Методы исследования чувствительности атмосферной циркуляции к малым внешним воздействиям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.29, доктор физико-математических наук Грицун, Андрей Сергеевич

• Грицун, Андрей Сергеевич
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Грицун, Андрей Сергеевич

Введение.

1. Глава 1. Аттракторы моделей атмосферы и их глобальные характеристики.

1.1. Введение.

1.2. Модели крупномасштабной динамики атмосферы и их аттракторы.

1.2.1. Основные определения.

1.2.2. Парная симметрия показателей Ляпунова.

1.2.3. Уравнение баротропного вихря на сфере.

1.2.4. Двухслойная бароклинная модель атмосферы.

1.3. Численная реализация моделей. Методы расчета показателей.

1.3.1. Численная реализация баротропной и двухслойной бароклинной моделей.

1.3.2. Методы вычисления ляпуновских показателей и статистических степеней свободы.

1.4. Результаты исследований.

1.4.1. Размерность аттрактора и число степеней свободы в баротропной модели динамики атмосферы.

1.4.2. Размерность аттрактора и число степеней свободы в двухслойной бароклигаюй модели атмосферы.

1.4.3. Парная симметрия показателей Ляпунова для баротропной модели динамики атмосферы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы исследования чувствительности атмосферной циркуляции к малым внешним воздействиям»

2.2. Методы поиска периодических траекторий.58

2.2.1. Периодические траектории и структура аттрактора.58

2.2.2. Численные методы.59

2.2.2.1. Методы Ньютона.60

2.2.2.2. Методы минимизации функционала ошибки.65

2.2.2.3. Методика выбора начальных условий.66

2.3. Результаты исследований.74

2.3.1. Периодические траектории баротропной модели.74

2.3.2. Аппроксимация статистических характеристик баротропной модели с помощью ее периодических траекторий.79

2.3.3. Связь мод изменчивости баротропной модели динамики атмосферы и ее периодических траекторий.84

2.4. Заключение.86

3. Глава 3. Операторы отклика статистических характеристик моделей динамики атмосферы на малые внешние воздействия.88

3.1. Введение.88>

3.2. Методы построения операторов отлика.94'

3.2.1. Построение операторов отклика с помощью периодических траекторий.94

3.2.2. Построение операторов отклика с помощью флуктуационно-диссипационных соотношений.97

3.2.3. Построение операторов отклика для систем с зависящей от времени правой частью.100

3.2.4. Регулярные системы и теорема Крейкнана.102

3.2.5. Линейные динамико-стохастические системы, операторы отклика и низкочастотные моды изменчивости.105

3.3. Операторы отклика и чувствительность среднего состояния моделей низкочастотной измепчивочеи атмосферы к малым внешни воздействиям.111

3.3.1. Отклик баротропной модели динамики атмосферы на внешние воздействия. 111

3.3.2. Построение приближенного оператора отклика по периодическим орбитам (баротропная модель атмосферы).119

3.3.3. Построение приближенного оператора отклика с помощью флуктуационно-диссипационных соотношений (баротропная модель атмосферы).126

3.3.4. Построение приближенного оператора отклика с помощью флуктуационно-диссипационных соотношений (двухслойная бароклинная модель атмосферы).135

3.4. Заключение.139

4. Глава 4. Отклик статистических характеристик моделей общей циркуляции атмосферы и климатической системы на малые внешние воздействия.142

4.1. Введение.142

4.2. Модели общей циркуляции атмосферы ССМО, САМЗ и ИВМ РАН.144

4.3. Методика вычисления оператора отклика.147

4.4. Описание дополнительных экспериментов.152

4.5. Отклик модели ССМО на термические воздействия.156

4.6. Построение функции влияния для Северо-Атлантической моды изменчивости-модели ССМО.175

4.7. Оптимальное воздействие, вызывающее максимальное изменение распределения синоптических вихрей в Атлантике для модели ССМО.179

4.8. Оператор отклика и поиск воздействий вызывающих заданный отклик системы (для модели ССМО).184

4.9. Сезонная изменчивость отклика модели СЛМЗ на малые внешние воздействия 186

4.10. Построение оператора отклика для модели общей циркуляции ИВМ РАН.192

4.11. Чувствительность Арктической осцилляции в модели общей циркуляции ИВМ РАН и реальной климатической системе к малым внешним воздействиям.198

4.12. Заключение.207

Заключение.210

Приложение.219

Список используемых источников.225

Введение.

Актуальность темы.

Одной из наиболее важных проблем, стоящих перед наукой в XXI столетии, является проблема предсказания климатических изменений, вызываемых человеческой деятельностью. В качестве антропогенных воздействий'на климатическую систему (КС) можно рассматривать сжигание ископаемого топлива, приводящее к изменению концентрации углекислого газа в атмосфере, изменение концентрации малых газовых примесей, контролирующих концентрацию озона в атмосфере, вырубку лесов, приводящую к изменению альбедо и процессу опустынивания, и многие другие воздействия. Специфические особенности КС как физического объекта не позволяют решать эту проблему традиционным для физики методом - целенаправленным физическим экспериментом или лабораторным моделированием. Поэтому главным инструментом исследования этой проблемы в последнее десятилетие является численное моделирование - проведение численных экспериментов с глобальными климатическими моделями и моделями общей циркуляции атмосферы (ОЦА). В ходе таких экспериментов задается некоторый сценарий воздействия на систему (размер антропогенных выбросов) и проводится расчет траектории численной модели на рассматриваемый промежуток времени (100-300 лет) ([1РСС, 2007]). Изменение средних характеристик решения (средней температуры поверхности, осадков и т.п.) по сравнению с современным состоянием служит оценкой возможных изменений реального климата в случае реализации выбранного сценария антропогенного воздействия на систему. Следует отметить, что важной частью задачи об изменении климата является проблема изменения локальных (региональных) характеристик циркуляции. Региональные изменения климата могут значительно (в несколько раз) превосходить по величине изменения их глобальных аналогов (например, рост средней за зимний сезон температуры поверхности в восточносибирском регионе России при увеличении концентрации углекислого газа в атмосфере) и быть следствием возможных изменений мод (режимов) циркуляции ([1РСС, 2007]). Таким образом, задача об изменениях климата (глобальных или региональных) решается как задача о чувствительности статистических характеристик решений систем уравнений, описывающих динамику реальной климатической системы с той или иной точностью.

Понятие «климат» определяется как набор состояний, проходимых траекторией системы за достаточно продолжительный интервал времени (30 и более лет). Поэтому, с математической точки зрения задача о чувствительности климата есть, по сути, задача о чувствительности аттрактора климатической системы (множества, на котором происходит эволюция системы) и ее инвариантной меры (равновесного распределения состояний системы на аттракторе) к изменениям параметров системы ([Дымников, Филатов, 1994; Дымников, Грицун, 2005]). Аттракторы типичных климатических атмосферных) систем обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их анализе. Во-первых, рассматриваемые системы диссипативны (дивергенция правой части моделей отрицательна и полный фазовый объем сжимается). Во-вторых, типичные атмосферные модели обладают свойством хаотичности (некоторые показатели Ляпунова системы положительны и траектории системы чувствительны к малым изменениям начальных условий, имеет место рост фазового объема вдоль неустойчивых направлений, отвечающих положительным показателям). При» этих условиях эволюция системы происходит на множестве фрактальной топологической структуры, другими словами аттрактор типичтгои атмосферной системы фракталей ([Дымников, Филатов, 1994; Дымников, Грицун, 2005]). Характерным примером такого поведения траекторий является знаменитая система Лоренца. Однако, в отличие от системы Лоренца, атмосферные системы многомерны и структура их аттракторов еще более нетривиальна. Этот факт чрезвычайно усложняет анализ динамики системы на аттракторе методами теории динамических систем (таких как использование марковских разбиений, методов символической динамики и т.п.), так что единственным доступным методом исследования аттракторов многомерных климатических систем являются численные методы и эксперименты. Примером такого исследования служат расчеты глобальных ляпуновских показателей (меры неустойчивости траектории системы на аттракторе) и размерности аттрактора системы (меры сложности ее динамики) ([Дымников, Грицун, 1996А; Дымников, Грицун, 1996Б]), приведенные в первой главе работы. Возможным способом описания фрактального аттрактора системы может быть его аппроксимация при помощи некоторых простых базовых множеств, таких как периодические орбиты. Идея этого подхода базируется на результатах теории динамических систем о возможности построения инвариантной меры системы с помощью ее периодических траекторий ([Bowen,1971; Auerbach et.al., 1987; Ruelle; 1999]). При этом статистические характеристики системы вычисляются с помощью взвешенных осреднений по соответствующим характеристикам орбит, а весовые коэффициенты определяются через характеристики неустойчивости орбит, используемых при осреднении ([Ruelle, 1999]). В результате использования данного подхода можно с хорошей точностью аппроксимировать как отдельные статистические характеристики (среднее состояние, дисперсию, моды изменчивости), так и саму инвариантную меру рассматриваемой системы. Для так называемых гиперболических систем получено строгое обоснование этого подхода ([Ruelle, 1999]). В случае моделей динамики атмосферы доказательного обоснования метода не существует, однако в ряде работ ([Gallavotti, 1988]) высказывается предположение, что при вычислении макроскопических характеристик хаотической системы с большим числом степеней свободы ее можно считать гиперболической (т.н. «хаотическая гипотеза»). Применительно к моделям динамики атмосферы задача поиска периодических траекторий нетривиальна, поскольку сводится к решению сильно нелинейной системы дифференциальных уравнений высокой размерности (равной размерности фазового пространства системы) с плохим начальным условием. Последовательное решение таких проблем, как существование периодических решений в фазовом пространстве атмосферных моделей, наличие связей между характерными режимами циркуляции и свойствами фазового пространства моделей, возможность аппроксимации циркуляции с помощью периодических движений проводится во второй главе работы на примере моделей крупномасштабной динамики атмосферы ([Gritsun, 2008; Грицун, 2010; Грицун 2011]).

Основная задача настоящей работы — разработка новых методов исследования чувствительности моделей ОЦА и реальной климатической системы к малым внешним воздействиям. В силу сказанного выше, математически эта задача может быть сформулирована как задача чувствительности аттрактора рассматриваемой системы и равновесного распределения состояний на нем по отношению к изменению параметров системы ([Дымников, Филатов, 1994]). Теорема существования линейного оператора отклика (оператора связывающего изменение статистических характеристик системы с изменениями параметров, входящих в ее уравнения) гарантируется лишь для достаточно гладких гипербол1гческих систем ([Ruelle, 1999]). В общем случае оператор отклика может не существовать (система испытывает локальную или глобальную бифуркацию при данном значении параметра) или быть нелинейным. В тоже время, с физической точки зрения можно ожидать, что система с большим числом независимых степеней свободы устойчива по отношению к малым внешним воздействиям. Это имеет место, когда глобальных бифуркаций в системе не происходит (локальные бифуркации (разрушение локальных режимов циркуляции) не оказывают заметного влияния при вычислении глобальных статистических характеристик системы).

