Моделирование вихревых течений и ламинарно-турбулентного перехода системой дискретных вихрей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Кранчев, Денис Федорович

• Кранчев, Денис Федорович
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кранчев, Денис Федорович

Введение.

Глава 1. Динамические и стохастические свойства системы дискретных вихрей.

1.1. Дискретные вихревые модели.

1.2. Динамический хаос в системе точечных вихрей.

1.3. Об устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей.

1.4. Динамический хаос в системе гауссовских вихрей.

1.5. Обобщенная энтропия Колмогорова-Синая.

Глава 2. Пакет программ для моделирования вихревых течений и ламинарно-турбулентного перехода.

2.1. Моделирование поля завихренности.

2.2. Решение задачи Коши для системы дискретных вихрей.

2.3. Методы решения линейных задач гидродинамической устойчивости.

2.4. Пакет программ.

Глава 3. Исследование развития возмущений в пограничном слое крылового профиля.

3.1. Развитие возмущений на гладком крыле конечного размера.

3.2. Развитие возмущений на крыле с волнистой поверхностью.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование вихревых течений и ламинарно-турбулентного перехода системой дискретных вихрей»

С вихревыми течениями сталкиваются при изучении широкого круга практически важных задач, например, закрученные и отрывные течения. Закрученные потоки жидкости часто встречаются в природе - это атмосферные и океанические течения (торнадо, циклоны), в технике эти течения научились использовать в вихревых камерах, сепараторах и т.д. (см., например, работы [Gupta 1984, Алексеенко 1996, Ахмедов 1977]). Вместе с тем было показано, что закрученные течения, при определенных обстоятельствах, могут терять устойчивость по отношению к внутренним или внешним возмущениям, что в свою очередь сказывается на характеристиках потока, а вместе с тем и на режимы вихревых установок. Существующие работы теоретического и экспериментального характера (например [Пиралишвили 1992, Loffer 1991, Ярцев 1991, Kitamura 1994]) рассматривают закрученные течения в конкретных вихревых камерах.

С отрывными течениями имеют дело во всех задачах обтекания тел. С этими течениями встречаются при движении летательных аппаратов, судов, в различных технологических процессах, например, в аппаратах химической технологии. Отрывные течения сами по себе мало изучены и, вообще говоря, являются нестационарными. Также недостаточно изучены вопросы зарождения и развития неустойчивости отрывных течений, что проявляется в переходе из ламинарного режима обтекания в турбулентный.

Для моделирования вихревых течений широко используется вычислительная техника. Это требует совершенствования методов численного моделирования вихревых течений, в том числе отрывных. В частности, появляется все больше работ, в которых задачи о течении вязкой жидкости и газа исследуются путем прямого численного решения уравнений Навье-Стокса. Прямое численное моделирование течений с большим числом Рейнольдса Re встречает, однако, определенные трудности. Во-первых, из-за наличия в уравнениях малого коэффициента пропорционального Re"1 при старшей производной появляются узкие области с большими локальными градиентами функций, что приводит к потере точности и устойчивости решения. Во-вторых, решение нестационарных задач требует больших вычислительных затрат. Поэтому в последние несколько десятилетий все более широко используются более экономные и удобные в применении вихревые методы, основанные на ла-гранжевом подходе к описанию жидкости.

Идея вихревых методов состоит в моделировании изучаемого поля завихренности системой вихревых частиц, движение которых задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Впервые метод точечных вихрей был применен Розенхедом [Rosenhead 1931] для исследования эволюции вихревой пелены. Точечные вихри основаны на представлении поля завихренности системой прямолинейных вихревых нитей с 6-образной завихренностью. Метод точечных вихрей достаточно эффективен для задач, в которых требуется найти некие общие интегральные характеристики течений, например, силы, действующие на тело, а в ряде случаев позволяют получать правильную качественную информацию о течении. Применяют метод точечных вихрей и в задачах с образованием пограничных слоев как составную часть пригодную для описания течений в зонах, где вязкие эффекты несущественны [Горячев 1898]. Однако для расчета более тонких характеристик течений связанных с пульсационным характером течения, с развитием неустойчивости, исследованием отрывных зон, метод точечных вихрей применить не удается. Для моделирования таких эффектов приходится увеличивать число точечных вихрей, при этом наблюдается стохастизация их траекторий [Kuwahara 1973, Birkhoff 1959], что связано с неограниченным ростом скоростей точечных вихрей при их взаимном сближении. По этой же причине погрешность в определении поля скорости может быть очень значительной даже, если движение точечных вихрей является регулярным [Beale 1985].

