О коммутативных подалгебрах в обертывающих алгебрах полупростых алгебр Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Тарасов, Алексей Александрович

• Тарасов, Алексей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тарасов, Алексей Александрович

Введение

0.1. Обозначения и постановка задач.

0.2. Основные результаты.

0.3. Основные методы доказательств.

Глава 1. Существование квантования обобщенных подалгебр Мищенко — Фоменко для алгебры Ли gln(C)

Глава 2. Максимальность обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко в алгебрах Пуассона полупростых алгебр Ли

Глава 3. Единственность квантования обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко для алгебры Ли £jl„(C)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О коммутативных подалгебрах в обертывающих алгебрах полупростых алгебр Ли»

0.1. Обозначения и постановка задач. Настоящая диссертация посвящена, во-первых, доказательству существования и единственности квантования (т.е. поднятия из алгебры Пуассона

- Ли в обертывающую алгебру) обобщенных подалгебр Мищенко

- Фоменко для алгебры Ли 0ln(C), и во-вторых, изучению свойств максимальности для обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко для полу простых алгебр Ли.

Универсальная обертывающая алгебра U(g) алгебры Ли g имеет возрастающую фильтрацию схз и ^'(в)- (0-1) а=0

Ассоциированная градуированная алгебра

00 gr U(g) = JP(0) = ф Р*(0), Рк(д) = U^igyu^Q), (0.2) к=0 согласно теореме Пуанкаре - Биркгофа - Витта, канонически изоморфна симметрической алгебре 5(g) пространства д. Однако, помимо коммутативно-ассоциативной операции умножения, в ней благодаря коммутативности алгебры Р(д) естественным образом вводится л невская операция { , } - "скобка Пуассона - Ли -Березина" (мы будем называть ее просто скобка Пуассона), для которой и + C/(fc-D(0), „ + U^iQ)} = [и, v] + (0.4)

Это определение корректно ввиду коммутативности алгебры grU(g).) Другие эквивалентные определения см. в [14].

Скобка Пуассона связана с умножением тождеством Лейбница

Она однозначно определяется этим свойством и "начальными условиями" {ж, у} = [ж, у] при х, у Е 0.

Элементы х,у G P(q) будем называть коммутирующими, если {х,у} = 0. В соответствии с этим будем понимать и такие термины, как "коммутативное подпространство" (в частности, "коммутативная подалгебра") и "централизатор" (какого-либо подмножества) в алгебре Р(д). Из (0.5) следует, что если какие-либо элементы в алгебре P(q) попарно коммутируют, то порожденная ими подалгебра коммутативна.

0.3) x,yz} = {x,y}z + y{x, z}

0.5)

Алгебры U(g) и P(g) можно рассматривать как алгебры Ли относительно операции коммутирования и скобки Пуассона соответственно. Алгебра 0 канонически вкладывается в эти алгебры Ли. Образ элемента х Е 0 в Р(g) мы будем отождествлять с ж (и обозначать той же буквой), а образ х в U(g) будем обозначать через х. Вложение g —¥ U(q) с помощью отображения симметризации л : Р($) ^(б) (см., напр., [1, 6] ) продолжается до изоморфизма 0-модулей, при котором

X\.Xk*-* X^TTTxk = -д Xai . . . Хок (®1, • • • I Xk G 0). <r£sk

Пусть G - связная группа Ли, имеющая 0 своей касательной алгеброй. Если понимать элементы Р(д) как многочлены на пространстве 0*, сопряженном 0, то скобка Пуассона в P(q) будет совпадать с обычной скобкой Пуассона функций на орбитах коприсоединенного представления группы G относительно канонической симплектической структуры на этих орбитах [14]. Отсюда следует, что степень трансцендентности любой коммутативной подалгебры алгебры P(q) не превосходит d(g) = (dim0 + ind б)/2, где ind0 (индекс алгебры 0) — коразмерность орбиты общего положения коприсоединенного представления группы G. (Для полупростой алгебры Ли 0 индекс равен рангу.)

Коммутативные подалгебры алгебры -Р(0) максимальной степени трансцендентности имеют принципиальное значение для проблемы интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем на однородных пространствах группы G.

