Эффекты высокочастотной фокусировки ионных пучков в поле периодического резонатора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.20, кандидат физико-математических наук Виноградов, Николай Евгеньевич

• Виноградов, Николай Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Виноградов, Николай Евгеньевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ 3-МЕРНОЙ ДИНАМИКИ ПУЧКА В ПЕРИОДИЧЕСКОЙ УСКОРЯЮЩЕЙ СТРУКТУРЕ В ГЛАДКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ.

1.1. Вывод уравнения движения.

1.2. Общий анализ эффективной потенциальной функции.

1.2.1. Анализ поперечной и продольной устойчивости.

1.2.2. Анализ параметрических резонансов.

1.3. Ускоряющая структура с синхронной и одной несинхронной гармониками.

1.4. Влияние нескольких несинхронных гармоник поля

ГЛАВА 2. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ УСКОРИТЕЛЯ-ГРУППИРОВАТЕЛЯ С ВЧ ФОКУСИРОВКОЙ.

2.1. Влияние собственного поля на продольную динамику пучка в случае аксиальной симметрии. Предельный ток пучка.

2.1.1. Влияние кулоновского поля на продольное движение частиц.

2.1.2. Влияние кулоновского поля на поперечное движение частиц.

2.2. Метод выбора основных параметров ускоряющего канала.

2.3. Расчёт параметров группирователя для некоторых вариантов ускоряющих структур.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ИНТЕНСИВНЫХ ПУЧКОВ В УСКОРЯЮЩИХ СТРУКТУРАХ С ВЧ ФОКУСИРОВКОЙ.

3.1. Динамика интенсивного ионного пучка в ускоряющей структуре с аксиально-симметричной ВЧ фокусировкой.

3.1Л. Анализ продольного движения.

3.1.2. Анализ поперечного движения.

3.2. Динамика интенсивного ионного пучка в ускоряющей структуре с ленточной ВЧ фокусировкой.

3.3. Метод расчёта геометрии ускоряющего канала по заданному распределению ВЧ поля.

3.4. Примеры расчёта геометрии ускоряющего канала с аксиальной ВЧ фокусировкой.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ИНТЕНСИВНОГО ИОННОГО ПУЧКА В СТРУКТУРАХ С ВЧ ФОКУСИРОВКОЙ.

4.1. Решение уравнений движения.

4.2. Собственное поле сгустка. Решение уравнения Пуассона.

4.3. Общая структура программы расчёта динамики интенсивного ионного пучка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффекты высокочастотной фокусировки ионных пучков в поле периодического резонатора»

Проблема создания ускорителей ионов на малые энергии занимает одно из первых мест среди задач ускорительной техники. Непрерывный рост интереса к этой проблеме объясняется активным расширением круга исследовательских и прикладных задач в ядерной физике, физике высоких энергий, технике, технологии, медицине, энергетике и многих других областях, решение которых невозможно без применения ускорителей указанного типа [1-3]. Основными направлениями их использования являются создание начальной части крупных ускорительных комплексов, исследования радиационного поведения образцов в материаловедении, ионная имплантация и изучение радиационных дефектов полупроводников в микроэлектронной технологии, радиационная модификация полимеров в химии, лечение и диагностика некоторых видов онкологических заболеваний в медицине, различные технологии, использующие нейтронные генераторы, в частности, активационный анализ, нейтронная дефектоскопия, экспресс-диагностика наличия взрывчатых веществ, а также утилизация отходов атомной энергетики.

Особенную актуальность в последние годы приобретают вопросы увеличения тока пучка ускоряемых ионов. Основными направлениями их использования являются создание интенсивных нейтронных генераторов, мезонных фабрик, систем уничтожения ядерных отходов (трансмутация), а также производство ядерного горючего [1]. Многомодульные ионные ускорители планируется использовать в системе нейтральной инжекции (СНИ) для термоядерного реактора. В СНИ ускоренный пучок отрицательно заряженных ионов дейтерия после обдирки до нейтральных атомов инжектируется в рабочую зону стационарного термоядерного реактора для нагрева плазмы, поджига и поддержания реакции. Наконец, чрезвычайно важным является использование интенсивных ускорителей на малые энергии в качестве начальной части больших ускорительных комплексов [1]. Приведённые соображения выводят на передний план задачу получения интенсивных ионных пучков хорошего качества.

