Разработка методов исследования нечетких отображений на примере систем продукционного типа и интегро-дифференциальных уравнений с нечеткими коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Терновых, Ирина Ивановна

• Терновых, Ирина Ивановна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Терновых, Ирина Ивановна

Содержание Стр.

Введение

ГЛАВА 1. Нечеткие множества как инструмент для разработки и 10 исследования моделей систем в условиях неопределенности

1.1 Основные понятия нечеткой математики

1.2 Формальное понятие нечеткой системы

1.3 Обзор подходов к исследованию формальных нечетких систем

1.4 Цели и задачи исследования 37 ГЛАВА 2. Исследование нечетких систем, определяемых

с помощью нечеткого отношения

2.1 Исследование различных типов согласованности нечетких 41 систем продукционного типа

2.2 Алгоритмы для определения типа согласованности и 61 построения соответствующих множеств согласованности

2.3 Программная реализация алгоритмов исследования нечетких 68 систем продукционного типа

2.4 Исследование устойчивости дискретных динамических систем

на основе понятия плотности нечеткого множества

Выводы и результаты второй главы

ГЛАВА 3. Исследование устойчивости нечетких непрерывных

систем

3.1 Теоретическое обоснование определения различных типов 94 устойчивости нечеткой непрерывной системы

3.2 Алгоритм определения типа устойчивости нечеткой 116 непрерывной системы

3.3 Устойчивость интегро-дифференциального уравнения с 120 нечеткими коэффициентами

Выводы и результаты третьей главы

Заключение

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов исследования нечетких отображений на примере систем продукционного типа и интегро-дифференциальных уравнений с нечеткими коэффициентами»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. С появлением понятия «нечеткие системы» возникла проблема повышения качества их моделирования. Понятие нечеткой системы является одним из основных в рамках нечеткого моделирования [36]. По сути, этот термин является синонимом понятия нечеткой модели [36]. Идея нечеткого моделирования сводится к построению нечеткой модели объекта или процесса на основе принципа «серого ящика», который подразумевает, что зависимость выходной переменной от входной описывается на качественном уровне, приближенно в виде еслм-ию-правил. Такое описание может быть получено от эксперта или сгенерировано автоматическими процедурами на основе статистических данных. Описанный класс нечетких систем - это системы продукционного типа (правила иначе называются продукциями) или нечеткие системы логического вывода [18]. Значение выходной переменной определяется на основе композиционного правила логического вывода, при этом совокупность если-то-правил формально представляется нечетким отношением. В форме нечетких продукционных систем могут быть реализованы нечеткие регуляторы и нечеткие контроллеры. Простейшим типом контроллера является контроллер Мамдани [36], функционирование которого задается продукционными правилами, которые описывают изменение управляющего воздействия в зависимости от ошибки и се изменения в текущий момент времени. Доказано, что нечеткий контроллер Мамдани с симметричными треугольными функциями принадлежности входных и выходной переменных и дефазификацией по методу центра тяжести является универсальным аппроксиматором. Иными словами, отображения, реализуемые этими контроллерами, способны приблизить произвольную непрерывную функцию с любой степенью точности [36].

Важнейшей характеристикой качества нечетких систем управления является понятие устойчивости, причем на данный момент существует

довольно много формальных определений этого понятия. Первая попытка проанализировать нечеткие системы управления с этой точки зрения была сделана L.Zadeh и S.L. Chang в 1972 г. Затем в работах С. V. Negoita и D. А. Ralescu был предложен математический аппарат для анализа устойчивости, но критериев устойчивости, которые можно было бы использовать на практике, им найти не удалось. Проблемы устойчивости также решались в работах R. М. Tong, С. P. Pappis, M. Sugeno, Е. Sanchez, W. J. M. Kickert. Значительные результаты были получены около 15 лет назад. Некоторые из них были позаимствованы в доработанном виде из классической теории управления (J. Kahlert, R. Boehm, Т. Hung, J. Aracil, A. Piegat) и касаются непрерывных динамических нечетких систем. Так, M. De Glas исследует устойчивость нечеткой непрерывной системы с использованием функции Ляпунова. Важнейшие результаты для нечетких дискретных динамических систем получены A.A. Капуа, который предложил подход, основанный на так называемом свойстве хорошего отображения. В работе J. В. Kiszka устойчивость нечеткой дискретной динамической системы исследуется с использованием понятия энергии множества решений нечеткой системы. Следует заметить, что практическая ценность проведенных исследований ограничена, поскольку зачастую отсутствует интерпретация устойчивости (особенно, если используются специальные понятия) и отсутствуют алгоритмы для проверки устойчивости.

Необходимость развития подходов к определению устойчивости нечетких систем, в том числе динамических, и разработки методов проверки данного свойства обусловливают актуальность диссертационного исследования, в рамках которого проблема устойчивости рассматривается применительно к дискретному и непрерывному случаям.

Диссертационная работа выполнена в рамках одного из основных

научных направлений Воронежского государственного университета

«Математическое моделирование, программное и информационное

4

обеспечение, методы вычислительной и прикладной математики и их применение к фундаментальным исследованиям в естественных науках».

Цель работы н задачи исследования. Цель диссертационной работы заключается в развитии подходов к исследованию моделей нечетких систем.

Для достижения цели в диссертации решаются следующие задачи:

1. Анализ существующих подходов к исследованию устойчивости нечетких систем, в том числе, дискретных и непрерывных динамических систем.

2. Разработка подходов к исследованию моделей нечетких систем продукционного типа и дискретных нечетких систем.

3. Разработка метода для определения устойчивости непрерывных динамических нечетких систем и его адаптация для системы, представленной интегро-дифференциальным уравнением с нечеткими коэффициентами.

