Специальные алгебры Ли, обобщенные тождества и радикальные свойства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Терехова, Юлия Алексеевна

• Терехова, Юлия Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Терехова, Юлия Алексеевна

Содержание

Введение

I. О теореме Леви для обобщенно специальных

алгебр Ли

II. Слабо разрешимый радикал в ассоциативных

кольцах

1. Существование слабо разрешимого радикала в ассоциативных кольцах

2. Слабо разрешимый радикал в кольце многочленов

и в кольце матриц над телом

III. Кольцевые свойства и обобщённые тождества

в полупервичных кольцах

1. Радикал Парфенова в полупервичной алгебре со

строгим обобщённым тождеством

2. Ниль-идеалы в полупервичных кольцах со строгими обобщёнными тождествами

3. Связь между радикальностью в смысле Бэра

и г-свойством

IV. Свойство поли-М-нильпотентности в кольцах

и полугруппах с нулем

1. Определение и простейшие свойства

поли-М-нильпотентности

2. Односторонние поли-М-нильпотентные идеалы

3. Поли-М-нильпотентность и г-свойство

V. Идемпотентность и r-свойство в кольцах

Литература

Публикации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Специальные алгебры Ли, обобщенные тождества и радикальные свойства»

Введение

При построении структурной теории алгебраических систем, как правило, необходимо сведение их к более простым объектам. Распространенной конструкцией, позволяющей осуществить такое сведение, является радикал. Наиболее известны следующие четыре радикала: нижний нильрадикал Бэра, локально нильпотентный радикал Левицкого, верхний нильрадикал Кёте и квазирегулярный радикал Перлиса-Джекобсона.

Основы построения общей теории радикалов колец и алгебр были заложены в пятидесятые годы С.А. Амицуром в работах [1], [2], [3] и А.Г. Ку-рошем в работе [4].

Рассмотрение различных свойств колец и алгебр привело к построению новых, ранее неизвестных радикалов. С другой стороны, некоторые из нововведённых свойств, хотя и не оказались радикальными, но позволили более точно описать уже известные радикалы в кольцах и алгебрах, обладающих этими свойствами.

В 1971 г. в работе [5] В.А. Парфёнов ввёл понятие слабой разрешимости для алгебр Ли: алгебру Ли Ь над полем А назовём слабо разрешимой, если для любого конечного множества элементов ^ данной алгебры существует номер п = такой, что все значения многочлена /п(я 1,^2, • • • на множестве ^ равны нулю, где /п — один из совокупности полилинейных многочленов из свободной алгебры Ьо над полем А таких, что

/0(^1) =Х1 и /,-(ж1,...,ж20 = /¿-1(^1, • • • ,я2<-1)-■/¿_1(ж2<-1+1,... для г > 0.

В этой же статье В.А. Парфёнов показал, что это свойство является радикальным в классе алгебр Ли. Поскольку ассоциативные кольца в некотором смысле близки к алгебрам Ли, то идея перенесения свойства слабой разрешимости в класс ассоциативных колец кажется естесственной.

В 1982 г. А.Д. Сандс в статье [6] ввёл и исследовал свойство М-нильпотентности: кольцо Я называется М-нильпотентным, если для любой двойной последовательности ..., а_2, а_ 1, ао> ^ь а2? • • • элементов кольца существуют целые т,к (к > 0) такие, что атат+1 ... = 0.

В 1992 г. Б.Дж. Гарднер рассмотрел свойство (г) в кольцах [7]: кольцо Я обладает свойством (г), если для любой последовательности (а1,а2...) элементов кольца существуют индекс п и перестановка а £ 5„-такие, что ■ ■ ■ аа{п) = 0- В работе [7] было также доказано, что ка-

ждое М-нильпотентное кольцо есть кольцо со свойством (г) и что обратное неверно.

Кажется небесполезным глубже исследовать сходство и различие между этими двумя классами колец. С этой целью в главе IV вводится и исследуется свойство поли-М-нильпотентности: кольцо R назовём иоли-М-нильпотентным, если существует цепь подколец кольца R

О - А0 С Ä! С Л2 С ... С Лп = R

такая, что А{ есть идеал в Ai+\ и Ai+\/Ai — М-нильпотентное кольцо (г = 0,... ,п — 1).

