Нахождение матрицы отклика линейной динамико-стохастической системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Мартынов, Роман Сергеевич

• Мартынов, Роман Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мартынов, Роман Сергеевич

Введение

Глава 1. Дискретная динамико-стохастическая система

1.1 Линейная дискретная система

1.2 Приближенная матрица отклика.

1.3 Приближенная матрица отклика в подпространстве.

1.4 Формулировка основных теорем.

1.5 Доказательства.

1.5.1 Вспомогательные леммы.

1.5.2 Доказательства теорем.

1.6 Алгоритм вычисления приближенной матрицы отклика

1.6.1 Вычисление матрицы отклика в режиме накопления

1.6.2 Вычислительные затраты.

1.7 Численные эксперименты.

1.8 Выводы по Главе 1.

Глава 2. Непрерывная динамико-стохастическая система

2.1 Система с непрерывным временем.

2.2 Сведение непрерывной задачи к дискретной

2.3 Диагональный случай.

2.3.1 Решение уравнения Фоккера-Планка в диагональном случае.

2.3.2 Вычисление следов матриц G и D.

2.3.3 Оценка констант теоремы 2.

2.3.4 Пример с оператором Лапласа.

2.4 Численные эксперименты.

2.5 Замечания по полученным оценкам

2.6 Выводы по Главе 2.

Глава 3. Эксперименты с баротропной моделью атмосферы

3.1 Свойства модели, подход к задаче.

3.2 Оператор линеаризованного уравнения баротропного вихря

3.3 Постановка численных экспериментов.

3.4 Результаты численных экспериментов.

3.5 Выводы по Главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нахождение матрицы отклика линейной динамико-стохастической системы»

Нахождение оператора отклика на внешнее воздействие по заданному ряду наблюдений, сгенерированному линейной динамико-стохастической системой, является важной задачей, встречающейся во многих приложениях, в том числе, при исследовании нелинейных систем.

Например /25, 45/, линейные динамико-стохастические системы могут быть успешно использованы для описания низкочастотной составляющей изменчивости атмосферы /4, 16, 30/. В работах /8, 13, 29/ показано, что для многих климатических моделей, являющихся диссипативными системами, применима Флуктуационно-Диссипативная Теорема (ФДТ), доказанная для регулярных систем /10, И/, при условии, что у климатической системы имеется аттрактор /9/ и ее поведение хаотично и имеет большое число степеней свободы. ФДТ соотносит оператор отклика системы на бесконечно малое воздействие со статистическими характеристиками системы /31, 32/ и позволяет вычислить оператор отклика по траектории невозмущенной системы. При выполнении еще некоторых дополнительных условий, накладываемых на климатическую модель, отклик системы на небольшие внешние возмущения становится линейным относительно возмущения /6, 17/.

Все известные методы, используемые для нахождения оператора отклика по конечному ряду наблюдений, который генерируется исходной линейной динамико-стохастической системой, имели по крайней мере один серьезный недостаток: для этих методов не было получено теоретических мажорантных оценок точности нахождения приближенного оператора отклика.

В диссертации рассматривается линейная дискретная динамико-стохастическая система. Предложен новый алгоритм вычисления приближенной матрицы отклика по заданному ряду наблюдений и впервые получены теоретические мажорантные оценки точности нахождения приближенной матрицы отклика в зависимости от параметров исходной системы и параметра алгоритма.

При вычислении матрицы отклика приходится решать обратную задачу, которая является плохо обусловленной и во многих случаях погрешность получается слишком большой. Для уменьшения погрешности предлагается искать отклик системы на внешнее воздействие из подпространства, что является вполне естественным, так как во многих случаях система возмущается каким-то конкретным, а не произвольным, образом. Для дискретной динамико-стохастической системы, к которой сводится вычисление матрицы отклика системы с непрерывным временем, теоретически исследована точность предложенных оценок в случае, когда система допускает разделение переменных. Качество теоретических оценок проверяется в численных экспериментах, в том числе, была рассмотрена линеаризованная модель баротропной атмосферы.

