Конечные группы с ограничениями на классы сопряженных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Голикова, Елена Александровна

• Голикова, Елена Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Голикова, Елена Александровна

Оглавление

Введение

1 Конечные непримарные группы с однозначно порожденными нормальными подгруппами

1.1 Строение конечных непримарных (М)-групп

1.2 Критерий свойства (М) для непримарных групп

1.3 Общие свойства (М)-2-групп

1.4 (М)-2-группы с абелевыми подгруппами индекса два

и индекса четыре

1.5 Конечные (М)-2-группы класса нильпотентности два

2 Группы с равномощными централизаторами нецентральных элементов

2.1 Некоторые предварительные результаты

2.2 Группы класса нильпотентности три

2.3 Группы класса нильпотентности два

Приложение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечные группы с ограничениями на классы сопряженных элементов»

Введение

Исследование конечных групп часто приводит к необходимости изучения конечных р-групп. В связи с этим знания о детальном строении р-групп могут быть полезны при решении различных задач, связанных с конечными группами. Например, результаты исследований конечных 2-групп оказали значительную помощь в классификации конечных простых групп.

Конечные р-группы являются весьма сложным объектом для изучения. С ростом п число р-групп порядка рп возрастает чрезвычайно быстро. Например, неизоморфных 2-групп порядка 26 уже более тысячи. Поэтому интерес представляет поиск и изучение тех классов р-групп, которые с одной стороны представляют интерес для теории конечных групп, а с другой стороны - поддаются детальному описанию.

Э.М. Жмудь в [3] ввел понятие АМ-групп и изучил некоторые их свойства. Этот класс групп связан с известным из теории представлений (см. [5] , [1]) понятием А^-сопряженности элементов группы (2, где К - некоторое поле. Пусть характеристика поля К не делит порядок группы <2. Тогда из А'-сопряженности элементов х и у группы С следует, что х сопряжен с уа, а взаимно просто с \у\. Если при этом поле К алгебраически замкнуто, то Х-сопряженность эквивалентна обычной сопряженности элементов. Если К - поле действительных чисел, то А-сопряженность элементов х та у равносильна сопряженности х с у или у-1.

/{"-сопряженность элементов х и у всегда влечет равенство их нормальных замыканий. Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение. (Э.М. Жмудь [3]) Конечная группа С? назы-

вается КМ-группой, если из равенства нормальных замыканий (х°) — (ус) следует К-сопряженность элементов х и у.

Другими словами, если нормальная подгруппа порождается элементом х, то этот элемент ® КМ-труипе определяется однозначно с точностью до А'-сопряженности. Характеризацию КМ-групп дает следующая теорема, доказанная в [3].

Теорема (Э.М. Жмудь). Конечная группа £ тогда и только тогда является КМ-группой, когда каждая ее нормальная подгруппа является ядром гомоморфизма не более одного (с точностью до эквивалентности) неприводимого линейного представления группы С над полем К.

Для полей К характеристики нуль наиболее широким классом КМ-групп являются $М-группы (С} - поле рациональных чисел), ЯМ-группы вкладываются в этот класс (Л - поле действительных чисел), С-М"-группы содержатся в любом классе КМ-трупи (С - поле комплексных чисел). Будем называть СМ-группы (М)-группами.

Поскольку, по определению (М)-группы (?, из (х°) = (ус) следует сопряженность х и у в (2, то в (М)-группе порождающие каждой циклической подгруппы сопряжены. Но это означает, что (М)-группы содержатся в классе так называемых ф-групп, то есть в классе конечных групп для которых характер любого линейного представления над полем С принимает только рациональные значения.

Из [12] известно, что свойство быть (^-группой эквивалентно условию: порождающие каждой циклической подгруппы сопряжены. Класс С}-групп довольно широк и изучался многими авторами (см., например, [5], [17]).

Перечислим основные известные результаты об (М)-группах (см.[3], [8], [9]).

I. Всякая нетривиальная (М)-группа является либо 2-группой, либо расширением 3-группы при помощи нетривиальной 2-группы (последняя является (М)-группой).

