Направленные волны в волноводных структурах, включающих в себя гиперболическую среду тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат наук Ляшко Екатерина Ивановна

• Ляшко Екатерина Ивановна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Ляшко Екатерина Ивановна

Введение

Глава 1. Определение и свойства гиперболических сред. Основные

уравнения распространения электромагнитных волн

1.1 Гиперболическая среда. Основные свойства

1.2 Вывод уравнения распространения квазигармонической волны в нелинейной анизотропной среде

1.2.1 Распространение несущей волны перпендикулярно оси анизотропии

1.2.2 Распространение несущей волны вдоль оси анизотропии

Глава 2. Направленные моды симметричного планарного гиперболического

волновода

2.1 Полное отражение от границы раздела с гиперболической средой

2.2 Симметричный гиперболический волновод с линейным откликом сердцевины

2.2.1 Распределение полей направленных ТЕ и ТМ волн. Условия распространения

2.2.2 Дисперсионные соотношения

2.2.3 Вектор Пойтинга в направлении распространения направленных волн

2.3 Симметричный гиперболический волновод с кубично-нелинейным откликом сердцевины

2.3.1 Распределение поля направленной ТМ волны

2.3.2 Дисперсионные характеристики волновода

2.3.3 Влияние плотности энергии электромагнитного поля на параметры распространения моды

2.4 Влияние диссипации энергии в гиперболической среде на свойства направленных волн

2.5 Выводы к Главе

Глава 3. Направленные моды асимметричного планарного волновода

3.1 Асимметричный гиперболический волновод. Линейный случай

3.1.1 Распределение электромагнитного поля и условия распространения направленных ТМ волн

3.1.2 Дисперсионное соотношение

3.2 Случай кубично-нелинейного отклика подложки волновода

3.2.1 Распределение поля направленной ТМ волны

3.2.2 Дисперсионное соотношение

3.2.3 Плотность энергии электромагнитного поля

3.3 Влияние диссипации энергии в покровном слое волновода на свойства направленных волн

3.4 Выводы к Главе

Глава 4. Взаимодействие обыкновенной и необыкновенной волн в

гиперболической среде с нелинейным откликом

4.1 Введение. Взаимодействие прямой и обратной волн в нелинейной среде .... 88 4.1.1 Понятие обратной волны в гиперболической среде

4.2 Постановка задачи

4.3 Стационарное поперечное распределение поля связанной волны

4.4 Выводы к Главе

Глава 5. Направленные волны на границе раздела гиперболической среды

и топологического изолятора

5.1 Топологический изолятор. Основные свойства

5.1.1 Макроэлектродинамика топологических изоляторов

5.2 Дисперсионные соотношения и условия распространения поверхностной волны

5.2.1 Вывод дисперсионных соотношений

5.2.2 Анализ дисперсионных соотношений

5.2.3 Влияние диссипации гиперболической среды

5.3 Выводы к Главе

Заключение

Публикации по теме диссертации

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Направленные волны в волноводных структурах, включающих в себя гиперболическую среду»

Введение

Примерно в 20-х годах XIX века после экспериментального открытия Эрстеда, демонстрирующего, что магнитное поле порождается движущимися электрическими зарядами, током, возникает новая область физики, электродинамика. Она посвящена изучению закономерностей и свойств особого вида физического объекта, электромагнитного поля, и его взаимодействию с заряженными телами. С тех пор было выполнено множество работ, в той или иной степени связанных с электродинамикой, разработаны теоретические модели, верно описывающие экспериментальные результаты, выведен сильный математический аппарат. Здесь нельзя не вспомнить про уравнения Максвелла (1864 г.), описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с токами и зарядами. Особый интерес представляет взаимодействие электромагнитного поля с веществом, как одна из наиболее «прикладных» областей электродинамики.

Анализируя теоретические модели, исследователи замечали, что некоторые из них допускают протекание явлений, которые на тот момент не были обнаружены экспериментально. Так, к примеру, рассмотрение уравнений Максвелла в гипотетической среде, обладающей отрицательной магнитной восприимчивостью или одновременно отрицательными в некотором частотном диапазоне диэлектрической, е, и магнитной, проницаемостями, не приводит к противоречиям внутри теории. При этом теоретически были предсказаны такие необычные оптические явления, как отрицательное преломление (ОП) на границе раздела с такой средой и возможность распространения обратных волн, у которых направление распространения энергии направлено противоположно фазовой скорости [1-4]. В. Г. Веселаго в своей работе [3] также обращает внимание на то, что пластина с е = —1 и ^ = — 1 может служить собирающей линзой: фокусировать в точку излучение любого точечного источника, находящегося на расстоянии от пластины меньшем, чем ее ширина. Со временем о подобной линзе будут говорить как об идеальном оптическом приборе, который без каких-либо искажений переносит изображение объекта из реального пространства в пространство изображений. Так как, благодаря противоположности направлений фазы волны вне пластины и внутри нее, исчезает фазовый набег в точке фокусировки. В этом случае оптический путь луча равен нулю, хотя его геометрический путь отнюдь не является нулевым.

Интенсивный рост исследований в области микро- и нанотехнологий, возникший в конце прошлого века, привел к возможности создавать композитные материалы с заданными электромагнитными свойствами. Они получили название метаматериалов, так как представ-

ляют собой последовательность определенным образом расположенных субволновых микро-или наноразмерных элементов (например, проволочек и разомкнутых колечек), и в обычном понимании не являются сплошной средой. При прохождении электромагнитного излучения через определенным образом построенный метаматериал оказалось возможным экспериментально наблюдать часть из предсказанных ранее теоретически явлений электродинамики.

Актуальность темы исследования. После экспериментальной демонстрации мета-материала, обладающего одновременно отрицательными диэлектрической и магнитной про-ницаемостями в сантиметровом диапазоне, представленной группами Джона Пендри (Имперский колледж Лондона) [5] и Дэвида Смита (университет Сан-Диего США) [6] в конце XX века, интерес исследователей к электродинамике композитных материалов значительно увеличился. Колличество работ как теоретических, так и экспериментальных, посвященных метаматериалам, структурам с необычным, не встречающимся в природе (или встречающимся крайне редко) электромагнитным откликом, растет вплоть до настоящего времени. Наиболее яркими и будоражащими умы ученых областями применения необычных свойств метаматериалов являются оптическое камуфлирование макрообъектов [7] и изготовление суперлинз [8].

Метаматериалы, обладающее одновременно отрицательными в некотором частотном диапазоне е и так называемые отрицательно преломляющие (ОП) среды, несмотря на практическую привлекательность электромагнитных явлений в них весьма сложны в изготовлении. Отрицательный отклик ОП сред возможен только в узком диапазоне длин волн, например, порядка 20 нм для видимого диапазона [9]. Особенно трудоемким является получение трехмерного отклика таких сред [10].

Последнее время все больший интерес вызывают сильно анизотропные одноосные среды, главные компоненты тензора диэлектрической проницаемости которых имеют разные знаки. Компоненты тензора магнитной восприимчивости при этом близки к единице. В качестве примеров реализации таких сред выступают, например, структуры, состоящие из чередующихся слоев проводника и диэлектрика [11-13] или представляющие собой решетку проводящих проволочек внутри диэлектрика [14-16] при условии, что характерные размеры структурных составляющих по крайней мере на порядок меньше исследуемой длины волны излучения. Такие среды относительно просты в реализации, а также обладают широким нерезонансным откликом, что позволяет рассматривать их в широком частотном диапазоне без существенных потерь энергии проходящего через среду излучения [17].