Структура и основные результаты работы

Диссертация состоит из трех глав. В главе 1 рассматривается линейная дискретная динамико-стохастическая система: и0 = О, иш - Вик - дк = fk, к> О, где ик 6 С" - n-компонентные векторы, В £ Спхп -пхп матрица системы, fk еСп - неслучайные векторы, дк 6 С" - случайные независимые векторы с конечными первыми и вторыми моментами. Для этой системы строится алгоритм по нахождению приближенной матрицы отклика, основанный на вычислении ковариационных матриц по ряду наблюдений /35, 36/. В формулу для нахождения матрицы отклика входит матрица, обратная некоторой ковариационной матрице W. Для систем большой размерности матрица W как правило оказывается очень плохо обусловленной, что ведет к большим погрешностям при её обращении. Поэтому предлагается искать матрицу отклика, действующую на векторы из заданного подпространства V. В формулу для соответствующей приближенной матрицы отклика входит матрица, обратная к сужению матрицы W на V. Если подпространство V выбрано так, что это сужение - хорошо обусловленная матрица, то вычисление приближенной матрицы отклика становится численно устойчивым. Более того, переход к задаче меньшей размерности позволяет сократить объем вычислений за счет ослабления требования к длине ряда наблюдений, необходимой для получения результата с требуемой точностью. Формулируются теоремы, в которых оценивается погрешность нахождения приближенной матрицы отклика как в случае произвольно выбранного подпространства, так и в случае, когда в качестве подпространства V берется линейная оболочка сингулярных векторов матрицы W, отвечающих ее т максимальным сингулярным числам. Доказательства теорем и вспомогательных лемм приводятся в отдельном разделе главы. Рассматриваются две возможности реализации алгоритма вычисления матрицы отклика в режиме накопления с подсчетом количества арифметических операций и объема необходимой оперативной памяти в каждом случае. В последнем разделе главы проводятся численные эксперименты с диагональными матрицами для проверки качества полученных в теоремах оценок погрешности нахождения приближенной матрицы отклика.

В главе 2 рассматривается непрерывная динамико-стохастическая система вида:

0) = 0, Au(t)-g(t) = f(t), t> О, где А - квадратная матрица порядка n, u(t), f(t) - n-компонентные векторные функции, g(t) - стационарный векторный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и постоянной спектральной плотностью 2Go. Показано, что вычисление матрицы отклика такой системы сводится к вычислению матрицы отклика дискретной системы. Подробно рассматривается случай, когда матрицы А и Go одновременно приводятся к диагональному виду некоторым ортогональным преобразованием подобия. На основе уравнения Фоккера-Планка получаются явные формулы для плотности распределения случайных векторов дк и находятся их характеристики, необходимые для получения оценки погрешности вычисления приближенной матрицы отклика. Эти результаты позволили, в частности, моделировать векторы дк и ставить численные эксперименты. В качестве модели для численных экспериментов рассматривается непрерывная система с оператором Лапласа. Для этой системы вычисляются константы, фигурирующие в оценках теоремы о погрешности вычисления приближенной матрицы отклика и проводится ряд численных экспериментов. В конце главы находится эффективная размерность системы для рассмотренной задачи с оператором Лапласа и делается вывод, что независимо от размерности системы, ее эффективная размерность мала.

В главе 3 рассматривается модель баротропной атмосферы. Описывается известный способ нахождения оператора непрерывной динамико-стохастической системы путем линеаризации исходного уравнения баротропной атмосферы относительно положения равновесия. По оператору непрерывной системы вычисляется оператор дискретной системы по методу, описанному во второй главе. Для построенной дискретной динамико-стохастической системы проводятся численные эксперименты, в которых матрица отклика ищется в двух разных подпространствах: в линейной оболочке первых т сингулярных векторов матрицы W и первых т сингулярных векторов автоковариационной матрицы системы, то есть в подпространстве главных ЕОФ-ов (естественных ортогональных функций). По результатам экспериментов сравниваются функциональные зависимости теоретической и экспериментальной погрешностей от параметров алгоритма, определяется, в каком подпространстве приближенная матрица отклика находится точнее.

В приложении 1 приводится реализация алгоритма вычисления приближенной матрицы отклика по заданному ряду наблюдений в среде MATLAB.

В приложении 2 приводятся оценки норм степеней матрицы В основе дискретного уравнения Ляпунова.