Если уравнения динамики системы известны (как в случае, когда рассматривается модель атмосферы или климата), то задача определения оператора отклика может быть решена практически с помощью прямых численных экспериментов. Действительно, изменив на малую величину рассматриваемый параметр системы и проинтегрировав систему численно, на длительный срок можно определить ее новые статистические характеристики, а также отклик системы на данное воздействие. Проведан подобные численные эксперименты для-всех возможных наборов параметров (всех возможных значений- внешнего воздействия), можно определить оператор отклика системы - оператор связывающий изменение статистических характеристик системы с изменениями параметров, входящих в уравнения системы. Зная оператор отклика можно решить ряд важных обратных задач -построить воздействие на систему, вызывающее ее наибольший отклик (вычислив сингулярное разложение соответствующего оператора отклика) или воздействие, вызывающее заданный отклик системы (обратив оператор отклика). Следует отметить, что для современных моделей общей циркуляции атмосферы такой подход невозможен с практической точки зрения (размерность фазового пространства систем такого типа составляет величину порядка миллиона).

Аппроксимация динамики системы ее периодическими траекториями также предоставляет потенциальную возможность построения приближенных операторов отклика локальных и глобальных статистических характеристик системы на малые внешние воздействия (здесь снова используются аргументы «хаотической гипотезы» ([Са11ауоИ1, 1998])). В случае, когда инвариантная мера определяется небольшим числом слабо неустойчивых орбит, этот подход может быть значительно эффективней прямого метода. Кроме того, с его помощью решается' задача исследования локального отклика системы на заданное внешнее воздействие. В третьей части настоящей работы данный метод построения оператора отклика рассматривается на примере баротропной модели атмосферы. Показано, что с помощью подходящего выбора весовых функций орбит, используемых при вычислении средних, удается воспроизвести оператор отклика системы на малые внешние воздействия с хорошей точностью ([Сп1$ип, 2008]). Как уже отмечалось, задача поиска периодических орбит для моделей атмосферы нетривиальна (прежде всего, с вычислительной точки зрения). Поэтому в настоящее время реализация описанного выше подхода возможна лишь для моделей крупномасштабной динамики атмосферы достаточно невысокой размерности.

Перспективным альтернативным подходом является методика построения приближенного оператора отклика, основанная на применении флуктуационно-диссипационных соотношений (ФДС). Используя идею Зеемана ([гёетап, 1987]) о стохастизации (добавлении малого случайного шума в правую часть системы) исходной системы, для равновесного распределения точек на аттракторе системы можно выписать уравнение Фоккера-Планка ([Ь^кеп, 1994]), для стационарного решения которого и справедливы обобщенные ФДС ([Эеккег, Нааке, 1975]). Эти соотношения связывают оператор отклика модели на малые внешние воздействия с ее статистическими1 характеристиками и могут быть использованы при построении оператора отклика. При практической реализации метода удобно, использовать предположение о квази-нормальности равновесного распределения системы. В этом случае технология построения оператора отклика становится особенно эффективной и использует исключительно данные моделирования. Требование квази-нормальности инвариантной меры системы сужает область применимости) метода, однако, для систем с большим числом степеней свободы это, по-видимому, не является сильным ограничением (квази-нормальность достигается здесь за счет центральной предельной теоремы) ([Дымников, Грицун, 2005; Бутшкоу, Стгйяип 2002; Ма)(1а сиЦ., 2005]). В третьей части работы данный метод построения приближенного оператора отклика применяется для моделей крупномасштабной динамики атмосферы — баротропной и двухслойной бароклинной моделей атмосферы ([Дымников, Грицун, 1999; Огкзип, 2001]).В частности показано, что модели удовлетворяют требованиям применимости метода с достаточной точностью, и что с помощью данного метода удается приблизить операторы отклика моделей с точностью порядка 90-95% (для значений корреляций между ведущими сингулярными векторами рассматриваемых операторов). Отметим в заключение, что если рассматриваемая система не удовлетворяют требованию квазинормальности, то ее оператор отклика можно эффективно приблизить как методом, основанным на использовании периодических траекторий ([Кагаг^еу, 2001; СгкБип, 2008]), так и гибридным методом ([АЬгашоу, Ма]с1а, 2007]) (когда для коротких времен отклик системы вычисляется напрямую, и затем используется методика, использующая ФДС).

Как уже отмечалось, важная характерная особенность методов, основанных на ФДС, заключается в том, что они не требуют знания оператора системы. Это особенно важно для построения оценок чувствительности реальной климатической системы. Действительно, при исследовании проблемы чувствительности реальной климатической системы к антропогенным воздействиям с помощью численного моделирования возникает один очень важный вопрос, а именно, каким условиям должна удовлетворять климатическая модель, чтобы ее чувствительность по отношению к внешним воздействиям была близка к чувствительности реальной климатической системы? Качество модели оценивается, как правило, по тому, как модель воспроизводит некоторые базовые средние характеристики современного климата. Постоянное увеличение пространственного разрешения моделей, включение описания новых физических явления, улучшение существующих параметризаций физических процессов, позволяют улучшить качество современных моделей при описании наблюдаемого климата (см. [Дымников и др., 2005]). Однако достаточно, ли этого чтобы правильно воспроизвести чувствительность реальной климатической системы к внешним воздействиям, таким как изменение углекислого газа? При построении моделей климата используется большое число упрощений и параметризаций физических процессов, так что реальная динамика климата отличается от модельной динамики. Некоторые параметризации, при этом, оказывают значительное влияние на чувствительность системы по отношению к внешним воздействиям. Так, например, параметризации облачности, мелкой конвекции, и влияния аэрозоле!! на облачность в значительной степени определяют в величину отклика системы на изменение концентрации углекислого газа. В результате, современная, оценка чувствительности климата при удвоении углекислого газа по данным моделей 1РОС допускает значительный разброс и находится в,диапазоне 2-4.5 градуса ([23]) (в зависимости от того, какие именно параметризации используется в конкретной модели), при этом все используемые в расчетах 1РСС модели адекватно воспроизводят современный климат. Отметим также тот факт, что нет никакой, гарантии того, что современные модели учитывают все основные факторы, ответственные за чувствительность системы по отношешпо к изменению малых газовых примесей в атмосфере (или к каким-то другим, внешним воздействиям на систему антропогенного или естественного характера). Поэтому вопрос о построении доказательной оценки чувствительности климатической системы к внешним воздействиям не решается экспериментами с численными моделями. В этом смысле применение методики построения приближенного оператора отклика, основанной на применении ФДС и использующей лишь статистические характеристики самой системы, приобретает особое значение. 1 ем самым появляется основание надеяться на то, что чувствительность определённых характеристик реальной климатической системы к изменению внешних параметров может быть оценена непосредственно по данным наблюдений, без использования каких-либо упрощений и предположений о физических процессах, ее определяющих.

Технология построения приближенного оператора отклика по данным моделирования (с помощью ФДС) предполагает вычисление многомерных ковариационных матриц системы и их последующее обращение. Данная процедура требует высокой точности определения ковариационных матриц и представляет собой сложную вычислительную задачу. В четвертой главе работы приводятся результаты реализации данного подхода для моделей общей циркуляции атмосферы ([Дымников, Грицун, 2005; Gritsun et.al., 2002; Gritsun, Branstator, 2007; Gritsun et.al., 2008; Грицун, 2010]), таких как модели ССМ0 ([Pitcher et.al., 1982]) и САМЗ ([Collins et.al, 2006]) Национального Центра атмосферных исследований США и А4521 Института Вычислительной математики РАН ([Алексеев и др., 1998]), а также и климатических данных NCEP/NCAR ([Kalney et.al., 1996]). Используя построенные операторы отклика, удается решить ряд таких важных физических проблем как, например построение воздействий вызывающих наибольшие изменения амплитуды синоптических вихрей в северной Лтлаптике, идентификация зон возбуждения СевероАтлантической моды изменчивости в атмосфере и т.д.

Цели работы:

Построение новых конструктивных методов исследования локальных и глобальных характеристик аттракторов сложных моделей динамики атмосферы и их чувствительности к малым внешним воздействиям, пригодных для анализа современных моделей общей циркуляции атмосферы и реальной климатической системы. Решение актуальных задач теории климата с помощью построенных методов.

Методы исследований:

В работе используется ряд численных методов теории динамических систем и вычислительной математики применяемый для исследования атмосферных и климатических систем различной сложности.

Для оценки характеристик неустойчивости траекторий моделей используется метод расчета ляпуновских показателей, основанный на теореме Оселедеца. Основной метод исследования структуры аттрактора моделей динамики атмосферы заключаются в использовании неустойчивых периодических траекторий системы для аппроксимации ее аттрактора и инвариантной меры. С помощью такой аппроксимации становится возможным связать характеристики динамических и квазистационарных режимов, циркуляции системы с показателями неустойчивости соответствующих периодических (или стационарных) решений и построить приближенный оператор отклика статистических характеристик системы на малые внешние воздействия. Для нахождения периодических и стационарных решений приходится решать сильно нелинейную систему уравнений (по отношению к периоду и начальному условию искомой орбиты), при этом используется весь спектр соврехменных численных методов, включая различные обобщения метода Ньютона и различные методы минимизации функционала невязки.

Основу метода исследования чувствительности атмосферной циркуляции к малым внешним воздействиям составляет применение теории флуктуационно-диссипационных соотношений. Данный» подход в настоящее время пользуется все большей популярностью в мировой пауке. Например, в работах ([Ring, Plumb, 2008; Langen, Alexeev, 2005; Gntsun, Branstator, 2007, Gntsun et.al, 2008]) он был успешно использован для построения операторов отклика на малые внешние воздействия для различных атмосферных и климатических систем. Следует отметить, что автору принадлежат пионерские результаты по успешному применению данного подхода для анализа чувствительности атмосферных моделей. Для верификации полученных результатов используются стандартные методы оценки чувствительности атмосферной циркуляции к малым внешним воздействиям - прямые численные эксперименты с моделями атмосферы и климата.

В качестве объекта исследований использовались модели атмосферы различной степени сложности. Процедура нахождения периодических траекторий и аппроксимации аттрактора системы найденными орбитами была реализована для баротропной модели спектрального разрешения Т12 и Т21. Модель описывает основные статистические характеристики крупномасштабной компоненты реальной атмосферой циркуляции с достаточной точностью и в тоже время допускает проведение сложных вычислительных расчетов связанных с поиском неустойчивых периодических траекторий. Двухслойная квазигеострофическая модель разрешения Т21 является промежуточным звеном между баротропной моделью и моделями общей циркуляции атмосферы. Основные численные эксперименты по построению приближенных операторов отклика с помощью ФДС проводились для разработанной в ИВМ РАН модели общей циркуляции атмосферы (прошедшей всесторонне тестирование и участвовавшей в международном проекте сравнения моделей АМГР-2) ([Алексеев и др., 1998]) и для моделей атмосферы Национального центра атмосферных исследований США ССМ0 и САМЗ ([Collins et.al, 2006]).

Реализация методов построения операторов отклика и других, заявленных в работе задач, была осуществлена в виде программных комплексов на языке FORTRAN для современных вычислительных систем с использованием технологий параллельного программирования (технология MPI и т.п.).

Научная новизна:

Разработан комплекс новых методов исследования атмосферной циркуляции и ее чувствительности к малым внешним воздействиям, с помощью которого решен ряд важных практических проблем. В том числе:

1. Предложен и численно реализован метод исследования локальной структуры аттракторов моделей атмосферной циркуляции основанный на аппроксимации распределения плотности вероятности периодическими орбитами. Показано наличие связи между ведущими модами изменчивости системы и периодическими орбитами, выявлены слабо неустойчивые «невидимые» части аттрактора. Для класса атмосферных моделей установлено свойство парной симметрии показателей Ляпунова.