Особенно сложным является создание эффективного ускорителя-группирователя, позволяющего ускорять и фокусировать полученный из инжектора несгруппированный интенсивный пучок. При решении сформулированной проблемы возникает целый спектр вопросов, главными из которых являются получение больших величин выходного тока ггучка (сотни тА), а также достижение высокого коэффициента токопрохождения (до 90%). Основной трудностью при ускорении низкоэнергетических (от 50-^150 кэВ до 1.5-г-З МэВ) ионных пучков с большим током является сильное влияние кулоновского поля, и, как следствие, сложность достижения достаточной поперечной фокусировки. Поскольку использование в малогабаритных ускорителях на низкие энергии внешних фокусирующих элементов затруднительно, особенно перспективным представляется создание ускоряющих каналов, в которых продольная и поперечная устойчивость движения частиц пучка достигается за счёт использования ускоряющих ВЧ полей специальной конфигурации [4-6]. Наиболее эффективной системой такого типа в последнее время считается ускоряющая структура с пространственно однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ) [5]. На этих установках при энергии инжекции порядка 100 кэВ возможно ускорение ионных пучков до нескольких МэВ с темпом ускорения 0.5-1-0.8 МэВ/м при токе до 100 тА и коэффициенте токопрохождения до 80^-90%. Недостатком ускорителей с ПОКФ можно считать высокую стоимость и сложность изготовления, а также трудности с настройкой. Гораздо более дешёвыми и простыми в изготовлении являются ускоряющие каналы с ВЧ фокусировкой (в частности, аксиально-симметричная ВЧ фокусировка с трубками дрейфа) [4, 5]. К сожалению, существующие методы реализации фокусировки такого типа не позволяют создавать ускоряющие структуры, обеспечивающие достаточно высокие значения коэффициента токопрохождения и выходного тока пучка. Поэтому представляет значительный интерес создание обобщённой теории ВЧ фокусировки, которая давала бы возможность разрешать эту проблему. Ещё большие перспективы в вопросе увеличения тока пучка открываются при отказе от аксиальной симметрии (например, использование плоских структур с ленточной ВЧ фокусировкой). Являясь достаточно простыми по конструкции, такие системы позволяют существенно повысить величину выходного тока [7]. Однако в построении 3-мерной ВЧ фокусировки и исследовании особенностей динамики интенсивных пучков в не аксиально-симметричных ускоряющих каналах существуют огромные пробелы, заполнить которые возможно только в рамках общего подхода к описанию ВЧ фокусировки.

При ускорении пучка заряженных частиц в поле одной синхронной волны достижение одновременно продольной и поперечной устойчивости невозможно. Действительно, в системе отсчёта, связанной со сгустком, потенциал ускоряющего поля является статическим, и следовательно, не может иметь абсолютного минимума. Простейший из подходов к достижению фокусирующего эффекта сформулировали И.Б. Файнберг [8] и M.L. Good [9]. Он заключался в периодическом изменении знака фазы синхронной частицы. При этом колебания частиц пучка становятся попеременно устойчивыми в продольном направлении и неустойчивыми в поперечном, и наоборот. Такая фокусировка была названа фазопеременной (ФПФ). Дальнейшим развитием ФПФ стала асимметричная фазопеременная фокусировка (АФПФ), при которой закон изменения величины равновесной фазы и ускоряющего поля от зазора к зазору имеет более общий вид [4, 10, 11], а также модифицированная фазопеременная фокусировка (МФПФ) [12, 13]. Развитый при этом математический аппарат давал удовлетворительное описание динамики пучка в случае малых продольных и поперечных размеров сгустка, и оставлял открытым вопрос об оптимальном выборе внутренней геометрии периода ускоряющего канала. Параллельно разрабатывался подход, в котором для описания ВЧ фокусировки было использовано представление внешнего поля в виде суммы двух гармоник бегущей волны, одна из которых несинхронна с пучком (двухволновое приближение). Идея состояла в том, что в системе сгустка поле несинхронной волны даёт вклад в поперечную динамику сгустка. Таким образом, при определённом соотношении между амплитудами гармоник ускоряющего поля становится возможным достижение одновременно радиальной и фазовой устойчивости движения частиц. Впервые двухволновая модель была предложена B.C. Ткаличем [14] и получила последующее развитие благодаря усилиям некоторых сотрудников МИФИ и др. [15-17]. При этом изучение динамики частиц проводилось отдельно для продольного и поперечного движения с учётом резонансных явлений. Позднее в

