Нечеткие алгоритмы настройки, фильтрации, анализа и синтеза систем управления и навигации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Чан Динь Минь

• Чан Динь Минь
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Чан Динь Минь

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. НЕЧЕТКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА

1.1. Проблемы применения ВТГ в системах управления и навигации

1.2. Нечеткие математические модели ВТГ

1.2.1. Получение и анализ моделей методом нечеткого преобразования

Лапласа

1.2.2. Получение и анализ моделей операторным методом

1.2.3. Получение и анализ моделей нечетким методом Галеркина

1.3. Исследование устойчивости ВТГ на основе нечётких фазовых

траекторий

1.3.1. Влияние на устойчивость нечетких начальных условий

1.3.2. Влияние на устойчивость нечетких переменных

1.3.3. Влияние на устойчивость совокупности нечетких условий

1.4. Выводы по главе

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОГО ПОДХОДА

2.1. Четкая модель погрешностей

2.2. Нечеткое описание модели погрешностей

2.3. Нечеткий алгоритм исследования погрешностей ВТГ

2.4. Выводы по главе

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМ НЕЧЕТКОЙ АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ЗАДАЧЕ БИНС

3.1. Постановка задачи фильтрации в нелинейной динамической системе с

учетом неопределенностей

Стр.

3.2. Сравнительный анализ алгоритмов различных фильтров калмановского типа

3.3. Нечеткий адаптивный фильтр Калмана

3.4. Применение нечеткого адаптивного фильтра в задаче фильтрации БИНС

3.5. Выводы по главе

ГЛАВА 4. МЕТОДИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ И НАВИГАЦИИ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОГО ПОДХОДА

4.1. Методика решения задачи анализа и устойчивости нечеткой динамической системы

4.2. Методика решения задачи анализа погрешностей первичных датчиков

4.3. Методика решения задачи настройки НЛАС в задаче фильтрации нелинейных динамических систем

4.4. Модульный принцип построения программного обеспечения для моделирования

4.4.1. Модуль для задачи исследования анализа и устойчивости

4.4.2. Модуль для задачи исследования погрешностей

4.4.3. Модуль для задачи фильтрации

4.5. Выводы по главе

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

БПЛА - беспилотный летательный аппарат

БИНС - бесплатформенная инерциальная навигационная система

ДУС - датчик угловой скорости

ВТГ - волновой твердотельный гироскоп

СНС - спутниковая навигационная система

СК - система координат

ФК - фильтр Калмана

РФК - расширенный фильтр Калмана

АФК - ансцентный фильтр Калмана

ССФК - сильный следящий фильтр Калмана

ССАФК - сильный следящий ансцентный фильтр Калмана

НЛАС - нечеткая логическая адаптивная система

СКМ - субоптимальный коэффициент масштабирования

ДУ - дифференциальные уравнения

НСЛАУ - нечеткая система линейных алгебраических уравнений

НФТ - нечеткая фазовая траектория

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нечеткие алгоритмы настройки, фильтрации, анализа и синтеза систем управления и навигации»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Современный этап развития авиациии характеризуется использованием различных беспилотных летательных аппаратов (БПЛА). Повышение эффективности БПЛА неразрывно связано с совершенствованием систем управления и навигации. Для определения навигационных параметров БПЛА в качестве базовой системы используются инерциальные навигационные системы, в частности бесплатформенные инерциальные навигационные системы (БИНС). Перспективным типом БИНС являются системы, построенные на волновых твердотельных гироскопах (ВТГ), обладающих уникальным сочетанием свойств: простота конструкции, высокая потенциальная точность, практически неограниченный технический ресурс, небольшие габаритные размеры и энергопотребление [1, 2, 3, 4]. Однако ВТГ имеют специфические погрешности, которые необходимо компенсировать при решении задач высокоточной навигации БПЛА [5, 6, 7].

Перспективным направлением, в частности для Вьетнама, является создание БПЛА малого и среднего классов. Такие БПЛА позволят улучшить инфраструктуру труднодоступных горных районов Вьетнама, решать задачи мониторинга поверхности, экологии и др. Обеспечение высокой точности навигации БПЛА достигается путем использования интегрированных БИНС, построенных на ВТГ, с алгоритмической коррекцией [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14].

Решением задач в этой области занимаются Rozelle D.M., Meyer D., Lynch D.D., Журавлев В.Ф, Климов Д.М., Степанов О.А., Пешехонов В.Г., Лунин Б.С., Басараб М.А., Матвеев В.А., Микрин Е.А., Мочалов И.А., Неусыпин К.А. и другие, а так же исследователи российских и зарубежных фирм РПКБ, НПП "Медикон", ОАО "АНПП ТЕМП-АВИА", Northrop Grumman (США), Marconi (Италия), InnaLabs (Великобритания), Badin-Crouzet (Франция).

Фундаментальной проблемой в области управления и обработки информации является проблема оценки состояния в нелинейных динамических системах [15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22]. При недостаточной информации для

разработки полной модели или изменении параметров со временем может произойти расхождение в процессе фильтрации. Увеличение размерности вектора состояния и связанных с ним матриц приводит к большой вычислительной нагрузке. С другой стороны БИНС может включать неопределенности, такие как несоответствие параметров модели, стохастические дрейфы гироскопов и акселерометров, статистические ошибки начальных условий и системные шумы. В таких условиях оценки получаемые известными методами, как правило, ненадежны.

Адаптивная фильтрация калмановского типа с помощью нечеткой логики является одной из многообещающих стратегий в борьбе с расхождением в нелинейных системах с динамическими неопределенностями [23, 24, 25, 26, 27]. Применение нечеткой логической адаптивной системы позволит в режиме реального времени настраивать параметры фильтра при изменении динамики объекта.

Алгоритмическая коррекция БИНС на ВТГ предполагает исследование его динамики с учетом различных возмущений неопределенного характера [28, 29, 30]. Действующие на БПЛА, БИНС и ВТГ неопределенные возмущения существенно ограничивают использование классических алгоритмов, поэтому при разработке алгоритмов обработки информации в последнее время получила широкое распространение теория нечетких множеств [31, 32, 33, 34, 35, 36, 37]. При применении нечётких методов имеется ряд проблем, нерешенных к настоящему времени. К ним относятся задачи определения устойчивости и качества нечётких динамических систем.

В связи с вышесказанным, разработка и исследование нечетких алгоритмов настройки, фильтрации, анализа и синтеза систем управления и навигации является актуальной задачей.

Целью работы является разработка и исследование алгоритмов обработки информации, анализа и синтеза систем навигации и управления на основе теории нечетких множеств.

Задачи исследования. Для достижения постановленной цели решаются следующие основные задачи:

1. Построение нечетких нелинейных математических моделей ВТГ БИНС и определение их устойчивости.

2. Разработка нечеткого алгоритма компенсации погрешностей ВТГ БИНС на основе нечеткого их описания.

3. Разработка нечеткого адаптивного фильтра калмановского типа для задачи обработки информации от БИНС.

4. Создание методики анализа и синтеза алгоритмов навигации и управления БПЛА на основе нечеткого подхода.

Объект исследования. В качестве основного объекта исследования в диссертации рассматривается система навигации и управления БПЛА легкого типа, в которой в качестве датчика угловой скорости (ДУС) для БИНС применяется волновой твердотельный гироскоп.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Разработан алгоритм нечеткой адаптивной фильтрации с применением нечеткой логической адаптивной системы применительно к нелинейной задаче БИНС, позволяющий настроить компоненты матрицы субоптимального коэффициента масштабирования (СКМ) по каналам и компенсировать погрешности БИНС БПЛА.

2. Разработан нечеткий алгоритм коррекции погрешностей ВТГ БИНС для определения весовых коэффициентов существующих дефектов, что позволяет компенсировать погрешности при обработке и реализации навигационных алгоритмов на базе ВТГ.

3. Получено решение задачи устойчивости ВТГ с нечеткими начальными условиями и нечеткими параметрами методом фазовых траекторий. Полученные нечеткие «сильные/слабые» фазовые траектории для различных моделей ВТГ характеризуют свойства устойчивости при различных нечетких параметрах.

4. Методом нечеткого преобразования Лапласа, операторным методом и нечетким методом Галеркина получены и исследованы нечеткие нелинейные и

линейные математические модели движения кольцевого резонатора ВТГ БИНС, подтвердившие эффективность предложенного нечеткого подхода к описанию нечетких моделей волновых процессов с учетом неопределенностей по сравнению с четкими решениями.

5. Разработано методическое и программное обеспечение, построенное по модульному принципу для настройки, анализа и синтеза нечетких алгоритмов навигации и управления, позволяющие существенно упростить и ускорить проводимые исследования.

Практическая значимость результатов исследования.

Полученные научные результаты, имеющие методическую направленность, позволяют сократить время и повысить достоверность результатов обработки информации систем управления и навигации БПЛА.

