Полуартиновы кольца и модули над ними тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор наук Абызов Адель Наилевич

• Абызов Адель Наилевич
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Абызов Адель Наилевич

Оглавление

Введение

1 Предварительные сведения и результаты

1.1 Относительная инъектишюсть и проективность

1.2 Кольца и модули, близкие к регулярным

1.3 Полуартиновы модули и кольца

1.4 SV

2 Кольца формальных матриц, близкие к регулярным

2.1 Предварительные сведения

2.2 Вполне идемпотентные кольца формальных матриц

2.3 Полуартиновы и шах

2.4 V- и 8У

2.5 Полуартиновы ББР-кольца формальных матриц

3 Обобщенные ЗУ-модули

3.1 Категории Висбауэра, в которых каждый модуль является

3.2 Регулярные кольца, над которыми каждый модуль является

3.3 Квазипроективные обобщенные БУ-модули

4 Обобщенные ЭУ-кольца с условиями конечности

4.1 Обобщенные БУ-кольца

4.2 Обобщенные БУ-кольца ограниченного индекса нильпотентности

4.3 Типы обобщенных БУ-колец

5 Кольца, над которыми каждый модуль является /0

5.1 /q-модули

5.2 Полуартиновы кольца, над которыми каждый модуль является /0-модулем

5.3 Кольца, над которыми каждый модуль является прямой суммой проективного (инъективного) модуля и V

5.4 Кольца, над которыми каждый модуль является расширением полупростого модуля с помощью инъективного

5.5 Слабо бэровские модули

6 Модули, близкие к проективным и инъективным

6.1 Предварительные сведения

6.2 Существенно инъективные модули и мало проективные модули

6.3 Кольца, над которыми каждый простой модуль является почти проективным (почти инъективным)

6.4 Кольца, над которыми каждый модуль является почти инъективным

6.5 Автоморфизм-коинвариантные модули над совершенными кольцами

6.6 Нилыютентно-коинвариантные модули над совершенными кольцами

6.7 Автоморфизм-поднимаемые модули

7 Ретрактабельные и коретрактабельные модули

7.1 mod-ретрактабельные и CSL

7.2 Строгие кольца Каша и CC

7.3 mod-ретрактабельные модули конечной длины

Заключение

Список обозначений

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полуартиновы кольца и модули над ними»

Актуальность темы. В 1905 году в своей статье о представлениях конечных матричных групп Леви ввел ряды, которые в настоящее время называются рядами Леви. В работе [139] Крулль использовал ряды Леви при изучении теории идеалов в коммутативных нетеровых кольцах. Трансфинитные ряды Леви впервые появились в работе Крулля [140], посвященной "обобщенным кольцам целых чисел".

Модуль М называется полуартиновым (или модулем Леви), если модуль М совпадет с одним из членов его ряда Леви, т.е. для некоторого ординала а выполнено равенство Боса(М) = М. Разложение полуартиновых модулей на их при-марные компоненты изучались в работах [79], [80], [150], [168]. Т. Шоре изучил полуартиновы модули и их инварианты Леви в [169]. В этой же работе была поставлена проблема об артиновости полуартиновых модулей, у которых инвариан-

М

над коммутативным кольцом является артиновым в точности тогда, когда инва-

М

артинова модуля над некоммутативным кольцом, у которого все инварианты Леви конечны. В этой же работе была установлена полулокальность кольца эндоморфизмов каждого полуартинова модуля, у которого все инварианты Леви конечны, что является обобщением теоремы Кампа и Дикса [75] о полулокальности кольца эндоморфизмов артиновых модулей.

В работе [ ] X. Басс показал, что полусовершенное кольцо Я является полуартиновым справа кольцом в точности тогда, когда радикал Джекобсона кольца Я является ¿-нильпотентным слева. В настоящее время полусовершенные полуартиновы слева кольца называются совершенными справа. В работе [149] было поЯ

когда радикал Джекобсона кольца R является ¿-нпльпотентным слева и R/J(R) полуартиново справа кольцо. В этой же работе было установлено, что каждое полуартиново нормальное кольцо является полурегулярным. В [58] было установлено, что каждое полуартиново справа кольцо является кольцом со свойством замены.

Проблема о возможной правой длине Леви совершенных слева колец была поставлена Бассом в работе [65]. В [159] Ософская показала, что для любой пары бесконечных ординалов а и в существует совершенное кольцо, у которого правая длина Леви равна а + 1, а левая - в + 1. Для произвольного ординарного числа а Фукс в работе [94] привел пример регулярного коммутативного кольца, у которого длина Леви равна а + 1. В [ ] Камилло и Фуллер показали, что если правая длина Леви кольца R равна натуральному числу n, то левая длина Леви кольца R не превосходит 2п — 1.

Регулярные полуартиновы кольца, в частности, SV-кольца, были системати-

а

строены примеры первичного обратимо регулярного кольца длины Леви а + 1 и непрямоконечного правого SV-кольца длины а + 2, которое не является левым У-кольцом. В [ ] были построены примеры регулярных правых SV-колец произвольной длины Леви а + 1, у которых для произвольного ординала в < а фактор-кольцо R/ Soce(R) непрямоконечно. В [ ] было показано, что полуарти-

R

R

Кольцо R называется /0-кольцом, если каждый его правый (левый) идеал, ко-

R

идемпотент. Примерами I0-колец являются полуартиновы кольца, полусовершенные кольца, регулярные кольца, полурегулярные кольца и кольца со свойством замены. I0-кольца, у которых радикал Джекобсона является ниль-идеалом, иод названием колец Цорна рассматриваются в книге Джекобсона [2]. Кольца Цорна впервые были изучены Левицким в работе [ ]. /0-кольца под названием лево-I-подобных колец были введены в 1965 году И.И. Сахаевым в работе [13]. Им было

R

R I0

потентов конечно. Никольсон в 1975 году в работе [151] установил ряд важных

свойств /0-колец. Модульными аналогам и понятия /0-кольца являются понятия слабо регулярного модуля и /0-модуля. Модуль М называется /0-модулем (соотв., слабо регулярным), если каждый немалый подмодуль (соотв., циклический нема-

М М.

начале 90-х годов XX века И.И. Сахаевым было инициировано изучение слабо регулярных модулей. В частности, изучение колец, над которыми каждый модуль является слабо регулярным. X. Хакми изучал проективные слабо регулярные модули и их кольца эндоморфизмов. В частности, им были описаны кольца, над которыми каждый проективный модуль имеет слабое регулярное кольцо эндоморфизмов [108]. Проблема об описании колец, над которыми каждый правый модуль является слабо регулярным, рассматривалась в работах [27], [28], [29], [30], [217] и монографиях [31], [121]. Важным частным случаем этой проблемы является задача об описании колец, над которыми каждый ненулевой правый модуль содержит ненулевой инъективный подмодуль. В коммутативном случае эта проблема была решена в работе [154]. В статье [87] было показано, что квазипроективный модуль Р является SV-мoдyлeм в точности тогда, когда каждый ненулевой циклический подфактор Р содержит ненулевой Р-инъективный подмодуль. Из этого результата

Я

инъективный подмодуль в точности тогда, когда Я - правое б^-кольцо. Примерами слабо регулярных модулей являются модули со свойством подъема. В работе

ЯЯ Я

полуцепным и </2(Я) = 0. Модули М, у которых в категории Висбауэра а(М) каждый модуль является модулем со свойством подъема, были описаны в работе [155].

М

должаемым), если для любого подмодуля X модуля М каждый автоморфизм (соотв., эндоморфизм) модуля X продолжается до эндоморфизма модуля М. В

М

М

М

модуль, то каждый эндоморфизм продолжаемый модуль является квазиинъек-тивным. В работе [17] был доказан дуальный результат, было показано, что над

совершенным справа кольцом каждый эндоморфизм поднимаемый правый модуль является квазипроективным. Квазипроективные модули над совершенными справа кольцами были описаны в [135]. Автоморфизм-коинвариантные модули над совершенными кольцами были изучены в работах [99], [101], [170], [129]. В [99] было показано, что правый модуль M над совершенным справа кольцом является автоморфизм-коинвариантным в точности тогда, когда M - псевдопроективный модуль.