Обозначения

В диссертации используются следующие обозначения: tr{A) — след матрицы Л, сгт(А) — т-ое максимальное сингулярное число матрицы А, ||Л||2 = (Ji(Л) — вторая норма матрицы А,

1 /9

Л||р = (Е \dij\2) — норма фробениуса матрицы А,

Qnxm комплексное пространство п X т матриц,

Сп = Спх1 — комплексное пространство n-комцонентных векторов,

Р {Л} — вероятность события А,

М {ж} — математическое ожидание случайной величины х.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Мартынов, Роман Сергеевич

Основные результаты диссертационной работы

• Разработан новый алгоритм нахождения приближенной матрицы отклика на внешнее воздействие из подпространства по заданному ряду наблюдений для линейных дискретных динамико-стохастических систем.

• Получены теоретические мажорантные оценки точности нахождения приближенной матрицы отклика в подпространстве в зависимости от параметров системы, параметра алгоритма, длины ряда наблюдений и выбранного подпространства.

• Для дискретной динамико-стохастической системы, к которой сводится вычисление матрицы отклика системы с непрерывным временем, теоретически исследована точность предложенных оценок в случае, когда система допускает разделение переменных.

• Экспериментально проверена точность полученных оценок и их функциональная зависимость от параметров для различных тестовых задач.

Заключение

Для линейных дискретных динамико-стохастических систем разработан и обоснован метод нахождения приближенной матрицы отклика в подпространстве по заданному ряду наблюдений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мартынов, Роман Сергеевич, 2007 год

1. Adams J.C., et al., Fortran 90 Handbook. USA: 1992.

2. N.A. Bagrov, On the equivalent number of independent data// TV. Gidrom-eteor. Cent. 1969. №44. P. 3-11.

3. A.Yu. Bulgakov and S.K. Godunov, Circular dichotomy of the spectrum of a matrix.// Sib. Math. Zh. 1988. V. 29, №5. P. 734-744.

4. G. Branstator, Low-frequency patterns induced by stationary waves// J. Atmos. Sci. 1990. V. 47, №5. P. 629-648.

5. Ch.S. Bretherton, M. Widmann, V.P. Dymnikov, J.M. Wallage, I. Blade, The effective number of spatial degrees of freedom of a time-varying field// J. Climate. 1999. M2. P. 1990-2009.

6. G. Gallavotti, Chaotic dynamics, fluctuations, nonequilibrium ensembles// Chaos. 1998. V. 8, №2. P. 384-392.

7. A.S. Gritsoun, Fluctuation-dissipation theorem on attractors of atmospheric models// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling. 2001. V. 16, №. P. 115-133.

8. A. S. Gritsoun, G. Branstator, and V. P. Dymnikov, Construction of the linear response operator of an atmospheric general circulation model to small external forcing// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling. 2002. V. 17, №5. P. 399-416.

9. V. P. Dymnikov, A. S. Gritsoun, Climate model attractors: chaos, quasi-regularity and sensitivity to small perturbations of external forcing// Nonlinear Processes in Geophysics. 2001. M. P. 201-209.

10. R. H. Kraichnan, Classical fluctuation-relaxation theorem // Phys. Rev. 1959. V. 113, №. P. 115-133.

11. R. H. Kraichnan, Irreversible statistical mechanics of incompressible hy-dromagnetic turbulence// Phys. Rev. 1958. V. 109, №5. P. 1407-1422.

12. Anderson E., Bai Z., Bischof C., Demmel J., Dongarra J., Du Croz J., greenbaum A., Hammaling S., McKenney A., Ostrouch S., Sorensen D., LAPACK users guide. SIAM. Philadelphia. 1992.

13. С. E. Leith, Climate response and fluctuation dissipation // J.Atmos.Sci. 1975. №32. P. 2022-2026.

14. R.S.Martynov, The experimental proof of a theoretical estimate of the error in computing of the response matrix// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2007. V.22, №3. P. 221-231.

15. R.S. Martynov, Y.M. Nechepurenko, Computation of the response matrices to external actions for linear stochastic dynamical systems// International Conference "Tikhonov and Contemporary Mathematics". Moscow. 2006. P. 128-129.