В работе [10] для любой полупростой алгебры Ли g методом сдвига инвариантов были построены коммутативные подалгебры алгебры Р(д), степень трансцендентности которых равна d(o). Укажем их явное описание. Они получаются методом сдвига инвариантов, задаваемого формулой Манакова [9].

Пусть g — редуктивная комплексная алгебра Ли, 5(0) — ее симметрическая алгебра, Р($) — ее алгебра Пуассона, т.е. алгебра 5(g), снабженная скобкой Пауссона. Элементы алгебры Р(д) будем рассматривать как функции на 0* или на 0, отождествляя 0* с 0 с помощью инвариантного скалярного умножения (■,•).

Пусть {F( £ Р{&) | г = 1. г} есть алгебраически независимая система порождающих центра алгебры Р(д). Пусть f) С 0 — картановская подалгебра, h € I) — регулярный элемент. Тогда элементы d%Fi(i = l.r,k = 0,1,.,degi7* — 1) алгебры Р(0) попарно коммутируют и алгебраически независимы [10].

Порожденную ими подалгебру обозначим через F(h). Степень ее трансцендентности равна d($). Подалгебры вида F(h) называются подалгебрами Мищенко - Фоменко.

С помощью предельного перехода согласно работам [1] и [15] из подалгебр Мищенко - Фоменко можно получать другие коммутативные подалгебры максимальной степени трансцендентности. А именно, пусть а = a{t) — такой сходящийся (в окрестности нуля) степенной ряд с коэффициентами из алгебры д, что элемент a(t) регулярен и полупрост при всех достаточно малых t 0. Рассмотрим соответствующие подалгебры F(a(t)). Все эти подалгебры являются градуированными, причем размерность градуирующего подпространства F(a(t))k С Рк{&) не зависит от t. Далее, коэффициенты производных базисных инвариантов алгебры 0 вдоль вектора a(t) являются сходящимися рядами от t. Отсюда следует, что плюккеровы координаты подпространства F(a(t))k также являются сходящимися рядами от t; поэтому для каждого к ^ 0 существует предел Fk = lim(>o F(a(t))k в соответствующем грассмановом многообразии. Ясно, что F(a) = ®Fjt — коммутативная подалгебра алгебры Р(д), которую мы будем обозначать lim^o F(a(t)) и называть обобщенной подалгеброй Мищенко - Фоменко. Заметим, что степень трансцендентности алгебры lim^o F{a{t)) равна d(g). В самом деле, степень трансцендентности градуированной алгебры определяется ее рядом Пуанкаре (и равна порядку полюса этого ряда в точке 1), а ряд Пуанкаре подалгебры lim^o F(a(t)) такой же, как и у "допредельных" подалгебр, имеющих степень трансцендентности d(g). Таким образом, подалгебра lim^o F(a(t)) имеет максимальную степень трансцендентности.

В [15] доказано, что если все коэффициенты ряда а принадлежат фиксированной картановской подалгебре I) алгебры 0, то F(a) есть свободная коммутативная алгебра.

Пусть g — произвольная алгебра Ли. Если А — некоторая коммутативная подалгебра алгебры U(g), то gr А — коммутативная подалгебра алгебры Р(й). В [1] показано, что если grA конечно порождена, то степени трансцендентности алгебр А и gr Л совпадают. Будем говорить, что А — подалгебра конечного типа, если алгебра grA конечно порождена. Таким образом, степень трансцендентности любой коммутативной подалгебры конечного типа алгебры U(q) не превосходит

Существуют ли в U(g) коммутативные подалгебры конечного типа, степень трансцендентности которых равна <f(g)?

Примеры таких подалгебр имеются. Так, конструкция базиса Гельфанда - Цетлина в пространстве неприводимых представлений алгебры Ли 0ln(C) связана именно с такой подалгеброй алгебры C/(gln(C)) [5], [8]. Дадим ее описание. Обозначим через ец (1 ^ i,j ^ тг) матричные единицы, составляющие базис алгебры gl„(C), и определим подалгебры glnjP(C) = (et-j | 1 ^ i,j ^ р). Подалгебру алгебры ?7(0ln(C)), порожденную центрами подалгебр U(&n,p(C))(P ~ 1» • • • >будем называть подалгеброй Гельфанда -Цетлина. Ее весовые векторы задают базис Гельфанда - Цетлина в пространстве нериводимого представления алгебры Ли 0ln(C).

