Конечные группы с относительно большими централизаторами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Аминева, Нажия Нажитовна

• Аминева, Нажия Нажитовна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аминева, Нажия Нажитовна

Введение

1. Группы с относительно большими централизаторами всех абелевых (всех неабелевых) подгрупп.

1.1. Группы с относительно большими централизаторами всех абелевых подгрупп

1.2. Группы с относительно большими централизаторами всех неабелевых подгрупп.

2. Группы с относительно большими централизаторами при-марных (непримарных) подгрупп

2.1. Группы с относительно большими централизаторами всех при-марных подгрупп

2.2. Группы с относительно большими централизаторами всех непримарных подгрупп.

3. Группы с относительно большими централизаторами инвариантных (неинвариантных) подгрупп

3.1. Группы с относительно большими централизаторами инвариантных подгрупп.

3.2. 2-группы с относительно большими централизаторами неинвариантных подгрупп

3.3. Группы с относительно большими централизаторами неинвариантных подгрупп

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечные группы с относительно большими централизаторами»

Одной из основных задач теории групп является описание групп с теми или иными ограничениями, наложенными на выделенную систему подгрупп. В качестве такой системы можно рассматривать совокупность централизаторов подмножеств группы. При этом ограничения могут накладываться на отдельные централизаторы, на множество всех централизаторов подгрупп группы или на его достаточно большую часть.

Исследованию групп с ограничениями, наложенными на совокупность централизаторов, посвещено большое число работ. Обзор результатов относящихся к этой тематике можно найти в работах [2, 3, 23].

Мы ограничимся только ограничениями, связанными с величиной централизаторов. Здесь можно выделить несколько направлений.

Группы с большими централизаторами. Локально конечные группы G, в которых для любого нецентрального элемента х подгруппа С(х) максимальна в G описаны в [6].

Целый ряд работ посвящен изучению групп, в которых централизатор любого нецентрального элемента является максимальным централизатором. Такие группы назовем Б-группами.

Пусть G — произвольная ^-группа с локально конечной факторгруппой по центру. Тогда либо G является М-группой, т.е. группой с модулярной решеткой централизаторов длины 2, либо фактор-группа G/Z(G) имеет простую экспоненту [7].

Пусть G — конечная р-группа, являющаяся В-группой. Тогда [39]

1) если C(G') ф Z2(G), то C(G') абелев;

2) если G не является М-группой, то C{G') < ZP(G);

3) если я € C(G') \ Zk(G), то С(х) > Zk(G), |С(С(х)) : Z(G)| > |G : С(аг)!*-1, и если у <£ G(x), то |G : С(у)\ > \G : ОД!*"1.

Если х — элемент из Б-группы G и у 0 G(x), то |C(C(;r)) : Z(G)\ < G(y)\. Для случая равенства в [39] получены следующие результаты.

Пусть G — конечная примарная по числу р Б-группа, х € G и у — элемент из G \ С(х) с наибольшим значением \G :С(у)\. Если \С(С(х)) : Z(G) | = |G : С (у) | и ступень нильпотентности группы G больше двух, то

1) С(х) = С(С(х)) — единственный отличный от G и Z(G) инвариантный в группе G централизатор из G;

2) С(х) = C(G'), и фактор-группа G/C(x) абелева;

3) если t С(я), то |G : C(t)\ = |G : С(у)\ и ступень нильпотентности C(t) не превосходит 2;

4) G/Z{G) является М-группой;

5) если |G : С(х)| > р, то ступень нильпотентности группы G не превосходит р, и G/Z(G) — группа экспоненты р.

Особый интерес вызывает исследование D- групп, у которых | G : С(я)| = п для любого х G G \ Z(G) (Б(п)-группы). Несложно доказать, что в этом случае n = рк для некоторого простого числа р.

Пусть G — конечная примарная В(рк)~группа. Тогда для любого нецентрального элемента х из G выполняется неравенство |С(С(ж)) : Z{G)\ < рк. В [8] полностью описаны группы в которых \С(С(х)) : Z{G) | = рк для любого х G G \ Z(G), а в [39] показано, что если равенство выполняется хотя бы для одного элемента х, то G нильпотентна ступени два.