M

модуля N выполнено уеловие Hom(M, N) = 0. Дуально определяется понятие коретрактабельного модуля. Кольцо R называется правым mod-ретрактабельным (соотв., правым CC-кольцом), если каждый правый модуль над ним является ретрактабельным (соотв., коретрактабельным). Полуартиновы кольца, в частности, совершенные кольца и SV-кольца, естественно возникают при изучении mod-ретрактабельных колец и CC-колец. Ретрактабельные модули впервые были введены в работе [131]. В последующем ретрактабельные модули нашли приложения при изучении различных вопросов из теории колец и модулей (см. [102], [134], [173], [189], [199], [201], [211]). mod-ретрактабельные кольца изучались в работах [137], [189], [211]. В статьях [211], [137] было показано, что класс коммутативных mod-ретрактабельных колец совпадает с классом коммутативных полуартиновых

R

R SV

бельные модули впервые были изучены в работе [50]. В этой же работе было показано, что каждое CC-кольцо является совершенным. Описание правых CC-колец

mod

CC-кольцами тесно связаны правые CSL-кольца, т.е. кольца R, удовлетворяющие условию: всякий правый R-модуль M, у которого EndR(M) - тело, является простым. Впервые CSL-кольца были изучены в работе [193]. В этой же работе было показано, что класс коммутативных CSL-колец совпадает с классом коммутативных колец, у которых каждый простой идеал является максимальным. Регулярные CSL-кольца были изучены в работе [118]. Было показано, что всякое регулярное

CSL

и кольцо EndD (V), оде V - левое векторное пространство над телом D, является правым CSL-кольцом в точности тогда, когдаdim(VD) < го. В [ ] было показано,

что полуартиново регулярное кольцо Я является правым С8Ь-кольцом в точности тогда, когда Я - правое 8У-кольцо. Совершенные СБЬ-кольца были описаны в работе [44]. Полуартиновы СБЬ-кольца были описаны в работе [211].

Цели и задачи диссертации. Цель работы заключается в создании новых методов исследования структурной теории полуартиновых колец, установлении связей между свойствами полуартиновых колец и категорий модулей над ними. Основными задачами работы являются: описание колец, над которыми каждый модуль является /0-модулем (слабо регулярным), описание полуартиновых колец, над которыми каждый модуль является/(-модулем, развитие теории автоморфизм-коинвариантных модулей и близких к ним классов модулей над совершенными кольцами, описание полуартиновых С5Х-колец, описание колец, над которыми каждый модуль является ретрактабельным (коретрактабельным), описание полуартиновых и 5^-колец формальных матриц.

Основные методы исследования. В работе используются классические методы структурной теории колец, теории модулей и теории категорий.

Выносимые на защиту положения. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

• Для произвольного квазипроективного модуля Р получены необходимые и достаточные условия, при которых категория Висбауэра а(Р) состоит из слабо регулярных модулей. Решена проблема 16.19 из монографии [121] о строении колец, над которыми каждый правый модуль является слабо регулярным.

•

ва кольца, шах-кольца, правые б^-кольца, правые V-кoльцa, вполне идем-потентные кольца.

является почти инъективным; эта проблема была сформулирована в работе [53].

Найдены условия, при которых автоморфизм-кошпзариантный модуль над

совершенным справа кольцом квазипроективен. Доказано, что над совершенным справа кольцом правый модуль M является автоморфизм-коинвариантным в точности тогда, когда M - строго автоморфизм поднимаемый модуль.

• Описаны полуартиновы кольца, над которыми каждый правый модуль является /(^-модулем. В случае полуартиновых колец установлена двойственность в описаниях колец, над которыми каждый модуль является/0-модулем, и колец, над которыми каждый правый модуль является /(-модулем.

•

модуль является прямой суммой проективного (инъективного) и V-модуля. Доказано, что над кольцом R каждый модуль является прямой суммой проективного (инъективного) и V-модуля в точности тогда, когда над кольцом R каждый модуль одновременно является /0-модулем и /(-модулем.

•

ва mod-ретрактабельные кольца, полуартиновы CSL-кольца, правые CC-кольца, строгие кольца Каша.

Публикации. Все основные результаты диссертационного исследования опубликованы в 19 статьях, из которых работы [203]-[214] опубликованы в изданиях из перечня, рекомендованного ВАК, работы [215]-[221] в изданиях, входящих в международные реферативные базы данных цитирования Web of Science и Scopus. Все относящиеся к диссертации результаты в совместных работах принадлежат автору.

Апробация результатов. Результаты диссертационного исследования по мере их получения были доложены автором: на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Россия, г. Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 28 мая-3 июня 2008 г.); на международной конференции "Алгебра и математическая логика", посвященной 100-летию со дня рождения профессора КГУ В.В. Морозова (Россия, г. Казань, КФУ, 25 30 сентября 2011 г.); на международной конференции "Математика в современном мире", посвященной 150-летию Д.А. Граве (Россия, г. Вологда, ВГПУ, 6 11 октября 2013 г.); на международной конференции "Алгебра и логика, теория и приложения"(Россия, г. Красноярск, 21 27 июля 2013 г.); на международной конференции "Алгебра и матема-

тическая логика: теория и приложения" (Россия, г. Казань, КФУ, 2-7 июня 2014 г.); на международной научной конференции "International workshop on Algebra and Applications"(Марокко, г. Фез, университет S. М. Ben Abdellah, 18-21 июня 2014 г.); на международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения" (Россия, г. Тула, 25-30 мая 2015 г.); на всероссийской молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения-2015" (Россия, г. Казань, КФУ, 22-27 октября 2015 г.); на международной конференции по алгебре, анализу и геометрии (Россия, г. Казань, КФУ, 26 июня 2 июля 2016 г.); на международной конференции, посвященной 110-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Россия, г. Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 22-26 мая 2018 г.). Кроме того, результаты докладывались на научном семинаре кафедры алгебры механико-математического факультета Национального исследовательского Томского государственного университета в 2016 г.; на научном семинаре кафедры алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова в 2017 г.; на научных семинарах и итоговых конференциях кафедры алгебры и математической логики Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета в 2005 - 2018 гг.

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Результаты диссертационной работы носят теоретический характер. Полученные в работе результаты могут найти свое применение в дальнейших теоретических исследованиях в рамках теории колец и модулей. Кроме того, результаты диссертационной работы могут использоваться при написании учебных пособий и монографий, а также при чтении специальных курсов по теории колец и модулей в высших учебных заведениях Российской Федерации.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация включает в себя введение, семь глав, каждая из которых разбита на параграфы, заключение и список литературы, содержащий 229 наименований, включая список работ, опубликованных автором по теме диссертации. Общий объем диссертации - 273 страницы.

Структура и содержание работы. В структурном плане диссертация состоит из введения, семи глав и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Абызов Адель Наилевич

Получены следующие основные результаты:

• Для произвольного квазипроективного модуля Р получены необходимые и достаточные условия, при которых категория Висбауэра а(Р) состоит из слабо регулярных модулей. Выяснено строение колец, над которыми каждый правый модуль является слабо регулярным.

•

модуль является /0;-модулем. Выяснено строение полуартиновых колец, над которыми каждый правый модуль является прямой суммой проективного (инъективного) модуля и У-модуля. Доказано, что над такими кольцами каждый правый модуль является одновременно /д-модулем и /0-модулем.

•

ся почти инъективным. Исследованы автоморфизм-коинвариантные модули и близкие к ним классы модулей над совершенными кольцами. Найдены условия, при которых автоморфизм-коинвариантный правый модуль над совершенным справа кольцом является квазипроективным. Выяснено строение автоморфизм-коинвариантных правых модулей над совершенными справа кольцами. Доказано, что для совершенного справа кольца Я класс автоморфизм-коинвариантных правых Я-модулей совпадает с классом строго автоморфизм-поднимаемых правых Я-модулей.

