Модули, близкие к риккартовым и бэровским тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Чан Хоай Нгок Нян

• Чан Хоай Нгок Нян
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Чан Хоай Нгок Нян

1.2 CS-риккартовые модули

1.3 С2-модули

1.4 Слабо полу наследственные кольца

Глава 2 Существенно бэровские модули

2.1 Существенно бэровские модули

2.2 Существенно квазибэровские модули

Глава 3 SIP- и SSP-модули

3.1 SIP- и SSP-модули

3.2 A-SIP и A

3.3 Характеризации колец

Заключение

Литература

Предметный указатель

Список обозначений

В следующей таблице приведены обозначения, используемые в работе.

Символ

Описание

5

N < М N С М N < М N С^М N < М тд (т) ГМ (I) J (М) 8ое(М)

Д(5) ст(М)

Z (М)

2г

2м (N)

У(М) Д (М) А хм В

: = Eпdд(M) — кольцо эндоморфизмов модуля М : подмодуль N модуля М : подмодуль N является существенным в М : подмодуль N является косущественным в М : подмодуль N является прямым слагаемым модуля М : подмодуль N является вполне инвариант модуля М

М

: правый аннулятор подмножества I в модуле М

М

М

: = {/ е 5 | Кег(/) М}

М

: сингулярный подмодуль модуля Мд 2(М) = {т е М : аппД(т) Л} : = 2 (Яд) — сингулярный подмодуль модуля Яд : наибольший М-сингулярный подмодуль модуля N

2М(N) = XI/еНошд(Х,Ж),Кег(/)<Х,Хеа(М) /(Х)

: = {/ е Endд(M) | 1ш(/) << М}

: = {/ е Endд(M) | Кег(/) С М} : произведение подмодулей А и В А хм В = Нош(М, А)В

В ведение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модули, близкие к риккартовым и бэровским»

Общая характеристика работы

Понятия риккартового и бэровского кольца возникли в теории линейных операторов гильбертова пространства. Бэровские кольца были введены И. Капланским в 1955 году в работе [40]. Риккартовы кольца были введены С. Маэда в 1958 году в работе [53]. Важными примерами рик-картовых колец являются регулярные кольца, введенные фон Нейманом в 1936 году в работе [73] для координатизации непрерывных геометрий. В дальнейшем риккартовые и бэровские кольца, а также их различные обобщения, были изучены в работах многих математиков.

В последнее десятилетие активно изучаются модульные аналоги колец, близких к бэровским и риккартовым. Бэровские и квазибэровские модули были изучены в работах [ ], [ ], [ ], [ ]. МодульМ называется бэровским, модулем (соотв.,квазибэровским модулем), если гм(I) явля-

М

каждого идеала) I кольца Б = Е^д(М). Квазибэровские модули являются модульным аналогом понятия квазибэровского кольца, введенного Кларком в работе [24]. В работе [64] было показано, что прямое слагаемое бэровского модуля (соотв., квазибэровского модуля) является бэровским модулем (соотв., квазибэровским модулем). В статье [66] было установлено, что над кольцом Я каждый проективный правый Я-модуль является бэровским в точности тогда, когда Я - полупервичное наследственное кольцо. Необходимые и достаточные условия, при которых прямая сумма квазибэровских модулей является квазибэровским модулем, были найдены в статье [46]. Дуально бэровские модули были рассмотрены в работе [69].

Риккартовы модули были изучены в работах [47], [48], [8]. В работе [47] было показано, что класс колец, над которыми каждый конечно порожденный модуль является риккартовым, совпадает с классом полу наследственных справа колец. В этой же работе были найдены достаточные условия, при которых прямая сумма риккартовых модулей является риккартовым модулем. Дуально риккартовы модули были изучены в работе [49].

Одним из важных обобщений понятия риккартового кольца являются АС£-кольца. Кольцо Я называется правым АСЯ-колъцом, если правый аннулятор любого элемента из кольца Я является существенным подмодулем в некотором прямом слагаемом модуля Яд. Примерами АСБ-колец являются риккартовы кольца и СБ-кольца. АСБ-кольца были введены Никольсон и Юсиф в 2001 году в работе [57]. АСБ-кольца и их модульные аналоги были изучены в работах [76], [78], [80]. Модульным аналогом АС$-колец являются Об'-риккартовы модули, которым посвящена первая глава диссертации. В этой главе описаны кольца, над которыми каждый конечно порожденный проективный модуль является риккартовым модулем.

Существенно бэровские кольца были введены Биркенмейер, Парк и

Я

Я

существенным подмодулем в некотором прямом слагаемом модуля Яд. Существенно бэровские кольца справа изучались в работах [19], [20]. Существенно бэровские модули, существенно квазибэровские модули и их дуальные аналоги изучены во второй главе диссертации. Показано, что прямое слагаемое существенно бэровского (соотв., квазибэровского) модуля является существенно бэровским (соотв., квазибэровским) модулем, и найдены условия, при которых прямая существенно квазибэровских модулей является существенно квазибэровским модулем. М

М

М

году, и ББР-модули были введены Гарсия в 1989 году. Капланский уста-

повил, что каждый свободный модуль над областью главных идеалов является 81Р-модулем. Л. Фукс поставил задачу описания абелевых групп, являющихся 81Р-модулями над кольцом целых чисел. 81Р-модули тесно связаны с понятиями риккартового и бэровского модуля. В работе [64]

М

М

ММ В работе [47] было показано, что всякий риккартовый модуль является БТР-модулем. Дуальные результаты, устанавливающие связи между ББР-модулями, дуально риккартовыми модулями и дуально бэровски-ми модулями, были получены в работах [69], [49]. Аналогичные результаты для ОБ-риккартовых модулей, существенно бэровских модулей и их дуальных аналогов получены во второй и третьей главах диссертации. В работах [23], [35] были введены соответственно понятия просто прямо проективного модуля и просто прямо инъективного модуля, которые являются обобщениями соответственно понятий ББР-модулей и БТР-модулей. Модуль М называется просто прямо проективным, если для каждых его прямых слагаемых М\,М2) которые являются максимальными подмодулями модуля М, М\ П М2 - прямое слагаемое модуля М. Дуально определяется понятие просто прямо инъективного модуля. В третьей главе диссертации изучаются Д-Сьмодули (1=2,3), впервые изученные в работе [ ], и их связи с Д-ЗБР-модулями. Также изучены дуальные аналоги этих результатов. В качестве следствий получены результаты из работ [23], [35].