Пусть G — конечная .В (pfc)-группа. Тогда [44]

1) если ступень нильпотентности с группы G больше двух, то yc-i(G) — элементарная абелева группа;

2) если G — метабелева группа, то G нильпотентна ступени не выше трех;

3) в группе G в том и только том случае выполняется равенство \G'\ = рк, когда G изоклинна полуэкстраспециальной группе.

Условие G Е #(р), очевидно, равносильно условию |G'| = р. Полное описание таких групп приведено в [25].

Группы с условием В{р2) с точностью до изоклинизма описаны в [38].

В работе [40] изучается строение конечных р-групп с условием | G : С(х)| < рк для любого элемента х Е G \ Z(G) при к = 2,3. Получен ряд результатов следующего вида.

Пусть р > 2. Тогда указанное условие при к = 3 равносильно одному из следующих условий:

1) |G'| = р3 и \G/Z(G)\ < р4;

2) |G'|<p4n|G/Z(G)|=p4;

3) \G'\ = р4 и существует такая нормальная в G подгруппа N простого порядка р, что |G/N : Z(G/N)\ = р3.

Группы с малыми централизаторами. В конечной неабелевой р-группе G всегда найдется такой нецентральный элемент х, что \С{х)\ > > y\G\. В работе [17] исследуются конечные р-группы, в которых |С(х)| < < p\J\G\ для любого нецентрального элемента х. Доказано, что ступень нильпотентности таких групп не превосходит трех. Для групп ступени 3 получено полное описание с точностью до изоклинизма.

Отметим еще работу [32], в которой исследуются конечные р-группы, обладающие таким элементом х, что С(х) = {х).

Для натурального числа п через w{n) обозначим число множителей в представлении числа п в виде произведения простых чисел. Если Н — подгруппа конечной группы G, то w(H) = w(\H\) и v{G) = тах{«;(С(х))|ж eG\ Z(G)}.

Из условия v(G) — 1, очевидно, следует, что G — неабелева группа порядка pq.

В работе [24] исследованы конечные группы с условием v(G) = 2, а в работах [41] и [22] группы с условием v(G) = 3. Полное описание конечных групп с условием v(G) = 4 получено в работах [10, 11], а в работах [12, 13] приведено описание конечных неразрешимых групп без центра с условием v(G) = 5.

Группы с относительно большими централизаторами. Если G — произвольная группа и Н — подгруппа из G, то

N(H) > Н - С(Н).

Нас будут интересовать группы, в которых N(H) не сильно отличается от Н - С{Н) для некоторых подгрупп Н.

Подгруппу Н группы G назовем обобщенно самонормализуемой, если

N(H) = Я • С(Н).

Если Н — обобщенно самонормализуемая абелева подгруппа группы G, то N{H) = С(Я).

Если для каждой минимальной подгруппы Н группы G выполняется равенство N(H) — С(Я), то группа G разрешима и ее свойства находятся между нильпотентностью и 2-замкнутостью (группа G 2-замкнута, если силовская 2-подгруппа в ней инвариантна) [29].

В работе [26] исследуется ситуация, когда из равенства N(A) = С{А) для абелевой подгруппы А определенного вида следует абелевость самой группы.

В работах [30,31] исследуются конечные группы, в которых для любого простого делителя р порядка группы и каждой силовской ^-подгруппы Р группы G справедливо равенство N(Z(P)) = C(Z(P)) (./VC-группы).

Любая iVC-группа не проста. В то же время, любая конечная группа изоморфно вкладывается в некоторую iVC-группу. Джилотти и Тиберио [30] построли примеры iVC-групп с нетривиальным центром произвольной фиттинговой длины и iVC-групп без центра произвольной фиттинго-вой длины > 4. Показали, что iVC-группа фиттинговой длины не более двух имеет нетривиальный центр и привели описание некоторых классов NC-групп фиттинговой длины 3 с нетривиальным центром.

В общем случае наличие обобщенно самонормализуемых подгрупп в группах не несет информации, достаточной для описания этих групп. Так уже отмечалось, что любая конечная группа может быть вложена в iVC-rpynny.