В работе (1] для произвольной полупростой алгебры Ли 0 было показано, что элементы степени ^ 2 подалгебры Мищенко -Фоменко могут быть подняты в U(&) так, что их образы будут попарно коммутировать. (Для однородного элемента х G P(q) степени р назовем поднятием такой элемент у Е Ufa)^, что grpy = х.) В качестве поднятия использовалось отображение симметризации ~ : Р{&) —> U(q).

Будем говорить, что коммутативная подалгебра А С Р(о) допускает поднятие (квантование), если существует такая коммутативня подалгебра В С U(#), что gr В = А. В этом случае подалгебру В будем называть поднятием подалгебры А.

Э.Б.Винбергом |1] была высказана гипотеза, что подалгебры Мищенко - Фоменко могут быть полностью подняты до коммутативных подалгебр в U(q), причем в качестве поднятия образующих может быть использовано отображение симметризации.

В работе [18] с помощью янгианов было показано, что для классических полупростых алгебр Ли подалгебры Мищенко

- Фоменко допускают квантование, однако из предъявленной конструкции неясно, что полученное поднятие содержит образы порождающих подалгебры Мищенко - Фоменко при отображении симметризации (хотя для случая алгебры Ли 0 = 0ln(C) это следует косвенным образом из теоремы единственности, доказанной в главе 3 настоящей диссертации). Кроме того, в этой же работе для классических полупростых алгебр Ли была доказана максимальность подалгебр Мищенко - Фоменко.

В случае 0 = 0ln(C) наличие квантования подалгебр Мищенко

- Фоменко косвенным образом следует также из результатов, анонсированных в работах [16] и [17].

0.2. Основные результаты.

Перейдем теперь к краткому изложению основных результатов диссертации по главам.

В главе 1 для случая 0 = £jln(C) доказывается, что обобщенные подалгебры Мищенко - Фоменко могут быть подняты в обертывающую алгебру. Более того, это поднятие может быть осуществлено с помощью отображения симметризации

Пусть g = 0ln = 0ln(C).

Определим "главные миноры порядка pv как элементы

Mh.ip - (sgn <7)eili(r(1) • • • eipi<r(p) (га < . < ip), aeSp где умножение понимается как операция в алгебре Р(0). Суммы

FP - Mh.ip (р = 1, . . . , n) ii<—<ip алгебраически независимы и порождают центр Z алгебры Ли Р(0). (Как известно, Z состоит из инвариантов естественного действия алгебры 0 в Р(0).) Заметим, что элементы Fr (г = 1,.,те) порождают центр алгебры U(#) [4].

Пусть dij G Der Р(q) обозначает дифференцирование по е^. Для любой матрицы а = (а1;) положим даи — ^ O'ijdijU (и € Р(д)). Ц

Пусть h = diag(/ii,., hn), причем hi,.,hn различны. Тогда согласно общему результату А.Т.Фоменко и А.С.Мищенко [10] элементы

FPik{hh .,hn) = d^Fp (р = 1,., п; к = 0,. ,р - 1) алгебры Пуассона -Р(б) алгебраически независимы и попарно коммутируют относительно скобки Пуассона.

Теорема 1.1. Для любых hi,.,hn е С элементы FPtк = Fp,k{hi,. ,hn) (р = 1, .,щк = 0,1, .,р — 1) попарно коммутируют.

Следствие 1.1. При g = gln(C) подалгебры Мищенко - Фоменко допускают квантование, при котором образующие поднимаются с помощью отображения симметризации.

Следствие 1.2. При g = gln(C) обобщенные подалгебры Мищенко - Фоменко допускают квантование.

В главе 2 доказывается максимальность обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко в алгебрах Пуассона полупростых алгебр Ли. Пусть g - полупростая комплексная алгебра Ли, S(g) - её симметрическая алгебра, P[q) - её алгебра Пуассона, т.е. алгебра S(q), снабженная скобкой Пуассона - Ли.