Разработанные нечеткие алгоритмы коррекции БИНС позволяют осуществить высокоточную коррекцию навигационной информации БПЛА. С помощью нечеткого алгоритма фильтрации проводится оценка погрешностей ВТГ БИНС и компенсируется большая часть нелинейных погрешностей. Разработанные нечеткие алгоритмы позволяют повысить точность навигационной информации БПЛА в условиях неопределенности без существенных материальных затрат, и легко реализуемы в бортовых вычислителях.

Достоверность и обоснованность полученных теоретических и практических результатов подтверждаются четкими математическими выводами при построении моделей и алгоритмов, результатами математического моделирования, а также согласованностью полученных результатов с известными данными в этой области, опубликованными в открытой печати.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационного исследования, а также разработанные алгоритмы коррекции, оценивания были применены в учебном процессе на кафедре «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Методы исследования. При решении сформулированных задач использовались методы теории нечетких множеств, теории автоматического управления, методы математического анализа, методы математического моделирования и программный пакет МАТЬАВ.

Предметом исследования служат методики, модели и численные результаты, используемые в процессе анализа и разработки алгоритмов фильтрации на основе нечеткого подхода.

Основные положения диссертационной работы, выносимые на защиту.

1. Алгоритм нечеткой адаптивной фильтрации с применением нечеткой логической адаптивной системы, позволяющий корректировать БИНС в условиях неопределенности с большей точностью за счет нечувствительности к выбросам параметров системы, а также с повышенной производительностью процесса фильтрации.

2. Нечеткий алгоритм обработки сигналов ВТГ для определения весовых коэффициентов всех дефектов, влияющих на погрешности ВТГ и позволяющий компенсировать нелинейные погрешности ВТГ БИНС.

3. Результаты исследования устойчивости ВТГ методом нечетких фазовых траекторий с целью получения нечетких «сильных» или «слабых» фазовых траекторий, более адекватно характеризующих свойства устойчивости нелинейных моделей ВТГ при различных нечетких начальных условиях и параметрах.

4. Результаты исследования динамики ВТГ нечетким методом Галеркина, методом нечеткого преобразования Лапласа и нечетким операторным методом, позволяющее более точно характеризовать его свойства при различных нечетких исходных данных.

5. Методика настройки, анализа и синтеза нечетких алгоритмов, позволяющая решать задачи расчета и проектирования нечетких систем управления, ВТГ, БИНС и БПЛА в условиях неопределенности, позволяющее существенно упростить процесс исследования.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- международной научно-технической конференции «Информатика и технологии. Инновационные технологии в промышленности и информатике МНТК ФТИ-2017» (Москва, 2017);

- XLII и XLIV академических чтениях по космонавтике (Москва, 2018, 2020);

- международных научно-технических конференциях «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения - INTERMATIC» (Москва, 2017, 2018);

- международной конференции «13th International Symposium Intelligent Systems - 2018» (Санкт Петербург, 2018);

- научно-технической конференции «Современные проблемы науки и образования в ракетно - космической технике и автоматизации производств (Москва, 2019);

- XIII Всероссийском совещании по проблемам управления (Москва, 2019);

- научном семинаре кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ, из них 3 статьи в журналах, входящих в Перечень ВАК Минобрнауки РФ, 1 статья в журнале, индексируемом в Scopus, общим объемом 4,0 п.л./ 2,2 п.л.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Текст диссертации изложен на 125 страницах, содержит 44 рисунка и 8 таблиц.

Во введении обоснована актуальность темы, определены цели, задачи и методы исследования, отмечены научная новизна и практическая значимость работы, сформулированы положения, выносимые на защиту, приведены сведения по апробации, внедрению результатов, публикациях, структуре и объему диссертации.

В первой главе обоснована адекватность применения нечеткого подхода к описанию нечетких моделей волновых процессов ВТГ с учетом некоторых неопределенных свойств. Исследованы динамики ВТГ методом нечеткого

преобразования Лапласа и операторным методом как при отсутствии внутреннего трения и внешней нагрузки (модель 1), так и при их наличии (модель 2), а также нечетким методом Галеркина для нелинейной нечеткой двухточечной краевой задачи первого порядка (модель 3). Проведено исследование устойчивости ВТГ методом нечетких фазовых траекторий для указанных моделей.

Вторая глава посвящена исследованию погрешностей волнового твердотельного гироскопа, характеризующих разнообразные источники погрешности ВТГ. Неопределенность его погрешности обусловлена суммарным воздействием технологических дефектов изготовления чувствительного элемента, неоднородностью плотности его материала, параметрами системы съема и управления ВТГ и другими неконтролируемыми факторами. Разработан двухэтапный нечеткий алгоритм обработки погрешности ВТГ на основе их нечеткого описания, позволяющий анализировать влияние существующих дефектов на суммарную погрешность ВТГ.

В третьей главе представлен алгоритм нечеткой адаптивной фильтрации применительно к нелинейной задаче БИНС. Проведен анализ различных алгоритмов фильтрации: расширенный, ансцентный, сильный следящий фильтры Калмана и их комбинации, выявлены их недостатки при исследовании задачи БИНС. Предложен нечеткий адаптивный фильтр Калмана на основе сочетания сигма-точечного подхода, адаптивных свойств матрицы субоптимального коэффициента масштабирования (СКМ) для задачи обработки информации от БИНС с учетом несовершенства модели, неопределенности характеристик шумов и начальных условий. Приведены результаты моделирования на примере решения задачи БИНС 16-го порядка.

Четвертая глава посвящена методическому и программному обеспечению для решения задач, рассмотренных в главах 1-3, на основе нечеткого подхода.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

В приложении представлена коды программного обеспечения.

ГЛАВА 1. НЕЧЕТКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА

Выбор источника первичной информации является важной задачей. В ряде работ [1, 2, 3] рассмотрены современное состояние и перспективы развития гироскопических систем. В этих работах говорится о том, что волновой твердотельный гироскоп является одним из наиболее многообещающих гироскопических приборов, предназначенных для измерения угла поворота и угловой скорости вращения объекта в инерциальных навигационных системах. Интерес к ВТГ вызван уникальным сочетанием свойств: высокая точность, малая случайная погрешность, небольшие габаритные размеры, простота конструкции, большой технический ресурс и малое энергопотребление. С другой стороны, благодаря свойству устойчивости к вомущению магнитного поля, усовершенствованная технология ВТГ удовлетворяет потребность в миниатюрной, легкой, робастной системе, которую можно использовать для решения задач высокоточной навигации и прецизионного наведения.

1.1. Проблемы применения ВТГ в системах управления и навигации

Физический принцип функционирования ВТГ основан на инертных свойствах стоячих упругих волн [38, 39, 40, 41, 42]. Чувствительным элементом ВТГ является кварцевый резонатор - тонкостенная полусферическая оболочка, изготовленная из плавленого кварцевого стекла и жёстко связанная с основанием прибора в области полюса (Рис. 1.1).

Рис. 1.1. Структура ВТГ [5]

Разработка конструкции, технологии и производственное освоение приборов этого типа требуют решения ряда новых научных проблем, таких как основы теории ВТГ [43, 44, 45, 46], влияние различных параметров на их погрешности [7, 6, 47, 48, 49, 50], динамика и методы балансировки ВТГ [51, 52, 30, 53, 54, 55, 56, 57]. Разнообразие задач, возникающих при моделировании ВТГ и проектировании навигационных систем на его основе, требует использовать широкий набор средств современной теории аппроксимации, численного анализа, цифровой обработки сигналов, методов искусственного интеллекта.

Важной проблемой при создании ВТГ является исследование его динамики с учетом различных возмущений неопределенного характера. Ряд работ посвящен изучению влияния вибрации на динамику ВТГ [30, 57, 58, 59]. Показано, что различные возмущения неопределенного характера могут существенным образом влиять на волновую картину резонатора ВТГ.

В последнее время теория нечётких множеств получила широкое распространение применительно к решению разнообразных задач синтеза и анализа систем автоматического управления в условиях воздействия на них различного рода возмущений и, вносящих неопределенность в их модельное представление.

В настоящее время применительно к четким стационарным динамическим системам исследованы нечеткие аналоги: нечеткие уравнения в частных производных второго порядка [60, 61, 62, 63, 64], задача с нечетким начальным условием [65, 66], нечеткая краевая задача [67, 68, 69], нечеткие системы линейных алгебраических уравнений [70, 71, 72, 73]. Эти методы и модели применимы к решению задач оценивания [31], обработке информации нечёткими сплайнами [74], исследованию нечётких систем автоматической оптимизации [75], созданию различных нечётких моделей для ВТГ [34].

Несмотря на перечисленные разработки в применении нечётких методов имеется ряд проблем, нерешенных к настоящему времени, но являющихся центральными в нечёткой теории автоматического управления. К ним, очевидно, относится задача определения устойчивости нечётких динамических систем. В общей постановке эта задача является нерешенной до сих пор, однако некоторые

методы, в частности, метод нечётких фазовых траекторий к настоящему времени достаточно хорошо разработан и с успехом применяется в исследовании устойчивости нечётких динамических систем, описываемых нечёткими дифференциальными уравнениями 2-го порядка [76, 77, 78].