16. C.Penland, P.D.Sardeshmukh, The optimal growth of sea surface temperature anomalies// J. Climate. 1995. №8. P. 1999-2024.

17. D. Ruelle, General linear response formula in statistical mechanics and the fluctuationdissipation theorem far from equilibrium// Phys. Letters A. 1998. №245. P. 220-224.

18. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П., Методы решения задач математической физики.М.-.Физм&тлит, 2002.

19. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., Численные методы, издание бторое.М.-Спб.:Физматлит Невский Диалект Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

20. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц.М.: Наука, 1966.

21. Годунов С. К., Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997.

22. Годунов С. К., Лекции по современным аспектам линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 2002.

23. Голуб Дж., Ван Лоун Ч., Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

24. Грицун А.С., Дымников В. П., Отклик баротропной атмосферы на малые внешние воздействия: теория и численные эксперименты// М.: Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35, №5. С. 565-581.

25. Зубарев А.П., Демченко П.Ф., Предсказуемость среднеглобальной температуры воздуха в простой стохастической модели взаимодействия атмосферы и океана// М.: Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1992. Т. 28, №1. С. 27-32.

26. Двайт Г.Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973.

27. Дымников В. П., Вычислительные методы в геофизической гидродинамике. М.: Отдел вычислительной математики АН СССР, 1984.

28. Дымников В. П., Филатов А.Н., Основы математической теории климата. М.: ВИНИТИ, 1994.

29. Дымников В. П., О предсказуемости изменений климата// Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1998. Т. 34, №6. С. 741-751.

30. Дымников В. П., О связи естественных ортогональных составляющих полей метеоэлементов с собственными функциями динамических операторов// Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1988. Т. 24, №. С. 675-683.

31. Дымников В.П., Володин Е.М., Галин В.Я., Глазунов А.В., Грицун А.С., Дианский Н.А., Лыкосов В.Н., Чувствительность климатической системы к малым внешним воздействиям// Метеорология и гидрология. 2004. №4. С. 77-91.

32. Дымников В.П., Володин Е.М., Галин В.Я., Глазунов А.В., Грицун А.С., Дианский Н.А., Лыкосов В.Н., Климат и его изменения: математическая теория и численное моделирование// Известия АН, Физика атмосферы и океана. 1988. Т. 24, №7. С. 675-683.

33. Кляцкин В.И., Стохастические уравнения глазами физика. М.: Физматлит, 2001.

34. Кляцкин В.И., Динамика стохастических систем. М.: Физматлит, 2002.

35. Мартынов Р.С., Нечепуренко Ю.М., О нахождении матрицы отклика линейной дискретной динамико-стохастической системы// ЖВМ и МФ. 2004. №5. С. 771-780.

36. Мартынов Р.С., Нечепуренко Ю.М., Вычисление матрицы отклика линейной дискретной динамико-стохастической системы навнешнее воздействие из подпространства //ЖВМ и МФ. 2006. №7. С. 1155-1167.

37. Мартынов Р.С., Об экспериментальной проверке оценок точности вычисления матрицы отклика линейной дискретной динамико-стохастической системы // Сборник трудов 48-й научной конференции МФТИ. 2005.

38. Марчук Г.И., Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

39. Нечепуренко Ю. М., Спектральные разложения// Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. Том 26. Казань, июнь 2004, 44 стр.

40. Нечепуренко Ю.М., Оценка нормы матричной экспоненты через норму решения уравнения Ляпунова и границы хаусдорфова множества //ЖВМ и МФ. 2002. Т. 42, №2. С. 131-141.

41. Самарский А. А., Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

42. Розанов Ю.А., Случайные процессы (краткий курс). М.: Наука, 1971.

43. Тыртышников Е.Е., Краткий курс численного анализа. М.: ВИНИТИ, 1994.

44. Тутубалин В.Н., Теория вероятностей и случайных процессов. М.: Изд-во МГУ, 1992.

45. Чавро А.И., Дымников В.П., Методы математической статистики в задачах физики атмосферы. М.: ИВМ РАН, 2000.

46. Ширяев А.Н., Вероятность, статистика, случайные процессы. М.: МГУ, 1973, 1974; Т. 1, 2.