В связи с этим за три последних десятилетия были развиты методы моделирования течений жидкости набором вихревых частиц, имеющих в отличии от 5-образных точечных вихрей, конечные размеры [Leonard 1980, Chorin 1973, 1973, Kuwahara 1973, Белоцерковский 1978, 1995]. Однако эти методы, как правило, имеют большое число дополнительных параметров, которые не имеют физического обоснования, что вносит произвол в выбор значений этих параметров. В работах Веретенцева, Рудяка и Яненко [Веретенцев 1982, 1985, 1989] предложен вариационный принцип построения вихревых моделей, который лишен перечисленных недостатков. К преимуществам построенных моделей можно отнести еще их консервативность, то есть в них выполняются законы сохранения импульса, момента импульса и энергии. Было показано, что на практике удобно использовать систему гауссовских вихрей. Гауссов-ские вихри - модель, построенная на основе вариационного принципа, выбором в качестве функции формы завихренности" функции Гаусса. Данная функция формы удовлетворяет условиям сходимости метода и позволяет легко найти явный вид уравнений движения и аналитически вычислить интегралы движения.

В работах Рудяка, Веретнцева и Савченко [Веретенцев 1988, Рудяк 2002] были показаны большие возможности моделирования полей завихренности и реальных физических задач с помощью метода дискретных вихрей, однако, работ по изучению точности моделирования поля завихренности все еще нет. Мало изучен также вопрос оптимального выбора численной схемы интегрирования уравнений движения вихревых частиц. Поэтому исследования в данном направлении актуальны.

Несмотря на то, что методы дискретных вихрей нашли широкое применение в практически важных задачах, работ по исследованию их динамических и стохастических свойств не много. На сегодняшний день построены решения для систем двух и трех вихрей [Grobli 1877]. В работах [Новиков 1975, 1978] показано, что система уже четырех вихрей является неинтегри-руемой и указывалось, что такие системы имеют стохастические свойства. В то же время стоит отметить, что течения, которые изучаются с помощью систем дискретных вихрей, в том числе, вышеуказанные, зачастую сами плохо изучены и, как правило, являются неустойчивыми. Поэтому, при моделировании таких течений системами дискретных вихрей очень важно различать неустойчивость моделируемого течения от неустойчивости системы дискретных вихрей. В связи с этим, изучение динамических и стохастических свойств систем дискретных вихрей также оказывается весьма актуальным.

Аэродинамические характеристики крыльев, используемых при низких числах Рейнольдса, в большой мере определяются двумя возможными взаимосвязанными явлениями: отрывом потока и ламинарно-турбулентным переходом в пристенной зоне течения. Отрыв ламинарного пограничного слоя, как правило, сопровождается его турбулизацией. Последующее присоединение потока к поверхности крыла приводит к образованию местной отрывной зоны (отрывного пузыря), располагающейся в средней части крыла или вблизи его передней кромки. Ключевую роль в формировании подобных течений играет переход к турбулентности, завершающийся в пределах области отрыва.

Обзор экспериментальных результатов, относящихся к исследованию образования местной отрывной зоны в окрестности передней кромки стреловидного и прямого профиля при дозвуковом и сверхзвуквом обтекании, содержится в [Чжен 1991, гл. IX]. Здесь приводятся различные эмпирические критерии для формпараметра, коэффициента восстановления давления, полного давления, позволяющие определить положение точек ламинарного отрыва и последующего присоединения потока на профиле. Последовательное изучение и классификация отрывных пузырей на основании экспериментальных данных, по-видимому, впервые представлены в [Ward 1963]. В этой работе также используются критерии, построенные по формпараметру и коэффициенту восстановления давления для определения положения ламинарного отрыва и присоединения течения. В работе [Briley 1975] численно исследуется течение в отрывной зоне в среднем положении хорды относительно тонкого профиля крыла. В работе [Roberts 1980] предложена полуэмпирическая модель развития течения, вызванного появлением местной отрывной зоны, допускающая продолжение ее в область присоединенного турбулизованного течения.