Пусть f) С 0 - картановская подалгебра, h G \) - регулярный элемент.

Основным утверждением данной главы является следующая

Теорема 2.1. F(h) есть максимальная коммутативная подалгебра алгебры Р(б).

Пусть а = a(t) - такой сходящийся (в окрестности нуля) степенной ряд с коэффициентами из алгебры f), что элемент a(t) регулярен и полупрост при всех достаточно малых t ф 0.

Пусть F(a) = \\mt->o F(a{t)) (см. [1, 15] ). В [15] доказано, что F(a) есть свободная коммутативная подалгебра максимальной степени трансцендентности.

Теорема 2.2. F(a) есть максимальная коммутативная подалгебра алгебры P(q).

В главе 3 для случая 0 = 0ln(C) (n € N) доказывается единственность квантования обобщенных подалгебр Мищенко -Фоменко для алгебры Ли g!n(C). Ключевой идеей доказательства является усиленное свойство максимальности обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко для алгебры Ли 0l„(C).

Пусть 0 — редуктивная комплексная алгебра Ли, I) С 0 — картановская подалгебра.

Пусть о = a{t) — такой сходящийся (в окрестности нуля) степенной ряд с коэффициентами из алгебры F), что элемент a(t) регулярен при всех достаточно малых t ф 0. В [15] доказано, что F(g, а) = F{a) = lim^o F(a{t)) есть свободная коммутативная подалгебра максимальной степени трансцендентности.

Универсальная обертывающая алгебра U{$) алгебры 0 имеет каноническую возрастающую фильтрацию U(0) = Алгебра Р(0) естественным образом отождествляется с ассоциированной градуированной алгеброй grU(g), т.е. Р(0) = § Pm(fl), Pm(fl) = t/(0)(m)/^(0)(m1). Положим т=0 т

P(0)M=gr[/(0)(-) = ©Pfc(0). к=0

Пусть теперь 0 = gln(C) (n £ N). В качестве f) рассмотрим подалгебру диагональных матриц в 0. Обозначим через e,j (1 ^ hj ^ п) матричные единицы, составляющие базис алгебры 0, и определим элементы Mh„Ap = £ (sgncr)ehi,w т ■■%г<,{Р) е р(в) (h < eSp < ip). Суммы Fp— Milm.ip (p = 1,.,n) алгебраически ij<—<tp независимы и порождают центр алгебры Ли Р(д). Пусть h = diag(/ii,., hn), причем hi,.,hn различны. В главе 1 доказано, что F(h) = C[9jFp|p = 1,., п; к = 0. .р — 1] — коммутативная подалгебра в [7(g). Основным результатом главы 3 является

Теорема 3.1. Если А С U(q) — такая коммутативная подалгебра, что gr(А) = F{h), то А = F(/i).

Аналогично работе |15] с помощью предельного перехода из Л подалгебр вида F(h) можно получать другие коммутативные подалгебры в С7(д). Уточним, что здесь понимается под предельным переходом. Рассмотрим подалгебры F(a{t)). Размерность подпространства F{a{t= F(a(t)) П не зависит от t. Коэффициенты элементов вида d^Fp (р = 1, к =

О,. ,р — 1) являются сходящимися рядами от t. Отсюда следует, что плюккеровы координаты подпространства F(a(t))^ также являются сходящимися рядами от t, поэтому для каждого т ^ О существует предел F(a= lim^o F(a(t))^ в соответствующем грассмановом многообразии. Ясно, что F(a) = UmF(a)^ -коммутативная подалгебра алгебры U{q), причем gr F(a) = F(a), поскольку предельный переход перестановочен с отображением симметризации.

Если А — некоторая коммутативная подалгебра алгебры [7(g), то gr А — коммутативная подалгебра алгебры Р(д). Будем говорить, что А — подалгебра конечного типа, если алгебра gr А конечно порождена. В [1] доказано, что если А — подалгебра конечного типа, то степени трансцендентности алгебр А и gr А совпадают. Отсюда следует, что F(a) имеет такую же степень трансцендентности, как и F(a), и, значит, максимальную степень трансцендентности среди всех коммутативных подалгебр конечного типа алгебры U(q).