Неопределенность погрешности ВТГ вызвана суммарным влиянием технологических дефектов изготовления чувствительного элемента, неоднородной плотностью материала резонатора, параметрами системы управления и съема информации ВТГ и другими неконтролируемыми факторами [79, 80, 81, 82, 83, 84, 85]. Несмотря на предложенные способы, вышеуказанные дефекты ВТГ зависят от многих параметров, в том числе случайных, нестабильных.

В настоящее время в теории ВТГ имеет место расчет составляющих компонентов, определяющих неопределенность и, как правило, для их описания применяют вероятностные и детерминированные модели. Такие подходы к описанию задачи моделирования являются достаточно непростыми и не всегда адекватными. Например, при использовании вероятностной модели накладываются жесткие ограничения на соответствующие плотности распределений, их моменты и т.д., которые на практике не всегда выполняются, что приводит к значительным ошибкам при расчете точностных параметров ВТГ. Детерминированные методы часто достаточно сложны.

При создании и анализе мехатронных систем, включающих в себя ВТГ, большое значение приобретают нечеткие модели в описании неопределенности их функционирования. Это обусловлено возможностью представления не только наихудших и наилучших результатов функционирования систем в неопределенных условиях, как это позволяют интервальные методы, но и получение промежуточных результатов. Предложенный нечеткий подход более прост по сравнению с традиционными подходами и дает более адекватные оценки при расчете параметров резонаторов.

В данной главе проводится исследование динамики ВТГ методом нечеткого преобразования Лапласа и операторным методом и нечетким методом Галеркина, а также устойчивости ВТГ методом нечетких фазовых траекторий.

1.2. Нечеткие математические модели ВТГ

Рассмотрим следующие нечеткие модели волновых процессов ВТГ, в которых нечеткость, обусловленная перечисленными выше факторами, моделирует неопределенность [34]. Нечеткие параметры в рассматриваемых моделях обозначены с индексом «н».

Модель 1. Нечеткое уравнение движения кольцевого резонатора без учета внешней нагрузки и внутреннего трения. Рассмотрим частный случай, когда это уравнение имеет вид нечеткой начальной задачи второго порядка:

'¿н(т) + кан(т) = 0н,к = 36/5 a^т = 0) = aн0,dн(т = 0) = 0н, где ан (т) - нечеткая амплитуда перемещения стоячей волны в радиальном

перемещении резонатора, к- коэффициент жесткости, т - безразмерное время. Необходимо найти нечеткое решение ан (т) модели (1.1). Модель 2. В задаче по модели 1 учитывается внутреннее трение:

Ч (О + 2осан (х) + кан (х) = 0н ан(т = 0) = ан0,ан(т = 0) = 0н Здесь а = ^к, \ - коэффициент демпфирования. Необходимо найти

нечеткое решение ан (т) модели (1.2).

Модель 3. Имеем нелинейную нечеткую двухточечную краевую задачу первого порядка:

\Тан(х(0) + Ф(0) = х2Л0 (13)

МХ1) = анЛ(Х2) = ан2 где Т - динамический параметр, например, постоянная времени

апериодического звена; х(0 - кусочно-линейная зависимость; I - время. Необходимо найти параметры процесса в тригонометрическом базисе.

Задачи (1.1), (1.2) решаются с помощью методов нечеткого преобразования Лапласа и операторного метода [86, 87], а задача (1.3) - с помощью нечеткого метода Галеркина.

Перечисленные методы опираются на определения и теоремы нечетких множеств, таких, как определение нечеткого множества и его свойства, нечеткие

и четкие числа, принцип расширения Заде, метрика Хаусдорфа нечетких множеств, типы решений начальных задач первого порядка и их взаимосвязи, типы нечеткой дифференцируемости первого порядка по Сейккала Seikkala) и по Баклею - Феарингу (7. Васк1еу-Т. Feuring), интегрируемость по Риману и интегрируемые свойства нечетких функций, типы нечеткой обобщенной производной первого и второго порядков по Хукухара и типы решений начальной и граничной задач второго порядка и другие понятия.

1.2.1. Получение и анализ моделей методом нечеткого преобразования Лапласа

Метод нечеткого преобразования Лапласа [86] имеет место следующее определение.

Определение. Нечеткое преобразование Лапласа для нечеткой функции /н (/) = /(£, г) = (/(£, г), /(£, г)), г е[0;1] и действительного параметра р определяется следующим образом:

w X

F (p) = L[ fH (t)] = J e" ptfH (t )dt = lim J e" p fH (t )dt =

X X

lim J e~ ptf (t, r )dt ,lim J e" ptf (t, r )dt

X^-w J — X^-w J

X^-w

V 0

(1.4)

где L[.] - символ преобразования Лапласа. При этом предполагается, что пределы существуют, а интегралы понимаются в смысле Римана.

Для выражения (1.4) обычно используются следующие обозначения

X

lim J e~ ptf (t, r )dt = l Г f (t, r)",

X^w J — I— — -I

0

X

lim J e" ptf (t, r )dt = l Г f (t, r) 1, r e [0;1]

X^w J I— -I

0

Тогда (1.4) записывается в виде L [f (t)] = (l [ f (t, r) , l f (t, r) j, r e[0;1]. Расчеты для L[jh(/)] и L[i;(7)] дают:

L[xH(t)] = p2L[xH(t)]®xH(t = t0)-хн (t = t0) L[xH(t)] = pL[xH(t)]®xH(t = t0)

Здесь © - разность по Хукухара, которая для двух элементов u, v е E (пространство нечетких переменных) определяет элемент w е E такой, что u = v + w.

а. Движение кольцевого резонатора при отсутствии внутреннего трения и внешней нагрузки

Согласно определению производной по Хукухара [86, 88], будем иметь следующие типы нечетких задач и решений для модели 1:

-Случай 1 (i,i): ан(т) и ан(т)- (i) дифференцируемы;

- Случай 2 (i,ii): ян(т) - (i) дифференцируема, а ян(т) - (И) дифференцируема;

- Случай 3 (//,/): ан{т) - (ii) дифференцируема, а ан(т) - (i) дифференцируема;

-Случай 4 (iiji): ан( т) и ан( т)- (и) дифференцируемы.

Здесь символ на первом месте обозначает тип первой производной по Хукухара, символ на втором месте после запятой - тип второй производной по Хукухара. Таким образом, для задачи с нечетким начальным условием (1.1) (модель 1) будем иметь четыре нечетких уравнения и соответственно четыре нечетких решения. Как правило, для нечеткой начальной задачи п-го порядка

будем иметь 2" нечетких уравнений и решений.

Запишем уравнение (1.1) в стандартной форме с учетом представления нечетких переменных в параметрической (уровневой) форме с треугольными функциями принадлежностей:

ан0 = (^Л) А(т = °) = °н = (О,б)'

Далее, согласно определению дифференцируемости по Хукухара, будем иметь следующие типы нечетких уравнений и их нечеткие решения, полученные с помощью нечеткого преобразования Лапласа.

Случай 1 (i,i). ан(т) и ан(т)- (i) дифференцируемы, то (1.5) имеет вид:

(1.5)

а(т, г) + ка(т, г) = 0 (г) а(т, г) + ка(т, г) = О(г) Используя преобразование Лапласа, получим:

Ь [¿(т, г)] + к Ь [я(т, г)] = 0(г) Ьр(т,г)] + £Ь[а(т,г)] = 0(г) ' Из свойств преобразования Лапласа имеем:

Ь[а(т,г)] = /г Ь[а(т,г)] - ра^{г) - 0(г) Ь[а(х,г)] = р2 Ь[а(т,г)] - /?а0(г) - 0(г) После постановки этих соотношений и приведения подобных членов получим:

L [ а (т,')]-^ (^к)+)

ь[а(т,г)] = 2х%г), + ад- р '

л/к (р2 + к)' р- + к

Применив обратное Ь-1 преобразование Лапласа, с использованием таблиц преобразования находим решение:

а(т, г) = 2 х ) Бт(л/кт) + а (г) соб(\[кт)

л/к

а(т,г) = 2 х °(г) Бт(л/кт) + а0(г)соБ(л/кт) л/к

Случай 2 (МО- Если ан{т) - (7) дифференцируема, а ¿„(т)

дифференцируема, то (1.5) имеет вид:

а(%,г) + ка(т,г) = 0 (г) я(т, г) + ка{ т, г) = 0(г) Аналогичным способом, как и для случая 1, получим:

х(т, г) = а (т, г) + а(т, г) = ^^Б^л/кт) + х0 соБ(л/кт)

V к ,

у (т, г) = а (т, г) - а(т, г) = у0 сИ(л/кт) где х(.) = а(.) + а(.);у(.) = а(.) - а(.);X = а0 + а;у = а - а;то = 0 + 0, отсюда:

(1.6)

(¿0

(1.7)

а (т, г) = 0,5[ х(т, г) - у(т, г)] а (т, г) = 0,5[ х(т, г) + у(т, г)] Случай 3 {И,г). Если ан(т) - (и) дифференцируема, а ан(х) - (/) дифференцируема, то (1.5) имеет вид:

а(х,г) + ка(х,г) = 0 (г) а(х,г) + ка(х,г) = 0(г) Аналогичным способом, как и для случая 1, получим:

х(т, г) = а (т, г) + а(т, г) = ^^ Бт(у/кт) + х0 соб(4кт)

у/к

у (т, г) = а (т, г) - а(т, г) = Бт( >/кт) + у0 соб( л/кт)

л/к

где т0 = 0 + 0; % = 0 - 0.