• Исследованы следующие взаимосвязанные классы колец: С5Х-кольца, СС-

кольца и тос!-ретрактабельные кольца. Выяснено строение полуартиновых С5Х-колец. Доказано, что инвариантное кольцо Я является полуартиновым в точности тогда, когда Я - тос1-ретрактабельное кольцо. Получены описания СС-колец и строгих колец Каша.

•

ным. Получено описание колец формальных матриц, которые принадлежат к одному из следующих классов колец: полуартиновы справа кольца, правые шаж-кольца, правые бУ-кольца, правые У-кольца, вполне идемпотентные кольца.

В дальнейшем перспективным представляются изучение следующих задач.

• Пусть М - правый Я-модуль и в категории а(М) каждый модуль слабо регулярен. Верно ли, что в этом случае модуль М является полуартиновым? Частным случаем предыдущей проблемы является следующий открытый вопрос. Пусть М - правый Я-модуль и в категории а(М) каждый ненулевой

М

М

•

каждый ненулевой (соотв., неполупростой) объект содержит ненулевой инъ-ективный подобъект.

•

активным. Описание колец, над которыми каждый циклический правый модуль является почти инъективным (соотв., почти проективным).

•

тос1-ретрактабельное кольцо правым БУ-кольцом? Является ли правое тос1-ретрактабельное кольцо полуартиновым справа кольцом?

•

Я - полуартиново справа кольцо и Loewy(ЯR) = п < то. Какие значения

Я

Список обозначений

В следующей таблице приведены обозначения, используемые в работе.

Символ Описание

Aut(M) : группа автоморфизмов модуля M

End(M) : кольцо эндоморфизмов модуля M

E(M) : инъективная оболочка модуля M

Em (N) : ипъективная оболоч ка модуля N £ a(M) в категории a(M)

Mod — R : категория всех правых R-модулей

N ^ M : подмодуль N модуля M

N M : подмодуль N является существенным в M

N ^ M : подмодуль N является несущественным в M

N С^ М : подмодуль N является прямым слагаемым модуля M

lg(M) : композиционная длина модуля конечной длины M

Ann(m) : правый аннулятор элемента m модуля M

l (а) : правый апиулятор элемента а из кольца R

г(а) : правый аннулятор элемента а их кольца R

J(M) : радикал Джекобсопа модуля M

Soc(M) : цоколь модуля M

a(M) : категория Висбауэра модуля M

Z (M) : сингулярный подмодуль модуля Mr

Z(M) = {m £ M : ann(m) С R}

Reg(R) : наибольший регулярный идеал кольца R J(R) R

Zr : = Z(Rr) — сингулярный подмодуль модуля Rr

Zm(N) : наибольший M-сингулярный подмодуль модуля N

^м) = ^/еИошд(Х,Ж),Кег(/)<Х,Хеа(М) /(Х)

У(М) : = {/ е Еп^(М) | 1ш(/) < М}

Д (М) : = {/ е Епад(М) | Кег(/) М}

< / > : подмодуль модуля М 0 N гад а {ш + / (ш) | ш е М},

где / : М ^ N - гомоморфизм модулей.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Абызов Адель Наилевич, 2019 год

Литература

[1] Буданов, A.B. Об идеалах колец обобщенных матриц / A.B. Буданов // Математический сборник. - 2011. - Т. 202. Л'° 1. С. 3-10.

[2] Джекобсон Н. Строение колец / Н.Джекобсон. - М.: ИЛ, 1961. - 392 с.

[3] Каш, Ф. Модули и кольца / Ф.Каш. - М.: Мир, 1981. - 368 с.

[4] Койфман, Л.А. Почти-полупростые кольца / Л.А.Койфман // Математический сборник. - 1970. - Т. 83 (125). - № 1 (9). - С. 120-150.

[5] Крылов, П.А. Об изоморфизме колец обобщенных матриц / П.А.Крылов // Алгебра и логика. - 2008. - Т. 47. - Вып. 4. - С. 456-463.

[6] Крылов, П.А. Модули над кольцами формальных матриц / П.А.Крылов, А.А.Туганбаев // Фундаментальная и прикладная математика. - 2009. -Т. 15. Л" 8. - С. 145-211.

[7] Крылов, П.А. Формальные матрицы и их определители / П.А.Крылов, А.А.Туганбаев // Фундаментальная и прикладная математика. - 2014. -Т. 19. 1. - С. 65-119.

[8] Крылов, П.А. Кольца формальных матриц и модули над ними / П.А.Крылов, А.А.Туганбаев. - М.: МЦНМО, 2017. - 190 с.

[9] Марков, В.Т. Модули / В.Т. Марков, A.B. Михалев, Л.А. Скорняков, A.A. Туганбаев / / Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Toi юл. Геом. - 1981. - 19. -С. 31-134.

[10] Михалев, A.B. Модули / A.B. Михалев, Л.А. Скорняков // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом. - 1968, 1970. - 14. - С. 57-100.

[11] Михалев, A.B. Модули / A.B. Михалев, Л.А. Скорняков // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом. - 1976. - С. 57-190.

[12] Мишина, А.П. Об автоморфизмах и эндоморфизмах абелевых групп/ А.П. Мишина// Вестник МГУ. Сер. матем., мех. - 1972. 1. С. 62-66.

[13] Сахаев, И.И. О проективности конечно порожденных плоских модулей: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Сахаев Исхак Идрисович. - Казань, 1965. _ до с.

[14] Сахаев, И.И. О сильно регулярных модулях и кольцах / И.И. Сахаев, Х.И.Хакми // Изв. вузов. Математика. - 1998. - № 2. - С. 60-63.

[15] Силаев, В.Н. О правых SV-кольцах / В.Н. Силаев // Фундаментальная и прикладная математика. - 2001. - Т. 7. - № 1. - С. 121-129.

[16] Туганбаев, A.A. Строение модулей, близких к инъективным / A.A. Туганбаев // Сибирский математический журнал. - 1977. - Т. 18. - № 4. - С. 890-898.

[17] Туганбаев, A.A. Характеризации колец, использующие малоинъективные и малопроективные модули / A.A. Туганбаев // Вестник МГУ. Сер. матем., мех. - 1979. ..V« 3. - С. 48-51.

[18] Туганбаев, A.A. О самоинъективных кольцах / A.A. Туганбаев // Изв. вузов. Математика. - 1980. - № 12. - С. 71-74.

[19] Туганбаев, A.A. Малоинъективные кольца / А.А.Туганбаев // Изв. вузов. Математика. - 1981. 9. С. 50-53.

[20] Туганбаев, A.A. Кольца, над которыми все циклические модули малоинъек-тивны / A.A. Туганбаев // Труды семинара им. И.Г. Петровского. - Вып. 6. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. - С. 257-262.

[21] Туганбаев, A.A. Целозамкнутые кольца / A.A. Туганбаев //Математический сборник. - 1982. - 115(157). - № 4(8). - С. 544-559.

[22] Туганбаев, A.A. Малоинъективные кольца / A.A. Туганбаев // Успехи математических наук. - 1982. - Т. 37. - № 5. - С. 201-202.

[23] Туганбаев, A.A. Малоинъективные модули / A.A. Тугаибаев // Математические заметки. - 1982. - Т. 31. Л'° 3. С. 447-456.

[24] Туганбаев, A.A. Кольца с малоинъективными циклическими модулями / A.A. Туганбаев / / А белены группы и модули. - Вып. 4. - Томск: Изд-во Томского ун-та, 1986. - С. 151-158.

[25] Туганбаев, A.A. Кольца с малоинъективными фактор-кольцами / A.A. Туганбаев // Изв. вузов. Математика. - 1991. Л'° 1. С. 80-88.

[26] Туганбаев, A.A. Строение модулей над наследственными кольцами / A.A. Туганбаев // Математические заметки. - 2000. - Т. 68. - № 5. - С. 739-755.

[27] Туганбаев, A.A. Модули с большим числом прямых слагаемых / A.A. Туганбаев // Фундаментальная и прикладная математика. - 2006. - Т. 12. -Вып. 8. - С. 233-241.