II. Всякая фактор-группа (М)-группы является (М)-группой.

Первая глава диссертации посвящена дальнейшему исследованию (М)-групп.

Другой тип ограничений на классы 'сопряженных элементов - ©граничения на их мощности или, что равносильно, на порядки централизаторов элементов. Одним из таких условий является условие равномощности классов сопряженности нецентральных элементов. Такими группами являются, например, группы ширины один (см. [16]). Конечные группы с равномощными классами сопряженных нецентральных элементов изучались Ито в [15], где была доказана теорема.

Теорема (Ито). Если <2 - конечная группа с равномощными классами сопряженных нецентральных элементов, то изоморфна прямому произведению р-группы с равномощными централизаторами нецентральных элементов и абелевой р'-группы (р - некоторое простое число).

Эта теорема сводит вопрос об изучении конечных групп с равномощными централизаторами нецентральных элементов к изучению конечных р-групп с этим свойством. Некоторые общие свойства групп с равномощными централизаторами нецентральных элементов изучались Верарди в [21], [20]. Вообще этот класс групп довольно широк. В него входят, например, экстраспециальные группы, полуэкстраспециальные группы (введены и изучались Бейзигелем в [10]), 2-группы Судзуки, то есть конечные неабелевы 2-группы с более, чем одной инволюцией , обладающие разрешимой группой автоморфизмов, действующей транзитивно на множестве инволюций ( [13], [19]).

Бертрам в [11] доказал следующую теорему.

Теорема (Бертрам). Если С - неабелева группа порядкарп, то в найдется нецентральный элемент х такой, что \Сс{х)\ > Р1-

В силу теоремы Бертрама, р-группы с равномощными централизаторами минимального возможного порядка - это группы С порядка рп с условием: |Сс(ж)| = р^^ для всякого нецентрального элемента х £ (?.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию р-групп с равномощными централизаторами нецентральных элементов минимального возможного порядка.

Основные результаты данной диссертации связаны с результатами, приведенными выше. Диссертация состоит из двух глав и приложения. Первая глава разбита на пять параграфов, вторая - на три. Нумерация определений, лемм, предложений, теорем ведется отдельно. Номер а.Ь включает номер главы -а и номер утверждения - Ъ.

Первая глава диссертации посвящена конечным группам с условием: равенство нормальных замыканий двух элементов влечет их сопряженность (мы называем эти группы (М)-группами).

В первом и втором параграфах изучается строение непримар-ных (М)-групп. В частности, доказывается, что изучение конечных (М)-групп сводится к изучению (М)-2-групп (теоремы 1.1,1.2).

Теорема 1.1 Конечная (М)-группа раскладывается в полупрямое произведение элементарной абелевой 3-подгруппы 5 на (М) -2-группу Т , причем если 5^1, то 5 раскладывается в прямое произведение нормальных в подгрупп, изоморфных либо Е9 .

Теорема 1.2 Для того, чтобы конечная группа , где (7 = 5ЛТ, 5 € € обладала свойством (М) необходимо и

достаточно, чтобы выполнялись условия:

1. Т - (М)-группа;

2. если 5 ф 1 , то С/Со{3) есть прямое произведение групп Фробениуса вида Е&^ъ, п > 1, или .ЕдАфв/

3. для всякого набора F\,..., Fm минимальных нормальных в G 3-подгрупп, для любого, t € Т/ f\™i Ст№), и любого и € CT(Fi), имеем t П Ст(и) ф 0. ^

%

Эти теоремы уточняют результаты из [3] и получены другими методами.

В параграфе три изучаются общие свойства (М)-2-групп а также строится серия (М)-2-групп неограниченного класса нильпотентности (теорема 1.4) Для конечных 2-групп найдены условия, эквивалентные свойству (М).