4. Разработка программного комплекса и проведение вычислительных экспериментов.

Методы исследования. Теоретическую базу диссертационного исследования составляет теория нечеткого моделирования, включая теорию нечетких множеств и нечеткую логику, а также теория оптимального управления, функциональный анализ, дифференциальные уравнения, методы оптимизации. При написании программы использовалась технология объектно-ориентированного программирования.

Тематика работы соответствует следующим пунктам Паспорта

специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ»: п. 3 «Развитие качественных и приближенных

аналитических методов исследования для использования на предварительном

этапе математического моделирования», п. 5 «Реализация эффективных

численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-

ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»,

п. 6 «Комплексное исследование научных и технических, фундаментальных и

5

прикладных проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

- комплекс алгоритмов для распознавания различных типов согласованности и формирования соответствующих согласованных подмножеств во множестве входов для нечетких систем продукционного типа с различными видами правил, отличительной особенностью которого является поэтапная проверка условий для функций принадлежности, обеспечивающая вложенность множеств, согласованных в определенном смысле;

- понятие плотности нечеткого множества и способ определения устойчивости нечетких динамических дискретных систем, отличающийся использованием приращения плотности степеней нечеткого отношения, под воздействием которого система переходит из одного состояния в другое;

- метод для определения области устойчивости решений нечеткой системы, задаваемой интегро-дифференциальным уравнением с нечеткими коэффициентами, базирующийся на решении соответствующего четкого уравнения для каждого а-среза;

- структура программного комплекса, включающая блок для предварительного анализа нечеткой системы на свойство хорошего отображения и блок для определения типа устойчивости и соответствующих устойчивых множеств, а также компьютерная программа, при разработке которой использован архитектурный шаблон MVVM и технология «Data Binding».

Совокупность научных результатов развивает теоретическую базу методологии нечеткого моделирования.

Практическая значимость работы. В диссертации реализован комплексный подход к определению типа согласованности и построению

соответствующих согласованных множеств нечетких систем продукционного типа с различными видами правил, которые, по сути, являются универсальными аппроксиматорами моделируемых систем и имеют много практических приложений. Свойство согласованности позволяет повысить качество аппроксимации. Нечеткие дискретные системы могут быть реализованы в форме продукционных систем. Использование новой характеристики - плотности нечеткого множества и ее обобщений - позволяет на альтернативной основе исследовать устойчивость дискретных систем в смысле Ляпунова. Общий алгоритм для определения согласованных и устойчивых множеств дискретных НС реализован в программном комплексе, который может быть использован на этапе проектирования нечетких регуляторов и контроллеров, свойство устойчивости которых является необходимым условием их использования. Для нечетких непрерывных систем в виде интегро-дифференциального уравнения с нечеткими коэффициентами предложен инструмент анализа, позволяющий предсказать поведение системы на основе различных типов устойчивости (по Ляпунову). Данное уравнение является моделью капиталооборота предприятия.

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет» при чтении спецкурсов, выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ.

Апробации работы. Основные результаты, полученные в

диссертационной работе, докладывались и обсуждались на следующих

международных и всероссийских конференциях: Международная

конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и

механики» (Воронеж, 2011); Всероссийская молодежная научная школа

«Инженерия знаний. Представление знаний: состояние и перспективы»

(Воронеж, 2012), Международная конференция «Современные проблемы

прикладной математики, теории управления и математического

моделирования» (Воронеж, 2012-2013), Всероссийская научно-техническая

7

конференция «Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии» (Тула, 2013), VIII Международная научно-практическая конференция «Aktualni Vymozenosti Vedy - 2012» (Прага, 2012), V Международная практическая конференция «European Science and Technology» (Мюнхен, 2013), ежегодные научные конференции Воронежского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат в [1] - алгоритм для выявления свойства хорошего отображения и определения некоторых типов устойчивости НС продукционного типа.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников, включающего 101 наименований. Основная часть работы изложена на 142 страницах текста и содержит 24 рисунков и 3 таблицы.

В первой главе введены основные понятия нечеткой математики как основы для исследования моделей систем в условиях неопределенности. Базовым понятием диссертационного исследования является понятие нечеткой системы, при этом предполагаются следующие способы ее интерпретации: нечеткая спецификация параметров системы (например, функционирование системы может быть описано дифференциальным уравнением, в котором параметры являются нечеткими числами); нечеткое (приближенное) описание входных и/или выходных переменных системы; описание функционирования системы в виде совокупности если-то - правил (продукций).

В диссертации представлен анализ существующих подходов к исследованию устойчивости непрерывных и дискретных нечетких систем, что позволило определить цель и задачи исследования.

Вторая глава посвящена проблеме согласованности нечетких систем, в

которых зависимость выходной переменной от входных описывается базой

8

нечетких продукционных правил. В данной главе рассматриваются типы согласованности нечетких систем с различными видами правил. Основой для определения согласованности нечеткой системы является понятие хорошего отображения. В данной главе разработаны алгоритмы определения типа согласованности нечеткой дискретной системы в зависимости от типа отношения R и свойства хорошего отображения. Для разработанных алгоритмов написан программный комплекс, определяющий различные типы согласованности системы в зависимости от заданного отношения R.

Также в данной главе рассматриваются динамические дискретные нечеткие системы, состояния которых описываются нечеткими множествами, а база правил формализуется нечетким бинарным отношением и задает правило перехода из одного состояния в другое. Предложен подход для определения понятия устойчивости на основе понятий равновесия и плотности нечеткого множества.

