Моделирование устойчивости систем при стохастическом аэродинамическом воздействии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Папаев, Михаил Александрович

• Папаев, Михаил Александрович
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Папаев, Михаил Александрович

Введение.

Глава 1. Обзор работ, посвящённых исследованию устойчивости стохастических деформируемых систем, моделированию случайных процессов.

1.1. Общие сведения о расчёте на устойчивость.

1.2. Явления аэроупругости.

1.3. Моделирование и обработка численных реализаций случайных процессов.

1.4. Цель диссертации.

Глава 2. Динамическая устойчивость системы с одной степенью свободы в детерминированной постановке.

2.1. Дифференциальное уравнение колебаний системы с одной степенью свободы при аэродинамическом воздействии.

2.2. Аналитическое решение дифференциального уравнения колебаний системы с одной степенью свободы без учета аэродинамического демпфирования.

2.3. Применение максимального показателя Ляпунова для оценки устойчивости детерминированных и стохастических систем.

2.4. Численное решение дифференциального уравнения колебаний системы с одной степенью свободы без учёта аэродинамического демпфирования.

2.5. Устойчивость системы с одной степенью свободы при учёте аэродинамического демпфирования, пропорционального квадрату скорости ветра.

2.6. Устойчивость системы с одной степенью свободы при «полном» варианте учёта аэродинамического демпфирования.

Глава 3. Динамическая устойчивость системы с одной степенью свободы в стохастической постановке.

3.1. Устойчивость системы с одной степенью свободы без учёта аэродинамического демпфирования в стохастической постановке.

3.2. Устойчивость системы с одной степенью свободы при учёте аэродинамического демпфирования, пропорционального квадрату скорости ветра, в стохастической постановке.

3.4. Устойчивость системы с одной степенью свободы при «полном» варианте учёта аэродинамического демпфирования.

3.5. Влияние метода моделирования случайного процесса на устойчивость системы.

Глава 4. Динамическая устойчивость систем с конечным числом степеней свободы в стохастической постановке.

4.1. Колебания системы с конечным числом степеней свободы при аэродинамическом воздействии (модель 1).

4.2. Исследования устойчивости изгибно-крутильных колебаний при аэродинамическом воздействии, описываемых системой дифференциальных уравнений в частных производных (модель 2)

4.3. Описание Такомского моста и обстоятельств крушения.

4.4. Определение критической скорости ветра в детерминированной постановке.

4.5. Определение критической скорости ветра в стохастической постановке.

4.6. Исследование устойчивости системы при учёте ветрового воздействия по данным аэродинамических испытаний при неустановившемся обтекании конструкции.

4.7. Аэродинамическая устойчивость Сургутского моста.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование устойчивости систем при стохастическом аэродинамическом воздействии»

Данная работа посвящена исследованию устойчивости деформируемых систем при воздействии стохастических аэродинамических нагрузок. В качестве примера таких систем можно привести: висячие и вантовые мосты, высотные здания гибкие валы с регулируемым числом оборотов, элементы наружной обшивки летательных аппаратов, крылья самолётов, пластины в набегающем потоке воздуха, и многое др.

Стоит отметить, что в строительной практике часто встречаются нагрузки, имеющие случайный характер. В качестве примера можно привести ветровые воздействия, воздействия волн и течений, воздействия взрывной волны, сейсмическое воздействие, воздействие от подвижной нагрузки.

Применительно к висячим и вантовым мостам ветровая нагрузка играет первостепенную роль. Большая протяжённость мостов, низкие частоты собственных колебаний, малые значения логарифмических декрементов колебаний делают их особо чувствительными к ветровому воздействию, которое может стать причиной аэродинамической потери устойчивости.

Учёт действительного характера случайной нагрузки позволяет максимально приблизить математическую модель, используемую в расчётах, к реальному сооружению, а применение производительных компьютеров в сочетании с современными универсальными программными комплексами для расчётов методом конечных элементов позволяет наиболее обоснованно подойти к решению задач при проектировании и строительстве ответственных сооружений.

Результаты исследования могут быть использованы при выполнении проектирования висячих и вантовых мостов, высотных зданий, других инженерных сооружений, восприимчивых к действию ветровой нагрузки, с целью расчётного обоснования принятия решений. Также рассматриваемая методика применима при расчёте зданий и сооружений на сейсмическое воздействие.