Цели настоящей работы заключаются в исследовании свойств модулей, близких к риккартовым и бэровским: исследование СБ-риккартовых модулей, существенно бэровских модулей, существенно квазибэровских модулей и их дуальных аналогов, изучение колец, над которыми проективные модули являются СБ-риккартовыми, нахождение условий, при которых прямая сумма СБ-риккартовых (существенно квазибэровских) модулей является СБ-риккартовым (существенно квазибэровским) модулем, изучение ББР- и 81Р-модулей и их обобщений.

Выносимые на защиту положения. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационного исследования:

1) Описаны кольца R, для которых для произвольного n Е N кольцо матриц Mn(R) является правым ACS-кольцом.

2) Описаны кольца, над которыми каждый конечнопорожденный проективный модуль является одновременно CS-риккартовым модулем и C 2-модулем.

3) Показано, что каждый правый свободный модуль над правым существенно квазибэровским кольцом является существенно квазибэров-ским.

4) Показано, что каждый проективный модуль P, у которого пересечение всех 2-первичных подмодулей равно нулю, является строго существенно квазибэровским в точности тогда, когда P - квазибэровский модуль.

5) Показано, что если в правом R-модуле M пересечению любого семейства прямых слагаемых является существенным подмодулем в некотором прямом слагаемом модуля M и M является CS-риккартовым модулем, то M - существенно квазибэровский модуль. Обратное верно, если R - полуартиново справа кольцо. Также доказано, что прямое слагаемое существенно бэровского модуля является существенно бэровским.

6) Описаны кольца R, над которыми все правые R-модули обладают D3-оболочками. Также охарактеризованы кольца, над которыми все ко-

R C3

7) Исследованы условия, при которых совпадают следующие классы модулей: A-SSP-модули, Д-С2-модули и Д-СЗ-модули.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно, кроме результатов из параграфов 3.2 и 3.3, полученных в нераздельном соавторстве с А. Н. Абызовым

и Чуонг Конг Куинь при равном участии всех сторон. В совместных с научным руководителем публикациях А. Н. Абызову принадлежат постановки задач и разработка методов исследования, автору диссертации - основные результаты и их доказательства. В заключении излагаются итоги выполненного исследования и некоторые перспективы дальнейшей разработки темы.

Методы исследования. В работе использованы методы теории колец, теории модулей и теории категорий. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы теории колец и модулей.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения теории колец, теории модулей, а также в образовательном процессе при чтении спецкурсов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

1) XII Всероссийской молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2013", г. Казань, 24-29 октября 2013 г.

2) XIII Всероссийской молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2014", г. Казань, 24-29 октября 2014 г.

3) Международной конференции "Алгебра и математическая логика: теория и приложения", г. Казань, 2-6 июня 2014 г.

4) XIII Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова, г. Тула, 25-30 мая 2015 г.

5) XIV Всероссийской молодежной школ е-конференции "Лобачевские чтения - 2015", г. Казань, 22-27 октября 2015 г.

6) Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, г. Казань, 26 июня - 2 июля 2016 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ

[78], [79], [80], [81], [82], [83], [84], [85], [86], [87], из них 4 публикации [78],

[79], [80], [81] в изданиях, входящих в перечень ВАК. Работы [78], [80] написаны совместно с А. Н. Абызовым, которому принадлежат постановка задач, идея и рекомендации по их решению. Доказательства всех результатов получены автором. Результаты работ [81], [82] получены в нераздельном соавторстве с А.Н. Абызовым и Чуонг Конг Куинь при равном участии всех сторон.

Содержание работы

Остановимся более подробно на содержании диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, и списка литературы, содержащего 90 наименований. Работа набрана в системе ТЕХ и изложена на 104 страницах.

Во введении обосновывается актуальность темы, исследованной в диссертации, формулируется цель исследования, приводится краткий обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней, а также приводятся основные результаты исследования.

В первой главе диссертации изучается понятие СБ-риккартова модуля, которое является модульным аналогом понятия АСБ - кольца.

В параграфе 1.2 изучены СБ-риккартовы модули, гЮБ-риккартовы модули и их связи соответственно с 81Р-С8-модулями и ЗБР-сЮЗ-модулями. Также описаны несингулярные справа кольца, над которыми каждый (конечно порожденный) правый модуль является 81Р-С8-модулем. Основными результатами данного параграфа являются следующие утверждения.

МЯ

Б = Епад(М). Тогда

1) если А = еМ7 В = /М; где е2 = е, /2 = / € Б, то существует такой идемпотент д2 = д € Б7 что еМ П /М дМ;

2) если А еМ7 В /М, где е2 = е,/2 = / € Б, то существует такой идемпотент д2 = д € Б, что А П В дМ;

3) для, каждых гомоморфизмов ^ъ..., vn Е S существует такой идем-потент e Е S, что rM(^ъ..., Vn) eM;

4) M - SIP-CS модуль.

MR

S = Епад(М). Тогда

1) если A = eM B = fM7 e2 = e, /2 = / Е S7 шо существует такой идемпотент g2 = g Е S7 ^rno A + B лежит над gM;

если подмодули A, B модуля M лежат соответственно над пря-

eM, fM Е S e2 = e, f2 = f Е S ществует такой идемпотент g2 = g Е S, что A + B лежит над gM

3) для, произвольных гомоморфизмов ^ъ..., Е S существует такой идемпотент e Е S7 что Х^П=1 Im V лежит над прямым слагаемым eM

M

Теорема 1.2.27. Следующие условия эквивалентны, для, несингуляр-R

R

2) каждый проективный правый R-модулъ является SIP-CS-модулем.