В то же время, группы, в которых много обобщенно самонормализуемых подгрупп, допускают полное описание. Так в работах [4, 5] были описаны конечные группы, в которых обобщенно самонормализуемы все, все абелевы (все неабелевы), все примарные (непримарные) или все инвариантные (неинвариантные) подгруппы.

Отметим следующие результаты, которые нам понадобятся в дальнейшем:

Утверждение 0.1 ([4], лемма 2)

Если в группе G для любой ( абелевой) подгруппы Н выполняется N(H) = Н - С(Н), то группа G абелева.

Утверждение 0.2 ([5])

В конечной группе G в том и только в том случае для любой неинвариантной подгруппы Н выполняется равенство N(H) = Н • С(Н), когда G — группа одного из следующих типов:

1) G — абелева группа;

2) G — нилъпотентная группа с коммутантом простого порядка;

3) G обладает абелевым нормальным делителем А простого индекса р и силовская р-подгруппа из G абелева;

4) G = (HX{a))Z(G), где Н —конечная элементарная абелева р-группа, (|а|,р) = 1, и все степени элемента а, не лежащие в Z{G), действуют на Н неприводимо.

Следующим естественным шагом в исследовании групп с большими относительно нормализаторов централизаторами подгрупп представляется исследование групп, в которых для каждой подгруппы А из выделенного множества подгрупп выполняется неравенство \N(A):A-C(A)\<2.

Такое ограничение весьма существенно. Так в работах [42] показано, что если в конечной группе G для силовской р-подгруппы Р выполняется равенство

N(P):P-C(P)\ = 2, а Р либо нециклическая абелева группа, либо имеет коммутант простого порядка, то G' < G. В то же время, для получения полного описания групп с ограничением (*) нужно, чтобы подгруппа А пробегала достаточно большое множество подгрупп.

Следуя [35], подгруппу А в примарной группе G назовем гибкой, если А совпадает со своим централизатором и имеет простой индекс в своем нормализаторе. Каждая р-группа максимального класса п > 1 обладает гибкими подгруппами порядка р2.

Отметим следующие свойства конечных р-групп, содержащих гибкие подгруппы.

Утверждение 0.3 ([35, 36])

Пусть А — гибкая подгруппа р-группы G, и \G : А\ = рп. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Множество всех подгрупп группы G, содержащих А, образует цепь

А = Nq < Ni < • • • < iVn i = M<Nn = G, где Ni = N(Ni-i) и ДО: iV,i| = p для всех i = 1,2,., п.

2. A = C(a) для некоторого элемента a 6 A.

3. Подгруппа M, единственная максимальная подгруппа группы G, содержащая А, нильпотентна ступени п. Ступень нильпотентности группы G больше п.

4. Подгруппа R{G) = G' • Z{N\) характеристична в G, и GfR{G) — элементарная абелева группа порядка р2.

5. Все гибкие подгруппы группы G, лежащие в М, сопряжены и совпадают с подгруппами вида С(х) для некоторого х £ М \ R(G),

6. Если п > 1, то Cm{G') — абелева характеристическая подгруппа группы G.

В этих же работах получен ряд результатов о строении верхнего и нижнего центральных рядов группы М. Так, например, Z;(M) = iV,i П Nfi для любого g € G \ М, Zi+\(M)/Zi(M) — элементарная абелева группа порядка не выше р2 и Zt(P) < Z,(A/).

Отметим еще, что ДО,Л] = |jV} : N'^] < р2, и ДО : = р тогда и только тогда, когда N'{ <] TV,+2.

В дальнейшем неоднократно будет использоваться следующий результат.

Утверждение 0.4 ([14], стр. 15-16)

Если ж'-группа А действует, на ж-группе Р, то [Р,А,А] = [Р,.<4], Р = [Р, А] • Ср{А), и если группа Р абелева, то Р — [Р,А] х Ср(А).

Отметим, что если в условиях утверждения 0.4 группа [Р, А] абелева, а Ср(А) < Р, то Р = [Р, А] х Ср(А). В самом деле, из

Л А, А] = [Р,А] и [Р, Л] = [Р, А, А] х С[РЛ{А) следует, что

Р,А]ПСР(А) = 1.

Кроме того, нам понадобится следующее утверждение, вытекающее из обзора [19].