Следующим шагом в моделировании задач обтекания крыла явилось применение линейной теории гидродинамической устойчивости для расчета развития малых возмущений ламинарного течения. В этом случае положение перехода к турбулентности за точкой отрыва определяется по "е^-методу", предложенному для пограничного слоя в работах [Smith 1956, Van Ingen 1956]. Такой подход к определению характеристик отрывных течений, возникающих в различных условиях, включая обтекание аэродинамических профилей и крыльев, использован рядом авторов [Dini 1992, Drela 1987, Van Ingen 1991, Cebeci 1989, Masad 1994]. В его основе лежит возможность применения линейной теории устойчивости для описания начальной стадии развития волновых возмущений в локальных областях отрыва ламинарного потока, установленная в итоге многочисленных исследований последнего времени. Сопоставление экспериментальных, теоретических и численных результатов указывает на то, что в двумерных течениях основные характеристики малых колебаний, нарастающих за точкой отрыва, удовлетворительно предсказываются теорией устойчивости в приближении параллельности потока.

Одним из главных ресурсов управления отрывом потока и улучшения аэродинамических качеств летательных аппаратов является модификация их несущей поверхности. В работе [Зверков 2003] экспериментально изучен новый тип крылового профиля - профиль с волнистой поверхностью. Было показано, что этот профиль имеет ряд преимуществ по сравнению с гладким. Перспективы использования такого крылового профиля на практике, при проектировании летательных аппаратов, требуют, однако, его теоретического исследования. В частности, необходимо изучить свойства устойчивости течения в пограничном слое профиля. Внедрение в практику требует скорейшего решения этой задачи, что делает ее актуальной.

Цель данной диссертационной работы заключается в разработке и реализации численного инструментария для моделирования вихревых течений и изучения ламинарно-турбулентного перехода. Были решены следующие конкретные задачи:

1. Исследованы динамические и стохастические свойства систем дискретных вихрей.

2. Разработан пакет программ для моделирования динамики вихревых течений.

3. Изучена линейная устойчивость течений в пограничном слое гладкого крыла и профиля с волнистой поверхностью.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Изучены динамические и стохастические свойства полигональной системы точечных и гауссовских вихрей, найдены время обратимости, инкременты нарастания возмущений, построены корреляционные функции. Показано, что в рассматриваемых системах дискретных вихрей, начиная с некоторого N (число вихрей) наблюдается динамический хаос. Изучены его свойства.

2. Численно изучена введенная Рудяком [Rudyak 2004] обобщенная энтропия Колмогорова-Синая (ОК-энтропия). Установлено, что ее эволюция позволяет детектировать различные стационарные состояния системы, в которых она последовательно оказывается в процессе развития неустойчивости. Показано, что производство энтропии ведет себя при этом не монотонно. Установлена связь ОК-энтропии с энтропией Гиббса и дан алгоритм ее расчета.

3. Аналитически и численно впервые изучены характеристики устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей.

4. Построен алгоритм решения задач вихревой динамики методом вихревых частиц. При этом исходные поля завихренности могут быть смоделированы сколь угодно точно. Точность решения задачи растет с увеличением N.

5. Исследован ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое над гладким и волнистым крылом. Выявлены основные этапы развития волновых возмущений ламинарного течения. Установлено соответствие экспериментальных и теоретических результатов, полученных для течения по оси симметрии крыла. Выявлены особенности развития неустойчивых возмущений ламинарного течения на волнистом крыле. Практическая ценность работы состоит в создании пакета программ для решения широкого класса гидродинамических задач. Данные расчета устойчивости течений над гладким и волнистым крылом могут быть использованы при проектировании новых видов летательных аппаратов. Алгоритм расчета энтропии Гиббса можно использовать при исследованиях любых систем частиц, в том числе молекулярных.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается сопоставлением с экспериментальными результатами, многочисленным тестированием используемых программ и алгоритмов, сравнением с известными аналитическими результатами и данными других авторов. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты изучения динамических и стохастических свойств полигональных систем дискретных вихрей.

2. Данные аналитического исследования устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей.

3. Численное изучение обобщенной энтропии Колмогорова-Синая.

4. Алгоритм расчета энтропии Гиббса для системы вихрей.

5. Пакет программ для моделирования вихревых течений с помощью системы дискретных вихрей и для изучения ламинарно-турбулентного перехода.

6. Результаты исследования линейной неустойчивости пограничного слоя над гладким и волнистым крылом.