Аэродинамическая устойчивость висячих мостов, возникнув как отдельное направление исследований в 40-х годах XX века, привлекла к себе внимание не только инженеров-строителей, но и многих выдающихся исследователей в области механики и гидро-газодинамики. Столь широкий интерес объясняется катастрофой, случившейся с висячим мостом через каньон Такома в США в 1940 году.

Этот мост с главным пролётом 854 м, весьма успешно противостоявший значительным ветровым нагрузкам, оказался весьма чувствительным к слабому ветру. После катастрофы последовали интенсивное изучение причин аварии, обстоятельные эксперименты в аэродинамических трубах и поиски удовлетворительных физических моделей и математических теорий обтекания висячих мостов ветровым потоком.

Поскольку ветровая нагрузка является объективно случайной во времени, то для исследования устойчивости необходимо применять вероятностные подходы.

Современный вероятностный подход при проектировании состоит в выполнении квазистатического расчёта, из которого на основании расчётных нагрузок вычисляют предполагаемые внутренние усилия и определяют размеры поперечных сечений. Учёт случайного характера нагрузки состоит во введении соответствующих поправочных коэффициентов корреляции, пульсации и динамичности. Таким образом, суть расчёта состоит в том, что элементы проверяются по предельным состояниям на величину динамической нагрузки. Однако запроектированное сооружение может не обеспечить безотказной работы из-за колебаний, возбуждаемых переменным действием нагрузки. Следовательно, необходимо подкрепить квазистатический расчёт проверкой аэродинамической устойчивости конструкции в воздушном потоке.

Основная цель аэродинамического расчёта сооружений, подверженных действию ветровых нагрузок, заключается в проверке возможности возникновения аэродинамической неустойчивости. Из условия возникновения аэродинамической неустойчивости определяется соответствующая критическая скорость ветрового потока, что является завершающей стадией расчёта.

Возможны два подхода к решению этой задачи. Первый — экспериментальный подход состоит в испытаниях модели сооружения в аэродинамической трубе. Недостатками такого подхода являются его дороговизна, длительные сроки, сложность построения динамически подобной модели, несоответствие демпфирующих свойств модели действительным свойствам реальной конструкции, трудоёмкости, возникающие при вариантном проектировании. Кроме того, возникают сложности с воспроизводством аэродинамического подобия модели из-за несоответствия чисел Рейнольдса, воспроизводимых в эксперименте, натурным условиям. Второй подход состоит в выполнении численных экспериментов на математической модели сооружения. В данном случае существуют сложности в точном описании механизма воздействия ветрового потока на конструкцию ввиду возникающей взаимосвязи между потоком и объектом обтекания. Одним из возможных выходов из подобной ситуации является сочетание аэродинамических испытаний модели с аналитическим моделированием поведения конструкции. В этом случае, расчётчик в дополнение к имеющимся матрицам жёсткости и демпфирования на основе результатов испытания модели получает матрицы, характеризующие особенности ветрового воздействия на конструкцию. В дальнейшем в расчётах применимы накопленные эмпирические данные о характере ветрового воздействия, привязанные к местным условиям. В пользу такого подхода говорит возможность получения практически неограниченного количества данных о напряжённо-деформированном состоянии конструкции, в то время как при испытаниях это количество ограничено немногочисленными датчиками, точность показаний которых в значительной мере обуславливается тарированием.

Актуальность темы

Интенсивное развитие численных методов строительной механики, сопровождаемое ростом вычислительной мощности персональных электронно-вычислительных машин (ПЭВМ), даёт возможность проектировщикам воплощать в жизнь смелые идеи архитекторов и принимать обоснованные, подтверждённые расчётами решения. Современные тенденции расчётов зданий и сооружений предполагают создание математических моделей, максимально приближающих их работу к реальному сооружению. Учёт действительного характера нагрузок, имеющих случайную природу, также вносит свой вклад в уточнение расчётной модели.

Проблема устойчивости сооружений, находящихся под действием ветровой нагрузки привлекает всё большее внимание проектировщиков строительных конструкций. При ветре наиболее часто наблюдаются вибрации проводов, стальных канатов, труб различного назначения, элементов трубчатых конструкций, радиомачт, большепролётных покрытий, висячих мостов, трубопроводных переходов, высотных зданий, что может быть сопряжено с нарушением возможности нормальной эксплуатации. Для возбуждения и поддержания многих видов колебаний достаточна скорость ветра до 10 м/с, т. е. наблюдаемая не так редко. Скорость ветра около 20 м/с способна заставить колебаться крупные сооружения, такие как большепролётные висячие мосты.