Таким образом, решение имеет вид:

а (т, г) = 0,5[ х(т, г) - у(т, г)]

а (

(т, г) = 0,5[ х(т, г) + у(т, г)]

г) , г )

(1.8)

вид:

Случай 4 (и,и). Если ан(т) и ан{т)- (и) дифференцируемы, то (1.5) имеет

а(х,г) + ка(х,г) = 0(г) [.а(х,г) + ка(х,г) = 0(г) Аналогичным способом, как и для случая 1, получим:

а(т, г) = -тг ) + а (г) cos(^¡kt)

у/к

а (т, г) = siп(y¡kt) + а (г) cos(^¡kt) ■\1к

(1.9)

Нечеткие решения а(т, г), которые были получены для модели 1 уравнением (1.1) с помощью нечеткого преобразования Лапласа, представлены на Рис. 1.2 - 1.3. Обозначены: штрихпунктирными линиями - четкие решения а(т), штриховыми линиями - нижние решения а(т, г), сплошными линиями -верхние решения а(т, г).

<

<

(i.ii)

..........ad -а и .....J

1 2 3 Г (ii.ii)

Рис. 1.2. Зависимости a(x,r) модели 1 для 4-х случаев при а0,а0 нечеткие

хЮ*

(i,ii)

(i,i)

а)

% м

А щ %

щ щ щ

щ щ

ч щ 1 1

А 'А й ш щ М, М

•m

й л м л % ''Ж

т

i If щ

А ш ш щ 1

4 я ш щ щ V.A J

б)

Рис. 1.3. Зависимости а(х,г) модели 1 а) - при а0 нечеткий; б) - при а0 нечеткий

Анализ решений модели 1 и рисунков для 4-х случаев следует, что во всех случаях при r = 1 имеем четкий вариант и, выражения (1.6), (1.7), (1.8), (1.9)

должно выполняться соотношение а (т, r = 1) = а(т, r = 1) = а0 cos {Vkт j, полученное в [5].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чан Динь Минь, 2021 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Пешехонов В.Г. Современное состояние и перспективы развития гироскопических систем // Гироскопия и навигация, №2 1 (72), 2011. С. 3-17.

2. Ривкин Б.С. Аналитический обзор состояния исследований и разработок в области навигации за рубежом. Т. 3. СПб.: ГНЦ РФ Концерн ЦНИИ «Электроприбор», 2019. 92 с.

3. Басараб М.А., Лунин Б.С., Матвеев В.А., Фомичев А.В., Чуманкин Е.А., Юрин А.В. Миниатюрные волновые твердотельные гироскопы для малых космических аппаратов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: Приборостроение, № 4 (97), 2014. С. 80-96.

4. Мейер Д., Розелле Д. Инерциальная навигационная система на основе миниатюрного волнового твердотельного гироскопа // Гироскопия и навигация, № 3 (78), 2012. С. 45-54.

5. Матвеев В.А., Лунин Б.С., Басараб М.А. Навигационные системы на волновых твердотельных гироскопах. -М.: Физматлит, 2008. 240 с.

6. Журавлев В.Ф. О дрейфе волнового твердотельного гироскопа (ВТГ) на вращающемся основании при управлении квадратурой в режимах «быстрого» и «медленного» времени // Изв. РАН. МТТ, Т. 3, 2003. С. 13-18.

7. Журавлев В.Ф. Дрейф несовершенного ВТГ // Изв. РАН. МТТ, № 4, 2004. С. 19-23.

8. Neusypin K.A., Shen K., Liu R.Z. Modification of nonlinear Kalman filter using self-organizing approaches and genetic algorithms // International Journal of Information Engineering, Vol. 3, 2013. pp. 129-136.

9. Salychev O.S. MEMS-based Inertial Navigation: Expectations and Reality. Moscow: Bauman MSTU Press, 2012. 207 pp.

10. Неусыпин К.А., Шелухина Н.А. Коррекция навигационной информации посредством нелинейного фильтра Калмана // Автоматизация. Современные технологии, Т. 4, 2000. С. 21-24.

11. Пролетарский А.В., Неусыпин К.А., Кузнецов И.А. Алгоритмы коррекции навигационных систем. Учебное пособие. -М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2015. 67 с.

12. Степанов О.А., Мостафа М. Алгоритмы комплексной обработки в задаче коррекции показаний навигационных систем при наличии нелинейных измерений // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, № 6, 2016. С. 89-102.

13. Степанов О.А. Основные подходы и методы решения прикладных задач обработки измерительной информации // XVI конференции молодых учёных «Навигация и управление движением». 2014. С. 12-35.

14. Шангареев А.Т., Тимаков С.Н., Платонов В.Н. Применение фильтра калмана к задачам управления причаливанием космических аппаратов // Космическая техника и технологии, № 4 (15), 2016. С. 57-66.

15. Куликов Р.С. Сравнение точностей нелинейной фильтрации в расширенном фильтре Калмана и в ансцентном фильтре // Радиотехника, № 9, 2016. С. 135-140.

16. Шаврин В.В., Тисленко В.И., Лебедев В.Ю., Конаков А.С., Филимонов В.А., Кравец А.П. Квазиоптимальная оценка параметров сигналов ГНСС в режиме когерентного приема с использованием алгоритма сигма-точечного фильтра Калмана // Гироскопия и навигация, Т. 3 (94), 2016. С. 26-37.

17. Quanbo G., Teng S., Shaodong C., Chenglin W. Carrier Tracking Estimation Analysis by Using the Extended Strong Tracking Filtering // IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 64, No. 2, 2017. pp. 1415-1424.

18. Sudheesh P., Jayakuma R.M. Nonlinear tracking using unscented // Advances in Intelligent Systems and Computing, Vol. 678, 2018. pp. 38-46.

19. Feng Y., Li X., Zhang X. An Adaptive Compensation Algorithm for Temperature Drift of Micro-Electro-Mechanical Systems Gyroscopes Using a Strong Tracking Kalman Filter // Sensors, Vol. 15, 2015. pp. 11222-11238.

20. Mundla N., Samrat L.S., Jagannath N. Adaptive sampling strong tracking scaled unscented Kalman filter for denoising the fibre optic gyroscope drift signal // IET Sci. Meas. Technol, Vol. 9, No. 3, 2015. pp. 241 -249.

21. Zhan-long D., Xiao-min L. Strong Tracking Tobit Kalman Filter with Model Uncertainties // International Journal of Control Automation and Systems, Vol. 17 (1), 2019. pp. 345-355.

22. Fakoorian S., Mohammadi A., Azimi V., Simon D. Robust Kalman-Type Filter for Non-Gaussian Noise: Performance Analysis With Unknown Noise Covariances // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, No. 141 (9), 2019. pp. 1011-1018.

23. Simon D. Kalman filtering for fuzzy discrete time dynamic systems // Applied Soft Computing, No. 3 , 2003. pp. 191-207.

24. Jwo D.J., Wang S.H. Adaptive fuzzy strong tracking extended Kalman filtering for GPS navigation // IEEE Sensors, Vol. 7, 2007. pp. 778-789.

25. Деменков Н.П., Чан Д.М. Оценка эффективности сильного следящего ансцентного фильтра Калмана с применением нечеткой модели // Лесной вестник, Т. 23, № 4, 2019. С. 88-97.

26. Jing L., Ningfang S., Gongliu Y., Rui J. Fuzzy adaptive strong tracking scaled unscented Kalman filter for initial alignment of large misalignment angles // Rev. Sci. Instrum, Vol. 87, 2016. pp. 790-798.

27. Jwo D.J., Lai S.Y. Navigation integration using the fuzzy strong tracking unscented Kalman // Journal of Navigation, Vol. 62, 2009. pp. 303-322.

28. Егармин Н.Е. Динамика неидеальной оболочки и управление ее колебаниями // Изв. РАН МТТ, Т. 4, 1993. С. 49-59.

29. Степанов О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Часть 1. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ«Электроприбор», 2010. 509 с.

30. Меркурьев И.В., Подалков В.В. Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов. - М.: Физматлит, 2009. 226 с.

31. Мочалов И.А., Хрисат М.С. Оценивание параметров модели по нечетким случайным данным // Информационные технологии, № 2(210), 2014. С. 1422.

32. Мочалов И.А., Хрисат М.С., Шихаб М.Я. Нечеткие дифференциальные уравнения в задачах управления. Части 1, 2 // Информационные технологии, № 3, 4, 2015. С. 171-178, 243-250.

33. Деменков Н.П., Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткое преобразование Лапласа в задачах нечеткого математического моделирования, Части 1, 2 // Информационные технологии, № 4, 5, 2017. С. 251-258, 362-369.