Пусть F(a)(m> = F(a) П P(g)(m), F(a)(m) = F(a) П Ufa)™. Теорема 3.1. допускает следующее обобщение.

Теорема 3.2. Если А С U(q) — такая коммутативная подалгебра, что gr(^) = F(a), то A — F(a).

На самом деле будет доказана ещё более общая

Теорема 3.3. Если В С — такое коммутативное подпространство, что gr(B) = F(a)^m\ то В = F(a)(mK

Ясно, что теорема 3.1. следует из теоремы 3.2. При доказательстве теоремы 3.3. ключевую роль будет играть

Теорема 3.4. Пусть w е Р(д) и {w, F(a)(dcsw)} = 0. Тогда w 6 F(a).

Следствие 3.1. Пусть w G U(g) и [w, = 0. Тогда w G F(a).

0.3. Основные методы доказательств.

Прокомментируем основные методы доказательств указанных выше результатов по главам.

В главе 1 Теорема 1.1. сводится к доказательству некоторых тождеств для алгебры f/(g[„(C)), не зависящих от h Е fj, где f) — подалгебра диагональных матриц.

Положим Niu„ik Mi„,jtt„f2,.»fc.,.n (i\< . < 4), где j обозначает пропуск индекса j, и Л^.,-^ :=

К, .лк Для всякого о £ Sk

Найдем необходимое и достаточное условие того, что (р =

1, .,п; к = 0,. — 1) попарно коммутируют для любых

Для любого подмножества I С {1, .,п} через |7| будем обозначать его мощность. Запись I JL U будет означать, что I П U = 0, a IU := I U U при I L U. Для I = {i\. положим hi hit hik.

Ясно, что и, следовательно, к\ где суммирование происходит по всем подмножествам I С {1,. ,п} мощности к.

Аналогично, u±i где \1\ = к, \U\ = п-р. Следовательно, 1 1

ЕЕ Aw, Е ^ Е

J V±J

Y, я™, Y1 я™

LU±I V±J где |/| = k, \U\ = n— p, | Jj = Z, |V| = n—g. Приводя подобные члены, ££w>, j получаем, что элементы FPik{h\,., /in) попарно коммутируют для любых hi,. ,hn тогда и только тогда, когда

YSjT(k,l,p,q) :=

IUJ=S lnJ=T

Y я™, Y, ft™

LU±I

V±J 0

0.6) для любых S,T С {1,., тг}, T С S.

Будем доказывать равенства Y§jT(k,l}p,q) = 0 индукцией по п. При п = 1 они, очевидно, верны. Предполагая, что равенства справедливы для матриц порядка < п, докажем их для матриц порядка п.

Лемма 1.0. Если Т ф 0, mo Y§,T(k,l,p,q) = 0.

Теперь осталось разобраться со случаем, когда Т = 0. Положим

Ys := Ys(k,l,p,q) := Ys,0(k,l,p,q) = ^

IUJ=, ILJ

0.7) где, как и выше, |/| = к, \U\ = п — р, | J\ = Z, |У| = п — q. Будем называть индексы из 5 главными, а остальные индексы - простыми.

Пусть М - произвольный набор индексов, М С {1, .,п}. Обозначим через 0l(M) подалгебру, порожденную элементами etj, i,j 6 М, а через GL(M) - соответствующую подгруппу группы GLn(C).

Лемма 1.1.а. Для любых простых индексов у, 6 имеем [е7<5,Г5] = 0.

Лемма 1.1.6. Для любых главных индексов у, 5 имеем el5, YS] = 0.

Раскрывая скобки в (0.7), получаем линейную комбинацию произведений вида ePl4l. .ePi(9>, в которых каждый индекс встречается одинаковое число раз слева и справа, причем это число < 1 для главных индексов и < 2 для простых индексов. После

Y^nw^njv , iju v±J возможного понижения степени за счет применения соотношений вида

Л Л Л ys /S с л pq&qr ~ Opr^-qq указанные свойства сохраняются.

Пусть т — наименьшее целое число, для которого Is G и Ws - проекция Ys на Pm(g). Ясно, что Ws] = 0 для любых простых(главных) индексов 7, <5.