Теорема 1.2.28. Следующие условия, эквивалентны, для, несингуляр-R

R

R

ляется SIP — CS-модулем;

R

SIP — CS

В параграфе 1.3 изучены CS-риккартовы модули, которые также являются С2-модулями. Описаны кольца, над которыми каждый конечно порожденный проективный правый модуль является одновременно CS-риккартовым модулем и С2-модулем. Основными результатами данного параграфа являются следующие утверждения.

Теорема . Пусть М-правый R-модулъ и P - проективный мо-

дуль из категории а(М). Тогда, следующие условия равносильны:

Т) для произвольного гомоморфизма ^ £ EndR(P) имеет место равенство ^(P) = eP 0 P', где P' - М-сингулярный модуль ив2 = e £ End(P);

2) P - CS-риккартовый модуль, удовлетворяющий условию C2;

3) P - d-CS-риккартовый модуль, удовлетворяющий условию Д (P) =

v(P).

R

Т) R — полурегулярное кольцо и J(R) = Z(Rr);

R C2

R

eR 0 S, где e = e2 £ R и S ^ сингулярный правый идеал кольца R;

R

ляется, CS-риккартовьш, ,модулем, который также является, С2-модулем;

R

ляется, SIP-CS модул&м, которым также является, С2-модулем;

R

ляется SIP-CS модулем, который также является C3-модулем.

В параграфе 1.4 получено описание колец, для которых кольцо Mn(R) является правым ACS-кольцом для каждого n £ N. Основными результатами данного параграфа являются следующие утверждения.

Теорема . Следующие условия эквивалентны для, кольца Я и фиксированного п Е М

1) каждый п-порожденный проективный правый Я-модулъ является СБ-риккартовьш, модулем;

2) свободный Я-модуль Яд'1 является СЯ-риккартовым, модулем;

3) Ма1п(Я) является правым, АСЯ-колъцом;

4) каждый п-порожденный правый идеал, кольца Я имеет вид Р 0 Б7 где Р — проективный Я-модуль и Б — сингулярный, правый идеал,

Я

5) правым Я-модуль Яд' является СЯ-риккартовым модулем относительно модуля Яд;

6) каждый п-порожденный подмодуль модуля Яд' имеет в ид Р1 0 ... 0 Рп 0 Б, где Р1?..., Рп - проективные правые Я-моду ли, каждый из которых изоморфен подмодулю модуля Яд, и Б — сингулярный, модуль.

Я

ли каждый его конечно порожденный правый идеал имеет вид Р 0 Б, где Р — проективный Я-модуль и Б — сингулярный правый идеал кольца Я. Следующая теорема дает эквивалентные характеризации слабо полунаследственных справа колец.

Я

Я

ляется, СБ-риккартовьш, модулем;

2) свободный Я-модуль Яд' является СЯ-риккартовым модулем для каждого п Е М;

3) Ма1п(Я) является правым, АСЯ-кольцом для, каждого п Е М;

4) для, некоторого натурального числа, т кольцо Ма1то(Я) является слабо полунаследственным справа;

5) Я — слабо полунаследственное справа кольцо;

6) каждый конечно порожденный подмодуль проективного правого Я-модуля имеет вид Р1 0 ... 0 Рп 0 Б7 где каждый Р^... , Рп — проективные модули, которые изоморфны подмодулям модуля Яд и Б

сингулярны,й модуль.

Вторая глава диссертации посвящена изучению существенно бэров-ских модулей, существенно квазибэровских модулей и дуальных к ним модулей.

В параграфе 2.1 изучаются существенно бэровские модули. Основные результаты данного параграфа приведены в следующих теоремах.

МЯ

дующие утверждения:

1) если М — СЯ-риккартовый модуль и М — 331Р-С8-модулъ, то М

— существенно бэровский модуль. Обратное верно, если 8оеМ М

ММ

М

ИааМ < М.

МЯ

Я

посильны: М

ММ

Я М

ММ

Теорема 2.1.13. Имеют место следующие утверждения:

1) каждое прямое слагаемое существенно бэровского модуля является существенно бэровским модулем;

2) каждое прямое слагаемое дуально существенно бэровского модуля является дуально существенно бэровским модулем;

3) каждое прямое слагаемое строго существенно бэровского модуля является строго существенно бэровским, модулем;

4) каждое прямое слагаем,ое строго дуально существенно бэровского модуля, является, строго дуально существенно бэровским, модулем;

5) [13, предложение 3.7] каждое прямое слагаем,ое строго СБ- риккар-тово модуля, является, строго СБ-риккартовым, модулем;

6) каждое прямое слагаем,ое строго (И-СБ-риккартово модуля, является, строго (И-СБ-риккартовым, модулем.

Во параграфе 2.2 изучены существенно квазибэровские модули.

Теорема . Пусть М = фМ^ — прямая сум,м,а, правых Я-модулей, и выполнены условия Нош(М^,Mj) = 0 Уг = Тогда, имеют место утверждения:

1) если М^ — существенно квазибэровский модуль для, каждого г ЕХ,

М

2) если М{ — дуально существенно квазибэровский модуль для, каждого г Е Х иХ = {1,..., п}7 т о М — дуально существенно квазибэровский модуль.

МЯ

Т) если М = фМ^ — прямая сум,м,а, существенно квазибэровских правы,х Я-модулей и М{ является копорождающим модулем модуля М^ У г = то М — существенно квазибэровский модуль;

2) если М = фМ^ — прямая сумма дуально существенно квазибэровских правы,х Я-модулей, Х = {1,..., п} и М^ является порождающим, модулем модуля М^ Уг = то М - дуально существенно квазибэровский модуль.

Следствие 2.2.9.

1) Каждый свободный ,модуль над существенно квазибэровским справа кольцом, является существенно квазибэровским модулем.

2) Каждый конечно порожденный свободный модуль над дуально существенно квазибэровским, справа кольцом, является, дуально существенно к в аз и бэр овс ким, м о дул, ем,.