В статье [7] Б.Дж. Гарднер поставил вопрос: должны ли кольца, обладающие свойством (г), совпадать со своим первичным радикалом? В главе III диссертации доказано, что поставленный Гарднером вопрос решается положительно.

Доказательство этого факта во многом опирается на теорию обобщённых полиномиальных тождеств, которая была разработана B.C. Мартиндейлом для случая первичных колец [8] и К.И. Бейдаром в случае полупервичных колец [9-12]. Поскольку обобщённые тождества представляют интерес сами по себе, то часть диссертации посвящена изучению радикалов в кольцах с обобщёнными тождествами.

Основные результаты диссертации:

1. Получен аналог теоремы Леви для обобщённо специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль в случае, если фактор-алгебра Ли по локально разрешимому идеалу есть конечномерная полупростая алгебра Ли.

2. Осуществлён перенос свойства слабой разрешимости из класса алгебр Ли в класс ассоциативных колец. Доказано существование слабо разрешимого радикала в ассоциативных кольцах. Вычислен слабо разрешимый радикал для матричных колец над телом (тг > 1) и для колец многочленов.

3. Получен положительный ответ на вопрос Гарднера, то есть доказано, что кольца, обладающие свойством (г), совпадают со своим первичным радикалом. Показано, что полупервичное кольцо со строгим обобщённым тождеством не содержит ненулевых односторонних ниль-идеалов.

4. Введено свойство поли-М-нильпотентности и получен ряд его свойств. Построен пример кольца, обладающего свойством (г), но не являющегося поли-М-нильпотентным.

5. Получен пример идемпотентного градуированного однородно г-нильпотентного кольца, не обладающего свойством (г). Доказано, что кольцо многочленов над идемпотентным кольцом не обладает свойством

(г). Показано, что кольцо многочленов над алгеброй со свойством (г) над несчётным полем есть кольцо со свойством (г).

Все полученные результаты являются новыми.

Работа носит теоретический характер, её результаты могут найти применение в исследовании различных вопросов в теории колец, алгебр и полугрупп.

Результаты работы докладывались на алгебраическом семинаре "Кольца и модули" под руководством A.B. Михалёва, В.Н. Латышева и В.А. Артамонова (МГУ).

Основное содержание диссертации отражено в 5 публикациях, список которых приведен в конце диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, восьми параграфов и списка литературы из 23 наименований. Диссертация содержит 50 страниц печатного текста.

В первой главе получено обобщение теоремы Леви на случай обобщённо специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль, когда фактор-алгебра Ли по локально разрешимому идеалу есть конечномерная полупростая алгебра Ли.

Теорема 1. Пусть L — обобщённо специальная алгебра Ли над полем А характеристики нуль, R — локально разрешимый идеал, L/ R — конечномерная полупростая алгебра Ли. Тогда существует полупростая конечномерная подалгебра G алгебры L такая, что L представима в виде полупрямой суммы L = G ф R.

Также исследуется действие автоморфизмов алгебры Ли L на конечномерных полупростых подалгебрах (теорема 2).

Вторая глава посвящена изучению слабо разрешимого радикала (или радикала Парфёнова) в ассоциативных кольцах.

В первом параграфе вводится понятие слабой разрешимости в ассоциативных кольцах и доказывается, что класс ассоциативных слабо разрешимых колец радикален, что приводит к понятию слабо разрешимого радикала в ассоциативных кольцах как суммы всех слабо разрешимых идеалов кольца.

Во втором параграфе изложены следующие результаты:

Теорема 4. Пусть Mn(D) — кольцо матриц над телом D, п > 1.

Тогда радикал Парфёнова P(Mn(D)) равен нулю, если charD ф 2 или п > 2.

Замечание. Если charD = 2, то P(M2(D)) = M2(D).