18] был представлен метод анализа динамики частиц в поле двух гармоник с помощью диаграмм устойчивости Матье, что было достигнуто ценой перехода к линейному приближению (случай малых радиальных и фазовых колебаний). В последующей работе

19] для приаксиальной области ставилась задача показать эквивалентность этого подхода некоторым видам ФПФ. С использованием теории двухволнового приближения были получены условия достижения эффекта ВЧ фокусировки, а также некоторые методы увеличения её эффективности. Однако двухволновое приближение описывало сравнительно узкий класс ускоряющих структур. В частности, в рамках этой модели было невозможно обоснование механизма АФПФ. Позднее были исследованы системы, где помимо синхронной присутствовало несколько несинхронных гармоник [20, 21]. Кроме того, анализировалась структура с большим числом гармоник стоячей волны в приближении коротких ускоряющих промежутков [22]. При этом были заложены первые основы анализа полигармонических систем с помощью получаемой в гладком приближении эффективной потенциальной функции. Однако её использование ограничивалось изучением одномерного приближения без учёта поперечного движения частиц. Предложенный таким образом подход к описанию ВЧ фокусировки имел целый ряд существенных недостатков. Анализ динамики частицы заключался, как правило, в представлении уравнений движения по продольной и поперечной координате в виде уравнений Матье для колебаний малых амплитуд. При этом продольные и поперечные колебания рассматривались отдельно и оказывались связанными между собой только через коэффициенты уравнений Матье, что затрудняло адекватный анализ их влияния друг на друга. Предложенный подход хорошо работал только в малой окрестности синхронной частицы, что делало невозможным исследование характера поведения пучка в целом, т.е. при произвольных фазовых и радиальных размерах сгустка. При полигармоническом представлении ВЧ поля анализ уравнений движения проводился для случая, когда период исследуемой структуры совпадает с периодом поля, хотя это не всегда так. Используемый подход к усреднению 3-мерных уравнений движения затруднял правильный анализ воздействия быстрых продольных и поперечных осцилляций на динамику пучка и учёт влияния высших гармоник поля. Получаемая при этом эффективная потенциальная функция рассматривалась в одномерном приближении, что делало невозможным корректный учёт связи продольной и поперечной динамики ионов. Указанные недостатки существовавшей теории не позволяли изучить все возможности ВЧ фокусировки. В частности, одним из требований реализации такой фокусировки была малость среднего значения фазы синхронной частицы. Это приводило к низким величинам продольного аксептанса, токопрохождения и выходного тока. Например, характерные значения токопрохождения реализованных структур с ФПФ составляют, как правило, 15-40% при выходном токе 5-20 шА [23]. Большие величины выходного тока (300 тА и более) получены в работе [65], однако при этом очень низок коэффициент захвата. Значительные успехи в вопросе увеличения захвата достигнуты в работе [66], где коэффициент токопрохождения достигает 50% в случае ускорения несгруппированных низкоэнергетических пучков с энергией порядка 100 кэВ, и почти 100% при ускорении хорошо сгруппированных сгустков с энергией несколько МэВ. Существенного увеличения тока пучка в этой работе удалось достигнуть за счёт использования многоапертурных систем.