В данной работе принципиальные вопросы устойчивости систем рассматриваются на примере висячих мостов, которые, как известно, обладают целым рядом технических, экономических и эстетических достоинств и являют собой замечательные инженерные сооружения, перекрывают наибольшие пролеты, но чрезвычайно восприимчивы к действию ветровых нагрузок. Как показывает история, ветровая нагрузка способна вызывать колебания пролётного строения со значительными амплитудами и последующий выход из строя конструкции. Так, например, в 1852 г. рухнул мост Ларош-Бернар (Франция), имевший пролёт 196 м. Мост вскоре был восстановлен и снова обрушился в 1871 г. В 1873 году обрушился мост пролётом 336 м через реку

Огайо у города Уиллинг. Следующие крупные катастрофы произошли в 1864 г. и 1889 г. с висячими мостами через реку Ниагару. Пролёты мостов составляли соответственно 320 и 386 м. Из обстоятельств катастроф было известно только то, что все они происходили в сильную бурю и им предшествовали чрезвычайно большие колебания. Эти аварии не воспрепятствовали строительству новых висячих мостов, особенно в тех случаях, когда было необходимо перекрыть большие пролёты. В таблице 1 приведён список мостов, построенных в XX веке, обладающих рекордными пролётами [68].

Таблица 1

Год постройки Длина главного пролёта, м Место расположения моста

1903 488 Вильямсбург, США

1926 533 р. Делавар, США

1929 563 Детройт, США

1931 1067 р. Гудзон, США

1937 1280 Золотые Ворота, США

1965 1298 Верразано Нерроуз, США

1998 1991 Акаси-Кайкё, Япония

После строительства моста Акаси-Кайкё японцы приступили к проектированию висячего моста с углепластиковыми кабелями через пролив Гибралтар, имеющий глубину до 350 м, в двух вариантах: с тремя пролётами по 3000 м и двумя - по 5000 м.

В России висячие и вантовые мосты не получили широкого распространения, однако Сургутский автодорожный мост, являющийся одним из крупнейших транспортных проектов России в конце XX века и ставший первым вантовым мостом в азиатской части России вошёл в историю мостостроения как мост с рекордным для однопилонных вантовых мостов пролётом длиной 408 м.

Таким образом, представленная работа затрагивает актуальные проблемы в рамках развития и модернизации дорожной сети в России, а также в связи с активным строительством большепролётных покрытий спортивных сооружений и высотных зданий.

Работа выполнялась в рамках гранта Российского фонда фундаментальных исследований №06-01-00095. Цели и задачи исследования Целями данной диссертационной работы являются:

- разработка метода оценки устойчивости колебаний линейных упругих систем, находящихся под действием случайной нагрузки, с помощью максимального показателя Ляпунова;

- исследование влияния вариантов учёта аэродинамического демпфирования, конструкционного демпфирования, а также параметров случайного воздействия на устойчивость системы;

- моделирование ветрового воздействия на основе данных аэродинамических испытаний, имеющихся в литературных источниках, при установившемся и неустановившемся режиме обтекания конструкций, сопоставление и анализ полученных результатов;

- разработка макрос-программ для выполнения расчётов сооружений. Обоснованность и достоверность научных положений

В диссертации используется динамический метод исследования устойчивости систем, являющийся наиболее общим для определения критических нагрузок.

Практическая невозможность получения аналитического решения большинства задач динамики предполагает активное применение в расчётах численных методов, которые позволяют с достаточной степенью точности учесть сложные явления динамической неустойчивости под действием случайной нагрузки. При этом вне зависимости от выбранного метода интегрирования наиболее остро встают проблемы, сопряжённые с выбором временного шага. Устойчивость решения контролировалась путём последовательного уменьшения шага вплоть до значений, приводящих к одинаковым результатам. Кроме того, в некоторых случаях были получены аналитические решения, позволяющие выполнить контроль решения получаемого численным методом и удостовериться в их корректности.

При моделировании систем по методу конечных элементов использовался программный комплекс АК8У8, версия 11.0.