2. Для систем уравнений, описывающих крупномасштабную динамику атмосферной циркуляции, разработаны и исследованы различные методы построения операторов отклика их статистических характеристик на малые внешние воздействия -методы, основанные на использовании ФДС и неустойчивых периодических траекторий.

3. Разработана эффективная вычислительная технология реализации методов исследования чувствительности локальных и глобальных статистических характеристик моделей ОЦА и реальной климатической системы. С помощью численных экспериментов с моделями атмосферы показана ее высокая эффективность при решении прямых и обратных задач.

4. С помощью построенных методов решены важные физические задачи: изучена природа 25-ти дневной моды изменчивости атмосферы, исследованы механизмы возбуждения Североатлаптической моды изменчивости и синоптической изменчивости в Северной Атлантике из тропиков, построено оптимальное воздействие для возбуждения Арктической осцилляции (АО) в модели ИВМ РАН и по данным наблюдений и подтверждена гипотеза об оптимальности возбуждения АО из нижней стратосферы полярных широт. Сформулирован необходимый критерий качества моделей атмосферы при их использовании для оценок чувствительности реальной климатической системы.

Научная и практическая значимость:

С помощью разработанной технологии решается ряд практических задач:

1. Исследование устойчивости и предсказуемости локальных (региональных) свойств моделей крупномасштабной динамики атмосферы: классификация динамических режимов циркуляции в моделях динамики атмосферы (по»их близости слабонеустойчивым периодическим траекториям); возможность построения характеристик предсказуемости системы вблизи таких режимов; исследование устойчивости режимов циркуляции по отношеншо к различным воздействиям на систему и определение формы наиболее опасных воздействий (способных привести к разрушению режима и существенному измененшо структуры циркуляции системы); оценки допустимых воздействий на систему; поиск устойчивых, редко наблюдаемые режимы циркуляции, ответственных за продолжительные периоды аномальной атмосферной динамики* (примером которой может, по-видимому, служить погодная аномалия на территории европейской части РФ летом 2010г.).

2. Исследование устойчивости, предсказуемости глобальных (статистических) характеристик циркуляции моделей атмосферы и реальной климатической системы: определение наиболее опасных воздействий на систему; поиск воздействий, вызывающих заданный отклик системы; идентификация моделей атмосферы и климата по чувствительности; оценка величины и формы отклика реальной климатической системы к воздействиям определенного типа.

Личный вклад:

Все основные результаты, представленные в работе, получены автором лично. В работах 1,2,5,7,8,10-13,21,22 постановка задач и обсуждение результатов были выполнены совместно с соавторами (в работах 10-12,22 автором были выполнены исследования лишь по тематике настоящей работы). В работах 4,9,14,15 обсуждение результатов было выполнено совместно с соавторами.

Апробация:

Основные результаты работы докладывались на семинарах ИВМ РАН (2005, 2007, 2010), семинарах Geophysical Turbulence Program Национального Центра атмосферных исследований США (2000,2001), на семинарской серии математического института Куранта (2009г.), на университетских семинарах университетов гг. Мэдисон (Висконсин) (2009г.), Гамбург (2009г.), Франкфурт (2010г.).

Результаты работы были представлены на следующих международных конференциях: Генеральная ассамблея-Всемирного союза геодезии и геофизики (ШСС) (Саппоро, 2003; Перуджа, 2007г); Ассамблея Европейского геофизического1 союза (Ницца, 2004; Вена, 2006, 2009, 2010), конференции ЭГАМ ("Неустойчивые волны-и когерентные структуры", Рим, 2008; "Приложения динамических систем", Сноуберд, 2009; "Новые проблемы теории динамических систем и уравнений в частных производных", (Барселона, 2010), 16 конференция АМБ "Динамика атмосферы и океана" (Санта-Фе, 2007), 15 конференция ССБМ (Брекенридж, 2010), конференция "Дни динамики в Европе" (Геттинген, 2009), конференция "Математическая теория и моделирование в науках об атмосфере и океане" (Оберволах, 2010), Школа молодых ученых и международная конференция СГГЕ8-2009 (Красноярск, 2009), конференция "Математическая гидродинамика" (Москва, 2006), конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования" (Москва, 2005), всемирная конференция по изменению климата (Москва, 2003), конференция "Динамико-стохастические модели в атмосферных науках" (Боулдер, 2003).

Публикации:

По теме диссертации опубликованы 24 научные работы, из них 20 — в рецензируемых журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации:

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 154 названий. Работа включает 236 страниц, 12 таблиц и 97 рисунков.

1. АТТРАКТОРЫ МОДЕЛЕЙ АТМОСФЕРЫ И ИХ ГЛОБАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1.1. Введение.

Большинство современных моделей атмосферы и климата основано на системах уравнений в частных производных. В основу построения таких моделей положен ряд принципов, среди которых можно выделить следующие:

1. Модель строится таким образом, чтобы последовательно учесть все процессы, участвующие в формировании динамики атмосферы (климата), каким бы малым ни был их вклад в общую энергетику. Такой процесс построения моделей обусловлен отсутствием завершенной теории чувствительности климата к малым внешним воздействиям.

2. Предполагается, что для описания динамики атмосферы и океана справедливы уравнения Навье-Стокса сжимаемой жидкости (для описания динамики океана, как правило, используется предположение о несжимаемости).

3. В современных моделях (главным образом в силу вычислительных возможностей) используются не уравнения Навье-Стокса, а уравнения Рейнольдса - осредненные по определенным временным и пространственным масштабам уравнения Навье-Стокса с вполне определенными правилами коммутативности операторов осреднения. , •

4. Предполагается, что на определенном уровне точности принципиально возможна процедура замыкания - выражение процессов подсеточных масштабов (масштабов меньших, чем масштаб осреднения) через характеристики процессов крупных масштабов.

5. Предполагается, что локально справедливы уравнения классической равновесной термодинамики.

6. Как правило, в современных климатических моделях для описания крупных масштабов атмосферных и океанических движений используется приближение гидростатики: вертикальный градиент давления уравновешивается силой тяжести. Использование такого приближения требует еще ряда упрощений, чтобы в системе уравнений при отсутствии внешних источников энергии и диссипации выполнялся закон сохранения энергии (в частности, используется приближение постоянного радиуса Земли, исключаются" компоненты силы Кориолиса с вертикальным компонентом скорости). Приближение гидростатики сводит систему трехмерных уравнений Навье-Стокса к системе «2.5» измерений, что весьма существенно для формулирования теорем однозначной разрешимости этих уравнений на произвольном конечном интервале времени.

В результате, модель рассматриваемого класса описывается системой уравнений с частными производными и принадлежит к классу диссипативных полу динамических систем, которую, с помощью, вообще говоря, нелинейных преобразований можно привести к канонической форме:

Ф)-Ф = ^(Ф)-5Ф> (1.1) ot где Ф - вектор-функция, характеризующая состояние системы; Ф е Е, Е - фазовое пространство системы, которое считается вещественным гильбертовым пространством со скалярным произведением (•,•)=: и нормой | ' |r ; F ext ~ внешнее возбуждение, которое может зависеть от решения; S- линейный положительно определенный оператор, описывающий диссипацию в системе ((5"Ф,Ф)г > сЕ(Ф,Ф)Е ,сЕ > 0);л:(Ф) кососимметрический оператор, линейно зависящий от решения ((ЛГ(Ф)-Ф,Ф)-=0). Ясно, что при Fext,S = 0 в системе имеется квадратичный закон сохранения энергии

Э(ф,ф)-/= 0). Нетрудно также видеть, что при постоянном внешнем воздействии /dt система (1.1) является диссипативной, т.к. имеет поглощающее множество |Ф|£<тах| Fexl |Е /cz.

Теоремы глобальной разрешимости (для системы вида (1.1)) в настоящее время получены для многих моделей описывающих динамику атмосферы и океана. Первые работы, в которых были доказаны теоремы разрешимости для геофизических систем, принадлежат Г.И.Марчуку и Г.В.Демидову ([Марчук и др., 1984J). В той постановке, в которой формулируются современные модели общей циркуляции атмосферы (<т-система координат, гидростатика, сферические координаты), такой теоремы не существует. При введении дополнительной диссипации высокого порядка в правую часть модели теорему удается получить (см. [Lions et.al, 1992; Lions e.al. 1997]). Для упрощенных моделей атмосферы (баротропная, двухслойная бароклинная) теоремы о глобальной разрешимости получены в работах ([Ильин, Филатов, 1988], [Дымников, Филатов, 1994]).

Наличие у системы компактного инвариантного притягивающего множества (аттрактора) позволяет корректно вычислять статистические характеристики системы для сколь угодно большого промежутка времени (теорема Боголюбова о существовании инвариантной меры и эргодическая теорема Биргхофа). При условии эргодичности системы, статистические характеристики системы (результат осреднения по траекториям) не зависят от траектории. В этом случае, статистические характеристики системы можно определить по одной ее траектории (реализации). Таким образом, понятие «климат», как набор состояний системы за достаточно большой промежуток системы, есть по-сути аттрактор (множество возможных состояний) рассматриваемой модели с заданной на нем функцией плотности вероятности (инвариантной мерой) (если под «достаточно большим» промежутком времени понимать бесконечный промежуток времени).

Теоремы существования аттрактора в упрощенных постановках для моделей общей циркуляции атмосферы (р -система координат, упрощенные краевые условия на нижней границе, фактически сводящие систему к уравнениям несжимаемой жидкости) существуют. Трудность доказательства существования аттрактора для современных моделей, по-видимому, состоит в том, что модель атмосферы фактически не является диссипативной системой ввиду закона сохранения массы. Закон сохранения энергии (в отсутствии внешнего нагревания и диссипации) не является квадратичной формой, поскольку имеет место закон сохранения потенциальной температуры. Все это приводит к тому, что необходимо доказывать существование аттрактора на поверхностях постоянной массы, которая, в свою очередь, есть параметр задачи. В результате задача значительно усложняется. Насколько нам известно, строгие результаты для задач такого класса получены только для одномерных уравнений вязкой сжимаемой жидкости. Точнее, для этих уравнений сформулированы условия, при которых аттрактором является стационарная точка. Отметим также, что для упрощенных моделей атмосферы, таких как баротропная и двухслойная квазигеострофическая, теоремы существования аттрактора получены (см. [Ильин, 1993; Горелов 1995]).

В системы уравнений, описывающие динамику атмосферы (климата) входит большое число параметров. Поэтому возникает естественный вопрос об устойчивости аттрактора системы при изменении этих параметров. Запишем систему (1.1) через разрешающий оператор Ся(/). (где Яе А - параметр, входящий в правую часть системы):

Ф(0 = ед(0Ф(0). (1.2)

Пусть множество допустимых значений параметра представляет собой некоторый метрический компакт (например, прямоугольник или отрезок), и Ха е Л это его некоторая внутренняя точка. Будем считать, что для всех значений параметров вблизи точки \ у системы существует аттрактор Ал. Заметим, что при разных значениях Я аттракторы, вообще говоря, могут быть различными.