Теорема . Пусть М — проективный модуль и Р(М) = 0.

Следующие условия, равносильны,:

М

М

щественнмм, подмодулем в некотором, вполне инвариантном, пря,-

М

М

В третьей главе изучаются ББР- и 81Р-модули и их обобщения. В параграфе 3.1 изучены ББР- и 81Р-модули. Также получены новые характеристики классически полупростых колец и правых У-колец с помощью ^-оболочек и ^-накрытий, где О, принадлежит к одному из следующих классов модулей: БЗ-модули, СЗ-модули, 81Р-модули. Основные результаты исследования приведены ниже.

Предложение 3.1.8. Следуюище условия, эквивалентны, для, кольца

Я

Я

Я

3) каждый 2-порожденный правый Я-модуль имеет БЗ-накрытие;

Я

5) каждый 2-порожденный правый Я-модуль имеет БЗ-оболочку.

Предложение 3.1.10. Следуюище условия эквивалентны, для, кольца

Я

Я

Я Я

В параграфе 3.2 изучены А — Б/Р- и А — ББР-модули. Основные результаты данного параграфа приведены в следующих теоремах.

Теорема . Пусть М — правый Я-модулъ и А множество

М

М

А

МА МА МА

4) Для любого разложения М = М1 0 М2 из условий М2 £ А следует, что у каждого гомоморфизма / : М1 ^ М2 ядро является прямым,

М1

5) если Х1? Х2,..., Хп — прямые слагаемые модуля Ми М/Х1; М/Х2? .. М/Хп £ А, то ПП=1Х^ — прямое слагаемое модуля М.

Теорема . Пусть М — правый Я-модуль и А множество

М

М

А

МА МА

3) для, любого разложения М = А1 0 А2 из условия А1 £ А следует, что у каждого гомоморфизма / : А1 ^ А2 образ является прямым,

А2

Теорема . Пусть М — правый Я-модулъ и А — класс артино-Я

М

А

МА МА

3) Если Х1, Х2,..., Хп — прямые слагаемые модуля М и Х1, Х2,..., Хп Е А то ЕП=1 Хг ~ прямое слагаемое модуля М.

Теорема . Пусть М — правый Я-модулъ и А множество

М

М

А

МА МА

3) для, любого разложения М = А1 0 А2 из у слов ий А1 Е А следует, что у каждого гомоморфизма / : А1 ^ А2 образ является прямым, слагаемым модуля А2.

МА

5) если Х1, Х2,..., Хп — прямые слагаемые модуля Ми М/Х1; М/Х2? ..М/Хп Е А, шо Еп=1 Хг _ прямое слагаемое модуля М.

В параграфе 3.3 получены характеризации колец с помощью А — С3-и А — В3-модулей. Основные результаты данного параграфа приведены в следующих теоремах.

ЯА

Я

Я

ЯА Я

1) я — артиново полуцепное кольцо и J2(Я) = 0;

ЯА 3) над кольцом Я каждый правый А-СЗ-модулъ является С3-модулем.

ЯА

Я

Я

ЯА Я

1) я — артиново полуцепное кольцо и J2(Я) = 0;

ЯА 3) над кольцом Я каждый пра вый А-РЗ-модуль явля, ется БЗ-модулем.

В заключение автор выражает признательность и благодарность доценту А.Н. Абызову за научное руководство, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

СЯ-риккартовые модули

1.1 Предварительные сведения

Определение 1.1.1.

1) Подмодуль N модуля М называется существенным в М, если для каждого подмодуля Ь ^ М выполнена импликация

N П Ь = 0 ^ Ь = 0.

2) Подмодуль N модуля М называется косущественным (или малым) в М, если для каждого подмодуля Ь ^ М выполнена импликация

N + Ь = М ^ Ь = М.

3) Говорят, что подмодуль N модуля М лежит над прямым слагаемым модуля М, если существуют такие подмодули N1 и N2, что N1 0 N = М, N С N и N П N мал в N¡2.

Тот факт, что подмодуль N модуля М является существенным (соответственно, косущественным) в М мы будем обозначать через N М (соответственно, N ^ М).

Определение 1.1.2. Подмодуль N модуля М называется вполне инвариантным в М, если У/ Е Е^д(М) /^) С N.

Я

Я

ственным подмодулем в некотором прямом слагаемом модуля Яд.

Определение 1.1.4. (см. [31], [34], [74], [47], [49], [64], [69])

1) Модуль M называется SIP-модулем, если пересечение двух прямых слагаемых модуля M является прямым слагаемым модуля M.

2) Модуль M называется SSP-модулем, если сумма двух прямых слагаемых модуля M является прямым слагаемым модуля M.

3) Кольцо R называется правым SIP-колъцом (соотв., правым SSP-колъцом), если Яд является SIP-модулем (соотв., SSP-модулем). Левое SIP-колъцо (соотв., левое SSP-кольцо) определяется аналогично. Кольцо R называется SIP -кольцом (соотв., SSP-кольцом), если R является SIP-кольцом (соотв., SSP-кольцом) справа и слева.

4) Модуль M называется SSIP-модулем, если для каждого семейства (Aj)jGi подмодулей модуля M, где X — произвольное множество индексов, у которого подмодуль Aj является прямым слагаемым модуля M для каждого i G I, подмодуль Aj _ прямое слагаемое модуля M.

5) Модуль M называется SSSP-модулем, если для каждого семейства (Aj)jGi подмодулей модуля M, где I — произвольное множество индексов, у которого подмодуль Aj является прямым слагаемым модуля M для каждого i G I, ^^^^одуль Aj - прямое слагаемое модуля M.

Пример 1.1.5. Очевидно, что каждый SSIP-модуль является SIP-модулем и каждый SSSP-модуль является SSP-модулем, но обратное, вообще говоря, неверно. Действительно, рассмотрим кольца R = П°=1 Z2 и S = G R | 3NVi,j > N a = а^}. Тогда согласно [ , пример 1.4]

S

модулем, но не является ни SSIP-модулем и ни SSSP-модулем.