Лемма 3. Пусть А — слабо разрешимое кольцо и С — коммутативное кольцо. Тогда A Cg>z С — слабо разрешимое кольцо.

Следствие 3. P(A[t]) = P{A)[t].

В третьей главе изучаются полупервичные кольца с обобщёнными тождествами.

Поскольку понятие обобщённого тождества является центральным для понимания всей главы, то сперва даются все необходимые определения и примеры, демонстрирующие эти определения. Попутно получены несколько результатов, касающихся полупервичных колец со строгим обобщёнными тождествами.

В первом параграфе доказано, что радикал Парфёнова полупервичной алгебры со строгим обобщённым тождеством над полем характеристики, отличной от двух, содержится в центре алгебры. Если же характеристика поля два, то радикал Парфёнова удовлетворяет стандартному тождеству степени четыре.

Во втором параграфе показано, что полупервичное кольцо со строгим обобщённым тождеством не содержит ненулевых односторонних ниль-идеалов.

В третьем параграфе получен положительный ответ на вопрос Гарднера, то есть доказывается, что кольца со свойством (г) совпадают со своим первичным радикалом. Доказательство опирается на теорию обобщённых тождеств в первичных кольцах.

В четвёртой главе вводится и исследуется свойство поли-М-нильпотентности в кольцах и полугруппах с нулём, а также изучается связь между поли-М-нильпотентностью и свойством (г).

В первом параграфе дано определение и сформированы и доказаны простейшие свойства поли-М-нильпотентности.

Определение. Кольцо R назовём поли-М-нилыпотентным, если существует цепь подколец кольца R

0 = AQCAiCA2C...CAn = R такая, что А{ есть идеал в Аг-+1 и Ai+\/Ai — М-нильпотентное кольцо

({ = 0,...,п- 1).

Длину наименьшей такой цепочки будем называть степенью поли-М-нильпотентности кольца Я, которую будем обозначать р (Я).

Простейшие свойства поли-М-нильпотентности:

1. Если Я — поли-М-нильпотентное кольцо степени п, то существует цепь идеалов кольца Я таких, что

О = /0 С Ь С /2 С . •. С 1п = Я

и /¿+1 //г- — М-нильпотентное кольцо (г = 0,____, п — 1).

2. Каждое подкольцо поли-М-нильпотентного кольца поли-М-нильпотентно.

3. Кольцо Я поли-М-нильпотентно тогда и только тогда, когда идеал I и кольцо Я/1 являются поли-М-нильпотентными кольцами.

4. Пусть Я — кольцо и I — поли-М-нильпотентный идеал степени п в кольце Я. Тогда если Я/1 — нильпотентное кольцо, то Я — поли-М-нильпотентное кольцо степени п.

Замечание. Определение и простейшие свойства поли-М-нильпотентности верны и для полугрупп с нулём.

Во втором параграфе изучаются односторонние поли-М-нильпотентные идеалы и доказано следующее:

1. Каждый односторонний поли-М-нильпотентный идеал содержится в двустороннем идеале, обладающем этим же свойством.

2. Сумма двух левых (правых) поли-М-нильпотентных идеалов есть левый (правый) поли-М-нильпотентный идеал.

В третьем параграфе исследуется поведение степени поли-М-нильпотентности относительно 0-прямого произведения полугрупп и с помощью полученных результатов построен пример кольца, обладающего свойством (г), но не являющегося поли-М-нильпотентным.

В пятой главе рассматривается взаимосвязь идемпотентности и свойства (г).

Получены следующие результаты:

1. Если Я алгебра над бесконечным полем обладающая свойством (г), то Я2 ф Я.

На основании этого результата построен пример идемпотент-ного градуированного однородно г-нильпотентного кольца, не обладающего свойством (г), в то время как однородно М-нильпотентные (псевдо)градуированные кольца обладают М-нильпотентностью.

2. Если кольцо R обладает свойством (г) и аддитивная группа R+ без кручения, то R2 ф R.

3. Если кольцо R идемпотентно, то кольцо многочленов R[x] не обладает свойством (г).