Утверждение 0.5

Если G — спорадическая конечная простая группа, то в ней найдется такая непримарная неабелева подгруппа Н, что

N(H): Я • С(Н)\ > 2.

Доказательство.

Данное утверждение, очевидно, верно, если в группе G существует такая силовская р-подгруппа Gp, что C(GP) < Gp и N(GP)/GP содержит такой неединичный элемент tGp, что \N(Gp)/(t)Gp\ > 2. Из обзора [19] следует, что

1) в группе М\\: N{Gz) = G^XT, |Г| = 16 ж Т действует на С?з точно, а А/12, Suz, Мс> А/ц;

2)BrpynneA/22:iV(G3) = G3Ag8,aA/23,M24, .1, .2, .3, А/(22), Р2 > М22;

3) в группах Ji, и i/5: N(Gj) — группа Фробениуса порядка 7 • 6, a TVS > Л;

4) в группах J3 и #е: N(Gn) — группа Фробениуса порядка 17 • 8;

5) в группе J\\ N(G<2z) — группа Фробениуса порядка 23 • 22;

6) в группе Ly: N(Gz\) — группа Фробениуса порядка 31 • б;

7) в группе Ru: N(G2q) — группа Фробениуса порядка 29 • 14;

8) в группах F3 и F5: N(G 19) — группа Фробениуса порядка 19 • 18 и 19-9, соответственно;

9) в группе Pi: N(Gu)/Gn содержит подгруппу, изоморфную SL(2,5);

10) А/(23) > Si2, а группа £12 содержит подгруппу К = Н\ х Н2, где Hi = #2 — А4, и если В —силовская 2-подгруппа из #2, то для Н = Hi х В имеем \NK(H): Я. СК{Н)\ = 3.

Утверждение доказано.

Предлагаемая диссертация посвещена исследованию конечных групп G, в которых условие (*) выполняется для любой подгруппы А из выделенного множества подгрупп группы G.

Диссертация состоит из трех глав.

Первая глава диссертации содержит два параграфа. В первом параграфе изучаются конечные группы, в которых неравенство (*) выполняется для любой подгруппы (теорема 1.1) или для любой абелевой подгруппы (теорема 1.2). Во втором параграфе изучается строение групп в которых неравенство (*) выполняется для любой неабелевой подгруппы (теорема 1.3 и следствие из нее в случае нильпотентных групп, а в случае ненильпотентных групп теорема 1.4).

Вторая глава диссертации состоит тоже из двух параграфов. В первом параграфе приводится описание конечных групп, в которых неравенство (*) выполняется для всех примарных подгрупп (теорема 2.1). Во втором — для всех непримарных подгрупп группы G. Отдельно рассмотрены случаи разрешимой (теорема 2.2), простой (теорема 2.3) и неразрешимой не простой (теорема 2.4) группы G.

В третьей главе диссертации три параграфа. В первом параграфе исследуются конечные группы, в которых для любой инвариантной подгруппы А выполняется неравенство (*). Конечно, описать все неразрешимые группы с таким свойством не представляется возможным. Поэтому приведено только строение фактор-группы G/E, где Е — слой группы G (теорема 3.1). Во втором параграфе изучаются конечные 2-группы (теоремы 3.2 — 3.5), в которых для любой неинвариантной подгруппы А выполняется неравенство (*). В третьем исследуется строение непримарных групп G, в которых условие (*) выполняется для любой неинвариантной подгруппы А. Группа G в этом случае разрешима. Это исследование разбито на части в зависимости от характера вложения силовской 2-подгруппы 5 и холловой 2'-подгруппы Р группы G: S < G, Р < G (теорема З.б), S < G, Р $ G (теорема 3.7), Р <1 G, S ^ G (теорема 3.8), Р G, S ^ G (теорема 3.9).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [45] - [50].

В работе используются следующие обозначения:

Если М < G, то М = М• Z(G)/Z(G). В частности, х = xZ(G). В случае необходимости одновременного рассмотрения фактор-групп G/Z(G) и G/A", где К > Z(G), элемент аК будем обозначать через а. Остальные обозначения стандартные.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аминева, Нажия Нажитовна, 2005 год

1. Алеев Р.Ж. Конечные группы с циклическими коммутантами си-ловских 2-подгрупп.// Мат. сб. — 1975. — Т.97. — № 3. — С. 323340. (РЖМат 1А220, 1976).