Имеет место следующее утверждение ([Капитанский, Костин, 1990; Корнев, 1999]). Если для любого £ > 0 существуют такие Т>0и д>0, что при] Л— Ац |< 3имеет место

СЛ(Т)-С^(Т)\<£, (1.3) то Ах -> АЛопри Я^Лд. Важно отметить, что сходимость здесь понимается в "слабом" смысле, а именно, Ал —> АЛд означает, что при Л -> Д, аттрактор возмущенной системы Ал окажется в сколь угодно малой окрестности множества А^. При этом может оказаться, что структура множеств Ал и А^ совершенно разная. Сходимость же Ад к А^ как множества (в хаусдорфовой метрике) можно гарантировать не для произвольных значений параметров, а лишь для Я^ е. Л' с= Л. При этом замыкание множества Л' совпадает с Л (Л'плотно в А). Другими словами, свойство - непрерывной зависимости аттрактора системы (1.2) от параметра Л будет иметь место не в точке Л^, а лишь в некоторой сколь угодно близкой точке Л,'. Заметим, что оценка

1.3), очевидно, будет иметь место, если для системы (1.2) доказана теорема о корректной разрешимости и непрерывной зависимости решения от параметров.

Для того чтобы гарантировать непрерывную зависимость аттрактора от параметра в произвольной точке ^необходимо, чтобы свойство (1.3) выполнялось при

Т > 0(Л,£), где 0(Л, £) это время притяжения к £ -окрестности аттрактора Ал. Таким образом, если времена притяжения к аттракторам Ал ограничены константой (не зависящей от £и Л) на некотором интервале изменения параметра Л, то имеет место непрерывная зависимость аттрактора от параметра задачи во внутренней точке интервала Л^. К сожалению, для систем уравнений, описывающих динамику атмосферы, оценки для времени притяжения 0(Л, £) не существует.

При численном решении исходная система уравнений, фазовое пространство которой бесконечномерно, по существу, заменяется на некоторую конечномерную систему. Номер галеркинского приближения (или шаг разностной схемы) можно рассматривать как параметр задачи (см., например [Дымников, Филатов, 1994]). При этом можно использовать результаты общей теоремы о непрерывной зависимости аттракторов от параметров задачи. Таким образом, можно гарантировать, например, что аттракторы аппроксимирующих систем попадет в малую окрестность аттрактора исходной системы, начиная с некоторой* размерности фазового пространства (при условии соблюдения условий аппроксимации разрешающего оператора исходной модели). Близость аттракторов в симметричной (хаусдорфовой метрике) гарантировать в общем случае нельзя. В некоторых частных случаях аттракторов простой структуры (например, если аттрактор' бесконечномерной системы состоит из объединения, неустойчивых многообразий конечного числа стационарных гиперболических точек) такая теорема, все же имеет место ([Капитанский, Костин, 1990]). При временной аппроксимации системы, обладающей аттрактором, ситуация сбудет аналогичной (см. [Капитанский, Костин, 1990; Дымников, Филатов 1994]). Например, для-крупномасштабных моделей динамики атмосферы установлено, что при использовании класса неявных и полунеявных схем по времени аттракторы аппроксимационных задач сходятся к аттрактору исходной задачи в упомянутом выше «слабом» смысле [Filatov, Ipatova, 1996; Платова, 1997]. Если бесконечномерная система обладает инерциальным многообразием (гладким множеством со свойством экспоненциального притяжения решений системы) конечной размерности, то можно утверждать, что при подходящем выборе конечномерного аналога, ее инерциальное многообразие и аттрактор будут близки к инерциальному многообразию и аттрактору ее конечномерного аналога ([Дымников, Филатов, 1994; Demengel, Ghidaglia, 1991]). Отметим, что в задачах прогноза погоды адекватность конечномерной системы исходной системе исследуется с помощью соответствующих теорем сходимости решения конечномерной системы к решению исходной дифференциальной системы наконечном интервале времени (т.е. фактически сводится к доказательству утверждения (1.3)). При этом (1.3) не гарантирует в общем случае близости аттрактора исходной системы к аттрактору ее конечномерного аналога (и, следовательно, не гарантирует адекватного описания климатических характеристик исходной системы).

Суммируя сказанное выше можно заключить, что качественное исследование каждой конкретной атмосферной (климатической) модели должно заключаться: в установлении теорем глобальной разрешимости и существования аттрактора; оценки размерности аттрактора и глобальных положительных показателей Ляпунова; исследовании структуры аттрактора и ее устойчивости по отношению к параметрам задачи. В настоящей части работы мы ограничимся исследованием упрощенных систем крупномасштабной динамики атмосферы (баротропнои, порождаемой уравнением баротропного вихря на сфере, и двухслойной бароклинной) для которых теоремы о глобальной разрешимости и существовании конечномерных аттракторов установлены. В частности, будут исследованы задачи вычисления показателей Ляпунова характеризующих неустойчивость траектории на аттракторе системы) и размерности аттрактора системы (определяющей минимальное число переменных, необходимых для описания системы). Вычисление этих характеристик аналитически не представляется возможным, ввиду того, что динамика типичных атмосферных систем сложна. Поэтому основной метод исследования характеристик аттракторов атмосферных моделей основан на численных методах.

Перейдем теперь к проблеме оценки размерности аттрактора для моделей атмосферы. Задача вычисления размерности аттрактора важна, во-первых, потому, что дает представление о сложности динамики системы и количестве независимых степеней свободы, необходимых для ее описания. Во-вторых, величина размерности важна для оценки вероятности существования так называемых режимов циркуляции ([Дымников, Филатов, 1994]). Действительно, вероятность существования многомодальных распределений на аттракторе, кажется значительно выше, если размерность аттрактора невелика. При малой размерности аттрактора весьма вероятно, что стационарные структуры в фазовом пространстве системы (например, точки) будут слабо неустойчивы и будут определять режимы циркуляции ([Дымников, Казанцев, 1993]). Напротив, если размерность аттрактора велика, то при наличии динамического хаоса функция плотности вероятности распределения состояний на аттракторе, по-видимому, будет близка к нормальному распределеншо (данный вывод в сильной степени связан с выполнением условий центральной предельной теоремы). Отметим, что для некоторых систем (в том числе для уравнения баротропного вихря на сфере) получены аналитические оценки размерности аттрактора ([Дымников, Филатов, 1994; Горелов, 1995]). Численная проверка этих оценок также является интересной 1 проблемой.

Если исходная система каким-либо образом аппроксимируется, то естественно возникает вопрос о сходимости инвариантов приближенных систем (например, галеркинских аппроксимаций исходной системы) к инвариантам исходной задачи. В частности, важной задачей здесь является изучение того, как изменяется структура аттракторов (галеркинских) приближений при изменении разрешения. Характерным примером нетривиального поведения динамики системы при изменении точности аппроксимации исходных уравнений в частных производных может служить явление V «излишнего хаоса (spurious chaos)», наблюдаемое при решении уравнении двухслойной бароклинной модели атмосферы ([Cehelsky, Tung, 1987]). А именно, при использовании небольшого числа галеркинских аппроксимаций в фазовом пространстве приближенной системы существует устойчивая стационарная точка, притягивающая все траектории системы. При увеличении числа галеркинских приближений стационарная точка теряет устойчивость, и система становится хаотической. Дальнейшее увеличение разрешения, приводит к тому, что> амплитуда колебания решения существенно уменьшается (при-этом система остается хаотической). Таким образом, имеет место немонотонная зависимость параметров1 системы от пространственного разрешения.

Другая задача состоит в исследование проблемы воспроизведения показателей Ляпунова исходной системы при ее пространственно-временной аппроксимации. Для важного класса систем, описывающих динамику атмосферы, справедливо- свойство парной симметрии показателей Ляпунова ([Дымников, Грицун, 2002]). Сам по себе этот, факт важен по разным причинам. Например, он позволяет сформулировать требования к конечномерным аппроксимациям систем уравнений, приводимость которых к гамильтоновой форме установлена.

Таким образом, круг вопросов, рассматриваемых в данной главе, связан с исследованием характеристик аттракторов (показателей Ляпунова, размерности аттрактора, равновесных спектров и преобразований энергии) для галеркинских аппроксимаций уравнения баротропного вихря на сфере и двухслойной бароклшшой модели атмосферы и их поведения при изменении пространственного разрешения и параметров задачи. Исследуется вопрос о зависимости размерности аттрактора и числа независимых степеней свободы от коэффициентов диссипации. Также рассмотрена задача о воспроизводимости свойства парной симметрии показателей Ляпунова для различных пространственно-временных аппроксимаций уравнения баротропного вихря на сфере.

Заключение диссертации по теме «Физика атмосферы и гидросферы», Грицун, Андрей Сергеевич

2.3. Результаты исследований.

2.3.1. Периодические траектории баротропной модели.

Рассмотрим проблему поиска периодических траекторий для баротропной модели динамики атмосферы (1.13) ([Gritsun, 2008; Грицун, 2010]). Будем использовать два значения пространственного разрешения - Т12 и Т21. В первом случае фазовое пространство системы имеет размерность равную 78, во втором - 231. Правую часть и орографию зададим в соответствии с п. 1.3.1. (они представлены на Рис. 1.1). Значения коэффициентов трения для модели Т12 выбраны равными а = 6.4 ■ 1 (Г' (характерное время диссипации 25дней) и и - в- КГ". В модели Т21 // = 7 ■ 10~5 (значение коэффициента «такое же, как и в модели Т12). При выбранных значениях параметров обе модели с хорошей точностью воспроизводят первые и вторые моменты циркуляции реальной атмосферы. На Рис. 1.2 (главы 1) представлено среднее состояние моделей Т12 и Т21 (вверху, справа). Видно, что оба поля близки к полю функции тока (вверху, слева) на 200мб поверхности рассчитанному по реальным данным NCEP/NCAR (19482008гг, январь). Среднеквадратичное отклонение также воспроизводится с хорошей точностью (см. Рис. 1.2, внизу). В частности, воспроизведены положения максимумов изменчивости в Атлантике и Тихом океане. Величина изменчивости занижена примерно на 20%. На рис 1.3. приведены ведущие моды изменчивости моделей. Можно сделать вывод, что воспроизводятся такие значимые структуры, как Арктическое (АО) и Тихоокеаническо-Североамериканское колебание (PNA).

При выбранных пространственных разрешениях и значениях параметров обе модели демонстрируют хаотическую динамику. Модель Т12 имеет 6 положительных показателей Ляпунова (размерность аттрактора, рассчитанная по формуле Каплана-Йорка, равна 12.5), характерное время нарастания ошибки составляет 25 дней. У* модели Т21 27 положительных показателей Ляпунова, размерность аттрактора равна 65, время роста возмущение (в e-раз) равно 7 суток. является структура матрицы соответствующей орбиты. Если)

Задача поиска периодических траекторий решалась с помощью метода Ньютона (с использованием процедур поиска вдоль ньютоновского направления и тензорной коррекции) согласно п.2.2. В результате численных экспериментов удалось найти 2300 периодических и 50 стационарных решений для модели Т12. Периоды орбит лежат в широком диапазоне (от 3 до 200 суток). Число неустойчивых направлений изменяется от 2 до 30. Таким образом, можно сделать вывод, что построенный метод поиска периодических траекторий высокоэффективен. В качестве примера, на рисунке 2.2 приведены проекции нескольких найденных орбит на плоскость двух ведущих мод изменчивости системы.

