Модули без кручения над полупервичными кольцами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Данлыев, Хайытмырат

• Данлыев, Хайытмырат
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Данлыев, Хайытмырат

Введение

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ .2>

§ I. Полусовершенные , полупервичные и полуцепные кольца . • &

§ 2. Колчан полусовершенного кольца . 15"

ГЛАВА П. ПОЛУПЕРВИЧНЫЕ НЕТЕРОВЫ КОЛЬЦА, КАЖДЫЙ ПРАВЫЙ ИДЕАЛ КОТОРЫХ ИМЕЕТ ДВЕ ОБРАЗУЮЩИЕ

§ 3. Колчан полупервичного кольца .,,.

§ 4-. Строение полупервичных полусовершенных нетеро-вых колец, каждый правый идеал которых имеет две образующие .2%

ГЛАВА Ш. МОДУЛИ БЕЗ КРУЧЕНИЯ НАД ПОЛУПЕРВИЧНЫМИ КОЛЬЦАМИ.

§ 5. Вычисление модулей.

§ 6. Модули без кручения над первичными кольцами.

§ 7. Модули без кручения над полупервичными кольцами.

Ли тера тура.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модули без кручения над полупервичными кольцами»

Важную роль при изучении различных классов колец играет изучение модулей над ними (под кольцом в настоящей работе понимается ассоциативное кольцо с единицей , а под модулем, если не оговорено противное , унитарный правый модуль). Одним из естествен -но возникающих классов колец такого типа является класс полупростых артиновых колец. Эти кольца в силу теоремы Веддербарна-Арти-на характеризуются тем , что над ними все модули полупростые.

Введенные Кете однорядные артиновые кольца [2б]характеризуются тем , что над ними все модули разлагаются в прямую сумму однорядных модулей , т.е. модулей , обладающих единственным композиционным рядом , все факторы которого изоморфны между собой.

Согласно [l7] модуль называется цепным, если структура его подмодулей линейно упорядочена. Прямая сумма цепных модулей на -зывается полуцепным модулем. Говорят , что кольцо - полуцепное справа (слева) , если оно является полуцепным правым (левым) модулем над собой [l7j . Полуцепное кольцо - это полуцепное справа и слева кольцо.

Накаяма [29] показал , что над полуцепным артиновым кольцом все модули полуцепные. Л.А. Скорняковым доказано , что и наоборот , если над кольцом все модули полуцепные , то это артиново полуцепное кольцо [17].

Отметим также , что Ю.А. Дрозд 8 и Уорфилд [зо] независимо показали , что кольцо является полуцепным тогда и только тогда , когда над этим кольцом все конечнопредставимые модули полуцепные.

Часто при рассмотрении модулей над кольцом изучаются не все модули , а некоторые конкретные классы модулей (например, модули без кручения). Так при описании целочисленных представ лений колец возникают так называемые модули представлений или, что то же, модули без кручения в смысле Басса [22] . Многие работы посвящены изучению целочисленных порядков,, неразложимые модули представлений над которыми изоморфны правым идеалам порядка. Эта тематика ведет начало от работы Басса [21] , в которой рассматриваются модули без кручения над коммутативной об -ластью целостности , каждый идеал которой имеет две образующие. В работе [15] результат Басса перенесен на случай модулей представлений некоммутативных порядков. З.й. Боревич и Д.К. Фаддеев [i],[2] рассмотрели представления порядков с циклическим индексом. Этот класс порядков совпадает с классом порядков , рассмотренных в [26] .В работе [9] вводится класс бассовых порядков, содержащий, в частности , все наследственные порядки и порядки, каждый правый идеал которых имеет две образующие и показано , что над такими порядками все неразложимые модули представлений изоморфны правым идеалам порядка. В той же статье получено описание бассовых порядков над полным локальным дедекиндовым кольцом. В работе [9] показано , что всякий бассов порядок над полным локальным дедекиндовым кольцом эквивалентен в смысле Мо -риты прямому произведению наследственного порядка и порядка , каждый идеал которого имеет две образующие.

Как следует из [16] порядки над полным локальным дедекиндовым кольцом являются полусовершенными кольцами. Кроме этого, с точки зрения общей теории колец , целочисленные порядки являются полупервичными нетеровыми с двух сторон кольцами.

Целью настоящей работы является изучение нетеровых с двух сторон полусовершенных полупервичных колец , каждый правый (левый) идеал которых имеет две образующие и модулей без кручения в смысле Басса над нетеровыми полусовершенными полупер яичными кольцами размерности Крулля I, у которых каждый правый и каждый левый идеал имеет две образующие.

При описании этих колец используются понятие колчана (или схемы) полусовершеиного кольца , введенного в [ю] , которое обобщает понятие колчана Габриеля конечномерной алгебры над полем [24].