Пусть £/(0)^ — подпространство С/(д), элементы которого коммутируют с t) (алгеброй диагональных матриц). Введем подпространство U'($) С {/(д)^ элементов, которые могут быть представлены в виде линейной комбинации произведений вида ePlQl . .ep,q,, в которых каждый главный индекс встречается слева(и соответственно справа) не более одного раза, и аналогично определим подпространство Р'(д) С Р(б),). Тогда gr U'(q) — P'(q). Ясно, что € Pm'(0) = -P'(S) П Pm(0).

Пусть т - антиавтоморфизм алгебры Ли £/(g), переводящий eij в eji. Ясно, что г сохраняет поднятые миноры, т. е. r(iVj) = N1. Но тогда г умножает коммутаторы миноров [Nju, Njy] (и,стало быть, элементы Is) на -1. Итак, t(Ys) — — Is- Заметим, что г сохраняет фильтрацию и, тем самым, индуцирует автоморфизм алгебры Ли

P(g), причем r(Ws) = —Ws

Далее будет доказано, что r(Ws) = W5. Отсюда будет следовать, что Ys = 0.

Пусть S - набор главных индексов, Т - набор простых индексов.

Лемма 1.2. (основная лемма) Пусть W - элемент пространства Pm'(g), инвариантный относительно действия групп GL(5) и GL(T).

Тогда t(W) = W.

При доказательстве леммы 1.2. (основной леммы) используется классическая теория инвариантов.

В главе 2 Теорема 2.2. сводится к доказательству того, что F(a) алгебраически замнуто в Р(0)1'. Последнее доказывается с помощью

Лемма 2.1. Пусть А - целостное кольцо, допускающее разложение вида А — В ф I, где В - подкольцо, I - идеал кольца А. Тогда В алгебраически замкнуто в А.

В свою очередь построение соответствующего идеала осуществляется с помощью леммы 2.4. Введем необходимые обозначения.

Множество А всех корней алгебры Ли g разлагается в объединение А = А{, где At- = — (Д,) при i > 0 состоит из тех положительных корней, которые разлагаются в сумму ровно г простых корней. Пусть 0* = (еа | о; Е Af),0o = fy- Положим 0+ = Т>т Ш> Ь = 0+ © *) и q0 = b Ф Се, где е = £«едг еа. Без ограничения общности будем считать, что (е, е) = 1. Определим проекцию Qo : 0 ~Mo следующим образом:

Эо|ь = Id, Qo\Bi = 0, г < -2, Q0(ea) = а G

Продолжим её до гомоморфизма Qq : 5(0) —•S'(qo) симметрических алгебр. Ясно, что алгебра S(qo) линейно порождена мономами вида

I «2

Пе&П 4 е-' (0-8) t=i i=i где Е Ц>1 otj Е Ai, ед. - корневой вектор, отвечающий корню Пусть /io Е f) ~ такой элемент, что a(ho) = 1 для любого корня а Е Ai. Пусть 5(qo)h° = {х€ S(qo) | {fro, я} = 0}. Отметим, что Q0 перестановочно с действием ad(/io)

Лемма 2.4. Ограничение Qo\f(o) • F{a) —> S(qo)/l° есть изоморфизм алгебр.

Наконец, в качестве идеала берется I = {rc Е | Qo(x) = 0}.

В главе 3 Теорема 3.4. доказывается применением индукции по п для регулярных подалгебр алгебры g = 0ln(C). Для этого вначале для общего случая редуктивной алгеры Ли приводится построение специального идеала и дается ряд вспомагательных лемм. Пусть g — редуктивная алгера Ли. В главе 2 показало, что

Qo(P(0)*) = ЯЫ'* = е S(q0)\{h0,x} = 0}, и что ограничение Qo|f(o) : F(a) ^(Чо)}lQ есть изоморфизм алгебр.

Пусть q = b ф 0-1. Определим проекцию Q : д q следующим образом:

31, = Id, = 0,1^-2.

Продолжим ее до гомоморфизма Q : 5(g) —> 5(q) симметрических алгебр. Ясно, что Q(P(g)l)) = S(q)*, и что Qo\S(q)b : S(q)* 5(q0)/<0 есть изоморфизм алгебр. Поскольку Qq = Qq о Q, ограничение Q\f(o) F(a) есть изоморфизм алгебр.