Наконец, в существующих работах по ВЧ фокусировке рассматриваются в основном аксиально-симметричные ускоряющие системы. Таким образом, практически отсутствует обобщение теории фокусировки такого типа на случай 3-мерных структур.

Одним из путей решения проблемы исследования динамики пучка в полигармоническом ВЧ поле является корректное использование метода усреднения по быстрым осцилляциям (гладкое приближение) [24-26] по всем 3-м координатам. В гладком приближении движение частицы можно описать с помощью так называемой эффективной потенциальной функции, которая не имеет явной зависимости от времени, но содержит слагаемые, описывающие воздействие несинхронных гармоник. В работе [27] при анализе динамики ионного пучка в ондуляторном ускорителе Э.С. Масуновым была показана возможность применения в гладком приближении гамильтонова формализма, допускающего правильный учёт связи продольного и поперечного движения даже при больших амплитудах колебаний. Для детального исследования ВЧ фокусировки в периодических резонаторах необходимо обобщение данного подхода на случай аксиально-симметричных и 3-мерных периодических структур произвольного вида. Это является одним из направлений построения общей теории ВЧ фокусировки в полигармонических ВЧ полях.

При создании ускорителя-группирователя с большим коэффициентом токопрохождения важное значение имеет правильный выбор параметров ускоряющего канала, таких как, например, зависимость амплитуды ускоряющего поля и периода структуры от продольной координаты [5]. В существующих работах по ВЧ фокусировке, а также при создании конкретных проектов ускорителей исследованию этого вопроса уделено недостаточное внимание, а в большинстве случаев им и вовсе пренебрегают, хотя для группировки и ускорения интенсивных пучков с большим токопрохождением решение данной проблемы имеет решающее значение. Именно этим объясняются, в частности, успехи, достигнутые при создании ускорителей с ПОКФ, где введение участков согласования, группировки и ускорения позволяет довести коэффициент токопрохождения интенсивного пучка до 90% и более. Представляет большой интерес исследование возможности применения аналогичного подхода для случая ускорителей с ВЧ фокусировкой, а также формулировка методов оптимизации параметров группирователя с учётом поля пространственного заряда, использование которых позволит обеспечить эффективный захват пучка и его группировку.

Отсутствие замкнутой теории для аналитического описания эффектов пространственного заряда, особенно в случае нестационарных процессов, приводит к необходимости использования численного моделирования для исследования данного вопроса. С активным развитием возможностей ЭВМ, такой подход в последние годы нашёл особенно широкое применение. Можно выделить целый круг задач, единственным способом решения которых сейчас является компьютерное моделирование. В то же время, большинство существующих стандартных программ подразумевают наличие аксиальной симметрии и малопригодны для общего анализа движения ионных пучков в полигармонических ВЧ полях. В связи с этим, представляется вполне актуальным создание пакета специализированных компьютерных программ, предназначенного для исследования динамики интенсивного ионного пучка и эффектов пространственного заряда в аксиально-симметричных и, в особенности, в 3-мерных ускоряющих каналах с ВЧ фокусировкой.

Все недостатки существующего подхода к анализу ВЧ фокусировки проявляются в полной мере при конструировании ускоряющих структур. Можно утверждать, что в настоящее время отсутствует аналитически обоснованный метод расчёта и оптимизации геометрических характеристик для ускоряющих каналов с фокусировкой такого типа при учёте поля пространственного заряда. Поэтому представляет интерес возможность упрощения этой задачи за счёт использования общей теории ВЧ фокусировки.

Целью данной диссертационной работы является разработка общего метода описания ВЧ фокусировки интенсивных ионных пучков с малыми энергиями для создания эффективных систем группировки и ускорения, а также универсального подхода к аналитическому и численному расчёту ускоряюще-фокусирующих периодических структур данного типа.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Во введении обоснована актуальность темы работы, а также сформулированы её цели и задачи. Приведены положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации по главам.