Третья глава посвящена исследованию устойчивости нечетких непрерывных динамических систем. В работах M. Glas сформулирован подход к исследованию устойчивости нечетких динамических систем в виде линейных нечетких дифференциальных уравнений, основанный на четкой теории динамических систем, однако, способы нахождения решения нечеткого дифференциального уравнения не приводятся. В диссертационной работе предложен метод исследования устойчивости непрерывной нечеткой системы, в которой отображение «вход-выход» задается интегро-дифференциальным уравнением с нечеткими коэффициентами.

В заключении приводятся результаты проведенных исследований.

ГЛАВА 1. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА КАК ИНСТРУМЕНТ ДЛЯ РАЗРАБОТКИ И ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

1.1 Основные понятия нечеткой математики

Рассмотрим более подробно основные понятия теории нечетких множеств и нечеткой логики, используемые для моделирования сложных систем в условиях неопределенности.

Определение 1.1 [14, 20]. Пусть и — есть множество, счетное или нет, и х & II. Нечетким подмножеством А множества и назовем множество упорядоченных пар А — {{х /¡лА (х))}, где ¡лА (х) — функция принадлежности, принимающая свои значения в линейно упорядоченном множестве М и определяющая степень принадлежности элемента х к подмножеству А или, иными словами, степень выполнения свойства А для элементов из и.

Если 1} = [х1, ,„дп) и упорядочено, то нечеткое множество А задается вектором с компонентами ДдО^), при этом примем обозначение [Ца(.х\)> —> МлОО]- Если и = К, то для задания нечеткого множества А достаточно задать функцию [ОД], удовлетворяющую определенным

свойствам [28] (непрерывность, монотонность, выполнение граничных условий).

Далее на основе [17, 20, 28, 36] введем основные понятия и определения.

Определение 1.2. Носителем нечеткого множества А называется обычное множество

8ирр(А) = {хъи / 11А(х)>0]. (1.1)

Определение 1.3. Высотой нечеткого множества называется число

11(А) = Бир11А(х). (1.2)

хеи

Определение 1.4. Мощность нечеткого подмножества А называется

число

1А1=Т1Ъ1ЦА0сд,п=\и\ (1.3)

или для и = М.

М =ИаШХ- (1-4)

Нечеткое множество А нормально, если 3х & = 1}, то есть, его

высота равна 1, иначе нечеткое множество называется субнормальным. Необходимо отметить, что субнормальное нечеткое множество можно

привести к нормальному виду по следующему правилу

С / \ \

VxeU

Мл М

(1.5)

KSUpßA (х);

Определение 1.5. Нечеткое множество называется унимодальным, если его функция принадлежности также является унимодальной, т.е.

Зхт & и{цА(хт) = 1), причем так, что слева от хт функция возрастает, а справа убывает, при этом хт называете я модальным значением функции принадлежности ¡лЛ (х).

Определение 1.6. Подмножеством уровня а нечеткого множества А или а-срезом А называется обычное множество Аа = {х\цА(х) > а}.

Любое нечеткое множество AQU можно представить по формуле декомпозиции [20]

^ =иа6[од] а ■ Аа, (1.6)

где Аа — а-срез нечеткого множества А, а выражение а ■ Аа обозначает нечеткое множество, элементам которого приписаны следующие степени принадлежности:

Формула декомпозиции позволяет представить любое нечеткое множество в виде системы обычных подмножеств U. Через F(i/) будем

обозначать семейство нечетких подмножеств, определенных на универсальном множестве 13.

Определение 1.7 [28,29]. Нечеткая переменная задается тройкой {а, и, А), где а — название переменной, 13 — универсальное множество, А — нечеткое множество на 13 с функцией принадлежности цА(х), описывающее ограничения на значения нечеткой переменной а.

Определение 1.8 [28]. Пусть А - нечеткое множество, причем цА\ М [ОД], и существует интервал [а, такой, что Бирр(А) = \а,Ь\.

Дефазификацией называется такое отображение 0:цА Е, которое каждой функции принадлежности /лА ставит в соответствие число £>(//) е \а,Ъ\.

Таким образом, дефазификация - это переход от нечеткого множества к некоторому числу, которое принадлежит носителю нечеткого множества, т.е. области определения его функции принадлежности.

Фазификация, наоборот, предполагает переход от обычного числа к некоторому нечеткому числу с функцией принадлежности определенного вида. Вид нечеткого числа определяется принятыми в модели допущениями.

Определение 1.9. Пусть А, В Два нечетких множества А и В

считаются равными, если \/хе17^л (л:) = рв (х)). Если (х) < цв (х)), то Ас В (строгое неравенство обусловливает строгое включение).

Заметим, что отношение равенства является эквивалентностью1, отношение включения является частичным порядком.

Рассмотрим, каким образом вводятся операции над нечеткими множествами.

1 Рефлексивное, симметричное, транзитивное отношение, заданное на некотором множестве, называется эквивалентностью.

Дополнение А нечеткого множества А определяется функцией принадлежности вида

\/хеи{^-А(х) = п{1ЛА{х))), (1.8)

где и(х) - операция отрицания такая, что отображение n:\0,í\—>\0,í\ удовлетворяет следующим свойствам [25]:

а) #i(0) = 7, и(/) = 0;

б) п - строго убывающая функция.

В большинстве задач часто используется стандартное отрицание

п (х) = 1 — х.

Объединения и пересечения нечетких подмножеств образуют пары двойственных операций относительно отрицания. Пусть G - пересечение нечетких подмножеств, F - объединение, - отрицание. Для пары

двойственных операций (G,F) необходимо выполнение следующих соотношений:

n{G(x,y)) = F{n{x),n(y)), (1.9)

= (1.10)

которые представляют собой формальную запись закона де Моргана [12, 25, 28, 39].