Такие композитные среды получили название гиперболических метаматериалов или гиперболических сред (ГС). Вследствие разных знаков главных компонент диэлектрического

тензора, изочастотная поверхность (поверхность волновых векторов) для необыкновенной волны в такой среде представляет собой гиперболоид [18; 19]. Это приводит к возможности возникновения таких явлений как, например, распространение обратных относительно некоторого направления волн, предсказанных и наблюдаемых ранее в ОП средах [20]. Изочастотная поверхность стандартных одноосных диэлектриков представляет собой эллипсоид, ограниченную в трехмерном фазовом пространстве фигуру. Гиперболоид представляет собой неограниченную поверхность. Как следствие, в гиперболических средах возможно распространение излучения со сколь угодно большими значениями волнового числа, что открывает большие возможности по манипулированию ближним полем излучения [19]. На эксперименте возможные значения волнового числа ограничены областью применимости приближения эффективной среды. Тем не менее, благодаря указанному свойству в ГС возможны такие явления как: высокая плотность фотонных состояний и гигантские значения фактора Пар-селла [21-25], определяющего увеличение интенсивности спонтанного излучения, а также разрешение субволновых объектов [26-28] и сверхволновая фокусировка [28-30]. Гиперболические среды нередко рассматриваются как наиболее перспективные искуственные среды в оптическом диапазоне для различных практических целей, от оптических сенсоров до квантовой оптики [31].

В работах [32-34] распространение электромагнитного излучения через гиперболическую среду, благодаря особой форме ее дисперсионных поверхностей в фазовом пространстве, рассматривается в качестве объекта для моделирования некоторых гипотез квантовой теории поля. Например, аналог эффекта смены метрики пространства Минковского на 2Т метрику рассматривался в [32].

Внимание исследователей привлекают также электромагнитные явления на границе раздела обыкновенного диэлектрика и гиперболического метаматериала. Среди них отрицательное преломление [20; 30; 35; 36]. В работах [37; 38] обсуждался фазовый сдвиг Гуса-Хенхен, значительно превышающий аналогичный для диэлектрических сред. В работе [38] обсуждались также сдвиг Имберта-Федорова и спиновый эффект Холла для света, который выражен на границе с ГС гораздо сильнее, чем на границе раздела с металлом. Это явление может помочь эффективно управлять спином фотона и таким образом стимулировать развитие новых поколений оптических устройств. Представляют интерес также и свойства поверхностных волн на границе раздела с ГС [45-48].

Гиперболические среды привлекают внимание и в качестве компонентов фотонных или плазмонных направляющих устройств, волноводов. В работе [39] рассмотрены общие свойства направленных мод и поверхностных волн в планарном волноводе с обкладками из ги-

перболического материала. Найдены такие явления, как сосуществование прямой и обратной волноводной моды, отсутствие фундаментальной моды. Целый ряд теоретических работ посвящен способам замедления света с помощью направляющих структур, состоящих в том числе из ГС. Устройства, замедляющие или вовсе останавливающие распространение направленной электромагнитной волны, могут найти применение в оптических коммуникационных цепях или в так называемых квантовых компьютерах, а также для обеспечения фазового синхронизма. В работе [40] рассмотрен планарный волновод, который представляет собой отрицательно преломляющий метаматериал, заключенный между обычных диэлектрических сред. Замедление и полная остановка света в такой ситуации возможны благодаря отрицательным сдвигам Гуса-Хенхен при отражении излучения от границ раздела сред. При этом поток энергии у границ оказывается эффективно направленным противоположно направлению переноса энергии в центре волновода. В работе [41] исследованы замедляющие свойства структур, образованных двумя анизотропными метаматериалами с воздушной прослойкой между ними. Рассмотренные метаматериалы представляют собой как ОП среды, так и гиперболические материалы. Так как структуры, построенные с использованием гиперболических материалов, обладают меньшими потерями энергии и более просты в реализации, чем ОП среды, большая часть работ в данной области посвящена волноводам, образованным именно гиперболической средой.

В работах [42; 43] исследованы направленные моды планарного и цилиндрического волноводов, сердцевина которых представляет собой гиперболическую среду, а оболочка - обычный диэлектрик. Поток энергии в сердцевине рассматриваемых структур направлен противоположно потоку в оболочке. При этом, изменяя ширину сердцевины, оказывается возможным получить нулевой суммарный поток, или остановленную световую волну. В работе [44] рассмотрен волновод из гиперболического материала прямоугольного сечения. Благодаря связыванию при близких значениях фазовых скоростей прямой обыкновенной и обратной необыкновенной мод в таком волноводе происходит замедление света.

В работах [49; 50] рассмотрен планарный волновод, диэлектрическая сердцевина которого помещена между гиперболическими средами. Изучены свойства такого волновода как направляющей структуры для поверхностных плазмон-поляритонов. Основное внимание при этом уделено влиянию потерь энергии на длину распространения плазмонов и на добротность волновода.

Степень разработанности темы исследования. Как показано выше, в представленных работах преимущественно рассматриваются такие конфигурации волноводов, где основная часть энергии излучения сконцентрирована либо в гиперболической среде, либо на

границе раздела с диэлектриком, как в случае поверхностных волн (плазмонов). Однако случай волноводной структуры, где основная часть излучения заключена в прозрачной диэлектрической сердцевине, а от границы с гиперболической средой происходит полное отражение, также представляет интерес. При этом дисперсионные особенности гиперболической среды оказывают влияние на свойства направляемых волноводом волн за счет условий сшивки полей на границе диэлектрик/ГС. Кроме этого, влияние диссипации, характерной для гиперболических метаматериалов, в подобной структуре является существенно меньшим, чем в случае волноводов с сердцевиной из данных сред.

Все работы, посвященные направленным волнам в структурах, содержащих ГС, ограничены линейным законом зависимости поляризации среды от приложенного электрического поля проходящей волны. В нелинейной среде керровского типа фаза распространяющейся в ней волны является функцией интенсивности электрического поля [51]. Таким образом, скорость распространения, форма и размер импульса излучения и некоторые другие параметры оказываются зависящими от интенсивности. Кроме того, независимые в линейном случае волны, например, разной поляризации или частоты, при учете нелинейного отклика могут оказывать воздействие друг на друга за счет перекрестного набега фазы, а также образовывать связное состояние [52]. По этой причине представляет интерес в указанной выше волноводной структуре учесть нелинейный отклик сердцевины или оболочки. В такой ситуации скорость распространения, условия существования конкретной волновой моды в волноводе, а также число возможных мод оказываются зависящими от мощности или интенсивности излучения.

Немало работ, начиная с конца 80-х годов прошлого века, посвящены исследованию образования и распространения в анизотропных нелинейных волокнах уединенных, соли-тоноподобных волн, а также формированию связного уединенного состояния нескольких волн [53-56]. Исследователей привлекает большая устойчивость подобных нелинейных образований к различного рода возмущениям. Это приводит к большим расстояниям, на которые возможно передать закодированную при помощи оптических импульсов информацию в волоконных сетях [53]. Однако возможность существования и свойства уединенных волн в гиперболических метасредах пока не были изучены.