Научная новизна

Исследуется поведение и устойчивость систем на основе различных моделей, находящихся под действием детерминированной и случайно изменяющейся во времени нагрузки, с помощью максимального показателя Ляпунова. Проанализировано влияние параметров случайных процессов и демпфирования на устойчивость систем. Рассмотрены и сопоставлены различные варианты моделирования аэродинамического воздействия.

Разработана универсальная методика и макрос-программы, которые применены к расчёту устойчивости в динамической постановке при воздействии случайно изменяющейся во времени нагрузки вантового моста через реку Объ у города Сургут.

Диссертационная работа состоит из четырёх глав и четрёх приложений.

Первая глава посвящена обзору литературы, относящейся к данному вопросу. В ней кратко освещаются некоторые из источников и приводятся основные теоретические положения по теме работы. Кратко рассмотрены некоторые теоретические вопросы касающиеся случайных процессов и методов их моделирования. В конце главы формулируются основные задачи, решаемые в диссертационной работе.

Во второй главе рассматривается динамическая устойчивость системы с одной степенью свободы при детерминированном гармоническом воздействии на примере уравнения крутильных колебаний балки жёсткости пролётного строения висячего моста. Рассматриваются три варианта учёта аэродинамического демпфирования. Для случая, когда скорость ветра является постоянной, значения критических скоростей ветра определены аналитически и сопоставлены со значениями, получаемыми на основе численных методов.

Проанализировано влияние параметров воздействия, а также демпфирования на динамическую устойчивость системы.

В третьей главе рассматривается динамическая устойчивость этой же системы, но при стохастическом изменении скорости ветра. Проанализировано влияние параметров случайного воздействия, вариантов его моделирования, а также демпфирования системы на её динамическую устойчивость. В качестве вариантов случайных воздействий рассмотрены гауссовские, стационарные процессы, обладающие свойством эргодичности, с различными функциями спектральной плотности.

В четвёртой главе на примере модели висячего Такомского моста и вантового моста через р. Обь у г. Сургута исследуется устойчивость систем с конечным числом степеней свободы при ветровом воздействии для случаев, когда скорость ветра является постоянной, периодической и случайной стационарной функцией времени. Для Такомского моста расчёты выполнены по двум моделям: первая описывает колебания балки жёсткости системой двух дифференциальных уравнений в частных производных, и вторая, конечно-элементная модель, составленная в ПК ANS YS. Для этих мостов рассмотрены две модели аэродинамического воздействия, показано, что критические значения скорости ветра, получаемые на основе статической (стационарной) продувки моделей моста в аэродинамической трубе, могут оказаться заметно выше по сравнению с аналогичными значениями, получаемыми на основании нестационарной продувки моделей. Проанализировано влияние параметров случайного воздействия на устойчивость.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе.

Включённые в работу приложения содержат:

- текст программы для определения критической скорости ветра системы с одной степенью свободы в стохастической постановке;

- текст макрос-программы на алгоритмическом языке программирования APDL, реализующей последовательность действий по созданию конечноэлементной модели Такомского моста в ПК и определение частот и форм собственных колебаний;

- текст программы для определения критических скоростей ветра Такомского моста на основе конечноэлементной модели;

- текст программы для определения критических скоростей ветра Сургутского моста на основе конечноэлементной модели.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Папаев, Михаил Александрович

Общие выводы и результаты исследования

1. На примере системы с одной степенью свободы предложен метод моделирования случайного стационарного ветрового воздействия и аэродинамического демпфирования. Проведён анализ влияния различных форм аэродинамического демпфирования, а также параметров детерминированного и стохастического воздействия на критические характеристики системы.

2. На основе метода конечных элементов разработана модель деформируемой системы, описывающей её движение при параметрическом аэродинамическом детерминированном и стохастическом воздействии.

3. Разработан метод исследования устойчивости систем с конечным числом степеней свободы при параметрическом аэродинамическом воздействии в детерминированной и стохастической постановке. На примере Такомского моста результаты, полученные на основе МКЭ, подтверждаются результатами, полученными из рассмотрения дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих изгибно-крутильные колебания тонкостенных стержней.

