными

условиями при нахождении S решения Z^ (х) из (П.2.19). Далее графическим способом находится область (о.) неоднозначности нечетких фазовых траекторий нечеткой САО.