Относительно недавно был открыт новый класс веществ, называемых топологическими изоляторами (ТИ) [57]. Этот новый вид материалов вызывает большой интерес у исследователей как с фундаментально-научной точки зрения, так и с практической. Такой материал в объеме представляет собой диэлектрик, а на поверхности проводит электрический ток. При этом направление тока и направление спина участвующих в движении электронов строго де-

терминированы и остаются неизменными при плавной механической деформации материала. Благодаря таким необычным свойствам, топологические изоляторы представляют интерес для гибкой электроники [58], термоэлектрических устройств [59], спинтроники [60], квантовых компьютеров [61]. Были экспериментально продемонстрированы как двумерные, так и трехмерные ТИ, которыми являются некоторые соединения висмута, такие как кристаллы Б12Те3, Б12Бе3, БЬ2Те3, допированные железом. Более подробный обзор свойств топологических изоляторов приведен в Главе 5.

Несмотря на обилие работ, посвященных как гиперболическим средам, так и топологическим изоляторам, электродинамические явления на границе раздела этих двух классов сред изучены мало. Для топологических изоляторов характерен магнитоэлектрический эффект, приводящий к возникновению отклика электрической поляризации на магнитное поле и наоборот, к отклику намагниченности на электрическое поле. Вследствие магнитоэлектрического эффекта возможно связывание характерных для гиперболической среды обыкновенной и необыкновенной волн, обладающих разными дисперсионными свойствами.

Подводя итог сказанному, целью работы является теоретическое исследование направленных волн в структурах, образованных слоями диэлектрика и гиперболической среды; изучение влияния нелинейного отклика диэлектрика на распространение направленной волны; анализ взаимодействия обыкновенной и необыкновенной волн в нелинейной гиперболической среде; а также исследование особенностей поверхностных волн на границе раздела гиперболической среды и топологического изолятора.

Для достижения цели были решены следующие задачи:

1. Вывод уравнения распространения квазигармонической волны в одноосной анизотропной керровской среде.

2. Вывод и решение дисперсионных соотношений для волноводной структуры, образованной слоем диэлектрика, помещенным между гиперболических сред.

3. Исследование влияния нелинейного отклика волноводного слоя на дисперсионные характеристики мод, постоянную распространения, ширину моды и частоты отсечки.

4. Вывод и решение дисперсионных соотношений для асимметричной волноводной структуры, подложка которой образована диэлектриком, оптически линейным или нелинейным, сердцевина — линейным диэлектриком, покровный слой — гиперболической средой. Исследование влияние интенсивности поля на направляющие свойства волновода и постоянную распространения мод.

5. Исследование взаимодействия обыкновенной и необыкновенной волн и возможности формирования связного состояния этих волн в случае параксиального распространения излучения в гиперболической среде с кубично-нелинейным откликом.

6. Вывод дисперсионных соотношений для поверхностных волн на границе раздела гиперболической среды и топологического изолятора. Определение частотных областей существования таких волн.

Научная новизна работы.

1. Впервые для ТМ мод симметричного и асимметричного планарных гиперболических волноводов найдено такое явление, как существование второй частоты отсечки для каждой моды. Это означает, что каждая ТМ мода удерживается волноводом только в определенном частотном интервале. Или для определенного интервала ширин сердцевины волновода при постоянной частоте излучения. Для нескольких первых мод возможно подобрать такие параметры волноводной структуры, что в ней будет распространяться только одна эта мода, другие при этом не могут быть возбуждены. В случае стандартных диэлектрических волноводов единственной распространяющейся модой может быть только фундаментальная мода.

2. Впервые исследовано влияние нелинейного отклика сердцевины или подложки волновода с оболочкой из гиперболического материала на свойства направленных мод и их дисперсионные характеристики.

3. В случае симметричного гиперболического волновода впервые показано, что с увеличением интенсивности излучения при отрицательном кубично-нелинейном отклике происходит уменьшение скорости распространения волны, а также изменяется число направляемых волноводом мод.

4. В случае асимметричного волновода с покровным слоем из гиперболической среды показано, что положительный кубично-нелинейный отклик подложки при превышении мощностью излучения определенного порога ведет к появлению дополнительного набора направленных ТМ мод, для которых так же характерна вторая частота отсечки. Показана зависимость частотного интервала существования моды от интенсивности поля.

5. Впервые проанализирована возможность формирования связного состояния обыкновенной и необыкновенной волной в кубично-нелинейной гиперболической среде. Показано, что динамика распространения такой связной волны описывается уравне-

ниями, подобными уравнениям, определяющими взаимодействие прямой и обратной волн.

6. Впервые рассмотрены свойства поверхностных волн на границе раздела гиперболическая среда - топологический изолятор. Указаны условия их существования и особенности, к которым приводят макроэлектродинамические свойства граничащих сред. Установлено, что результаты существенно зависят от взаимной ориентации оси анизотропии ГС и направления распространения поверхностной волны.

Теоретическая и практическая значимость работы. В работе теоретически предсказано, что волноводные структуры с оболочкой, включающей в себя гиперболическую среду, обладают рядом отличительных свойств. Так, благодаря наличию у ТМ мод двух частот отсечки, путем верного подбора параметров волновода можно получить одномодовый режим работы волноводной структуры для нескольких первых мод. В таком режиме ни при каких условиях в волноводе не может быть возбуждена какая-то иная мода, что обеспечивает отсутствие межмодовой дисперсии и потери вследствие этого информации. Каждая мода на данной частоте соотвествует определенному поперечному распределению поля внутри волновода. Таким образом, можно подобрать параметры волновода так, что он будет "настроен" только на определенную форму поперечного распределения интенсивности поля волны. Это свойство может быть применено в логических оптических устройствах при кодировании или фильтрации данных. Наиболее жесткими селективными свойствами обладает асимметричная конфигурация волноводной структуры, рассмотренная в Главе 3 данной работы.

Помимо двух частот отсечки, направленные ТМ моды симметричной волноводной структуры могут иметь нулевые значения постоянных распространения. В случае дефоку-сирующей керровской сердцевины волновода с ростом интенсивности поля постоянная распространения рассматриваемой моды уменьшается, достигая в пределе нулевого значения. Таким образом, изменяя интенсивность поля, возможно влиять на фазовую скорость волны и на число потенциально возбуждаемых волн. Это свойство может быть использовано в оптических переключателях, замедлителях света и для обеспечения фазового синхронизма при рассмотрении взаимодействия волн.

Несмотря на то, что гиперболические среды обладают потерями вследствие входящих в их структуру субволновых проводящих элементов, в работе показано, что для частот, при которых дисперсия эффективных диэлектрических проницаемостей ГС не существенна, вдали от их резонансных значений, потери энергии не ведут к исчезновению обнаруженных свойств.

Рассмотренные в работе поверхностные волны на границе раздела гиперболическая среда - топологический изолятор представляют новый тип плазмон-поляритонов. Представленные результаты могут быть полезными в областях, где применимы поверхностные плазмон-поляритоны, например, в субволновой оптике и плазмонных логических устройствах. В работе показано, что в зависимости от взаимной ориентации оси анизотропии гиперболической среды и направления распространения поверхностной волны условия ее существования сильно различаются. В частности, возможна ситуация, когда поверхностный плазмон-поляритон существует только в очень узком частотном диапазоне, что может быть использовано в фильтрах и оптически управляемых переключателях.