Заключение диссертации по теме «Физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника», Виноградов, Николай Евгеньевич

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему.

1. Разработана общая теория ВЧ фокусировки, описывающая динамику ионного пучка при произвольных фазовых и радиальных размерах сгустка. Полученные при этом уравнения позволяют проводить полный анализ эффектов ВЧ фокусировки в полигармоническом ВЧ поле аксиально-симметричных и 3-мерных структур при произвольном гармоническом составе поля.

2. На основании предложенной теории получены условия на конфигурацию ускоряющего поля, при выполнении которых возможно достижение эффективной ВЧ фокусировки. Проведён подробный анализ влияния высших гармоник, а также различных нелинейных и резонансных эффектов на особенности динамики ионного пучка. Выполнено исследование ряда важных частных случаев конфигураций ускоряющих структур с аксиально-симметричной (АВФ) и ленточной (ЛВФ) ВЧ фокусировкой. На базе разработанного в диссертации подхода предложены способы повышения эффективности ВЧ фокусировки, а также увеличения коэффициента захвата. Это даёт возможность использовать АВФ и ЛВФ в ускоряюще-группирующих структурах, предназначенных для ускорения интенсивных ионных пучков с большим коэффициентом токопрохождения.

3. Исследовано влияние собственного поля пучка на динамику сгустка в структуре с ВЧ фокусировкой. Получено выражение для предельного тока пучка по продольному движению для систем с произвольным гармоническим составом. Разработан метод выбора и оптимизации параметров группирующей части канала, направленный на увеличение захвата и минимизацию потерь частиц в ускорителях с АВФ и ЛВФ. Представленный метод позволяет увеличить коэффициент токопрохождения в системах с ВЧ фокусировкой до 90% при достаточно больших величинах входного тока.

4. Разработан пакет компьютерных программ "TIRAN" для моделирования динамики интенсивных ионных пучков в 2- и 3-мерных ускоряющих структурах с ВЧ фокусировкой, а также для исследования различных кинетических эффектов в ускоряемых сгустках.

5. С помощью созданного пакета программ проведена подробная проверка всех результатов построенной в диссертации теории ВЧ фокусировки. Доказана пригодность использования метода усреднения по быстрым осцилляциям для описания динамики частиц в системе с ВЧ фокусировкой. Показана работоспособность предложенного метода выбора конфигурации группирующей части канала и его преимущество по сравнению с существующими.

6. На основании выводов предложенной в диссертации теории ВЧ фокусировки рассчитаны ускоряюще-группирующие системы, обеспечивающие ускорение непрерывных ионных пучков в интервале энергий от 100 кэВ до 2 МэВ с коэффициентом токопрохождения более 80% при входном токе 100 шА для случая АВФ и 1 А в случае ЛВФ.

7. Продемонстрирована возможность практической реализации требуемого в представленных ускоряющих системах

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Виноградов, Николай Евгеньевич, 2001 год

1. А.Н. Лебедев, А.В. Шальнов. Основы физики и техники ускорителей, М:, Энергоатомиздат, 1991.

2. Д.В. Каретников, И.Н. Сливков, В.А. Тепляков и др., Линейные ускорители ионов, М.: Гостатомиздат, 1962.

3. А.Д. Власов. Теория линейных ускорителей, М.: Атомиздат, 1965.

4. Линейные ускорители ионов. Под ред. Б.П. Мурина, М.: Атомиздат, 1978.

5. М.М. Капчинский. Теория линейных резонансных ускорителей, М.: Энергоиздат, 1982.

6. В.В. Владимирский. ПТЭ, №3, стр. 35, 1956.

7. Y.D. Danilov, А.А. Iliin, Y.K. Batygin, Proc. of the 3 European Particle Accelerator Conference, Berlin, 1992, pp.569-571.