34. Деменков Н.П., Матвеев В.А., Мочалов И.А. Нечеткие методы моделирования волновых твердотельных гироскопов // Вестник МГТУ. сер. Приборостроение, № 3(120), 2018. С. 33-47.

35. Мочалов И.А., Хрисат М.С., Шихаб М.Я. Нечеткие уравнения в частных производных в задачах управления // Информационные технологии, № 8, 2015. С. 563-569.

36. Vorobiev D., Seikkala T. Towards the theory of fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems, Vol. 125, No. 2, 2002. pp. 231-237.

37. Деменков Н.П., Микрин Е.А., Мочалов И.А. Нечеткие двухточечные краевые задачи в математическом моделировании и управлении. Части 1, 2. // Проблемы управления, № 1, 2, 2018. С. 30-36, 31-39.

38. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука, 1985. 125 с.

39. Матвеев В.А., Липатников В.И., Алехин А.В. Проектирование волнового твердотельного гироскопа. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1997. 168 с.

40. Лунин B.C. Физико-химические основы разработки полусферических резонаторов волновых твердотельных гироскопов. -М.: Изд. МАИ, 2005. 224 с.

41. Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Матвеев В.А. Математическое моделирование физических процессов в гироскопии. -М: Радиотехника, 2005. 176 с.

42. Егармин Н.Е. О прецессии стоячих волн колебаний вращающейся осе-симметричной оболочки // Изв. АН СССР. МТТ, Т. 1, 1986. С. 142-148.

43. Журавлев В.Ф. Теоретические основы волнового твердотельного гироскопа // Изв. РАН. МТТ, Т. 3, 1993. С. 6-19.

44. Журавлев В.Ф., Линч Д.Д. Электрическая модель волнового твердотельного гироскопа // Изв. РАН. МТТ, Т. 5, 1995. С. 12-17.

45. Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Матвеев В.А. Методы моделирования и цифровой обработки сигналов в гироскопии. -М.: Физматлит, 2008. 248 с.

46. Егармин Н.Е. Свободные и вынужденные колебания вращающегося вяз-коупругого кольца // Изв. АН. МТТ, Т. 2, 1986. С. 150-154.

47. Лунин B.C., Шарипова H.H., Завадская Э.А. Влияние параметров полусферического резонатора на дрейф волнового твердотельного гироскопа // Изв. ВУЗов, Приборостроение, Т. 47, № 2, 2004. С. 31-35.

48. Маслов Д.А., Меркурьев И.В. Компенсация погрешностей и учет нелинейности колебаний вибрационного кольцевого микрогироскопа в режиме датчика угловой скорости // Нелинейная динамика, Т. 13, №2 2, 2017. С. 227-241.

49. Матвеев В.А., Липатников В.Н., Алехин А.В. Идентификация неоднородности распределения массы резонатора волнового

твердотельного гироскопа // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана, №2 1, 1997. С. 104-108.

50. Василенко Н.В., Сарапулов С.А., Павловский A.M. О погрешностях твердотельных волновых гироскопов при поступательной вибрации основания // Докл. АН УССР. Сер. А, Т. 11, 1990. С. 25-28.

51. Жбанов Ю.К., Каленова Н.В. Поверхностный дебаланс волнового твердотельного гироскопа // Изв. АН. МТТ, № 3, 2001. С. 11-18.

52. Жбанов Ю.К., Журавлев В.Ф. О балансировке волнового твердотельного гироскопа // Изв. АН. МТТ, № 4, 1998. С. 4-16.

53. Шаталов М.Ю., Лунин B.C. Влияние внутренних напряжений на динамику волновых твердотельных гироскопов // Гироскопия и навигация, № 1 (28), 2000. С. 78-87.

54. Жбанов Ю.К. Самонастраивающийся контур подавления квадратуры в волновом твердотельном гироскопе // Гироскопия и навигация, № 2, 2007. С. 37-43.

55. Маслов Д.А. Устойчивость стационарных колебаний цилиндрического резонатора гироскопа с электромагнитной системой управления // Инженерный журнал: наука и инновации, № 5 (53), 2016. С. 1-12.

56. Ву Т.Ч.З., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние угловой вибрации основания на динамику микромеханического гироскопа // Вестник МЭИ, Т. 3, 2010. С. 9-15.

57. Егармин Н.Е. Нелинейные эффекты в динамике вращающегося кругового кольца // Изв. АН СССР. МТТ, № 3, 1993. С. 50-59.

58. Шаталов М.Ю., Лунин B.C. Влияние внутренних напряжений на динамику волновых твердотельных гироскопов // Гироскопия и навигация, № 1 (28), 2000. С. 78-87.

59. Юрин В.Е. Устойчивость колебаний волнового твердотельного гироскопа // Изв. РАН. МТТ, № 3, 1993. С. 20-31.

60. Allahviranloo T., Kermani M.A. Numerical methods for fuzzy linear partial differential equations under new definition for derivative // Iran Journal of Fuzzy Systems, Vol. 7, No. 3, 2010. pp. 33-50.

61. Corveleyn S. The numerical solution of elliptic partial differential equations with fuzzy coefficients. PhD thesis. University of Leuven, 2014. 184 pp.

62. Pownuk A. Numerical solutions of fuzzy partial differential equations and its applications in computational mechanics // Springer, Vol. 142, 2004. pp. 308347.

63. Arara A., Benchohra M., Nthouyas S.R., Ouahab A. Fuzzy solutions for hyperbolic partialdifferential equations // International Journal of Applied Mathematical Sciences, Vol. 2, No. 2, 1998. pp. 241-248.

64. Buckley J.J., Feuring T. Introduction of fuzzy partial and differential equations // Fuzzy Sets and Systems, Vol. 105, No. 2, 1999. pp. 241-248.

65. Vorobiev D., Seikkala T. Towards the theory of fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems, Vol. 125, No. 2, 2002. pp. 231-237.

66. Buckley J.J., Feuring T. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems, Vol. 110, No. 1, 2000. pp. 43-54.

67. Khalilpour K., Allahviranloo T. An initial value method for two-point fuzzy boundaryvalue problems // Word Applied Science Journal, Vol. 13, No. 10, 2001. pp. 2142-2155.

68. Armand A., Gouyandeh Z. Solving two-point fuzzy boundary value problems using variational iteration method // Communications on Advanced Computational Science with Applications, Vol. 2013, 2013. pp. 1-10.

69. Liu H.K. Comparison result of two-point fuzzy boundary value problems // Word Academy of Science, Engineering and Technology, Vol. 51, 2011. pp. 697-703.

70. Friedman M., Ming M., Kandel A. Fuzzy linear systems // Fuzzy Sets and Systems, Vol. 96, No. 2, 1998. pp. 201-209.

71. Dehghan M., Hashemi B. Iterative solution of fuzzy linear systems // Applied Mathematics and Computation, Vol. 175, No. 1, 2006. pp. 645-674.

72. Allahviranloo T., Salahshour S., M. H., Baleanu D. General solutions of fuzzy linear systems // Abstract and Applied Analysis, Vol. 2013, 2013. pp. 1-10.

73. Murnganandam S., Razak A.K. Matrix inversion method for solving fully fuzzy linear systems with triangular fuzzy numbers // International Journal of Computer Application, Vol. 65, No. 4, 2013. pp. 9-11.

74. Деменков Н.П., Мочалов И.А. Нечеткие сплайны // Вестник МГТУ, сер. Приборостроение, № 2(87), 2012. С. 48-58.

75. Деменков Н.П., Мочалов И.А. Динамика нечеткой системы автоматической оптимизации // Вестник МГТУ. сер. Приборостроение, № 1(106), 2016. С. 59-74.

76. Xu J., Liao Z., Hu Z. A class of linear differential dynamical systems with fuzzy initial condition // Fuzzy sets & systems, No. 158, 2007. pp. 2339-2358.

77. Xu J., Liao Z., Nietoc J. A class of linear differential dynamical systems with fuzzy matrices // Math analysis and application, No. 368, 2010. pp. 52-68.

78. Ghazanfari B., Niazi S., Ghazanfari A.G. Linear matrix differential dynamical systems with fuzzy matrices // Арр1. math. model, No. 36, 2012. pp. 348-356.

79. Збруцкий А.В., Минаев Ю.К. Влияние неперпендикулярности оси полусферического резонатора к плоскости закрепления на точностные характеристики твердотельного волнового гироскопа // Гироскопия и навигация, Т. 24, № 1, 1999. С. 106-111.

80. Журавлев В.Ф. Задача идентификации погрешностей обобщенного маятника Фуко // Изв. РАН. МТТ, № 5, 2000. С. 186-192.

81. Каленова Н.В. Определение параметров поверхностного дебаланса резонатора волнового твердотельного гироскопа по его реакции на угловую вибрацию основания // Изв. РАН. МТТ, Т. 2, 2004. С. 3-7.

82. Липатников В.И., Матвеев В.А. Система съема информации твердотельного волнового гироскопа // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана, Т. 1, 1997. С. 109-113.