Методология и методы исследования. Все результаты получены теоретически, с использованием аналитических выводов и численного счета.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Две частоты отсечки определены для ТМ мод планарного волновода, представляющего собой диэлектрик в окружении гиперболических сред или в окружении гиперболической среды с одной стороны и обычного диэлектрика — с другой. Это отличает их от мод обычного диэлектрического волновода.

2. Колличество возбуждаемых на данной частоте ТМ мод зависит от интенсивности излучения в случае кубично-нелинейного отклика диэлектрической сердцевины волновода. Постоянная распространения моды симметричного гиперболического волновода в случае дефокусирующей среды сердцевины уменьшается с ростом плотности энергии поля, в пределе достигая нулевого значения.

3. В случае асимметричного планарного волновода, состоящего из диэлектрической сердцевины, помещенной между положительным кубично-нелинейным диэлектриком и гиперболической средой, происходит удвоение числа мод. Явление носит пороговый характер. Дополнительные ТМ моды также характеризуются второй частотой отсечки и переносят значительную часть энергии направленной волны, локализованной в нелинейной подложке.

4. Дисперсионные соотношения для поверхностных волн на границе раздела гиперболической среды и топологического изолятора, из которых следуют условия существования таких волн. За счет выраженного магнитоэлектрического эффекта, характерного для топологического изолятора, происходит связывание обычных ТМ и ТЕ волн. В отличии от поверхностных плазмонов, здесь поверхностные волны существуют в интервале частот, границы которого определяются частотной дисперсией ГС и величиной магнитоэлектрической поляризуемости ТИ.

Достоверность результатов Все использованные для теоретического анализа формулы получены исходя из уравнений Максвелла в случае анизотропных сред. Использованные для аппроксимации нелинейного отклика модели хорошо себя зарекомендовали в многочисленных предыдущих исследованиях. Все полученные теоретические модели могут быть сведены к случаю хорошо изученных сред, диэлектриков или металлов, где они демонстрируют известные результаты.

Апробация результатов Основные результаты работы прошли апробацию на следующих международных и российских конференциях:

1. Е.И. Остроухова, А.И. Маймистов, Распространение стационарной бигармонической волны в положительно-отрицательно преломляющей керровской среде, VIII Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики» («ФПО-2014»), 20 -24 октября 2014 г., Санкт-Петербург;

2. Е.И. Ляшко, А. И. Маймистов, Dispersion relations for nonlinear guided waves in the slab waveguide with hyperbolic coating layer, International Symposium «Advances in Nonlinear Photonics»; семинар «Нелинейная Фотоника: теория, материалы, приложения», 29 июня - 2 июля 2015 г., Санкт-Петербург;

3. Е.И. Ляшко, А.И. Маймистов, Линейные моды гиперболического планарного волновода, XII Международные чтения по квантовой оптике (IWQ0-2015), 11 - 16 августа 2015 г., Москва, Троицк;

4. Е.И. Ляшко, А.И. Маймистов, Направленные моды гиперболического планарного волновода, V Международная конференция по фотонике и информационной оптике, 28 - 30 января 2016 г., Москва;

5. А.И. Маймистов, Е.И. Ляшко, Направленные волны в гиперболическом планарном волноводе, XV Всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» («Волны-2016»), 5-10 июня 2016 г., Московская область, Красновидово;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ляшко Екатерина Ивановна, 2018 год

/ / / //

1/7 / / /

Г I / /7/

1 1 1 \111 1 / /.

10

*к0

(а)

П

0.8

0.6

0.4

0.2

еП

15

3 2.5 2 1.5 1

0.5 0

„т = 2 и

\т = 3

\

\

(Ь)

т=3

1 т = 1

/т = 2

0 10 20 30 40 50

,2,

0 10 20 30 40 50 М ^/т2]

(с)

Рисунок 2.12 — Гиперболический волновод с кк0 = 5. (а) Дисперсионные кривые для £ = 0; (Ь) Зависимость эффективного показателя моды от плотности переносимой энергии; (с) Зависимость доли излучения в сердцевине от плотности переносимой волной энергии.

Аналогичное поведение дисперсионных кривых представлено на рисунке 2.12 ( Ь). График показывает, как квадрат эффективного показателя преломления всех возможных при кк0 = 5 мод изменяется с ростом плотности энергии Ш. При Ш = 0 значения пдля индексов т = 2 и т = 3 такие же, как и в линейном случае при кк0 = 5. Они представлены на рис.

2

2

5

1

2.12 (а) как пересечения штриховой вертикальной линии и соответствующей дисперсионной характеристики.

С увеличением плотности энергии Ш значения п%// для т =2 и т = 3 уменьшаются, медленнее для малых Ш и быстрее при больших значениях. Такое поведение объясняется формой дисперсионных кривых, представленных на рис. 2.12 (а) или рис. 2.10, 2.11: они более пологие при больших значениях п%//. При некотором значении Ш мода с индексом т = 3 останавливается, так как соответствующий ей эффективный показатель пе// или, что равносильно, постоянная распространения принимает нулевое значение. С дальнейшим увеличением плотности энергии мода с т = 3 перестает удерживаться волноводом. Продолжая увеличивать Ш, мода с индексом т = 2 также достигает нулевого значения эффективного показателя преломления и затем затухает в волноводе.

Мода с индексом т =1 представляет особый случай. Она отсутствует в линейном случае, но, если Ш превысит некоторый порог, данная мода может быть возбуждена. Другая особенность функции п%//(Ш) при т =1 состоит в том, что она двузначная. Одна ветвь кривой ведет себя схожим образом с т = 2 ит = 3: п^ уменьшается до нуля. Другая ветвь п2//(Ш) стремится к максимальному возможному значению п^ = ее.

На рисунке 2.12 (с) представлен график зависимости доли энергии направленной волны, содержащейся в сердцевине, г/, от значения Ш. Доля г/ определена как

^^соге

Г] =

где Шсоге — плотность переносимой энергии, сконцентрированная в сердцевине волновода. Сравнивая рисунки ( ) и ( ), следует обратить внимание, что с уменьшением пе / / направленная волна лучше концентрируется в сердцевине. Более подробно этот факт будет рассмотрен в следующем подразделе работы. Если п2// стремится к ее (случай т = 1), то направленная волна постепенно покидает сердцевину. Две ветви кривой т = 1 соответствуют двум распространяющимся модам. Одна из них преимущественно содержится в сердцевине, а вторая — сосредоточена главным образом в оболочке волновода.

Для сравнения, на рисунке 2.13 представлены аналогичные зависимости для обычного диэлектрического волновода с ег = 4.0, £е = £о = 2.25, ек = —10-9 единиц СГС. Нормированная ширина волноводного слоя (сердцевины) полагалась равной к ко = 10. В линейном случае

в волноводе могут быть возбуждены моды с индексами т = 0,1, . . . , 4. С увеличением ин-

2

тенсивности поля линейные значения пе// каждой моды уменьшаются до своей минимально

3.5

в?