Теорема 1.3 Пусть G - конечная 2-группа. Тогда следующие свойства равносильны:

(1) G - (М)-группа;

(2) для всякого неединичного элемента х £ G выполнено равенство 1(^)1 = 2\х°[,

(3) для всякого х € G элемент х сопряжен с ж3, и для любых элементов д\ и из G найдется такой элемент £ G, что [x,gi][x,g2] = |>,0з];

(4) существует такая инволюция z в Z(G), что G/{z) - (М)-группа, а условие z £ (xG), х Е G, х ф z влечет х сопряжен с

XZ.

Теоремы 1.5,1.6,1.7 из параграфа четыре дают описание (М)-2-групп с циклическим коммутантом, с максимальной абелевой подгруппой, с абелевой подгруппой индекса 4 и центром порядка 2, соответственно.

Теорема 1.5 Пусть неабелева 2-группа G содержит абелеву подгруппу А индекса 2 и является (М)-группой. Тогда G = х Н, т > 0, а Н - одна из следующих групп:

1) ((ai) х (zi) х ... х (ak) х {zk))X(u), где

М = \zi\ = |w| = 2, [а,-,«] = z^ [zi,u] =1, 1 < г < k;

2) ((aj) x ... x (ak))X{u), где

|а,-| — 4, = 2, [а{, и] = , 1 < i < k;

3) ((ai) x ... x {ак))(и), где

ja,-| = 4, и2 == aj, [a,i,u] = a2, 1 < г < к.

Обратно, каждая из указанных группG является (М)-группой.

Теорема 1.6 Пусть G - 2-группа, в которой ¿^(G) П G' - циклическая подгруппа. Тогда G обладает свойством (М) в том и только том случае, когда G ~ Е%п х (В * D), где п > О, В - либо единичная, либо экстраспециальная группа (В П D = Z(B)), D -либо единичная, либо Н\, либо Н-2, где

Нг = «а>А(и»А(г;>,

|а| = 8, |м| — |г>| = 2, [а, и] = a2, [a, v] = а4, [и, г/] = 1, (Hi - голоморф циклической группы порядка 8);

Н2 = ((а) {и))\(v), |а| = 8, = 2, и2 = а4, [а, и] = a2, [a, v] — а4, [и, v] = 1.

Теорема 1.7 Пусть G - (М) -2-группа с абелевой подгруппой индекса ^ и с центром порядка 2. Тогда G изоморфна либо Н\, либо Щ, либо экстраспециальной группе порядка не выше 32.

Пятый параграф посвящен изучению (М)-2-групп класса нильпотентности два.

Во второй главе диссертации изучаются р-группы с равномощ-ными централизаторами нецентральных элементов минимального возможного порядка. Основные свойства таких групп сформулированы в следующей теореме.

Теорема 2.1 Пусть G - неабелева группа порядка рп,п > 3, и для всякого нецентрального элемента х G G верно неравенство: \CG(x)\ < рааг. Тогда \Сс{х)\ = хр 6 Z(G) для любого эле-

мента х и справедливо одно из следующих утверждений:

1. G класса нильпотентности два, п четное и либо Z{G) — элементарная абелева группа порядка , либо п = 4 и Z(G) — циклическая группа порядка р2, либо п = б и Z{G) — элементарная абелева группа порядка р2.

2. G класса нильпотентности три, р > 2, и п = 5,6,10.

В параграфе два уточняется случай 2 из заключения теоремы 2.1. Дадим понятие изоклинизма, которое используется в формулировке теоремы.

Определение. Будем называть две группы G и Н изокли-ничными, если существует два изоморфизма ф и rj такие что ф : G/Z(G) H/Z(H), rj : G' Н' и для любых элементов х,у eG

если <(>(xZ(G)) = x\Z{H) и ф(yZ(G)) = y\Z(H), тогда rj([x,y]) = [х\,у\

Теорема 2.3 Если G - группа класса нильпотентности 3, порядка рп и для всякого нецентрального элемента х верно равенство

\CG(x)\ =р№, то р > 2, п = 5,6,10, и G изоклинична одной из следующих групп:

1)Gi = ((zi) х (z2) х (c))(ai)(a2), где

[аь а2] = с, [аъ с] = z\, [а2, с] = г2, [zh ai] = [zh «2] = 1, г = 1, 2,

а\ — а\ = с? = z{ = z\ = 1;