Определение 1.1.6. (см. [53], [47], [49])

1) Модуль M называется риккартовым модулем, если для каждого ^ G S = EndR(M) имеет место равенство Ker ^ = eM, где e2 = e G S. R

R

R

M

^ G S = EndR(M) имеет место равенство Im ^ = eM, где e2 = e G S.

Пример 1.1.7. 1) Каждый риккартовый модуль является 81Р-модулем (см. [47, предложение 2.16)]), но обратное, вообще говоря, неверно. Действительно, рассмотрим Ж-модуль где р - простое число. Так как - неразложимый модуль, то - 81Р-модуль. Тем не мение, - нерик-картовый модуль. Пусть ^ : ^ гомоморфизм, действующий по правилу ^>(а) = ар. Так как 0 = Кег^ < то - нериккартовый модуль.

2) Каждый с1-риккартовый модуль является 88Р-модулем(см. [49, предложение 2.11]), но обратное, вообще говоря, неверно. На самом деле, так как является неразложимым риккартовым модулем, то он является 88Р-модулем. Тем не мение, очевидно, не является с!-риккартовым модулем. Так как Ж-модуль Ъ4 неразложим, то он является 88Р- и Б1Р-модулем, но Ж-модуль Ъ4 не является ни риккартовым и ни с!-риккартовым модулем.

Определение 1.1.8. (см. [43]

1) Модуль М назовем SIP-CS-,модулем, если пересечение любых двух прямых слагаемых модуля М является существенным подмодулем в некотором прямом слагаемом модуля М.

2) Модуль М назовем SSP-d-CS-модулем, если сумма любых двух прямых слагаемых модуля М лежит над прямым слагаемым модуля М.

Пример 1.1.9. 1) Каждый SIP модуль является SIP-CS-модулем, но обратное, вообще говоря, неверно. На самом деле, пусть F — поле и

(ax 0 0 ^ 0 b 0 0 0 0 by 000a

T = <

\

/

| a, b, x, y E F

> .

Пусть

e = e =

^0 10 0^ 0 10 0 0 0 10 0000

и

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

2

С = С =

Тогда еТ П сТ — нильпотентный идеал. Следовательно, еТ П сТ не является прямым слагаемым модуля Тт. Поэтому Т не является 81Р-модулем. Тем не менее, согласно [ , пример 1.5] Я — правое СБ-кольцо и, в частности, Я - правое БЗР-СБ кольцо.

2) Каждый ББР-модуль является ЗБР-а-СБ-модулем, но обратное, вообще говоря, неверно. Действительно, пусть М — модуль со свойством подъема, который не является ИСС-модулем. Согласно [9, лемма 16] мо-ММ М

М

М

М

(С2) Если подмодуль Ь модуля М изоморфен прямому слагаемому модуля М, то Ь является прямым слагаемым модуля М.

(СЗ) Если М\ ]& М2 — прямые слагаемые модуля М и М\ П М2 = 0, то М\ 0 М2 является прямым слагаемым модуля М.

М

(С1). Если модуль М удовлетворяет условию (С1) (г = 2, 3), то модуль ММ

М

если он удовлетворяет условиям (С1) и (СЗ).

М

(01) Для каждого подмодуля Ь модуля М существует разложение М = Мх 0 М2, такое что Мх ^ Ь к Ь П М2 < М.

(02) Если Ь — подмодуль модуля М и М/Ь изоморфен прямому слагаемому модуля М, то Ь является прямым слагаемым модуля М.

(03) Если М1 и М2 — прямые слагаемые М и М1 + М2 = М, то М1 П М2

М

М

М

условию (01) (г = 2, 3), то модуль М называется Оьмодулем. Модуль М называется дискретным, если он удовлетворяет условиям (01) и (02), и М

Пример 1.1.12. 1) Каждый СБ-модуль является 81Р-С8-модулем, но обратное, вообще говоря, неверно. Пусть Р — поле, V — векторное пространство над полем Р и ^ 2. Рассмотрим кольцо

ЯЯ

^ш^ ^ 2, то Я не является правым СБ-кольцом.

2) Каждый модуль со свойством подъема является 88Р-с1-С8-модулем, но обратное, вообще говоря, неверно. Модуль очевидно, является 88Р-с1-С8-модулем. С другой стороны, модуль не является модулем со свойством подъема, поскольку, например, подмодуль 2Ж не лежит ни над одним из прямых слагаемых модуля

Я

М

ется абелевым модулем, если Б = EndR(M) является абелевым кольцом.

Определение 1.1.14. (см. [70]) М

Я

вается полуартиновым справа кольцом, если Яд является полуартино-вым модулем.

и (03).

Я

Я

Определение 1.1.15. (см. [41] и [24]) Я

Я

Я

Я

Определение 1.1.16. (см. [64], [65] и [69]) М

бэровским модулем), если гм(I) является прямым слагаемым (соответ-

М

дого левого идеала I в Б.

2) Модуль М называется квазибэровеким модулем, если гм(I) является прямым слагаемым модуля М для каждого идеала I кольца Б.

3) Модуль М называется дуально бэровским, модулем, если 1т<р является прямым слагаемым модуля М для каждого правого идеала I кольца Б.

ЯМ

ко тогда, когда Мд — риккартовый модуль и 881Р-модуль (см. [ , предложение 2.22], [47, предложение 2.15]). Тем не менее, риккартовый модуль может не быть бэровским.

1) Согласно [ , замечание 2.28], то — риккартовый модуль, который не является 881Р-модулем. Следовательно, — небэровский модуль.

2) Пусть А = Ц=1Х2 и

Т = (К)~1 е А > N аг = а,},

то

/ = 0 ^2.

п=1

т т/т

Я=

е = 1 (1' 1"") 0 + 1 |€ Я. 0 0 +1

еЯ

не является бэровским модулем.

Я

бэровским справа, кольцом, если правый аннулятор каждого подмноже-Я

слагаемом модуля Яд.