83. Збруцкий А.В., Сарапулов С.А., Кисиленко С.П. Влияние погрешностей изготовления упругого кольцевого резонатора на точность твердотельного волнового гироскопа // Механика гироскоп, систем., Т. 6, 1987. С. 18-23.

84. Збруцкий А.В., Минаев Ю.К. Влияние неперпендикулярности оси полусферического резонатора к плоскости закрепления на точностные характеристики твердотельного волнового гироскопа // Гироскопия и навигация, Т. 1(24), 1999. С. 106-111.

85. Збруцкий А.В., Сарапулов С.А., Локоть Н.М. О погрешностях твердотельного волнового гироскопа при параметрическом возбуждении резонатора // Докл. АН УССР. Сер. А., Т. 2, 1990. С. 32-35.

86. El Jaoui E., Melliani S., Chadli S. Solving second order fuzzy differential equations by the fuzzy Laplace transform method // Advances in Difference Equations, Vol. 66, 2015.

87. Allahviranloo T., Abbasbandy S., Salahshour S., Hakimzadehet A. A new method for solving linear differential equations // Computing, Vol. 92, No. 2, 2011. pp. 181-197.

88. Hulya G.C. Investigation of A Fuzzy Problem by the Fuzzy Laplace Transform // Applied Mathematics and Nonlinear Sciences, Vol. 4, No. 2, 2019. pp. 407416.

89. Пигат А. Нечеткое моделирование и управление. 2-е изд. М.: «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2013. 798 с.

90. Деменков Н.П. Нечеткое управление в технических системах. М.: МГТУ им. Баумана, 2005. 200 с.

91. Дегтярёв Ш., Тайль. Элементы теории адаптивного расширенного фильтра Калмана. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. ^.,Vol 26, 2003. 35 с.

92. Куликова М.В., Куликов Г.Ю. Численные методы нелинейной фильтрации для обработки сигналов и измерений // Вычислительные технологии, Т. 21, № 4, 2016. С. 64-98.

93. Аль Б.Н., Гаврилов А.И. Сравнительный анализ алгоритмов комплексирования в слабосвязанной инерциально-спутниковой системе на основе обработки реальных данных // Гироскопия и навигация, Т. 27, № 3(106), 2019. С. 31-52.

94. Кудрявцева ИА. Анализ эффективности расширенного фильтра Калмана, сигма-точечного фильтра Калмана и сигма-точечного фильтра частиц // Научный вестник МГТУГА, № 224 (2), 2016. С. 43-51.

95. Merwe R.V.D. Sigma-point Kalman filters for probabilistic inference in dynamic state-space models. Ph.D thesis, OGI school of science & engineering at Oregon Health & Science Uni, 2004. 397 pp.

96. Crassidis J.L. Sigma-point Kalman filtering for integrated GPS and inertial navigation // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol. 42, No. 2, 2006. pp. 750-756.

97. Long X., Kemao M., Hongxia F. Unscented Kalman Filtering for Nonlinear State Estimation with Correlated Noises and Missing Measurements // International Journal of Control, Automation and Systems, Vol. 16, No. 3, 2018. pp. 10111020.

98. Narasimhappa M., Sabat S.L., Nayak J. Adaptive sampling strong tracking scaled unscented Kalman filter for denoising the fibre optic gyroscope drift signal // IET Science, Measurement & Technology, Vol. 9, No. 3, 2015. pp. 241-249.

99. Zhang Z., Zhang J. A strong tracking nonlinear robust filter for eye tracking // Control Theory Appl, Vol. 8(4), 2010. pp. 503-508.

100. Gaoge H., Shesheng G., Yongmin Z., Bingbing G., Aleksandar S. Modified strong tracking unscented Kalman filter for nonlinear state estimation with process model uncertainty // Int. J. Adapt. Control Signal Process, Vol. 29, 2015. pp. 1561-1577.

101. Grigorie T.L., Lungu M., Edu I.R., Obreja. Concepts for error modeling of miniature accelerometers used in inertial navigation systems // Annals of the University of Craiova, Electrical Engineering series, Vol. 34, 2010. pp. 212-219.

102. Barragán A.J., Al-Hadithi B.M., Jiménez A., Andújar J.M. A general methodology for online TS fuzzy modeling by the extended Kalman filter // Applied Soft Computing, Vol. 18, 2014. pp. 277-289.

103. Nguyen T.H., Sugeno M. Fuzzy Systems. Modeling and Control. 2nd ed. Spinger US, 2012. 519 pp.

108

ПРИЛОЖЕНИЕ

П.1. Модуль для задачи исследования устойчивости

clc, clear all; close all; NN=5;

%% examples

RIS_saddle;

RIS_node_1;

RIS_node_2;

RIS_focus_1;

RIS_focus_2;

RIS center;

%% example for saddle function RIS saddle

%% for saddle, first state & fuzzy condition, tunable

x01=5; x02=5;

dx01=0.5; dx02=0.5;

X0_saddle=[x01,x02];

dx0 saddle=[dx01,dx02];

tun X0 saddle=0; % 1 - tun fuzzy, tunable

%% for saddle, matrix system & fuzzy condition, tunable a11=2; a12=0; a21=0; a22=-2;

da11=0.5; da12=0; da21=0; da22 =0.5; A saddle=[a11 a12; a21 a22]; dA saddle=[da11 da12; da21 da22];

tun A saddle=1; % 1 - tun fuzzy, tunable

%% figure for saddle

X0=X0 saddle;dx0=dx0 saddle;tun X0=tun X0 saddle; A=A saddle;dA=dA saddle;tun A= tun A saddle; t_saddle=[0.1 0.3 0.5 1]; _ t_end=t_saddle; NN=5;

Fuzzy_chapter4(X0,dx0,tun_X0,A,dA,tun_A,NN,t_end); end

%% example for node function RIS node 1

%% for node 1, first state & fuzzy condition, tunable

x01=5; x02=5;

dx01=0.5; dx02=0.5;

X0_node_1=[x01,x02];

dx0 node 1=[dx01,dx02];

tun X0 node 1=0; % 1 - tun fuzzy, tunable

%% for node 1, matrix system & fuzzy condition, tunable

a11=-2; a12=0; a21=0; a22=-3;

da11=1; da12=0; da21=0; da22=0.2;

A node 1=[a11 a12; a21 a22];

dA node 1=[da11 da12; da21 da22];

tun A node 1=1; % 1 - tun fuzzy, tunable

%% figure for node_1

X0=X0 node 1;dx0=dx0 node 1;tun X0=tun X0 node 1; A=A node 1;dA=dA node 1;tun A= tun A node 1; t_node_1=[0.1 0.5 2 5j; _ _

t_end=t_node_1; NN=5;

Fuzzy_chapter4(X0,dx0,tun_X0,A,dA,tun_A,NN,t_end); end

%% example for node function RIS node 2

%% for node 2, first state & fuzzy condition, tunable

x01=5; x02=5;

dx01=0.5; dx02=0.5;

X0_node_2=[x01,x02];

dx0 node 2=[dx01,dx02];

tun X0 node 2=0; % 1 - tun fuzzy, tunable

%% for node 2, matrix system & fuzzy condition, tunable

a11=3; a12=0; a21=0; a22=2;

da11=1; da12=0; da21=0; da22=0.1;

A node 2=[a11 a12; a21 a22];

dA node 2=[da11 da12; da21 da22];

tun A node 2=1; % 1 - tun fuzzy, tunable

%% figure for node 2

X0=X0 node 2;dx0=dx0 node 2;tun X0=tun X0 node 2; A=A node 2;dA=dA node 2;tun A= tun A node 2; t_node_2=[0.1 0.2 0.3_0.5];_ _

t end=t node 2; NN=5;

Fuzzy_chapter4(X0,dx0,tun_X0,A,dA,tun_A,NN,t_end); end

%% example for focus function RIS focus 1

%% for focus 1, first state & fuzzy condition, tunable

x01=5; x02=5;

dx01=0.5; dx02=0.5;

X0_focus_1=[x01,x02];

dx0 focus 1=[dx01,dx02];

tun X0 focus 1=0; % 1 - tun fuzzy, tunable

%% for focus 1, matrix system & fuzzy condition, tunable a11=-2; a12=4; a21=-4; a22=-2;

da11=0.4; da12=0.4; da21=0.4; da22 =0.4; A focus 1=[a11 a12; a21 a22]; dA focus 1=[da11 da12; da21 da22];

tun A focus 1=1; % 1 - tun fuzzy, tunable

%% figure for focus_1

X0=X0 focus 1;dx0=dx0 focus 1;tun X0=tun X0 focus 1; A=A focus 1;dA=dA focus 1;tun A= tun A focus 1; t_focus_1=[0.5 1 2 5]; t_end=t_focus_1; NN=5;

Fuzzy_chapter4(X0,dx0,tun_X0,A,dA,tun_A,NN,t_end); end

%% example for focus function RIS_focus_2

%% for focus 2, first state & fuzzy condition, tunable

x01=5; x02=5;

dx01=0.5; dx02=0.5;