2)G2(a,f3,z^,z(2)) =

= ((¿i) x (z2) x (23) x (z4) x (ci) x (С2»(а1,а2,аз,а4), где

[ai,a3] = ci, [aba4] = c2, [a2,a3] = c2z(1\ [a2, a4] = c*c$z(2\ [aha2] = 1, [a3,a4] = 1, [cbai] = zh [cba2] = z2, [cba3] = z3, [cba4] = 2;, [c2, aj = ¿2, [c2, a2] = z?z$, [c2, a3] = 24, [c2, a4] = 23 [zi,aj] = 1, api = cf = z? = 1, i,j = 1,2,3,4, a ^ 0 (mod p), 2(1), G = г2, *3,24).

В третьем параграфе доказано следующее предложение.

Предложение 2.1 Группа Сг класса нильпотентности два с условием: |Ст| = рп, п - четное число, п < 8, = рз,

= любого х £ Z(G), изоклинична одной из сле-

дующих групп:

1. прямое произведение неабелевой группы порядка р3 и группы порядка р, п — 4;

2. ((гг) х (г2) х (23))(аьа2,а3), где

[аь а2] = [«1, «з] = ¿2, [а2, «з] = ¿3, К| = |а2| = |а3| =р,п = 6;

5. х <22) х (¿3) х (24)){аьа2,аз,а4), где

[аь а2] = [аз, ¿ч] = ¿ъ [«ь «з] = [«2, ¿ч]7 = [«2, аз] = ¿3, И,04] = ¿4 |а1| = |а2| = |а3| = |а4|=р,7 = ^+1,

О — примитивный элемент поля > 2, гс = 8.

Заметим, что множество групп класса нильпотентности два с рассматриваемым ограничением на порядок централизаторов бесконечно. В качестве примера можно привести бесконечную серию силовских 2-подгрупп простых групп Судзуки = 22к+1. По-

рядок этих 2-групп д2, порядок центра д, порядок централизатора любого нецентрального элемента 2д ( [2]).

В прилоожении приводится список неизоморфных (М)-2-групп порядка не более , чем 26, полученный с помощью атласа [18].

Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференци по теории групп, посвященной памяти С.Н. Черникова, (Пермь, 1997); Международной алгебраической конференции, посвященной памяти А.Г. Куроша, (Москва, 1998); Маль-цевских чтениях (Новосибирск,1998); заседаниях алгебраического семинара ИММ УрО РАН.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22]—[29].

Обозначения

В работе используются следующие обозначения: Zn - циклическая группа1 порядка щ $2» _ группа кватернионой порядка 2п ;

- диэдральная группа порядка 2П; (ах,..., а&) - подгруппа, порожданная элементами а\,... ,ак ; а ~ Ь - элементы группы а и Ь сопряжены посредством элемента

с ;

Ега - симметрическая группа степени п ; <р(п) - функция Эйлера, п Е Л/т;

- множество силовских р - подгрупп группы С] ААВ - полупрямое произведение групп А и В ; А * В - центральное произведение групп А и В . х° - класс сопряженных с х в группе С? элементов; х ~ у - элементы х и у сопряжены в группе;

- множество всех неединичных элементов группы С?; Ерп - элементарная абелева группа порядка рп; /2п - единичная матрица размерности 2™ х 2". Остальные обозначения соответствуют принятым в [14].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Голикова, Елена Александровна, 1999 год

Литература

[1] Берман С. Д. К теории представлений конечных группп// ДАН СССР. - 1952. - Т.86,К 6 - С.885-888.

[2] Бусаркин В. М. , Горчаков Ю. М. Конечные расщепляемые группы. М.: Наука 1968, 109 С.

[3] Жмудь Э .М. О конечных группах с однозначно порождаемыми нормальными делителями //Мат. сб . - 1967. - Т. 72, N 1.

- С. 135-147.

[4] Жмудь Э .М. О строении конечных групп с однозначно порожденными нормальными делителями //Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. - Ярославль:Изд-во Ярсл. Ун-та, 1977, С. 59-71.