2. Антонов В.А. Решетка централизаторов в группах.// Исследов. алгебр, систем по св-ам их подсистем. — Свердловск. — 1985. — С. 3-14.

3. Антонов В.А. Группы с ограничениями на централизаторы.// Алгебра и лин. оптимиз. Труды междун. сем., посвещ. 90-летию С.Н. Черникова. Екатеринбург: УрО РАН, — 2002. — С. 31-43.

4. Антонов В.А. Локально конечные группы с малыми нормализаторами.// Мат. Заметки. — 1987. — Т. 41. — № 3. — С. 296-302.

5. Антонов В.А. Локально конечные группы с малыми нормализаторами, 2.// Изв. высш. учебн. завед. — 1989. — № 1. — С. 12-14.

6. Антонов В.А. Локально конечные группы с максимальными централизаторами элементов.// Мат. Заметки. — 1991. — Т.49 — № 3.С. 135-136.

7. Антонов В.А. Группы с ограничениями на централизаторы. Часть 1, Часть 2.// Челябинск: ЧГТУ. —1993. — 147 е., 118 с.

8. Антонов В.А. Конечные группы с модулярной решеткой централизаторов.// Алгебра и логика. — 1987. — Т.26 — № 6. — С. 653-683.

9. Антонов В.А. Группы типа Гашюца и близкие к ним группы.// Мат. Заметки. — 1980. — Т. 27. — № 6. — С. 839-857.

10. Антонов В.А., Тюрина И.А., Ческидов А.П. Группы с малыми централизаторами.// Мат.заметки. — 2001. — Т.69. — № 5. — С. 643-655.

11. Антонов В.А.,Ческидов А.П.,Тюрина И.А. О конечных группах с ограничениями на централизаторы.// Мат.заметки. — 2002.Т. 71. — № 4. — С. 483-495.

12. Антонов В.А.,Зенков В.И.,Тюрина И.А. О конечных группах с малыми централизаторами элементов.// "Алгебра и лин. оптимиз."Труды межд. сем. памяти С.Н. Черникова. — Екатеринбург. — 2002.С. 44-46.

13. Антонов В.А.,Зенков В.И.,Тюрина И.А. О группах с малыми централизаторами, 2.// Межд. конф. "Алгебраи ее прил.", Тез. докл.Красноярск. — 2002.— С. 5-7.

14. Гаген Т.М. Некоторые вопросы теории конечных групп.// К теории конечных групп. — М.Мир. —1979. — С. 13-97.

15. Голдшмидт Д.М. Разрешимые сигнализаторные функторы на конечных группах.// К теории конечных групп. — М.Мир. —1979. — С. 98-111.

16. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию.// М. Мир. — 1985. — 352 с.

17. Голикова Е.А. О 7г-группах с ограничениями на порядки элементов.// Деп. ВИНИТИ (РЖМат 1А132, 1999).

18. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп.// М. Наука. Физматлит. — 1996. — 288 с.

19. Сыскин С.А. Абстрактные свойства простых спорадических групп.// УМН. — 1980. — Т.35. — № 5. — С. 181-207.

20. Холл M. Теория групп.// М. Изд-во иностр. лит. — 1962. — 468 с.

21. Шериев В.А. Конечные 2-группы с дополняемыми инвариантными подгруппами.// Сиб. мат. ж. — 1967. — Т.8. —№ 1. — С. 215-232.

22. Adami S., Bianchi М., Verardi L. Groups with small centralizers of non-central elements. 2.// Pur. math, and Appl. — 1993(1994). — V. 4. — № 3. — P. 259-281.

23. Antonov V.A. Lattices of centralizers in groups.// Algebra. Proc. 3 Intern, conf. on Alg. Berlin New York. — 1996. — P. 1-6.

24. Bianchi M., Manz O. Groups with small centralizers of non-central elements.// Boll.Un.Mat.Ital.(7). — 1990. — V. 4-A. — P. 365-370.