Определение 1.1.19. (см. [64], [69])

1) Модуль М называется К-несингулярным модулем, если ядро каждого ненулевого гомоморфизма ^ € Endд(M) не является существенным

М

2) Модуль М называется Т-неко сингулярным модулем, если образ каждого ненулевого гомоморфизма ^ € Endд(M) не является малым в М

Определение 1.1.20. (см. [55], [75] Я

Я

Я

2) Наследственная область целостности называется дедекиндовым, кольцом,.

Определение 1.1.21. (см. [2]

1) Модуль, изоморфный подмодулю гомоморфного образа прямой сум-

ММ

ЯМ

модулей, обозначается через а(М) и называется категорией Висбауэра М

2) Говорят, что модуль М порождается модулем N если существует эпиморфизм из прямой суммы изоморфных копий модуля N в модуль

М. Говорят, что модуль М копорождается модулем N, если существует

М

модуля N.

1.2 С8-риккартовые модули

Определение 1.2.1.

1) Модуль М называется С Б-риккартовым модулем, если Кег ^ является существенным подмодулем в некотором прямом слагаемом модуля М для каждого ^ е Б. Кольцо Я называется С Б-риккартовым справа, кольцом (или правым А СБ-кольцом), если правый аннулятор всякого

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чан Хоай Нгок Нян, 2017 год

Литература

[1] Абызов А. Н.. Туганбаев А. А. Модули, в которых суммы или пересечения двух прямых слагаемых являются прямыми слагаемыми // Фундамент, и прикл. матем. 2014. Том 19, №1. С. 3-11.

[2] Абызов А. Н., Туганбаев А. А. Гомоморфизмы, близкие к регулярным, и их приложения // Фундамент, и прикл. матем. 2010, Том 16.

т. с. з-з8

[3] Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. 648 с.

[4] Каш Ф. Модули и кольца. М.: Мир, 1981. 368 с.

[5] Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968. 564 с.

[6] Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986. 543 с.

[7] Туганбаев А. А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. М.: МЦНМО, 2009. 472 с.

[8] Agayev N., Harmanci A., Halicioglu S. On Rickart modules // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. 2012. Vol. 38, №2. P. 433-445.

[9] Alkan M., Harmanci A. On Summand Sum and Summand Intersection Property of Modules // Turkish J. Math. 2002. №26. P. 131-147.

[10] Amin I , Ibrahim Y., Yousif M. F. D3-modules // Commun. Algebra. 2014. Vol. 42, №2. P. 578-592.

[11] Amin I., Ibrahim Y., Yousif M. F. C3-modules // Algebra Colloq. 2015. Vol. 22, №4. P. 655-670.

[12] Anderson F. W., Fuller K. R. Rings and Categories of Modules. SpringerVerlag, New York, 1974. 339 p.

[13] Al-Saadi S. A., Ibrahiem T. A. Strongly Rickart Modules // Journal of Advances in Mathematics. 2014. Vol. 9, №4. P. 2506-2514.

[14] Armendariz E. P. A note on extensions of Baer and P.P.-rings //J. Austral. Math. Soc. 1974. №18. P. 470-473.

[15] Baba Y., Oshiro K. Classical Artinian Rings and Related Topics // World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2009. P. 275-291.

[16] Bican L., Jambor P., Kepka T., Nemec P. Prime and coprime modules // Fund. Math. 1980. Vol. 107. P. 33-45.

[17] Birkenmeier G. F., Kim J. Y., Park J. K. When is the CS Condition Hereditary // Comm. Algebra. 1999. Vol 27, №8. P. 3875-3885.

[18] Birkenmeier G. F., Muller B. J., Rizvi S. T. Modules in which every fully invariant submodules is essential in a direct summand // Comm. Algebra. 2002. Vol. 30, №3. P. 1395-1415.

[19] Birkenmeier G. F., Park J. K., Rizvi S. T. A Theory of Hulls for Rings and Modules // Ring and module theory, Trends Math. 2010. P. 27-71.

[20] Birkenmeier G. F., Park J. K., Rizvi S.T. Extensions of Rings and Modules. Birkhauser, 2013. 432 p.

[21] Birkenmeier G. F. A generalization of FPF rings // Comm. Algebra. 2007. Vol. 17, №4. P. 855-884.

[22] Brown K. A. The singular ideals of group rings // Quart. J. Oxford. 1977. Vol. 28, №1. P. 41-60.

[23] Camillo V., Ibrahim Y., Yousif M., Zhou Y. Simple-direct-injective modules //J. Algebra. 2014. Vol. 420. P. 39-53.

[24] Clark W. E. Twisted matrix units semigroup algebras // Duke Math. J. 1967. Vol. 34. P. 417-424.

[25] Clark J., Lomp C., Vanaja N., Wisbauer R. Lifting Modules: Supplements and Projectivity in Module Theory (Frontiers in Mathematics). Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 2006. 394 p.

[26] Dung N. V., Huynh D. V., Smith P. F. Wisbauer R. Extending modules. Pitman Research Notes in Math. 313, Longman, Harlow, New York, 1994. 248 p.

[27] Endo S. Note on p.p. rings // Nagoya Math. J. 1960. Vol. 17. P. 167-170.

[28] Enochs E. E. Injective and .at covers, envelopes and resolvents // Israel J. Math. 1981. Vol. 39, №3. P. 189-209.

[29] Faith C. Algebra II. Ring Theory. Springer-Verlag, New York, 1967. 265 p.

[30] Fuchs L. Infinite Abelian Groups, Vol. 1. Academic Press, New York-London, 1970. 305 p.

[31] Garcia J. L. Properties of Direct Summands of Modules // Comm. Algebra. 1989. Vol. 17, №1. P. 73-92.

[32] Hamdouni A., Harmanci A., Ozcan C. A. Characterization of modules and rings by the sum- mand intersection property and the summand sum property // JP Jour. Algebra, Number Theory and Appl. 2005. Vol. 5. P. 469-490.