4. Проанализировано влияние параметров стохастического воздействия и аэродинамического демпфирования на устойчивость деформируемых систем. Отмечено, что увеличение дисперсии пульсационной составляющей скорости ветрового потока приводит к уменьшению значения критического параметра системы. Для рассматриваемых систем обнаружено влияние частоты скрытой периодичности случайного процесса, проявляющегося в виде параметрического резонанса.

5. Показано, что для некоторых типов поперечных сечений элементов конструкции аэродинамическое демпфирование может оказывать дестабилизирующее влияние. Критические скорости ветра, получаемые при моделировании аэродинамического воздействия на основе данных аэродинамических испытаний, имеющихся в литературных источниках, при неустановившемся обтекании конструкции оказываются существенно меньшими, чем при его моделировании на основе данных, полученных при установившемся обтекании.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Папаев, Михаил Александрович, 2009 год

1. Аварии и катастрофы. Предупреждение и ликвидация последствий, Книга 4, под редакцией В. А. Котляровского и А. В. Забегаева, изд. Ассоциации строительных ВУЗов, Москва 1998.

2. Алгазин С. Д., Кийко И. А., Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. - 247 с.

3. Александров А. В., Потапов В. Д., Зылев В. Б., Строительная механика. Кн. 2. Динамика и устойчивость упругих систем. — М.: Высш. шк., 2008.-384с.

4. Басов К. А., ANS YS: справочник пользователя. М.: ДМК Пресс, 2005. - 604 с.

5. Болотин В. В., Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. — М.: Физматгиз, 1961. 340 с.

6. Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчётах сооружений. М.: Стройиздат, 1971. - 256с.

7. Болотин В. В., Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979.-335с.

8. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. -М.: Госстройиздат, 1961 —202 с.

9. Болотин В. В., Динамическая устойчивость упругих систем. — М.: Физматгиз, 1956. 600 с.

10. Ю.Болотин В. В., Гришко А. А., Петровский А. П., О влиянии демпфирующих сил на после критическое поведение существенно не потенциальных сил, Изв. РАН, МТТ №2, 1995, 158 - 167 с.

11. Болотин В. В., Радин В. П., Чирков В. П., Применение метода статистического моделирования для оценки сейсмического риска конструкций, Изв. РАН, МТТ №6, 1997, 168 - 175 с.

12. Болотин В.В., Радин В. П, Трифонов О. В., Чирков В. П., Влияние спектрального состава сейсмического воздействия на динамическую реакцию конструкций, Изв. РАН, МТТ №3, 1999, 150 - 158с.

13. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М.: ГИТТЛ, 1955, -608 с.

14. Бронштейн И. Н., Ильичев В. А., Коренев Б. Г., Динамический расчет зданий и сооружений. — М.: Стройиздат, 1984, — 303 с.

15. Быков В. В., Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. -М.:изд. Сов. радио, 1971.-326 с.

16. Вентцель Е. С., Теория вероятностей. -М.: Академия, 2005. 576 с.

17. Вентцель Е. С., Овчаров Л.А., Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2007. - 479 с.

18. Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни. — М.: Физматгиз, 1959.-568 с.

19. Вольмир А. С., Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.-984 с.

20. Вержбицкий В. М., Основы численных методов— М.: Высш. шк., 2005. 840 с.

21. Гринченко В. Т., Мацыпура В. Т., Снарский А. А., Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. М.: Издательство ЛЕСИ, 2007. - 264 с.

22. Гусев А. С., Светлицкий В. А., Расчёт конструкций при случайных воздействиях, М.: Машиностроение, 1984. - 240с.

23. Дейнеко К. С., Леонов М. Я., Динамический метод исследования устойчивости сжатого стержня, ПММ. 19, №6, 1955.

24. Демидович Б. П., Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967.-472 с.

25. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3., Численные методы анализа. Приближенные функции, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, 1967.-368 с.

26. Джанелидзе Г. Ю., Об устойчивости стержня при действии следящей силы. Тр. Ленингр. политех, ин-та, №192, 1958.

27. Диментберг М. Ф., Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами М.: Наука, 1989. — 176 с.

28. Дмитриев Ф. Д., Крушения инженерных сооружений. М.: Стройиздат, 1953.- 188 с.

29. Жинжер Н. И., Влияние диссипативных сил с неполной диссипацией на устойчивость упругих систем, Изв. РАН, МТТ №1, 1994, -149-155 с.

30. ЗО.Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975.—541с.