2.5

т = —" ' -- т = 1 ^^ 1 т = 2,—'

/У/у

/ / У У ,

10

15

Ьк0

(а)

3.5

вА

п п = 0 = 1 -----

т = 2

- т. =

20

М [J/m2]

(ь)

40 60

2

80

Рисунок 2.13 — Стандартный диэлектрический волновод с кк0 = 10. (а) Дисперсионные кривые для £ = 0; (Ь) Зависимость эффективного показателя моды от плотности

переносимой энергии.

возможной величины п= £е = е0. Никаких дополнительных мод при этом не возникает. Все возможные моды могут быть возбуждены уже в линейном случае.

4

4

2

2

3

3

2

0

5

0

Ширина поперечного распределения поля. Декремент затухания

Из системы (2.23) следует, что параметр д определяет, как далеко поле направленной волны проникает в оболочку волновода. Иными словами, д — декремент затухания в направлении оси X. Определим длину затухания излучения в оболочке в единицах длины волны Л как

Ьл = 1/4тг д,

где д = д/к0 — нормированное значение д. Так что на расстоянии Ь интенсивность поля |Дг |2 уменьшится в е раз. Так как пеff зависит от плотности переносимой энергии Ш, длина Ь^ также будет меняться с Ш.

На рисунке 2.14 представлены графики зависимостей величины Ь^ от Ш для (а) волновода с гиперболической оболочкой и ( ) обычного диэлектрического волновода. Для иллюстрации в обоих случаях была выбрана мода с индексом т = 2.

Как было показано ранее, в случае дефокусирующей керровской среды сердцевины эффективный показатель преломления уменьшается с ростом Ш. Для гиперболической среды с £0 < 0 и ее > 0 значение параметра д изменяется обратно пеff, т.е. растет с увеличением Ш.

(a) (b)

Рисунок 2.14 — Зависимость длины затухания в единицах Л в оболочке от плотности энергии W. (а) Гиперболический волновод; (Ь) стандартный диэлектрический волновод.

В свою очередь, q ~ 1/ L^. Таким образом, с ростом W концентрация излучения в сердцевине волновода увеличивается, ширина моды уменьшается. В случае обычного диэлектрического волновода параметры neff и q изменяются одинаково, следовательно, с ростом интенсивности поля W ширина моды увеличивается, излучение проникает дальше в оболочку.

На рисунке 2.15 представлены распределения полей для моды т = 2 в гиперболическом волноводе при малом и большом значении W. Нормированная ширина сердцевины волновода полагалась hк0 = 5. Случаи (а) и (с) соответствуют W < 1 Дж/м2, n^ = 2.28. Случаи (Ь) и (d) относятся к W > 15 Дж/м2, п^ < 0.05. Представленные распределения электрических полей вне сердцевины подтверждают полученную на рис. 2.14 (а) зависимость.

Рисунок 2.16 иллюстрирует распределение поля полностью нелинейной в случае hк0 = 5 моды индекса т =1. Графики (а) and (с) соответствуют n2^ = 2.88, случаи (Ь) и (d) относятся к значению п^^^ = 1.66.

Частоты отсечки

В подразделе 2.3.2 было показано, что каждая ТМ мода в гиперболическом волноводе при £e < £i существует только в определенном частотном интервале. Таким образом, каждая мода характеризуется двумя частотами отсечки. В этом пункте будет исследована зависимость частот отсечки от плотности переносимой волной энергии. Для иллюстрации выбрана мода с индексом т = 2.

10

xk„

10

xk„

Ez [MV/m]

(o)

Hy [kA/m]

10

xk„

-2000 -1000 0 1000 2000 Ez [MV/m]

(b)

10

xk„

-5000

Hy [kA/m]

5000

(с) У)

Рисунок 2.15 — Распределение поля ТМ моды, т = 2, кк0 = 5. (а), (Ь) Электрическое поле при малой и большой интенсивности поля, соответственно; (с), (с1) Магнитное поле при малой и большой интенсивности поля.

Определим частоты отсечки как

Vc% = h ko(n2eff = 0), V^ = hko(n2eff = ee),

(2.36)

где т — индекс моды (т = 1,2,...), нормированная частота (ширина) кк0 является решением дисперсионного соотношения (2.33) при соответствующих значениях п2^. Таким образом волновод с сердцевиной ширины к удерживает ТМ моду в частотном интервале

^(d <-v(2).

h cm - ^ - h С22

(2.37)

Частоты отсечки могут быть получены из уравнения (2.33) как функции нелинейного параметра £ при подходящих значениях ) и q(п2ff). Результаты представлены на рисунке

2.17 (а). При этом начальные значения и У^' при £ = 0 были найдены из линейного случая, рассмотренного в разделе 2.2 (2.15). Изменение частот отсечки с ростом энергии поля Ш представлено на рисунке 2.17 (Ь). При построении зависимости значения диэлектри-

(e)

5

5

0

0

0

10

xk„

10

xk„

-1000

-500 Ez [MV/m]

(a)

-5^ -1500

-1000

-500

Ez [MV/m]

(b)

10

xk„

10

xk„

5000

Hy [kA/m]

(c)

Hy [kA/m]

(d)

Рисунок 2.16 — Распределение поля ТМ моды, т =1, hк0 = 5. (а), (b) Распределение электрического поля при n^ = 2.88 and n^ = 1.66 соответственно; (с), (d) Распределение магнитного поля при nIff = 2.88 и n^ = 1.66.

ческих констант были выбраны теми же, что и ранее, ек = —10-9 единиц СГС. Из рисунка

30

25

\/2) 20

c2

15

\/1>

c2 10

5

0

<f f = £e.

nlff = 0

10 20 30 40 50

2П

(a)

W [J/m2]

(b)

Рисунок 2.17 — Зависимость частот отсечки моды т = 2 от £ (а) и W (Ь)

следует, что обе частоты отсечки увеличиваются с ростом нелинейного параметра £ (или интенсивности поля). Ширина интервала ( Уст, Ут) при этом увеличивается незначительно.

5

0

0

0

5

5

0

0

0

При £ ^ 1 обе частоты стремятся к бесконечности, это означает, что в волноводе уже не возможно возбудить направленную волну.

Строго говоря, при £ = 1 для частот отсечки верно:

У^ У}*! = 0.

(2)

Поэтому функция Уст (£) непрерывна на интервале [0,1).

2.4 Влияние диссипации энергии в гиперболической среде на

свойства направленных волн

Гиперболическая среда — это, как правило, метаматериал, включающий в себя проводящие элементы. Вследствие присутствия в таких элементах свободных зарядов, для гиперболических метасред характерна диссипация энергии проходящего через них излучения. Одним из наиболее значимых свойств гиперболического волновода является возможность существования у каждой ТМ моды дополнительной частоты отсечки. Наличие и само значение этой частоты зависят от соотношения диэлектрических проницаемостей граничащих сред. Вследствие диссипации энергии на сводных зарядах значения эффективных диэлектрических проницаемостей гиперболической среды, е0, ее, становятся комплексными. Кроме того, характерная для ГС частотная дисперсия повлияет на полученные ранее дисперсионные зависимости п^(кк0) для направленных мод. Поэтому, необходимо проанализировать, как присутствие потерь в оболочке волноводной структуры, а также частотная дисперсия отразятся на найденных свойствах направленных волн.