Как уже отмечалось выше наиболее «важными» являются наименее неустойчивые орбиты, поскольку траектории системы проводят в их окрестности наибольшее время. Характеристику неустойчивости (вес) орбиты vv определим согласно (2.5) как величину обратную сумме ее положительных показателей Ляпунова (т.е. как w, =l/(^]m/l^m).). Характеристики 20ти орбит с наибольшим весами и с периодами, меньшими 100 дней, приведены в таблице 2.4. В первой графе таблицы указан порядковый номер орбиты согласно убыванию и>,, во второй - ее период Tt, в третьей - число неустойчивых направлений^, соответствующих положительным показателям Ляпунова, в четвертой - вес орбиты w,.

9» . -Ü1 л

-С 41 -йч» f \

-047 -0 4» i

-С.« ) i ") -04О -С 4^4 .)

05 -DW

-сл с.»--*** •0 4*

-C.4W

-0.55 f

13 i -ОЧ

-0J7

•Ш -а ч -CJS: -o« •a«.*

-C.41

Гч V ч • . S i

•- \ ."':•:•-.• J J

-<J

Рисунок 2.2. Периодические траектории баротропной модели атмосферы Т12 (проекция на плоскость 1 и 2 ведущих мод изменчивости системы).

Заключение.

В работе получены следующие результаты. Разработан комплекс новых методов исследования атмосферной циркуляции и ее чувствительности к малым внешним воздействиям, с помощью которого решен ряд важных практических задач. В том числе:

1. Предложен и численно реализован метод исследования локальной структуры и свойств аттракторов моделей атмосферной циркуляции основанный на аппроксимации распределения плотности вероятности периодическими орбитами. В частности, для рассматриваемых систем установлено существование набора периодических траекторий, аппроксимирующих аттрактор и статистические характеристики системы Показано наличие связи между ведущими модами изменчивости системы и периодическими орбитами, выявлены слабо неустойчивые «невидимые» части аттрактора. Исследовано поведение размерности аттрактора моделей при изменении параметров системы, установлены причины возникновения явления «излишнего хаоса». Для класса моделей установлено свойство парной симметрии показателей Ляпунова.

Для галеркинских аппроксимаций уравнения баротропного вихря на сфере исследована зависимость характеристик аттрактора от пространственного разрешения задачи и параметров системы. Показано, что показатели Ляпунова и размерность аттрактора приближенных систем не зависят от разрешения, начиная с усечения ТЗО. Размерность аттрактора максимальна при промежуточном разрешении (Т15). Этот факт связан с явлением "излишнего" хаоса, причины которого исследованы при помощи анализа преобразований энергии. Локальная неустойчивость системы максимальна при усечении Т15. Показано, что при нулевом значении турбулентной вязкости сходимость размерности аттрактора при увеличении пространственного разрешения не наблюдается. Вычислены числа статистически независимых степеней свободы для полей функции тока, скорости и завихренности при различных разрешениях. Наилучшей оценкой размерности аттрактора является число степеней свободы, рассчитанное по полю завихренности.

Для класса моделей, описывающих крупномасштабную динамику атмосферы, установлено свойство парной симметрии показателей Ляпунова. Показано, что если нелинейная часть оператора системы приводится к гамильтоновой форме и диссипация имеет рэлеевский вид, то показатели Ляпунова можно упорядочить таким образом, что их сумма равна удвоенному коэффициенту рэлеевского трения с обратным знаком. С помощью численных экспериментов показано, что для системы уравнений, полученной из уравнения баротропного вихря на сфере при помощи метода Галеркина, данное свойство показателей Ляпунова выполняется с высокой точностью. Этот факт свидетельствует, что и для рассматриваемой системы приводимость к гамильтоновой форме также имеет место.

Решена задача аппроксимации аттрактора и статистических характеристик конечномерной баротропной модели атмосферы ее неустойчивыми периодическими орбитами. В частности, разработан эффективный алгоритм вычисления периодических траекторий, с помощью которого найдено несколько тысяч периодических траекторий для конечномерной баротропной модели атмосферы. Показано, что орбиты хорошо аппроксимируют аттрактор системы. Плотность распределения точек на аттракторе системы может быть с высокой точностью приближена взвешенным средним от найденных периодических решений. Весовые коэффициенты, используемые в данном осреднении, обратно пропорциональны произведениям неустойчивых мультипликаторов соответствующих орбит и вычисляются согласно теории гиперболических динамических систем. Найдено несколько слабо неустойчивых орбит, лежащих вне "фтического" аттрактора системы (лежащих в области редко посещаемой траекториями системы). Данные орбиты образуют так называемую "невидимую" часть аттрактора и могут быть важны при анализе структурной устойчивости аттрактора.

Установлена связь неустойчивых периодических траекторий баротропной модели динамики атмосферы с модами изменчивости данной системы. В частности, показано, что структура 25ти дневной моды изменчивости (ВгагЫакм-, 1987; Кл^Ьшг, 1987), возникающей как первая комплексная ортогональная функция для данной системы (и имеющая смысл доминирующей вращательной компоненты циркуляции), совпадает со структурой нескольких наименее неустойчивых периодических орбит системы. Фазовый портрет системы в плоскости первой комплексной ЭОФ имеет регулярную вращательную структуру с максимумом плотности вероятности в окрестности указанных орбит. Первая комплексная ЭОФ реальной климатической системы имеет туже структуру и тот же период, что и в рассматриваемой модели; Таким образом, есть основания утверждать, что ее природа связана с наличием характерных слабо неустойчивых орбит в системе описывающей крупномасштабную циркуляцию атмосферы.

2. Для систем уравнений, описывающих крупномасштабную динамику атмосферной циркуляции разработаны и исследованы различные методы построения и аппроксимации операторов отклика их статистических характеристик на малые внешние воздействия - методы, основанные на использовании ФДС и неустойчивых периодических траекторий. Проведено сравнение точности данных методов. Сделан вывод о возможности использования ФДС для аппроксимации операторов отклика* моделей динамики атмосферы на малые внешние воздействия.

При помощи метода Монте-Карло непосредственно вычислен оператор отклика модели баротропной атмосферы на малые внешние воздействия. Показано, ч то данный оператор можно с хорошей точностью считать линейным в широком диапазоне изменения нормы возмущения. Максимальный отклик системы (при заданной норме воздействия) близок к первой низкочастотной ЭОФ системы.

Для баротропной модели динамики атмосферы показано, что оператор отклика среднего состояния системы и других ее моментов на малые внешние воздействия может быть вычислен по неустойчивым орбитам системы. Общая идеология метода построения оператора отклика основана на аппроксимации плотности распределения точек на аттракторе системы с помощью ее неустойчивых периодических траекторий. При такой аппроксимации орбиты учитываются согласно их весу, связанному с характеристиками их неустойчивости. В этом случае удается связать изменения положения орбит в фазовом пространстве системы и изменения неустойчивых мультипликаторов и весовых коэффициентов орбит с изменениями внешнего воздействия на систему. Для рассматриваемой модели были вычислены приближенные операторы отклика среднего состояния на малые внешние воздействия для различных способов задания весовых коэффициентов (при этом использовалось порядка 2000 орбит). Показано, что при правильном выборе весовой функции удается с хорошей точностью воспроизвести структуру ведущих сингулярных векторов и чисел оператора отклика. Существенным недостатком метода является его исключительная вычислительная дороговизна - при построении оператора необходимо использовать i большое число различных периодических траекторий, поиск которых является сложной проблемой. Кроме того, вычисление самого оператора требует многократного интегрирования линеаризованной системы (в пространстве полной размерности). С другой стороны, преимуществом данного метода является возможность его использования для исследования локальной чувствительности структуры аттрактора в окрестности известных (найденных) орбит.

Для предсказания чувствительности баротропной модели атмосферы была построена линейная динамико-стохастическая модель. Показано, что наилучшая аппроксимация оператора отклика исходной системы достигается, когда низкочастотная изменчивость линейной системы совпадает с низкочастотной изменчивостью исходной системы, что эквивалентно использованию ФДС при построении оператора линейной модели.

Справедливость ФДС была установлена численно для баротропной модели атмосферы на полусфере. Было показано, что ФДС может быть успешно использована для предсказания отклика баротропной модели атмосферы на малые возмущения внешнего воздействия (корреляция между предсказанным и реальным откликами составляет 0.97, коэффициент усиления возмущения воспроизводится достаточно хорошо). Тот же вывод справедлив и для двухслойной бароклинной модели, причем, точность метода даже выше, чем в случае баротропной модели. В результате, сделан вывод о применимости данного подхода для оценки чувствительности статистических характеристик моделей общей циркуляции атмосферы к малым внешним воздействиям.

3. Разработана эффективная вычислительная технология реализации методов исследования чувствительности статистических характеристик моделей ОЦЛ и реальной климатической системы. Технология реализована для модели ИВМ РАН, моделей ССМО и САМЗ Национального центра атмосферных исследований США, данных наблюдений NCEP/NCAR. С помощью прямых численных экспериментов с люделями атмосферы показана ее высокая эффективность при решении прямых и обратных задач.

Разработан метод исследования чувствительности локальных и глобальных характеристик циркуляции (средних величин и моментов высокого порядка) сложных моделей общей циркуляции атмосферы (и в том числе реальной климатической системы). Рассмотрен как случай постоянных по времени граничных условий (радиационных притоков тепла и температуры поверхности, подстилающей поверхности) модели, так и случай периодических граничных условий (годовой и дневной цикл). Метод использует эффективную процедуру понижения размерности задачи и реализован для современных многопроцессорных вычислительных систем.

В работе всесторонне изучена возможность применения техники построения приближенного оператора отклика для полей среднего состояния и моментов более высокого порядка на примере модели общей циркуляции атмосферы ССМО Национального центра атмосферных исследований США и модели А4521.Были построены и изучены операторы отклика для таких характеристик циркуляции, как средняя функция тока и температура, средние осадки, средняя дивергенция в верхней тропосфере, изменчивость коротко- и долгопериордной компоненты функции тока, потоки тепла и момента. Для почти всех рассматриваемых примеров корреляции между наблюдаемым откликом модели (т.е. вычисленным непосредственно с помощью модели) и приближенным откликом, вычисленным с помощью ФДТ больше 0.6 (в большинстве примеров они больше 0.7). Следует отметить, что качество воспроизведения откликов для вторых моментов (изменчивости функции тока и потоков момента импульса и тепла) хуже, чем для случая первых моментов. Тем не менее, даже в этом случае результаты достаточно точны для того, чтобы использовать данную технику для построения оценок.

Обобщенная ФДС дает конструктивный метод построения приближенных операторов отклика на малые внешние воздействия для статистических характеристик моделей циркуляции атмосферы, правая часть которых содержит периодические зависимости от времени типа годового и суточного хода. В работе такая методика была реализована для модели общей циркуляции атмосферы САМЗ Национального центра атмосферных исследований США. В частности, были построены операторы отклика на малое термическое воздействие в тропиках для средних за месяц (январь, апрель, июль, октябрь) полей функции тока в верхней тропосфере. Для рассматриваемых примеров корреляции между наблюдаемым откликом модели (т.е. вычисленным непосредственно с помощью модели) и приближенным откликом, вычисленным с помощью ФДТ больше 0.7 (в большинстве примеров они больше 0.8). При этом достоверно воспроизводится глобальная структура откликов, положение минимумов и максимумов, а также их величина. Более того,1 достоверно воспроизводится сезонные изменения в отклике системы.