X0_focus_2=[x01,x02];

dx0 focus 2=[dx01,dx02];

tun X0 focus 2=0; % 1 - tun fuzzy, tunable

%% for focus 2, matrix system & fuzzy condition, tunable a11=2; a12=-1; a21=1; a22=2;

da11=0.2; da12=0.2; da21=0.2; da22 =0.2; A focus 2=[a11 a12; a21 a22]; dA focus 2=[da11 da12; da21 da22];

tun A focus 2=1; % 1 - tun fuzzy, tunable

%% figure for focus_2

X0=X0 focus 2;dx0=dx0 focus 2;tun X0=tun X0 focus 2; A=A focus 2;dA=dA focus 2;tun A= tun A focus 2; t_focus_2=0.1*[1 3 5 10j; t end=t focus 2; NN=5;

Fuzzy_chapter4(X0,dx0,tun_X0,A,dA,tun_A,NN,t_end);

end

%% example for center function RIS center

%% for center, first state & fuzzy condition, tunable

x01=5; x02=5;

dx01=0.5; dx02=0.5;

X0_center=[x01,x02];

dx0 center=[dx01,dx02];

tun X0 center=0; % 1 - tun fuzzy, tunable

%% for center, matrix system & fuzzy condition, tunable a11=0; a12=-2; a21=2; a22=0;

da11=0; da12=0.5; da21=0.5; da22 =0; A center=[a11 a12; a21 a22]; dA center=[da11 da12; da21 da22];

tun A center=1; % 1 - tun fuzzy, tunable

%% figure for center

X0=X0 center;dx0=dx0 center;tun X0=tun X0 center; A=A center;dA=dA center;tun A= tun A center; t_center=[1 3 5 10]; _

t end=t center; NN=5;

Fuzzy_chapter4(X0,dx0,tun_X0,A,dA,tun_A,NN,t_end); end

function Fuzzy chapter4(X0,dx0,tun X0,A,dA,tun A,NN,t end)

%% t1-t4

figure;

subplot(2,2,1); Fuzzy phase portrait(X0,dx0,tun X0,A,dA,tun A,NN,t end(1)) legend('r=1'); title(T\tau1T); _ _ _

subplot(2,2,2); Fuzzy phase portrait(X0,dx0,tun X0,A,dA,tun A,NN,t end(2)) title('\tau2'); _ _ _ _ _

subplot(2,2,3); Fuzzy phase portrait(X0,dx0,tun X0,A,dA,tun A,NN,t end(3)) title('\tau3');

subplot(2,2,4); Fuzzy_phase_portrait(X0,dx0,tun_X0,A,dA,tun_A,NN,t_end(4)) title('\tau4'); %% t4 figure;

Fuzzy_phase_portrait(X0,dx0,tun_X0,A,dA,tun_A,NN,t_end(4));

legend('r=1');

%% 4 kvartan

X0_11=X0;X0_12=X0*[-1 0;0 1];X0_13=X0*[-1 0;0 -1];X0_14=X0*[1 0;0 -1]; figure;

Fuzzy_phase_portrait(X0_11,dx0,tun_X0,A,dA,tun_A,NN,t_end(4)); hold on;

Fuzzy_phase_portrait(X0_12,dx0,tun_X0,A,dA,tun_A,NN,t_end(4));

Fuzzy_phase_portrait(X0_13,dx0,tun_X0,A,dA,tun_A,NN,t_end(4));

Fuzzy_phase_portrait(X0_14,dx0,tun_X0,A,dA,tun_A,NN,t_end(4));

legend('r=1');

grid on; grid minor;

end

function Fuzzy phase portrait(X0, dx0, tun X0, A, dA, tun A, NN, t end) text=Get case(A); dr=1/(NN-1); if tun_X0==1

r_X0=1:-dr:0; else

r_X0=ones(1,NN);

end

if tun_A==1

r_A=1:-dr:0; else

r_A=ones(1,NN);

end

znak=1; % up

for i=1:NN

ris_r(X0,dx0,r_X0(i),A,dA,r_A(i),znak, t_end); end

znak=-1; %down for i=1:NN

ris_r(X0,dx0,r_X0(i),A,dA,r_A(i),znak,t_end); end

grid on;grid minor; xlabel('x1'); ylabel('x2');

title(text);

end

function ris r(X0,dx0,r X0,A,dA,r A,znak,t end) global A fuzzy %% r=1;

X0_fuz=get_X0_fuz(X0,dx0,znak,r_X0); A fuzzy=get A fuz(A,dA,znak,r A); u=data phase portraits(X0 fuz,t end); if (r_A==1) && (r_X0==1) _ _ line= '-.b'; lW=1.5;

else

if (r_A==0) ||(r_X0==0) line= '-r'; lW=1.5; else

line= '— k'; lW=0.5; end

end

plot(u(:,1),u(:,3),line,'lineWidth',lW); hold on

plot(u(:,2),u(:,4),line,'lineWidth',lW);

end

a a %%

function X0 fuz=get X0 fuz(xx,dxx,znak,rx) x01d=get fuz number(xx(1,1),rx,dxx(1,1),znak); x01u=get fuz number(xx(1,1),rx,dxx(1,1),znak); x02d=get fuz number(xx(1,2),rx,dxx(1,2),znak); x02u=get fuz number(xx(1,2),rx,dxx(1,2),znak); X0_fuz=[x01d,x01u,x02d,x02u]; end

function A fuz=get A fuz(AA,dAA,znak,r) n=size(AA,1); m=size(AA,2); for i=1:n for j=1:m

a(i,j)=get fuz number(AA(i,j),r,dAA(i,j),znak); end end

A_11=eg_a(a(1,1));A_12=eg_a(a(1,2)); A_21=eg_a(a(2,1));A_22=eg_a(a(2,2)); A_fuz=[A_11 A_12;A_21 A_22]; end

function u=data phase portraits(X0 fuz,t end) tspan = [0 t end];

[~,u] = ode45(@lin focus,tspan,X0 fuz); end

function ff = lin focus(~,u) global A fuzzy ff= A fuzzy*u; end

function AA=eg a(a0) if a0>0

AA=[a0 0; 0 a0]; else

AA=[0 a0; a0 0]; end end

function m fuz=get fuz number(m0,r,dm,znak)

m fuz=m0+znak*dm*sqrt(1-r);

end

function text=Get case(A) Delta=det(A);Tau=trace(A); epsilon=TauA2-4*Delta; if Delta<0

text=TsaddleT; else

if Tau==0

text='center'; else if epsilon<0 if Tau<0

text=Tfocus-stableT; else

text=Tfocus-unstableT; end else if Tau<0

text=Tnode-stableT; else

text=Tnode-unstableT; end end end

end end

П.2. Модуль для задачи исследования погрешностей Блок формирования отклонения от нормы

Ыаше=' Е13_егг'

Type=,mamdani,

УегБ1оп=2.0

Ыит1пр^Б=4

NuшOutputs=1

ЫишКи1еБ=16

AndMethod=,шin,

OrMethod=,max,

IшpMethod=,шin,

AggMethod=,шax,

DefuzzMethod=,bisectoг,

[Input1] Naшe=,P, Range=[0 NumMFs=3 MF1=,LP, MF2=,NP, MF3=,HP,

0.2429]

,zшf,,[0.0364 0.1215] ,gaussшf,,[0.0364 0.1215] ,sшf,,[0.1215 0.2065]

[Input2] Naшe=,H, Range=[0 NumMFs=3 MF1=,LH, MF2=,NH, MF3=,HH,

0.8288]

^ш^[0.1243 0.4144] ,gaussшf,,[0.1243 0.4144]

^ш^[0.412207407407407 0.702307407407407]

[Input3] Naшe=,Q, Range=[0 NuШMFs=3 MF1=,LQ, MF2=,NQ, MF3=,HQ,

0.1429]

,zшf,,[0.0214 0.0714] ,gaussшf,,[0.0214 0.0714] ,sшf,,[0.07178 0.1219]

[Input4] Naшe=,R, Range=[0 NumMFs=3 MF1=,LR, MF2=,NR, MF3=,HR,

0.4288]

,zшf,,[0.0643 0.2144] ,gaussmf,,[0.0643 0.2144] ,sшf,,[0.2144 0.3645]

[Output1] Naшe=,Eггoг, Range=[0 1] NumMFs=5

MF1=,Tiny,:,trimf,,[-0.25 0 0.25] MF2=,Sшa11,:,tгiшf,,[0 0.25 0.5] MF3=,Mediuш,:,tгiшf,,[0.25 0.5 0.75] MF4=,Laгge,:,tгiшf,,[0.5 0.75 1] MF5=,Huge,:,trimf,,[0.75 1 1.25]

[Ru1es]

3 3 3 3, 5 (1) : 1

0 3 3 3, 5 (1) : 1

3 3 3 0, 5 (1) : 1

3 3 0 3, 5 (1) 1

3 3 0 3, 4 (1) 1

0 2 0 3, 4 (1) 1

3 2 0 0, 4 (1) 1

0 2 3 0, 4 (1) 1

0 2 0 3, 4 (1) 1

0 2 0 2, 3 (1) 1

2 2 0 0, 3 (1) 1

0 2 2 0, 3 (1) 1

0 1 0 3, 3 (1) 1

0 1 0 2, 2 (1) 1

3 1 3 1, 2 (1) 1

0 1 0 1, 1 (1) 1

Блок определения степени влияния дефекта

Ыате=,Е13_С_1'