Существует значительное количество пар двойственных операций объединения и пересечения нечетких множеств, причем некоторые из них являются параметрическими, что обусловливает некоторые трудности при моделировании, связанные с настройкой параметров. Операции над нечеткими множествами можно получить за счет обобщения операций над обычными множествами, которые выражены в терминах характеристических функций. Более того, существуют гибридные операции осреднения, которым нельзя поставить в соответствие никакую операцию над обычными множествами.

В табл. 1.1. перечислены основные операции над нечеткими множествами, которые часто используются в прикладных задачах.

Таблица 1.1. Пары основные операций над нечеткими множествами [28]

Пересечение Объединение

САг,в(Х>У) = тт{х,у} РАив(Х>У) = таХ{х,у}

GAm(x,y) = x-y FA® в(х'У) = х + У~х-У

GÁ.B( x,y) = max{0,x + у — 1) faob( х'У) = min {!>х + у)

Принято, что символ п называется пересечением нечетких множеств, а символ и — объединением, символ ® — алгебраическим произведением, символ Ф — алгебраической суммой, символ • — ограниченным произведением, символ О - ограниченной суммой. Объединение и пересечение также называют классическими.

Перечисленные операции относятся к классу треугольных норм и конорм.

Определение 1.10 [12,28]. Треугольная норма (Т -нормой) есть операция Т:[О,/] х[0,7] —> [0,7], обладающая следующими свойствами:

1) Т (х, у) = Т [у, х) - коммутативность,

2)T(T(x,y),z}= Т(х,Т(у,гУ) - ассоциативность,

3) Т(0,0) = 0,Т(1,х) = х - ограниченность,

4) (х < t) л(у < z) =$> Т(х,у) < T(t,z)- монотонность.

Такие операции как пересечение, алгебраическое произведение и ограниченное произведение являются примерами Г-норм. Пара ([0,7], Т^

представляет собой полугруппу с нейтральным элементом 7 [25, 28].

Треугольная конорма (£ -конорма) 5": [0,1] х [0,1] —»[0,1] так же, как и Т -норма, является коммутативной, ассоциативной, монотонной, но ограниченность задается в виде £(1,1) = 1,5(0,х)-х.

Пара ([0,1], 5) представляет собой полугруппу с нейтральным

элементом 0. Такие операции как объединение, алгебраическая и ограниченная суммы являются примерами £-конорм.

Легко заметить, что Т -нормы и 5 -конормы связаны законом де Моргана

с операцией отрицания п(х) = 1-х. Учитывая представление данного соотношения, пара (Т.Я) является парой двойственных норм.

Определение 1.11 [28]. Пусть Т1 и Т2 - две треугольные нормы. Будем считать, что Т1 слабее Т2(Т}<Т2), а Т2 сильнее Т1, если выполнено

Т(х,у) = 1-8(1-х,1-у)

(1.11)

У(х,у)е[0,1]2 (Т,(х,у)<Т2{х,у)).

Аналогичное определение выводится и для З-конорм.

Можно показать, что для любой Г-нормы справедливо неравенство

Т<Т<Т,

где

Для £-конорм также справедливо аналогичное неравенство

где

Исследования, касающиеся упорядочения параметрических треугольных норм и конорм, частично представлены в [29].

Определение 1.12. Пусть X и У - заданные непустые (четкие или нечеткие) множества. Нечетким отображением Ф называется нечеткое подмножество декартова произведения ХхУ. Иначе нечеткое отображение называется нечетким бинарным отношением.

Определение 1.13. Под нечетким бинарным отношением Я на множестве X будем понимать нечеткое подмножество универсального множества ХхХ -X2 с функцией принадлежности цк :XхX —»\0,1].

Для определения нечеткого отношения на множестве X нужно задать множество X, пары элементов связанные отношением Я, и

степени выполнения нечеткого отношения для этих пар. Если X конечно = то функция принадлежности ) задается матрицей

размерности их л, элемент гц которой означает степень выполнения отношения x¡RxJ.

Через F(XxY) будем обозначать семейство нечетких бинарных

отношений, определенных на ХхУ.

Большое значение для приложений имеет формула декомпозиции

Vае(0,1]{^1к(х,у) = тах\а-Ик (1-12)

где к^(х,у) - характеристическая функция обычного отношения уровня а, которая позволяет представить любое нечеткое отношений Я е ^(Х хУ")

через систему обычных отношений. Это означает, что всякая задача с параметрами, которые задаются нечеткими множествами (или нечеткими числами), может быть представлена в виде совокупности обычных задач.

(

VxeX V

Поскольку нечеткие отношения представляют собой специальные нечеткие подмножества универсального множества R,,R2 gF(Xx7), то для них аналогично могут быть определены отношения равенства и включения:

= (1.13)

^с^оУ^.^еХхГ^Дх^)^^^,^)). (1.14)

Если для всех пар выполняется строгое неравенство, то

включение является строгим RIaR2.

Для нечетких отношений введено понятие проекции [28, 41].

Пусть отношение R е F (X х Y).

Определение 1.14. Первая проекция Proj^R) нечеткого отношения R

есть нечеткое подмножество множества X с функцией принадлежности

\

7lj[x) = sup flR^X,y) . (1-15)

у J

Аналогично вторую проекцию Proj2(R) на Y определяет функция принадлежности

^y^Y^2(y) = suPMR(x,yfj. (1.16)

Определение 1.15. Вторая проекция первой проекции (или наоборот) называется глобальной проекцией нечеткого отношения и обозначается h(R), так что

h (R) = sup жj (х) = sup 7Г2 (у). (1-17)

Л- у

Если h(R) = l, то нечеткое отношение R называется нормальным, иначе субнормальным.