[33] Hattori A. A foundation of torsion theory for modules over general rings // Nagoya Math. J. 1960. Vol. 17. P. 147-158.

[34] Hausen J. Modules with summand intersection property // Comm. Algebra. 1989. Vol. 17, №1. P. 135-148.

[35] Ibrahim Y., Tamer Kosan M., Quynh T. C., Yousif M. Simple-Direct-Projective Modules // Communications in Algebra. 2016. Vol. 44, №12. P. 5163-5178.

[36] Jain S. K., Lopez-Permouth S. R., Rizvi S. T. A characterization of uniserial rings via continuous and discrete modules //J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1991. Vol. 50, №2. P. 197-203.

[37] Jain S.K., Srivastava A.K., Tuganbaev A.A. Cyclic Modules and the Structure of Rings. Oxford University Press, Oxford, 2012, 232 p.

[38] J0ndrup S. p.p. rings and finitely generated flat ideals // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 28, №2. P. 431-435.

[39] Kaplansky I. Infinite Abelian Groups. Univ. of Michigan Press, Ann Arbor, 1965. 96 p.

[40] Kaplansky I. Rings of operators. Univ. Chicago Mimeographed Lecture Notes (Notes by S.K. Berberian, with an Appendix by R. Blattner), Univ. Chicago, 1955. 106 p.

[41] Kaplansky I. Rings of Operators. Benjamin, New York, 1968. 159 p.

[42] Karabacak F. On generaliaztions of extending modules // Kyungpook Math. J. 2009. Vol. 49, №3. P. 557-562.

[43] Karabacak F., Tercan A. On modules and matrix rings with SIP-extending // Taiwanese J. Math. 2007. Vol. 11, №4. P. 1037-1044.

[44] Kasch F. Modules and Rings. Academic Press, London, England, 1982. 372 p.

[45] Lee G. Theory of Rickart modules. PhD. Thesis, Ohio State University, 2010. 156 p.

[46] Lee G., Rizvi S. T. Direct sums of quasi-Baer modules // Journal of Algebra. 2016. Vol. 456. P. 76-92.

[47] Lee G., Rizvi S. T., Roman C. S. Rickart Modules // Comm. Algebra. 2010. Vol. 38, №11. P. 4005-4027.

[48] Lee G., Rizvi S. T., Roman C. S. Direct sums of Rickart modules // Journal of Algebra. 2012. Vol. 353, №1. P. 62-78.

[49] Lee G., Rizvi S. T., Roman C. S. Dual Rickart Modules // Comm. Algebra. 2011. Vol. 39, №11. P. 4036-4058.

[50] Li W., Chen J. When CF rings are Artinian // Journal of Algebra and Its Applications. 2013. Vol. 12, №4. 7 pp.

[51] Liu Q., Ouyang B. Y., Wu T. S. Principally Quasi-Baer Modules // Journal of Mathematical Research and Exposition. 2009. Vol. 29, №5. P. 823-830.

[52] Lopez-Permouth S. R., Oshiro K., Rizvi S. T. On the relative (quasi-) continuity of modules // Comm. Algebra. 1998. Vol. 26, №11. P. 34973510.

[53] Maeda S. On a ring whose principal right ideals generated by idempotents form a lattice //J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A. 1960. Vol. 24. P. 509-525.

[54] Menal P. On n-regular rings whose primitive factor rings are artinian // J. Pure Appl. Algebra. 1981. Vol. 20, №1. P. 71-78.

[55] Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Kirichenko V. V. Algebras, Rings and Modules, Vol. 1. Kluwer Academic Publishers, 2004. 380 p.

[56] Mohammed S. H., Miiller B. J. Continous and Discrete Modules. London Math. Soc. LN 147: Cambridge Univ. Press., 1990. 126 p.

[57] Nicholson W. K., Yousif M. F. Weakly continous and C2 rings // Comm. Algebra. 2001. Vol. 29, №6. P. 2429-2446.

[58] Nicholson W. K., Zhou Y. Semiregular Morphisms // Comm. Algebra. 2006. Vol. 34, №1. P. 219-233

[59] Nicholson W. K. Semiregular modules and rings // Canad. J. Math. 1976. Vol. 28. P. 1105-1120.

[60] Nicholson W. K., Yousif M. F. Quasi-Frobenius Rings. Cambridge Univ. Press, 2003. 307 p.

[61] Oshiro K. Continuous modules and quasi-continuous modules // Osaka J. Math. 1983. Vol. 20. P. 681-694

[62] Quynh T. C., Kosan M. T., Thuyet L. V. On (semi)regular morphisms // Comm. Algebra. 2013. Vol. 41, №8. P. 2933-2947.

[63] Raggi F.. Rios J., Rincon H., Fernandez-Alonso R., Signoret C. Prime and irreducible preradicals //J. Algebra Appl. 2005. Vol. 4, №4. P. 451466.

[64] Rizvi S. T., Roman C.S. Baer and quasi-Baer modules // Comm. Algebra. 2004. Vol. 32, №. P. 103-123.

[65] Rizvi S. T., Roman C.S. Baer property of modules and applications // Advances in Ring Theory. 2005. P. 225-241.

[66] Rizvi S. T., Roman C. S. On direct sums of Baer modules // Journal of Algebra. 2009. Vol. 321. P. 682-696.

[67] Shen L. A note on rings with the summand sum property // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. 2011. Vol. 52, №4. P. 450-456.

[68] Small L. W. Semihereditary rings // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 73, №5. P. 656-658.

[69] Tutiincii D. K., Tribak R. On dual Baer modules // Glasgow Math. J. 2010. Vol. 52, №2. P. 261-269.

[70] Tuganbaev A. Rings Close to Regular. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2002. 350 p.

[71] Ungor B., Agayev N., Halicioglu S., Harmanci A. On principally quasi-Baer modules // Albanian J. Math. 2011. Vol. 5, №3. P. 165-173.

[72] Vanaja N., Purav V. M. Characterization of generalized uniserial rings in terms of factor rings // Comm. Algebra. 1992. Vol. 20, №8. P. 2253-2270.