Частоты отсечки для ТМ мод в диссипативном случае

Выполнение условий непрерывности тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей на границах раздела между оптически прозрачной сердцевиной и дисси-пативной оболочкой волновода возможно только в случае комплексной постоянной распространения волны: [3 = k0(пeff + г8). Коэффициент 8 определяет затухание поля волны в

направлении распространения. При этом для плотности энергии в линейном случае верно: Ш(г) - ехр(—2к05г).

На рисунке 2.18 представлены дисперсионные кривые для ее = 3 + 0.05г, £0 = -3.5 + 0.1 г, £1 = 4 и £ к = 0. Мнимые части £ е, £0 данного порядка могут быть получены для реальных гиперболических метаматералов без использования каких-либо дополнительных компенсационных техник [80]. На рисунке также отражены зависимости действительной и мнимой частей д от кк0. Ранее, в идеальном недиссипативном случае, частоты отсечки были

определены как значения кк0, при которых = 0 ( У^) либо

пе// = £е (Уст ). Частоту Ус можно также определить как точку, в которой = 0, это означает, что поле волны перестает

удерживаться в сердцевине волновода (2.23). Теперь, при наличии потерь энергии, частота

(2)

отсечки УСт определяется значением кк0, при котором выполнено равенство И.е(д) = 1ш(д). Физический смысл второй частоты отсечки остается прежним: волна перестает удерживаться волноводом. Частота УСт, как и ранее, определяется обращением в ноль действительного значения . На рисунке 2.18 тонкими вертикальными штриховыми линиями показано, что вторая частота отсечки совпадает с точкой пересечения зависимостей Ке(д) и 1ш(д) по оси абсцисс.

К2Ь

(2)

п

вП

4

3

2

0

0

5

10

15

Г1к

о

Рисунок 2.18 — Зависимость (сплошные линии), Ке(^) (штриховые линии) и 1ш(д) (штрих-пунктирные линии) от нормированной ширины сердцевины волновода кк0 для

первых четырех индексов мод.

Представленные на рисунке 2.18 дисперсионные кривые ¿(кк0) почти не отличаются от аналогичных в идеальном недиссипативном случае. Тенденция изменения дисперсионных кривых с ростом мнимой части диэлектрических проницаемостей ГС представлена на рисунке 2.19. Как видно из графиков, существует порог потерь энергии, при превышении которого

2

1

вторая частота отсечки Уст исчезает для всех мод, кроме моды с индексом т =1. Таким образом, дисперсионная картина становится подобной случаю, представленному на рисунке 2.8 (Ь). Этот порог зависит от разницы диэлектрических констант ег — ее.

15

(а) (Ь) (с)

Рисунок 2.19 — Дисперсионные кривые для ТМ мод волновода со значительными энергетическими потерями (красные линии): (а) 1ш(е0) = 0.5, 1ш(ее) = 0.5; (Ь) 1ш(е0) = 1.0, 1ш(ее) = 1.0; (с) 1ш(е0) = 1.5, 1ш(ее) = 1.9 и для идеального волновода (штриховые черные

линии).

4

4

4

3

3

3

2

2

2

п

п

п

2

2

2

0

0

0

Длина распространения волны

Как следует из рисунков 2.18 и 2.19 (а) присутствие малых потерь энергии не влечет за собой существенных изменений дисперсионных свойств волновода с оболочкой из гиперболической среды. Как и в случае стандартных диэлектрических или металлических волноводов, потери ведут главным образом к ограничению длины распространения волны. Эта длина может быть выражена в единицах Л как Ьр = 1 /4ж5. Зависимость Ьр от нормированной ширины волновода кк0 для нескольких первых ТМ мод представлена на рисунке 2.20. Для построения данных зависимостей значения диэлектрических проницаемостей гиперболической среды были выбраны такими же, как в статье [43], где рассматривался волновод с сердцевиной из гиперболической среды: £е = 5.97 + 0.065г, £0 = —3.44 + 0.15г. Для сердцевины рассматриваемого в данной главе волновода выбрано ег = 7. Предполагается также, что частота излучения остается неизменной.

Из представленного графика следует, что для рассматриваемого волновода с оболочкой из ГС длина распространения составляет десятки длин волн, тогда как в случае волновода, имеющего сердцевину из такой же гиперболической среды [43], длина распространения составляет меньше, чем 4 Л.

L

30 25 20 р 15 10 5 0

'Г " 4 = 5

/7.......\ / / > т = 4 \ \ \

.....т. = 2/; ' ! т = ' /77 ' ' / \т = 3 л...............V ч \ ч \ ч \

ч / \ Г \ ........Ч.............. ч

п\\

0

5

10

15

Г1к

о

Рисунок 2.20 — Зависимость длины распространения Ьр в единицах Л от нормированной ширины сердцевины волновода кк0 для первых пяти мод.

Влияние частотной дисперсии гиперболической среды

Для оценки влияния частотной дисперсии выберем модель гиперболического метама-териала следующим образом. Пусть метаматериал образован чередующимися слоями диэлектрика (БЮ2) и металла (Ag). Предположим, что исследуемый диапазон частот далек от всех характерных для диэлектрика резонансов и его проницаемость постоянна, еа = 2.13 (Я102, оптический диапазон). Дисперсию металлических компонентов определим с помощью формулы Друде-Лоренца:

= _ ш2р

£ т £ Ь

ш2 + 17Ш

где ш^ = 1.38 • 1016 рад/с — плазменная частота, 7 = 5.07 • 1013 рад/с — величина, обратная средней длине свободного пробега электрона в модели Друде, £Ь = 5 — диэлектрическая проницаемость, относящаяся к кристаллической решетке и описывающая влияние связанных зарядов [79].

В приближении эффективной среды диэлектрические проницаемости слоистого гиперболического метаматериала определяются как (1.3):

I т^т + (1 Ут) ""7 . ~с N ,

] т^ 0 + (1 I т ) £ т

где выберем ¡т = 0.4 — объемная доля металлических компонентов в структуре.

Используя данные выражения, можно получить зависимости проницаемостей £0 и ее от частоты. Результаты представлены на рисунке 2.21. Из представленных графиков следует,

50 Г 40 30 20 10 0 10 20 30 -40 -50

1 Ке(е0)

/ * —

t |>

I1

-- ---- ---- '.

¡1

200 400 600 800 1000 1200 1400 ТИ2

50

40

30

20

10

-1т(Ео) ---!т(Ее)

200 400 600 800 1000 1200 1400 Т-Ъ

(Ь)

Рисунок 2.21 — Зависимость действительных (а) и мнимых (Ь) частей е0, £е от частоты.

0

0

что поведение компоненты £е с изменением частоты схоже с поведением диэлектрической проницаемости обычного диэлектрика. Компонента £а изменяется так же, как диэлектрическая проницаемость проводника. Рассматриваемый слоистый метаматериал является гиперболическим только в определенных диапазонах: для инфракрасных частот и частот видимой области (ш < 760 ТГц), при которых £е > 0, £0 < 0, или для ультрафиолетовых, при которых £е < 0, £0 > 0 (870 < ш < 980 ТГц). Проведенный в предыдущих разделах анализ относится к первому частотному диапазону, где зависимость компонент ее, £0 от частоты незначительна и диссипация энергии, определяемая мнимыми частями данных компонент, пренебрежимо мала.