Рассмотрим некоторые свойства нечетких отношений [28, 39, 62]:

а) если R - нормальное отношение, то каждая из его проекций является нормальным нечетким множеством;

б) если Aj и А2 — нормальные нечеткие подмножества универсальных множеств X и Y соответственно, то наибольшее нечеткое отношение Я, для которого Aj -Proj, (R), А2 = Proj2 (Я), определяется в виде R = A, xJ2,

Определение 1.16 [20, 28]. Пусть X, Y, Z- универсальные множества, где и R2c:F(YxZ) - нечеткие бинарные отношения,

определенные на XxY и YxZ соответственно, Т- треугольная норма, тогда бинарная операция, ассоциативная и монотонно не убывающая по каждому аргументу, тогда композиция (max-Т) определяется функцией принадлежности вида

*\пшх-Т1н,Д2) (X'Z) = (Х-У)'Мк2 (У'2)) ■ (1Л8)

Отметим, что данная формула определяет целое семейство композиций, среди которых значительную роль играет композиция {max— min)-композиция

^RiaR2(x,z) = maxyeYmm{jHRl(x, у), Mi?2(y,z)} (1.19)

и (max— ■)-композиция (максмулътипликативная композиция) с функцией принадлежности

HRi-h2 (х, z) = maxyeY{^Ri {х, у), (у, z)}. (1.20) В [20, 28, 39] определены свойства операций композиций, а также введено понятие двойственной композиции.

Пусть для отношений R}<=F(XxY ),R2<eF(YxZ) определена

{max- Г) -композиция. Перейдем к отношениям и Я2 с функциями принадлежности ц-(х,у) = 1-¡iR(x,y) и ju-(x,y) = 1-¡л^х.у). Так как

T(l-x,l-y) = l-S(x,y),

то получим

==т™(Х'У)'^2 (y'z))) = ™™s{tix1 (х>У)>VR2 (у>2)).

Данная функция принадлежности f\min-syRlRi){x>z) определяет (min-S)-

композицию, которая является обобщением {min— max) -композиции с функцией принадлежности

^п-з](К1д2) (x'z) = тттах{цщ (x,y)tliR2 (y,z)). (1.21)

Важно отметить, что композиции (тах—Т) и [min-S)- двойственные

типы композиций по закону де Моргана.

Отметим важные для приложений свойства композиций нечетких отношений [28, 30, 39]:

1. {max-Т) и {min- - коммутативные бинарные операции.

2. (тах-Т) и (min-S) - ассоциативные бинарные операции.

3. Пусть объединение нечетких отношений задается с помощью S = max , тогда {max- Т)- композиция дистрибутивна относительно wax-объединения (обозначим его и)

{max- T)(R]tR2KjR3) = {max- T){R},R2)kj {max- T){R,,R3).

4. Пусть объединение нечетких отношений задается с помощью Т = min, тогда {min-S)- композиция дистрибутивна относительно min -объединения (обозначим его п)

{min-S)(Rj,R2 r\R3) = {min-S)(R„R2)^{min-S){Rj,R3) •

5. Если Rj - рефлексивное отношение и R2 — произвольное бинарное нечеткое отношение, то R2 с {max-T){Rj,R2).

6. (max—min)- композиция монотонна: пусть i?cf (XxF),

Л,В cF(YxZ), тогда, если AczB, то Ro Ас Roß.

Методологическую основу методов решения задач с нечеткими параметрами составляет принцип обобщения L. Zadeh или его а-уровневая модификация.

Определение 1.17 [20, 62]. Пусть А,,...,^ - нечеткие подмножества, определенные на множествах Ul,...,Un соответственно. U = UjX...xUn. Если f:U—>V - обычная (четкая) функция, такая, что y = f(x1,...,xn), то на ее основе можно определить нечеткое множество В = {(у /Мв(у))}> где y = f(x1,...,xj и

[ sup min{^A(xl),...,pA(xn)\, если f~' (у)ф0; pB(y) = h*,...*J*r'M (1.22)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Терновых, Ирина Ивановна, 2014 год

Список использованных источников

1. Аверкин А. Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / А. Н. Аверкин, И. 3. Батыршин, А. Ф. Блишун, В. Б. Силов, В. Б. Тарасов. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 312 с.

2. Баскаков А. Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений / А. Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения. - 2003. - Т. 39, № 3. - С. 413-415.

3. Беллман Р. Принятие решений в расплывчатых условиях / Р. Беллман, Л. Заде // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. - М.: Мир, 1976. -46с.

4. Бозюкова И. И. Исследование уравнения развития производственного предприятия / И. И. Бозюкова // Черноземный альманах научных исследований. Серия Прикладная информатика и математика.— Воронеж: ООО «Альбион», 2007 - №2(6).- С. 32-39.

5. Бозюкова И. И. Системы управления с нечеткой логикой / И.И. Бозюкова // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. тр. междунар. конф., Воронеж, 26-28 сентября 2011 г. -Воронеж: ИПЦВГУ, 2011.-С. 73-75.

6. Боровских А. В. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А. В. Боровских, А. И. Перов. — М. ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. — 540 с.

7. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике дли инженеров и учащихся втузов. — 13-е изд., исправленное. / М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.—544 с.

8. Вагнер Г. Основы исследования операций: в 3-х томах. Том 1 / Г. Вагнер [пер. с англ.]. — М.: Мир, 1972. — 535 с.

9. Вагнер Г. Основы исследования операций: в 3-х томах. Том 2 / Г. Вагнер [пер. с англ.]. — М.: Мир, 1972. — 488 с.

10. Вагнер Г. Основы исследования операций: в 3-х томах. Том 3 / Г. Вагнер [пер. с англ.]. — М.: Мир, 1972. — 501 с.

11. Далецкий Ю. JI. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. JT. Далецкий, М. Г. Крейн. — М.: Наука, 1970. -536 с.