25. Blackburn S.R. Groups of prime power order with derived subgroup of prime order.// J. Algebra. — 1999. — V. 219. — № 2. — P. 625-657.

26. Brandl R., Franciosi S., De Giovanni F. Groups whose subgroups have small automizers.// Rend. Circ. mat. Palermo. Ser. 2. — 1999. — V. 48. — № 1. — P. 13-22.

27. Carter R.G. Simple groups of Lie type.// John Wiley &; Sons. LondonNew-York — Sydney — Toronto. — 1972. — 331 p.

28. Chabot P. Groups whose Sylow 2-groups have cyclic commutator groups.// J. Algebra. — 1971. — V. 19. — № 1. — P. 21-30; II. J. Algebra. — 1972. — V. 21. — № 2. — P. 312-320; III. J. Algebra. — 1974. — V. 29. — № 3. — P. 455-458.

29. Du Ni. Xiamen daxue xuebao.// J.Xiamen Univ. Natar. Scu. — 2002.V. 41. —№ 1. — P. 13-16.

30. Gilotti A.L., Tiberio U. On the Fitting length of NC-groups.// Geom. dedic. — 1991. — V. 40. — № 1. — P. 217-224.

31. Gilotti A.L., Tiberio U. On the NC-groups.// Ric. mat. — 1990. — V. 39. — № 1. — P. 71-79.

32. Gilotti A.L., Tiberio U. Finite groups with self-centralizing p-elements.// Boll. Union mat. ital. A. — 1997. — V. 11. — № 1. — P. 193-203.

33. Gorenstein D., Walter J.H. The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups, 1, 2, 3.// J. Algebra. — 1965. — V. 2. — № 1. — P. 85-151; № 2. — P. 218-270; № 3. — P. 354-393. Corrections.1969. — V. 11. — № 2. — P. 315-318.

34. Hall P. The classification of prim-power groups.// J. reine angew. Math.1940. — V. 182. — P. 130-141.

35. Hethelyi L. Soft subgroups of p-groups.// Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Math. — 1984. — V. 27. — P. 81-85.

36. Hethelyi L. On subgroups of p-groups having soft subgroups.// J. London Math. Soc. — 1990. — V. 41. —№ 3. — P. 425-437.

37. Huppert B. Endliche Gruppen, 1.// Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag. — 1967. — 793 p.

38. Ishikawa К. Finite p-groups up to isoclinism, which have only two conjugacs lengths.// J. Algebra. — 1999. — V. 220. — № 1. — P. 333345.

39. Mann A. Extreme Elements of Finite p-Groups.// Rend. Sem. Math. Univ. Padova. — 1990. — V. 83. — P. 45-54.

40. Parmeggiani G., Stellmacher B. Groups of small breadth.// J. Algebra. — 1999. — V.213, —№ 1. — P. 52-68.

41. Scarcelli A. Gruppi con piccoli centralizzanti.// Boll.Un.Mat.Ital.(7).1992. — V. 6-B. — P. 649-663.

42. Smith S.D., Tyrer A.P. On finite groups with a certain Sylow normalizes 1, 2.// J. Algebra. — 1973. — V. 26. — № 2. — P. 343-365; 366-367.

43. Suzuki M. Group Theory, 2.// Springer-Verlag. New-York — Berlin — Heidelberg — Tokio. — 1986. — 621 p.

44. Verardi L. On Groups whose noncentral elements have the same finite number of conjugates.// Boll. Un. Mat. Ital. — 1988. — V. 3-A. — P. 391-400.Работы автора по теме диссертации

45. Антонов В.А., Аминева Н.Н. О группах с относительно большими централизаторами.// Изв. высш. учебн. завед. — 2003. — № 7.С. 8-17. (Исправления: "Письмо в редакцию".// Изв. высш.учебн. завед. — 2004. — № 5. — С 90.)

46. Антонов В.А., Аминева Н.Н. О группах с относительно большими централизаторами.// Труды ИММ УрО РАН, — 2001. — Т. 8.С. 1-8.

47. Аминева Н.Н. Группы с относительно большими централизаторами инвариантных подгрупп.// Вестник ЮУрГУ. — 2001. —№ 7. — С.37-38.