Личный вклад автора состоит в разработке комплекса программ для моделирования вихревых течений системой дискретных вихрей и исследования ламинарно-турбулентного перехода, а также в проведении аналитических и численных исследований и анализе всех полученных результатов.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников (93 наименований). Работа изложена на 136 страницах, включая 68 иллюстраций и 9 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кранчев, Денис Федорович

Основные результаты данной диссертационной работы состоят в следующем:

1. Разработан пакет программ для моделирования вихревых течений и ламинарно-турбулентного перехода системой дискретных вихрей. Пакет программ содержит объектно-ориентированную библиотеку классов счетных алгоритмов, классы построения аналитических функций и гидродинамических полей, содержит модуль визуализации результатов расчета, а также имеет единый пользовательский интерфейс.

2. Разработан алгоритм моделирования вихревых течений методом дискретных вихрей. Алгоритм позволяет аппроксимировать с любой наперед заданной точностью произвольные поля завихренности и изучать их последующую динамику.

3. Исследованы динамические и стохастические свойства полигональных систем точечных и гауссовских вихрей. Установлены зависимости инкрементов неустойчивости от параметров системы. Показано, что в данных системах, в общем случае, при N >7 имеет место динамический хаос. Численно показано, что система гауссовских вихрей стабилизируется при увеличении значения дисперсии вихревых частиц. Результаты численного исследования согласуются с аналитическими результатами линейной теории устойчивости.

4. Исследована обобщенная энтропия Колмогорова-Синая. Показано, с ее помощью можно детектировать переходы стационарных состояний в вихревой системе. Установлена связь этой энтропии с энтропией Гиббса и предложен алгоритм ее численного расчета. Данный алгоритм пригоден для вычисления энтропии Гиббса любых дискретных систем частиц, в частности систем молекул.

5. Аналитически решена задача линейной устойчивости полигональной системы гауссовских вихрей. Получена аналитическая зависимость инкремента нарастания возмущений в зависимости от дисперсии частиц.

Показано, что имеется конечное значение дисперсии, при котором стабилизируются все моды возмущений. 6. Выполнены численные расчеты линейной устойчивости течения с местной зоной отрыва потока на поверхности гладкого и волнистого крыла. Результаты численного расчета согласуются с экспериментальными данными. Установлено, что придание поперечного профилирования обтекаемой поверхности модели крыла позволяют управлять трехмерной отрывной зоной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кранчев, Денис Федорович, 2007 год

1. Алексеенко С.В., Окулов В.Л. Закрученные потоки в технических приложениях / Теплофизика и аэромеханика. - 1996, т. 3, № 2. - С. 101-138.

2. Ахмедов Р.Б., Балагула Т.Б., Рашидов Ф.К., Санаев А.Ю. Аэродинамика закрученной струи / М.: Энергия. 1977. - 240 с.

3. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью / М.: Наука. 1978. - 351 с.

4. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей / М.: Физматлит. -1995.

5. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости / М.: Мир. -1971.-350 с.

6. Бойко А.В., Грек Г.Р., Довгаль А.В., Козлов В.В. Физические механизмы перехода к турбулентности в открытых течениях / Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ин-т компьютерных исследований. 2006. - 304 с.

7. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Динамический хаос в системе точечных вихрей / Тезисы докладов 61-ой научно-технической конференции НГАСУ. -2004.-С. 55.

8. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Линейная устойчивость системы гауссовских вихрей / Тезисы докладов 62-ой научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ. 2005. - С. 52.

9. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Устойчивость полигональной системы гауссовских вихрей. Тезисы докладов международной конференции «Лавренть-евские чтения по математике, механике и физике» / Новосибирск: ИТПМ СО РАН.-2005.-С. 110.

10. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Линейная устойчивость системы гауссовских вихрей / Сибирский журнал индустриальной математики. 2005, т. VIII,3(23).-С. 8-17.

11. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Локальные характеристики устойчивости пограничного слоя на крыле с большой относительной толщиной / Тезисы докладов 63-й научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ. 2006. - С. 49.

12. Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Управление отрывом в пограничном слое на волнистой поверхности / Тезисы докладов 63-й научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ. 2006. - С. 50.

13. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко Н.Н. Вариационный метод построения дискретных вихревых моделей / Новосибирск, препринт ИТПМ СО АН СССР. 1982, №29.

14. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / М.: Мир. - 1973. - 758 с.

15. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко Н.Н. Моделирование двумерных течений невязкой жидкости вихревыми частицами конечных размеров / Проблемы динамики вязкой жидкости. Новосибирск. - 1985. - С. 69733.

16. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Куйбин П.А., Меркулов В.И. О выводе уравнений движения дискретных вихревых частиц для осесимметрич-ных течений / Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1986, № 10, вып. 2. -С. 45-50.

17. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко Н.Н. О построении дискретных вихревых моделей течений идеальной несжимаемой жидкости / ЖВМ и МФ. 1986, т. 26, № 1.-С. 103-113.

18. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я. Об управлении развитием вихревых возмущений в слое смещения / Изв. АН СССР. МЖГ. 1988, № 3. - С. 78

19. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Куйбин П.А. Моделирование формирования вихря / Материалы VI школы-семинара «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости», Колюбакино. 1988. М.: Изд-во МГУ.- 1989.-С. 15.

20. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Куйбин П.А. Гешев П.И. О развитии метода вихревых частиц применительно к описанию отрывных течений / Ж. вычисл. мат. и мат. физики. 1989, т. 29, № 6. - С. 878-887.

21. Волевич J1.P. Исследование неустойчивости Гельмгольца-Кельвина / Москва. (Препринт / АН СССР. Ин-т прикл. Математики, №38-79). -1979.-71 с.

22. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Успехи математических наук. -1961,т. 16,№3.-С. 171-174.

23. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность / Новосибирск: Наука. 1977. - С. 366.

24. Горячев Д.Н. О некоторых случаях движения прямолинейных параллельных вихрей / Магистерская диссерация // Москва: Унив. тип. 1898.

25. Диковская Н.Д., Занин Б.Ю. Экспериментальное и численное исследование устойчивости предотрывного течения на профиле крыла / ПМТФ. -1999, т. 40, № 1.-С. 126-132.

26. Дразин. Введение в теорию гидродинамической устойчивости / Москва: ФИЗМАТ-ЛИТ. 2005. - С. 287.

27. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику / М.: Наука.-1988.

28. Зверков И.Д., Занин Б.Ю. Влияние формы поверхности крыла на отрыв потока / Теплофизика и аэромеханика. 2003, т. 10, № 2. - С. 205-213.

29. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем / М.: ТОО "Янус". 1995.

30. Кранчев Д.Ф., Рудяк В.Я. Стохастические свойства системы точечныхвихрей / Материалы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск. 2003, 4.1. - С. 125-126.

31. Кранчев Д.Ф. Неустойчивость системы гауссовских вихрей с диссипацией / Тезисы докладов 62-ой научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ. 2005. - С. 41.

32. Кранчев Д.Ф. Исследование устойчивости полигональных систем вихрей / Доклады молодежной конференции «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей». Новосибирск: ИТПМ СО РАН.-2005, вып. Х.-С. 102-105.

33. Куракин Л.Г., Юдович В.И. Устойчивость стационарного вращения полигонального вихревого многоугольника / Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. Ижевск. 2003. - С. 238-299.

34. Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости / Издательство иностранной литературы. М.: Ин. лит. 1958. - С. 194.

35. Новиков Е. А. Динамика и статистика системы вихрей / ЖЭТФ. 1975, т. 68, вып. 5.-С. 1868-1882.

36. Новиков Е. А., Седов Ю. Б. Стохастические свойства системы четырех вихрей / ЖЭТФ. 1978, т. 75, вып. 3. - С. 868-876.

37. Пиралишвили Ш.А., Кудрявцев В.М. Исследование характера распределения осредненных параметров закрученного потока по объему камеры энергоразделителя вихревой трубы с дополнительным потоком / ИФЖ. 1992, т. 62. № 4. - С. 534-538.

38. Рудяк В.Я. Статистическая теория диссипативных процессов в газах и жидкостях / Новосибирск: Наука. 1987.

39. Рудяк В.Я., Исаков Е.Б. Устойчивость гетерогенных сред. I. Устойчивость плоского течения Пуазейля: Препринт, НГАС N 2(4)-94, Новосибирск, 1994.-С. 44.

40. Рудяк В.Я., Савченко С.О. О развитии неустойчивости в отрывных течениях и кольцевых сдвиговых слоях / Доклады СО АН ВШ. Естественные науки. 2002, №2(6). - С. 42-51.

41. Рудяк В.Я., Савченко С.О. Моделирование неустойчивости закрученной затопленной струи, индуцируемой вихрестоком / СибЖИМ. 2002, т. V, №4(12).-С. 68-77.