12. Дюбуа Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике / Д. Дюбуа, А. Прад. — М.: Радио и связь, 1990. — 288 с.

13. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. — М.: Наука, 1967. — 472 с.

14. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений /Л. Заде.— М.: Мир, 1976. —165 с.

15. Ивохин Е.В. Исследование динамики нечетких дискретных систем / Е.В. Ивохин, С.О.Волчков // System research & Information Technologies. — 2005.-№ 4.-С. 94-105

16. Интриллигатор M. Математические методы оптимизации и экономическая теория / М. Интриллигатор. — М.: Прогресс, 1975. — 606 с.

17. Ибрагимов В. А. Элементы нечеткой математики / В. А. Ибрагимов. - Баку.: АГНА, 2010. - 394 с.

18. Карелин В.П. Интеллектуальные технологии и системы искусственного интеллекта для поддержки принятия решений / В. П. Карелин // Вестник Таганрогского Института Управления И Экономики. - Таганрог: ТИУЭ, 2011. - №2. - С. 234-246.

19. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В . Фомин. — М.: Наука , 1976.— 543 с.

20. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман. — М.: Радио и связь, 1982. — 432 с.

21. Красносельский М. А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы

обыкновенных дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, А. И. Перов // ДАН СССР. - 1958. - Т. 123, № 2. - С. 235-238.

22. Крейн Г. С. Математический анализ элементарных функций / Г. С. Крейн, В. Н. Ушакова. — М. : Физматгиз, 1963. — 168 с.

23. Кричевский М. JI. Интеллектуальный анализ данных в менеджменте/ М. Л. Кричевский. -СПб.: СПбГУАП, 2005. - 208 с.

24. Левитан Б. М. Почти-периодические функции / В. М. Левитан. — М.: ГИТТЛ, 1953.-396 с.

25. Леденева Т.М. О некоторых классах нечетких операторов / Т.М. Леденева // Высокие технологии в технике и медицине. — Воронеж: Изд-во ВГТУ, 1994 - С. 57-64.

26. Леденева Т.М. Особенности проектирования систем нечеткого логического вывода/ Т. М. Леденева, Д. С. Татаркин // Информационные технологии. - Воронеж: ВГУ, 2007. -№7. - С. 147-156.

27. Леденева Т.М. О нечетких импликациях, полученных обобщением булевой функции / Т.М. Леденева, A.C. Грибовский // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика.—Воронеж: ВГУ, 2003 -№2-С. 189-196.

28. Леденева Т.М. Обработка нечеткой информации / Т.М. Леденева. -Воронеж : ВГУ, 2006. - 233 с.

29. Леденева Т.М. Моделирование целенаправленных систем в условиях неопределенности / Т.М. Леденева. — Воронеж: ВГТУ, 1999. —160 с.

30. Леденева Т.М. Влияние типа транзитивности на ранжирование альтернатив / Т.М. Леденева, H.A. Каплиева // Вестник Воронежского государственного технического университета. - Воронеж: ВГТУ, 2007. Т.З. №1. — С. 156-161.

31. Леденева Т.М. Об исследовании треугольных норм с помощью функции нормирования / Т.М. Леденева // Вестник Воронежского

государственного университета. Серия: Физика. Математика. - Воронеж: ВГУ, 2005. №1. - С. 189-195.

32. Люстерник Л. А. Краткий курс функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. — М.: Высш. шк., 1982. —272 с.

33. Мелихов А.Н. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. / Мелихов А.Н., Берштейн Л.С., Коровин С.Я — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1990. — 272 с.

34. Недосекин А. О. Применение нечетких моделей в экономическом анализе/ А. О. Недосекин // Банки и риски, 2005. — С. 138-147.

35. Новак В. Математические принципы нечеткой логики. / Новак В., Перфильева И., Мочкорж И. Пер. с англ. под ред. А. Н. Аверкина. — М.: Физматлит, 2006. — 352 с.

36. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление / А. Пегат. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. - 798 с.

37. Пытьев Ю. П. Возможность: Элементы теории и применения. / Ю. П. Пытьев. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. -192 с.

38. Ротштейн А.П. Интеллектуальные технологии идентификации: нечеткие множества, генетические алгоритмы, нейронные сети / А.П. Ротштейн. -Винница: УНИВЕРСУМ, 1999. - 320 с.

39. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и ее приложений / А. П. Рыжов. - М.: Диалог-МГУ, 1998. - 65 с.

40. Саймон Г. Науки об искусственном / Г. Саймон. — М.: Мир, 1972. -148с.

41. Taxa X. Введение в исследование операций: в 2-х книгах. Кн. 1 / X. Taxa [пер. с англ.]. -М.: Мир, 1985. — 479 с.

42. Taxa X. Введение в исследование операций: в 2-х книгах. Кн. 2 / X. Taxa [пер. с англ.]. — М.: Мир, 1985. — 496 с.

43. Терновых И.И. Исследование устойчивости решений нечеткой динамической системы методом функций Ляпунова / И.И. Терновых // Труды молодых ученых. Выпуск 1-2.— Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2011. — С. 14-17.

44. Терновых И.И. Устойчивость решений нечеткой динамической системы. Матрица нечеткого отношения и устойчивость решений. / И.И. Терновых // Инженерия знаний. Представление знаний: состояние и перспективы: материалы Всероссийской молодежной научной школы, Воронеж, 29-30 июня 2012 г. - Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2012. - С. 196198.

45. Терновых И.И. Свойство хорошего отображения : [Электронный ресурс]/ И.И. Терновых // Международный научно-исследовательский журнал.— Режим доступа: http://research-journal.org/featured/economics/svojstvo-xoroshego-otobrazheniya (дата обращения: 13.03.2012).