[73] Von Neumann J. On Regular Rings // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1936. Vol. 22, №12. P. 707-712.

[74] Wilson G. V. Modules with the direct summand intersection property // Comm. Algebra. 1986. Vol. 14, №1. P. 21-38.

[75] Wisbauer R. Foundations of Module and Ring Theory. A Handbook for Study and Research. Gordon and Breach Science Publishers, Reading, 1991. 616p.

[76] Zeng Q. Some Examples of ACS-Rings // Vietnam Journal of Mathematics. 2007. Vol. 35, №1. P. 11-19.

[77] Zhou Y. On (semi)regularity and the total of rings and modules // J. Algebra. 2009. Vol 322, №2. P. 562-578.

Работы автора по теме диссертации

[78] А. Н. Абызов, Чан Хоай Нгок Нян. CS-риккартовы модули // Изв. вузов. Матем. 2014. №5. С. 59-63.

[79] Чан Хоай Нгок Нян. Существенно бэровый модули // Чебышевский сб. 2015. Том. 16, №3. С. 355-375.

[80] Abyzov A. N., Nhan Т. Н. N. CS-Rickart Modules // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2014. Vol. 35, №4. P. 317-326.

[81] Abyzov A. N., Nhan Т. H. N., Quynh Т. C. Modules close to SSP- and SIP-modules // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2017. No. 38, №1. P. 1-12.

[82] Abyzov A. N., Quynh Т. C., Nhan Т. H. N. SSP rings and modules // Asian-European J. Math. 2016. Vol. 9, №1. 9 pp.

[83] Абызов A. H., Чан Хоай Нгок Нян. CS-риккартовы модули // Материалы двенадцатой молодежной научной школыконференции "Лобачевские чтения-2013" г. Казань, 24-29 октября 2013 г. - Казань, 2013. - С. 3-5.

[84] Абызов А. Н., Чан Хоай Нгок Нян. Модули, в которых суммы (или пересечение) двух прямых слагаемых являются прямыми слагаемыми // Материалы двенадцатой молодежной научной школыконференции "Лобачевские чтения-2015" г. Казань, 22-27 октября 2015 г. -Казань, 2015. - С. 5-7.

[85] Nhan Т. Н. N. Essentially Baer modules // XIII International conference "Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: Contemporary Issues and Applications", Tula, May 25-30, 2015. - Tula, 2015. - P.171-173.

[86] Чан Хоай Нгок Нян. Д-(СЗ)- и A-(D3) модули // Материалы международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, г. Казань, 26 июня - 2 июля 2016 г. - Казань, 2016. - С. 258-259.

[87] Abyzov A. N., Nhan Т. Н. N. Some results on CS-Rickart modules // International Conference "Algebra and Mathematical Logic: Theory and Applications", Kazan Federal University and Tatarstan Republic Academy of Science, June 2-6, 2014. - Kazan, 2014. - P.36-37.

Предметный указатель

Х-СБ-риккартовый модуль, 36 Х-сЮБ-риккартовый модуль, 36 ^-накрытия, 74 ^-оболочка, 73 А-С2-модуль, 77 А-СЗ-модуль, 77 А-02-модуль, 77 А-БЗ-модуль, 77 А-81Р-модуль, 77 А-ББР-модуль, 77 К-несингулярный модуль, 25 Т-некосингулярный модуль, 25 (полу)наследственное кольцо, 25 2-первичный подмодуль, 67

АСБ-кольцо, 19, 26

С2-модуль, 22 СЗ-модуль , 22 СБ-модуль, 22 СБ-риккартовое кольцо, 26 СБ-риккартовый модуль, 26

(¿-СБ-модуль, 23 (1-08-риккиртовыи модуль, 26 с!-риккартовый модуль, 20 Б2-модуль, 23 БЗ-модуль, 23

IКР-модуль. 63

тах-кольцо, 24

риккартовый модуль, 20

БШ-СБ-модуль, 21 81Р-кольцо, 20 81Р-модуль, 20 ЯЗШ-СБ-модуль, 57 ЯБШ-модуль, 20 БЭР-а-СБ-модуль, 21 ББР-кольцо, 20 ББР-модуль, 20 ЗЯБР-а-СЗ-модуль, 57 ЗЯБР-модуль, 20

абелево кольцо, 23 и белены и модуль, 23

бэровский модуль, 24 бэровское кольцо, 24

вполне инвариантный

подмодуль, 19 вполне первичный модуль, 66 вполне первичный подмодуль, 66

дедекиндово кольцо, 25 дискретный модуль, 23 дуально бэровский модуль, 24

дуально существенно бэровский

модуль, 53 дуально существенно

квазибэровский модуль, 62

категория Висбауэра, 25 квазибэровский модуль, 24 квазибэровское кольцо, 24 квазидискретный модуль, 23 квазинепрерывный модуль, 22 косущественный подмодуль, 19

модуль со свойством подъема, 23

непрерывный модуль, 22

полуартиново кольцо, 23 полуартиновый модуль, 23 полукоммутативный модуль, 63 полурегулярное кольцо, 48 полурегулярный гомоморфизм, 44

полурегулярный элемент, 47 произведение подмодулей, 66

регулярный гомоморфизм, 44 редуцируемый модуль, 63

самопорождающийся модуль, 42 симметричный модуль, 63

сингулярный идеал, 39 сингулярный подмодуль, 38 слабо наследственное кольцо, 52 слабо полунаследственное

кольцо, 51 совершенное кольцо, 48 строго СБ-риккартовый модуль, 27

строго сЮБ-риккартовый

модуль, 28 строго бэровский модуль, 24 строго дуально существенно бэровский модуль, 53 строго дуально существенно

квазибэровский модуль, 62 строго существенно бэровский

модуль, 53 строго существенно

квазибэровский модуль, 61 существенно бэровский модуль, 53

существенно бэровское кольцо, 25

существенно квазибэровский

модуль, 61 существенный подмодуль, 19