31. Казакевич М. И. Аэродинамика висячих покрытий. -Киев: Будевшьник, 1983.- 104 с.

32. Казакевич М. И., Аэродинамика мостов. М.: Транспорт, 1987, - 240 с.

33. Казакевич М. И., Аэродинамическая устойчивость надземных и висячих трубопроводов. -М.: Недра, 1977. 150 с.

34. Качурин В. К., Брагин А. В., Ерунов Б. Г., Проектирование висячих и вантовых мостов. -М.: Транспорт, 1971. 280 с.

35. Кириллов О. Н., Анализ границ областей устойчивости и оптимизация циркуляционных систем. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, институт механики МГУ., 2000.

36. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров М.: Наука, 1978. - 832 с.

37. Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.-471 с.

38. Мануйлов Г. А., О границе между статической и динамической потерей устойчивости неконсервативных упругих систем. — Вестник МИИТа, Научно-технический журнал. Москва, МИИТ, 2001, Вып.6, - 63-68 с

39. Неймарк Ю. И., Ланда П. С., Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987.-424 с.

40. Остроумов Б. В., Бредов А. В., Уточнение методики динамического расчёта высотных сооружений на воздействие порывов ветра. // Теория и практика расчёта сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. М.: МГСУ, 2008. 304 - 310 с.

41. Пановко Я. Г., Губанова И. И., Устойчивость и колебания упругих систем: современные концепции, парадоксы, ошибки. М.: Наука, 1987. — 336 с.

42. Пановко Я. Г., Основы прикладной теории колебаний и удара. — Л.: Машиностроение, 1976. 320 с.

43. Перельмутер А. В., Нагрузки и воздействия на здания и сооружения. К.: Изд-во «Сталь», 2005. 500 с.

44. Перельмутер А. В., Сливкер В. И., Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. Том 1. М.: Изд-во СКАД СОФТ, 2007. 670 с.

45. Петров А. А., Вероятностный метод оценки сейсмической реакции мостов с большими пролетами, АН СССР Сейсмостойкость транспортных сетевых сооружений, отв. ред. чл.-корр. Ш.Г. Напетваридзе, М.: Наука, 1986,-19-30 с.

46. Петропавловский А. А., Крыльцов Е. И., Богданов Н. Н., Байтовые мосты. М.: Транспорт, 1985. 224 с.

47. Пичугин С. Ф., Вероятностный анализ ветровой нагрузки. Изв. вузов. Строительство, №12, 1997, - 13 - 20 с.

48. Потапкин А. А., Агеев А. В., Флаттер пролетных строений мостов. Наука и практика транспортного строительства, М.: Издатель ООО Центр «Транс-стройиздат» 2003. 9 - 12 с.

49. Потапов В. Д., Устойчивость вязкоупругих элементов конструкций. -М.: Стройиздат, 1985. 312 с.

50. Потапов В. Д., Устойчивость упругих и вязкоупругих систем при стохастическом параметрическом возбуждении. Изв. РАН, МТТ №3, 2005. — 123 — 136 с.

51. Потапов В. Д., Косицын С. Б., Скрябина Т. А., Сильницкий И. А., Некоторые проблемы оценки работы вантового пролетного строения. Вестник мостостроения №1 -2, 2001, М.: Издатель Центр «ТИМИР». 51 - 60 с.

52. Пугачев В. С., Теория случайных функций и её применение к задачам автоматического управления. -М.:Физматгиз, 1962. 883 с.

53. Пугачев В. С., Синицын И. Н., Теория стохастических систем. М.: Логос, — 2000. -1000 с.

54. Реут В.И., О теории упругой устойчивости. Тр. Одесск. ин-та инж. гражд. и комм, стр-ва, вып. 1, 1939.

55. Руководство по расчету зданий и сооружений на воздействие ветра. М.: Стройиздат, 1978

56. Савицкий Г. А. Ветровая нагрузка на сооружения. М.: Стройиздат, 1972. -110с.

57. Сайлер Б., Споттс Д., Использование Visual Basic 6. Специальное издание. — М.: Издательский дом «Вильяме», 2005 832 с.

58. Сейранян А. П., Парадокс дестабилизации и критерии колебательной устойчивости, Москва, Институт механики МГУ им. Ломоносова, Препринт №301, 1987, - 59 с.