[28] Туганбаев, A.A. Кольца, над которыми все модули полурегулярны / A.A. Туганбаев // Фундаментальная и прикладная математика. - 2007. - Т. 13. -Вып. 2. - С. 185-194.

[29] Туганбаев, A.A. Кольца, над которыми все модули являются /0-модулями / A.A. Туганбаев // Фундаментальная и прикладная математика. - 2007. -Т. 13. - Вып. 5. - С. 193-200.

[30] Туганбаев, A.A. Кольца без бесконечных множеств нецентральных ортогональных идемпотентов / A.A. Туганбаев // Фундаментальная и прикладная математика. - 2008. - Т. 14. - Вып. 2. - С. 207-221.

[31] Туганбаев, A.A. Теория колец. Арифметические модули и кольца / A.A. Туганбаев. - М.: МЦНМО, 2009. - 472 с.

[32] Туганбаев, A.A. Кольца, над которыми все циклические модули вполне це-лозамкнуты / A.A. Туганбаев // Дискретная математика. - 2011. - Т. 23. -№ 3. - С. 120-137.

[33] Туганбаев, A.A. Характеристические подмодули инъективных модулей / A.A. Туганбаев // Дискретная математика. - 2013. - Т. 25. - № 2. - С. 85-90.

[34] Туганбаев, А.А. Автоморфизмы подмодулей и их продолжение / А.А. Ту-ганбаев // Дискретная математика. - 2013. - Т. 25. Л'° 1. С. 144-151.

[35] Туганбаев, А.А. Характеристические подмодули инъективных модулей над строго первичными кольцами / А.А. Туганбаев // Дискретная математика. - 2014. - Т. 26. Л" 3. С. 121-126.

[36] Туганбаев, А.А. Автоморфизм-продолжаемые модули / А.А. Туганбаев // Дискретная математика. - 2015. - Т. 27. - № 2. - С. 106-111.

[37] Туганбаев, А.А. Автоморфизм-продолжаемые и эндоморфизм-продолжаемые модули / А.А.Туганбаев // Фундаментальная и прикладная математика. - 2016. - Т. 21. - Вып. 4. - С. 175-246.

[38] Фейс, К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т. 1. / К. Фейс. - М.: Мир, 1977. - 688 с.

[39] Фейс, К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т. 2. / К. Фейс. - М.: Мир, 1979. - 464 с.

[40] Хакми, Х.И. Сильно регулярные и слабо регулярные кольца и модули / Х.И. Хакми // Изв. вузов. Математика. - 1994. - № 5. - С. 60-65.

[41] Хакми, Х.И. Слабо регулярные кольца и модули: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Хакми Хамзе Ибрагим. - Казань, 1994. - 97 с.

[42] Alahmadi, A. A note on almost injective modules / A. Alahmadi, S.K. Jain // Mathematical Journal of Okayama University. - 2009. - Vol. 51. - P. 101-109.

[43] Alahmadi, A. Characterizations of Almost Injective Modules / A.Alahmadi, S.K.Jain, S.Singh // Noncommutative Rings and Their Applications, Contemporary Mathematics. Vol. 634. - Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2015. - P. 11-17.

[44] Alaoui, M. Perfect rings for which the converse of Schur's lemma holds / M. Alaoui, A. Haily // Publ. Mat.. - 2001. - Vol. 45. - № 1. - P. 219-222.

[45] Albu, T. Lessons on the Grothendieck Category a[M] / T. Albu. - Editura Universitatii Bucuresti, 2004. - 122 p.

[46] Albu, T. Kasch modules / T. Albu, R. Wisbauer // Advances in Ring Theory (Granville, OH, 1996), Trends in Mathematics, Birkhauser, Boston, 1997. - P. 1-16.

[47] Alin, J.S. A class of rings having all singular simple modules injective / J.S. Alin, E.P. Armendariz // Mathematica Scandinavica. - 1969. - Vol. 23. - № 2. - P. 233-240.

[48] Alkan, M. On Summand Sum and Summand Intersection Property of Modules / M. Alkan, A. Harmanci // Turkish Journal of Mathematics. - 2002. - Vol. 26. -P. 131-147.

[49] Amin, I. D3-modules / I. Amin, Y. Ibrahim, M. Yousif // Communications in Algebra. - 2014. - Vol. 42. - № 2. - P. 578-592.

[50] Amini, B. Coretractable modules / B. Amini, M. Ershad, H. Sharif // Journal of the Australian Mathematical Society. - 2009. - Vol. 86. ..V" 3. P. 289-304.

[51] Anderson, F.W. Rings and Categories of Modules / F.W. Anderson, K.R. Fuller. - New York: Springer - Verlag, 1992. - 378 p.

[52] Andruszkiewicz, R.R. Right fully idempotent rings need not be left fully idempotent / R.R. Andruszkiewicz, E.R. Puczylowski // Glasgow Mathematical Journal. - 1995. - Vol. 37. - № 2. - P. 155-157.

[53] Arabi-Kakavand, M. Rings over which every module is almost injective / M. Arabi-Kakavand, Sh. Asgari, Y. Tolooei // Communications in Algebra. - 2016. _ Vol. 44. - № 7. - P. 2908-2918.

[54] Arabi-Kakavand, M. Rings for which every simple module is almost injective / M. Arabi-Kakavand, Sh. Asgari, H. Khabazian // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. - 2016. - Vol. 42. ..V 1. P. 113-127.

[55] Azumaya, G. Some characterizations of regular modules / G. Azumaya // Publicacions Matematiques. - 1990. - Vol. 34. - P. 241-248.

[56] Baba, Y. Note on almost M-injectives / Y. Baba // Osaka Journal of Mathematics. - 1989. - Vol. 26. - № 3. - P. 687-698.

[57] Baba, Y. On almost M-projectives and almost M-injectives / Y. Baba, M. Harada // Tsukuba Journal of Mathematics. - 1990. - Vol. 14. - № 1. - P. 53-69.

[58] Baccella, G. Exchange property and the natural preorder between simple modules over semi-Artinian rings / G. Baccella // Journal of Algebra. - 2002. - Vol. 253.

P. 133-166.

[59] Baccella, G. Simiprime x — QF — 3 rings / G. Baccella // Pacific Journal of Mathematics. - 1985. - Vol. 120. - № 2. - P. 269-278.

[60] Baccella, G. Von Neumann regularity of V-rings with Artinian primitive factor rings / G. Baccella // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1988.

- Vol. 103. - № 3. - P. 747-749.

[61] Baccella, G. Semi-Artinian V-rings and semi-Artinian Von Neumann regular rings / G. Baccella // Journal of Algebra. - 1995. - Vol. 173. ..V" 3. P. 587-612.

[62] Baccella, G. Semiartinian rings whose loewy factors are nonsingular / G. Baccella, G. Di Campli // Communications in Algebra. - 1997. - Vol. 25. - № 9. - P. 27432764.

[63] Baccella, G. Representation of artinian partially ordered sets over semiartinian von Neuman regular algebras / G. Baccella // Journal of Algebra. - 2010. - Vol. 323. P. 790-838.

[64] Baccella, G. of semiartinian von Neumann regular rings. Direct finiteness versus unit-regularity / G. Baccella, L. Spinosa // Algebras and Representation Theory. - 2017. - Vol. 20. - № 5. - P. 1189-1213.

[65] Bass, H. Finitistic dimension and homological generalization of semi-primary rings / H. Bass // Transactions of the American Mathematical Society. - 1960.

- Vol. 95. - № 3. - P. 466-488.

[66] Baziar, M. Fully Kasch Modules and Rings / M.Baziar, A.Haghany, M.R. Vedadi // Algebra Colloquium. - 2010. - Vol. 17. - № 4. - P. 621-628.

[67] Birkenmeier, G.F. Extensions of Rings and Modules / G.F. Birkenmeier, J.K. Park, S.T. Rizvi. - Birkhauser, 2013. - 432 p.

[68] Brown B. The maximal regular ideal of a ring / B.Brown, N.H.McCoy // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1950. - Vol. 1. - № 2.

- P. 165-171.