46. Терновых И.И. Устойчивость решений нечеткой динамической системы. Плотность нечеткого множества и устойчивость [Электронная версия]/И.И. Терновых // Materiály VIII mezinárodní vedecko - praktická Konference «aktuální vymozenosti Vedy - 2012» 27 cervna - 05 cervencú 2012 roku Dil 19 Matematika.— Praha: «Education and Science», 2012.— C. 26-30.— Режим доступа:

http://ww.rusnauka.com/19 AND 2012/Matemathics/4 1 13288.doc.htm

47. Терновых И.И. Нечеткая динамическая система. Необходимое и достаточное условие устойчивости / И.И. Терновых // Прикладная математика, управление и информатика: сб. тр. междунар. молодеж. конф., Белгород, 3-5 октября 2012 г.: в 2 т. - Белгород : ИД «Белгород», 2012. - Т. 2. - С. 260-262.

48. Терновых И.И. Нечеткая динамическая система. Альфа-устойчивость / И.И. Терновых // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования. "ПМТУММ-2012" : материалы

V Международной конференции, Воронеж, 11-16 сент.2012 г. (дополнительный выпуск). — Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2012 . — С. 278-279.

49. Терновых И. И. Теорема об устойчивости нечеткого множества [Электронный ресурс]/ И.И. Терновых // Международный научно-исследовательский журнал. - Екатеринбург: ООО «Импекс», 2013.— №9 (16) .— Ч.1.— С. 38-40.—Режим доступа: http ://research -i ournal. org/wp -content/uploads/2013/10/9-1 -16.pdf.

50. Терновых И.И. Устойчивость непрерывных нечетких систем в смысле Ляпунова / И.И. Терновых // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2013) : сборник трудов 6 Международной конференции, Воронеж, 10-16 сентября 2013 г. - Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2013. - С. 242-244.

51. Терновых И.И. устойчивость непрерывных нечетких систем. Нечеткая производная. / И.И. Терновых // Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии: Тезисы докладов XI всероссийской научно-технической конференции. - Тула: «Информационные технологии», 2013. — С. 10-13.

52. Терновых И.И. Об устойчивости одной нечеткой системы / И.И. Терновых, Т.М. Леденева // Вестник Воронежского Государственного Технического Университета. - Воронеж: Воронежский государственный технический университет, 2013. - №4.- С. 103-107.

53. Терновых И.И. Об устойчивости непрерывных нечетких систем / И.И. Терновых // Научные ведомости Белгородского государственного университета Математика Физика. - Белгород: ИД «Белгород», 2013. - №26 (169). - Выпуск 33. - С. 43-50.

54. Терновых И.И. Об устойчивости непрерывных нечетких систем / И.И. Терновых // Вестник ВГУ. Серия Системный анализ и информационные технологии. - Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2013. - №2. - С. 48-52.

55. Тэрано Т. Прикладные нечеткие системы / Т. Тэрано, К. Асаи и М. Сугэно; Пер. с япон. Ю. Н. Чернышова. - М.: Мир, 1993. - 368 с.

56. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / А.Ф. Филиппов. - М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 240 с.

57. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. — М.: Наука, 1970. — 608 с.

58. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. — М. : Мир, 1964. - 480 с.

59. Эрдвардс Ф. Функциональный анализ. Теория и приложения / Ф. Эдварде. - М. : Мир, 1969. - 1072 с.

60. Ягер Р. Р. Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения / Р. Р. Ягер; Пер. с англ. В. Б. Кузьмина под ред. С. И. Травкина. — М.: Радио и связь, 1986. — 408 с.

61. Янг С. Системное управление организацией / С. Янг. — М.: Советское радио, 1982. - 456 с.

62. Яхъяева Г.Э. Основы теории нечетких множеств: учеб. пособие / Г.Э. Яхъяева. — М.: Интернет-Университет Информационных Технологий, 2006 — 320 с.

63. Balasubramaniam P. Existence and Uniqueness for the Nonlinear Fuzzy Integrodifferential Equations / P. Balasubramaniam, S. Muralisankar // Applied Mathematics Letters, 2001. - № 14. - Pp. 455-462.

64. Barbashin, E. А. "Об устойчивости движения в целом" [On the stability of motion as a whole] / Barbashin, E. A, Nikolai N. Krasovskii // Doklady Akademii Nauk USSR (in Russian), 1952. -№ 86. - Pp. 453-456.

65. Barrosa L. C. Fuzzy differential equations: An approach via fuzzification of the derivative operator / Laecio C. Barrosa, Luciana T. Gomesa, Pedro A. Tonelli // Fuzzy sets and systems, 2013. - № 230. - Pp. 39 - 52.

66. Bhatia N. P. Dynamical systems: Stability Theory and Applications / N. P. Bhatia, G. P. Szego.— Berlin: Springer-Verlag, Berlin ,1967. —367 p.

67. Birkhoff G. D. Dynamical Systems / G. D. Birkhoff. - USA: Amer. Math. Soc. Providence, 1927. - 500 p.

68. Buckley J. J. Fuzzy differential equations / James J. Buckley, Thomas Feuring // Fuzzy sets and systems, 2000. — №110. — Pp. 43-54.

69. Buckley J. J. Introduction to fuzzy partial differential equations / James J. Buckley, Thomas Feuring // Fuzzy sets and systems, 1999. —№ 105. — Pp. 241-248.

70. Buckley J.J. Solving fuzzy equations / J.J. Buckley // Fuzzy sets and systems, 1992. -50. - Pp. 1-14.

71.Bushaw D. Dynamical polysystems and optimization. Cont. Differential Equations 3 / D. Bushaw// Fuzzy sets and systems, 1963. - Pp. 351-365.