4. Если R — алгебра над несчётным полем F и R обладает свойством (г), то кольцо многочленов R[x] обладает свойством (г).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Терехова, Юлия Алексеевна, 1998 год

Литература

[1] S. A. Amitsur. A general theory of radicals 1. Amer. J. Math., (1952), 74, [774-786].

[2] S. A. Amitsur. A general theory of radicals 2. Amer. J. Math., (1954), 76, [100-125].

[3] S. A. Amitsur. A general theory of radicals 3. Amer. J. Math., (1954), 76, [126-136].

[4] А. Г. Курош. Радикалы кольц и алгебр. Матем. сб. , (1953) ,33 , 1, [13-26].

[5] В. А. Парфёнов. О слабо разрешимом радикале алгебр Ли. Сибирский математический журнал, (1971), 1, [171-176].

[6] A. D. Sands. On M-nilpotent rings. Proceedings of the Royal Society of Edinburg, (1982) ,93A, [63-70].

[7] B. J. Gardner Some nil ring properties related to T-nilpotence, Bull. Austral. Math. Soc. Vol.46 (1992) [519-523]

[8] Wallace S. Martindale. Prime rings satisfying a general polynomial identity. J. Algebra, (1969), 12, [576-584].

[9]К.И. Бейдар. Кольца с обобщёнными тождествами 1. Вестник Моск. ун-та. Матем., механ., (1977), 2, [19-26].

[10] К. И. Бейдар. Кольца с обобщёнными тождествами 2. Вестник Моск. ун-та. Матем., механ., (1977), 3, [30-37].

[11] К. И. Бейдар. Кольца с обобщёнными тождествами 3. Вестник Моск. ун-та. Матем., механ., (1978), 4, [66-73].

[12] К. И. Бейдар. Кольца с обобщёнными тождествами 4. Вестник Моск. ун-та. Матем., механ., (1980), 4, [3-6].

[13] Ю. А. Бахтурин. Тождества в алгебрах Ли. Москва. Наука. (1985).

[14] Н. Джекобсон. Алгебры Ли. Москва. Мир. (1984).

[15] Ю. А. Бахтурин. О строении PI- оболочки конечномерной алгебры Ли. Известия вузов. Матем., Казань, (1985), 11, [60-62].

[16] С. А. Пихтильков. Об использовании разрешимого радикала в теории многообразий алгебр Ли. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, (1990), [60-65].

[17] В. А. Андрунакиевич, Ю. М. Рябухин. Радикалы алгебр и структурная теория. Москва. Наука. (1979).

[18] S. A. Amitsur. Radicals of polynomial rings 1. Canad. J. Math., (1956), 8, [355-361].

[19] И. Ламбек. Кольца и модули. Москва. (1971).

[20] N. Jacobson. P/-algebras. Springer-Verlag Berlin-Heideilburg New York. (1975).

[21] I.N. Herstein. Topics in ring theory. Chicago. Univ. Chicago Press. (1969).

[22] К. И. Бейдар. Кольца с обобщёнными тождествами. Дис. канд. физ.-мат. наук. Москва, (1977).

[23] L. Fuchs,Infinite abelian groups. Vol.2 (Academic Press,New York and London, 1973)

Публикации

[1] Ю.А. Терехова. О теореме Леви для специальных алгебр Ли. Деп. в ВИНИТИ. 22.07.92. 2397-В92. 6 стр.

[2] Ю.А. Терехова. О теореме Леви для специальных алгебр Ли. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. Тула. 1994, стр. 97-103.

[3] Ю. А. Терехова. Односторонние ниль-идеалы и обобщенные тождества в полупервичных кольцах. Фундаментальная и прикладная математика, том 1, выпуск 3, Москва, 1995, стр. 809-811.

[4] В. Т., Марков, Ю. А. Терехова. Об идемпотентных кодьцах со свойством (г). Труды 5 математических чтений МГСУ. Москва. 1998, стр. 108-114.

[5] V.T. Markov, J.A. Terekhova. Some generalizations of T-nilpotency. Kurosh algebraic conference. 1998, p 84.