[69] Burgess, W.D. An analogue of the pierce sheaf for non-commutative rings / W.D. Burgess, W. Stephenson // Communications in Algebra. - 1978. - Vol. 6. - № 9.

- P. 863-886.

[70] Camillo, V.P. Continuous modules are clean / V.P.Camillo, D.Khurana, T.Y. Lam, W.K. Nicholson, Y. Zhou // Journal of Algebra. - 2006. - Vol. 304. - № 1.

- P. 94-111.

[71] Camillo, V. Simple-direct-injective modules / V. Camillo, Y. Ibrahim, M. Yousif, Y. Zhou // Journal of Algebra. - 2014. - Vol. 420. - P. 39-53.

[72] Camillo, V.P. On Loewy length of rings / V.P. Camillo, K.R. Fuller // Pacific Journal of Mathematics. - 1974. - Vol. 53. - № 2. - P. 347-354.

[73] Camillo, V. P. A note on Loewy rings and chain conditions on primitive ideals / V.P. Camillo, K.R. Fuller // Module theory. - Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1979. - P. 75-86. (Lect. Notes Math.; V. 700).

[74] Camillo, V. Weakly regular rings / V. Camillo, Y.F. Xiao // Communications in Algebra. - 1994. - Vol. 22 - № 10. - P. 4095-4112.

[75] Camps, R. On semilocal rings / R.Camps, W.Dicks // Israel Journal of Mathematics. - 1993. - Vol. 81. - № 1-2. - P. 203-211.

[76] Cateforis, V. The singular submodule splits off / V. Cateforis, F. Sandomierski // Journal of Algebra. - 1968. - Vol. 10. - № 2. - P. 149-165.

[77] Cateforis, V. On commutative rings over which singular submodule is a direct summand for every module / V. Cateforis, F. Sandomierski // Pacific Journal of Mathematics. - 1969. - Vol. 31. - № 2. - P. 289-292.

[78] Clark, J. Lifting modules. Supplements and Projectivity in Module Theory / J. Clark, C. Lomp, N. Vanaja, R. Wisbauer (Frontiers in Math.). - Boston, Birkhauser, 2006. - 394 p.

[79] Dickson, S.E. Decomposition of modules. I: Classical rings / S.E.Dickson // Mathematische Zeitschrift. - 1965. - Vol. 90. - № 1. - P. 9-13.

[80] Dickson, S.E. Decomposition of modules. II: Rings without chain conditions / S.E.Dickson // Mathematische Zeitschrift. - 1968. - Vol. 104. - № 5. -P. 349357.

[81] Dickson, S. Direct decompositions of radicals / S.Dickson // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra, La Jolla, 1965. - P. 366-374.

[82] Dinh, H.Q. Some Results on Self-Injective Rings and E — CS Rings / H.Q.Dinh, D.V.Huynh // Communications in Algebra. - 2003. - Vol. 31. - № 12. - P. 60636077.

[83] Dinh, H.Q. A result on semi-artinian rings / H.Q.Dinh, P.F.Smith // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. - 2003. - Vol. 46. - № 1. - P. 63-66.

[84] Dlab V. A class of balanced non-uniserial rings / V. Dlab, C.M. Ringel // Mathematische Annalen. - 1972. - Vol. 195. - № 2. - P. 279-291.

[85] Dombrovskaya M. Asymmetry in the converse of Schur's lemma / M. Dombrovskaya, G. Marks // Communications in Algebra. - 2010. - Vol. 38. - № 3. - P. 1147-1156.

[86] Dung, N.V. Extending modules / N.V. Dung, D.V. Huynh, P.F. Smith, R. Wisbauer (Pitman Research Notes in Mathematics Series 313). - Longman Scientific & Technical, Harlow, 1994. - 248 p.

[87] Dung, N.V. On semi-artinian V-modules / N.V.Dung, P.F.Smith // Journal of Pure and Applied Algebra. - 1992. - Vol. 82. - № 1. - P. 27-37.

[88] Ecevit, S. On rings all of whose modules are retractable / S.Ecevit, M.T.Kosan // Archivum mathematicum. - 2009. - Vol. 45. - № 1. - P. 71-74.

[89] Facchini, A. Module Theory. Endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions in Some Classes of Modules / A. Facchini. - Basel: Birkhauser, 1998. - 285 p.

[90] Facchini, A. Loewy and Artinian Modules Over Commutative Rings / A.Facchini // Annali di Matematica Pura ed Applicata. - 1981. - Vol. 128. ..V" 1. P. 359374.

[91] Facchini A. Loewy modules with finite Loewy invariants and max modules with finite radical invariants / A.Facchini, Mai Hoang Bien // Communications in Algebra. - 2015. - Vol. 43. ..V" 0. P. 2293-2307.

[92] Faith, C. Rings whose modules have maximal submodules / C. Faith // Publicacions Matematiques. - 1995. - Vol. 39. - № 1. - P. 201-214.

[93] Fisher, J.W. On the von Neumann regularity of rings with regular prime factor rings / J.W.Fisher, R.L.Snider // Pacific Journal of Mathematics. - 1974. - Vol. 54. ..V" 1. P. 135-144.

[94] Fuchs, L. Torsion preradicals and ascending Loewy series of modules / L. Fuchs // Journal fur die reine und angewandte Mathematik. - 1969. - №239-240. -P. 169-179.

[95] Garcia, J.L. Properties of Direct Summands of Modules / J.L.Garcia // Communications in Algebra. - 1989. - Vol. 17. A'0 1. P. 73-92.

[96] Goodearl, K.R. Von Neumann Regular Rings, 2nd ed. / K.R. Goodearl. -Malabar, FL: Krieger, 1991. - 412 p.

[97] Goodearl, K.R. Singular torsion and the splitting properties / K.R.Goodearl // Memoirs of the American Mathematical Society. - 1972. - V. 124. - 89 p.

[98] Greg, M. Extensions of Simple Modules and the Converse of Schur's Lemma / M. Greg, S. Markus // Advances in Ring Theory (Trends in Mathematics). -2010. - P 229-237.

[99] Guil Asensio, P.A. Modules which are coinvariant under automorphisms of their projective covers / P.A.Guil Asensio, D.T.Keskin, B.Kalebogaz, A.K.Srivastava // Journal of Algebra. - 2016. - Vol. 466. - P. 147-152.

[100] Guil Asensio, P.A. Automorphism-invariant modules satisfy the exchange property / P.A.Guil Asensio, A.K.Srivastava // Journal of Algebra. - 2013. -Vol. 388. - P. 101-106.

[101] Guil Asensio, P.A. Additive unit structure of endomorphism rings and invariance of modules / P. A.Guil Asensio, Truong Cong Quynh, A.K.Srivastava // Bulletin of Mathematical Sciences. - 2017. - Vol. 7. - № 2. - P. 229-246.

[102] Haghany, A. Study of semi-projective retractable modules / A.Haghany, M.R.Vedadi // Algebra Colloquium. - 2007. - Vol. 14. - № 3. - P. 489-496.

[103] Haghany, A. Study of formal triangular matrix rings / A.Haghany, K.Varadarajan // Communications in Algebra. - 1999. - Vol. 27. - № 11. - P. 5507-5525.

[104] Haghany, A. Study of modules over formal triangular matrix rings / A.Haghany, K.Varadarajan // Journal of Pure and Applied Algebra. - 2000. - Vol. 147. -..V" 1. P. 41-58.

[105] Haghany, A. Injectivity conditions over a formal triangular matrix ring / A.Haghany // Archiv der Mathematik. - 2002. - Vol. 78. - P. 268-274.

[106] Haghany, A. Pure projectivity and pure injectivity over formal triangular matrix rings / A.Haghany, M.Mazrooei, M.R.Vedadi // Journal of Algebra and Its Applications. - 2012. - Vol. 11. A'0 6. 13 pages.

[107] Haily, A. Some external characterizations of SV-rings and hereditary rings/ A. Haily, H. Rahnaoui // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. - 2007. - vol. 2007. - 6 pp.

[108] Hamza, H. io-rings and io-modules / H. Hamza // Mathematical Journal of Okayama University. - 1998. - Vol. 40. - P. 91-97.