8. Я.Б.Файнберг,ЖТФ, том 29, стр. 568, 1959.

9. M.L.Good, Phys. Rev. vol. 92, p. 538, 1953. Ю.В.В.Кушин, Атомная Энергия, том 29, стр. 3, 1970. П.В.В.Кушин и др., ПТЭ, №6, стр. 15, 1972.

10. Н.А. Хижняк и др., Сб ГВопросы атомной науки и техники1, сер. Шинейные ускорители1, в. 2(5), 12, Харьков, 1977.

11. Н.А. Хижняк и др., Украинский физический журнал, т. 28, №11, стр. 1668-1674, 1983.

12. В.С. Ткалич, ЖЭТФ, том 32, стр. 625, 1957.

13. Н.М. Гаврилов, Сб. 1Ускорители1, в. 12, стр. 138, Атомиздат, М.: 1969.

14. Н.М. Гаврилов, В.П. Зубовский, ЖТФ, том 41, стр. 1012, 1971.ко

15. Н.М. Гаврилов, A.B. Шальнов, Науч. конф. МИФИ (11-20 октября 1071 г.), 8. М., 1971.

16. В.К. Баев, С.А.Минаев, ЖТФ, том 51, стр. 2310, 1981.

17. В.К. Баев, Н.Г.Гаврилов, С.А.Минаев и А.В.Шальнов, ЖТФ, том 53, стр. 1287, 1983.

18. В.Д. Данилов, А.А.Ильин, Теоретические и экспериментальные исследования ускорителей заряженных частиц, Энергоатомиздат, стр. 93, 1985.21А.Н. Антропов, В.К. Баев, Н.М. Гаврилов, С.А. Минаев, A.B. Шальнов, ЖТФ, том 59, в. 7, стр. 124-130, 1989.

19. H.Okamoto, Nucí. Instr.andMeth. in.Phys. Res. А 284, р233, 1989.

20. С.И. Губанов, А.Д. Коляскин и др., Теоретические и экспериментальные исследования ускорителей заряженных частиц, Энергоатомиздат, стр. 98, 1985.

21. Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Ассимтотические методы в теории нелинейных колебаний, М.: Физматгиз, 1958.

22. П.Л. Капица, ЖЭТФ, т. 21, вып. 5, стр. 588-597, 1951.

23. A.B. Гапонов, М.А. Миллер, ЖЭТФ, том 34, стр, 751, 1958.

24. Э.С.Масунов, ЖТФ, том 60, стр. 152, 1990.

25. Н.Е. Виноградов, Э.С. Масунов, Вопросы атомной науки и техники, серия: Ядерно-физические исследования, выпуск 2, 3(29, 30), стр. 184, Харьков, 1997.

26. E.S. Masunov, N.E. Vinogradov., Proc. of the Sixth European Particle Accelerator Conference, Stockholm, 22-24 June, 1998, pp.740-742.i /, i

27. ЗО.Э.С. Масунов, Н.Е. Виноградов, сб. аннотаций докладов 16 Совещания по ускорителям заряженных частиц, Протвино, 1998, стр. 78.

28. Н.Е. Виноградов, Московская Международная

29. Телекоммуникационная конференция студентов и молодых учёных (URL.http://www.mephi.ru). Научная сессия МИФИ-98, сборник научных трудов, часть 8, стр. 93-97, М., 1998.

30. Э.С. Масунов, Н.Е. Виноградов, Сборник научных трудов Шаучная Сессия МИФИ-981, часть 3, стр. 100-101, М, 1998.

31. Э.С. Масунов, Н.Е. Виноградов, Сборник научных трудов Шаучная Сессия МИФИ-991, том 4, стр. 76-77, Москва, 1999.

32. E.S. Masunov, N.E. Vinogradov, The Abstracts of the 18th Particle Accelerator Conference, New York, 1999, pp. 178-179.