42. Рудяк В.Я., Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Стохастические свойства системы точечных вихрей / Письма в ЖТФ. 2004, т. 30, вып. 6. - С. 20-24.

43. Рудяк В.Я., Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Динамический хаос в полигональной системе точечных вихрей / Доклады академии наук высшей школы РФ. -2004,№2(3). -С. 48-57.

44. Рудяк В.Я., Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф. Динамический хаос в дискретных вихревых системах / Тезисы докладов «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей». 2004, вып. IX. - С. 123-124.

45. Рудяк В.Я., Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф.Устойчивость некоторых дискретных вихревых систем / Тезисы докладов международной конференции «Потоки и структуры в жидкостях». Москва: МГУ. 2005. - С. 268.

46. Рудяк В.Я., Кранчев Д.Ф. Разработка пакета программ расчета двухмерных течений методом дискретных вихрей / Тезисы докладов 63-й научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ. 2006. -С. 62.

47. Рудяк В.Я., Кранчев Д.Ф. Обобщенная К-энтропия системы точечных вихрей / Тезисы докладов 63-й научно-технической конференции НГАСУ. Новосибирск: НГАСУ. 2006. - С. 63.

48. Рудяк В.Я., Кранчев Д.Ф. Обобщенная К-энтропия и энтропия Гиббса системы точечных вихрей / Письма в ЖТФ. 2006, т. 32, вып. 18. - С. 58-64.

49. Рудяк В.Я., Борд Е.Г., Кранчев Д.Ф., Козлов В.В., Зверков И.Д., Занин

50. Б.Ю., Довгаль А.В. Экспериментальное и теоретическое исследование развития возмущений в пограничном слое на крыле малого удлинения / Теплофизика и аэромеханика. 2006. т. 13, № 4. - С. 551-560.

51. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: учебное пособие для вузов / Наука. Гл. ред. физмат лит. 1989.

52. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина / М.: Мир. -1988.

53. Чжен П. Отрывные течения / М.: Мир. 1973, т. 2. - 280 с.

54. Ярцев В.А., Рожнема В.К., Мингалев Б.А. Математическая модель течения газа в прямоточном циклоне с рециркуляцией / Изв. Вузов. Горн. Журн. 1991,№2.-С. 47-51.

55. Anderson С., Greengard С. On vortex methods / Stam. J. Number. Anal. -1985. vol. 22. N3.-P. 413-440.

56. Beale J.T., Majda A. Vortex methods. II: Higher order accuracy in two and three dimensions / Math. Comput. 1982, vol. 39, N 159. - P. 29-52.

57. Beale J.T., Majda A. High order accurate vortex methods with explicit velocity kernels / J. Comput. Phys. 1985, vol. 58, N 2. - P. 188-208.

58. Birkhoff G., Fisher J. Do vortex sheet roll up? / Rend. Circ. Mat. Palermo. -1959, ser. 2, vol. 8.-P. 77-90.

59. Brendel M., and Mueller T.J. Boundary layer measurements on an airfoil at low reynolds numbers / AIAA J. of Aircraft. 1988, vol. 25, No. 7. - P. 612-617.

60. Briley W.R., McDonald H. Numerical prediction of incompressible separation bubbles / J. Fluid Mech. 1975, vol. 69. - P. 631-656.

61. Brookshaw Leigh. Java 2D Graph Package. Version 2.4. / web link: http://www.sci.usq.edu.au/staff/leighb/graph.

62. Cebeci Т., Egan D.A. Prediction of transition due to isolated roughness / AIAA Journ. 1989, v.27. - P. 870-875.

63. Chorin A.J. Numerical study of slightly viscous flow / J. Fluid Mech. 1973, -vol. 57.-P. 785-798.

64. Chorin A.J. A comment on the paper "The calculation of large Reynolds number flow using discrete vortices with random walk" by. P. Milinazzo and P.G.Saffman / J. Comput. Phys. 1978, vol.26, N 3. - P. 453-454.

65. Dini P., Selig M.S., Maughmer M.D. Simplified linear stability transition prediction method for separated boundary layers / AIAA J. 1992, vol. 30. - P. 1953-1961.

66. Drela M., Giles M.B. Viscous-inviscid analysis of transonic and low Reynolds number airfoils / AIAA J. 1987, vol. 25. - P. 1347-1355.