59. Сейранян А. П., О границах областей устойчивости флаттера и дивергенции. М.: Институт механики МГУ им. Ломоносова, Препринт №11, 1995. — 39 с.

60. Светлицкий В. А., Введение в статистическую динамику механических систем: М.: Изд-во МГТУ, 1995. - 77с.

61. Светлицкий В. А., Случайные колебания механических систем. — М.: Машиностроение, 1991. 320 с.

62. Свешников А. А., Прикладные методы случайных функций. М.: Наука, 1968.-464 с.

63. Симиу Э., Сканлан Р., Воздействие ветра на здания и сооружения. М.: Стройиздат, 1984. - 358 с.

64. Симиу Э. Хаотические переходы в детерминированных и стохастических системах. Применение метода Мельникова в технике, физике и нейрофизиологии. М.: Физматлит, 2007. - 208 с.

65. Смирнов А. Ф., Александров A.B., Лащенников Б.Я., Шапошников H.H., Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. -М.: Стройиздат, 1984. 416 с.

66. Смирнов В. А. Висячие мосты больших пролетов. М.: «Высшая школа», 1970 г.-408 с.

67. СНиП 2.01.07-85* (с измен. № 1, 2). Нагрузки и воздействия. М.: ФГУП ЦПП, 2005.

68. Справочник по теории вероятностей и математической статистике под редакцией академика АН УССР B.C. Королюка., Киев, Наукова думка, 1978 -582 с.

69. Филлипов А. П. Колебания деформируемых систем. М.: «Машиностроение», 1970.-736 с.

70. Цаплин С. А., Висячие мосты, М., 1949 284 с.

71. Циглер Г., Сб. Проблемы механики, под ред. Драйдена X. и Т. Кармана, вып. 2, М.: ил, 1959.

72. Четаев Г. Н., Устойчивость движения. М.: Наука, 1965.

73. Чирков В. П., Радин В. П., Щугорев А. В., Устойчивость стержня на упругом основании при непотенциальном нагружении, Строительная механика и расчёт сооружений, 2008. №5. С. 5 11.

74. Шахтарин Б. И., Кобылкина П. И., Сидоркина Ю. А., Кондратьев А. В., Митин С. В., Генераторы хаотических колебаний. М.: Гелиос АРВ, 2007. — 248 с.

75. Шалыгин А. С., Палагин Ю. И. Прикладные методы статистического моделирования. Л.: Машиностроение, Ленинградское отделение, -1986. — 320 с.

76. Шестаков А. А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: КомКнига, 2007. - 320 с.

77. Шашков И. Е., Об устойчивости сжатого и скрученного призматического стержня с произвольной формой поперечного сечения, Инж. сборн. 7, 1950.

78. Beck M., Die Knicklast der einseitig eingenspannten tangenzial gedrückten Stabes, Zeitschrift angew. Math. Phys., 3, №3, 1952.

79. Benettin G., Galgani L., Giorgilli D. and Strelcyn J. M., Liapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltoman systems; a method for computing all of them. Parts 1 & 2, Meccanica 15, 1980, 9-20, 21-30.

80. Billah K.Y.R., Shinozuka M., Random Vibration Response and Stability Study of Long-Span Bridges, Journal of Applied Mechanics, June 1994, Vol.61, p. 303

81. D'Asdia p., Sepe V., Aeroelastic instability of long span suspended bridges: a multimode approach, Proc. 2nd Eur. And Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 2226, 1997: 2EACWE. Vol.2. Padova, 1997,-p. 1505-1512.

82. Ibrahim R.A. Parametric random vibration. Research Studies Press LTD, John Wiley & Sohn INC, New-York, Chichester, Toronto-Brisben-Singapure, 1985.-342 p.

83. Hauger W., Vetter K., Influence of an elastic foundation on the stability of a tangentially loaded column, Journal of Sound and Vibration, 47, 2, 1976, p. 296-299.

84. Hernandez S., Ajoint formulation of structural analysis and visualisation of aeroelastic response of long span bridges, Forth International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics and Applications, Bohum, Sept. 11-14, 2000, p. 43-46.

85. Herrmann G., Stability of Equilibrium of Elastic Systems Subjected to Non-conservative Forces. Appl. Mech. Rev., Vol. 20, 1967, p. 103-108.