Рассмотрим дисперсионное соотношение для ТМ волн (2.14) с учетом частотной дисперсии гиперболической среды. Предполагается, что ширина сердцевины волновода постоянна и равна к =1 мкм, частота изменяется в пределах 2 ТГц < ш < 700 ТГц. Рассматривается случай, когда £г > £е на всем частотном диапазоне, £г = 5.5. Такой диэлектрической проницаемостью может обладать, например, соединение ТЮ2, прозрачное в ближнем ИК и видимом диапазонах. Его показатель преломления может принимать значения Птю2 = 1.9..2.6 в зависимости от условий производства. Дисперсионные кривые для т = 0,1,..7 представлены на рисунке 2.22. Штриховая кривая на графике показывает зависимость £е(ш). Как следует из рисунка, значения эффективного показателя преломления моды по-прежнему лежат внутри интервала

0 < < £е(ш),

72 3 вГГ

10

12

14

Рисунок 2.22 — Дисперсионные кривые для ТМ мод с учетом частотной дисперсии ГС (красные кривые) и без нее (черные кривые). Черная прерывистая линия отображает

зависимость ее(ш).

но теперь верхняя граница является функцией частоты. В частотном диапазоне, где £е меняется медленно, для каждой ТМ моды определено две частоты отсечки (первые четыре кривые на рисунке 2.22). Однако для частот вблизи резонанса, где зависимость £е(ш) значительна, вторая частота отсечки исчезает.

Частотная зависимость обыкновенной компоненты диэлектрического тензора ГС £а(ш) не влияет на факт существования второй частоты отсечки для ТМ мод. Необходимо лишь выполнение условия £а(ш) < 0. Таким образом, ТМ моды рассматриваемой волноводной структуры характеризуются двумя частота отсечки для всех частот, далеких от аномального участка зависимости £е(ш). Как правило, резонанс диэлектрической проницаемости гиперболической среды лежит в ультрафиолетовом диапазоне [11; 14; 28; 80], так что полученные в предыдущих разделах главы результаты остаются справедливыми в достаточно широком частотном интервале.

4

2

1

0

0

2

4

6

8

2.5 Выводы к Главе 2

В данной главе рассмотрены свойства направленных волн в симметричной волноводной структуре, представляющей собой диэлектрический слой, помещенный внутрь гиперболической среды. Для того, чтобы данная структура могла удерживать электромагнитное излу-

чение, необходимо полное внутреннее отражение излучения от границ раздела сердцевины и оболочки волновода. В первом разделе главы были рассмотрены основные варианты ориентации оптической оси гиперболической среды относительно границ раздела сред, а также разные типы самой гиперболической среды. Проанализировано в каких случаях и при каких условиях возможно полное отражение излучения от границ раздела. Найдено, что в случае оболочки волновода из ГС металлического типа с осью анизотропии, ориентированной вдоль нормали и в случае оболочки из ГС диэлектрического типа, но с осью анизотропии, ориентированной вдоль направления распространения волны, условие полного отражения необыкновенной волны обратно стандартному. В этих ситуациях необходимо, чтобы угол падения излучения на границу раздела сред не превышал критического значения, определяемого через соотношение диэлектрических проницаемостей ГС и диэлектрика. При этом возможен нулевой угол падения, т.е. полностью стоячая между обкладками волновода волна. Для дальнейшего анализа выбрана волноводная структура с оболочкой из гиперболической среды металлического типа. Все полученные в этом случае формулы для необыкновенной (ТМ) волны могут быть легко преобразованы к ситуации с ГС диэлектрического типа, но с осью анизотропии сонаправленной с направлением распространения волны, подстановкой

рт _, рЛ р.т _, рЛ

Ье т Ь01 ьа г ье.

Раздел 2.2 посвящен линейным модам выбранной волноводной структуры. Рассмотрены случаи ТЕ и ТМ направленных волн. Для каждого случая получено дисперсионное соотношение, связывающее нормированную постоянную распространения, или эффективный показатель преломления моды, с нормированной частотой излучения. Построены дисперсионные характеристики, отвечающие решениям данных соотношений. Дисперсионные свойства волновода как направляющей структуры для ТЕ волн сходны с аналогичными в случае волновода с металлическими стенками. Эффективный показатель преломления ТЕ волны изменяется во всем диапазоне от нуля до показателя преломления сердцевины. Каждая мода, как и в случае обычного диэлектрического волновода, имеет единственную частоту отсечки, при превышении которой она может быть возбуждена.

Ситуация значительно меняется при анализе свойств ТМ мод, которые являются необыкновенными волнами в гиперболическом окружении диэлектрического волноводного слоя. В случае, когда главная необыкновенная диэлектрическая проницаемость ГС меньше, чем диэлектрическая проницаемость сердцевины, ее < е^, определен максимальный угол падения излучения на границы сердцевины, при котором излучение еще удерживается волноводом. Это ведет к возникновению второй частоты отсечки для каждой моды: возможные направленные моды перестают аддитивно накапливаться с ростом частоты излучения (или

толщины волновода), как это имеет место в случае диэлектрических или металлических волноводов. Каждая мода удерживается волноводом только в определенном частотном интервале. При этом нулевое значение постоянной распространения также возможно. В случае £е > £г дополнительную частоту отсечки имеет только первая мода. Такое явление возникает благодаря обратному знаку сдвига Гуса-Хенхен на границе с гиперболической средой. Моды более высоких порядков не имеют второй частоты отсечки.

При достаточно мощном излучении сердцевина волновода может проявлять нелинейные свойства. В разделе 2.3 настоящей главы были рассмотрены дисперсионные свойства симметричного гиперболического волновода с учетом кубично-нелинейного отклика сердцевины. Показано, что в случае дефокусирующей среды сердцевины плотность дисперсионных характеристик на произвольно взятом частотном интервале уменьшается с ростом плотности электромагнитного поля, что означает меньшее колличество способных одновременно возбудиться мод, в случае фокусирующей среды — напротив, их число увеличивается. Поэтому для дальнейшего анализа был выбран дефокусирующий случай. Были найдены следующие особенности:

— Эффективный показатель преломления моды, отвечающий нормированной постоянной распространения моды, с ростом плотности энергии электромагнитного поля волны уменьшается, в результате достигая нулевого значения. Другими словами, волна "замирает" между обкладками волновода.

— Меняя интенсивность поля можно контролировать колличество мод, которые способен одновременно удерживать волновод заданной ширины.

— Эффективная ширина моды, или пятно моды, уменьшается с ростом интенсивности волны. Направленная волна становится более "сконцентрированной" внутри волно-водного слоя.

— Частотный интервал, определяемый двумя частотами отсечки для данной ТМ моды, медленно растет с ростом плотности переносимой энергии.

Найденные особенности рассмотренной в главе волноводной структуры характеризуют ее как перспективный компонент к реализации в микро- и нано- оптоэлектронных устройствах.

В разделе 2.4 рассмотрено влияние диссипации энергии в оболочке волновода на свойства направленных ТМ волн. Показано, что характерные для гиперболической среды мнимые составляющие ее главных компонент диэлектрического тензора не отменяют существование дополнительной частоты отсечки. Все найденные свойства сохраняются. Наличие небольших потерь энергии главным образом приводит к конечной длине распространения волны.