72. Chalco-Canoa Y. Comparation between some approaches to solve fuzzy differential equations / Y. Chalco-Canoa, H. Român-Floresb // Fuzzy sets and systems, 2009.-№ 160.-Pp. 1517 -1527.

73. Chang S. S. L. On fuzzy mappings and control / S. S. L. Chang, L. A. Zadeh // IEEE Trans. Systems Man Cybernet, 1972. - Pp. 30-34.

74. Choudary A.D.R. On Peano theorem for fuzzy differential equations / A.D.R. Choudary, T. Donchev // Fuzzy sets and systems, 2011. —№ 177. — Pp. 9394.

75. Glas M. Theory of fuzzy systems / M. de Glas // Fuzzy Sets and Systems, 1983. -№ 10.-Pp. 65-77.

76. Jong Y. P. Asymptotic behavior of solutions of fuzzy differential equations / Jong Yeoul Park, Hyo Keun Han, Jae Ug Jeong // Fuzzy sets and systems, 1997. -91.-Pp. 361-364.

77. Kaleva O. Fuzzy differential equations / O. Kaleva // Fuzzy sets and systems, 1987.-24.-Pp. 301-317.

78. Kania A.A. On Stability of Formal Fuzziness Systems / Kania A.A., Kiszka J.B // Information Sciences, 1980. -№ 22. - Pp. 51-68.

79. King P. E. The application of fuzzy control systems to industrial processes / P. E. King, E. H. Mamdani // Automatica ,1977. - №13. - Pp. 493-507.

80. Kiszka J. B. Energetistic stability of fuzzy dynamic systems /Jerzy B. Kiszka, Madan M. Gupta, Peter N. Nikiforuk // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, 1985. -№15(6). - Pp. 783-792.

81. Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion / Krasovskii N. N.. — Stanford: Stanford University Press CA, 1963. - 453 p.

82. LaSalle J. P. Stability by Liapunov's Direct Method with Applications / J. P. LaSalle and S. Lefschetz. - New York: Academic Press, 1961. - 137 p.

83. LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method / J.P. LaSalle // IRE Transactions on Circuit Theory, 1960. - Pp. 520-527.

84. Nemytskii V. V. Qualitative Theory of Differential Equations / V. V. Nemytskii, V. V, Stepanov. - Princeton: Princeton Univ. Press. - 1960. -345 p.

85. Negoita C. V. Applications of Fuzzy Sets to Systems Analysis / C. V. Negoita, D. A. Ralescue // IEEE Transactions on Systems Man and Cybernetics, 1977.-Pp. 453-467.

86. Pappis C. P. Fuzzy reasoning/ C. P. Pappis // Search Methodologies, 2005. - Pp. 437-474.

87. Kickert W.J.M. Application of a fuzzy controller in a warm water plant/ W.J.M. Kickert, H. R. N. Lemke//Automatica, 1976.-№ 12 (4).-Pp. 301-308.

88. Rodríguez-López R. Monotone method for fuzzy differential equations / R.Rodríguez-López // Fuzzy sets and systems, 2008. - № 159. - Pp. 2047-2076.

89. Roxin E. Stability in general control systems / E. Roxin // Journ. of Differential Equations, 1965. - 1. - Pp. 115-150.

90. Salahshour S. Application of flizzy differential transform method for solving fuzzy Volterra integral equations / S. Salahshour, T. Allahviranloo // Applied Mathematical Modelling, 2013. - № 37. - Pp. 1016-1027.

91. Sanchez E. Resolution of Composite Fuzzy Relation Equations / E . Sanchez // Information And Control, 1976. - №30. - Pp. 38-48.

92. Sheldon S. On Fuzzy Mapping and Control. / S. Sheldon, L. Chang // IEEE Transactions on systems, man, and cybernetics, 1972. -№ 2. - Pp. 30-34.

93. Sprungka B. Stochastic differential equations with fuzzy drift and diffusion. / Björn Sprungka, K. Gerald van den Boogaart // Fuzzy sets and systems, 2013.-№230.-Pp. 53-64.

94. Ternovykh I.I. A-Equilibrium point of fuzzy system [Электронный ресурс] / Ternovykh I.I. // European Science and Technology. Materials of the V international research and practice conference Vol. I October 3rd - 4th, 2013.— Munich: «Vela Verlag Waldkraiburg», 2013-Vol. I. - Pp. 292-294 - Режим доступа: http://sciencic.com/archive.php .

95. Tong R. M. A control engineering review of fuzzy feedback systems / R. M. Tong// Automatica, 1977. -№13. - Pp. 550-569.

96. Tong R. M. Analysis and control of fuzzy system using finite discrete relations / R. M. Tong // Internat. J. Control, 1978. - №27(3). - Pp. 431-Ф40.

97. Tong R. M. Some properties of fuzzy feedback systems / R. M. Tong // IEEE Trans. Systems Man Cybernet, 1980. - Pp. 327-330.

98. Willaeys D. Utilisation of fuzzy sets for system modelling and control / D. Willaeys, N. Malvache P. Hammad // Decision and Control including the 16th Symposium on Adaptive Processes and A Special Symposium on Fuzzy Set Theory and Applications IEEE, 1977.-Pp. 1435-1439.

99. Zadeh L.A. Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes / L.A.Zadeh // IEEE Trans. Systems, Man, and Cybernet, 1973. - №1. -Pp. 28-44.

100. Zadeh L.A. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning / L.A.Zadeh// Inform. Sei. 9, 1975. - № 9. - Pp. 43-80.

101. Zhu Y.. Stability analysis of fuzzy linear differential equations / Yuanguo Zhu // Fuzzy Optim. Decis. Making, 2010. -№ 9. - Pp. 169-186.