33. Э.С. Масунов, Н.Е. Виноградов, Сборник научных трудов Шаучная Сессия МИФИ-20001, т. 7, с. 138-139, Москва, 2000.

34. E.S. Masunov, N.E. Vinogradov, Proc. of the VII European Particle Accelerator Conference, Vienna, Austria, June, 2000, pp. 836-838

35. E.S. Masunov, N.E. Vinogradov, Prog and Abstracts of 6-th International Comput. Accelerator Physics Conf., September, 11-14, 2000, TU Darmschtadt, Germany, p. 142

36. Э.С.Масунов, Н.Е. Виноградов, Аннотации докладов XVII совещания по ускорителям заряженных частиц, Протвино, 17-20 октября 2000, с. 69.

37. Э.С.Масунов, Н.Е. Виноградов, Сборник научных трудов Шаучная Сессия МИФИ-20011, т. 7, с. 127-128, Москва, 2001.

38. Э.С.Масунов, Н.Е. Виноградов, ЖТФ, принято к печати.шх

39. Э.С.Масунов, С.М. Полозов, А.С. Рошаль. Вопросы атомной науки и техники, серия: Ядерно-физические исследования, выпуск 4, 5(31, 32), стр. 105, Харьков, 1997.

40. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая механика, М., Наука, 1988.

41. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля, М.: Наука, 1988.

42. Мак-Лахланн. Теория и приложения функций Матье, Пер. С англ., М., Изд-во иностр. лит., 1953.

43. Ю.А. Буданов. Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук, Сепухов, 1985.

44. E.S. Masunov, A.S. Roshal,

45. Б.Ю. Богданович, Н.М. Гаврилов, А.В. Шальнов. Ускорители с накоплением и генерацией высокочастотной энергии, М: Энергоатомиздат, 1994.

46. Wideroe, R., Archiv fur Electrotechnik, 1928, 21, 387-391.

47. Pottier, US Patent № 4181894, Jan. 1980.

48. Zaidlitz et al, Plasma Physics (Journal of Nucl. Energy, Part C), Vol. 4, 1962, 121.

49. Y. Hirao, IEEE Trans. Nucl. Science, 1985, NS-32 (5), 1565-1570.

50. Y.V. Kushin, S.V. Plotnikov, Proceedings of the 4 European Particle Accelerator Conference, World Scientific, London, 1994, Vol. 3, p. 26612663.

51. V.V. Kushin, Proceedings of the 1994 International Linac Conference, Tsukuba, Japan, 1994, Vol, 2, p. 957-961.

52. G. Batsklkh, V. Pirozhenko, A. Favale, T.M. Myers, Proceedings of the 1997 Particle Accelerator Conference, Vancouver, B.C., Canada, 1997, Vol. 1, p. 950-952.

53. POISSON Program, Los Alamos Accelerator Code Group, LA-UR-87-115.

54. P.B. Хемминг. Численные методы, M., Наука, 1972.

55. А.С. Рошаль. Моделирование заряженных пучков, М., Атомиздат, 1979.

56. А.С. Рошаль. Вычислительная электроника (методы Фурье), М., изд-во МИФИ, 1988.

57. В.И. Ращиков. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук, Москва, 1978.

58. Ю.К. Батыгин. Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук, Вако, 1998.

59. A.M. Gasparyan. Private communications.

60. А. Вальднер и др., Теоретические и экспериментальные исследования ускорителей заряженных частиц, Энергоатомиздат, стр. 3, 1985.

61. С.А. Молоковский, А.Д. Сушков. Интенсивные электронные и ионные пучки, Изд-во Энергия, 1972.

62. A.M. Кондратенко, Е.Л. Салдин. ЖТФ, том. 53, стр. 1317, 1983.

63. А.С. Белей и др., АЭ, т. 49, вып. 5, стр. 294, 1980.

64. Г.Н. Кропачёв, кандидатская диссертация, М.: ИТЭФ, 1994.