Пусть д' — редуктивная регулярная относительно f) подалгебра в редуктивной алгебре Ли 0, tf С I) — картановская подалгебра и А' — система корней алгебры д'. Пусть f)" — ортогональное дополнение к fj' в f).

Пусть 7(0') = (Р(д) ({еа\а е Д \ Д'}, &")) Очевидно, что

7(0') - идеал в Р(д)К

Лемма 3.2. (об идеале) 1(д!) — пуассонов идеал.

Имеем разложение = Р^')**' Ф Пусть 7г = 7r0iB» :

P(g)t) -4 P(g')f)' — соответствующий проектор. Из леммы 3.2. (об идеале) следует, что тг — гомоморфизм пуассоновых алгебр. Заметим, что тг сохраняет степень.

Положим F(g', а) = Р(д',тг(а)).

Лемма 3.3. (об инвариантах) тг(Р(д)0) С Р(д')0'.

Лемма 3.4. (о вложении) тг(Р(д, а)) С Р(д', а).

Лемма 3.5. (о накрытии) Если Д' = Д П fj' , то тг(F(g, а)) =

Все упомянутые результаты являются новыми. Они опубликованы в работах [11], [12), [13].

Автор глубоко признателен своему научному руководителю Э.Б.Винбергу за постановку задач, а также за постоянное внимание к работе и поддержку.

Автор также признателен В.В.Шувалову за полезные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тарасов, Алексей Александрович, 2003 год

1. Винберг Э.Б. О некоторых коммутативных подалгебрах универсальной обертывающей алгебры // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т.54. № 1. С. 3-25.

2. Винберг Э.Б. Коммутативные однородные пространства и коизотропные симплектические действия / / Успехи математических наук- 2001. Т.56. № 1. С. 28

3. Винберг Э.Б., Попов B.JI. Теория инвариантов // Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. Фундам. напр. Т.55. М.-.ВИНИТИ, 1989. С. 137-309.

4. Гельфанд И.М. Центр инфинитезимального группового кольца // Математический сборник. 26 (1950). С. 103 112

5. Гельфанд И.М., Цетлин M.JI, Конечномерные представления группы унимодулярных матриц // ДАН СССР 71, № 5 (1950), С. 825 828

6. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры // М.Мир, 1978. С. 98

7. Дынкин Е.Б. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли // Матем. сб. нов. сер., 1952. Т.ЗО, вып.2, С. 349 462.

8. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970.

9. Манаков С.В. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики п мерного твердого тела. // Функц. анализ и его прил., 10, вып.4, 93-94 (1976)

10. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. Т.42. № 2. С. 396=415.

11. Тарасов А.А. О некоторых коммутативных подалгебрах в универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли gl(n, С) // Математический сборник. 2000. Т. 191. № 9. С. 115-122.

12. Тарасов А.А. Максимальность некоторых коммутативных подалгебр в алгебрах Пуассона полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук. 2002. Т.57. №5. С. 165-166.

13. Тарасов А.А. О единственности поднятия максимальных коммутативных подалгебр из алгебры Пуассона Ли вобертывающую алгебру // Рукопись деп. в ВИНИТИ № 2231 В 2002

14. Шувалов В.В. О пределах подалгебр Мищенко Фоменко в алгебрах Пуассона полупростых алгебр Ли. // Функциональный анализ и его приложения. 2002. Т.Зб. № 4 с. 55-64.

15. Kirillov A.N., Reshetikhin N.Yu. Yangians, Bethe ansatz and combinatorics // Lett.Math.Phys. 12 (1986). P. 199 208

16. Kulish P.P., Sklyanin E.K. Quantum spectral transform method: recent developments //in "Integrabie Quantum Field Theory", Lectures Notes in Phys., 151, Springer, Berlin Heidelberg, 1982. P. 61 -119

17. Nazarov M., Olshanski G. Bethe subalgebras in twisted yangians // Comm. Math. Physics. 1996. V. 178. P. 433-506.Со 2ЬО('?- Cjo