[5] Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука 1969, 668 С.

[6] Шериев В.А. Конечные 2-группы с дополняемыми неинвариантными подгруппами // Сиб. матем. ж. - 1967. - Т.8, N 1 -С. 95-212.

[7] Юрченко В. И. О конечныых (М) - 2-группах // Всесоюзный алгебр, симпозиум: Тезисы докладов. Гомель. 1975. часть первая. С. 85.

[8] Юрченко В. И. О бесконечных периодических М-группах // Укр.мат.ж. - 1972.- 2. - С.282-283.

[9] Юрченко В. И. Про один клас скинченшх груп // ДАН УРСР

- 1972. - А,Ы 9. - С.811-813.

[10] Beisiegel B. Semi-extras ezkelle p-gruppen // Math.Z. - 1977. -Vol.156. - P. 247-254.

[11] Bertram E.A. Large centralizers in finite solvable groups // Isr. J. Math.- 1984. ^ V.47, N 4. - P. 335-344.

[12] Brauer R. On groups whose order contains a prime number to the first power I// Am.J.Math. - 1942. - Vol.64. - P. 401-420.

[13] Higman G. Suzuki 2-groups // Illinois J. Math. - 1963. - Vol.7. -P. 79-96.

[14] Huppert B. Endliche Gruppen I.- Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1976.-793p.

[15] Ito N. On finite groups with given conjugate types I // Nogoya Math. J. - 1953. - Vol.6. - P. 17-28.

[16] Knoche H.G. Uber den Frobeniusschen Klassenbegriff in nilpotenten Gruppen// Math.Z. - 1951. - Vol.55. - P. 71-83.

[17] Kletzing D. Structure and representations of Q - groups// Lecture Notes in Maht. - Berlin; Heidelberg; New York;Tokio: SpringerVerlag, 1984.-282p.

[18] Hall M., Senior J. The Groups of order 2n (n < 6) // New York. - 1964.

[19] Shaw D. The Sylow 2-subgroups of finite soluble groups with a single class of involutions //J. Algebra. - 1970. - Vol.16. - P. 1426.

[20] Verardi L. Gruppi semiextraspeciali di esponente p// Ann. Mat. Pura Appl. - 1987. - V.148. - P. 131-171.

[21] Verardi L. On groups whose noncentral elements have the same finite number of conjugates // Bollettino U.M.I. - 1988. - Vol.7,2-A. - P. 391-400.

[22] Голикова Е. А. , Старостин А. И. Конечные 2-группы с однозначно порожденными нормальными подгруппами //Подгруп-повая структура групп. - Свердловск: Ин-т математики, 1988, С. 45-54.

[23] Голикова Е. А. О конечных непримарных группах с однозначно

порожденными нормальными подгруппами//Алгебраические системы и их многообразия. Свердловск. 1988. С.76-85.

[24] Голикова Е. А. О конечных 2 - группах с однозначно порожденными нормальными замыкани- ями//Деп. в ВИНИТИ N 5057-В89, 17 с.

[25] Голикова Е. А. О р-группах с ограничением на порядки централизаторов элементов // Деп. в ВИНИТИ N 1939-В98, 13 с.

[26] Голикова Е. А. О непримарных группах с однозначно порожденными нормальными подгруппами//XIX Всесоюзная алгебр. конференция: Тезисы сообщений. Львов. 1987. часть II. С. 68.

[27] Голикова Е. А. Об одном классе 2 - групп ступени нильпотентности два// Международная конференция по теории групп, посвященная памяти С.Н. Черникова: Тезисы докладов. Пермь. 1997. С. 21.

[28] Голикова Е. А. / Фомин А.Н. Об одном свойстве конечных примарных групп// Международная конференция по теории групп, посвященная памяти С.Н. Черникова: Тезисы докладов. Пермь. 1997. С. 22.

[29] Голикова Е. А. О р-группах с ограничением на порядки централизаторов элементов // Kurosh Algebraic Conference '98: Abstracts of Talks. Москва. 1998. С. 160.