4. С помощью построенных методов решен ряд важных физических проблем: изучена природа 25-ти дневной моды изменчивости атмосферы, построены оптимальные воздействия, вызывающие максимальное изменение изменчивости синоптических вихрей в модели ССМО, построена функции влияния для Североатлантической моды изменчивости атмосферной циркуляции, исследованы сезонные особенности отклика модели САМЗ' на экваториальные термические воздействия, построено оптимальное воздействие для возбуждения арктической осцилляции в модели ИВМ РАН и данных наблюдений, подтверждена гипотеза об оптимальности возбуждения АО из нижней стратосферы полярных широт. Сформулирован необходимый критерий качества моделей атмосферы при их использовании для оценок чувствительности реальной климатической системы.

Важной областью применения метода построения приближенных операторов отклика с помощью ФДС является возможность решения задач чувствительности статистических характеристик системы к внешним воздействиям. В работе продемонстрировано (на примере моделей ССМО NCAR и А4521 ИВМ РАН), что такой анализ может быть успешно выполнен для построения оптимального воздействия вызывающего максимальное изменение изменчивости синоптических вихрей, а также для построения функции влияния (функции Грина) для Североатлантической моды изменчивости системы. Предложенный подход позволяет исследовать физические механизмы ответственные за формирование оптимальных откликов системы. Также показана высокая точность метода для решения обратных задач - поиска воздействий, вызывающих заданное изменение статистических характеристик системы. С помощью разработанной методики построено оптимальное воздействие для возбуждения арктической осцилляции в модели ИВМ РАН и в данных наблюдений. Оказалось, что максимум воздействия сосредоточен именно в нижней стратосфере полярных широт, что согласуется с результатами прямых экспериментов. Кроме того, было показано, что данное воздействие близко по структуре к оптимальному (т.е. к первому правому сингулярному вектору приближенного оператора отклика). Это означает, что процесс возбуждения АО в системе является важным фактором, определяющим ее чувствительность. Аналогичным образом был построен оператор отклика реальной климатической системы (по данным реанализа NCEP/NCAR за 1948-2002гг). , Оказалось, что воздействие, оптимальным образом возбуждающие отклик климатической системы вдоль АО близко к воздействию, полученному для модели ИВМ РАН. Таким образом, по-видимому, можно сделать вывод, что и в реальной климатической системе АО оптимальным образом возбуждается из нижней стратосферы полярных широт.

Благодарности. Докладчик выражает искреннюю признательность В.П. Дымникову за плодотворную совместную работу и дискуссии по многим проблемам исследования и Г. Бранстатору за многолетнее плодотворное научное сотрудничество. Для большинства вычислений использовались компьютерные ресурсы МСЦ РАН.

Список работ автора по теме диссертации, опубликованных в рецензируемых изданиях из списка ВАК.

1. Дымпиков В.П., А.С.Грицун, Ляпуновские показатели и размерность аттрактора двухслойной бароклинной модели атмосферной циркуляции // Доклады РАН. 1996. Т.347, №4. С. 535-538.

2. Дымников В.П., Грпцун A.C., Баротропная неустойчивость и структура низкочастотной изменчивости циркуляции, порождаемой двухслойной бароклинной моделью атмосферы// Известия РАН, ФАиО. 1996. Т.32, №5. С. 535-538.

3. A.Gritsun, On the structure of the finite-dimensional approximations of the barotropic vorticity equation on a rotating sphere // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1997. V.12, №1. P. 13-33.

4. Грицун A.C., Дымников В.П. Отклик баротропиой атмосферы на малые внешние воздействия. Теория и численные эксперименты // Известия РАН, ФАиО. 1999. Т.35, №5. С. 511-525.

5. Дымников В.П., Грицун А.С., Парная симметрия глобальных показателей Ляпунова для моделей динамики атмосферы // Известия РАН, ФАиО. 2001. Т.37, №3. С. 269-274.

6. A.Gritsun, Fluctions-dissipation theorem on attractors of atmospheric model // Russ. J. Numer. And. Math. Modelling. 2001. V.16, №2. P. 115-133.

7. V.P. Dymnikov, A.S. Gritsun, Climate model attractors: chaos, quasi-regularity and sensitivity to small perturbations of external forcing // Nonlinear proc. in geophysics. 2001. V.8, №4/5. P. 201-209.

8. V.P. Dymnikov, A.S. Gritsun, Chaotic attractors of atmospheric models // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2002. V.17, №3. P. 249-281.

9. A.Gritsun, V.Dymnikov, G.Branstator, Construction of a linear response operator of an atmospheric general circulation model to small external forcing // Russ J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2002. V.17, №5. P. 399-416.

10. Дымников В., E. Володин, В.Галин, А.Глазунов, А. Грицун, Н.Дианский, В. Лыкосов, Климат и его изменения: математсгческая теория и численное моделирование // Сибирский журнал вычислительной математики. 2003. Т.8, №4. С. 347-379.

11. Dymnikov V.P., Diansky N.A., Galin V.Ya, Glazunov A.V., Gritsoun A.S., Lykossov V.N., Volodin E.M., Modelling the climate system response to small external forcing // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2004. V.19, №2. P. 131-162.

12. Дымников В.П., Е.М.Володин, В.Я. Галин, А.В. Глазунов, А.С.Грицун, Н.А. Дианский, В.Н. Лыкосов, 2004, Чувствительность климатической системы к малым внешним воздействиям // Метеорология и гидрология. 2004. №4. С. 77-91.

13. Дымников В.П., Грицун А.С. Современные проблемы математической теории климата// Известия РАН серия, ФАиО. 2005. Т.41, №3. С. 294-314.

14. A.Gritsun, G.Branstator, Climate Response Using a Three-Dimensional Operator Based on the Fluctuation-Dissipation Theorem // Journal of Atmos. Sci., 2007, V.64, P. 2558-2575.

15. Gritsun A., Branstator G., Majda A., Climate response of linear and quadratic functionals using the fluctuation-dissipation theorem // Journal of Atmos.Sci. 2008. V.65. P. 2824-2841.

16. Gritsun A.S. Unstable periodic trajectories of a barotropic model of the atmosphere // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2008. V.23, №4. P.345-367.

17. Грицун А., Связь периодических траекторий и мод изменчивости баротропной модели крупномасштабной динамики атмосферы // Доклады АН, 2011, Т.438, №1.

18. Грицун А., Статистические характеристики баротропной модели атмосферы и ее неустойчивые периодические решения // Доклады АН. 2010. Т.435, №6. С. 810-814.

19. Gritsun A., Unstable periodic orbits and sensitivity of the barotropic model of the atmosphere// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2010. V.25, №4. P. 303-321.

20. Грицун А., Построение операторов отклика на малые внешние воздействия для моделей общей циркуляции атмосферы с периодическими по времени правыми частями// Изв. РАН. ФАиО, 2010, Т.46, №6, С. 808-817.

Другие работы автора по теме диссертации.

21. Дымников В.П., Грицун А.С., Хаотические аттракторы климатических моделей, М.: Препринт ИВМ РАН N293/2000. 2000. 52С.

22. Дымников В.П., Е.М.Володин, В.Я. Галин, А.В. Глазунов, А.С.Грицун, Н.А. Дианский, В.Н. Лыкосов, М.А.Толстых, А.И.Чавро, Моделирование климата и его изменений, Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Т.2, М.: Наука. 2005. 404 стр. (С.36-174).

23. Gritsun A., Comments on "On the diagnosis of climate sensitivity using observations of fluctuations" by D. Kirk-Davidoff// Atmos.Chem. Phys. Discuss. 2008. V.8. S5939-S5944.

24. Gritsun A., Estimation of the sensitivity of atmospheric systems using fluctuation-dissipation theorem and unstable periodic orbits // Oberwolfach reports. 2010. V.7, issue 4. P. 2027-2099 (Mathematical Theory and Modelling in Atmosphere-Ocean-Science. Report No. 34//2010, DOI: 10.417l/OWR/2010/34).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Грицун, Андрей Сергеевич, 2011 год

1. Алексеев В.А., Володин Е.М., Галин В.Я., Дымников В.П., Лыкосов В.Н. Моделирование современного климата с помощью атмосферной модели ИВМ РАН. Препринт ИВМ N2086-B98, 1998, 180 с.

2. Арнольд В.И., Математические методы классической механики, М.: Наука, 431 е.,1974.

3. Бабин A.B., Вишик М.И. Неустойчивые инвариантные множества полугруппнелинейных операторов и пх возмущения// Успехи мат.наук. 1986. Т.41, №4. С.3-33.

4. Галин В.Я., Параметризация радиационных процесов в атмосферной модели ИВМ. Известия АН. Физика атмосферы и океана, 1998, т.34, с.380-389.

5. Горелов A.C. Размерность аттрактора бароклинной модели, 1995.Доклады РАН, т.342, №1, с.101-104

6. Горелов A.C., Филатов А.Н., 1991, Инерциальные многообразия уравнений баротропной атмосферы, ДАН СССР, т. 318, N.6

7. Грицун А., 2010, Статистические характеристики баротропной модели атмосферы и ее неустойчивые периодические решения, Доклады Академии наук, Геофизика, т.435, N6, с.810-814.

8. Грицун A.C., Дымников В.П. Отклик баротропной атмосферы на малые внешние воздействия. Теория и численные эксперименты// Известия РАН, ФАиО. 1999. Т.35, N5, с.511-525.

9. Грицун А., Построение операторов отклика на малые внешние воздействия для моделей общей циркуляции атмосферы с периодическими по времени правыми частями// Изв. РАН. ФАиО, 2010, Т.46, №6, С. 808-817.

10. Должанскии Ф.В., Кляцкин В.И., Обухов А.М., Чусов М.А., Нелинейные системы гидродинамического типа, М.: Наука, 160 е., 1974.

11. В.Н.Дымннков, 1988, О связи естественных ортогональных составляющих полей метеоэлементов с собственными функциями динамических операторов, Известия. АН СССР, ФАиО, т.24, н.7, с.675-683

12. Дымников В.П., Казанцев Е.В., Харин В.В., Изв. АН СССР, ФАиО, 1990, т.26, N4, 339-349.

13. Дымников В.П.,Филатов Л.Н., 1994,Основы математической теории климата, М.: ВИНИТИ, 252 с.

14. Дымников В.П.,Казанцев Е.В.,1993,0 структуре аттрактора порождаемого системой уравнений баротропной атмосферы. Изв. РАН, ФАиО, N5.

15. Дымников В.П., А.С.Грицун, 1996, Ляпуновские показатели и размерность аттрактора двуслойной бароклинной модели атмосферной циркуляции, Доклады РАН, т.347, N4,c.535-538

16. Дымников В.П., Грицун A.C., 1996, Баротропная неустойчивость и структура низкочастотной изменчивости циркуляции, порождаемой двухслойной бароклинной моделью атмосферы, Известия РАН, ФАиО, т.32, N5, с.535-538.

17. Дымников В.П., Грицун A.C., Парная симметрия глобальных показателей Ляпунова для моделей динамики атмосферы, Известия РАН. ФАиО, 2001, т.37, N3, с.269-274.

18. Дымников В.П., Грицун A.C., Хаотические аттракторы климатических моделей. Препринт ИВМ РАН N293/200, 2000, 52с.

19. Дымников В.П., Грицун A.C. Современные проблемы математической теории климата// Известия РАН серия ФАиО. 2005, т.41, N3, с.294—314

20. Дымников В.П., Володин Е.М., Галин В.Я., Глазунов A.B., Грицун A.C., Дианский H.A., Лыкосов В.Н. Чувствительность климатической системы к малым внешним воздействиям Метеорология и климатология, 2004, No. 4, с. 77-92

21. Дымников В.П., Володин Е.В., Глазунов А.В, Галин В.Я, Грицун А.С, 2005, Моделирование климата и его изменений //Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования, т.2, М.: Наука.

22. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А., Гамильтонов формализм для нелинейных волн, 1997, Успехи физических наук, т.167, №11, с.1137-1166

23. Ильин A.A., Филатов А.Н., 1987, Уравнения Навье-Стокса на сфере. Устойчивость стационарных решений, Математич. физика, межвуз. сборник научных трудов, Л., стр. 128-146.

24. Ильин A.A., Филатов А.Н. Уравнения Навье-Стокса на двумерной сфере и их однозначная разрешимость// Доклады АН СССР. 1988. Т.301, №1, С. 18-22.

25. Ильин А.А.,1993, Частично диссипативные полугруппы, порождаемые системой Навье-Стокса на двумерных многообразиях, и их аттракторы, Мат.сб., т. 184, №1, с. 55-88.

26. Ипатова В.М., Об аттракторах аппроксимаций неавтономных эволюционных уравнений// Мат. сборник.1997. т.188. №6. С.47-56.

27. Капитанский Л.В., Костин И.Н., 1990,Аттракторы нелинейных эволюционных уравнений и их аппроксимация, Алгебра и анализ, т.2, вып.1, с. 114-140.

28. Корнев A.A., Об одном критерии полной непрерывности аттрактора по параметру для некоторого класса полудинамических систем. Доклады РАН, 1999, Т.369, №5. с.597-599.

29. Ладыженская O.A. Решение в "целом" краевой задачи для уравнений Навье-Стокса в случае двух пространственных переменных// Доклады АН СССР. 1958. Т. 123, N3. С.427-429.

30. Ладыженская O.A. О динамической системе, порожденной уравнениями Навье-Стокса//Зап. науч. семинара ЛОМИ. 1972. Т.27. С.91-114.

31. Ладыженская O.A. О конечномерности ограниченных инвариантных множеств для системы Навье-Стокса и других диссипативных систем// Записки науч. семинара ЛОМИ. 1982. Т.115. С.137-155.

32. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. и др., Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана, Л.: Гидрометеоиздат, 320 е., 1984.

33. Монин A.C., Теоретические основы геофизической гидродинамики, Л.: Гидрометеоиздат, 423 е., 1988.

34. Оселедец В.И., 1969,Мультипликативная эргодическая теорема, характеристические показатели Ляпунова динамических систем, Труды моек. мат. общества, т. 19, с. 179210.

35. Лесин Я.Б., 1977, Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория, УМН 32,N.l,c. 4-55.

36. Сухоносов В.И. О разрешимости в целом трехмерной задачи динамики атмосферы// Численные методы механики сплошной среды. 1980. Т.11, №4. С. 122-144.

37. Сухоносов В.И. О корректности в целом краевых задач для моделей динамики атмосферы и океана// ДАН СССР. 1983. Т.269, N3. С.556-560.

38. Abramov R., A. Majda, Blended response algorithms for linear fluctuation-dissipation for complex nonlinear dynamical systems, Nonlinearity, 2007, v.20, 2793-2821.

39. Arakawa A., Lamb V.R., A potential enstrophy and energy conserving scheme for shallow water equations. Mon Wea.Rev., 1981, v.109, p.18-36.

40. Auerbach D., P. Cvitanovic, J.-P. Eckmann, G. Gunaratne, and LProcaccia, 1987, Exploring chaotic motion through periodic orbits, Phys. Rev. Lett., 58, 2387-2389.

41. Bader В., 2005, Tenzor-Krylov methods for solving large-scale systems of nonlinear equations, SIAM J.Numer. Analysis, v.43, p. 1321-1347.

42. Bader, J., Latif M. The impact of decadal-scale Indian Ocean SST anomalies on Sahelian rainfall and the North Atlantic Oscillation // Geophys. Res. Lett. 2003. v.30. P.2169

43. Barsugli J.J., Sardeshmukh P.D. Global Atmospheric Sensitivity to Tropical SST anomalies throughout the Indo-Pacific Basin //J. Climate. 2002. v. 15. P. 3427-3442.

44. Bell, T. L. Climate sensitivity from uctuation dissipation: Simple model tests // J. Atmos. Sci. 1980. v.37. P.1700—1707.

45. Berner J., Branstatator, G., 2007, Linear and nonlinear signatures in the planetary wave dynamics of an AGCM: phase space tendencies, Journal of Atmos.Sci., 64, 117-136.

46. Betts A.K., A new convective adjustment scheme. Part I. Observational and theoretical basis. Quart. J. Roy. Met. Soc., 1986, v.112, 677-691.

47. Biham, O., Wenzel, W., 1898, Characterization of unstable periodic orbits in chaotic attractors and repellers, Phys. Rev.Lett., 63, 819-822.

48. R.Bowen, 1971, Periodic points and measures for axiom A diffeomorphisms, Trans. Amer. Math. Soc., 154, p.377-397.

49. Blade I., 1996, On the Relationship of Barotiopic Singular Modes to the Low-Frequency Variability of a General Circulation Model, J. Atmos.Sci, 53, 2393-2399.

50. R.Bowen, 1972, Periodic orbits for hyperbolic flows, Amer. J.Math., 94, p.1-30.

51. Branstator G., Low-frequency patterns induced by stationary waves, 1990, J.Atmos.Sci., v.47, p.629-648

52. Branstator G., A striking example of the atmosphere's leading travelling pattern // J. Atmos. Sci., 1987. 44, N16 p.2310-2333.

53. Branstator, G. Circumglobai Teleconnections, the Jet Stream Waveguide, and the North Atlantic Oscillation //J. of Climate. 2002. v. 15. P. 1893--1910.

54. Branstator, G., Haupt S.E. An empirical model of barotropic atmospheric dynamics and its response to tropical forcing // J. Climate. 1998. v. 11. P. 2645-2667.

55. Bretherton C., M.Widmann, V.Dymnikov, J.Wallace, LBlade, The effective number of spacial degrees of freedom of a time-vaiying field, J.of Climate, 1999, v. 12, N7, 19902009.

56. Cehelsky P., Tung K.K.,1987, Theories of multiple equilibria and weather regimes- a-critical reexamination. Part II: Baroclinic two-layer models., Journal of Atmos. Sci.,Vol.44,P.3282-3303

57. Charney, J., De Vore, J., 1979, Multiple flow equilibria in the atmosphere and blocking, Journal of Atmos.Sci., 36, 1205-1216.

58. Collins W.D., P.J. Rasch, B.A. Boville, J.J. Hack, J.R. McCaa, D.L. Williamson, B.P. Briegleb, The formulation and atmospheric simulation of the community atmosphere model version 3 (CAM3) // J. Climate, 2006, v. 19, P.2144-2161.

59. Crofts J.J., R. Davidchack, 2006, Efficient detection of periodic orbits in chaotic systems by stabilising transformations SLAM Journal of Scientific Computing, 28, 1275-1288.

60. Crommelin D.T., 2004, Regime Transitions and Heteroclinic Connections in a Barotropic Atmosphere, Journal of Atmos.Sci., 60, 229-246.

61. Davidchack R., Y.-C. Lai, 1999, Efficient algorithm for detecting unstable periodic orbits m chaotic systems, Phys. Rev. E,60, 6172-6175

62. Deker U., Haake F., Fluctuation-dissipation theorems for classical processes. Phys. Rev, 1975, v.All, p.2043-2056

63. Dettmann C.P., Morris G.P., Proof of Lyapunov exponent pairing for systems at constant kinetic energy, 1996, Physical review E, N53, p.5541-5544.

64. Dressier U., Simmetry property of the Lyapunov spectra of a class of dissipative systems with viscous damping, 1988, Physical Review A, v.38, N4, p.2103-2109.

65. Dymnikov V.P., A.S.Gritsun, On the structure of the attractors of the finite-dimensional approximations of the barotropic vorticity equation on a rotating sphere, 1997, Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, v.12, N1, p.13-32.

66. Dymnikov V., Ch. Kazantsev, E. Kazantsev, 2000, On the "genetic memory" of chaotic attractor of the barotropic ocean model, Chaos, Solitons and Fractals, 11(4), p.507-532.

67. Dymnikov V.P., A.S. Gritsun, Climate model attractors: chaos, quasi-regularity and sensitivity to small perturbations of external forcing // Nonlinear processes in geophysics, 2001, v.8, N4-5, p.201-209.

68. Dymnikov V.P., A.S. Gritsun, Chaotic attractors of atmospheric models. Rus. J. of Num. Anal, and Math. Modelling, 2002, v. 17, N3, p.249-281.

69. Eckmann J.-P.,Ruelle D.,1985, Ergodic theory of chaos and strange attractors.,Rev. Modern Phys.,57,N3, 617-656

70. Eckhardt B., G. Ott, Z. Phys., 1994, B 93 259-266.

71. Franzke C., A. Majda, E. Vanden-Eijnden, 2005, Low-Order Stochastic Mode Reduction for a Realistic Barotropic Model Climate, J. Atmos. Sci., 62, p. 1722-1745.

72. Filatov A.N., Ipatova V.M., On globally stable difference schemes for barotropic vorticity equation on a sphere // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1996, V.ll. N1. P. 1-26.

73. Frederiksen J.S., M.R.Dix, S.M.Kepert, 1995, Systematic energy errors and the tendancy toward canonical equilibrium in Atmospheric circulation models, JAS, v.53, N.6, p.887-904

74. Gallavotti G., 1998, Chaotic dynamics, fluctuations, nonequilibrium ensembles, Chaos, 8, N2, 384-392.

75. Geisler, J. E., M. L. Blackmon, G. T. Bates, Munoz S. Sensitivity of January climate response to the magnitude and position of equatorial Pacific sea surface temperature anomalies // J. Atmos. Sci. 1988. v.42. P. 1037—1149

76. Gershgorin, Majda A.J., Test Model for Fluctuation-Dissipation Theorems with Time Periodic Statistics // Physica D, accepted.

77. Grimm, A. M., Silva-Dias P.L. Analysis of tropical-extratropical interactions with influence functions of a barotropic model//J. Atmos. Sci. 1995. v.52. P.3538-3555.

78. Gritsun A., Unstable periodic trajectories of a barotropic model of the atmosphere // Rus. J. of Num. Anal. Math. Modelling, 2008, v.23, N4, 345-367

79. Gritsoun A.S., V.P.Dymnikov, Barotropic atmosphere response to small external actions. Theory and numerical experiments, Izvestia, Atmospheric and Oceanic phys., 1999, v.35, N.5, 511-525.

80. Gritsoun A.S., Fluctuation-dissipation theorem on the attractors of atmospheric models. Russ. J. Numer. Analysis Math. Modelling, 2001, v.16, N2, p.115-133.

81. Gritsoun A.S., Branstator G., Dymnikov V.P., Construction of the linear response operator of an atmospheric general circulation model to small external forcing. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2002, v. 17, p.399-416.

82. Gritsun A., Unstable periodic trajectories of a barotropic model of the atmosphere, Rus. J. of Num. Anal, and Math. Modelling, 2008, v.23, N4, 345-367.

83. Gritsun A., Comments on "On the diagnosis of climate sensitivity using observations of fluctuations" by D. Kirk-Davidoff, Atmos.Chem. Phys. Discuss., 2008, v.8, S5939-S5944

84. Gritsun A., Branstator G., Climate response using a three-dimensional operator based on the fluctuation-dissipation theorem // Journal of Atmospheric Sciences, 2007, v. 64. P.2558-2575.