Type=,mamdani,

УегБ1оп=2.0

NumInputs=1

Ыит0^р^Б = 1

NumRules=5

AndMethod=,min,

0rMethod=,max,

ImpMethod=,min,

AggMethod=,max,

DefuzzMethod=,centroid,

[Input1] Name=,dNp, Range=[-0.5 0.5] NumMFs=5

MF1=,NS,:,trimf,,[-0.2 -0.1 0] MF2=,Z,:,trimf,,[-0.1 0 0.1] MF3=,PS,:,trimf,,[0 0.1 0.2] MF4=,NB,:,trapmf,,[-1 -0.5 -0.2 -0.1] MF5=,PB,:,trapmf,,[0.1 0.2 0.5 1]

[0utput1] Name=,Cp, Range=[0 1] NumMFs=3

MF1=,Small,:,trapmf,,[-1 0 0.25 0.5] MF2=,Normal,:,trimf,,[0.25 0.5 0.75] MF3=,Strong,:,trapmf,,[0.5 0.75 1 2]

[Rules]

2, 3 (1) : 1

1, 2 (1) : 1

3, 2 (1) : 1

4, 1 (1) : 1

5, 1 (1) : 1

П.3. Модуль для задачи фильтрации

iiload constant

■¡time fly (sec) ■¡time discretization ■¡number of samples

■¡number of state number of measurement

clc; clear close all

load 'IMU_i_data.mat'; load 'IMU_r_data.mat'; load 'coeffs.mat'; load ,VPE_0.mat'; load 'krq data.mat'; %% parameter filter global w koefl dz0 T_end=300; dt=0.01; n_s=T_end/dt+1; tt=0:dt:T_end; n=16; m=6;

%% initial x0, P0, GPS, SINS

quat_0(:,1)=angle2quat(VPE_0(9,1),VPE_0(8,1),VPE_0(7,1));

x0=[VPE_0(1:6,1);quat_0; 1e-2*ones(3,1); 1e-4*ones(3,1);];%initial state P0=eye(16); %initial cov. matrix P0

VPE GPS=zeros(m,n s); %allocated memory GPS

VPE_GPS(:,1)=VPE_0(1:6,1);

VPE i=zeros(9,n s); %allocated memory ideal SINS

VPE_i(:,1)=VPE_0;

VPE_r=VPE_i; %allocated memory real SINS

%% initial filter SU1, SU2, STSU2, SU3ZY

[x_EKF,P_EKF,z_EKF,VPE_EKF,IMU_EKF]=Initial_F(n,m,n_s,x0,P0,VPE_0) [x_UKF,P_UKF,z_UKF,VPE_UKF,IMU_UKF]=Initial_F(n,m,n_s,x0,P0,VPE_0 [x_SU1,P_SU1,z_SU1,VPE_SU1,IMU_SU1]=Initial_F(n,m,n_s,x0,P0,VPE_0 [x_SU2,P_SU2,z_SU2,VPE_SU2,IMU_SU2]=Initial_F(n,m,n_s,x0,P0,VPE_0 [x_SU3,P_SU3,z_SU3,VPE_SU3,IMU_SU3]=Initial_F(n,m,n_s,x0,P0,VPE_0 [x_FUZ,P_FUZ,z_FUZ,VPE_FUZ,IMU_FUZ]=Initial_F(n,m,n_s,x0,P0,VPE_0) %% initial matrix CKM beta0_SU1=2;

[DZ_SU1,BETA_SU1,Vk_SU1,Si_SU1]=Initial_Si(m,n_s,beta0_SU1); beta0_SU2=4;

[DZ_SU2,BETA_SU2,Vk_SU2,Si_SU2]=Initial_Si(m,n_s,beta0_SU2); beta0_SU3=6;

[DZ_SU3,BETA_SU3,Vk_SU3,Si_SU3]=Initial_Si(m,n_s,beta0_SU3); beta0_FUZ=1;

[DZ_FUZ,BETA_FUZ,Vk_FUZ,Si_FUZ]=Initial_Si(m,n_s,beta0_FUZ); %% initial Q,R

qV=[1e-3;1e-3;1e-3]; qP=[1e-8;1e-8;1e-2];qQ=[0;1e-8;1e-8;1e-8];

qg=[1e-6;1e-6;1e-6]; rP=1*[1e-7;1e-7;1e-2];

%noise of process V;P;Quat;Acc;Gyro

qa=[1e-4;1e-4;1e-4];

rV=[1e-2;1e-2;1e-2];

q0=[qV;qP;qQ;qa;qg];

r0=[rV;rP];

w=q0;

Q0=diag(q0.*q0); R0=diag(r0.*r0);

%noise of measurement P,V

%cov. of noise process %cov. of noise measurement

IMU_i=IMU_i_data(1:6,1:n_s); IMU_r=IMU_r_data(1:6,1:n_s); kr=krq data(1,1:n s); kq=krq data(2,1:n s);

i;Ideal IMU meal IMU

%% main programma koef1=[10;10;10;0.2;0.5;0.25]; dz0= [0.01;0.01;0.01;0.01;0.01;0.01]; for k=2:n s

signal=mod(k,1); q=kq(k)*q0; Q=Q0; r=kr(k)*r0; R=R0;

%frequnece GPS 1Hz %cov. of noise process %cov. of noise measurement

i% Model real IMU

w=q;

%% MODEL SINS

[VPE_i(:,k)]=SINS_real(IMU_i(:,k-1),VPE_i(:,k-1),dt);%model ideal SINS [VPE_r(:,k)]=SINS_real(IMU_r(:,k-1),VPE_r(:,k-1),dt);%model real SINS VPE_GPS(:,k)=VPE_i(1:6,k)+r; %GPS

h=hmeas quat; %model measurement

%% FILTER for Err SINS EKF

IMU_EKF(:,k-1)=IMU_r(:,k-1)-x_EKF(11:16,1); ^correction IMU for EKF

fEKF=f_SINS(IMU_EKF(:,k-1),VPE_EKF(:,k-1),dt); %model process for EKF z_EKF=VPE_GPS(:,k); %measurement for EKF

[x_EKF,P_EKF]=Filter_EKF(fEKF,x_EKF,P_EKF,h,z_EKF,Q,R,signal);

%Model filter EKF [temp yaw, temp roll, temp pitch]=quat2angle((x EKF(7:10,1))'); Euler EKF=[temp pitch;temp roll;temp yaw];

VPE_EKF(1:9,k)=Tx_EKF(1:6,1);Euler_EKF]; %save ouput filter EKF

%% FILTER for Err SINS UKF

IMU_UKF(:,k-1)=IMU_r(:,k-1)-x_UKF(11:16,1); ^correction IMU for EKF

fUKF=f_SINS(IMU_UKF(:,k-1),VPE_UKF(:,k-1),dt); %model process for UKF z_UKF=VPE_GPS(:,k); %measurement for UKF

[x_UKF,P_UKF]=Filter_UKF(fUKF,x_UKF,P_UKF,h,z_UKF,Q,R,signal);

%Model filter UKF [temp yaw, temp roll, temp pitch]=quat2angle((x UKF(7:10,1))'); Euler UKF=[temp pitch;temp roll;temp yaw];

VPE_UKF(1:9,k)=[x_UKF(1:6,1);Euler_UKF]; %save ouput filter UKF

%% FILTER for Err SINS SU1

IMU_SU1(:,k-1)=IMU_r(:,k-1)-x_SU1(11:16,1); ^correction IMU for SU1

fSU1=f_SINS(IMU_SU1(:,k-1),VPE_SU1(:,k-1),dt); %model process for SU1 z_SU1=VPE_GPS(:,k); %measurement for SU1

[x_SU1,P_SU1,Vk_SU1,Siz_SU1,dz_SU1]=Filter_SU1(fSU1,x_SU1,P_SU1,h,z_SU1,..

Q,R,signal,Vk_SU1,beta0_SU1); %Model filter SU1 Si_SU1(:,k)=Siz_SU1'; DZ_SU1(:,k)=dz_SU1; %save ouput matrix CKM

[temp yaw, temp roll, temp pitch]=quat2angle((x SU1(7:10,1))'); Euler SU1=[temp pitch;temp roll;temp yaw];

VPE_SU1(1:9,k)=[x_SU1(1:6,1);Euler_SU1]; %save ouput filter SU1

%% FILTER for Err SINS SU2

IMU_SU2(:,k-1)=IMU_r(:,k-1)-x_SU2(11:16,1); ^correction IMU for SU2

fSU2=f_SINS(IMU_SU2(:,k-1),VPE_SU2(:,k-1),dt); %model process for SU2 z_SU2=VPE_GPS(:,k); %measurement for SU2

[x_SU2,P_SU2,Vk_SU2,Siz_SU2,dz_SU2]=Filter_SU2(fSU2,x_SU2,P_SU2,h,z_SU2,..