86. Herrmann G., Jong I.-C, On the Destabilizing Effect of Damping in Noncon-servative Elastic Systems, J. Appl. Mech., 32, 1965, p. 592-597.

87. Lanczos Cornelius, Applied analysis, справочное руководство. M.:, Физмат-гиз,1961. 524 с.

88. Larsen A., Advances in aeroelastic analyses of suspension and cable-stayed bridges, Proc. 2nd Eur. And Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 22-26, 1997: 2 EACWE. Vol.1. -Padova, 1997,-p. 61-75.

89. Leipholz H., Stability Theory, John Wiley & Sons Ltd and B.G. Teubner, Stuttgart, 1987,-359 c.

90. Leipholz H., Stability of elastic systems, Sijthoff & Noordhoff, 1980, 475c.

91. Markert R., Seidler M., Analytically based estimation of the maximum amplitude during passage through resonance, International Journal of Solids and Structures 38, 2001.

92. Matsumoto M., Nakajima N., Taniwaki Y., Shijo R., Grating effect on flutter instability, Forth International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics and Applications, Bohum, Sept. 11-14, 2000, p. 263-266.

93. Miyazaki M., Arai M., Kazama K., Kubota H., Stay-Cable Systems of Long Span Suspension Bridges for Coupled Flutter, Proc. 2nd Eur. And Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 22-26, 1997: 2 EACWE. Vol.2. Padova, 1997, - p. 15291536

94. Nemat-Nasser S., Instability of a cantilever under a follower force according to Timoshenko beam theory, Journal of Applied Mechanics, Trans, of the ASME Ser. E., 34, 1967,-p. 484-485.

95. Petrov A.A., Wind induced dynamic response of long-span ridges, Structural Dynamics EURODYN'96, Augusti, Borri & Spinelli, Balkema, Rotterdam, 1996, -p. 321-324.

96. Pfluger A., Stabilitatsprobleme der Elastostatik, Springer Verlag, Berlin, 1950,-p. 217

97. Plaut R.H., A new destabilization phenomen in nonconservative systems, ZAMM, 1971, Vol. 51, N4, p. 319-321.

98. Potapov V.D., Stability of stochastic elastic and viscoelastic systems, Chichester, Wiley, 1999.

99. Potapov V. D., Bondar P. A., Stochastic plates in a supersonic flow, European Journal of Mechanics, A/Solids, Vol. 15, N.5, 1996, p. 883-900.

100. Potapov V.D., Marasanov A. Y., The investigation of the stability of elastic and viscoelastic rods under a stochastic excitation, Int. J. Solids Structures, Vol. 34, № 11, 1997.

101. Potapov V., Mitropolskii N. Deterministic and stochastic aerodynamic stability of cable-stayed bridges. Structual Dynamics, EURDYN2002, Grundmann & Schueller (eds.), 2002 Swets & Zeitlinger, Lisse. P. 1111-1116.

102. Pfluger A., Stabilitatsprobleme der Elastostatik, Springer Verlag, Berlin, 1950,-217 c.

103. Scanlan R.H., Tomko J.J. Air foil and bridge deck flutter gerivatives// Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 1971, Vol. 97. P. 1717 -1737.

104. Seyranian A.P., Interaction of Eigenvalues in Mechanical Problems, 3 Eu-romech Solid Mechanics Conference KTH, Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden, August 18 -22, 1997, Book of abstracts, p.5.

105. Smith T.E., Herrmann G., Stability of a beam on an elastic foundation subjected to a follower force, Journal of Applied Mechanics, Trans, of the ASME Ser. E., 39, 1972,-p. 628-629.

106. Thorbek L., Hansen S.O., Coupled Buffeting Response of Suspension Bridges, Proc. 2nd Eur. And Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 22-26, 1997: 2 EACWE. Vol.2.-Padova, 1997,-p. 1489-1496.

107. Wiens G.J., Sinha S.C., On Application of Liapunov's Direct Method to Discrete Dynamic Systems with Stochastic Parameters, Journal of Sound and Vibration, 94, 1984,-p. 19-31.

108. Yoneda M., A consideration on aerodynamic stability of bridge structures due to isolating devices at movable supports, Forth International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics and Applications, Bohum, Sept. 11-14, 2000, p. 665668.

109. Ziegler H., Principles of structural stability, 2n ed. Basel; Stuttgart, Birk-hauser, 1977,-p. 150.