85. Gritsun A., Branstator G., Majda A.J. ,Climate response of linear and quadratic functionals using the fluctuation-dissipation theorem // Journal of Atmospheric Sciences, 2008, v.65, P.2824-2841.

86. Grotjahn, 1987, Three-Dimensional linear instability on a sphere: resolution experiments with a model using vertical orthogonal basis functions, JAS, v.44, N.24, p.3734-3752

87. Gusakov I.V.,Rotin, S.V., 2001, On the search for unstable periodic solutions of nonlinear dynamical systems, Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 16(2), 135-156.

88. Hairer, M., Mattingly J.C. Er.godic properties of highly degenerate 2D stochastic Navier-Stokes equations // Comptes Rendus Mathematique. Academie des Sciences. 2004. v. 339. P.879-82.

89. Held, I.M., S.W. Lyons, Nigam S. Transients and the Extratropical Response to El Nino // J. Atmos. Sci. 1989. v.46. P. 163-174.

90. Hines C.O., Doppler spread parameterization of gravity wave momentum deposition in the middle atmosphere. Part 2. Broad and quasimonochromatic spectia, and implementation. J. Atm. Sol. Terr. Phys., 1997, v.59, p.387-400.

91. Hoerling, M.P., Ting M. Organization of Extratropical Transients during El Nino // J. Climate. 1994. v. 7. P. 745-66.

92. Ilyashenko, Yu., EQUADEFF 2003, 421-428, World Sci. Publ., Hackensack, NJ.

93. Ilyin A. A. On the dimension of attractors for Navier-Stokes equations on two-dimensional compact manifolds// Diff. and Integral equat. 1993. V.6, N1. P. 183-214.

94. IPCC Fourth Assessment Report: Climate Change 2007 (AR4), http://www.ipcc.ch/publications and data/publications and data reports.htm

95. Kaplan J.L.,Yorke J.A.,1979,Chaotic behaviour in multidimensional diffeience equations., Lecture notes in mathematics, 1

96. A.Katok, B.Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge university press, 1995.

97. Kawahara, G. and Kida, S., 2001, Periodic motion embedded in plane Couette turbulence: regeneration cycle and burst, J. Fluid Mechanics, 449, 291-300.

98. Kazantsev, E., 1998, Unstable periodic orbits and attractor of the barotropic ocean model, Nonlinear processes in Geophysics, 5,193-208.

99. Kazantsev, E., 2001, Sensitivity of the barotropic ocean model to external influences: approach by unstable periodic orbits, Nonlinear processes in Geophysics, 8, 281-300.

100. Kelley C.T., Q. Xue, 1993, Inexact Newton methods for singular problems, Optimization Methods and Software, 2, p. 249—267.

101. Kelley C.T., 1995, Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations, Frontiers in Applied Mathematics, N16, SIAM, Philadelphia.

102. Kelley C.T., 1999, Iterative Methods for Optimization, Frontiers in Applied Mathematics, N18, SIAM, Philadelphia.

103. Kelley C.T., Solving Nonlinear Equations with Newton's Method, 2003, Fundamental Algorithms for Numerical Calculations, N1, SIAM, Philadelphia.

104. Kok, C.J., Opsteegh J.D. Possible Causes of Anomalies in Seasonal Mean Circulation Patterns during the 1982-83 El Nino Event//J. Atmos. Sci. 1985. v.42. P. 677-694.

105. Kraichnan R., Classical fluctuation-relaxation theorem. Phys. rev., 1959, v. 113, p.1181-1182.

106. Kushnir Y., Retrograding wintertime low-frequency disturbances over the north Pacific ocean //J. Atmos. Sci. 1987. 44, N19 p.2727-2742.

107. Ladyzhenskaia O.A., On the determination of minimal global attractors for the Navier-Stokes and other partial differential equations, Uspekhi Mat. Nauk, 1987, v.42, N6, 25-60.

108. Lan Y., P.Cvitanovic, 2004, Variational method for finding periodic orbits in a general flow, Phys. Rev. E 69, 016217.

109. Langen, P.L., V.A. Alexeev, Estimating 2 x CO2 warming in an aquaplanet GCM using the fluctuation-dissipation theorem // Geophysical Research Letters, 2005, 32(23), L23708

110. Legras B., Ghil, M., 1985, Persistent anomalies, blocking and variations in atmospheric predictability, Journal of Atmos.Sci., 42, 433-471.

111. Leith, C. E. Climate response and uctuation dissipation // J. Atmos. Sci. 1975. 32. P. 2022-2026.

112. Li,S., M. P. Hoeriing, S. Peng, Weickmann K.M. The annular response to tropical Pacific SST forcing // J.Climate. 2006. v. 19. P. 1802-1819.

113. Lions J.L., Temam R., Wang S. New formalities of the primitive equations of atmosphere and applications//Nonlinearity. 1992.V.5. P. 1007-1053.

114. Lions J.L., Manley O.P., Temam R., Wang S. Physical Interpretation of the attractor dimension for the primitive equations of atmospheric circulation// J.Atmos.Sci. 1997. V.54, N9. P. 1137-1143.

115. Lorenz, E„ J. Atmos. Sci., 20, 130-141, 1963

116. Magnusdottir, G., C. Deser, Saravanan R. The effects of North Atlantic SST and sea-ice anomalies on the winter circulation in CCM3 // J. Climate. 2004. v. 17. P. 857-876.

117. Majda, A., Abramov R., Grote M. Information Theory and Stochastics for Mul-tiscale Nonlinear Systems // CRM Monograph Series. 2005. 25. American Mathematical Society. P 1-133.

118. Majda A.J., Wang X., Linear response theory for statistical ensembles in complex systems with time-periodic forcing // Comm. Math. Sci., 2010, Vol. 8, Issue 1, pp. 145172.

119. Marshall J., F. Molteni, Toward a dynamical understanding of planetary scale flow regimes //J. Atmos. Sci. 1993. 50, N2 p.1792-1818.

120. Martynov, R. S., Nechepurenko Y.M. Finding the response matrix for a discrete linear stochastic dynamical system // J. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2004. v. 44. P. 771-781.

121. Mo, K., Ghil, M:, 1987, Statistics and dynamics of persistent anomalies, Journal of Atmos.Sci., 44, 877-901.

122. Nitsche G., 1996, Some aspects of planetary-scale atmospheric variability in a low-resolution general circulation model, Dissertation, Univ. of Washington, 1996.

123. Nocedal J., S. J. Wright, 1999, Numerical optimization. Springer Verlag, New Yoik, NY.

124. Palmer, T. N., 2001, A nonlinear dynamical perspective on model error: Aproposal for non-local stochastic-dynamic parameterization in weather and climate prediction models, Q. J. R. Meteorol. Soc., 2001, 127, 279- 304.

125. Pedlosky J., 1981, Resonant topographic waves in barotropic and baroclinic flows, Journal of Atmos.Sci., 38, 2626-2641.

126. Penland C., P.D.Sardeshmukh, 1995, The optimal growth of sea surface temperature anomalies, J.Climate, v.8, 1999-2024

127. Pitcher E.J., R.C.Malone, V.Ramanathan, M.Blackmon, K.Puri, Bourke W., 1982, January and July simulations with a spectral general cirrulation model, J.Atmos.Sci., v.40, 580-590.

128. Press W.H., S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery, M.Metcalf, 1986, Numerical Recipes in Fortran 90, Cambridge university press, 1040pp.

129. Risken, H. The Fokker-Plank Equation: Methods of Solution and Applications // Springer-Verlag, New York, 1994. 454P.

130. Reinhold, B.B., R.T.Pierrehumbert, 1982, Dynamics of weather regimes: quasi-stationary waves and blocking, Mon.Wea.Rev, 110, P.1105-1145.

131. Ring M., R.A. Plumb, The Response of a Simplified GCM to Axisymmetric Forcings: Applicability of the Fluctuation-Dissipation Theorem // Journal of Atmospheric Sciences, 2008, v. 65. P.3880-3898.

132. Ruelle, D., 1999, Smooth dynamics and new theoretical ideas in nonequilibrium statistical mechanics, J. Statist. Phys. 95, 393-468.

133. Ruelle, D., General linear response formula in statistical mechanics and the fluctuation-dissipation theorem far from equilibrium, 1998, Phys. Letters A, v.245, 220224.

134. Saad Y., M.H. Schultz, 1986, GMRES: A generalized minimum residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems, SIAM J.Sci. Statist. Comput., 7, p.856-869.

135. Schnabel R., P.Frank, 1984, Tenzor methods for nonlinear equations, SIAM J.Numer. Analysis, v.21, p.815-843.

136. Selten F.M., Branstator, G., 2004, Preferred regime transition routes and evidence for unstable periodic orbit in a baroclinic model, Journal of Atmos.Sci., 61, 2267-2282.

137. Sempf M., K. Dethloff, D. Handorf, M. Kurgansky, 2007, Toward Understanding the Dynamical Origin of Atmospheric Regime Behavior in a Baroclinic Model, Journal of Atmos.Sci., 64, 887-904.

138. Sempf M., K. Dethloff, D. Handorf, M. Kurgansky, 2007, Circulation Regimes due to Attractor Merging in Atmospheric Models, Journal of Atmos.Sci., 64, 2029-2044.

139. Shirikyan, A. Exponential mixing for 2D Navier-Stokes equations perturbed by an unbounded noise // J.Math. Fluid Mech. 2004. v.6. P 169-193.

140. Shutts, G. J., A Kinetic energy backscatter algorithm for use in ensemble prediction systems. Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 2005, 131, 3079-3102

141. Storch Hans v., F. Zwiers. Statistical analysis in climate research // Cambridge. University Press, Cambridge, 1999, 484pp.

142. Thompson, D. W. J., Wallace J.M. The Arctic-Oscillation signature in the wintertime geopotential height and temperature fields // Geophys. Res. Lett. 1998. v.25. P. 12971300.

143. Tung K.K., Rosenthal A.J., 1985, Theories of multiple equilibria a critical reexamination. Pt.l: Barotropic models, JAS,v.42, N.24, p. 2804-2819

144. Wallace J.M., X. Cheng, D. Sun, 1991, Does low-frequency atmospheric variability exhibit regime-like behavior?,Tellus,43AB, 16-26.

145. Wallace J.M., D.S.Gutzler, Teleconnections in the geopotential height field during North Hemisphere winter//Mon. Weather Rev., 1980. 109, p.784-812.

146. Whitaker J.S., P.D.Sardeshmukh, 1998, A linear theory of extratropical synoptic eddy statistics, J.Atmos.Sci, v.55, 237-258

147. Williamson, D. L. Description of NCAR Community Climate Model (CCMOB) // NCAR Technical Note. 1983. NCAR/TN-244 + STR.

148. Yano J.I.,Mukougawa H., The attractor dimension of a quasi-geostrophic two-layer system.,Geophys. Astrophys. Fluid dynamics, vol.65,77-91,1992

149. Zeeman E.C., Stability of dynamical systems. Nonlinearity, 1987, v.l, p.l 15—-135

150. Zoldi, S., Greenside, H., 1998, Spatailly localized unstable periodic orbits of a high-dimensional chaotic systems, Phys. Rev.E, 57, 2511, 1998.в