[109] Hannah, J. Products of idempotents in regular rings, II / J. Hannah, K.C. O Meara // Journal of Algebra. - 1989. - Vol. 123. ..V" 1. P. 223-239.

[110] Harada, M. On almost M-projectives / M.Harada, T.Mabuchi // Osaka Journal of Mathematics. - 1989. - Vol. 26. - № 4. - P. 837-848.

[111] Harada, M. On almost relative injectives on Artinian modules / M.Harada // Osaka Journal of Mathematics. - 1990. - Vol. 27. - № 4. - P. 963-971.

[112] Harada, M. Direct sums of almost relative injective modules / M.Harada // Osaka Journal of Mathematics. - 1991. - Vol. 28. - № 3. - P. 751-758.

[113] Harada, M. Note on almost relative projectives and almost relative injectives / M.Harada // Osaka Journal of Mathematics. - 1992. - Vol. 29. - № 3. - P. 435-446.

[114] Harada, M. Almost projective modules / M.Harada // Journal of Algebra. -1993.

- Vol. 159. - № 1. - P. 150-157.

[115] Hirano, Y. Regular modules and V-modules / Y.Hirano // Hiroshima Mathematical Journal. - 1981. - Vol. 11. - № 1. - P. 125-142.

[116] Hirano, Y. Regular modules and V-modules. II / Y.Hirano // Mathematical Journal of Okayama University. - 1981. - Vol. 23. - № 2. - P. 131-135.

[117] Hirano, Y. Rings for which the converse of Schur's lemma holds / Y.Hirano, J.K.Park // Mathematical Journal of Okayama University. - 1991. - Vol. 33. -P. 121-131.

[118] Hirano, Y. On injective modules whose endomorphism rings are simple Artinian / Y.Hirano, C.Y.Hong, J.Y.Kim, J.K.Park // Communications in Algebra. - 1999.

- Vol. 27. - № 3. - P. 1385-1391.

[119] Hirano, Y. On injective hulls of simple modules / Y.Hirano // Journal of Algebra.

- 2000. - Vol. 225. - № 1. - P. 299-308.

[120] Huynh, D.V. On some classes of artinian rings / D.V. Huynh, S.T. Rizvi // Journal of Algebra. - 2000. - Vol. 223. - P. 133-153.

[121] Jain, S.K. Cyclic Modules and the Structure of Rings / S.K. Jain, A.K. Srivastava, A.A. Tuganbaev (Oxf. Math. Monogr.). - Oxford: Oxford University Press, 2012.

- 220 p.

[122] Jans, J.P. Projective injective modules / J.P.Jans // Pacific Journal of Mathematics. - 1959. - Vol. 9. - № 4. - P. 1103-1108.

[123] Jans, J.P. On quasi projectives / J.P.Jans L.E.T.Wu // Illinois Journal of Mathematics. - 1967. - Vol. 11. ..V" 3. P. 439-448.

[124] Jayaraman, M. Generalization of Regular Modules / M.Jayaraman, N.Vanaja // Communications in Algebra. - 2007. - Vol. 35 - № 11. - P. 3331-3345.

[125] Kasch, F. Regularity and substructures of Horn / F.Kasch, A.Mader // Communications in Algebra. - 2006. - Vol. 34. - № 4. - P. 1459-1478.

[126] Kasch, F. Regular substructures of Horn / F.Kasch // Applied Categorical Structures. - 2008. - Vol. 16. - № 1-2. - P. 159-166.

[127] Keskin Tutuncu D., B. Kalebogaz. A Study On Semi-projective Covers, Semi-projective Modules and Formal Triangular Matrix Rings / D.Keskin Tutuncu, B.Kalebogaz // Palestine Journal of Mathematics. - 2014. - Vol. 3 (Spec 1). -P. 374-382.

[128] Keskin Tutuncu D., Lomp C. On lifting LE modules / D. Keskin Tutuncu, C. Lomp // Vietnam Journal of Mathematics. - 2002. - Vol. 30. - № 2. - P. 167-176.

[129] Keskin Tutuncu D. When Automorphism-coinvariant Modules are Quasi-projective / D. Keskin Tutuncu // Communications in Algebra. - 2017. - Vol. 45. - № 2. - P. 688-693.

[130] Keskin, D. On Weak Rickart Modules / D.Keskin, Ertas N. Orhan, R.Tribak // Journal of Algebra and its Applications. - 2017. - Vol. 16. A'0 9. 1750165. -28 pages.

[131] Khuri, S.M. Endomorphism rings and lattice isomorphisms / S.M.Khuri // Journal of Algebra. - 1979. - Vol. 56. - № 2. - P. 401-408.

[132] Khuri, S.M. Endomorphism rings of nonsingular modules / S.M.Khuri // Annales des sciences mathématiques du Quebec. - 1980. - Vol. 4. - № 2. - P. 145-152.

[133] Khuri, S.M. Correspondence theorems for modules and their endomorphism rings / S.M.Khuri // Journal of Algebra. - 1989. - Vol. 122. - № 2. - P. 380-396.

[134] Khuri, S.M. Nonsingular retractable modules and their endomorphism rings / S.M.Khuri // Bulletin of the Australian Mathematical Society. - 1991. - Vol. 43.

..V" 1. P. 63-71.

[135] Koehler, A. Quasi-projective and quasi-injective modules / A.Koehler // Pacific Journal of Mathematics. - 1971. - Vol. 36. - № 3. - P. 713-720.

[136] Kosan, M.T. Rings with each right ideal automorphism-invariant / M.T.Kosan, T.C.Quynh, A.K.Srivastava // Journal of Pure and Applied Algebra. - 2016. -Vol. 220. - № 4. - P. 1525-1537.

[137] Kosan, M.T. Mod-retractable rings / M.T.Kosan, J.Zemlicka // Communications in Algebra. - 2014. - Vol. 42. - № 3. - P. 998-1010.

[138] Krull, W. Uber verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen / W.Krull // Mathematische Zeitschrift. - 1925. - Vol. 23. - № 1. - P. 161-196.

[139] Krull, W. Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen, 1. / W. Krull // Sitzungsber. Heidelberger Akad. - 1926. - Vol. 7. - P. 1-32.

[140] Krull, W. Zur Theorie der allgemeinen Zahlringe / W.Krull // Mathematische Annalen. - 1928. - Vol. 99. - №1. - P. 51-70.

[141] Krull, W. Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche Gruppen im Bereich der ganzen algebraischen Zahlen / W. Krull // Heidelberger Akademie der Wissenschaften 2, 1932. - P. 13-38.

[142] Kuratomi, Y. Lifting modules over right perfect rings / Y.Kuratomi, C.Chang // Communications in Algebra. - 2007. - Vol. 35. - № 10. - P. 3103-3109.

[143] Lam, T.Y. Lectures on Modules and Rings / T.Y. Lam. - New York: Springer, 1999. - 577 p.

[144] Lee, T.K. Modules which are invariant under automorphisms of their injective hulls / T.K.Lee, Y.Zhou // Journal of Algebra and Its Applications. - 2013. -Vol. 12. - № 2.-9 pages.

[145] Levitzki, J. On the structure of algebraic algebras and related rings / J.Levitzki // Transactions of the American Mathematical Society. - 1953. - Vol. 74. - № 3. - P. 384-409.

[146] Mabuchi, T. Weakly regular modules / T.Mabuchi // Osaka Journal of Mathematics. - 1980. - Vol. 17 ..V" 1. P. 35-40.

[147] Menai, P. On n-regular rings whose primitive factor rings are artinian / P.Menal // Journal of Pure and Applied Algebra. - 1981. - Vol. 20. ..V" 1. P. 71-78.

[148] Mohamed, S.H. Continuous and Discrete Modules / S.H. Mohamed, B.J. Muller (London Math. Soc. Lect. Notes Ser., 147). - Cambridge: Cambridge University Press, 1990. - 126 p.

[149] Nastasescu C. Anneaux semi-artiniens / C.Nastasescu, N.Popescu // Bulletin de la Société Mathématique de France. - 1968. - Vol. 96. - P. 357-368.