67. Fitzgerald E.J. and Mueller T.J. Measurements in a separation bubble on an airfoil using laser velocimetry / AIAA J. 1990, vol. 28, No. 4. - P. 584-592.

68. Grobli W., Specialle Probleme uber die Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfaden / Vierteljahrsch. d. Naturforsch. Geselsch. 1877, v. 22. - P. 3781,129-165.

69. Gupta A.K., Lilley D.G., Syred N. Swirl Flows / Abacus press. 1984.

70. Hald O.H. Convergence of vortex methods for Euler'r equations. II / Stam J. Numer. Anal. 1979, vol 16, N 5. - P. 726-755.

71. Havelock Т.Н. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation / Phil. Mag. Ser. 7. 1931, N 1. - P. 617-633.

72. Kelvin Lord. Floating magnrts (illustrating vortex systems) / Collected works. 1878, vol. IV.-P. 135-140.

73. Kidambi R., Newton P. K. Motion of three point vortices on a sphere / PhysicaD. 1998, v. 116.-P. 143-175.

74. Kidambi R., Newton P. K. Collision of three vortices on a sphere /II Nuovo Cimento. 1999, v. 22, № C(6). - P. 779-791.

75. Kitamura O., Yamomoto M. Computation of turbulent flow in cyclone chamber with a Reynolds stress model.: 2-nd Report, Numericcal prediction of cyclone performance / Trans. JSME, B60. 1994, №580. - P. 4002-4009.

76. Kuwahara K., Takami H. Numerical studies of two dimensional vortex motion by a system of point vortices / J. Phys. Soc. Japan. 1973, vol. 34, N 1. -P. 247-253.

77. Leonard A. Vortex methods for flow simulation / J.Comput. Phys. 1980, vol.37, N3.-P. 289-335.

78. Loffer F., Schmidf M., Kirch R. Experimental investigation into gas cyclone flow fields using a laser Doppler velocimeter. Mines et Carries Suppl / Techn. -1991, v. 73, №3.-P. 149-153.

79. Masad J.A., Iyer V. Transition prediction and control in subsonic flow over a hump / Phys. Fluids. 1994, vol. 6, No. 1. - P. 313-327.

80. Milinazzo F., Saffman P.G. The calculation, of large Reynold number two-dimensional flow using discrete vortices with radom walk / J. Comput. Phys. 1977, vol. 23, N 4. - P. 330-392.

81. Perlman M. On the accuracy of vortex methods / J. Comput. Phys. 1985, vol. 59, N2.-P. 200-223.

82. Platten J.K., Flandroy P., Vanderborck G. / Int. J. Eng. Sci. 1974, v. 12. - P. 995-1006.

83. Roberts S. Accuracy of the random vortex method for a problem with non-smooth initial conditions / J. Comput. Phys. 1985, vol. 58, N 1. - P. 29-43.

84. Roberts W.B. Calculation of laminar separation bubbles and their effect on airfoil performance / AIAA J. 1980, vol. 18.-P. 25-31.

85. Rosenhead L. The formation of vortices from a surface of discontinuity / Proc. R. Soc. Lond. 1931, vol. A134. - P. 170-192.

86. Rudyak V.Ya. Dynamical chaos in systems of finite number interacting particles. Dynamics and irreversibility / Verhulst 200 on Chaos. Royal Military Academy. Brussels. Book of abstracts. 2004. - P. 59.

87. Smith A.M.O., Gamberoni N. Transition, pressure gradient and stability theory / Douglas Aircraft Co. Rep. 1956, ES 26388.

88. Teng Z.H. Elliptic-vortex method for incompressible: flow at high Reynolds number / J. Comput. Phys. 1982, vol. 4G, N 1. - P. 54-68.

89. Thomson J.J. A treatise on the motion of vortex rings / Macmillan. 1883.

90. Van Ingen J.L. A suggested semi-empirical method for the calculation of the boundary layer transition region / Rept. UTH-74. Delft Univ. of Technology,

91. Dept. of Aerosp. Eng. 1956.

92. Van Ingen J.L. Research on laminar separation bubbles at Delft University of Technology / Separated Flows and Jets / Eds. V.V. Kozlov, A.V. Dovgal. Springer.-1991.-P. 537-556.

93. Ward J.W., The behaviour and effects of laminar separation bubbles on airfoils in incompressible flow / J. of the Royal Aeronaut. Soc. 1963, vol. 67. -P. 783-790.