При значительной диссипации энергии, например, вблизи характерных для ГС резонансных частот, вторая частота отсечки исчезает.

Для практической реализации рассмотренной волноводной структуры необходимо выполнение следующих основных требований. Потери энергии в гиперболической оболочке должны быть малыми, 1ш(е0,е) < 0.1И,е(е0,е), линейная диэлектрическая проницаемость сердцевины должна превышать главную необыкновенную компоненту проницаемости гиперболической среды, ег > £е, сердцевина должна представлять собой кубично-нелинейную среду с достаточно большим модулем керровской константы ек. Рассмотренный волновод может быть реализован, например, при использовании следующих сред. В качестве гиперболической оболочки волновода могут выступать метаматериалы, образованные чередующимися субволновыми слоями Ag/SiO2, рассмотренные в [19], с объемной долей серебра 0.4. При этом диэлектрические константы принимают значения ее = 3.7 + 0.01 г, £0 = -8.8 + 0.24 (при Л = 0.75^ш). Дополнительные частоты отсечки существуют, если диэлектрическая проницаемость сердцевины превышает е. Достаточно высокими значениями диэлектрических про-ницаемостей обладают полупроводники, например £г = 11.68 13.1 (СаАэ), 9.2 (ZnSe), 4..5.5 (TiO2) (значения даны для низких частот). Кроме того, полупроводники обладают значительным нелинейным откликом: £к ~ 10-10.. 10-9 ед. СГС, что позволяет их рассматривать в качестве возможной сердцевины гиперболического волновода. При этом требуемые мощности излучения составят ~ 30..300 МВт/см.

Благодаря найденным свойствам симметричной волноводной структуры возникает интерес изучить свойства асимметричной структуры, где диэлектрик помещен между диэлектрической подложкой и покровным слоем из гиперболической среды. В этом случае за счет инвертированности условий отражения излучения от верхней и нижней границ сердцевины можно получить весьма жесткие условия для распространения конкретной волноводной ТМ моды. Что может привести к одномодовому режиму работы для нескольких поперечных конфигураций поля направленной волны.

Глава 3. Направленные моды асимметричного планарного

волновода

Данная глава посвящена теоретическому исследованию свойств направленных волн волноводной структуры, образованной диэлектриком с линейным электродинамическим откликом, помещенным на диэлектрическую подложку, которая при сильных полях проявляет кубично-нелинейный отклик, покровный слой представляет собой гиперболическую среду. Как и в Главе 2 предполагается, что тип гиперболической среды металлический, а ось анизотропии направлена вдоль нормали к границам раздела сред. Случай ТМ поляризации является более интересным, поэтому глава посвящена исключительно свойствам ТМ мод.

В первом разделе рассмотрены дисперсионные характеристики мод волновода с линейным откликом сред. Второй раздел главы учитывает нелинейный отклик подложки, что ведет при превышении мощностью излучения определенного порога к появлению дополнительного набора направленных волн, имеющих исключительно нелинейную природу. Дисперсионные соотношения получены и проанализированы в обоих случаях. Как в линейном, так и в нелинейном случае каждая ТМ мода при определенном соотношении линейных диэлектрических констант имеет дополнительную частоту отсечки. В третьем разделе показано, что так же, как и в случае симметричного волновода, незначительная диссипация энергии в гиперболической среде не влияет на факт существования дополнительной частоты отсечки, а также сравнены длины распространения мод в данных волноводах.

3.1 Асимметричный гиперболический волновод. Линейный случай

Схема рассматриваемого волновода условно представлена на рисунке 3.1. Толщина вол-новодного слоя равна к. Как и прежде, координатные оси выбраны так, что ось X направлена по нормали к границам раздела сред, а оси V и Z параллельны им (рис. 3.1). Направленные волны распространяются вдоль оси Z. Ось анизотропии направлена вдоль X. Волновод предполагается достаточно протяженным в плоскости (YZ), что позволяет не учитывать условия на его границах, так что напряженности электрического и магнитного полей не зависят от переменной у: Е = Е(у), Н = Н(у). Как и ранее, в подобной геометрии возможно незави-

симое рассмотрение волн взаимно перпендикулярных поляризаций, ТЕ и ТМ. Настоящая глава посвящена свойствам ТМ волн.

О

£е £о

Рисунок 3.1 — Схема волновода. Подложка и сердцевина представляют собой диэлектрики,

покровный слой — гиперболическая среда.

Все среды полагаются немагнитными. Линейные диэлектрические проницаемости являются кусочно-непрерывными функциями:

£о(х)

£1 X < 0,

£2 0 < х < к, £0 х > к.

£е(х)

£1 X < 0, £2 0 < х < к,

£е х > к.

(3.1)

3.1.1 Распределение электромагнитного поля и условия распространения

направленных ТМ волн

Напряженности электрического и магнитного полей представим в виде: Е(х, г,Ь) = (Ех(х),0,Ег(х))ехр(-гшЬ + 13г) и И(х,г,¿) = (0,НУ(х),0) ехр(—гшЬ + 113г), где ¡3 — постоянная распространения. Из полученной в подразделе 2.3.1 системы (2.22) можно легко вывести уравнения на распределение электрического поля в слоях структуры (рис. 3.1):

2

х < 0 —Е2 + (к1£1 - 32)Е2 = 0, 2

0 < х < к —Е2 + (^£2 - 32)Е2 = 0, (3.2)

82 ~ £

х > к — Ех + -(е0£е - 32)Ег = 0.

8 х2 е 0

Решения данных уравнений Ег (х) с учетом граничных условий при х ^ имеют

вид:

х < 0 Е^(х) = Ааерх, 0 < х < к Ё(2)(х) = В1ешх + В2е-шх, (3.3)

х>к Е13)(х) = Се-дх.

Распределение магнитного поля Ну(х) следует из (3.3) и полученного ранее выражения (2.30):

х < 0 tf« = -^A0epx, Р

кр£ 2 к

г к0£ с

0 <х < h Н^(х) = ——(BieiKX -В2е-iKX) , (3.4)

к

>h nf(x) = -«x

x > h n^' (x

где A0, B12, С — некоторые константы. В системах (3.3), (3.4) были введены положительные параметры:

Р= \jß2 - fe, q = yj £o/£e(ß2 - £e), К = \jk0)£2 - ß2.

Если к имеет комплексное значение, то решения (3.3), (3.4) описывают пару поверхностных волн.

Для того, чтобы волновод на рис. 3.1 обеспечивал распространение направленных волн, необходимо выполнение неравенств:

^£1 <ß2 < $£2, (ео/£е)(ß2 - k0,£е) > 0.

Второе неравенство может быть выполнено только в случае гиперболической среды металлического типа, для которой £0 < 0, £е > 0, при ß2 < k"^£e. Как и ранее, введем эффективный показатель преломления nef f = ß/ k0. При этом условие распространения направленных волн примет вид:

ei < nlff < min(ee, £2). (3.5)

Условия непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей на границах х = 0 их = h ведут к следующей системе уравнений:

л = В1 + В2

1—Ао = ^ (В1 В 2),

р к

Се-ф = В1е гк1г + В2е-гк1г,

%—Се-дк £2 к

—2 (ВхегкН - В2е-™н) .

(3.6)

Из первого и второго уравнений системы следует, что

В1 = А (1 + г^), В2 = А (1 -