При изучении модулей представлений над порядками в упомя -нутых выше работах существенно используется специфика теории целочисленных представлений.

В настоящей работе для описания модулей без кручения в смысле Басса используется вложение такого модуля в полупростой мо -дуль над кольцом частных полупервичного нетерова с двух сторон кольца. Применяя затем автоморфизмы этого полупростого модуля и проективного накрытия модуля без кручения , задачу описания конечнопорожденных модулей без кручения сводим к задаче приве -дения матриц элементарными преобразованиями над вполне опреде -ленными кольцами.

Перейдем к изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из введения , трех глав и семи параграфов. В первой главе приводятся необходимые сведения о полусовершенных коль -цах , в частности , приводится понятие колчана полусовершенного кольца и доказывается теорема, характеризующая разложение нетерова с двух сторон кольца в прямое произведение колец в терми -нах его колчана [il]. Вторая глава посвящена описанию нетеровых полупервичных полусовершенных колец , каждый правый идеал имеет две образующие. Обозначим через fir(J)(/ир(УУ) минимальное число образующих правого (левого) идеала J кольца А и положим ju*rU<)^max /игМ) (flfd) = max pLg(J))

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Данлыев, Хайытмырат, 1984 год

1. Боревич З.И., Фаддеев Д.К. Представления порядков с циклическим индексом. - Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, т.80 (1965), с. 51 - 65.

2. Боревич З.И., Фаддеев Д.К, Замечание о порядках с циклическим индексом. ДАН СССР, 1965, 164, № 4, 727-728,1

3. Данлыев X. 0 полупервичных кольцах, каждый правый идеал которых имеет две образующих. -Ш Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. Тарту, 1976, с.35 36.

4. Данлыев X. 0 модулях без кручения над полупервичными кольцами ХУП Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений, ч.2., с.154, Минск, 1983.

5. Данлыев X. 0 полупервичных полусовершенных кольцах, каждый правый идеал которых имеет две образующие. УМЖ, т.35, №5(1983), с.563 - 567.

6. Данлыев X. 0 модулях без кручения над полупервичными кольцами. Киев, Ин-т матем-ки АН УССР. Препринт 83.31 (1983), 30 с.

7. Ж.Дискмье. Универсальные обертывающие алгебры, М., "Мир", 1978, 407 с.

8. Дрозд Ю.А. Об обобщенно однорядных кольцах. Матем. заметки т.18, №5 (1975), с.705 - 710.

9. Дрозд Ю.А., Кириченко В.В., Ройтер А.В. 0 наследственных и бассовых порядках. Изв. АН СССР. Серия матем., т.31, №6 (1967), с.1415 - 1436.

10. Кириченко В.В. Обобщенно однорядные кольца. Мат. сборник АН СССР, 1976, т.99, №4, с.559 - 581.

11. Кириченко В.В. Кольца и модули. Учебное пособие. Киев. КГУ. 1981, 63 с.

12. Ламбек И. Кольца и модули. М., "Мир", 1971

13. Назарова Л.А., Ройтер А.В. Конечнопорожденные модули над диадой двух локальных дедекиндовых колец и конечные группы, обладающие абелевым нормальным делителем индекса р. Изв. АН СССР, серия матем., т.33, №1 (1969), с.65 - 89.

14. Назарова Л.А., Ройтер А.В. Представления частично урорядо-ченных множеств. Зап. науч. семинаров ЛОМИ, т.28 (1972), с.5-31

15. Ройтер А.В. Аналог одной теоремы Басса для модулей представлений некоммутативных порядков. ДАН СССР, 168 (1966), с. 1261 -1264.

16. Ройтер А.В. Делимость в категории представлений над полным локальным дедекиндовым кольцом. УЖ, т. 17, №4 (1965), с. 124 -129.

17. Скорняков Л.А. Когда все модули полуцепные. Матем. заметки, т.5, (1969), с.173 182.

18. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. М., "Мир", т.1, 1977 (688 е.).

19. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М., "Мир", 1972.20. 'йш-бстЛЬг М. Jfa cfrsneair'cn о/ moc&c&i tzsic? Ш. / У Г/95$1 p.67-77

20. Л<Ш. И. $Ьг&?'огь ^ize twcP тос£гс£е4.Jiasi*. -tZm&L. ГПоХА JoGf&SL, a/? 2 C9S2),319.327.

21. Лещ M Pcacyfcz Ф'/тгшёсегъ шгсГ Лото€ср'са£cf п^гщ Уъяуг*

22. Яаы rt On -t&e c^a-u/'ty qf ^ог&п^Гесп temperPIcOA. g., <?2 CS963)/<?~ f724. f. MaStieP Mfwwt&ffaxeWcmcm//?fcu /fia&i.; £ f/pz?), 7/-/05.