[150] Nastasescu, C. Decomposition primaire dans les anneaux semi-artiniens / C.Nastasescu // Journal of Algebra. - 1970. - Vol. 14. - № 2. - P. 170-181.

[151] Nicholson, W.K. I-rings / W.K.Nicholson // Transactions of the American Mathematical Society. - 1975. - Vol. 207. - P. 361-373.

[152] Nicholson, W.K. Semiregular morphisms / W.K.Nicholson, Y.Zhou // Communications in Algebra. - 2006. - Vol. 34. ..V" 1. P. 219-233.

[153] Nicholson W.K. Quasi-Frobenius Rings / W.K. Nicholson, M.F.Yousif. -Cambridge: Cambridge University Press, 2003. - 307 p.

[154] Ohtake, K. Commutative rings of which all radicals are left exact / K.Ohtake // Communications in Algebra. - 1980. - Vol. 8. - № 16. - P. 1505-1512.

[155] Oshiro, K. Modules with every subgenerated module lifting / K.Oshiro, R.Wisbauer // Osaka Journal of Mathematics. - 1995. - Vol. 32. - № 2. -P. 513-519.

[156] Osofsky, B.L. Rings all of whose finitely generated modules are injective / B.L.Osofsky // Pacific Journal of Mathematics. - 1964. - Vol. 14. ~ № 2. -P. 645-650.

[157] Osofsky, B.L. Noninjective cyclic modules / B.L.Osofsky // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1968. - Vol. 19. - № 6. - P. 1383-1384.

[158] Osofsky, B.L. A remark on the Krull-Schmidt-Azumaya theorem / B.L.Osofsky // Canadian Mathematical Bulletin. - 1970. - Vol. 13. - P. 501-505.

[159] Osofsky, B.L. Loewy length of perfect rings / B.L.Osofsky // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1971. - Vol. 28. - № 2. - P. 352-354.

[160] Osofsky, B.L. Cyclic modules whose quotients have all complement submodules direct summands / B.L.Osofsky, P.F.Smith // Journal of Algebra. - 1991. - Vol. 139. - № 2. - P. 342-354.

[161] Procesi, C. Rings with Polynomial Idendities / C. Procesi. - New York: Marcel Decker, 1973. - 190 p.

[162] Quynh, T.C. On automorphism-invariant modules / T.C.Quynh, M.T.Kosan // Journal of Algebra and Its Applications. - 2015. - Vol. 14. - № 5. - 11 pages.

[163] Ramamurthi, V.S. Weakly regular rings / V.S.Ramamurthi // Canadian Mathematical Bulletin. - 1973. - Vol. 16. - P. 317-321.

[164] Ramamurthi, V.S. A note on regular modules / V.S.Ramamurthi // Bulletin of the Australian Mathematical Society. - 1974. - Vol. 11. - № 3. - P. 359-364.

[165] Rizvi, S.T. Baer and quasi-Baer modules / S.T.Rizvi, C.S.Roman // Communications in Algebra. - 2004. - Vol. 32. - № 1. - P. 103-123.

[166] Shanny, R.F. Regular endomorphism rings of free modules / R.F.Shanny // Journal of the London Mathematical Society. - 1971. - Vol. 2. - № 4. - P. 353-354.

[167] Shock, R.C. Dual generalizations of the artinian and noetherian conditions / R.C.Shock // Pacific Journal of Mathematics. - 1974. - Vol. 54. - № 2. - P. 227-235.

[168] Shores, T. The structure of Loewy modules / T.Shores // Journal fur die reine und angewandte Mathematik. - 1972. - Vol. 254. - P. 204-220.

[169] Shores, T. Loewy series of modules / T.Shores // Journal fur die reine und angewandte Mathematik. - 1974. - Vol. 265. - P. 183-200.

[170] Singh, S. Dual automorphism-invariant modules / S.Singh, A.K.Srivastava // Journal of Algebra. - 2012. - Vol. 371. - P. 262-275.

[171] Singh, S. Rings of invariant module type and automorphism-invariant modules / S.Singh, A.K.Srivastava // Ring Theory and Its Applications, Contemporary Mathematics, Amer. Math. Soc. - 2014. - 609. - P. 299-311.

[172] Singh, S. Almost relative injective modules / S.Singh // Osaka Journal of Mathematics. - 2016. - Vol. 53. - № 2. - P. 425-438.

[173] Smith, P.F. Modules with many homomorphisms / P.F.Smith // Journal of Pure and Applied Algebra. - 2005. - Vol. 197. - № 1-3. - P. 305-321.

[174] Stenstrom, B. Rings of Quotients / B.Stenstrom. - New York: Springer, 1975. -309 p.

[175] Takeuchi, T. On direct modules / T.Takeuchi // Hokkaido Mathematical Journal. - 1972. - Vol. 1. - № 2. - P. 168-177.

[176] Tang, G. Study of Morita contexts / G.Tang, C.Li, Y.Zhou // Communications in Algebra. - 2014. - Vol. 42. - № 4. - P. 1668-1681.

[177] Tang, G. A class of formal matrix rings / G.Tang, Y.Zhou // Linear Algebra and its Applications. - 2013. - Vol. 438. - № 12. - P. 4672-4688.

[178] Tang, G. Strong cleanness of generalized matrix rings over a local ring / G.Tang, Y.Zhou // Linear Algebra and its Applications. - 2012. - Vol. 437. - № 10. - P. 2546-2559.

[179] Thuyet, L.V. Modules which are invariant under idempotents of their envelopes / L.V.Thuyet, P.Dan, T.C.Quynh // Colloquium Mathematicum. - 2016. - Vol. 143. - № 2. - P. 237-250.

[180] Tuganbaev, A.A. Semidistributive Modules and Rings / A.A. Tuganbaev. -Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1998. - 357 p.

[181] Tuganbaev, A.A. Rings Close to Regular / A.A. Tuganbaev. - Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 2002. - 350 p.

[182] Tuganbaev A.A. Semiregular, weakly regular, and n-regular rings / A.A. Tuganbaev // Journal of Mathematical Sciences. (NewYork). - 2002. - Vol. 109, № 3. - P. 1509-1588.

[183] Tuganbaev A.A. Rings whose nonzero modules have maximal submodules / A.A. Tuganbaev // Journal of Mathematical Sciences. (NewYork). - 2002. - Vol. 109, № 3. - P. 1589-1640.

[184] Tuganbaev, A.A. Extensions of automorphisms of submodules / A.A.Tuganbaev // Journal of Mathematical Sciences. (New York). - 2015. - Vol. 206. - №5.--P. 583-596.

[185] Tuganbaev, A.A. Automorphism-invariant modules / A.A.Tuganbaev // Journal of Mathematical Sciences. (New York). - 2015. - Vol. 206. - № 6. - P. 694-698.

[186] Tuganbaev, A.A. Modules over strongly prime rings / A.A.Tuganbaev // Journal of Algebra and Its Applications. - 2015. - Vol. 14. - № 5. - 1550076. - 9 pp.

[187] Tuganbaev, A.A. Automorphism-invariant semi-Artinian modules / A.A.Tuganbaev // Journal of Algebra and Its Applications. - 2017. - Vol. 16. ..V" 2. - 1750029 (5 pages).

[188] Tuganbaev, A.A. Automorphism-invariant non-singular rings and modules / A.A. Tuganbaev // Journal of Algebra. - 2017. - Vol. 485. - P. 247-253.

[189] Tolooei, Y. On rings whose modules have nonzero homomorphisms to nonzero submodules / Y. Tolooei, M.R. Vedadi // Publicacions Matematiques. - 2013. -Vol. 57. -e 1. - P. 107-122.

[190] Tutuncu, D.K. On dual Baer modules / D.K.Tutuncu, R.Tribak // Glasgow Mathematical Journal. - 2010. - Vol. 52. - № 2. - P. 261-269.

[191] Vanaja, N. All finitely generated M-subgenerated modules are extending / N.Vanaja // Communications in Algebra. - 1996. - Vol. 24. - № 2. - P. 543-572.

[192] Vanaja, N. Characterisations of generalised uniserial rings in terms of factor rings / N. Vanaja, V.M.Purav // Communications in Algebra. - 1992. - Vol. 20. - № 8.

- P. 2253-2270.

[193] Ware, R. Simple endomorphism rings / R.Ware, J.Zelmanowitz // American Mathematical Monthly. - 1970. - Vol. 77. ..V" 9. P. 987-989.

[194] Wilson, G.V. Modules with the summand intersection property / G.V.Wilson // Communications in Algebra. - 1986. - Vol. 14. ..V" 1. P. 21-38.

[195] Wisbauer, R. Foundations of Module and Ring Theory / R.Wisbauer. -Philadelphia: Gordon and Breach, 1991. - 616 p.

[196] Xue, W. Two questions on rings whose modules have maximal submodules / W.Xue // Communications in Algebra. - 2000. - Vol. 28. - № 5. - P. 2633-2638.

[197] Yu, H.P. On quasi-duo rings / H.P.Yu // Glasgow Mathematical Journal. - 1995.

- Vol. 37. ..V" 1. P. 21-31.

[198] Zelmanowitz, J. Regular modules / J.Zelmanowitz // Transactions of the American Mathematical Society. - 1972. - Vol. 163. - P. 341-355.

[199] Zelmanowitz, J.M. Correspondences of closed submodules / J.M.Zelmanowitz // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1996. - Vol. 124. - № 10.

- P. 2955-2960.

[200] Zemlicka, J. Completely coretractable rings / J.Zemlicka // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. - 2013. - Vol. 39. ..V" 3. P. 523-528.

[201] Zhou, Z.P. A lattice isomorphism theorem for nonsingular retractable modules / Z.P.Zhou // Canadian Mathematical Bulletin. - 1994. - Vol. 37. - P. 140-144.

[202] Zhou, Y. On (semi)regularity and the total of rings and modules / Y.Zhou // Journal of Algebra. - 2009. - Vol. 322. - № 2. - P. 562-578.

Работы автора по теме диссертации

[203] Абызов, А.Н. Слабо регулярные модули над нормальными кольцами / А.Н.Абызов // Сибирский математический журнал. - 2008. - Т. 49. - № 4. -С. 721-738.

[204] Абызов, А.Н. Обобщенные Б У-модули / А.Н.Абызов // Сибирский математический журнал. - 2009. - Т. 50. 3. С. 481-488.

[205] Абызов, А.Н. О некоторых классах полуартиновых колец / А.Н.Абызов // Сибирский математический журнал. - 2012. - Т. 53. - № 5. - С. 955-966.

[206] Абызов, А.Н. Кольца формальных матриц и их изоморфизмы / А.Н.Абызов, Д.Т. Та и кип / / Сибирский математический журнал. - 2015. - Т. 56. 6. С. 1199-1214.

[207] Абызов, А.Н. Дуально автоморфизм-инвариантные модули над совершенными кольцами / А.Н.Абызов, Ч.К.Куинь, Д.Д.Тай // Сибирский математический журнал. - 2017. - Т. 58. - № 5. - С. 959-971.

[208] Абызов, А.Н. Почти проективные и почти инъективные модули / А.Н.Абызов // Математические заметки. - 2018. - Т. 103. 1. С. 319.

[209] Абызов, А.Н. Обобщенные БУ-кольца ограниченного индекса нильпотентности / А.Н.Абызов // Изв. вузов. Математика. - 2011. - № 12. - С. 3 - 14.

[210] Абызов, А.Н. Вполне идемпотентность Нот / А.Н.Абызов // Изв. вузов. Математика. - 2011. - № 8. - С. 3-8.

[211] Абызов, А.Н. Регулярные полуартиновы кольца / А.Н.Абызов // Изв. вузов. Математика. - 2012. - № 1. - С. 3-11.

[212] Абызов, А.Н. /д-модули / А.Н.Абызов // Изв. вузов. Математика. - 2014. -..V" 8. - С. 3-17.

[213] Абызов, А.Н. Кольца формальных матриц, близкие к регулярным / А.Н.Абызов // Изв. вузов. Математика. - 2015. - № 10. - С. 57-60.

[214] Абызов, А.Н. Кольца, над которыми каждый модуль является/¿^-модулем / А.Н.Абызов // Изв. вузов. Математика. - 2017. - № 12. - С. 3-15.

[215] Abyzov, A.N. Lifting of automorphisms of factor modules / A.N.Abyzov, Cong Quynh Truong // Communications in Algebra. - 2018. - Vol. 46. - № 11. - P. 5073-5082.

[216] Abyzov, A.N. SSP rings and modules / A.N.Abyzov, T.C.Quynh, T.H.N.Nhan // Asian-European J. Math. - 2016. - Vol. 9. - № 1. - 9 pp.

[217] Abyzov, A.N. Rings over which all modules are io-modules. II / A.N. Abyzov, A.A. Tuganbaev // Journal of Mathematical Sciences. - 2009. - Vol. 162. - № 5. - P. 587-593.

[218] Abyzov, A.N. Homomorphisms close to regular and their applications / A.N. Abyzov, A.A. Tuganbaev // Journal of Mathematical Sciences. - 2012. - Vol. 183. Л'" 3. P. 275-298.

[219] Abyzov, A.N. Modules in Which Sums or Intersections of Two Direct Summands Are Direct Summands / A.N. Abyzov, A.A. Tuganbaev // Journal of Mathematical Sciences. - 2015. - Vol. 211. Л'° 3. P. 297-303.

[220] Abyzov, A.N. Retractable and Coretractable Modules / A.N. Abyzov, A.A. Tuganbaev // Journal of Mathematical Sciences. - 2016. - Vol. 213. -№ 2. -P. 132-142.

[221] Abyzov, A.N. Formal Matrices and Rings Close to Regular / A.N. Abyzov, A.A. Tuganbaev // Journal of Mathematical Sciences. - 2018. - Vol. 233. - № 5. - P. 604-615.

Прочие публикации

[222] Абызов, А.Н. Обобщенные SV-кольца / А.Н. Абызов // Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша. Тезисы докладов. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2008. -С. 23-24.

[223] Абызов, А.Н. /g-модули / А.Н. Абызов // Алгебра и логика: теория и приложения: тезисы докладов Международной конференции, посвященной памяти

B.П. Шункова. - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2013. -

C. 7-8.

[224] Абызов, А.Н. Слабо бэровские и /д-модули / А.Н. Абызов // Математика в современном мире. Материалы Международной конференции, посвященной 150-летию Д.А. Граве. - Вологда: Вологодская типография, 2013. Ц С. 8-9.

[225] Абызов, А.Н. Ретрактабельные и коретрактабельные модули / А.Н. Абызов // Материалы конференции "Алгебра и математическая логика: теория и приложения" и сопутствующей молодежной летней школы "Вычислимость и вычислимые структуры". - Казань: Изд-во Казанского университета, 2014.

- С. 35.

[226] Абызов, А.Н. Кольца формальных матриц, близкие к регулярным / А.Н. Абызов // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: Материалы XIII Международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова.

- Тула: Изд-во Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н. Толстого, 2015. - С. 143-145.

[227] Абызов, А.Н. Кольца, над которыми каждый модуль является /д-модулем / А.Н. Абызов // Материалы международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, посвященной юбилеям выдающихся профессоров Казанского университета, математиков Петра Алексеевича (1895-1944) и Александра Петровича (1926-1998) Широковых. - Казань: Казанский университет, изд-во Академии наук РТ, 2016. - С. 81-82.

[228] Абызов, А.Н. Почти проективные и почти инъективные модули / А.Н. Абызов, Ч.К. Куинь // Международная алгебраическая конференция, посвященная 110-летию со дня рождения профессора А.Г. Куроша. Тезисы докладов.

- М.: Изд-во МГУ, 2018. - С. 23-25.

[229] Abyzov, A.N. Semiartinian rings / A.N. Abyzov // International Workshop on Algebra and Applications. - Fez, 2014. - P. 5.